椭圆的习题课

第二章 2.2.2 第一课时一、选择题1．椭圆以两条坐标轴为对称轴，一个顶点是(0,13)，另一个顶点是(－10,0)，则焦点坐标为( )A ．(±13,0)B ．(0，±10)C ．(0，±13)D ．(0，±69)解析：选D 由题意知椭圆焦点在y 轴上，且a ＝13，b ＝10，则c ＝a 2－b 2＝69，故焦点坐标为(0，±69)．2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右焦点为F 1，F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A ，B 两点．若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A ．x 23＋y 22＝1 B ．x 23＋y 2＝1 C ．x 212＋y 28＝1D ．x 212＋y 24＝1]解析：选A 由椭圆的性质知|AF 1|＋|AF 2|＝2a ，|BF 1|＋|BF 2|＝2a ，又∵△AF 1B 的周长＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝43，∴a ＝3． 又∵e ＝33，∴c ＝1.∴b 2＝a 2－c 2＝2， ∴椭圆的方程为x 23＋y 22＝1．3．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1与椭圆x 225＋y 216＝1有相同的长轴，椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的短轴长与椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长相等，则( )A ．a 2＝25，b 2＝16B ．a 2＝9，b 2＝25C ．a 2＝25，b 2＝9或a 2＝9，b 2＝25D ．a 2＝25，b 2＝9（解析：选D 因为椭圆x 225＋y 216＝1的长轴长为10，焦点在x 轴上，椭圆y 221＋x 29＝1的短轴长为6，所以a 2＝25，b 2＝9．4．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF ⊥x 轴，直线AB 交y 轴于点P .若AP ―→＝2PB ―→，则椭圆的离心率是( )A ．32B ．22C ．13D ．12解析：选D ∵AP ―→＝2PB ―→，∴|AP ―→|＝2|PB ―→|． 又∵PO ∥BF ，∴|PA ||AB |＝|AO ||AF |＝23， 即a a ＋c＝23，∴e ＝c a ＝12． 5．过椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的左焦点F 1作x 轴的垂线交椭圆于点P ，F 2为右焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则椭圆的离心率为( )A ．22B ．33C ．12D ．13*解析：选B 法一：将x ＝－c 代入椭圆方程可解得点P ⎝⎛⎭⎫－c ，±b 2a ，故|PF 1|＝b 2a ．在Rt △F 1PF 2中∠F 1PF 2＝60°，所以|PF 2|＝2b 2a .根据椭圆定义得3b 2a ＝2a ， 从而可得e ＝c a ＝33．法二：设|F 1F 2|＝2c ，则在Rt △F 1PF 2中， |PF 1|＝233c ，|PF 2|＝433c ．所以|PF 1|＋|PF 2|＝23c ＝2a ，离心率e ＝c a ＝33． 二、填空题6．与椭圆9x 2＋4y 2＝36有相同焦点，且短轴长为45的椭圆方程是__________________________．解析：椭圆9x 2＋4y 2＝36可化为x 24＋y 29＝1，因此可设待求椭圆为x 2m ＋y 2m ＋5＝1．*又因为b ＝25，故m ＝20，得x 220＋y 225＝1．答案：x 220＋y 225＝17．椭圆x 24＋y 2m ＝1的离心率为12，则m ＝________． 解析：当焦点在x 轴上时，4－m 2＝12⇒m ＝3；当焦点在y 轴上时，m －4m＝12⇒m ＝163． 综上，m ＝3或m ＝163． 答案：3或1638．已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为55， 且过点P (－5,4)，则椭圆的方程为__________．解析：∵e ＝c a ＝55， ∴c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝15，#∴5a 2－5b 2＝a 2，即4a 2＝5b 2．设椭圆的标准方程为x 2a 2＋5y 24a 2＝1(a ＞0)． ∵椭圆过点P (－5,4)，∴25a 2＋5×164a 2＝1， 解得a 2＝45.∴椭圆的方程为x 245＋y 236＝1．答案：x 245＋y 236＝1 三、解答题9．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22，过点F 1的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，求椭圆C 的标准方程．解：设椭圆C 的标准方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)． 由e ＝22知c a ＝22，故c 2a 2＝12， 从而a 2－b 2a 2＝12，b 2a 2＝12．