第六章弹性体振动的精确解法

一维连续弹性系统的强迫振动
• 强迫振动响应总是工程实际所关心的。 • 连续介质的弹性系统强迫振动响应也是建 立在自由振动分析的基础上，即在获得了 对该系统的特征值i和振型函数Xi (x)的基 础上。 • 下以一个例子来说明过程。
例 考察左端固定、右端附有质量M的杆， 设AE为常数，初始条件为零，质量M上作 用有谐波力F(t)=F0sint。 解：由题意有 2u 2u A 2 AE 2 F0 sin t ( x l ) t x 设主振动为
• 假定轴的横截面在扭转振动中保持为平 面作整体转动。以 (x, t)表示轴上x截面 处在t时刻相对左端面的扭转角。 • 为推导轴扭转振动的微分方程，从其中 截取一微元段如上图 截取 微元段如上图。列出运动微分方 列出运动微分方 程为 • 其中T为轴上x截面处的扭矩。由材料力 学知 ，代入式(6.3.8)，整理得
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• 将它代入式(6.3.1)并化简，得
• 可见杆的纵向振动的运动微分方程也是一 维波动方程。方程的求解仍可采用上节中 的分离变量法。 表为 • 将u(x, t)表为： u(x, t)=X(x)U(t) (6.3.5)
• 按上类似的方式可得：
(1)固定端 该处纵向位移为零，即有 u(, t)=0, =0 or l (2)自由端 该处轴向内力为零，即有
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6.1 介绍
第六章 弹性体振动
• 前各章在讨论振动问题时采用的都是集 中参数模型，它只有有限多个自由度， 且运动规律由常微分方程来确定。 • 事实上，它只是现实问题中的一类力学 模型。
• 客观现实的另一类力学模型是弹性体(也 称连续系统或分布参数系统)，它的物理 参数是分布型的 具有无限多个自由度 参数是分布型的，具有无限多个自由度， 且运动规律由偏微分方程来确定。
• 方程(6.2.6)的解可表示成两种形式，一种 是波动解，另一种是振动解。 • 波动解将弦的运动表示为 y(x, t)=f1(x－ct)+f2(x+ct) • 即把弦的运动看成是由两个相同形式的反 向行进波的叠加。 • 振动解则将弦的运动表示成各横向同步运 动的叠加，各点的振幅在空间按特定的模 式分布。
(4)惯性载荷 若轴的右端附有一圆盘，则有
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上(4)中J0为圆盘对转轴的转动惯量。 例 设轴的一端固定，另一端附有圆盘，如 图所示。圆盘对转轴的转动惯量力J0，试 考察这—系统的扭振固有频率与振型函数。
解 设轴的扭转振动可表为 (x, t)=X(x)(t) (t)=Asinpt+Bcospt 且有 X(x)=Csin(px/c)+Dcos(px/c) 轴在左端有u(0,t)＝0，轴的右端有
• 这里的i，Xi(x)分别为前(c)，(d)所给， Xi(x)中Ai由(e)的归一条件定出。 • 将(b)代入(a)，两边前乘Xj(x) 并沿杆长积 分 注意(e)，(f)及对函数的积分性质， 分，注意 函数的积分性质 有
2U X ( l )( MX ( l )U EAX ( l )U ) U i i i i i i i i X i ( l ) F0 sin t
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• 讨论理想弹性体的振动。理想弹性体满足 以下假设条件： 1）匀质分布； 2）各向同性； 3）服从虎克定律。 • 通过对一些简单形状的弹性体的振动分析， 着重说明弹性体振动的特点，弄清它与多 自由度系统振动的共同点与不同点。
6.2 一维连续系统振动 弦振动
• 从有限多自由度模型到无限多自由度模 型－连续系统
进一步的近似可取 tan≈+ 3/3，这时有
•
即有 再将式(d)中的2代入上式右端。可得
•
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或写成 (e) • 上式也就是将轴转动惯量的1/3加到圆盘后 所得单自由度扭振系统的固有频率公式。 它和瑞利法所得的结果相一致 它和瑞利法所得的结果相一致。 • 可看到，当＝1时，用式(e)所得的基频近 似值的误差还不到1%。 • 所以，只要轴的转动惯量不大于圆盘的转 动惯量，那末计算基频近似式(e)在实用上 已足够准确。
