荷载作用下各类超静定结构的计算

单元10 超静定结构的计算【学习目标】1、掌握力法、位移法的基本原理，能用这些方法计算常用的简单超静定结构的内力；2、熟练应用力矩分配法计算连续梁和无侧位移刚架；了解超静定结构的特征。

【知识点】1、超静定结构的概念、超静定次数及确定；力法的基本原理、基本结构；典型方程；用力法计算简单的超静定梁和刚架；支座移动时单跨超静定梁的内力。

2、力矩分配法的基本原理；转动刚度、分配系数、传递系数、分配弯矩、传递弯矩；用力矩分配法计算连续梁和无侧移刚架。

【工作任务】任务1 用力法计算超静定结构任务2 用力矩分配法计算超静定结构【教学设计】通过对力法和力矩分配法的学习让学生理解这两种方法在解决超静定结构各有何特点，通过例题的讲解能使学生能更好地理解两种方法在解超静定结构的特点。

10.1 用力法计算超静定结构10.1.1 超静定次数的确定我们知道，超静定结构由于有多余约束存在，约束反力未知量的数目多于平衡方程数目，仅靠平衡方程不能确定结构的支座反力。

从几何组成方面来说，结构的超静定次数就是多余约束的个数；从静力平衡看，超静定次数就是运用平衡方程分析计算结构未知力时所缺少的方程个数，即多余未知力的个数。

所以，要确定超静定次数，可以把原结构中的多余约束去掉，使之变成几何不变的静定结构，而去掉的约束个数就是结构的超静定次数。

超静定结构去掉多余约束有以下几种方法：(1)去掉支座处的一根链杆或者切断一根链杆，相当于去掉一个约束。

图10-1(2)去掉一个铰支座或者去掉一个单铰，相当于去掉两个约束。

图10-2图10-1图10-2(3)去掉一个固定端支座或者切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束。

图10-3(4)将一个固定端支座改为铰支座或者将一刚性连接改为单铰连接，相当于去掉一个约束。

图图10-4用去掉多余约束的方法可以确定任何超静定结构的次数，去掉多余约束后的静定结构，称为原超静定结构的基本结构。

对于同一个超静定结构来说，去掉多余约束可以有多种方法，所以基本结构也有多种形式。

第六章位移法超静定结构两类解法：力法：思路及步骤，适用于所有静定结构计算。

结合位移法例题中需要用到的例子。

有时太繁，例。

别的角度：内力和位移之间的关系随外因的确定而确定。

→位移法，E，超静定梁和刚架。

于是，开始有人讨论：有没有别的方法来求解或换一个角度来分析…，what？我们知道，当结构所受外因（外荷载、支座位移、温度变化等）一定⇒内力一定⇒变形一定⇒位移一定，也就是结构的内力和位移之间有确定的关系（这也可以从位移的公式反映出来）。

力法：内力⇒位移，以多余力为基本未知量…，能否反过来，也就是先求位移⇒内力，即以结构的某些位移为基本未知量，先想办法求出这些位移，再求出内力。

这就出现了位移法。

目前通用的位移法有两种：英国的、俄罗斯的，两者的实质是相同的。

以结构的某些结点位移作为基本未知量，由静力平衡条件先求出他们，再据以求出结构的内力和其它位移。

这种方法可以用于求解一些超静定梁和刚架，十分方便。

例：上面的例子，用位移法求解，只有结点转角一个未知量。

下面，我们通过一个简单的例子来说明位移法的解题思路和步骤：一个两跨连续梁，一次超静定，等截面EI=常数，右跨作用有均布荷载q，（当然可以用力法求解），在荷载q作用下，结构会发生变形，无N，无轴向变形，B点无竖向位移，只有转角ϕB。

且B点是一个刚结点传递M；变形时各杆端不能发生相对转动和移动，刚结点所连接的杆件之间角度受力以后不变。

也就是AB、BC杆在结点B处的转角是相同的。

原结构的受力和变形情况和b是等价的。

B当作固定端又产生转角ϕB。

a（原结构）AB：BC：b如果把转角ϕB 当作支座位移这一外因看，则原结构的计算就可以变成两个单跨超静定梁来计算。

显然，只要知道ϕB ，两个单跨静定梁的计算可以用力法求解出全部反力和内力，现在的未知量是ϕB （位移法的基本未知量）。

关键：如何求ϕB ？求出ϕB 后又如何求梁的内力？又如何把a ⇒b 来计算？ 我们采用了这样的方法：假定在刚结点B 附加一刚臂（▼），限制B 点转角，B ⇒固定端（无线位移，无转动）（略轴向变形）原结构就变成了AB 、BC 两个单跨超静定梁的组合体：AB ： ，BC ：但现在和原结构的变形不符，ϕB ，所以为保持和原结构等效，人为使B 结点发生与实际情况相同的转角ϕB （以Z 1表示，统一）。