[由△ABF 2的周长为|AB |＋|BF 2|＋|AF 2|＝|AF 1|＋|AF 2|＋|BF 1|＋|BF 2|＝4a ＝16，得a ＝4，所以b 2＝8.故椭圆C 的标准方程为x 216＋y 28＝1．10．椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点是A (a,0)，其上存在一点P ，使∠APO ＝90°，求椭圆离心率的取值范围．解：设P (x ，y )，由∠APO ＝90°知，点P 在以OA 为直径的圆上，圆的方程是：⎝⎛⎭⎫x －a 22＋y 2＝⎝⎛⎭⎫a 22， ∴y 2＝ax －x 2.①又∵P 点在椭圆上，∴x 2a 2＋y 2b 2＝1.②把①代入②化简，得(a 2－b 2)x 2－a 3x ＋a 2b 2＝0， 即(x －a )[(a 2－b 2)x －ab 2]＝0.∵x ≠a ，x ≠0， ∴x ＝ab 2a 2－b 2，又0＜x ＜a ，∴0＜ab 2a 2－b 2＜a ，即2b 2＜a 2．由b 2＝a 2－c 2，得a 2＜2c 2，∴e ＞22． 又∵0＜e ＜1，∴22＜e ＜1， 即椭圆离心率的取值范围是⎝⎛⎭⎪⎫22，1． …。

高中数学第二册(上)椭圆习题课(1,2)例1 已知椭圆中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上任意一点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在以直线y=x 为轴的对称点1M 和2M ，且310421=M M ，求椭圆方程。

例2 以椭圆131222=+y x 的焦点为焦点，过直线L ：09=+-y x 上一点M 作椭圆，要使所作椭圆的长轴最短，点M 应在何处？并求出此时的椭圆方程。

例3 已知椭圆()012222>>=+b a by a x ，A （2，0）为长轴的一个端点，弦BC 过椭圆的中心， 且0=⋅BC AC ，BA BC OB OC -=-21）求椭圆方程：（2）若AB 上一点F 满足032=+-OF OA BO ，求证：CF 平分BCA ∠。

例4已知椭圆1222=+y x 的右准线L 与x 轴交于E ，过椭圆右焦点F 的直线与椭圆交于A 、B 两点，点C 在右准线L 上，且BC//x 轴。

求证：直线AC 经过线段EF 的中点。

椭圆-习题课2例1 设椭圆的中心在原点O ，一个焦点F （0，1），长轴和短轴的长度之比为t ，（1）求椭圆方程；（2）设经过原点且斜率为t 的直线与椭圆在y 轴右边部分的交点为Q ，点P 在该直线上，且12-=t t OQ OP ，当t 变化时，求点P 的轨迹方程并说明轨迹是什么图形？ 例2椭圆1162422=+y x ，直线L ：1812=+y x ，P 是L 上一点，射线OP 交椭圆于点R ，且满足2OR OP OQ =⋅，当点P 在L 上移动时，求Q 的轨迹方程。

例3 已知曲线C ：1422=+y x ，A 、B 是曲线C 上关于坐标轴不对称的两点，求AB 的垂直平分线L 在x 轴上截距的取值范围。

例4从椭圆14922=+y x 上一点M 向以短轴为直径的圆引两条切线，切点为A 、B 。

直线AB 分别和x 、y 轴交于P 、Q 两点，求2294OQ OP +的值。

椭圆习题课1 已知以F 1（2,0），F 2（2,0）为焦点的椭圆与直线043=++y x 有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为_____________2 如图直线y ＝kx ＋b 与椭圆2214xy +=交于A 、B 两点,记△AOB 的面积为S ．(I)求在k ＝0，0＜b ＜1的条件下，S 的最大值；（Ⅱ)当｜AB ｜＝2，S ＝1时，求直线AB 的方程．3 设椭圆22221(0)x y a b ab+=>>的左、右焦点分别为12F F A ，，是椭圆上的一点，212AF F F ⊥，原点O 到直线1A F 的距离为113O F ．（Ⅰ）证明a =；（Ⅱ）求(0)t b ∈，使得下述命题成立：设圆222x y t +=上任意点00()M x y ，处的切线交椭圆于1Q ，2Q 两点，则12OQ OQ ⊥．4 求F 1、F 2分别是椭圆2214xy +=的左、右焦点.（Ⅰ）若P 是第一象限内该数轴上的一点，221254P F P F +=-，求点P 的作标；（Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围.15 我们把由半椭圆12222=+by ax (0)x ≥与半椭圆12222=+cx by (0)x ≤合成的曲线称作“果圆”，其中222c b a +=，0>a ，0>>c b ．如图，设点0F ，1F ，2F 是相应椭圆的焦点，1A ，2A 和1B ，2B 是“果圆” 与x ，y 轴的交点，M 是线段21A A 的中点．（1）若012F F F △是边长为1的等边三角形，求该 “果圆”的方程；（2）设P 是“果圆”的半椭圆12222=+cx by(0)x ≤上任意一点．求证：当PM 取得最小值时，P 在点12B B ，或1A 处；（3）若P 是“果圆”上任意一点，求PM 取得最小值时点P 的横坐标．。

