用“变”与“不变”思想进行数学复习

高三数学本真复习中的“联”“串”“变”高三数学复习以确保吃透课本、联通知识、悟透思想方法为主要复习目标，所以复习课的效益是一个值得研究的课题.然而综观当前的高三数学课堂，因居于功利性的需求和认识的偏差，去数学化现象十分普遍.在快速度、大容量、高难度的训练下，学生不可能达到在做中求悟、在悟中求道，更不可能从题目中提炼出有价值的问题并加以思考和探究.所以，即使师生每天都投入了大量的时间做数学题，但产生的效益不太明显，备考往往带给师生艰辛、苦涩、失败的感觉，经常出现学生一学就懂、一考就懵、一用就空的现象.如何走出高三数学复习的困境？如何重构理性课堂的“本真”生态？笔者结合自己的实践谈高三本真复习的三点做法.一、联中索源，深化知识结构波利亚说过：“从手头上的问题去寻找这样一些特征，它们在解决即将遇到的问题时可能是有用的，也就是努力去揭示隐藏在现在这一具体情况之后的一般模式.”回归基础、回归课本、回归事实是高三复习的有效举措.数学问题的分析要做到三联：一是知识块相联（联动知识网络，回归基础）；二是思想块相联（联想方法体系，回归课本）；三是现实块相联（联接生活实际，回归事实）.探寻数学问题的“源”与“流”就是要回到概念去，回到本质去解题.高三复习要充分利用好课本题这一鲜活的资源，把课本题讲好、变好、解好、练好. 通过对所做习题的课本索源，使学生在清晰双基的基础上牢固掌握常见的数学方法，使学生在深刻理解课本知识的同时更有效地形成知识网络和方法体系.本真的高三数学复习应注重问题的联系和题根的追索，通过寻找课本中的原型，搭建新旧知识的联结，在联系中深化知识结构.例1 如图1，两座建筑物AB，CD的底部都在同一个水平面上，且均与水平面垂直，它们的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD 的视角∠CAD=45°.（1）求BC的长度；（2）在线段BC上取一点P（点P与点B，C不重合），从点P看这两座建筑物的视角分别为∠APB=α，∠DPC=β，问点P在何处时，α+β最小？解析：（1）作AE⊥CD，垂足为E，则CE=9，DE=6，设BC=x，则tan∠CAD=tan（∠CAE+∠DAE）==1.化简得x2-15x-54=0，解之得，x=18或x=-3（舍）.（2）设BP=t，则CP=18-t（00，f（t）是增函数，所以，当t=15-27时，f （t）取得最小值，即tan（α+β）取得最小值，因为-t2+18t-135<0恒成立，所以f（t）<0，所以tan（α+β）<0，α+β∈（，π），因为y=tanx在（，π）上是增函数，所以当t=15-27时，α+β取得最小值.点评：通过对本题的索源，可以发现它的根在课本中，并且在解决问题的途径上有一定的模式可循. 因此，在讲题时必须把有关的题同时进行研究，撩开披在考题上的神秘面纱，通过联系母题，梳理此类问题的一般解法，揭示问题的内在本质和一般规律，这不仅能让学生在研究中得益，同时能继续挖掘学生的学习潜能，深入开发学生的非智力因素.索源一如图2，两座建筑物AB，CD的高度分别是9m和15m，从建筑物AB的顶部A看建筑物CD的视角∠CAD=45°，求建筑物AB，CD的底部之间的距离BD.索源二某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：m），如图3，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β.（1）该小组已经测得一组α，β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d （单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度.若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？教材是高考数学命题的源泉，源于教材高于教材的命题原则是一个不变的旋律.联中索源需要我们做有心人，做有心事.教材、过去的高考以及高考模拟题提供了很多规范和具有发展功能的典型习题，许多试题的源头来自同一知识点和方法点，只要我们用“慧眼”去辨析、比较、选择，以不变应万变，陈题新做，对经典试题或纵向拓展延伸，或横向迁移组合，进行有效地整合和创新，其复习功效定能以一当十.二、串中见奇，活化能力水平高三数学复习中，要处理好讲与练的关系，解决从何处下手，向何方前进这两个基本问题.及时将基础知识串联成一个系统，形成知识链.题目的整合要注意三串：一是同形异质题（串成思维链，比较方法）；二是同质异形题（串成题目链，比较模式）；三是同法异域题（串成模块链，比较思想）.通过对例题的选择与设计，做到低起点、多梯度、立意高，以利于训练解题速度，便于训练解题规范，便于寻找解题规律，便于比较解题方法.本真的高三复习强调认真对课本概念进行研磨，整合有关知识内容，由彼及此，由此及类，在知识的交汇处设计习题串，将问题进行到底，通过“有限个问”来获取“无限个思考”，用集约化的问题将知识串联起来、方法比较开来.这样通过同一问题中的不同目标指向，在形与质的异同的识别中反思，通过对形同质异和形似质异的问题进行归类，根据学生的反馈生成有效的子问题，以帮助学生回顾、理解、把握数学概念的最核心内容.以复习“圆的性质”为例，可设计如下模型进行问题串深入.例2 已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=1，C是圆心，P点的坐标为（2，-1），过点P作圆C的切线，切点为A，B.求：（1）直线PA，PB的方程为；（2）过Q（，0）的直线l被圆C截得弦长为，则直线l的方程为；（3）四边形PACB 的外接圆方程为；（4）直线AB的方程为；（5）弦AB的长为；（6）·的值为；（7）△PAB的面积.变式1：如图4，已知圆C：（x-1）2+（y-2）2=1，点P在圆外，过点P作圆C的切线，切点为A，B.求·的最小值.变式2：如图5，已知P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆C：（x-1）2+（y-2）2=1的两条切线，A，B是切线，C是圆心，求△PAB面积的最小值.变式3：如图6，已知圆M：（x-1）2+（y-2）2=1，M是圆心，点P的坐标为（，），过点P且互相垂直的两条直线AC，BD，交圆C于A，B，C，D.（1）圆心到直线AC，BD的距离为d1，d2，求d1的范围；（2）证明：d12+d22为定值；（3）求四边形ABCD面积的最值.本题从一个模式背景出发，构建了不同的目标求解指向，实现了以一题为载体，深入浅出，举一反三和延伸拓展，强化对知识的融会贯通，对能力水平的活化，实现了由远及近，由近及远的质变.知识的串化应在主干上进行设计，在考查的重点、学生掌握的难点处设计，模型不宜多，起点宜低，要有利于面上拓展，有利于纵向深入.问题是教与学的载体，一个好问题，就是好的学习内容和深入探究的切入点，要活化学生的能力，就需要更多的题组串联.三、变中出彩，优化思维品质高三复习题的选编要体现变化和层次性，否则习题会变得简单重复，学生作业也变得平铺直叙. 一旦到了高考，由于没有题目背景和相应的知识框架，往往会在相近的知识点和方法之间混淆，从而在解题思路上迷失.高三数学题目的讲练要注意三变：一是条件形式变（变成异形题，培养实践能力）；二是所问结论变（变成开放题，培育创新意识）；三是背景呈现变（变成新颖题，培育应用意识）.本真高三复习强调将题目进行适度变化，并通过“咬文嚼字”进行相互比较研究，展示知识之间的内在联系和细微差别，挖掘出许多结论，从而在方法上做到举一反三，加深对数学本质的认识，提高了数学的解题能力.这不仅可以拓展思维，优化思维品质，同时还有助于提高自身的思维能力和分析问题、解决问题的能力，有助于提高对数学的认识，培养学生的创新意识和实践能力.例3 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-（6-2m）x-4mx+5m2-6m=0，直线l经过点（1，0），若对任意的实数m，直线l被圆C截得的弦长为定值，则直线l的方程为________.解法1：如图7，从形的角度：圆C可化为（x-（3-m））2+（y-2m）2=9，圆心（3-m，2m）在直线y=-2x+6上，要圆心到过点（1，0）直线的距离为定值，就要使此直线与y=-2x+6平行，所以，所求的直线方程为：y+2x-2=0.解法2：从数的角度：由题意可设过点（1，0）的直线为y=k（x-1），d=与m无关的话，k=-2.解法3：从任意恒成立的角度，可让m=0，m=3，只让过（1，0）的直线截得的弦长相等就可以了，当m=0时，圆C：（x-3）2+y2=9.当m=3时，圆C：x2+（y-6）2=9，过点（1，0）直线y=k（x-1），=，∴k=-2或6，显然可排除6，即k=-2.变式：在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：x2+y2-2mx-2my+3m2=0，其中m∈R，m≠0.对任意的非零实数m，是否存在定直线与圆C总相切？若存在，求出所有定直线的方程；若不存在，说明理由.变式题和例3相比，虽然题目呈现方式相差不多，但从本质上是有区别的，这是因为两圆的半径有定和不定之分，决定了所求直线的平行与相交.事实上，从变式的特殊情形来解的话，当m=0时，圆变为一个点，所以，如果直线要和圆相切，就必须通过原点，此时在直线y=x上任取一点圆心C（m，m），根据半径为|m|，利用几何性质即可求解.变式训练是促成技能形成、熟练的最有效手段，通过变式设计，改变设问、类比猜想，运用加强或弱化条件、引进参数等手段展开探究，可以发挥习题的辐射作用，促进技能性思维定势的正迁移，提高教学的有效性.变式可以使学生获得对概念的多角度理解，进而建立新概念与已有概念的本质联系；通过变式能展示知识的发生、发展和形成的过程，从而理解知识的来龙去脉，形成知识网络，抓住问题的本质，加深对问题的理解.高三数学复习是一种智慧的劳动，这样的劳动绝不是每天面对堆积如山的试卷，每天有做不完的试题，批不完的试卷，而是更多富有成效的思考.我们只有抓牢“联”“串”“变”，才能实现教学质量和教学效益的最大化.。