静定结构与超静定结构静力常用计算公式一、短柱、长柱压应力极限荷载计算公式1、短柱压应力计算公式荷载作用点轴方向荷载AF =σ bhF =σ 偏心荷载)1(21xY i ye A F W M A F -=-=σ )1(22xY i ye A F W M A F +=+=σ )61(2,1hebh F ±=σ 偏心荷载)1(22xy y x xx y Y i ye i xe A FI xM I x M A F ±±=⨯±⨯±=σ )661(beh ebh F yx ±±=σ长短柱分界点如何界定？2、长柱方程式及极限荷载计算公式 支座形式图 示方 程 式极限荷载 一般式 n=1两端铰支 β=1y a dxy d ∙=222 ax B ax A y sin cos +=y F M EIFa ∙==,2 EI ln 222π EI l 22π一端自由他端固定β=2y a dxyd ∙=222 ax B ax A y sin cos +=EI l n 2224)12(π-EI l 224πy F M EIFa ∙==,2 两端固定 β=0.50)(22=-+F M y a dxyd A FM ax B ax A y A++=sin cos A M y F M EIFa +∙-==,2 EI l 224π EI l 224π 一端铰支他端固定 β=0.75)(222x l EI Q y a dx y d -=∙+)(sin cos x l FQax B ax A y -++=水平荷载-=Q EIFa ,2 ——EI l227778.1π注：压杆稳定临界承载能力计算公式：EI l P cr 22)(βπ=二、单跨梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式 1、简支梁的反力、剪力、弯矩、挠度计算公式荷载形式M 图V 图反力 2F R R B A == L Fb R A =L Fa R B =2qL R R B A == 4qL R R B A == 剪力V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R B V A =R A V B =-R BV A =R A V B =-R B弯矩4max FL M =LFabM =max 82maxqL M = 122maxqL M = 挠度EIFL 483max=ω 若a ＞b 时，3)2(932maxab a EIL Fb +=ω（在)2(3b a ax +=处） EIqL 84max=ω EIqL 1204max=ω 注：1、弯矩符号以梁截面下翼缘手拉为正（+），反之为负（—）。

第十章超静定结构计算力法一．超静定次数确定1、 超静定结构的特性：与静定结构比较，超静定结构有如下特性：静定结构 超静定结构 几何特性 无多余约束的几何不变体系 有多余约束的几何不变体系静力特性满足平衡条件内力解答是唯一的，即仅由平衡条件就可求出全部内力和反力。

超静定结构满足平衡条件内力解答有无穷多种，即仅由平衡条件求不出全部内力和反力，还必须考虑变形条件。

非荷载外因的影响 不产生内力 产生了自内力内力与刚度的关系 无关荷载引起的内力与各杆刚度的比值有关，非载载外因引起的内力与各杆刚度的绝对值有关。

内力超静定，约束有多余，是超静定结构区别于静定结构的基本特点。

2、超静定次数的确定： 结构的超静定次数为其多余约束的数目，因此上，结构的超静定次数等于将原结构变成静定结构所去掉多余约束的数目。

在超静定结构上去掉多余约束的基本方式，通常有如下几种：（1）断一根链杆、去掉一个支杆、将一刚接处改为单铰联接、将一固定端改为固定铰支座，相当于去掉一个约束。

（2）断一根弯杆、去掉一个固定端，相当于去掉三个约束（3）开一个单铰、去掉一个固定铰支座、去掉一个定向支座，相当于去掉两个约束。

3、几点注意：①由图10-1结构的分析可得出结论：一个无铰闭合框有三个多余约束，其超静定次数等于三。

对于无铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数。

如图10-2 所示结构的超静定次数为3×5=15次；对于带铰闭合框结构其超静定次数=3×闭合框数－结构中的单铰数（复铰要折算成单铰）如图10-3所示结构的超静 定次数为3×5-（1+1+3）=15次。

