MCM美赛算法-蒙特卡罗方法概述

蒙特卡罗方法（MC）蒙特卡罗（Monte Carlo）方法：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，又称随机抽样或统计试验方法，属于计算数学的一个分支，它是在本世纪四十年代中期为了适应当时原子能事业的发展而发展起来的。

传统的经验方法由于不能逼近真实的物理过程，很难得到满意的结果，而蒙特卡罗方法由于能够真实地模拟实际物理过程，故解决问题与实际非常符合，可以得到很圆满的结果。

这也是我们采用该方法的原因。

蒙特卡罗方法的基本原理及思想如下：当所要求解的问题是某种事件出现的概率，或者是某个随机变量的期望值时，它们可以通过某种“试验”的方法，得到这种事件出现的频率，或者这个随机变数的平均值，并用它们作为问题的解。

这就是蒙特卡罗方法的基本思想。

蒙特卡罗方法通过抓住事物运动的几何数量和几何特征，利用数学方法来加以模拟，即进行一种数字模拟实验。

它是以一个概率模型为基础，按照这个模型所描绘的过程，通过模拟实验的结果，作为问题的近似解。

可以把蒙特卡罗解题归结为三个主要步骤：构造或描述概率过程；实现从已知概率分布抽样；建立各种估计量。

蒙特卡罗解题三个主要步骤：构造或描述概率过程：对于本身就具有随机性质的问题，如粒子输运问题，主要是正确描述和模拟这个概率过程，对于本来不是随机性质的确定性问题，比如计算定积分，就必须事先构造一个人为的概率过程，它的某些参量正好是所要求问题的解。

即要将不具有随机性质的问题转化为随机性质的问题。

实现从已知概率分布抽样：构造了概率模型以后，由于各种概率模型都可以看作是由各种各样的概率分布构成的，因此产生已知概率分布的随机变量（或随机向量），就成为实现蒙特卡罗方法模拟实验的基本手段，这也是蒙特卡罗方法被称为随机抽样的原因。

最简单、最基本、最重要的一个概率分布是(0,1)上的均匀分布（或称矩形分布）。

随机数就是具有这种均匀分布的随机变量。

随机数序列就是具有这种分布的总体的一个简单子样，也就是一个具有这种分布的相互独立的随机变数序列。

第八讲蒙特卡罗方法蒙特卡罗（Monte Carlo简称MC）方法又称随机抽样法（Random Sampling）、随机模拟（Random Simulation）或统计试验法(Statistic Testing）。

这个方法的起源可以追溯到十七世纪或更早的年代。

Monte Carlo 是摩纳哥（Monaco）的一个著名城市，位于地中海之滨，以旅游赌博闻名。

Von Neumann 等人把计算机随机模拟方法定名为Monte Carlo方法，显然反映了这种方法带有随机的性质。

简单地说，MC方法是一种利用随机统计规律，进行计算和模拟的方法。

它可用于数值计算，也可用于数字仿真。

在数值计算方面，可用于多重积分、线性代数求解、矩阵求逆以及用于方程求解，包括常微分方程、偏微分方程、本征方程、非齐次线性积分方程和非线性方程等。

在数字仿真方面，常用于核系统临界条件模拟、反应堆模拟以及实验核物理、高能物理、统计物理、真空、地震、生物物理和信息物理等领域。

§8.l蒙特卡罗方法的基础知识8.1.1 基本概念为了对MC方法有一点初步的认识，请先看使用MC方法的几个例子。

蒲丰投针问题：蒲丰（Buffon-法国著名数学家）在1777年发现随机投针的概率与无理数π之间的关系．这个问题是说，若在平面上画有距离为a的平行线束，向平面上投掷长为()<的针，试求针与一平行线相交的概率。

l l a这个问题的解法如下：以M表示落下后针的中点，x表M与最近一平行线的距离，ϕ表针与此线的交角，见上图。

可见，02 0≤≤≤≤/,x a ϕπ这两式决定x ϕ平面上一矩形R ；为了使针与一平行线（这线必定是与针中点M 最近的平行线）相交，充分而且必要条件是2ϕ≤sin lx 这个不等式决定R 中一个子集G 。