1．过椭圆x 24＋y 23＝1的焦点的最长弦和最短弦的长分别为( B )A ．8,6B ．4,3C ．2，3D ．4,2 32.椭圆x 216＋y 27＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，一直线过F 1交椭圆于A 、B 两点，则△ABF 2的周长为( B )A ．32B ．16C ．8D ．43. (11·岳阳月考)椭圆x 29＋y 24＋k ＝1的离心率为45，则k 的值为( C )A ．－21B ．21C ．－1925或21 D.1925或214．(12·新课标，4)设F 1、F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( ) A.12 B.23 C.34 D.45[答案] C [解析] 设直线x ＝3a2与x 轴交于点M ，则由条件知，∠F 2F 1P ＝∠F 2PF 1＝30°，∴∠PF 2M ＝60°， 在Rt △PF 2M 中，PF 2＝F 1F 2＝2c ，F 2M ＝3a 2－c ，故cos60°＝F 2M PF 2＝32a －c2c ＝12，解得c a ＝34，故离心率e ＝34.5.(11·石家庄一模)已知椭圆x 216＋y 225＝1的焦点分别是F 1，F 2，P 是椭圆上一点，若连接F 1，F 2，P 三点恰好能构成直角三角形，则点P 到y 轴的距离是( ) A.165 B ．3 C.163 D.253[答案] A [解析] F 1(0，－3)，F 2(0,3)，∵3<4，∴∠F 1F 2P ＝90°或∠F 2F 1P ＝90°.设P (x,3)， 代入椭圆方程得x ＝±165.即点P 到y 轴的距离是165.6.(11·长沙模拟)已知焦点在x 轴上的椭圆的离心率为12，且它的长轴长等于圆C ：x 2＋y 2－2x －15＝0的半径，则椭圆的标准方程是( )A.x 24＋y 23＝1B.x 216＋y 212＝1C.x 24＋y 2＝1D.x 216＋y 24＝1 [析] 由x 2＋y 2－2x －15＝0得r ＝4，∴2a ＝4，∴a ＝2，∵e ＝c a ＝12，∴c ＝1，∴b 2＝a 2－c 2＝3.故选A.7．已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n＝1的离心率为( )A.12B.33C.22D.32[解析] 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 2n ＝m ＋m ＋n ，n 2＝m 2n .解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝4.∴e ＝n －m n ＝22，故选C. 8．在△ABC 中，BC ＝24，AB ＋AC ＝26，则△ABC 面积的最大值为( )A ．24B ．65C ．60D ．30[解析] ∵AB ＋AC >BC ，∴A 点在以B 、C 为焦点的椭圆上，因此当A 为短轴端点时，△ABC 面积取最大值S max ＝12BC ×5＝60，∴选C.9．如图F 1、F 2分别是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以|OF 1|为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且△F 2AB 是等边三角形，则椭圆的离心率为( )A.32 B.12 C.22D.3－1 [答案] D [解析] 连接AF 1，由圆的性质知，∠F 1AF 2＝90°，又∵△F 2AB 是等边三角形， ∴∠AF 2F 1＝30°，∴AF 1＝c ，AF 2＝3c ，∴e ＝c a ＝2c 2a ＝2c c ＋3c＝3－1.故选D.10．将椭圆C 1∶2x 2＋y 2＝4上的每一点的纵坐标变为原来的一半，而横坐标不变，得一新椭圆C 2，则C 2与C 1有( ) A ．相等的短轴长 B ．相等的焦距 C ．相等的离心率 D ．相等的长轴长 [解析] 把C 1的方程化为标准方程，即C 1：x 22＋y 24＝1，从而得C 2：x 22＋y 2＝1.因此C 1的长轴在y 轴上，C 2的长轴在x 轴上．e 1＝22＝e 2，故离心率相等，选C. 11．椭圆ax 2＋by 2＋ab ＝0(a <b <0)的焦点坐标是( )A ．(±a －b ，0)B ．(±b －a ，0)C ．(0，±a －b )D ．(0，±b －a )[答案] D [解析] ax 2＋by 2＋ab ＝0可化为x 2－b ＋y 2－a＝1，∵a <b <0，∴－a >－b >0，∴焦点在y 轴上，c ＝－a ＋b＝b －a ，∴焦点坐标为(0，±b －a )．12．在平面直角坐标系xOy 中，已知△ABC 的顶点A (0，－2)和C (0,2)，顶点B 在椭圆y 212＋x 28＝1上，则sin A ＋sin C sin B 的值是( ) A. 3 B ．2 C ．2 3 D ．4[答案] A [解析] 由椭圆定义得|BA |＋|BC |＝43，又∵sin A ＋sin C sin B ＝|BC |＋|BA ||AC |＝434＝3，故选A.13.(11·唐山二模)P 为椭圆x 24＋y 23＝1上一点，F 1、F 2为该椭圆的两个焦点，若∠F 1PF 2＝60°，则PF 1→·PF 2→等于( )A ．3 B. 3 C ．2 3 D ．2[答案] D [解析] 由题意可得|F 1F 2|＝2，|PF 1|＋|PF 2|＝4，|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1||PF 2|·cos60°＝(|PF 1|＋|PF 2|)2－3|PF 1||PF 2|，所以4＝42－3|PF 1||PF 2|，|PF 1||PF 2|＝4，PF 1→·PF 2→＝|PF 1→||PF 2→|·cos60°＝4×12＝2，14．