第六讲 图像复原详解

复杂的退化环境具有非线性、时变和空间变化 的系统模型，但处理复杂。
采用线性空间不变模型近似。
图像复原
图6－1 图像退化模型
f(x,y)为原始图像，g(x,y)为退化图像。 n(x,y)为噪声，在实际应用中假设噪声是白噪声， 即它的频谱密度为常数，并且与图像不相关。 H为退化系统（或退化算子)。
图像复原
输入和输出满足下面关系：
gx, y H f x, y nx, y 或gx, y H f x, y 当nx, y＝0
退化系统为具有线性和空间不变性。
1、Hk1 f1x, y k2 f2x, y k1H f1x, y k2H f2x, y k1g1x, y k2g2x, y
2、Hf x a, y b gx a, y b
图像复原
频域中：
Gu,v Hu,v Fu,v Nu,v
其中，G(u, v)、F(u, v)、N(u, v)分别是退化图像
g(x, y)、原图像f(x, y)、噪声信号n(x, y)的傅立叶变换； H(u, v)是系统的冲激响应函数h(x, y)的傅立叶变换， 称为系统在频率域上的传递函数。
图像复原
H
he 1
he 0 he 2
he M 1 he M 2 he 0
H是循环矩阵，即每行最后一项等于下一行的最 前一项，最后一行的最后一项等于第一行最前一项。 循环矩阵相加或相乘得到的还是循环矩阵。
图像复原
2、二维情况：
设输入的数字图像f(x, y)大小为A×B，退化函 数h(x, y)被均匀采样为C×D大小。为避免交叠误差，
二、离散函数退化模型 1、一维情况：
设f(x)为具有A个采样值的离散输入函数，h(x) 为具有B个采样值的退化系统的冲激响应函数，则 经退化系统后的离散输出函数g(x)为输入f(x)和冲 激响应h(x)的卷积，即
g(x)=f(x)*h(x)
图像复原
为了避免上述卷积所产生的各个周期重叠（设每个 采样函数的周期为M），分别对f(x)和h(x)用添零延伸 的方法扩展成周期M=A+B-1的周期函数，即
x 0,1,2,M 1; y 0,1,2, N 1
考虑噪声的情况:
M 1 N 1
ge x, y fe m, nhe x m, y n ne x, y m0 n0
x 0,1,2,M 1; y 0,1,2, N 1
图像复原
用矩阵表示：
g Hf n
H0
H1
H M 1 H1
图像复原
ge 0 fe 0
g
ge 1
, f
fe 1
g
e
M
1
fe M
1
he 0
H
he 1
he 1 he 0
he M 1
he M 2
he M 1 he M 2
he 0
图像复原
根据he(x)＝he(x＋M),所以H的表达式可以改写为：
he 0 he 1 he 1
f , hx , y dd
图像复原
不考虑噪声的情况下，退化模型的响应为：
gx, y H f x, y
f
,
hx
,
y
dd
有位移的情况下，退化模型的响应为：
gx x0, y y0 f x x0, y y0 *hx, y
有噪声的情况下，退化模型的响应为：
gx, y f x, y*hx, y nx, y
图像复原
第六讲 图像复原
➢ 6.1 概述 ➢ 6.2 图像退化数学模型 ➢ 6.3 无约束图像复原 ➢ 6.4 有约束图像复原 ➢ 6.5 几何失真校正
图像复原
6.1 概述
在各类图像系统中，图像的传送和转换，如成 像、复制、扫描、传输及显示等，总要造成图像质 量降低。
图像退化：图像质量的变坏。 图像复原：将图像退化的过程模型化，并且采 用相反的过程来恢复出原始的图像。
图像复原
图像复原技术的分类： 在给定退化模型条件下，可以分为有约束和无 约束；根据所在的域，分为频域和空间域。
本讲首先介绍图像退化模型，然后是几种复原 方法，如反向滤波图像复原、维纳滤波图像复原、 几何校正等。
图像复原
6.2 图像退化数学模型
6.2.1图像退化模型
图像复原的关键技术之一就是建立一个能够反 映图像退化原因 ne 0
fe 1
ne 1
H M 1
HM 2
H
0
fe
MN
1
ne MN 1
其中H矩阵中的每个Hi是由函数he(x,y)的第i行而 来，即：
图像复原
hei,0
Hi
he i,1
hei, N 1 hei,1 hei,0 hei,2
hei, N 1 hei, N 2 hei,0
仍用添零扩展的方法，将它们扩展成M=A+C-1和N=
B+D-1个元素的周期函数。
fe
(
x,
y
)
f
(
x, 0
y
)
0 x A 1且0 y B 1 其他
he
(
x,
y
)
h(
x, 0
y
)
0 x C 1且0 y D 1 其他
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所以降质图像为：
M 1 N 1
ge x, y fe m, nhe x m, y n, m0 n0
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6.2.2 常见图像退化模型
一、连续函数退化模型
由函数的性质：
f x, y f x, y* x, y
二维卷积定义：
f
x,
y*
x,
y
f
,
x
,
y
dd
图像复原
H为一线性算子，所以h(x,y)为单位冲激响应函数。
hx, y H x, y
H为线性空间不变系统，对任意输入信号的响应为：
H f x, y f x, y*hx, y
Hi(i=0, 1, 2,…, M-1)为子矩阵，大小为N×N， 即H矩阵由M×M个大小为N×N的子矩阵组成，
称为分块循环矩阵。
图像复原
上述线性空间不变退化模型表明，在给定了 g(x, y)，并且知道退化函数h(x, y)和噪声分布n(x, y) 的情况下，可估计出原始图像f(x, y)。
假 设 图 像 大 小 M=N=512 ， 相 应 矩 阵 MH 的 大
fe(
x
)
f
(x 0
)
0 x A1 A x M 1
he
(
x)
h(
x)
0 x B 1
0 B x M 1
图像复原
M 1
ge x fe mhe x m, x 0,1,2,M 1 m0 因为fe(x) 和he(x)的周期为M,所以ge(x)的周期
也是M。可以用矩阵表示：
g Hf