33 三角恒等变换-艺考生文化课百日冲刺
- 格式:doc
- 大小:119.50 KB
- 文档页数:3
第16讲 三角恒等变换[玩前必备]1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β (S (α+β)) sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β (S (α-β)) cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β (C (α+β)) cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β (C (α-β)) tan(α+β)=tan α+tan β1-tan αtan β (T (α+β))tan(α-β)=tan α-tan β1+tan αtan β (T (α-β))2.二倍角公式 sin 2α=2sin αcos α (S 2α)cos 2α=cos 2α-sin 2α=2cos 2α-1=1-2sin 2α (C 2α) tan 2α=2tan α1-tan 2α (T 2α)3.公式的变形和逆用在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形用等.常见变形如下: 降幂公式:cos 2α=1+cos 2α2,sin 2α=1-cos 2α2,升幂公式:1+cos 2α=2 cos 2α,1-cos 2α=2sin 2α1+cos α=2cos 2α2,1-cos α=2sin 2α2.正切和差公式变形:tan α±tan β=tan(α±β)(1∓tan αtan β), tan αtan β=1-tan α+tan βtan (α+β)=tan α-tan βtan (α-β)-1.配方变形:1+sin α=(sin α2+cos α2)2,1-sin α=(sin α2-cos α2)2.4.辅助角公式a sin α+b cos α =a 2+b 2sin(α+φ),其中tan φ=ba.[玩转典例]题型一 两角和与差公式例1 (1) 计算cos 42° cos 18°-cos 48° cos 72°的值为________. (2)cos 15°cos 105°+sin 15°sin 105°.例2 (2018·青岛调研)已知tan(α+β)=25,tan ⎝⎛⎭⎫β-π4=14,那么tan ⎝⎛⎭⎫α+π4等于( ) A.1318 B. 1322 C. 322 D. 16例3 设α,β都是锐角,且cos α=55,sin(α+β)=35,则cos β= . [玩转跟踪]1.(2017北京)在平面直角坐标系xOy 中,角α与角β均以Ox 为始边,它们的终边关于y 轴对称.若1sin 3α=,则cos()αβ-=___________.2.已知cos α=13,cos(α+β)=-13,且α,β∈⎝⎛⎭⎫0,π2,则cos(α-β)的值等于( ) A .-12 B. 12 C .-13 D. 23273.(2015江苏)已知tan 2α=-,()1tan 7αβ+=,则tan β的值为_______.题型二 二倍角公式例4 已知sin 2α=513,π4<α<π2,求sin 4α,cos 4α,tan 4α的值.例5 (2013新课标Ⅱ)已知,则( ) A . B . C . D .[玩转跟踪]1.(2019全国Ⅱ)已知α∈(0,),2sin 2α=cos 2α+1,则sin α=2sin 23α=2cos ()4πα+=161312232πA .BC .D .2.[2016高考新课标Ⅲ]若tan 13θ=,则cos2θ=( ) (A )45-(B )15-(C )15(D )45题型三 化简公式综合应用例6 (2014江苏)已知,.(1)求的值;(2)求的值.[玩转跟踪]1.(2013广东)已知函数.(1) 求的值; (2) 若,求.[玩转练习]1.(2018全国卷Ⅲ)若1sin 3α=,则cos 2α= 15535),2(ππα∈55sin =α)4sin(απ+)265cos(απ-(),12f x x x R π⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3f π⎛⎫⎪⎝⎭33cos ,,252πθθπ⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭6f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭A .89B .79C .79-D .89-2.(2016年全国III )若 ,则 A .B .C .1D . 3.(2016年全国II )若,则( ) A .B .C .D . 4.(2015·重庆,6)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=( ) A.17B.16C.57D.565.(2018全国卷Ⅱ)已知sin cos 1+=αβ,cos sin 0+=αβ,则sin()+=αβ___.6.(2017江苏)若1tan()46πα-=,则tan α= . 7.(2015四川)=+οο75sin 15sin .8.(2019江苏13)已知,则的值是_________. 9.(2015·广东,16)已知tan α=2. (1)求tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α+π4的值;(2)求sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1的值.10.(2018江苏)已知,αβ为锐角,4tan 3α=,cos()αβ+=.(1)求cos2α的值;3tan 4α=2cos 2sin 2αα+=6425482516253cos()45πα-=sin 2α=7251515-725-tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2)求tan()αβ-的值.11.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过点34(,)55P --. (1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5sin()13αβ+=,求cos β的值.。