因此，我们的问题等价于向R 中均匀分布地掷点而求点落于G 中的概率P.根据概率的几何意义，得222sin ()ld l P a a πϕϕππ==⎰此式提供了求π值的一个方法：可以通过投针事件求得针与平行线相交概率P ，求得π值：2/()l Pa π= （8.1）若投掷次数为m ，针与平行线相交的次数为n ，那么/p n m ≈即 2/()lm an π≈于是，可用投针试验来求无理数π的近似值．下表列举了历史上若干学者投针试验计算π值的结果：射击问题（打靶游戏）：设r 表示射击运动员的弹着点到靶心的距离，()g r 表示击中r 处相应的得分数（环数），分布密度函数()f r 表示该运动员的弹着点分布，它反映运动员射击水平。

1、蒙特卡罗算法（该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时可以通过模拟来检验自己模型的正确性，是比赛时必用的方法）2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法（比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具）3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题（建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo软件实现）4、图论算法（这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备）5、动态规划、回溯搜索、分支定界等计算机算法（这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中）6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法（这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用）7、网格算法和穷举法（网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具）8、一些连续离散化方法（很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的）9、数值分析算法（如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用）10、图象处理算法（赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab 进行处理）1、蒙特卡罗方法（MC）（Monte Carlo）：蒙特卡罗（Monte Carlo）方法，或称计算机随机模拟方法，是一种基于“随机数”的计算方法。

蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法简介蒙特卡罗(Monte Carlo)方法，也称为计算机随机模拟方法，是一种基于"随机数"的计算方法。

一起源这一方法源于美国在第二次世界大战进研制原子弹的"曼哈顿计划"。

Monte Carlo方法创始人主要是这四位：Stanislaw Marcin Ulam, Enrico Fermi, John von Neumann（学计算机的肯定都认识这个牛人吧）和Nicholas Metropolis。

Stanislaw Marcin Ulam是波兰裔美籍数学家，早年是研究拓扑的，后因参与曼哈顿工程，兴趣遂转向应用数学，他首先提出用Monte Carlo方法解决计算数学中的一些问题，然后又将其应用到解决链式反应的理论中去，可以说是MC方法的奠基人；Enrico Fermi是个物理大牛，理论和实验同时都是大牛，这在物理界很少见，在“物理大牛的八卦”那篇文章里提到这个人很多次，对于这么牛的人只能是英年早逝了（别说我嘴损啊，上帝都嫉妒！）；John von Neumann可以说是计算机界的牛顿吧，太牛了，结果和Fermi一样，被上帝嫉妒了；Nicholas Metropolis，希腊裔美籍数学家，物理学家，计算机科学家，这个人对Monte Carlo方法做的贡献相当大，正式由于他提出的一种什么算法（名字忘了），才使得Monte Carlo方法能够得到如此广泛的应用，这人现在还活着，与前几位牛人不同，Metropolis很专一，他一生主要的贡献就是Monte Carlo方法。

蒙特卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特•罗方法正是以概率为基础的方法。

与它对应的是确定性算法。

二解决问题的基本思路Monte Carlo方法的基本思想很早以前就被人们所发现和利用。

早在17世纪，人们就知道用事件发生的"频率"来决定事件的"概率"。

马尔科夫链蒙特卡罗算法研究I. 算法简介马尔科夫链蒙特卡罗算法（Markov Chain Monte Carlo，简称MCMC）是一种用于估计复杂概率分布的统计方法。

它将概率问题转化为随机问题，并通过大量的随机样本来模拟目标概率分布。

在MCMC算法中，马尔科夫链（Markov Chain）的状态转移矩阵被用来控制样本生成的路径，从而保证样本能够充分覆盖概率空间。

蒙特卡罗方法（Monte Carlo）则用于对估计值进行采样和计算，通过多次采样和计算得到的平均值来逼近真实值。

II. 算法原理MCMC算法基于马尔科夫链原理，即当前状态只与之前的状态有关，并不受之后状态的影响。

状态转移矩阵则是用来定义状态的转移概率，从而控制样本的生成过程。

在MCMC算法中，我们首先要选择一个初始状态，然后根据状态转移矩阵进行状态转移，得到下一个状态。

状态转移矩阵中的每个元素均为概率（或称转移概率），表示状态从当前转移到下一个的概率。

为了保证算法收敛，马尔科夫链必须是正常态、不可约和遍历的。

正常态：任何状态都有可能到达任何状态；不可约：任何状态都能够到达另外任何状态；遍历：从任意状态开始，有一条无限长的路径可以经过所有状态。

理论上，通过MCMC算法可以生成服从目标概率分布的样本集合，从而得到对目标概率分布的估计值。

III. 算法优缺点优点：1. MCMC算法能够估计复杂的概率分布，如多维分布、非标准分布等；2. MCMC算法对于计算复杂度高的问题具有高效性；3. 采样过程中的细节信息都能够得到有效的利用。

缺点：1. MCMC算法需要人为地定义状态转移矩阵，较难找到合适的概率转移矩阵；2. 实现难度较高，需要对统计学和计算机科学有一定的掌握；3. 采样的效率较低，需要生成大量的样本才能得到准确的结果。