6.3 导致一维波动方程的 其它振动系统
比较典型的有： • 杆的纵向振动 • 轴的扭转振动。 • 与弹性体的分析结果比较，基频的误差为 2.6%，一阶主振型也较好地接近一阶振型函 数X1(x)，随着阶次的增加，误差增大。
杆的纵向振动
• 以u(x，t)表示杆上距原点x处在t时刻的 纵向位移。在杆上取微元段dx，它的受 力wenku.baidu.com上图(b)所示。根据牛顿第二定律， 它的运动方程为
• 由于描述的都是振动现象，所以在许多方面 有共同之处。在多自由度系统振动分析所形 成的一系列重要概念。在弹性体振动分析中 都有相应的地位和发展。 • 在弹性体振动中系统固有频率的数目增大为 无限多个； 无限多个 • 主振型的概念发展为固有振型函数，而且这 些振型函数之间也存在关于分布质量与刚度 的加权正交性；
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• 系统的前3阶振型函数如下图所示。
讨论：
(1)弦的各阶固有频率由低到高成倍增长， 相应的波形的波数逐渐增多。振幅始终 为零的点称为节点。节点数随振型阶数 的增向而逐一增加 一般地说 第i阶振 的增向而逐一增加。一般地说，第 型有i－1个节点。 (2)如果将弦缩聚成三自由度系统(如下图 所示)，用离散系统的振动分析方法，可 以得到系统前3阶固有频率为
• 其中固有频率p与振型函数X(x)由杆的边 界条件确定。 • 典型的边界条件有以下几种：
(3)弹性支承 设杆的右端为弹性支承(如图 (a))，则此处轴向内力等于弹性力，即
• 例 一匀质细直杆的左端固定，右端通过 弹簧与固定点相连(如上图(a))。试推导 系统的频率方程。 (4)惯性载荷 设杆的右端附—集中质量块 (图(b))，则此处杆的轴向内力等于质量 块的惯性力，即 解 杆在两端的边界条件可表示为 u(0, (0 t)=0 ) 0 和 即
• 观察弦的自由振动可以发现。弦的运动呈现 同步振动，即在运动中，弦的各点同时达到 最大幅值，又同时通过平衡位置，而整个弦 的振动形态不随时间而变化。 • 用数学语言来说 用数学语言来说，描述弦振动的函数 描述弦振动的函数y(x,t) 可以分解为空间函数和时间函数的乘积。 • 即 y(x, t)=X(x)Y(t) (6.3.9)
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• 而由条件(6.2.15)可得 sinl=0 (6.2.16) • 上式称做弦振动的特征方程。由此可确 定一系列特征值i
• 与其相应的特征函数，亦称振型函数为
• 弦对应于各阶固有频率pi的主振动为
• 所以系统的各阶固有频率为：
• 弦的自由振动可以表示为各阶主振动的 叠加，即有
• 方程（6.2.10)和（ 6.2.11)的解分别是 Y(t)=Asinpt+Bcospt (6.2.12) X(x)=Csint+Dcost (6.2.12) • 其中A，B，C，D为积分常数。另外由边 界条件(6.2.7)，得 X(0)=0 (6.2.14) X(l)=0 (6.2.15) • 于是有 D=0
• 三角函数族具有正交性，即
• 其中Ai，Bi由运动的初始条件确定。 由运动的初始条件确定 • 将初始条件(6.2.8)代入上式，有
• 由此可得
• 由以上讨论可见，张紧的弦的自由振动 除了基频(最低频率p1)振动外，还可以包 含频率为基频整数倍的振动，这种倍频 振动亦称谐波振动。
• 例 求前图(a)所示弦的前3阶固有频率和相 应的振型函数。 • 解 将i＝1，2，3分别代入式(6.2.18)和 (6.2.19)中，有
或写成 以上边界条件也可表示为 其中
tan= =pl/c, =Ipl/J0
(c)
式(c)即轴系的特征方程。 由上二式可得
的物理意义为轴的转动惯量与园盘转动 惯量之比。对于给定的值，不难找出轴
系固有频率的数值解。 在实用上，通常基频振动最为重要。其 对应于基频特征值1。
•