小学数学变与不变思想汇报一、引言在小学数学学习中，变与不变是一个非常重要的思想。

通过学习变与不变，可以帮助学生建立科学的数学观念，提高数学思维能力。

本文将从什么是变与不变、变量的概念、变与不变在数学中的应用等方面进行探讨。

二、什么是变与不变变与不变是数学中非常重要的概念。

所谓变，就是指事物或数值在一段时间内发生改变，而不变则是指事物或数值在一段时间内保持不改变。

在数学中，我们常常需要研究某一变量在相应条件下是如何变化的，同时也要注意其中的固定部分，即不变。

三、变量的概念变量在数学中起到非常重要的作用，通俗地说，变量就是一个可以变化的量。

在数学中，变量一般用字母表示，例如常见的变量有x、y、n等。

变量可以代表一个数，也可以代表一种关系。

例如，我们可以用x表示小华的年龄，当小华长大时，x的值也会发生变化。

四、变与不变在数学中的应用变与不变的思想在数学中有着广泛的应用，下面以几个具体的例子来说明：1. 代数中的变与不变在代数中，通过引入变量，我们可以研究各种关于未知数的问题。

例如，a(x+y)=ax+ay，这个等式中的a是一个不变的常数，而x、y是变量。

2. 几何中的变与不变在几何学中，我们经常研究图形的变化规律。

例如，不论一个长方形的长和宽怎么变化，其周长和面积的计算公式是不变的。

这就是变与不变在几何学中的应用。

3. 统计学中的变与不变在统计学中，我们需要研究变量之间的关系。

例如，当我们比较不同班级学生的数学成绩时，数学成绩是一个变量，而班级是一个不变因素。

五、总结变与不变是数学中非常重要的思想，通过学习变与不变，可以帮助学生建立正确的数学观念，提高数学思维能力。

希望同学们在今后的学习过程中能够充分理解和应用这一重要思想，提升自己的数学水平。

以上就是关于小学数学变与不变思想的汇报，希望能对大家有所帮助。

高三数学复习备考计划建议（通用9篇）高三数学复习备考计划建议（通用9篇）高三数学复习备考计划建议篇1一、抓《考试说明》与信息研究第二轮复习中，不可能再面面俱到。

要在复习中做到既有针对性又避免做无用功，既减轻学生负担，又提高复习效率，就必须认真研究《考试说明》，吃透精神实质，抓住考试内容和能力要求，同时还应关注近三年的高考试题以及对试题的评价报告，捕捉高考信息，吸收新课程的新思想、新理念，从而转化为课堂教学的具体内容，使复习有的放矢，事半功倍。