若直线mx ＋ny ＝4和圆x 2＋y 2＝4没有交点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 29＋y 24＝1的交点个数为( )A ．至多一个B ．2个C ．1个D ．0个 [答案] B [解析] ∵直线与圆无交点，∴4m 2＋n2>2，∴m 2＋n 2<4，∴点(m ，n )在圆内，又圆在椭圆内，∴点(m ，n )在椭圆内，故过点(m ，n )的直线与椭圆有两个交点．15．(12·沈阳二模)已知F 1、F 2分别为椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点，点P 为椭圆C 上的动点，则△PF 1F 2的重心G 的轨迹方程为( )A.x 236＋y 227＝1(y ≠0)B.4x 29＋y 2＝1(y ≠0)C.9x 24＋3y 2＝1(y ≠0) D ．x 2＋4y 23＝1(y ≠0) [答案] C [解析] 椭圆C ：x 24＋y 23＝1中，a 2＝4，b 2＝3，∴c 2＝a 2－b 2＝1，∴焦点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，设G (x ，y )，P (x 1，y 1)，则⎩⎨⎧x ＝－1＋1＋x 13y ＝y13，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝3x y 1＝3y ，∵P 在椭圆C 上，∴(3x )24＋(3y )23＝1，∴9x 24＋3y 2＝1.当y ＝0时，点G 在x 轴上，三点P 、F 1、F 2构不成三角形，∴y ≠0，∴点G 的轨迹方程为9x 24＋3y 2＝1.(y ≠0)．16．(12·商丘二模)已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)，M ，N 是椭圆的左、右顶点，P 是椭圆上任意一点，且直线PM 、PN 的斜率分别为k 1，k 2(k 1k 2≠0)，若|k 1|＋|k 2|的最小值为1，则椭圆的离心率为( )A.12B.22C.32D.33[答案] C [解析] M (－a,0)，N (a,0)，设P (x 0，y 0)，则k 1＝y 0x 0＋a ，k 2＝y 0x 0－a ，∴k 1k 2＝y 20x 20－a2，由P 在椭圆上知，x 20a 2＋y 20b 2＝1，∴a 2y 20b 2＝a 2－x 20，∴k 1k 2＝－b 2a 2，|k 1k 2|＝b 2a 2为定值，∴|k 1|＋|k 2|≥2|k 1k 2|＝2b a ，∴2b a＝1，∴a ＝2b ， ∴a 2＝4b 2＝4(a 2－c 2)，∴e 2＝34，∴e ＝32.18．已知F 1、F 2是椭圆的两个焦点，满足MF 1→·MF 2→＝0的点M 总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(0，12]C ．(0，22)D ．[22，1)[解析] 依题意得，c <b ，即c 2<b 2，∴c 2<a 2－c 2,2c 2<a 2，故离心率e ＝c a <22，又0<e <1，∴0<e <22，故选C.19．若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8[答案] C [解析] 由题意可知O (0,0)，F (－1,0)，设点P 为(x ，y )，则OP →＝(x ，y )，FP →＝(x ＋1，y )，∴OP →·FP →＝x (x ＋1)＋y 2＝x 2＋x ＋y 2＝x 2＋x ＋3－34x 2＝14x 2＋x ＋3＝14(x ＋2)2＋2.∵x ∈[－2,2]，∴当x ＝2时，OP →·FP→取最大值．(OP →·FP →)max ＝14(2＋2)2＋2＝6，故选C.20．设椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为e ＝12，右焦点为F (c,0)，方程ax 2＋bx －c ＝0的两个实根分别为x 1和x 2，则点P (x 1，x 2)( )A ．必在圆x 2＋y 2＝2上B ．必在圆x 2＋y 2＝2外C ．必在圆x 2＋y 2＝2内D ．以上三种情形都有可能[解析] e ＝12⇒c a ＝12⇒c ＝a 2，a 2－b 2a 2＝14⇒b 2a 2＝34⇒b a ＝32⇒b ＝32a .∴ax 2＋bx －c ＝0⇒ax 2＋32ax －a 2＝0⇒x 2＋32x－12＝0，x 1＋x 2＝－32，x 1x 2＝－12，∴x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝34＋1＝74<2.∴在圆x 2＋y 2＝2内，故选C. 21．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左，右焦点分别为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，若椭圆上存在点P 使a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1成立，则该椭圆的离心率的取值范围为________．[答案] (2－1,1)[解析] 由正弦定理及a sin ∠PF 1F 2＝c sin ∠PF 2F 1，得c a ＝sin ∠PF 2F 1sin ∠PF 1F 2＝|PF 1||PF 2|.在△PF 1F 2中，设|PF 2|＝x ，则|PF 1|＝2a －x . 则上式为c a ＝2a －x x ，即cx ＋ax ＝2a 2，x ＝2a 2a ＋c.