知识讲解 物理学中的极值问题与极端法

初中物理极值题型归纳总结在初中物理学习中，极值问题是一类常见的题型，也是学生们比较容易遇到的难题之一。

本文将对初中物理中的极值题型进行归纳总结，帮助同学们更好地应对此类题目。

一、最大值与最小值在物理问题中，最大值和最小值往往代表着某种物理量的极端情况，是我们需要求解的目标。

以下是一些常见的最大值和最小值问题：1. 最大值问题最大值问题通常涉及到寻找某一物理量在给定条件下的最大取值。

例如，求解一个抛体的最大高度、求解电阻的最大功率等。

对于这类问题，可以采用以下思路来解决：（1）列出问题的相关条件或约束；（2）根据条件或约束，得出物理量的表达式；（3）对表达式求导，找到极值点；（4）通过适当的方法，判断得到的极值点是否满足最大值的条件。

2. 最小值问题最小值问题与最大值问题类似，但是求解的是物理量的最小取值。

例如，求解一个弹簧的最小压缩量、求解电路中电流的最小值等。

解决最小值问题可以按照以下步骤进行：（1）列出问题的相关条件或约束；（2）根据条件或约束，得出物理量的表达式；（3）对表达式求导，找到极值点；（4）通过适当的方法，判断得到的极值点是否满足最小值的条件。

二、具体题型分析1. 坡度问题坡度问题是一种常见的极值问题，通常涉及到物体在斜坡上运动的情况。

在解决坡度问题时，可以根据题目所给条件，利用力学知识和相关公式进行推导和计算。

以某个斜坡上的物体滑动时所具有的最大速度为例，可以通过以下步骤进行解答：（1）根据题目给出的条件，列出物体所受到的力；（2）根据牛顿第二定律，建立物体的运动方程；（3）通过求解运动方程，得到最大速度的表达式；（4）对表达式求导，并求解得到的导数为零的点，即可得到最大速度的取值。

2. 三角函数问题三角函数问题是另一种常见的极值问题类型，通常涉及到角度的取值范围以及某一物理量的极值。

在解决三角函数问题时，需要对三角函数的性质和恒等式有一定的了解。

例如，求解一个正弦函数在给定范围内的最大值，可以按照以下步骤进行：（1）根据给定的范围，列出正弦函数的表达式；（2）对表达式求导，并求解得到的导数为零的点；（3）通过判断该点是否满足最大值的条件，确定极值点的取值。

高中物理解题常用思维方法高中物理解题常用思维方法一、逆向思维法逆向思维是解答物理问题的一种科学思维方法，对于某些问题，运用常规的思维方法会十分繁琐甚至解答不出，而采用逆向思维，即把运动过程的“末态”当成“初态”，反向研究问题，可使物理情景更简单，物理公式也得以简化，从而使问题易于解决，能收到事半功倍的效果。

高中物理解题常用思维方法二、对称法对称性就是事物在变化时存在的某种不变性。

自然界和自然科学中，普遍存在着优美和谐的对称现象。

利用对称性解题时有时可能一眼就看出答案，大大简化解题步骤。

从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直觉思维能力。

用对称法解题的关键是敏锐地看出并抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径。

高中物理解题常用思维方法三、图象法图象能直观地描述物理过程，能形象地表达物理规律，能鲜明地表示物理量之间的关系，一直是物理学中常用的工具，图象问题也是每年高考必考的一个知识点。

运用物理图象处理物理问题是识图能力和作图能力的综合体现。

它通常以定性作图为基础(有时也需要定量作出图线)，当某些物理问题分析难度太大时，用图象法处理常有化繁为简、化难为易的功效。

高中物理解题常用思维方法四、假设法假设法是先假定某些条件，再进行推理，若结果与题设现象一致，则假设成立，反之，则假设不成立。

求解物理试题常用的假设有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径。

在分析弹力或摩擦力的有无及方向时，常利用该法。

高中物理解题常用思维方法五、整体、隔离法物理习题中，所涉及的往往不只是一个单独的物体、一个孤立的过程或一个单一的题给条件。

这时，可以把所涉及到的多个物体、多个过程、多个未知量作为一个整体来考虑，这种以整体为研究对象的解题方法称为整体法;而把整体的某一部分(如其中的一个物体或者是一个过程)单独从整体中抽取出来进行分析研究的方法，则称为隔离法。

物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。

物理极值问题是中学物理教学的一个重要内容，在高中物理的力学、热学、电学等部分均出现，涉及的知识面广，综合性强，加之学生数理结合能力差，物理极值问题已成为中学生学习物理的难点。

