二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案
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二次函数动点问题解答方法技巧含例解答案
文档编制序号:[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
函数解题思路方法总结:
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程;
⑵ 求二次函数的最大(小)值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式;
⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax2+bx+c=0中a,b,c 的符号,或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置,要数形结合;
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式,二次三项式ax2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数;下面以a >0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系:
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形,考查问题也是特殊图形,所以要把握好一般与特殊的关系;分析过程中,特别要关注图形的特性(特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。) 动点问题一直是中考热点,近几年考查探究运动中的特殊性:等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍,解题方法、关键给以点拨。
二、 抛物线上动点
5、(湖北十堰市)如图①, 已知抛物线32++=bx ax y (a ≠0)与x 轴交于点A (1,0)和点B (-3,0),与y 轴交于点C . (1) 求抛物线的解析式;
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ,问在对称轴上是否存在点P ,使△CMP 为等腰三角形若存在,请直接写出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在,请说明理由.
(3) 如图②,若点E为第二象限抛物线上一动点,连接BE、CE,求四边形BOCE面积的最大值,并求此时E点的坐标.
注意:第(2)问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时,以C为圆心CM为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,②M为顶点时,以M为圆心MC为半径画弧,与对称轴交点即为所求点P,③P为顶点时,线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第(3)问方法一,先写出面积函数关系式,再求最大值(涉及二次函数最值);方法二,
共同点:
⑤探究存在
性问题时,
先画出图
形,再根据
图形性质探
究答案。
二次函数
的动态问
题(动
点)
1.如图,已知
C与
抛物线
1
坐标轴的交点依次是(40)
E,.
A-,,(20)
B-,,(08)
(1)求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式;
(2)设抛物线1C 的顶点为M ,抛物线2C 与x 轴分别交于C D ,两点(点C 在点D 的左侧),顶点为N ,四边形MDNA 的面积为S .若点A ,点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动;与此同时,点M ,点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动,直到点A 与点D 重合为止.求出四边形
MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式,并写出自变量t 的取值范围; (3)当t 为何值时,四边形MDNA 的面积S 有最大值,并求出此最大值;
(4)在运动过程中,四边形MDNA 能否形成矩形若能,求出此时t 的值;若不能,请说明理由. [解] (1)点(40)A -,,点(20)B -,,点(08)E ,关于原点的对称点分别为(40)D ,,(20)C ,,(08)F -,. 设抛物线2C 的解析式是
2(0)y ax bx c a =++≠,
则16404208a b c a b c c ++=⎧⎪
++=⎨⎪=-⎩
,,. 解得168a b c =-⎧⎪
=⎨⎪=-⎩
,,.
所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-. (2)由(1)可计算得点(31)(31)M N --,,,. 过点N 作NH AD ⊥,垂足为H .
当运动到时刻t 时,282AD OD t ==-,12NH t =+.
根据中心对称的性质OA OD OM ON ==,,所以四边形MDNA 是平行四边形. 所以2ADN S S =△.
所以,四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++. 因为运动至点A 与点D 重合为止,据题意可知04t <≤. 所以,所求关系式是24148S t t =-++,t 的取值范围是04t <≤.
(3)781
444
S t ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,(04t <≤).
所以74t =
时,S 有最大值814
. 提示:也可用顶点坐标公式来求.
(4)在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形.
由(2)知四边形MDNA 是平行四边形,对角线是AD MN ,,所以当AD MN =时四边形MDNA 是矩形.
所以OD ON =.所以2222OD ON OH NH ==+.
所以22420t t +-=.解之得1222t t ==-,(舍).
所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形,此时2t =-.
[点评]本题以二次函数为背景,结合动态问题、存在性问题、最值问题,是一道较传统的压轴题,
能力要求较高。
2. (06福建龙岩卷)如图,已知抛物线23
4
y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ,,三点,点A 的横坐
标为1-,过点(03)C ,的直线3
34y x t =-+与x 轴交于点Q ,点P 是线段BC 上的一个动点,PH OB
⊥于点H .若5PB t =,且01t <<.
(1)确定b c ,的值:__________b c ==,;
(2)写出点B Q P ,,的坐标(其中Q P ,用含t 的式子表示):
(______)(______)(______)B Q P ,,,,,;
(3)依点P 的变化,是否存在t 的值,使PQB △为等腰三角形若存在,求出所有t 的值;若不存
在,说明理由.