又a －c <x <a ＋c ，所以a －c <2a 2a ＋c <a ＋c .由a －c <2a 2a ＋c ，得a 2>－c 2，显然恒成立．由2a 2a ＋c <a ＋c ，得a 2<2ac ＋c 2，c 2＋2ac －a 2>0，即e 2＋2e －1>0，解得e >－1＋2或e <－1－2(舍)．又0<e <1，所以e 的取值范围为(2－1,1)． 22．F 1，F 2分别为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，△POF 2是面积为3的正三角形，则b 2＝______.[解析] 由题意S △POF 2＝34c 2＝3，∴c ＝2，∴a 2＝b 2＋4.∴点P 坐标为(1，3)，把x ＝1，y ＝3代入椭圆方程x 2b 2＋4＋y 2b 2＝1中得，1b 2＋4＋3b 2＝1，解得b 2＝2 3.23．已知椭圆的短半轴长为1，离心率0<e ≤32.则长轴长的取值范围为________． [答案] (2,4][解析] ∵b ＝1，∴c 2＝a 2－1，又c 2a 2＝a 2－1a 2＝1－1a 2≤34，∴1a 2≥14，∴a 2≤4，又∵a 2－1>0，∴a 2>1，∴1<a ≤2，故长轴长2<2a ≤4.24．如图，把椭圆x 225＋y 216＝1的长轴AB 分成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于P 1、P 2、…、P 7七个点，F 是椭圆的一个焦点，则|P 1F |＋|P 2F |＋…＋|P 7F |＝________. [答案] 35[解析] 设椭圆右焦点为F ′，由椭圆的对称性知，|P 1F |＝|P 7F ′|， |P 2F |＝|P 6F ′|，|P 3F |＝|P 5F ′|，∴原式＝(|P 7F |＋|P 7F ′|)＋(|P 6F |＋|P 6F ′|)＋ (|P 5F |＋|P 5F ′|)＋12(|P 4F |＋|P 4F ′|)＝7a ＝35.25.已知1m ＋2n ＝1(m >0，n >0)，则当mn 取得最小值时，椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1的离心率是________．[解析] ∵m >0，n >0∴1＝1m ＋2n≥22mn ，∴mn ≥8，当且仅当1m ＝2n，即n ＝2m 时等号成立， 由⎩⎪⎨⎪⎧n ＝2m ，mn ＝8，解得m ＝2，n ＝4.即当m ＝2，n ＝4时，mn 取得最小值8，∴离心率e ＝n 2－m 2n ＝32.26．(11·长沙一中)直线l ：x －y ＝0与椭圆x 22＋y 2＝1相交A 、B 两点，点C 是椭圆上的动点，则△ABC 面积的最大值为________．[解析] 设与l 平行的直线方程为x －y ＋a ＝0，当此直线与椭圆的切点为C 时，△ABC 的面积最大，将y ＝x ＋a 代入x 22＋y 2＝1中整理得，3x 2＋4ax ＋2(a 2－1)＝0，由Δ＝16a 2－24(a 2－1)＝0得，a ＝±3，两平行直线x －y ＝0与x －y ＋3＝0的距离d ＝62，将y ＝x 代入x 22＋y 2＝1中得，x 1＝－63，x 2＝63，∴|AB |＝1＋1|63－(－63)|＝433，∴S △ABC ＝12|AB |·d ＝12×433×62＝ 2. 27．已知实数k 使函数y ＝cos kx 的周期不小于2，则方程x 23＋y 2k＝1表示椭圆的概率为________．[答案] 12[解析] 由条件2π|k |≥2，∴－π≤k ≤π，当0<k ≤π且k ≠3时，方程x 23＋y 2k ＝1表示椭圆，∴概率P ＝12.28．(11·江西理，14)若椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的焦点在x 轴上，过点(1，12)作圆x 2＋y 2＝1的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是________．[解析] 点⎝⎛⎭⎫1，12在圆外，过点(1，12)与圆相切的一条直线方程为x ＝1，一个切点为(1,0)，设另一条切线的方程为y ＝m (x －1)＋12，由|－m ＋12|1＋m 2＝1得m ＝－34，故另一条切线的方程为y ＝－34x ＋54代入圆的方程联立解得切点为⎝⎛⎭⎫35，45，则直线AB 的方程为y ＝－2x ＋2，故椭圆的上顶点坐标为(0,2)．因此c ＝1，b ＝2，a ＝5，所求椭圆方程为x 25＋y 24＝1.29．过椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点作圆x 2＋y 2＝b 2的两条切线，切点分别为A ，B ，若∠AOB ＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C 的离心率为________．[答案] 22[解析] 因为∠AOB ＝90°，所以∠AOF ＝45°，所以b a ＝22，所以e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝1－b 2a 2＝12，即e ＝22.30．已知椭圆C 的中心为坐标原点O ，一个长轴端点为(0,2)，短轴端点和焦点所组成的四边形为正方形，直线l与y 轴交于点P (0，m )，与椭圆C 交于相异两点A 、B ，且AP →＝2PB →. (1)求椭圆方程；(2)求m 的取值范围． [解析] (1)由题意知椭圆的焦点在y 轴上，设椭圆方程为y 2a 2＋x 2b 2＝1(a >b >0)，由题意知a ＝2，b ＝c ，又a 2＝b 2＋c 2，则b ＝2，所以椭圆方程为y 24＋x 22＝1.