随着高考改革的深入及素质教育的全面推开，各学科之间的渗透不断加强，作为对理解能力和演绎推理能力及运算能力都有很高要求的物理学科，如果能与数学知识灵活结合，将会拓展解决物理极值问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

在中学物理中，描述某一过程或者某一状态的物理量，在其发展变化中，由于受到物理规律和条件的制约，其取值往往只能在一定的范围内才符合物理问题的实际，求这些量的值的问题便可能涉及到要求物理量的极值。

求解物理极值问题，通常涉及到的数学知识有：点到直线的距离最短 ,两数的几何平均值小于或等于它们的算术平均值,二次函数求极值的方法,因式分解,三角函数,几何作图法,有关圆的知识等等。

在求解物理极值过程中要想能与数学知识进行灵活的结合，充分发挥数学的作用，往往要进行数学建模。

数学建模就是用数学语言描述实际现象的过程。

在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。

因此，人们常对实际事物建立种种数学模型以期通过对该模型的考察来描述、解释、预计或分析出与实际事物相关的规律。

利用数学解决实际问题的方框图如下：物理极值与中学数学知识结合事例一、用二次函数求极值1 、用二次函数极值公式求极值对于典型的一元二次函数,若, 则当时 ,y 有极小值，为；若, 则当时 ,y 有极大值，为；例 1 、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以 3m/s 2 的加速度开始行驶。

恰在这时一辆自行车以 6m/s 的速度匀速驶来，从后边赶过汽车。

汽车从路口开动后，在追上自行车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？解：经过时间 t后，自行车做匀速运动，其位移为，汽车做匀加速运动，其位移为：两车相距为：这是一个关于 t的二次函数，因二次项系数为负值，故ΔS有最大值。

案例60 物理学中经常使用的几种科学思维方式进入高三，高考在即。

如安在高三物理温习中更好地提高学生的科学素养、推动知识向能力转化、提高课堂教学的效率和质量，是摆在每一个教师和学生眼前的重要课题。

物理教学中不仅要注重基础知识、大体规律的教学；更应增强对学生进行物理学研究问题和解决问题的科学思维方式的指导与训练。

英国哲学家培根说过：“跛足而不迷路，能赶过虽健步如飞，但误入邪路的人”。

学习也是如此，只有看清路，才能少走或不走弯路。

可见，把握物理学科的特点，熟悉物理研究问题和解决问题的方式是相当重要的。

学好中学物理，不只是一个肯不肯用功的问题，它还有一个方式问题，把握正确的思路和方式往往能起到事半功倍的成效。

下面咱们从高中物理综合温习教学的角度，通过对典型问题的分析、解答、训练，介绍经常使用的几种科学思维方式，以期达到减轻学生负担提高温习效率的目的。

1．模型法物理模型是一种理想化的物理形态，将复杂的问题抽象化为理想化的物理模型是研究物理问题的大体方式。

科学家通常利用抽象化、理想化、简化、类比等把研究对象的物理学本质特点突出出来，形成概念或实物体系，即为物理模型。

模型思维法确实是对研究对象或进程加以合理的简化，突出要紧因素忽略次要因素，从而解决物理问题的方式。

从本质上说，分析物理问题的进程，确实是构建物理模型的进程。

通过构建物理模型，得出一幅清楚的物理图景，是解决物理问题的关键。

实际中必需通过度析、判定、比较，画出进程图（进程图是思维的切入点和生长点）才能成立正确合理的物理模型。

[例1] 如图1－1所示，滑腻的弧形槽半径为R （R>>MN 弧），A为弧形槽的最低点，小球B 放在A 点的正上方离A 点高度为h 处，小球C 放在M 点，同时释放，使两球正好在A 点相碰，那么h 应为多大？解：对小球B ：其运动模型为自由落体运动，下落时刻为 t B ＝gh 2 对小球C ：因为R>>MN 弧，因此沿圆弧的运动模型是摆长等于R 的单摆做简谐振动，从M 到A 的可能时刻为四分之一周期的奇数倍因此 t C ＝c T n 4)12(+ gR Tc π2＝ 解得：h ＝8)12(22R n π+． （n ＝0，1，2……） 【评注】解决此题的关键就在于成立C 小球的运动模型——单摆简谐振动，其圆弧的圆心相当于单摆的悬点，圆弧的半径相当于单摆的摆长，只要求出C 小球运动到A 点的时刻，问题就容易解决了[例2] 在滑腻的水平面上有三个完全相同的小球排成一条直线，其中二、3小球静止，并靠在一路。

