数学史期末复习资料
数学史的三大危机：初等：
第一次危机：毕达哥拉斯学派主张←万物皆数（有理数）→无理数→欧多克斯→
近代（17C）：第二次：微积分→极限→柯西→运动与变化→函数
现代（19C下半叶）：第三次危机：罗素悖论（集合）→公理化
0-数学史
1.数学史的分期通常采用的线索：（1）按时代顺序（2）按数学对象、方法等本身的质变过程（3）按数学发展的社会背景。
2.数学史的四个分期：I数学的起源与早期发展（萌芽时期，公元前6世纪前）II初等数学时期（公元前6世纪-16世纪）
（1）古希腊数学（公元前6世纪-16世纪）
（2）中世纪东方数学（3世纪-15世纪）
（3）欧洲文艺复兴时期（15世纪-16世纪）
III近代数学时期（或称变量数学建立时期，17世纪-18世纪）
IV现代数学时期（1820-现在）
（1）现代数学酝酿时期（1820-1870）
（2）现代数学形成时期（1870-1940）
（3）现代数学繁荣时期（或称当代数学时期，1950-现在）
3.使用位值制的两种数字：巴比伦楔形数字和中国筹算数码。
最早使用位值制的国家是古巴比伦，最早使用十进制位值得国家是中国。
4.埃及数学：古埃及人用纸莎草书写，关于古埃及数学知识主要依据莱茵德纸草书和莫斯科纸草书。
5.美索不达米亚数学：主要著作泥版文书。
2.古代希腊数学
1.泰勒斯证明了四条定理：(1)圆的直径将圆分为两个相等的部分
(2)等腰三角形两底角相等
(3)两直线相交形成的对顶角相等
(4)如果一三角形有两角、一边分别与另一三角形的对应角、边相等，那么这两个三角形全等。
他是最早的希腊数学家和古希腊论证几何学鼻祖。
2.毕达哥拉斯学派的基本信条是：万物皆数。
毕达哥拉斯可公度量：对于任何两条给定的线段，总能找到某第三线段，以它为单位线段能将给定的两条线段划分为整数段。
3.普鲁塔克的面积剖分法证明勾股定理。
4..雅典时期的希腊数学学派：（1）伊利亚学派（2）诡辩学派
（3）雅典学院（柏拉图学派）（4）亚里士多德学派
5.三大几何问题：（1）化圆为方，即做一个与给定面积相等的正方形。
诡辩学派安提丰，提出了用圆内接正多边形逼近圆面积的方法来化圆为方---穷竭法。
（2）倍立方体，即求作一个立方体，使其体积等于已知立方体的两倍。
梅内赫莫斯，圆锥曲线
（3）三等分角，即分任意角为三等分。
6.逻辑演绎结构的倡导：柏拉图、亚里士多德
7.欧几里得与《原本》
（1）公设：a.假定从任意一点到任意一点可作一直线
b. 一条有限直线可不断延长
c.以任意中心和直径可以画圆
d. 凡直角都彼此相等
e. 若一直线落在两直线上所构成的同旁内角和小于两直角，那么把两直线无限延长，它们将在同旁内角和小于两直角的一侧相交。
（2）公理：a .等于同量的量彼此相等
b.等量加等量，和相等
c.等量减等量，差相等
d.彼此重合的图形是全等的
e.整体大于部分
（3）比例论，它代表了《原本》的最大成就，因为它在当时的认识水平上消除了由不可公度量引起的数学危机。
8.阿基米德的数学著作集中探讨与面积和体积计算相关的问题，在《圆的度量》中，阿基米德将穷竭法应用于圆的周长和面积公式。
9.阿波罗尼奥斯：《圆锥曲线论》
10.三角学的建立最卓越的代表人物托勒玫，它的著作总结了在他之前的古代三角学知识，为三角学的进一步发展和应用奠定了基础。
丢番图：《算术》帕波斯：《数学汇编》
3.中世纪的中国数学
1.中国数学先后经历了三次发展高潮，即两汉时期、魏晋南北朝时期以及宋元时期，其中宋元时期达到中国古典数学的顶峰。
2.《九章算术》采用问题集的形式，全书共246个问题，分成九章，依次为：方田，粟米，衰分，少广，商功，均输，盈不足，方程，勾股。
其中包含的数学成就是丰富和多方面的。
3.壍堵（底面为直角三角形的正柱体）；阳马（底面为长方形而有一棱与底面垂直的椎体）；鳖臑（底面为直角三角形而有一棱与底面垂直的椎体）。
4.刘徽最突出的成就：割圆术和体积理论。
著作：《九章算术注》、《海岛算经》
5.祖冲之，代表性著作是《缀术》，他算出圆周率数值上下限3.1415926（朒数）<π<3.1415927（盈数）
(2)祖式原理：出入相补原理；幂势既同，则积不容异。
6.《缉古算经》是十部算经中年代最晚的一部。