二、突出对课本基础知识的再挖掘近几年高考数学试题坚持新题不难，难题不怪的命题方向。

强调对通性通法的考查，并且一些高考试题能在课本中找到“原型”。

尽管剩下的复习时间不多，但仍要注意回归课本，只有透彻理解课本例题，习题所涵盖的数学知识和解题方法，才能以不变应万变。

当然回归课本不是死记硬背，而是抓纲悟本，引导学生对着课本目录回忆和梳理知识，对典型问题进行引申，推广发挥其应有的作用。

三、加强客观题的解题速度和正确率的强化训练选择、填空题都是客观试题，它的特点是：概念性强、量化突出、充满思辨性、形数皆备、解法多样形、题量大，分值高，实现对“三基”的考查。

每次小题训练应不断强化自己选择题的解法，如特值法、数形结合等，另外，在解答一道选择题时，往往需要同时采用几种方法进行分析、推理，只有这样，才会在高考时充分利用题目自身提供的信息，化常规为特殊，避免小题大作，真正做到准确和快速。

通过训练，要达到这样一个目的：大部分同学都能在45分钟以内完成十道选择题和五道填空题，并且失误控制在两题之内。

四、重视第二轮专题复习，提高解题能力第一轮复习重在基础，指导思想是全面、系统、灵活。

在抓好单元知识、夯实“三基”的基础上，注意知识的完整性、系统性，初步建立明晰的知识网络。

第二轮复习则是在第一轮的基础上，对知识进行巩固和强化，是数学解题能力大幅度提高的阶段。

其指导思想是巩固、完善、综合、提高。

小学数学教学中渗透“变与不变”思想方法的点滴思考作者：张朝明来源：《教师·下》2014年第07期《义务教育数学课程标准（2011版）》关于课程的总目标中指出，要让学生“学会独立思考，体会数学的基本思想和思维方式”。

数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映。

人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。

在变化中寻找不变的量是数学的一个重要思想方法，它广泛存在于小学数学之中。

下面具体谈谈我在小学数学教学中是怎样渗透“变与不变”这一思想方法的。

一、在“变与不变”中揭示概念、寻找规律、归纳性质在小学数学教学中，简单枚举推理（也叫做不完全归纳推理）是运用得较多的一种推理方法。

即从一些个别或者特殊事物出发，概括出一般性概念、规律或性质。

很多数学结论，都是先通过归纳推理得到结果，再辅以演绎推理加以证明。

比如，费马达定理、庞加莱猜想等，几百年前就发现了“结论”，直到20世纪末21世纪初才被数学界证明。

所以很多数学家都认为，数学结论是看出来的，而不是证出来的，看出来的数学结果不一定是正确的，但指引了数学研究的方向；而且看的过程表现出很大的创造性，这正是数学不断创造新成果的一种重要方式。

但问题是，到底该怎么去“看”呢？是否能更快更容易地“看出数学结论”呢？在教学中，我将“变与不变”这一隐含的思想外显，让学生在“看”这一活动中变得有的放矢。

在变与不变中揭示概念，可以让学生更好地抓住概念的本质特征。

例如：“梯形的认识”这一内容，不管四条边的长度怎么变化，四个角的大小怎么变化，只要抓住“只有一组对边平行的四边形”这个不变的本质，就能正确地认识“梯形”了。

至于小学数学教学中的一些规律或性质，几乎都可以让“变与不变”来指导我们进行归纳概括。

例如：在四年级“商不变的性质”这一节课中，学生在观察完一系列的算式后发现：被除数和除数变化了，但商不变，那么这里面隐藏了什么性质呢？学生在发现规律，归纳出性质以后，教师可以适当将这种隐性的方法凸显出来，明确指出以后可以用“什么变了，什么不变，变化的量是按照怎样的规律进行变化的”模式来进行归纳总结。

【关键词】小学数学；“变与不变”思想；应用【中图分类号】G623.5【文献标志码】A【文章编号】1004—0463（2020）23—0176—02“变与不变”思想是非常重要的数学思想，它在小学数学教学中的应用非常广泛。

在课堂教学中，教师应以“变”和“不变”为主线，让学生在变化的知识中找到“不变”的规律，促使学生深度学习，进而掌握最为本质的数学问题、数量关系和数学特点。

在探讨“变与不变”思想的作用、应用等外延之前，必须先弄懂到底什么是“变”，什么是“不变”。

毋庸置疑，“不变”的是在学习数学或运用数学知识解决问题时的各类定义、概念、法则、性质、规律与数量关系式等；而“变”的则是各类形式，是各类千变万化的对象，属于外延层面。

对低年级的小学生而言，课本上的知识是分散、冗杂的，他们对这些知识很难深刻理解。

作为教师，我们要想办法将知识讲得生动有趣、简洁明了，一定要着重讲“不变”的各类定义、概念、法则、性质、规律与数量关系式，将这一块的知识讲得深刻，让学生看清本质。

这样无论对象怎么发生变化，学生都能迎刃而解［1］。

万变不离其宗，对于教师来说，充分理解并且运用好“变与不变”思想对教学活动能起到事半功倍的效果。

下面，笔者结合教学实践，就“变与不变”思想在小学数学教学中的应用，谈谈自己的体会和看法。

一、揭示概念本质，掌握概念中的“不变”，以“不变应万变”数学每一章节的内容基本上都是围绕一个“不变”的定义、概念、法则、性质、规律或者数量关系式知识展开的，这就要求学生对每一章节的本质规律有一个深刻的认识和理解。

同时，要求学生熟读且熟记每一章节“不变”的核心知识点。

基于同一定义、概念、法则、性质、规律与数量关系式，可以衍生出成千上万个不同的题目和对象。

这一特点就决定了学生在学习过程中必须会灵活使用，否则对象一变，学生就不能正确解决问题。

以统编版数学二年级上册第五单元的“混合运算”一课的教学为例，这一个单元的知识是对一年级学习过的加减法的知识进行纵向拓展，它涉及的算式比以前的算式看起来要长、要复杂一些。