D点是连接四个刚片的复铰，相当于（4-1）=3个单铰。

②一结构的超静定次数是确定不变的，但去掉多余约束的方式是多种多样的。

如图10-1结构。

③在确定超静定次数时，要将内外多余约束全部去掉。

如图10-4结构外部1次超静定，内部6次超静定，结构的超静定次数是7。

六超静定结构內力计算1．什么是超静定结构？它和静定结构有何区别？答：单靠静力平衡条件不能确定全部反力和內力的结构为超静定结构。

从几何组成的角度看，静定结构是没有多余约束的几何不变体系。

若去掉其中任何一个约束，静定结构即成为几何可变体系。

也就是说，静定结构的任何一个约束，对维持其几何不变性都是必要的，称为必要约束。

对于超静定结构，若去掉其中一个甚至多个约束后，结构仍可能是几何不变的。

2．什么是超静定结构的超静定次数？答：超静定结构多余约束的数目，或者多余约束力的数目，称为结构的超静定次数。

3．超静定结构的基本结构是否必须是静定结构？答：超静定结构的基本结构必须是静定结构。

4．如何确定超静定结构的超静定次数？答：确定结构超静定次数的方法是：去掉超静定结构的多余约束，使之变为静定结构，则去掉多余约束的个数，即为结构的超静定次数。

5．撤除多余约束的方法有哪几种？答：撤除多余约束常用方法如下：（1）去掉一根支座链杆或切断一根链杆，等于去掉一个约束。

（2）去掉一个固定铰支座或拆去一个单铰，等于去掉两个约束。

（3）去掉一个固定端支座或把刚性连接切开，等于去掉三个约束。

6．用力法计算超静定结构的基本思路是什么？答：用力法计算超静定结构的基本思路是：去掉超静定结构的多于约束，代之以多余未知力，形成静定的基本结构；取多余未知力作为基本未知量，通过基本结构的位移谐调条件建立力法方程，利用这一变形条件求解多余约束力；将已知外荷载和多余约束力所引起的基本结构的内力叠加，即为原超静定结构在荷载作用下产生的内力。

7．什么是力法的基本结构和基本未知量？答：力法的基本结构是：超静定结构去掉多余约束后得到的静定结构。

力法的基本未知量是对应于多余约束的约束反力。

8．简述n次超静定结构的力法方程，及求原结构的全部反力和內力的方法。

答：（1）n次超静定结构的力法方程对于n次超静定结构，撤去n个多余约束后可得到静定的基本结构，在去掉的n个多余约束处代以相应的多余未知力。

位移法计算超静定结构——典型例题【例1】采用位移法计算如图1(a)所示梁结构，并作M 图。

已知EI 为常数。

图1【解】（1）位移法基本未知量为结点C 处的角位移及竖向线位移，基本体系如图1(b)所示。

（2）建立位移法方程如下： （3）计算系数和自由项令。

分别作出基本结构在单位位移、及原荷载单独作用下的内力图、及，如图1(c)、(d)、 (e)所示。

取图1(c)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：取图1(d)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：取图1(e)中结点C 为研究对象，分别由力矩平衡条件、竖向力的投影平衡条件可求得：（4）解位移法方程，得基本未知量为： （5）由可计算各杆端弯矩，可作原结构的图，如图1(f)所示。

【例2】采用位移法计算如图2(a)所示刚架结构，并作M 图。

已知各杆EI 为常数。

1∆2∆1111221211222200P Pk k F k k F ∆+∆+=⎧⎨∆+∆+=⎩/i EI l =11∆=21∆=1M 2M P M 1121100k i k ==，21221018/k k i l ==，21219248P P F ql F ql =-=-，231224016ql ql i i∆=-∆=，1122P M M M M =∆+∆+M图2【解】（1）取刚结点D 、E 处的角位移、为基本未知量，基本体系如图2(b)所示。

（2）列位移法方程： （3）计算系数和自由项分别作出基本结构在单位位移、及原荷载单独作用下的内力图、及，如图2(c)、(d)、 (e)所示。

分别取图2(c)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得：，分别取图2(d)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得：，分别取图2(e)中结点D 、E 为研究对象，由力矩平衡条件可求得自由项：，（4）解位移法方程，得基本未知量为：（5）由可计算各杆端弯矩，作图如图2(f)所示。