《三角函数图像变换与三角恒等变换》基础练1.将cos 2y x =图像向左平移6π个单位,所得的函数为( ) A .cos(2)3y x π=+ B .cos(2)6y x π=+ C .cos(2)3y x π=-D .cos(2)6y x π=-2.要得到函数4y sinx =-(3π)的图像,只需要将函数4y sin x =的图像( ) A .向左平移12π个单位 B .向右平移12π个单位C .向左平移3π个单位D .向右平移3π个单位3.要得到函数2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,只需将函数2cos2y x =的图像( ) A .向左平移3π个单位长度 B .向右平移3π个单位长度 C .向左平移6π个单位长度 D .向右平移6π个单位长度4.若将函数()sin 2f x x x =图像向右平移ϕ个单位,所得图像关于y 轴对称,则ϕ的最小值是( ) A .6πB .3π C .512π D .56π 5.要得到2sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像,可由sin y x =经过( )的变换得到. A .向左平移6π个单位,横坐标缩为原来的12,纵坐标扩大为原来的2倍, B .向左平移6π个单位,横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标缩为原来的12, C .向左平移12π个单位,横坐标缩为原来的12,纵坐标扩大为原来的2倍,D .向左平移12π个单位,横坐标扩大为原来的2倍,纵坐标缩为原来的12,6.把函数()sin f x x =图像上所有点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变),再把所得曲线向右平移6π个单位长度,最后所得曲线的一条对称轴是( ) A .12x π=-B .12x π=C .3x π=D .712x π=7.函数()()sin f x A x =+ωϕ(其中0,0,2A ωϕπ>><)的图像如图所示,为了得到函数()sin g x x ω=的图像,只需将()f x 的图像上所有点( )A .向右平移12π个单位长度 B .向左平移12π个单位长度C .向右平移6π个单位长度 D .向左平移6π个单位长度 8.如图是函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>><⎪⎝⎭在一个周期内的图像,则其解析式是( )A .()3sin 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭B .()3sin 6f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭C .()3sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D .()3sin 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭9.若1sin 3α=-,,02πα⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则sin 2α=( )A .9-B .9C .89D .89-10.已知1sin 44πα⎛⎫+=⎪⎝⎭,则cos 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭( )A .78-B .78C . D11.已知sin 45πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α=( ) A .45 B .45- C .35D .35-12.tan 20tan 251tan 20tan 25︒+︒=-︒⋅︒( )A B C .-1 D .113.已知sin cos αα-=,则sin 2α的值为( )A .13B .23-C .23D .13-14.已知π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π1cos 63α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin α的值等于( )A .6 B C .16D .15.若tan 2,tan()3ααβ=+=,则tan β=( ) A .17B .1-C .57D .15-16.cos50cos20sin50sin 20︒︒+︒︒的值为( )A .12B .13C D 17.已知,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且7cos 225x =,则cos x 的值是( )A .45-B .35-C .35D .4518.