浅谈“变与不变”数学思想方法作者：陈夏芬来源：《新校园·中旬刊》2014年第12期摘要：本文阐述了“变与不变”思想方法的内涵及其数学地位，在此基础上探析了“变与不变”思想方法在小学数学教学中的具体应用。

关键词：变与不变;小学数学;教学思想一、“变与不变”思想方法的内涵苏格拉底认为，虽然特殊的事件或事物在某些方面变化或消逝，但它们的某些方面却是同一的，从不变化、从不消逝。

这句话很好地阐释了“变与不变”的哲学内涵。

“变与不变”是辩证存在的，如现象变、本质不变，局部变、整体不变，暂时变、最终不变等。

在思想方法中，对问题的思考，往往是既要考虑其变，也要考虑其不变，还要考虑两者的互换。

有些思考和思想的对象，往往是千变万化，令人眼花缭乱的，如果能抓住其本质，就可以以不变应万变，最终得以有效解决问题。

二、“变与不变”思想方法的数学地位数学思想蕴涵在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括。

数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映。

人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。

“变与不变”的思想方法，有利于解决错综复杂的问题，能透过现象看本质，根据局部把握全局等。

把“变与不变”运用到数学学习中去，可以做到举一反三，触类旁通。

因此“变与不变”思想方法具有深远的意义。

三、“变与不变”在小学数学教学中的具体应用1.在“变与不变”思想方法中掌握概念。

数学概念是数学学科知识的基础，掌握数学概念是搭起数学高楼的基石。

在“变与不变”中掌握概念，可以让学生更好地抓住概念的本质特征。

如在教学“平行四边形”这一概念的时候，通过操作与比较，让学生发现不论这个四边形的四条边怎么变，也不论四个角怎么变，只要把握住“两组对边分别平行的四边形就是平行四边形”这一不变的本质，就能正确认识“平行四边形”了。

2.在“变与不变”思想方法中探究规律。

规律是千变万化的，要透过现象看到事物的本质需要借助一定的方法和技巧。

师：这是一个长方形（图略），由3×2=6（个）正方形拼组而成，每个正方形的边长为1。

这个长方形的周长是多少？师：现在取走1个正方形（如图1。

注：本文插图均为示意图），你能提出什么数学问题？图1问题提出1：剩下新图形的周长是多少？问题提出2：图形的周长会变吗？师：请你来指一指、说一说，哪里减少了？哪里增加了？生1：可以这样补来补去（指图1），用“×”表示周长减少的部分，用“√”表示周长增加的部分。

可以看出，增加的部分与减少的部分正好相等，所以周长不变。

生2：增加的与减少的互相抵消了，所以周长不变。

教师操作课件，动态平移演示图形形状的变化，与原图相比，周长不变。

然后引导学生进行审辩，取走前后比较，图形大小、形状变了，周长不变。

（如表1）［1］表1变图形大小图形形状不变周长长度审辩1.平移思想在图形周长计算上的运用。

2.在角上取，周长不变。

师：从右上角取走1个正方形，周长不变。

仔细观察（指图2），你有什么发现？我们可以得出一个什么结论？学生类比推理，分别从4个角上取走1个正方形，各自周长不变。

引导学生用一句话归纳概括。

图2生：从任意角上取走1个正方形，周长不变。

设计意图：“从右上角取走1个正方形”是本节课研究的起点［2］。

减少正方形的个数，引起图形大小发生变化，同样图形形状也跟着发生变化。

通过运动平移转化，前后图形对比、辨析，引导学生关注图形大小（形状）变化与周长变化之间的相关性，深度理解“图形对应边的长度相等，那么图形的周长也相等”，全面观察分——“周长”单元拓展课教学实录◇畅东燕李怀军在问题提出中68析，发现规律，归纳概括，得出结论“从角上取走1个正方形，周长不变”，初步体会到周长与图形的大小之间没有必然的依存关系。

师：“从角上取走1个正方形，周长不变”，这句话中你觉得哪个词很重要？预设：角上（取的位置）、1个（取的数量）、周长不变（取的结果）。

师：你能改变（替换）其中一个关键词，提出一个新问题吗？问题提出3：取走中间的1个正方形，周长变不变？问题提出4：取走2个正方形，周长是多少？问题提出5：取走几个正方形，周长会变吗？……教师引导学生从取的位置和数量两方面对以上问题分类，确定问题解决的序列。