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由题意，直线l 的斜率存在，设其方程为y ＝kx ＋m ，与椭圆方程联立即⎩⎪⎨⎪⎧y 2＋2x 2＝4y ＝kx ＋m ，消去y 得，(2＋k 2)x 2＋2mkx ＋m 2－4＝0，Δ＝(2mk )2－4(2＋k 2)(m 2－4)>0由韦达定理知⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2mk 2＋k 2，x 1·x 2＝m 2－42＋k2.又AP →＝2PB →，即有(－x 1，m －y 1)＝2(x 2，y 2－m )，∴－x 1＝2x 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－x 2，x 1x 2＝－2x 22，∴m 2－42＋k 2＝－2⎝⎛⎭⎫2mk 2＋k 22，整理得(9m 2－4)k 2＝8－2m 2，又9m 2－4＝0时不成立，所以k 2＝8－2m 29m 2－4>0，得49<m 2<4，此时Δ>0，所以m 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－2，－23∪⎝⎛⎭⎫23，2. 31．已知椭圆的中心在原点，它在x 轴上的一个焦点F 与短轴的两个端点B 1，B 2的连线互相垂直，且这个焦点与较近的长轴的端点A 的距离为10－5，求这个椭圆的方程．[解析] 由于椭圆中心在原点，焦点在x 轴上，可设其方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)．由椭圆的对称性知，|B 1F |＝|B 2F |，又B 1F ⊥B 2F ，因此△B 1FB 2为等腰直角三角形，于是|OB 2|＝|OF |，即b ＝c .又|F A |＝10－5即a －c ＝10－5，且a 2＋b 2＝c 2.将以上三式联立，得方程组，⎩⎪⎨⎪⎧b ＝c a －c ＝10－5a 2＝b 2＋c 2，解得⎩⎨⎧a ＝10b ＝5.所求椭圆方程是x 210＋y 25＝1.32.椭圆E 经过点A (2,3)，对称轴为坐标轴，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率e ＝12.(1)求椭圆E 的方程；(2)求∠F 1AF 2的角平分线所在直线的方程．解析 (1)由题意可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，∵e ＝12，即c a ＝12，∴a ＝2c ，又b 2＝a 2－c 2＝3c 2，∴椭圆方程为x 24c 2＋y 23c 2＝1.又∵椭圆过点A (2,3)，∴44c 2＋93c 2＝1，解得c 2＝4，∴椭圆方程为x 216＋y 212＝1. (2)法一：由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1的方程y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0，直线AF 2的方程为x ＝2.设P (x ，y )为角平分线上任意一点，则点P 到两直线的距离相等．即|3x －4y ＋6|5＝|x －2|，∴3x －4y ＋6＝5(x －2)或3x －4y ＋6＝5(2－x )，即x ＋2y －8＝0或2x －y －1＝0.由图形知，角平分线的斜率为正数，故所求∠F 1AF 2的平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法二：设AM 平分∠F 1AF 2，则直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称．由题意知直线AM 的斜率存在且不为0，设为k . 则直线AM 方程y －3＝k (x －2)．由(1)知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴直线AF 1方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0.设点F 2(2,0)关于直线AM 的对称点F 2′(x 0，y 0)，则⎩⎨⎧y 0x 0－2＝－1k ，y2－3＝k (x 0＋22－2)，解之得F 2′(－6k ＋2k 2＋21＋k 2，61＋k 2)．∵直线AF 1与直线AF 2关于直线AM 对称，∴点F 2′在直线AF 1上．即3×－6k ＋2k 2＋21＋k 2－4×61＋k 2＋6＝0.解得k ＝－12或k ＝2.由图形知，角平分线所在直线方程斜率为正，∴k ＝－12(舍去)．故∠F 1AF 2的角平分线所在直线方程为2x －y －1＝0.法三：∵A (2,3)，F 1(－2,0)，F 2(2,0)，∴AF 1→＝(－4，－3)，AF 2→＝(0，－3)，∴AF 1→|AF 1→|＋AF 2→|AF 2→|＝15(－4，－3)＋13(0，－3)＝－45(1,2)，∴k l ＝2，∴l ：y －3＝2(x －2)，即2x －y －1＝0.33．(12·新疆模拟)已知椭圆G 的方程为x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)，它与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴正半轴交于C 点，点D (0,4)，若AC →·BC →＝－3，|BD →|＝2 5.