物理学中的极值问题与极端法编稿：小志【高考展望】物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。

在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。

【知识升华】物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。

物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。

在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。

如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。

至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。

临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

【方法点拨】求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。

数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。

一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。

多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。

【典型例题】类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值二次函数2y ax bx c =++有如下知识： （1）若0a >、2b x a=-时，y 有极小值2min 44ac b y a -=； （2）若0a <、2b x a=-时，y 有极大值2max 44ac b y a -=。

A．当 =0 时，该解给出 a=0，这符合常识，说明该解可能是对的 B．当 =90时，该解给出 a=g，这符合实验结论，说明该解可能是 对的 C．当 M≥m 时，该解给出 a=gsinθ，这符合预期的结果，说明该解 可能是对的 D．当 m≥M 时，该解给出 a= g ，
sin 这符合预期的结果，说明该解可能是 对的
[例5]足球运动员在距球门正前方s处的罚球点，准确地从球门
正中央横梁下边缘踢进一球。横梁下边缘离地面的高度为h，足球
质量为m，空气阻力忽略不计。运动员至少要对足球做的功为W。
下面给出功W的四个表达式中只有一个是合理的，你可能不会求
解W，但是你可以通过一定的物理分析，对下列表达式的合理性
做出判断。根据你的判断，W的合理表达式应为(
举例如下：如图所示，质量为M、倾角为θ的滑块A放于水平地 面上。把质量为m的滑块B放在A的斜面上。忽略一切摩擦，有人求 得B相对地面的加速度 式中g为重力加速度。 对于上述解，某同学首先分析了等号右侧量 的单位，没发现问题。他进一步利用特殊条 件对该解做了如下四项分析和判断，所得结 论都是“解可能是对的”。但是，其中有一项是错误的（ ）
)
A.
W
1 mg(h 2
h2 s2 )
B. W mgh
D. 可能是先变大后变小
【变式1】(多选)如图所示，真空中A、B两点固定着两等量正 点电荷Q，MN为A、B连线的中垂面，O为A、B连线的中点。现 将一点电荷q从中垂面上一点P沿中垂面向O点移动的过程中，点 电荷q受A、B两点电荷共同作用力大小的变化情况是( CD )
A. 一定是逐渐增大 B. 一定是逐渐减小 C. 可能是逐渐减小 D. 可能是先变大后变小
A．cosα = F mg

物理中的极值问题分析在中学物理中，力、热、光、电各部分都包含有极值问题。

在近年高考中，几乎每一年都涉及极值问题的分析。

分析极值问题是用数学思想处理物理问题的具体体现，常用的分析方法有以下四种：一、几何作图法例１、 在运动学中有一个著名的“鸟取食路线”问题。

如图１所示，AB 代表高为H 的树，在树的顶端A 点处有一只鸟，在树的对面距树d 米处有一高为h 的篱笆EG ，地面上晒有谷粒。

为了使飞行路线最短，这只鸟应选取哪一条路线啄取谷粒？最短飞行路程是多少？ 分析：若这只鸟按A →C 1→E 路线取食，则飞行路程为S 1＝E C AC 11+，作E 的对称点F ，连接C 1、F ，由几何关系可知:S 1=11+。

同理，若啄取C 2点的谷粒，则有:S 2=F C AC 22+，即：不论啄取哪一点的谷粒，飞行路程都等于这一点与A 、F 两点连线距离之和。

根据“两点之间直线最短”原理，这只鸟应按A →D →E 路线取食飞行路程最短。

由图可知，最短飞行路程为S m =AF =2222)(d h H MF AM ++=+ 。

例２、如图２所示，用细绳OA 和OB 把一个质量为ｍ的物体悬挂在天花板上，保持OA 与竖直方向的夹角α不变,把OB 绳向右移动。

则在OB 绳与竖直方向的夹角β从α＋β＜90°增加到β=90°的过程中，OB 绳所受的拉力T B 和OA 绳所受的拉力T A 将（ ）A 、T A 一直增加；B 、T B 一直减小；C 、T B 先增加后减小；D 、T B 先减小后增加。