收稿日期：2021-01-15作者简介：段春炳（1973—），男，中学高级教师，主要从事初中数学教育教学研究.用变换思想引领几何问题解决的思考过程——“图形的变化及其应用”专题复习教学与反思段春炳，王红权（浙江省杭州市富阳区永兴学校初中部；浙江省杭州市基础教育研究室）在《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）中，“图形的变化”是“图形与几何”领域的三大模块之一，内容包含图形的轴对称、旋转、平移、相似和投影.浙教版《义务教育教科书·数学》（以下统称“教材”）中，将平移安排在七年级下册、轴对称安排在八年级上册、中心对称安排在八年级下册、旋转和相似安排在九年级上册、投影安排在九年级下册，整体安排呈螺旋式上升.由于时间跨度大，不同图形变化有不同的载体，因此，新课教学中不能很好地引导学生从整体性上对图形进行认识.作为中考复习，一方面，图形的变化复习重点要基于单元的整体性，提升学生对于图形的变化内容的理解和应用能力；另一方面，图形的变化贯穿了几何教学的全部内容，图形的性质一般是变换性质的反映，因此，可以用变换的思想去引领几何复习教学和几何问题的解决.一、图形的变化及对变换思想的理解1.对图形的变化内容的本质理解就平面几何而言，按照德国数学家F.克莱因于1872年提出的观点，平面几何是研究平面图形在运动、变化过程中的不变性质和不变量的科学.在轴对称、旋转和平移变换下保持任意两点之间的距离不变，这样的变换称为等距变换，等距变换也保持角的大小不变.在等距变换下，不改变图形的大小、形状和相对位置等，这些不变性正是我们所要研究的.在初中阶段，轴对称、平移和旋转是作为研究图形性质、关系的有力工具.正如《标准》中指出的要“探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形和圆的轴对称性质”“探索线段、平行四边形、正多边形和圆的中心对称性质”.通过这些图形对称性的探索能使学生更好地理解这些图形的性质.《标准》中还指出，要“认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形和中心对称图形”“认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用”“运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计”.事实上，图形的变化在计算机图形学、计算机辅助设计、机械工程、航空制造等领域都有广泛的应用.2.图形的变化中蕴涵的思想方法和育人价值轴对称、旋转、平移、相似和投影都是对图形运动变化下不变的量和不变的关系的研究.“变中不变”摘要：“图形的变化”是“图形与几何”领域的三大模块之一，内容贯穿初中三年的几何教学.图形的性质反映为在某种变换下保持不变的性质，从变换的视角考察图形的形成、结构和性质更能抓住问题的本质.在教学中，教师可以从单元整体视角设计系列探究活动，促进学生从整体上理解图形的变化的概念和性质，建立动态几何观念，灵活解决几何问题.关键词：图形的变化；变换思想；问题解决是图形变换的基本思想之一，这里的“变”通常是指图形的位置有规则的发生变化，“不变”是指图形经过变换后不变的关系和量，也称为不变量思想.通过图形的变化实现图形位置的转化，可以把一般情形转化为特殊情形，使分散的条件集中到一个三角形（或四边形等）中，使问题化难为易，体现了转化思想.轴对称图形、中心对称图形、旋转对称图形等由图形的一半（或部分）就能确定图形的另一半（或部分），利用一半（或部分）图形的信息解决问题就是对称思想，对称思想在图形的变化中体现的非常明显和直接.不同的图形变换，从定义到性质，再到应用，都有共通性，能很好地体现类比思想.图形的变化的内容有利于培养学生的“运动变化”“变中不变”等思想.在图形的变化的学习过程中积累的相关直观感知经验是培养学生空间想象、几何直观和动态几何观念的重要途径.在图形的变化内容的学习中，让学生感受图形的对称和数学的对称美，进而提升学生的数学审美能力.应用图形的变化的知识解决具体问题往往需要学生综合而灵活地应用所学知识，这对于培养学生的创新意识具有很好的作用.二、复习教学目标及整体设计“图形的变化”内容包括轴对称、旋转、平移、相似和投影，前三种都是全等变换.本文仅考虑轴对称、旋转和平移的综合复习.根据《标准》的要求，结合上述图形的变化的作用和地位，以及图形的变化中蕴涵的数学思想方法和育人价值，基于单元的教学设计，从宏观到中观，再走向微观，使抽象观念变为具体可操作的行为，确定图形的变化综合复习的教学目标如下.（1）从整体视角理解平移、旋转（中心对称）、轴对称的概念和性质，理解在这几种图形的变化下图形保持形状和大小不变的本质.（2）从图形的变化的视角理解图形的结构和性质.例如，等腰三角形有轴对称结构，也有旋转的结构（共端点，等线段）；等边三角形有轴对称结构，也有旋转对称结构；平行四边形有平移的结构，也有中心对称的结构，等等.（3）探索平移、旋转和轴对称三种变换之间的关系，进一步从整体上理解图形的变化的性质.（4）能灵活、综合应用图形的变化的性质解决具体问题，并从中感受应用图形的变化解决问题带来的简便和优美.（5）通过经历相关的探究活动，提高学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力.“图形的变化”内容的复习教学在整体上设计为如图1所示的四个板块.对图形的变化概念和性质的整体理解从图形的变化的视角理解图形的结构和性质从图形的变化之间的关系拓展提升理解应用图形的变化性质解决问题图1三、探究性活动的设计和实施1.基于单元整体的探究活动设计单元教学设计的特点要求从整体上构建反映数学本质的、有联系的和具有挑战性的系列探究活动，其设计框架如图2所示.教学定位探究活动设计系列探究活动探究活动实施数学本质理解育人价值分析确定单元目标整体性联系性挑战性探究活动1探究活动2探究活动3情境与问题思考与交流发现与证明应用与评价……图22.探究性活动的实施活动1:图形的变化性质的再探究.情境与问题：比较平移、旋转和轴对称这三种变换的性质，找出它们的相同点和不同点.在比较的过程中，你还有什么发现？思考与交流：学生通过独立思考和相互交流，得到这三种变换性质的相同点和不同点.具体如下表所示.从上表中可以看出，三种变换的相同点如下.（1）对应线段相等，对应角相等，对应图形全等.（2）所研究的对象是相同的，都是关于对应点、对应线（或线段）、对应角和对应图形.（3）基本性质都是关于对应点的，且是关于对应点与变换要素之间的关系.在平移变换中容易得到对应线段不仅相等，而且平行（或共线），那么在旋转和轴对称中，对应线段除了相等，是否还有其他的性质？发现与证明：在轴对称变换中，对应线段与对称轴平行（或共线），或对应线段的交点（对应线段延长线的交点）在对称轴上（即对称轴平分对应线段所夹的角）.在旋转中，对应线段（直线）的夹角等于旋转角.旋转的这个性质应用较为广泛，要求学生给出证明.学生从旋转作图方法的不同，给出了如图3和图4所示的两种情况的证明，证明过程略.l图3图4应用与评价：你能应用旋转的这个性质解决一些问题吗？