常微分方程的求解与定性分析实验报告
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常微分方程的求解与定性分析实验报告
一、实验综述
1、实验目的及要求
归纳和学习求解常微分方程(组)的基本原理和方法；
掌握解析、数值解法，并学会用图形观察解的形态和进行解的定性分析；
熟悉MATLAB软件关于微分方程求解的各种命令；
通过范例学习建立微分方程方面的数学模型以及求解全过程；
通过该实验的学习，使学生掌握微分方程(组)求解方法（解析法、欧拉法、梯度法、改进欧拉法等），对常微分方程的数值解法有一个初步了解，同时学会使用MATLAB 软件求解微分方程的基本命令，学会建立微分方程方面的数学模型。这对于学生深入理解微分、积分的数学概念，掌握数学的分析思维方法，熟悉处理大量的工程计算问题的方法是十分必要的。
2、实验仪器、设备或软件
电脑、matlab7.0
二、实验过程（实验步骤、记录、数据、分析）
实验内容：
根据实验内容和步骤，完成以下实验，要求写出实验报告（实验目的→问题→数学模型→算法与编程→计算结果→分析、检验和结论）
1．求微分方程的解析解，并画出它们的图形。
y '= y + 2 x, y (0) = 1, 0< x <1；
m=dsolve('Dy=y+2*x','y(0)=1','x')
ezplot(m,[0 1])
m =
3*exp(x) - 2*x – 2
1．求微分方程?????====-+]
100[0
)0(;0)0(0
1.03
t u u u u u 的数值解，要求编写求解程序。
function dy=vdp1000(t,y)
dy=zeros(2,1);
dy(1)=y(2);
dy(2)=-y(1)+0.1*y(1)^3;
[T,Y]=ode15s('vdp1000',[0 10],[0 0]);
plot(T,Y(:,1),'-')
3．Rossler 微分方程组：
当固定参数b=2，c=4时，试讨论随参数a由小到大变化（如a∈(0，0.65))而方程解的变化情况，并且画出空间曲线图形，观察空间曲线是否形成混沌状？
function r=rossler(t,x)
global a;
global b;
global c;
r=[-x(2)-x(3);x(1)+a*x(2);b+x(3)*(x(1)-c)];
global a;
global b;
global c;
b=2;
c=4;
t0=[0,200];
for a=0:0.1:0.6
[t,x]=ode45('rossler',t0,[0,0,0]);
subplot(1,2,1);
plot(t,x(:,1),'r',t,x(:,2),'g',t,x(:,3),'b');
title('x(红色),y(绿色),z(蓝色)随t的变化情况');xlabel('t');
subplot(1,2,2);
plot3(x(:,1),x(:,2),x(:,3))
title('相图');xlabel('x');ylabel('y');zlabel('z');
pause
end
结果显示：
a=0:
a=0.1:
a=0.2:
a=0.3:
a=0.4:
a=0.5:
结果分析：从图像可以看出，当a=0时，微分方程的解（x,y,z）收敛与（0，0.5，0.5）；当a=0.1时，（x,y,z）仍收敛与（0，0.5，0.5），只是收敛速度减慢；当
a=0.2时，（x,y,z）已发散，周期性变化；随着a的增大，(x,y,z)接近其极限环的速度加快，空间曲线成混沌状。
4．炮弹发射角的确定
炮弹发射视为斜抛运动，已知初始速度为200m/s，若要击中水平距离360m、在垂直距离160m的目标，当忽略空气阻力时，发射角应为多大此时炮弹的运行轨迹如何
要求：
(1) 建立在忽略空气阻力情况下的描述炮弹发射轨迹的数学模型；
(2) 用Matlab 软件求解方程和微分方程；
(3) 结合实际对解的合理性进行分析。
进一步思考：
如果要考虑水平方向的阻力，且设阻力与（水平方向）速度成正比，系数为0.1
（1/s ），结果又如何此时炮弹的运行轨迹如何
解：
（1）忽略空气阻力时，设发射角为a，炮弹的飞行时间为t
水平方向：Vx=V0*cos a=200*cos（a）
竖直方向：Vy=V0*sin a=200*sin（a）
得到：x=Vx*t=200*cos（a）*t=360
y=Vy*t-1/2*g*t^2=200*sin（a）*t-1/2*9.8*t^2=160
得到炮弹的路程为Y=360*tan(a)-4.9*(360/200/cos(a)).^2-160
编程为：
function Y=fun2(a)
Y=360*tan(a)-4.9*(360/200/cos(a)).^2-160;
function Y=fun3(a0,a1,n,tol)
a(1)=a0;
a(2)=a1;
b=1;
i=2;
while(abs(b)>eps*a(i))
a(i+1)=a(i)-fun2(a(i))*(a(i)-a(i-1))/(fun2(a(i))-fun2(a(i-1))); b=a(i+1)-a(i);
i=i+1;
if(i>n) error('n is full');
end
end
disp(i-2);
Y=a(i);
fun3(0.5,1,100,1e-6)
结果为：
ans =
0.4633
（3）结果合理，符合实际
进一步思考：
建立模型如下：
= -0.1dx/dt
代入初始条件可以得出x=-10*200cosθ*exp(-0.1t)+10*200cosθ建立myfun6函数如下：
function Y=fun6(a)
Y=200*sin(a)*(-10*log(1-360/2000/cos(a)))-4.9*((-10*log(1-360/2000/cos(a))).^2)-160
建立fun7函数如下：
function Y=fun7(a0,a1,n,tol)
a(1)=a0;
a(2)=a1;
b=1;
i=2;
while(abs(b)>eps*a(i))
a(i+1)=a(i)-fun6(a(i))*(a(i)-a(i-1))/(fun6(a(i))-fun6(a(i-1))); b=a(i+1)-a(i);
i=i+1;
if(i>n) error('n is full');
end
end
disp(i-2);
Y=a(i);
输入：>> fun7(0.5,1,100,1e-6)
结果：
ans =
0.4297
三、结论
1、实验结果
编程及实验结果分析如上
2、分析讨论
①通过此次实验，学习了微分方程求解的方法，并学会了建立微分方程的数学模型，使用求解微分方程的基本指令；
②实验题目中的第三四道题，综合性较强，需要考虑多方面的程序，感觉较难，通过查找相关例题以及和同学讨论得以解决；
③微分方程的求解问题较常见，因为许多的微分方程人为解起来较难，而使用matlab可以很轻松得解答。因此掌握使用matlab求解微分方程很重要，在今后的学习中要多练习，熟练使用matlab软件。