分析：如图３a 所示，物体受到两个力的作用。

因绳子对物体向上的拉力T 到结点O 处分解为T A 、T B ，故物体m 的受力情况可以等效为图３b 所示的三个力作用。

因为在T A 、T B 、mg 三个力作用下物体处于平衡状态，所以这三个力的合力为零，这三个力刚好构成一个首尾相连的封闭三角形。

在β改变的过程中，重力mg 的大小、方向均不变，T A 的方向不变。

如图所示，在光滑的圆锥体顶端用长 为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定 在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与 轴线之间的夹角为30°.求小球沿圆锥体表面在水平面内做圆 周运动的最大速度．
[思路点拨] 小球不离开圆锥表面的临界条件为受到的支持 力等于零．
[解析] 如图所示，小球在锥面上运动，当支持力 FN＝0

m＝6 m.
对 Δx＝－32t2＋6t 也可以用配方法求解：
Δx＝6－32(t－2)2
显然，当 t＝2 s 时，Δx 最大为 6 m.
[此题也可用临界法求解．] [答案] 见解析
三、三角函数法 某些物理量之间存在着三角函数关系，可根据三角函数知识 求解极值．
质量为m的物体与水平地面间的动摩擦因数为μ，求 维持物体做匀速运动的最小拉力．
显然，当 F⊥F′时，F 最小．
Fmin＝mgsin α＝mg
tan α ＝ 1＋tan2 α
μmg .
1＋μ2
[答案] μmg 1＋μ2
五、均值不等式法 任意两个正整数a、b，若a＋b＝恒量，当a＝b时，其乘积 a·b最大；若a·b＝恒量，当a＝b时，其和(a＋b)最小．
小明站在水平地面上，手握不可伸 长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为 m 的 小球，甩动手腕，使球在竖直平面内做圆周 运动．当球某次运动到最低点时，绳突然断 掉，球飞行水平距离 d 后落地，如图所示．已知握绳的手离
μmg .
1＋μ2
[答案] μmg 1＋μ2
四、图解法 此种方法一般适用于求矢量极值问题，如动态平衡问题，运 动的合成问题，都是应用点到直线的距离最短求最小值．
(原创题)用图解法求例3中的最小拉力．
[解析] 由FFNf ＝μ 知，不论 Ff、FN 为何值，其比值恒定

高中物理中的极值问题及求解方法随着高考新课程改革的深入及素质教育的全面推广，物理极值问题成为中学物理教学的一个重要内容，它对培养学生的理解能力、逻辑推理能力、数学运算能力、综合分析能力都有很高要求，所以研究极值问题的规律和探究解决解决极值问题的方法，对于培养学生创造性思维能力和掌握科学研究的方法均有重要的意义。

一、 利用数学方法求极值1．配方法： 2224()24b ac b ax bx c a x a a-++=++当a ＞0时，当2bx a=-时，y 有最小值为：2min 44ac b y a -=当a ＜0时，当2bx a=- 时，y 有最大值为：2max 44ac b y a -=例1.如图所示摩托车做腾跃特技表演，以速度v 0=10m ／s 冲上顶部水平的高台试分析：当台高h 多大时飞出，求跳板高度h 多大时，飞出的水平距离最远？且最大值是多少?(一切摩擦不计，取g=10 m ／s 2)。

解析:设摩托车从高台飞出的水平速度为v ，根据机械能守恒定律有：2201122mv mgh mv =+ ① 摩托车飞出后做平抛运动，飞出的水平距离：2hs vt vg== ② 由①和②有：222002224h v s v gh h h g g=-=-g③ 因为40a =-<，所以s 有最大值的条件为：22002/ 2.522(4)4b v g v h m a g=-=-==⨯- ④且最大距离为; 2max 52v s m g== ⑤ 例2甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向运动，其中甲以10 m/s 的速度匀速行驶，乙以2 m/s 2的加速度由静止启动，求：(1)经多长时间乙车追上甲车？此时甲、乙两车速度有何关系？ (2)追上前经多长时间两者相距最远？此时二者的速度有何关系？【解析】(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为x 1，乙车位移为x 2，则x 1＝x 2，即211a 2v t t 11＝，解得12110 s 20 m /s t v at ＝，＝＝，因此212v v ＝.(2)设追上前二者之间的距离为x ∆，则22221 2x x x v t at t t 12122Δ10＝－＝－＝－由数学知识知：当10s 521t s =⨯2＝时，两者相距最远，此时21v v '＝. 例3、.(2017新课标II)如图，半圆形光滑轨道固定在水平地面上，半圆的直径与地面垂直。