IV. 算法在实际问题中的应用MCMC算法广泛应用于求解各种概率分布问题。

其中，最有代表性的包括以下几个方面：1. 索引问题：对于大规模的概率分布问题，MCMC算法具有天然的优势，特别是在对多维参数的估计中；2. 机器学习问题：MCMC算法在机器学习中有广泛的应用，如贝叶斯网络、聚类算法等；3. 物理模拟问题：MCMC算法在物理模拟领域中具有广泛的应用，如用于求解了分子、晶格等问题。

蒙特卡罗方法一、蒙特卡罗方法概述蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method ），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。

是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

与它对应的是确定性算法这种方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。

蒙特卡罗方法是一种计算方法，但与一般数值计算方法有很大区别。

它是以概率统计理论为基础的一种方法。

由于蒙特卡罗方法能够比较逼真地描述事物的特点及物理实验过程，解决一些数值方法难以解决的问题，因而该方法的应用领域日趋广泛。

蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。

1．历史起源蒙特卡罗方法于20世纪40年代美国在第二次世界大战中研制原子弹的“曼哈顿计划”计划的成员S.M.乌拉姆和J.冯·诺伊曼首先提出。

数学家冯·诺伊曼用驰名世界的赌城—摩纳哥的Monte Carlo —来命名这种方法，为它蒙上了一层神秘色彩。

在这之前，蒙特卡罗方法就已经存在。

1777年，法国Buffon 提出用投针实验的方法求圆周率∏。

这被认为是蒙特卡罗方法的起源。

2. 蒙特卡罗方法的基本思想二十世纪四十年代中期，由于科学技术的发展和电子计算机的发明，蒙特卡罗方法作为一种独立的方法被提出来，并首先在核武器的试验与研制中得到了应用。

但其基本思想并非新颖，人们在生产实践和科学试验中就已发现，并加以利用。

当所求问题的解是某个事件的概率，或者是某个随机变量的数学期望，或者是与概率、数学期望有关的量时，通过某种试验的方法，得出该事件发生的频率，或者该随机变量若干个具体观察值的算术平均值，通过它得到问题的解。

这就是蒙特卡罗方法的基本思想。

当随机变量的取值仅为1或0时，它的数学期望就是某个事件的概率。

Monte Carlo 法§8.1 概述Monte Carlo 法不同于前面几章所介绍的确定性数值方法，它是用来解决数学和物理问题的非确定性的（概率统计的或随机的）数值方法。

Monte Carlo 方法（MCM ），也称为统计试验方法，是理论物理学两大主要学科的合并：即随机过程的概率统计理论（用于处理布朗运动或随机游动实验）和位势理论，主要是研究均匀介质的稳定状态[1]。