已知角θ的终边经过点5,62P ⎛⎫-- ⎪⎝⎭,则tan 4πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )A .76-B .177-C .2-D .219.若sin cos 1sin cos 2αααα+=-,则tan 2α等于( )A .34-B .34C .43-D .4320.函数cos sin 24πy x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的最大值为( ) A .98 B .0C .78D .171621.已知2cos()63πα-=,则5cos(2)3πα+的值为( ) A .59B .19C .19-D .59-22.若51sin 86πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则3cos 24πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值为( ) A .1718 B .1718-C .1819D .1819-23.已知()3sin 5πα+=,且2sin 20α<,则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为____________.24.已知α,β为锐角,且(1tan )(1tan )2αβ--=,则αβ+=__________. 25.若tan α,tan β是方程2670x x -+=的两个根,则αβ+=__________. 26.tan 80tan 201tan 80tan 20︒-︒=+︒︒__________.27.已知1sin()33x π+=,则cos cos()3x x π+-=________28.向量()1,2sin a θ=r ,(sin ,1)3b πθ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭r ,R θ∈,若a b ⊥r r ,则tan θ=______29.已知函数π()sin()(0,0)6f x A x A ωω=+>>图像的一部分如图所示.(1)求函数()f x 的解析式;(2)设π105π6,[,0],(3π),(3)21325f f αβαβ∈-+=+=,求sin()αβ-的值.30.已知1tan()42πθ+=. (1)求tan θ的值;(2)求22cos sin cos 1222)4θθθπθ--+的值.1、只要朝着一个方向努力,一切都会变得得心应手。
第三章 第5节1.(2018·全国Ⅲ卷)若sin α=,则cos 2α=( )13A. B. C .- D .-89797989解析:B [cos 2α=1-2sin 2α=1-=.]29792.已知α,β都是锐角,若sin α=,sin β=, 则α+β等于( )551010 A. B.π43π4C.和D .-和-π43π4π43π4解析:A [由于α,β都为锐角,所以cos α==,cos β==1-sin2α2551-sin2β.31010所以cos (α+β)=cos α·cos β-sin α·sin β=,22所以α+β=.]π43.(2019·新乡市一模)已知<α<π且sin =,则cos 等于( )π2(α+π6)35(α-π6)A. B.-4-33104+3310C.D.4-331033-410解析:D [∵<α<π,sin=,π2(α+π6)35∴<α+<,可得cos=2π3π67π6(α+π6)-=-,1-sin2(α+π6)45∴cos =cos=(α-π6)[(α+π6)-π3]cos cos +sin sin =×+×=.](α+π6)π3(α+π6)π3(-45)12353233-4104.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )=sin +cos 的最大值为( )15(x +π3)(x -π6)A.B .1C.D.653515解析:A [由两角和差公式得f (x )=+cos x +sin x15(12sin x +32cos x )3212=sin x +cos x =sin,3533565(x +π3)因为-1≤sin≤1,故函数f (x )的最大值为.](x +π3)655.(2019·洛阳市一模)若锐角φ满足sin φ-cos φ=,则函数f (x )=cos 2(x +φ)的单调22增区间为( )A.(k ∈Z )[2k π-5π12,2k π+π12]B.(k ∈Z )[k π-5π12,k π+π12]C.(k ∈Z )[2k π+π12,2k π+7π12]D.(k ∈Z )[k π+π12,k π+7π12]解析:D [锐角φ满足sin φ-cos φ=,22∴1-2sin φcos φ=,∴sin 2φ=;1212又sin φ>,∴2φ=,解得φ=;225π65π12∴函数f (x )=cos 2(x +φ)==+cos1+cos (2x +2φ)21212,∴2k π-π≤2x +≤2k π,(k ∈Z ),解得k π-≤x ≤k π-(k ∈Z );(2x +5π6)5π611π125π12∴f (x )的单调增区间为(k ∈Z ),即(k ∈Z ).][k π-11π12,k π-5π12][k π+π12,k π+7π12]6.已知θ是第四象限角,且sin=,则tan =________.(θ+π4)35(θ-π4)解析:∵θ是第四象限角,∴-+2k π<θ<2k π,π2则-+2k π<θ+<+2k π,k ∈Z .