(1)求椭圆G 的方程； (2)过点D 的直线l 交椭圆G 于M ，N 两点，若∠NMO ＝90°，求|MN |的长． [解析] (1)∵A (－a,0)、B (a,0)、D (0,4)、C (0，b )，AC →·BC →＝－3，|BD →|＝25，∴⎩⎨⎧(a ，b )·(－a ，b )＝－3a 2＋42＝25，∴a 2＝4，b 2＝1，∴椭圆G 的方程为x 24＋y 2＝1.(2)设M (x 1，y 1)，则有⎩⎪⎨⎪⎧x 21＋4y 21＝4，y 1－4x 1·y 1x 1＝－1.⇒x 1＝±253，y 1＝23，∴直线l 的斜率k ＝±5则直线l 的方程为y ＝±5x ＋4，由⎩⎨⎧y ＝±5x ＋4x 2＋4y 2＝4⇒21x 2±325x ＋60＝0，∴x 1＋x 2＝±32521，x 1x 2＝6021. ∴|MN |＝1＋k2(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝43021. 34．(2013·安徽理，18)设椭圆E ：x 2a 2＋y 21－a 2＝1的焦点在x 轴上．(1)若椭圆E 的焦距为1，求椭圆E 的方程；(2)设F 1、F 2分别是椭圆E 的左、右焦点，P 为椭圆E 上第一象限内的点，直线F 2P 交y 轴于点Q ，并且F 1P ⊥F 1Q ，证明：当a 变化时，点P 在某条定直线上．[解析] (1)因为焦距为1，所以2a 2－1＝14，解得a 2＝58.故椭圆E 的方程为8x 25＋8y 23＝1.(2)设P (x 0，y 0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，其中c ＝2a 2－1.由题设知x 0≠c ，则直线F 1P 的斜率k F 1P ＝y 0x 0＋c.直线F 2P 的斜率k F 2P ＝y 0x 0－c .故直线F 2P 的方程为y ＝y 0x 0－c (x －c )．当x ＝0时，y ＝cy 0c －x 0，即点Q 坐标为(0，cy 0c －x 0)． 因此，直线F 1Q 的斜率为k F 1Q ＝y 0c －x 0.由于F 1P ⊥F 1Q ，所以k F 1P ·k F 1Q ＝y 0x 0＋c ·y 0c －x 0＝－1.化简得y 20＝x 20(2a 2－1)．① 将①代入椭圆E 的方程，由于点P (x 0，y 0)在第一象限，解得x 0＝a 2，y 0＝1－a 2，即点P 在定直线x ＋y ＝1上. 35．中心在原点O ，焦点在坐标轴上的椭圆与直线x ＋y ＝1交于A 、B 两点，M 为AB 的中点，直线OM 的斜率为22，且OA ⊥OB ，求椭圆的方程． [解析] 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2), M (x 1＋x 22，y 1＋y 22)．椭圆方程为ax 2＋by 2＝1(a >0、b >0，a ≠b )由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，ax 2＋by 2＝1.消去y 得，∴(a ＋b )x 2－2bx ＋b －1＝0.∴x 1＋x 22＝b a ＋b ，y 1＋y 22＝1－x 1＋x 22＝a a ＋b .∴M (b a ＋b ，a a ＋b )，∵k OM ＝22，∴b ＝2a .①∵OA ⊥OB ，∴y 1x 1·y 2x 2＝－1，∴x 1x 2＋y 1y 2＝0.∵x 1x 2＝b －1a ＋b ，y 1y 2＝(1－x 1)(1－x 2)＝1－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝1－2b a ＋b ＋b －1a ＋b ＝a －1a ＋b .∴b －1a ＋b ＋a －1a ＋b＝0，∴a ＋b ＝2.②由①②得a ＝2(2－1)，b ＝2(2－2)．∴所求方程为2(2－1)x 2＋2(2－2)y 2＝1.36．设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点，设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．[解析] 显然直线x ＝0不满足题设条件，可设直线l y ＝kx ＋2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋2，x 24＋y 2＝1.消去y 整理得，(k 2＋14)x 2＋4kx ＋3＝0.∴x 1＋x 2＝－4k k 2＋14，x 1x 2＝3k 2＋14. 由Δ＝(4k )2－4(k 2＋14)×3＝4k 2－3>0，得k >32或k <－32.① 又0°<∠AOB <90°⇔cos ∠AOB >0⇔OA →·OB →>0.∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0. 又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4＝3k 2k 2＋14＋－8k2k 2＋14＋4＝－k 2＋1k 2＋14，∴3k 2＋14＋－k 2＋1k 2＋14>0，即k 2<4，∴－2<k <2.② 故由①②得－2<k <－32或32<k <2.。