试举例说明.如下面两道经典例题.例1如图5，△ABC 和△CDE 都是等边三角形，则AD =BE ，且AD 与BE 的夹角为60°.图5BC DEFA图6ABCD GFE例2如图6，在正方形ABCD 和正方形CEFG 中，则DE =BG ，且DE ⊥BG.虽然这两道例题都可以用全等的知识来证明，但是用旋转解释则非常直观.通过这个活动，学生进一步探究了图形的变化的性质及其应用，并且对图形的变化的认识更加整体和深入.平移、旋转和轴对称的共同性质反映了这三种变换的本质，这样全等和变换这两个知识模块就成为一个整体.在比较中，学生清楚地感受到研究图形的变化在方法上的一致性.例如，研究对象相同——都是研究对应点、对应线、对应角和对应图形；基本性质研究的角度相同——都是研究对应点与变换要素的关系，都是研究要素及相关要素（对应线、对应角）的数量关系和位置关系.这样获得的知识具有整体性和系统性，能更好地迁移到新的问题情境中去解决问题.【设计意图】通过类比引导学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题，并能应用在具体问题的解决中.这个探究过程进一步从整体上加深了学生对图变换图形要素基本性质其他性质平移AC BA ′B ′C ′平移方向；平移距离对应点连线段平行（或共线），且相等对应线段相等，对应角相等，对应图形全等旋转（中心对称）ABOA ′B ′旋转中心；旋转方向；旋转角度对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心连线所成的角相等轴对称A ′BC Al C ′B ′对称轴对应点的连线段被对称轴垂直平分形的变化性质的理解.活动2：从图形的变化的视角理解图形的结构和性质.情境与问题：观察几何画板软件的动画演示（如图7，图8），点沿着一个方向平移一定的距离得到一条线段，继续平移且不停止则得到一条射线；射线绕着端点逆时针旋转一定的角度得到一个角.试从一条线段出发，通过平移、旋转和轴对称中的一种或几种变换形成我们所熟悉的图形.图7ABPAB 图8思考与交流：学生边思考边在纸上尝试画图.然后交流展示.对于常见图形，学生能够从变换的视角理解它的形成与结构.例如，图9（1）为线段绕一个端点旋转一周形成圆；图9（2）为线段绕一个端点旋转一个角度形成等腰三角形；图9（3）为等腰三角形关于底边上的中线翻折产生直角三角形；图9（4）为等腰三角形关于底边翻折生成菱形；图9（5）为等边三角形其可以由一条线段连续两次旋转60°得到；图9（6）表示等边三角形也可以由顶角为120°的等腰三角形绕顶点连续两次旋转120°得到；图9（7）表示由线段平移得到平行四边形；图9（8）表示的平行四边形也可以是三角形绕一个顶点旋转180°（中心对称）得到，等等.（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）图9发现与证明：在这个探究过程中，发现等边三角形绕中心旋转120°后能与原三角形重合，正方形绕中心旋转90°后能与原正方形重合.这样我们就清楚了等边三角形不仅具有轴对称性，还有旋转对称性.容易推广到正多边形都具有旋转对称性.证明是显而易见的.应用与评价：你能应用正多边形的旋转对称性解决问题吗？试举例说明.例3如图10，点D ，E 分别在等边三角形ABC 的边BC ，CA 上，且BD =CE ，连接AD ，BE 交于点F ，求证：AD =BE ，∠AFE =60°.图10BD FE CA证法1：在等边三角形ABC 中，AB =BC ，∠ABD =∠BCE =60°.因为BD =CE ，所以△ABD ≌△BCE .所以AD =BE ，∠BAD =∠CBE.所以∠AFE =∠BAF +∠ABF =∠CBE +∠ABF =60°.证法2：由题意，可得将△ABD 绕等边三角形ABC 的中心O 逆时针旋转120°后与△BCE 重合，所以AD =BE ，∠AFB =120°.所以∠AFE =60°．比较上述两种证法，前者是静态的，后者是动态的.前者用的知识有等边三角形的边角关系、全等、三角形内角和外角的关系等，后者用的是等边三角形的旋转对称性和旋转的性质.我们可以看出后者把握了图形的基本结构（旋转对称性），能够从整体上处理图形中相关元素之间的关系，所以能更直接的获得相关元素之间的关系.学生经历了探究活动后，能利用所学使静态的图形动起来，更好地认识和把握住图形的本质结构，从而容易发现图形中元素之间的相互关系.【设计意图】从图形的变化的角度重新审视图形的形成和结构，从而使学生从动态的、变化的角度理解图形，提升学生的几何直观和空间想象能力.活动3：探究图形各种变化之间的联系.情境与问题：在活动2中，我们已经发现平行四边形可以由线段平移得到，也可以由三角形中心对称得到，那平移和中心对称有怎样的关系？不同的变换之间是否会有一些关系？思考与交流：学生分组进行探究，分别探究平移与旋转（中心对称）、平移与轴对称、轴对称与旋转的关系.先进行小组内交流，再进行全班交流，最终获得如下成果.发现与证明：（1）如图11，线段AB关于点O１中心对称得到A′B′，则AB与A′B′平行且相等，但方向是相反的.如果再对A′B′关于点O2作一次中心对称得到A″B″，则AB与A″B″平行且相等，方向相同.这样AB与A″B″就是平移关系，平移的方向和距离是AA″=2O１O2，这意味着两个中心对称的“和”是一个平移.也可以换个顺序看，先把AB平移到A″B″，再把A″B″关于点O2中心对称到A′B′，则AB与A′B′成中心对称，即一个平移“加”一个中心对称得到中心对称.图11″（2）考察经过两次轴对称的情况.如图12，如果两条对称轴是平行的，则产生一个平移；如图13，如果两条对称轴是相交的，则产生一个旋转，旋转角度是两对称轴夹角的2倍，其中一种特殊情况是当两条对称轴垂直时，得到的旋转是中心对称.ABl1l2图12l1l2B″ABO图13A′B′A″B″A′B′A″类似地，容易得到两个平移之“和”是一个平移，两个有相同旋转中心的旋转之“和”是一个旋转.旋转中心不同的两个旋转之和较为复杂，本文不进行讨论.应用与评价：例4如图14，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，点E，F分别在线段AC，BC上，且CE≠CF，点D为AB 的中点，若DE=DF，求证：DE⊥DF.A D BFCE图14思路：考虑到等腰直角三角形是轴对称图形，如图15，取点E关于直线CD的对称点E′，则DE′=DE=DF.在等腰直角三角形BDC中，取BC的中点G，则DE′与DF关于DG对称.所以∠EDF=2∠CDG=90°，即DE⊥DF.E′图15A D BFCEG例5如图16，在△ABC中，∠A=α，AB=AC，点D，E分别在线段AC，AB上，且AE>AD，BD= CE，BD，CE交于点F，求∠BFC的大小．AB CEDF图16思路：考虑到等腰三角形是轴对称图形，如图17，取点E关于对称轴的对称点E′，则BE′=CE=BD.则∠1=∠2=∠3.得∠DFC=∠A=α.所以∠BFC=180°-θ.