π4π4π4又sin=,(θ+π4)35∴cos===,∴cos =sin =,sin =(θ+π4)1-sin2(θ+π4)1-(35)245(π4-θ)(θ+π4)35(π4-θ)cos =,∴tan =-tan =(θ+π4)45(θ-π4)(π4-θ)-=-=-.sin (π4-θ)cos (π4-θ)453543答案:-437.(2018·贵阳市一模)已知tan(π+α)=2,则cos 2α+sin 2α=________.解析:∵tan (π+α)=tan α=2,∴sin 2α+cos 2α====.2sin αcos α+cos2 α-sin2αsin2α+cos2α2tan α+1-tan2αtan2α+12×2+1-2222+115答案:158.(2019·浙江省重点中学高三月考)请利用图1、图2中大矩形内部阴影部分的面积关系,写出该图所验证的一个三角恒等变换公式:______________________________________.解析:两个图的阴影部分面积相等,题图1中大矩形面积为:S =(cos α+cos β)(sin α+sin β)=sin(α+β)+sin α cos α+sin β cos β,减去四个小直角三角形的面积得S 1=S -sin α cos α-sin β cos β=sin(α+β),题图2中阴影部分面积为S 2=sin α cos β+cos α sin β.答案:sin(α+β)=sin α cos β+cos α sin β9.(2019·泉州市模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x 轴的正半轴重合,终边经过点P (-3,).3(1)求sin 2α-tan α的值;(2)若函数f (x )=cos(x -α)cos α-sin(x -α)sin α,求函数g (x )=f -2f 2(x )在区间3(π2-2x )上的值域.[0,2π3]解:(1)∵角α的终边经过点P (-3,),3∴sin α=,cos α=-,tan α=-.123233∴sin 2α-tan α=2sin αcos α-tan α=-+=-.323336(2)∵f (x )=cos(x -α)cos α-sin(x -α)sin α=cos x ,x ∈R ,∴g (x )=cos -2cos 2x3(π2-2x )=sin 2x -1-cos 2x =2sin-1,3(2x -π6)∵0≤x ≤,∴-≤2x -≤.2π3π6π67π6∴-≤sin≤1,12(2x -π6)∴-2≤2sin-1≤1,(2x -π6)故函数g (x )=f -2f 2(x )在区间上的值域是[-2,1].3(π2-2x )[0,2π3]10.已知α∈,且sin +cos =.(π2,π)α2α262(1)求cos α的值;(2)若sin(α-β)=-,β∈,求cos β的值.35(π2,π)解:(1)因为sin +cos =,两边同时平方,得α2α262sin α=.12又<α<π,所以cos α=-=-.π21-sin2α32(2)因为<α<π,<β<π,所以-<α-β<.π2π2π2π2又由sin(α-β)=-,35得cos(α-β)=.所以cos β=cos[α-(α-β)]45=cos α cos(α-β)+sin α sin(α-β)=-×+×=-.324512(-35)43+310。
第33课时 简单的三角恒等变换【考点点知】知己知彼,百战不殆新课标高考对三角恒等变换的要求有所降低,但三角函数求值、化简及恒等式证明仍是高考的热点.需要掌握的公式有两角和差、倍角的三角函数公式.新课标主要要求“能用上述公式进行简单的三角函数恒等变换”,这说明备考重点是掌握变换的基本思想方法.而不是盲目地训练繁难的偏题、怪题,应重视通性、通法的运用.考点一: 简单的三角恒等变换1.巧变角(已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+,2()()ααβαβ=++-,2()()αβαβα=+--,2αβαβ++=⋅,()()222αββααβ+=---等).2.三角函数次数的降升(降幂公式:21cos 2cos 2αα+=,21cos 2sin 2αα-=与升幂公式:21cos 22cos αα+=,21cos 22sin αα-=).利用倍角公式或半角公式,可对三角式中某些项进行升降幂处理 ( 1±sin α 可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛-±απ2cos 1,再用升次公式) ;22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+ααα,22cos 2sin sin 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-ααα等.从右到左为升幂,这种变形有利用根式的化简或通分、约分;从左到右是降幂,有利于加、减运算或积和(差)互化.3.辅助角公式中辅助角的确定:(),ϕααα++=+sin cos sin 22b a b a )sin ,(cos 2222ba b ba a s +=+=ϕϕ在求最值、化简时起着重要作用.【小题热身】明确考点,自省反思1.若cos 2πsin 4αα=⎛⎫- ⎪⎝⎭cos sin αα+的值为 . 2. 若2213cos 20sin 10cos 10a -=︒︒︒,则a = .3. (上海春季卷)已知tan ,(1)a a θ=>,求sin 4tan 2sin 2πθθπθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭⋅⎛⎫- ⎪⎝⎭= .