中学物理中的一些极值问题
中学物理课程中的一些极值问题，是学生能够完全掌握物理知识，进行正确判断、分析和综合运用的关键。

然而，学生对极值问题的认识往往停留在物理原理的定义和例题的解法上，无法把物理知识灵活地运用在极值问题中，甚至不知道该如何处理极值问题。

首先，极值问题涉及到极值理论，即利用微分的原理寻找函数的极值点，将其分为最大值最小值问题。

其次，要熟悉极值问题的基本公式，熟悉利用极值公式解决物理问题的方法。

同时，要掌握一些常见的极值技巧，如换元法、特征值法、四元数等。

接下来，要学会思考，在处理极值问题时，要从整体上把握问题出发点、结束点，把握解题目标，全面深入地掌握一个题目可能涉及到的物理知识。

思考过程中，要发挥主观能力，创造出合理的论述，关联概念，变换角度、物理参数，不断推移和推理，以达到解决问题的目的。

最后，注意形式，把题目一定要加以全面记录，给出准确明确的答案，把解题过程简明扼要地表达出来，形成解题结果，以便于老师和同学正确地阅读和理解。

总之，极值问题是学习物理知识的重要内容，学生在解决极值问题时，要熟悉极值理论、掌握极值公式、熟练运用极值技巧，掌握物理知识，运用思维和分析能力，认真审题，形成准确、规范的解题过程和结果。

只有通过努力总结归纳，才能对此有深入的认识，掌握此项技能，做到极致。

浅谈中学物理极值问题极值问题是中学物理应用数学工具的典型问题，它的特点是综合强，对过程分析要求高，有时还比较隐蔽，使人感到难入手。

本文将通过具体分析一些典型的例子，培养大家对极值问题的敏感性，并揭示极值问题的常用方法和注意事项。

一、对是否存在极值的判断例1 如图1，一根一端封闭的玻璃管开口向上，长L=90cm，管口处有一段长h= 15cm的水银柱，水银面与管口相平，此时被封气体的温度为27℃，外管大气压为75cmHg，求温度至少升高至多少度，水银柱方能从管中全部溢出？图1分析与解当水银不断流出时，封闭气体积增大，压强变小，设还剩余 x cm高PV最大，此时对应温度为。

由理想气体状态方程得点评本题常见的一种错解是以为水银流出时所需温度最高，得T=300K。

形成这种错解的原因是对水银在不断流的过程中，PV乘积存在最大值缺乏敏感性。

通常当两个物理量一个在增大，另一个在减小时，其乘积很可能存在极值。

另外从解得的结果T=300K= ，也应该能够意识这种解法的错误，并感觉到中间过程中可能存在极值。

这种思维方法在例2中有详细说明。

例2 如图2电路， AB接在一个稳压电源两端，为理想电流表，试分析，当滑动变阻器的滑片从a移向b的过程中的读数将如何变化？图2点评这种思维方法通常称“极端法”，通常用于处理以中间过程分析、运算比较复杂的问题，一般对于两个“极端”结果相同的问题中间往往存在极值，至于极大还是极小可借助于对于中间某一特定位置的分析计算，必要时可利用数学上常用的“赋值法”加于判断。

当然，这种方法由于只研究了一些特殊位置，缺乏严密性，尤其对于中间过程比较复杂（如出现反复几次变大变小）的问题时要慎重。

二、极值问题的常用解法1.数学方法用数学方法求解极值的方法很多，如配方法、辅助角法、判别式法、基本不等式法、求导法等，在物理中最常用的是配方法和基本不等式法。

(1)配方法点评用配方法，求解极值是最常用的数学方法，其实是写出所需讨论的物理量的函数式（通常为二次函数），然后通过配方法求解。

物理学中的极值问题与极端法【高考展望】物理学中的临界和极值问题牵涉到一定条件下寻求最佳结果或讨论其物理过程范围的问题，此类问题通常难度较大技巧性强，所涉及的内容往往与运动学、动力学、电磁学密切相关，综合性强。

在高考命题中经常以压轴题的形式出现，临界和极值问题是每年高考必考的内容之一。

【知识升华】物理极值问题，就是求某物理量在某过程中的极大值或极小值。

物理极值问题是物理学中的一个重要内容，涉及的知识面广，综合性强。

在科学领域中，数学因为其众所周知的准确而成为研究者们最广泛用于交流的语言。

如果在解决这些问题时能与数学知识灵活地整合，运用适合的方法，将会拓展解决物理问题的思路，提高运用数学知识解决物理问题的能力。

所谓临界问题是指当某种物理现象（或物理状态）变为另一种物理现象（或另一物理状态）的转折状态叫临界状态．可理解成“恰好出现”或“恰好不出现”．某种物理现象转化为另一种物理现象的转折状态称为临界状态。