它是用一系列随机数来近似解决问题的一种方法，是通过寻找一个概率统计的相似体并用实验取样过程来获得该相似体的近似解的处理数学问题的一种手段。

运用该近似方法所获得的问题的解in spirit 更接近于物理实验结果，而不是经典数值计算结果。

普遍认为我们当前所应用的MC 技术，其发展约可追溯至1944年，尽管在早些时候仍有许多未解决的实例。

MCM 的发展归功于核武器早期工作期间LosAlamos （美国国家实验室中子散射研究中心）的一批科学家。

Los Alamos 小组的基础工作刺激了一次巨大的学科文化的迸发，并鼓励了MCM 在各种问题中的应用[2]-[4]。

“Monte Carlo ”的名称取自于Monaco （摩纳哥）内以赌博娱乐而闻名的一座城市。

Monte Carlo 方法的应用有两种途径：仿真和取样。

仿真是指提供实际随机现象的数学上的模仿的方法。

一个典型的例子就是对中子进入反应堆屏障的运动进行仿真，用随机游动来模仿中子的锯齿形路径。

取样是指通过研究少量的随机的子集来演绎大量元素的特性的方法。

例如，)(x f 在b x a <<上的平均值可以通过间歇性随机选取的有限个数的点的平均值来进行估计。

这就是数值积分的Monte Carlo 方法。

MCM 已被成功地用于求解微分方程和积分方程，求解本征值，矩阵转置，以及尤其用于计算多重积分。

任何本质上属随机组员的过程或系统的仿真都需要一种产生或获得随机数的方法。

这种仿真的例子在中子随机碰撞，数值统计，队列模型，战略游戏，以及其它竞赛活动中都会出现。

第三章蒙特卡罗方法概述蒙特卡罗方法是一种基于概率统计的数学模拟方法，广泛应用于各个领域，如物理学、工程学、统计学、金融学等。

蒙特卡罗方法的基本思想是通过随机抽样的方法，通过大量的实验模拟系统的行为，从而推导出系统的统计性质。

它的核心理念是“试验多次，取平均值”，即通过进行大量的实验模拟，得到的结果的平均值可以近似于真实值。

蒙特卡罗方法的起源可以追溯到二战时期的原子能研究。

当时科学家们在尝试研究核反应堆的物理过程时，很难通过解析方法得到解决方案。

于是他们将问题建模成概率统计的形式，通过大量的实验模拟来获得结果。

这种方法最初被称为“纯概率模拟”，后来由于其背后的基本思想与蒙特卡罗赌场有些类似而得名为蒙特卡罗方法。

蒙特卡罗方法包括以下几个基本步骤：1.建立模型：首先需要建立一个适当的模型，即用数学方程描述所研究问题的特征。

模型的复杂程度取决于具体问题的复杂程度。

2.随机抽样：根据建立的模型，需要进行随机抽样，生成一系列符合指定分布的随机数。

这些随机数代表了系统的输入或初态。

通常使用伪随机数生成器来生成这些随机数。

3.求解模型：将随机抽样得到的样本代入模型，并通过模型进行求解。

可以使用各种数值计算方法来求解模型，如积分法、差分法、微分方程等。

通过数值计算方法，可以得到模型的输出或末态。

4.统计分析：通过大量的实验模拟，得到了系统的多组输出或末态。

在这些输出或末态中，可以统计得到系统的统计性质，如均值、方差、概率分布等。

蒙特卡罗方法的优势在于它可以处理复杂的非线性问题，以及高维问题。

由于模拟过程完全基于随机抽样，与传统的解析方法相比，蒙特卡罗方法的求解过程更加灵活。

另外，由于蒙特卡罗方法是一种直接模拟的方法，因此对于复杂的系统，可以通过蒙特卡罗方法进行近似求解，避免了复杂内部结构的精确建模过程。

然而，蒙特卡罗方法也存在一些限制。

首先，蒙特卡罗方法通常需要进行大量的实验模拟才能得到准确的结果，从而需要大量的计算时间和计算资源。

算法简介蒙特·卡罗方法（Monte Carlo method），也称统计模拟方法，是二十世纪四十年代中期由于科学技术的发展和电子计算机的发明，而被提出的一种以概率统计理论为指导的一类非常重要的数值计算方法。

是指使用随机数（或更常见的伪随机数）来解决很多计算问题的方法。

蒙特·卡罗方法的名字来源于摩纳哥的一个城市蒙地卡罗，该城市以赌博业闻名，而蒙特·卡罗方法正是以概率为基础的方法。

与它对应的是确定性算法。

蒙特·卡罗方法在金融工程学，宏观经济学，计算物理学(如粒子输运计算、量子热力学计算、空气动力学计算)等领域应用广泛。

编辑本段背景知识[1946: John von Neumann, Stan Ulam, and Nick Metropolis, all at the Los Alamos Scientific Laboratory, cook up the Metropolis algorithm, also known as the Monte Carlo method.] 1946年，美国拉斯阿莫斯国家实验室的三位科学家John von Neumann,Stan Ulam 和Nick Metropolis共同发明，被称为蒙特卡洛方法。

它的具体定义是：在广场上画一个边长一米的正方形，在正方形内部随意用粉笔画一个不规则的形状，现在要计算这个不规则图形的面积，怎么计算列?蒙特卡洛(Monte Carlo)方法告诉我们，均匀的向该正方形内撒N（N 是一个很大的自然数）个黄豆，随后数数有多少个黄豆在这个不规则几何形状内部，比如说有M个，那么，这个奇怪形状的面积便近似于M/N，N越大，算出来的值便越精确。

在这里我们要假定豆子都在一个平面上，相互之间没有重叠。

蒙特卡洛方法可用于近似计算圆周率：让计算机每次随机生成两个0到1之间的数，看这两个实数是否在单位圆内。

生成一系列随机点，统计单位圆内的点数与总点数，（圆面积和正方形面积之比为PI:1，PI为圆周率），当随机点取得越多（但即使取10的9次方个随机点时，其结果也仅在前4位与圆周率吻合）时，其结果越接近于圆周率。