椭圆定义的应用（习题课）教学设计学习目标：（1）深化对椭圆定义的理解，能在具体的情境中，识别椭圆，对给定的椭圆，会在焦点 PF1F2 中，应用“ PF1 PF2 2a ”（不变量）这一隐含条件解题；（2）理解解析几何两种语言（代数与几何）的联系与转化．复习：（1）椭圆定义： P 是焦点为 F1, F2 的椭圆上的任意一点，则 PF1 PF2 ；（2）两圆 F1, F2 （ F1, F2 为圆心）的半径分别为 r1, r2 ，两圆 F1, F2 外切 ；两圆 F1, F2 内切 ；（3） P 是线段 MN 垂直平分线上的一点，则 PM PN ．一、应用定义求椭圆方程学习指导：探寻 PF1 与 PF2 的联系1．已知 PF1F2 的周长是16 ， F1(3, 0) ， F2 (3, 0) , 则动点 P 的轨迹方程是A． x 2 y 2 1 B． x 2 y 2 1( y 0) C． x 2 y 2 1 D． x 2 y 2 1( y 0)25 1625 1616 2516 252．（课本习题）已知 F1(3, 0) ， F2 (3, 0) ，动点 P(x, y) 满足(x 3)2 y2 (x 3)2 y2 10 则动点 P 的轨迹是3．（课本 P49 习题 7 改编）已知 F1(3, 0) ， M 是圆y MF2 : (x 3)2 y2 100 ( F2 为圆心)上一动点， 线段 MF1 的垂直平分线交 MF2 于 P ， 求动点 P 的轨迹方程．PF1 O F2x4．求过点 F1(3, 0) ，且与圆 F2 : (x 3)2 y2 100 内切的动圆圆心 P 的轨迹方程．yPF2F1 Ox5．（课本 P54 习题 2 改编）已知两圆 F1 : (x 3)2 y2 1 ，yF2 : (x 3)2 y2 81 ，动圆 P 在圆 F2 的内部且和圆PF2 相内切，和圆 F1 相外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程．F1 O F2x二、利用椭圆的定义研究椭圆的有关性质学习指导：挖掘焦点 PF1F2 中的隐含条件6．(09北京高考改编)椭圆x2 25y2 16 1 的焦点为F1 ,F2，y PF1 OF2x点 P 在椭圆上，若| PF1 | 4 ，则| PF2 | ____ ； cos F1PF2 的小大为______ ．7．已知 ABC的两顶点 A,C 是椭圆 x2 y2 1 的二个焦点，顶点 B 在椭圆上， 25 16则 sin B sin A sin C8．椭圆x2 25y2 16 1 的焦点F1 ,F2，P为椭圆上的一点，已知 F1PF2 60 ，则 F1PF2 的面积为________y PF1 OF2x9．设 F1, F2 为椭圆x2 a2y2 b2 1(ab0) 的两个焦点，以 F1 为圆心且过椭圆中心的圆与椭圆的一个交点是 P ，若 F2 P 与圆 F1 相切，则椭圆的离心率为y P[课堂探究]F1O F2x10．（数学联赛）若P是以F1 ,F2为焦点的椭圆x2 25y2 161上的动点， A(1,3) 椭圆内的定点， PA PF2 的最小值与最大值分别是[归纳总结]y PAF1 OF2x[随堂检测](见投影) [落实与提升] 1．如图 ABCD 是边长为 2 的正方形，则以 A, B 为焦点，且过C, D 的椭圆的离心率为yDCAO Bx2．已知定圆 A : (x 3)2 y 2 16, 圆心为 A ，动圆 M 过点B( 3,0) ，且和圆 A 相切，动圆的圆心 M 的轨迹记为 C ，则曲线 C 的方程为．3．如图，椭圆 C :x2 25y2 9 1 上的动点为 M，左焦点为 F1 ， N为 MF1 的中点，试探究 Ny点的轨迹是否是椭圆？ 若是，求它的离心率；若不是，说明理由．M4．如图，把椭圆 x2 y2 1 的长轴 AB 分成 8 等份，过 25 16N F1 OF2x每个分点作 x 轴的垂线交椭圆的上半部分于 P1, P2 , P3,P4 , P5 , P6 , P7 七个点， F 是椭圆的一个焦点，则P1F P2F P3F P4F P5F P6F P7F 5．（上海高考）设F1,F2分别是椭圆x2 a2y2 b2 1(ab0) 的两个焦点， P 是椭圆上的一点，且 PF1 PF2 0 ，若 PF1F2 得面积为 9 ，则 b [勇攀高峰]学习指导：先找“不变量”，再进行转化1．（希望杯）F1、F2是椭圆x2 25y2 16 1 的左、右焦点，点P在椭圆上运动，则 |PF1||PF2|的最大值是．2．（数学联赛）设 P 为 x2 y 2 1 上的动点， M , N 分别25 16是圆 F1 : (x 3)2 y2 1 和圆 F2 : (x 3)2 y2 4 上的动点，则 PM PN 的最小值为y PM NF1 OF2x3. （数学联赛预选）已知正方形 ABCD的坐标分别是 (1, 0) , (0,1) , (1, 0) ， (0, 1) ，动点M满足： kMB kMD1 2，则MAMC．4.（数学联赛题）点 P 是椭圆 x2 y2 25 16 1 上一点，F1 ,F2 是椭圆的两个焦点，且 PF1F2 的内切圆半径为1，当 P 在第一象限时， P 点的纵坐标为．5．（俄罗斯考题）在 ABC 中， BC 6 ， AB AC 10 ，则 ABC 面积的最大值为6．（湖北考题）已知F1, F2是椭圆x2 2y2 1的两个焦点，点P(x0 ,y0 ) 满足0x02 2y02 1，则PF1PF2的取值范围为[科学探索] 一圆形纸片的圆心为点 O ,点 F 是圆内异于 O 点的一定点，点 M 是圆周上一点.把纸片折叠使点 M 与 F 重合，然后展平纸片，折痕与 OM 交于 P 点，将折痕用笔画上颜色，继续上述过程，当点 M 绕圆心一周，经观察，点 P 的轨迹是椭圆．早期数学家试图证明这个结论，都无果而终，你能用所学知识给出证明吗？M OFPM OF。