至于是“出现”还是“不出现”，需视具体问题而定。

临界问题往往是和极值问题联系在一起的。

【方法点拨】求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值。

数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值。

一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高。

多数极值问题，并不直截了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节。

【典型例题】类型一、利用二次函数极值公式（或配方法）求极值二次函数2y ax bx c =++有如下知识：（1）若0a >、2bx a =-时，y 有极小值2min 44ac b y a -=；（2）若0a <、2bx a=-时，y 有极大值2max 44ac b y a -=。

中学物理中的极值问题一、找极值条件和函数极值例1:一条河宽为d ，水流速度v 1=2m/s ，有一条小船在静水中的速度为v 2=1m/s.求小船过河的最小位移。

解：2cos dt θ=v （1）()12sin x t θ=-vv （2）y =d当x 最小时，总位移最小。

（1）带入（2），并将已知条件代入得： 2(sin )cos dx θθ=- （3） 将 222211tan cos tanθθθ-=+ 22221tan sin tanθθθ=+代入（3）得： 22222211(tan tan )tan d x θθθ=+-- 整理得： 2222220()tan tanx d d d x θθ+-+-=方程有实根的条件为：22444220=()()≥b ac d d x d x ∆-=-+-解得：≥xin x =in S =d(位移取最小值时，22tan θ=- 即：sin θ=0.5)或：2(sin )cos d x θθ=-=2tan cos dd θθ-而cos θ=带入上式得：2tan x d θ=-整理得：22223240tan tan d dx d x θθ-+-=如果函数为2y ax bx c =++ 如果x 没有限定范围，当a >0时，y 有极小值；当a <0时，y 有极大值。

如果x 给定范围，需配方。

例2．在图（甲）所示电路中，滑动变阻器的滑动触头从一端滑到另一端的过程中，其U－I 图线如图（乙）所示。

求滑动变阻器的变化范围。

若将电路改为图（丙）所示，图中R 0=4Ω，变阻器的变化范围如前所求。

求电流表的示数的最大值和最小值。

(电流表内阻忽略不计)解：U =IR 0≤U ≤8 2≤I ≤10解得：0≤R ≤4Ω由图得：E =10V r =1Ω 设R 左段电阻为x ，则：0000A R EI R x R x R x r R x=++-++=240520-x x ++=24026.25( 2.5)x -- 根据：0≤x ≤4 得：1.52≤I A ≤2.0(A)有些函数求极值，并不能如上直接求其极值，需要用其它方法。

【高中物理】高考物理解题方法极值法极值法一、方法简介通常情况下，由于物理问题涉及的因素众多、过程复杂，很难直接把握其变化规律进而对其做出准确的判断.但我们若将问题推到极端状态、极端条件或特殊状态下进行分析，却可以很快得出结论.像这样将问题从一般状态推到特殊状态进行分析处理的解题方法就是极端法.极端法在进行某些物理过程的分析时，具有独特作用，恰当应用极端法能提高解题效率，使问题化难为易，化繁为简，思路灵活，判断准确.用极端法分析问题，关键在于是将问题推向什么极端，采用什么方法处理.具体来说，首先要求待分析的问题有“极端”的存在，然后从极端状态出发，回过头来再去分析待分析问题的变化规律.其实质是将物理过程的变化推到极端，使其变化关系变得明显，以实现对问题的快速判断.通常可采用极端值、极端过程、特殊值、函数求极值等方法.二、典例分析1.极端值法对于所考虑的物理问题，从它所能取的最大值或最小值方面进行分析，将最大值或最小值代入相应的表达式，从而得到所需的结论.【例1】如图所示，电源内阻不能忽略，R1=10Ω，R2=8Ω，当开关扳到位置1时，电流表的示数为0.2A;当开关扳到位置2时，电流表的示数可能是A.0.27AB.0.24AC.0.21AD.0.18A【解析】开关S分别扳到位置1和2时，根据闭合电路欧姆定律可得，电源内阻R的数值未知，但其取值范围尽然是，所以，当R=0时，I2=0.25A;当R→∞时，I2→0.2A.故电流表示数的变化范围是0.2A本题的正确选项是BC.2.极端过程法有些问题，对一般的过程分析求解难度很大，甚至中学阶段暂时无法求出，可以把研究过程推向极端情况来加以考察分析，往往能很快得出结论。

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