事实上这个结论是两次轴对称的背景下得到的.如图18，CE到BE′，BE′到BD这两次轴对称的对称轴分别是边BC与边AC上的高线所在直线.这两条高线的夹角为90°-12α，所以CE与BD的夹角为180°-α.图17AB CEDF123图18AB CED()E″E′E′在这个探究活动中，探究了连续两个变换所取得的结果，使轴对称、旋转和平移之间产生联系.特别是两次轴对称与旋转的关系在初中几何解题中出现较多，如图19~图22所示.这样能够使学生更深层次的理解图形的结构和性质.C AB 图19CBADEF C B AD EC BADED ′图20图21AB图22【设计意图】探究平移、旋转、轴对称等不同变换之间的联系，进一步深入理解图形变化的性质和图形的性质.活动4：灵活应用“图形的变化”解决问题.例6如图23，点D ，E ，F分别是△ABC 三边AB ，BC ，CA 的中点，O 1，O 2，O 3分别是△ADF ，△BDE ，△CEF 的外心，I 1，I 2，I 3分别是这三个三角形的内心.求证：△O 1O 2O 3≌△I 1I 2I 3.例6的探究过程的要点阐述如下.学生看到此题的第一感觉是这道题目很难，平时遇到一个外心（或内心）都会感到不熟悉，更何况此题中出现了三个外心和三个内心.有些学生会被这些“假象”吓住，不敢进一步思考.有少数学生会从外心或内心的概念出发，通过构造全等三角形得到O 1O 2平行且等于12AB ，从而进行证明.但图形和说理过程会有些杂乱.当然，O 1O 2平行且等于12AB 是解题的关键，如果学生想不到这一点，可以作为铺垫让学生观察和说理.在这个基础上引导学生发现图形中平移的结构——△ADF 以AD （12AB ）为方向和距离平移得到△DBE ，则这两个三角形的外心O 1，O 2为对应点，所以O 1O 2=12AB.同理，I 1I 2=12AB.所以O 1O 2=I 1I 2.同理，O 1O 3=I 1I 3，O 2O 3=I 2I 3.所以△O 1O 2O 3≌△I 1I 2I 3.解答此题的关键是发现△ADF ，△DBE ，△FEC 之间的平移关系，注意到了这一点，此题就可以非常简捷的得到解决.此题可以让学生感受到图形结构分析的重要性和从图形的变化的视角解决问题的优越性.例7如图24，已知点A 到直线l 的距离AD =43，点B 在直线l 上，以AB 为边作等边三角形ABC.当点B 在直线l 上运动时，求DC 的最小值.例7的探究过程的要点阐述如下.学生开始会有一些猜测.例如，BC 与直线l 重合时，DC 取得最小值；点B 与点D 重合时，DC 取得最小值，等等.通过几何画板软件演示验证发现这些都不正确.学生遇到了困难，教师可以引导学生思考，由于点D 是定点，点C 是动点，求DC 的最小值，关键是弄清楚点C 的运动轨迹.在这样的启发下，学生开始关注点C 的运动轨迹，通过描点发现点C 的运动轨迹是一条直线，学生会想不通，为什么点C 的运动轨迹是一条直线？有学生猜测，点C 的运动是由点B 的运动引发的，而点B 的运动轨迹为直线导致了点C 的运动轨迹也是直线.教师可以再从另一方面来验证这种猜测，利用几何画板软件演示如果点B 在圆上运动，发现点C 的运动轨迹也是一个圆.学生就陷入了深思，为什么点C 的运动轨迹是由点B 的运动轨迹决定的？至此，教师再引导学生观察点C 和点B 的关系，题目中给出的条件“△ABC 是等边三角形”，即点B 绕点A 旋转60°得到点C ，这是在旋转变换下的一对对应点.为了更好地理解它们运动轨迹的关系，可以回到平移、旋转和轴对称的基本图形进行研究.如图25，图23ACl图24在一个平移下，对应点A和A′的运动轨迹相同（图中虚线），它们的轨迹也有相同的平移关系；如图26，在一个旋转下，对应点B和B′的运动轨迹相同（图中虚线），它们的轨迹也有相同的旋转关系.再回到例7中，则例7变得简单，点C的轨迹是直线l绕点A旋转60°得到的直线l′，DC的最小值即点D到直线l′的距离23.AC B图25图26A′C′B′在此题的探究过程中，让学生进一步理解了等边三角形的结构——旋转，更深入的理解了图形变化的性质——在平移、旋转和轴对称这样的变换下，对应点的轨迹是一样的.例8如图27，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，点P为AD上的点，满足∠ABP=∠ACP，试在图上作出满足条件的点P（工具不限）.ACB D图27例8的探究过程的要点阐述如下.在这个题目的探究中，学生容易想到用轴对称变换，将AD左边的∠ABD轴对称到AD右边.取点B关于AD的对称点B′，则∠ABP=∠AB′P=∠ACP.则点P在△AB′C的外接圆上.所以只要作△AB′C的外接圆与AD 的交点就是所求作的点P.此时，例8看似解决得很完美，但前面的考虑要在BD≠CD的情况下.当BD=CD 时，AD上任意一点都符合题意.另外，当BD≠CD时，由A，C，B′，P四点共圆.得∠ACB′=∠DPB′=∠DPB.由AD⊥BC，得BP⊥AC.这样找点P不需要作△AB′C 的外接圆，只要作边AC上的高线，两条高线的交点就是所求作的点P.此题需要分类讨论，轴对称变换，最后还能惊奇地发现，当BD≠CD时，所求作的点P就是△ABC垂心.在这个过程中，还能发现过三角形的垂心及其任意两个顶点所作的三个圆相等.整个探究活动不仅解决了问题，而且还发现了新的结论，将探究活动引向创新.【设计意图】提供若干新情境的问题，引导学生从图形变化的角度解决，增强学生以图形的变化视角解决问题的意识，感受以图形的变化的视角解决问题带来的简便和对问题的本质理解，能在分析图形结构的基础上来选择相应的变换解决问题.四、教学反思在教学中，要让学生体验变换思想在几何问题解决中发挥的神奇作用，以简驭繁、揭示本质.教学实践中，发现学生缺乏对变换思想运用的意识，这需要教师在教学中逐步渗透，需要引导学生从变换的视角观察图形的形成过程、图形的结构和图形的性质，也需要对图形变化的概念和性质从整体上进行更深入的理解.在教学中，教师要规划单元整体设计，数学单元教学设计正是从整体功能出发，从更高观点对数学教学中的各要素进行系统的综合考量，使其产生整体效益.系列探究活动的设计是单元整体性教学设计的核心，其实施为学生构建了前后一致和逻辑连贯的学习过程；系列探究活动的设计是基于对知识的系统理解，强调知识的关联和整合，使分散、零碎的学习内容变为一个有机的整体，从而能够使学生认识到学习内容的本质.系列探究活动的实施强调学生主动参与，在活动中类比发现和形成知识结构，并能将探究过程中积累的经验迁移到新的问题情境，解决有挑战性的问题，实现深度学习.学生经历上述系列探究活动，不仅能获得相关活动经验，而且能提升数学学科核心素养.参考文献：［1］萧振纲.几何变换与几何证题［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2010．［2］章建跃.数学教学目标再思考［J］.中国数学教育（高中版），2012（9）：2-4，7.［3］吕世虎，杨婷，吴振英.数学单元教学设计的内涵、特征以及基本操作步骤［J］.当代教育与文化，2016，8（4）：41-46.。