7、宋元四大家：杨辉、秦九韶、李治、朱世杰
秦九韶代表作《数书九章》
8.首先系统阐释天元术的是李冶：《测圆海镜》、《益古演段》。
四元术最早出现在朱世杰的《四元玉鉴》中。
“天”“地”“人”“物”。
4.印度与阿拉伯数字
1.印度是最早用圆圈符号表示零的国家和最早使用数字。
用圆圈符号“0”表示零，可以说是数学史上的一大发明。
2.“悉檀多”时期：阿耶波多，婆罗摩笈多，玛哈维拉，婆什伽罗。
（1）阿耶波多建立丢番图方程求解所谓“库塔卡”方法。
（2）玛哈维拉，《计算方法纲要》
（3）婆什伽罗《莉拉沃蒂》、《算法本源》
3.花拉子米，“代数学”这个词最早出现在他的《还原与对消计算概要》中。
5.近代数学的兴起
1.欧洲黑暗时期过后，第一位有影响的数学家是斐波那契。
2.卡尔丹公布了所有三次方程的解法。
费拉里，解决了四次方程。
韦达，数学符号系统化。
笛卡尔，完成对韦达所使用的代数符号的改进工作。
他首先用拉丁字母的前几个表示已知量（a、b、c…）后几个表示未知量（x、y、z…）
3.富有文艺复兴特色的透视学的兴起是由于文艺复兴时期绘画、制图中提出的这类问题的刺激。
4.纳皮尔，首先发明对数方法。
布里格斯：“常用对数”
5.解析几何：1.定义：用代数方法解决几何问题
诞生及其意义：①最重要的前驱：奥雷斯姆《论形态幅度》
②但解析几何的真正发明归功于笛卡尔和费马；笛卡尔发表《方法论》，解析几何的发明包含在《几何学》这篇附录中，笛卡尔的出发点是一个著名的古希腊数学问题——帕波斯问题。
6.费马工作的出发点是竭力恢复失传的阿波罗尼奥的《论平面轨迹》，他为此而写了一本题为《论平面和立体的轨迹引论》，书中清楚地阐述了费马的解析几何原理。
6.微积分的创立
1.与积分学相比而言，微分学的起源则要晚得多。
2.半个世纪的酝酿：
②卡瓦列里不可分量原理：计算出许多立体图形的体积。
③笛卡尔《在几何学》中提出了求切线的所谓圆法，本质上是一种代数方法。
④费马在一份手稿中提出了求极大值与极小值的代数的方法。
⑤巴罗给出了求曲线切线的方法，《几何讲义》。
3.《流数简论》是历史上第一篇系统的微积分文献。
4.牛顿微积分学说最早公开在1687年出版的力学名著《自然哲学的数学原理》，成为数学史上划时代的著作。
5.1684年莱布尼茨发表了他的第一篇微分学论文《一种求极大值与极小值和求切线的新方法》，是数学史上第一篇正式发表的微积分文献。
7—15
1.欧拉在1748年出版的《无限小分析引论》以及《微分学》和《积分学》引进一批符号：f（x）——函数符号∑——求和号
e ——自然对数底i ——虚数单位
2.布莱尼茨首先使用了函数这一术语。
3.学习数学史的意义：（1）可以丰富课堂内容：由于数学史揭示数学知识的来源于应用，因此可以将它运用于课堂导入、课堂活动资源或后续的拓展性学习等。
（2）用来促进学生对知识本质的理解：数学史展示数学知识的起源、形成、与发展过程，诠释数学的源流。
（3）用来解决学生学习过程中出现的问题。
（4）可以树立学生学习数学的信心，增强民族自豪感：通过阅读数学家们在成长过程中遭遇的挫折，使同学能够正确看待学习过程中的困难。
4.（特例）非欧几何代表人物，高斯、波约、罗巴切夫斯基（非欧几何之父）。
5.柯西：《分析教程》、《无限小计算教程概论》。
6.魏尔斯特拉斯关于分析严格化的贡献使他获得了“现代分析之父”的称号。
7.20世纪纯粹数学的发展表现出如下主要的特征或趋势：
①更高的抽象性；②更强的统一性；③更深入的基础探讨。
8.希尔伯特提出的23个数学问题，是20世纪前半叶数学研究的主要方向。
9.第三次数学危机：产生：罗素的悖论。
消除：策梅洛-弗兰克尔公理系统。
通过对集合类型加以适当限制，达到了避免罗素悖论的目的。
10.数学基础的三大学派：（一）逻辑主义：罗素（二）直觉主义：布劳威尔
（三）形式主义：希尔伯特
11.第一台能做加减运算的机械式计算机是由帕斯卡发明的。
12.EDVAC方案，史称“101页报告”（冯·诺依曼）
13.1976年以后，中国数学家吴文俊开辟了一条定理机器证明的代数化途径。
吴文俊被称为“中国人工智能之父”。
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