第八节 超静定结构位移的计算根据单位荷载法计算位移，平面杆件结构在荷载作用下的位移计算公式可表示为：S N S N KP F F F F MM ds k ds ds EI GA EA∆=++∑∑∑⎰⎰⎰ （7-23） 式中，M 、S F 、N F 为虚拟状态中由单位荷载引起的内力，S N M F F 、、为实际荷载作用引起的内力，EI 、EA 、GA 分别为杆件截面抗弯刚度、抗拉压刚度和抗剪刚度，k 为剪应力分布不均匀修正系数。

式(7-23)不仅适用于静定结构的位移计算，同样适用于超静定结构。

对于静定结构，单位荷载作用下及实际荷载作用下的两组内力，均可以通过平衡条件较易确定。

下面讨论如何根据式(7-23)计算超静定结构的位移。

以图7-49(a)超静定梁为例，求在满跨均布荷载作用下梁中点C 的挠度CV ∆。

在7.2节中，已经通过力法计算得到其M 图如图7-49(b)所示。

用力法计算超静定结构，是根据基本结构在原荷载及多余未知力共同作用下（基本体系）其位移与原超静定结构相同这个条件来进行的。

基本体系与原结构的唯一区别是把多余未知力由原来的被动力换成主动力。

因此，只要多余未知力满足力法方程，则基本体系的受力与变形状态就与原结构完全相同，因而求原结构位移的问题就归结为求基本体系这个静定结构的位移问题。

比如，在力法计算中，可以选择将支座B 处支座链杆去掉后得到的悬臂梁作为原超静定梁的基本结构，图7-49(c)所示为相应的基本体系。

为求CV ∆,在基本结构的C 点施加竖向单位荷载1F =,并根据平衡条件作出弯矩图M (图7-49(d))。

利用M 图和M 图，根据图乘可得： 222410.50.52123()23831632882192CV MM l l ql ql l ql l ql ds EI EI EI ⎡⎤⎛⎫⨯∆==⨯⨯+⨯-⨯⨯⨯⨯=↓⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦∑⎰ 这就是利用基本体系求得的原结构跨中的竖向变形CV ∆。

力法、位移法求解超静定结构讲解超静定结构是指在静力学计算中具有过多约束的结构体系，其问题在于不能通过传统的静力学方法直接计算出结构体系的内力以及位移的分布情况，需要利用力法或者位移法来求解超静定结构。

力法是指将结构体系的内力分配给各个构件，然后根据各个构件的受力情况和变形情况，逐步推导出结构体系的内力和位移分布情况的一种方法。

其基本思想是通过外部荷载作用下的内力分配，将超静定结构分解成多个静定结构分析，同时通过协调各个分析时的界面条件，进行内力和位移的匹配，最终得到了超静定结构的内力和位移分布情况。

具体实现步骤如下：1. 选定一个自由图，并对该自由图进行划分，将超静定结构分成多个静定结构，其中每个静定结构的节点数均满足有一个自由度。

分割完毕后，确定每个静定结构的支座反力，然后由每个静定结构自己采用传统的静力学原理分析，并得到各自的内力和位移。

2. 对于静定结构之间的相互配合，需要根据结构体系的受力变形情况建立相互之间的协调关系。

最常用的协调方法是确定静定结构之间的界面条件，如节点位移和节点荷载的相等，以及弹簧刚度之和等于零。

3. 在确定了静定结构之间的界面条件后，就可以获得超静定结构的结构内力分布，接下来需要计算出结构的位移分布。

这一步可以通过位移影响系数法进行求解，具体来说，先在静定结构中确定一个位移分量，然后根据约束条件求得其余节点的位移分量，最终获得超静定结构的位移分布。

相比于力法，位移法的思路更加简洁明了，具体步骤如下：1. 建立超静定结构的初始刚度方程，包括构件中的整体刚度和节点位移自由度的边界条件等。

2. 将超静定结构受到的外载按照一定的规律进行分配，使得该结构从受力变形的点出发经过一系列刚度修正后，其总体刚度等于原结构的刚度。

这个修正过程是迭代的，一般采用迭代矩阵求逆的方式进行求解。

3. 当总体刚度修正后，结构的总位移就变为了一个已知量。

根据节点位移自由度的边界条件，可以直接解出各节点的位移分量。