小学数学“变中有不变”思想的实践与思考作者：王锡芳来源：《小学教学研究》2021年第09期【摘要】世间百态，瞬息万变，倘若洞悉了个中奥妙，掌握其中玄机，便能化动为静，更好地认知世界。

其实数学教学莫不如是，在变化万千的题组变式中，若能抽丝剥茧，把寻到“不变”之匙，定能发现知识本真，撬开与之关联的诸多问题之锁，解决相类同的数学问题。

“变中有不变”思想，就是让学生透过现象看本质，把握联系找规律，进而实现知能、思想、体验等多方面的成长，提升数学学习的核心素养。

在这一过程中当努力做到：从肤浅到深入，让学生在“变”与“不变”中感知知识的形成过程;从片面到全面，在“变”与“不变”中经历知识的探索过程;从割裂到统整，在“变”与“不变”中感悟知识的应用过程。

【关键词】“变中有不变”思想知识形成知识探索知识应用“动与静”是哲学观中的一组关键词，用以辩证性地认知世界。

动静相宜，互为补充，此乃融善之道。

意为在变幻莫测的现象中，找到不变的规律，以便更好地认识它，为自身服务，可视为不变。

在学习数学或用数学解决问题的过程中，也会面对千变万化的对象，在这些变化中找到不变的性质和规律，发现数学的本质，这就是“变中有不变”思想，正所谓“万变不离其宗”。

数学教学時，面对变化万千的题组变式，若能引导学生抽丝剥茧，把寻到“不变”之匙，定能发现知识本真，撬开与之关联的诸多问题之锁，解决相类同的数学问题。

一、从肤浅到深入，在“变”与“不变”中感知知识的形成过程知识的获取和认识不是一蹴而就的，而是有其内在联系的，需要循序渐进，在多变的外形下引导学生经历逐步内化的认知过程，促使其真正触及概念的本质，掌握知识的原理。

如教学“倍的认识”一课，新授环节通过设计三个层次的教学，让学生在“变”与“不变”中逐步深化对“倍”的认识。

第一个层次，教师利用课件进行动态演示，在第一行画2个圆，告诉学生可以把它看作一份圈起来，并称它为“1个2”，再出示第二行的圆，让学生一起来数一数共有几个2。

2021年第34期教育教学6SCIENCE FANS 变式训练要求教师在数学教学目标的指导下，根据知识内容的不同，确定不同的教学标准，结合学生数学基础进行例题设计、习题拓展，引导学生尝试一法多用、一题多解、一题多变，实现知识迁移与逻辑思维发展的目 的[1]。

教师应该从变式训练的要求出发，研究当前变式教学中存在的不足，积极训练学生变式思维。

1 变式训练的概念变式训练是数学教学中重要的组成部分，也是帮助学生有效学习的重要条件。

其主要是指在部分条件不变的背景下，变化概念规则来解决问题。

尤其是在数学复习的过程中，变式训练可以帮助学生压缩学习时间，避免大量的重复练习，进而减轻学生学习压力，同时提高学生运用数学知识解决实际问题的能力[2]。

作为知识转化技能的重要途径，变式训练还可以强化学生的变通思维，使其形成多元化思维模式，在未来的学习和生活中能够灵活运用数学知识，提高自身学习效率。

2 变式训练教学中的问题首先，尽管变式训练不是一个新的教学方式，但在传统数学教学课堂上，教师对变式训练的教学并不系统。

学生在积累数学知识、积累解题方法的过程中缺乏教师的变式引导，导致学生的分类整合能力不足，在题目众多、难度较大的总复习中耗费更多时间建模或寻找解题思路，影响学生复习效率。

其次，熟练运用变式思维的前提是对课本知识较为熟悉。

由于初中生的学习能力各不相同，过于注重教学进度、面向全部学生采取重知识、轻方法的授课方式，无法兼顾不同基础学生的学习诉求，影响变式训练的实际 效果。

3 改进变式训练教学的建议3.1 夯实变式训练的知识基础知识基础影响学生的变式水平和复习进展。

教师在指导学生复习的过程中，要关注学生的基础差异，根据复习知识的特点，引导学生查漏补缺。

以合并同类项题目为例，教师可以根据学生在计算能力、方程模型运用能力、逻辑思维水平上的差异，为学生设置三个层次的教学内容：第一，回顾相关知识，能够独立、正确完成如“(3x −5y )−(6x +7y )+(9x −2y )”一类同类项的合并；第二，熟练掌握计算方法与合并思路，进行复杂题目的运算，如已知x +y =6，xy =−4，求(5x −4y −3xy )−(8x −y +2xy )的值；第三，在总结方法和适用情境的基础上，对课后题进行创新，尝试变化数字或题目中的数量关系，进行提高能力的训练。