注意，当取小值时， 1亦为小值。如 近似地取tan = ，则式(c)化简为 2= (d) 可写成 p2=c2Ip/(J0l)=GIp/(J0l) GIp/l就是轴的扭转弹簧常数，上式也 就是轴的扭转弹簧常数 上式也 就是略去轴的质量后所得单自由度系统 的固有频率公式。 可看到，当＝0.3时，由上式给出的固 有频率近似值的误差约为5%。
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• 于是方程(6.2.4)演化为一阶偏微分方程： • 将上式两端向除以xi，得 • 随着质点数n的增加。质点间的距离xi越 来越小，弦上各质点的位移yi(t)将趋于—连 续函数y(x,t)。同时， • 其边界条件 y(0, t)=y(l, t)=0 • 可见，对连续体若用方程(6.2.3)代替方程 (6.2.5)，可近似确定系统在外激扰力作用的 响应，这种做法在实际问题中常常用到。 • 若把弦作为连续系统，精确地确定系统的 响应，则需求解偏微分方程(6.2.5)。
(2)自由端 该处扭矩为零，即 • 其中c2=G/。可见轴的扭转振动微分方 程仍为一维波动方程。 • 常见的边界条件有以下几种： 常见的边界条件有以下几种 (1)固定端 该处转角为零，即有
(3)弹性支承 若轴的右端通过刚度为Kt的扭 簧与固定点相连，则有 簧与固定点相 则有
(, t)=0，=0 or l
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• 将此边界条件代入振型函数X(x)，(式 (6.3.7))中，可得
• 对应给定的值，不难找到各固有频率pi 的数值解，而与各个pi相应的振型函数为
• 由此可知，系统的频率方程为
轴的扭转振动
• 长为l的等截面 直园轴。设轴 单位体积的质 量为，圆截面 对其中心的极 惯性矩为Ip，材 料剪切弹性模 量为G。
• 根据牛顿第二定律，列出质点横向振动 的微分方程为
• 假定作微小振动，因此
张力为T的弦振动－多自由度模型
• 考虑到xi=xi+1－xi＝li在微振动中保持不变。 进一步简化方程，可以得到Ti=Ti-1 ，即弦 中张力可近似看做常量T。 • 并且有
• 写成矩阵形式，有
• 在弦的两端有y0＝yn+1＝0。
• 在线性振动问题中，叠加原理以及建立 在这一原理基础上的模态分析法、脉冲 响应法 频率响应法等同样适用于弹性 响应法、频率响应法等同样适用于弹性 体振动分析。
• 在考察实际振动问题时，究竟该采用那 一类力学模型，得根据具体对象作具体 处理。 • 例如。飞机蒙皮一般取为薄板模型，涡 轮盘取为厚圆板模型。涡轮叶片则取为 薄壳或厚壳模型等。 • 当考察振动体内弹性波的传播问题时， 就得采用弹性体模型。
• 分别是弦上单位长度的质量和作用在弦上 单位长度上的载荷。
弦的振动微分方程及其自由振动 • 直接就连续体来推导弦横向振动的微分方程。 如图 在弦作微振动 假设下，有：
• 微元段的运动微分方程为
• 与方程(6.2.5)完全相同。 考虑到微元段在 水平方向的平衡， 弦中张力可近似看成是常量T。
讨沦无阻尼自由振动的情形。 此时p(x，t)＝0，于是程(6.2.5)可写成
• 其中X(x)足是振型函数，它描述整个弦的振 动形态。Y(t)描述弦各点的振动规律。将 (6.2.9)代入方程(6.2.6)，得到
• 上式左边仅是x的函数，右边仅是t的函数， 所以要使上式对任意的x、t都成立，只有两 边都等于同一常数。设这一常数为，有
• 只有当为负数时，才能从上述第一个方 程中确定振动运动 所以，取 程中确定振动运动。所以，取 =－p2 • 于是，上述方程改为
称做一维波动方程，c就是波沿弦向的传播 速度。要求给出系统的边界条件和初始条件
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• 两种解从不同的角度描述了弦的运动，各 有其特点。 • 波动解能形象直观地描述波动过程，给出 任何时划清晰的波形，但求解比较复杂； • 振动解揭示了弦的运动由无穷多个简谐运 动叠加而成。
• 对特定动力分析过程，选择什么形式的解要 视实际问题的需要来定。这既取决于扰动源 的性质，又取决于所考虑物体的相对尺寸， 同时还与所关心的问题等因素有关。 • 在一般机械系统中，直接进行振动分析更为 简单可行。 • 下面寻求方程(6.2.6)的振动解。