【考题点评】分析原因,醍醐灌顶例1.设3sin β=sin(2α+β),α≠k π+2π,α+β≠k π+2π.(k ∈Z )求证:tan(α+β)=2tan α.思路透析:证明: 由3sin β=sin(2α+β),得3sin [(α+β)-α]=sin [(α+β)+α], 即3sin(α+β)cos α-3cos(α+β)sin α=sin (α+β)cos α+cos(α+β)·sin α. 整理得sin(α+β)cos α=2cos(α+β)sin α. 因为α≠k π+2π,α+β≠k π+2π(k ∈Z ).将上式两边同除以cos αcos(α+β). 得tan(α+β)=2tan α.点评:要注意观察条件和结论之间的差异.主要是看角,看函数的名称、次数、式子的结构特征.如从角的差异入手,将角变形为2α+β=(α+β)+α,β=(α+β)-α.从已知条件变形入手,可证得结论.例2.已知7sin α=3sin (α+β),求证:2tan22βα+=5tan 2β. 思路透析:证明:由已知7sin α=3sin (α+β),即7sin (22βα+-2β)=3sin (22βα++2β).∴7sin 22βα+cos 2β-7cos 22βα+sin 2β=3sin 22βα+cos 2β+3cos 22βα+sin 2β,即2sin 22βα+cos 2β=5cos 22βα+sin 2β.两边同除以cos 22βα+cos 2β,即得2tan 22βα+=5tan 2β.点评:盯住欲证等式的左、右两边,根据它们的状况(一般要看角、函数名称、结构特征),采取恰当的措施来对条件等式进行变形,直到目标.例3.求证:αβαsin 2sin )(+-2cos (α+β)=αβsin sin .思路透析:证明:sin (2α+β)-2cos (α+β)sin α =sin [(α+β)+α]-2cos (α+β)sin α=sin (α+β)cos α+cos (α+β)sin α-2cos (α+β)sin α =sin (α+β)cos α-cos (α+β)sin α=sin [(α+β)-α]=sin β. 两边同除以sin α得 αβαsin 2sin )(+-2cos (α+β)=αβsin sin .点评:证明三角恒等式,可先从两边的角入手——变角,将表达式中出现了较多的相异的角朝着我们选定的目标转化,然后分析两边的函数名称——变名,将表达式中较多的函数种类尽量减少,这是三角恒等变形的两个基本策略.例4. P 是以F 1、F 2为焦点的椭圆上一点,且∠PF 1F 2=α,∠PF 2F 1=2α,求证:椭圆的离心率为e =2cos α-1.思路透析:证明:在△PF 1F 2中,由正弦定理知α2sin ||1PF =αsin ||2PF =)(α3πsin||21-F F .由比例的性质得α3sin ||21F F =ααsin 2sin ||||21++PF PF⇒e =||||||2121PF PF F F +=αααsin 2sin 3sin +=ααααααα2cos sin 2sin 2sin cos 2cos sin ++ =)()(αααααcos 21sin cos sin 2cos 2sin 22+⋅+1-=1+-ααcos 21cos 42=2cos α-1. 点评:依据椭圆的定义2a =|PF 1|+|PF 2|,2c =|F 1F 2|,∴e =ac22.在△PF 1F 2中解此三角即可得证.恰当地利用比例的性质有事半功倍之效. 【即时测评】学以致用,小试牛刀1. 如果tan312=α,那么cos α=( ) A. 12 B. 34 C. 54 D. 352. 若2π<α<π,且cos α=a ,则sin 2α=( )A.B.C.D. 21a-3. 化简x x x x 2cos cos sin 2cos 44-++的结果是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. -14. 给出下列三角函数式:①)4sin(2x +π;),4x π+③2212tan tan 221tan 2x x x --+ ③22cos 122cos 1xx --+, 当x ∈R 时与cos x -sin x 恒等的是( ) A. ① B. ② C. ③ D. ④【课后作业】学练结合,融会贯通一、填空题:1. 化简cos2α+6sin 22α-8sin 42α=________. 2. 若sin α=135,α在第二象限,则tan 2α= . 3. 若tan θ+cot θ=m,则sin2θ= .4. 若-2π<α<-23π,则2)cos(1πα--= .5. 已知tan α和tan (4π-α)是方程ax 2+bx +c =0的两个根,则a 、b 、c 的关系是 .6. 周长为定值L (L >0)的直角三角形的面积的最大值为 . 二、解答题:7.求证:.2tan 2sin )1cos )(sin 1cos (sin xx x x x x =+--+8.在△ABC 中,求证:sin 2.2sin 2sin 2sin 212sin 2sin 222C B A C B A -=++第33课时 简单的三角恒等变换参考答案【小题热身】 1. 12 2. 32 3.【即时测评】1. C2. D3. B4. B【课后作业】一、填空题:1. cos α2. 53. m 24. -cos 2α 5. c =b +a 6. 4223-L 2二、解答题:7.证明:左边=x x xx x x x x cos sin 2)2sin 22cos 2sin 2)(2sin 22cos 2sin 2(22+- xx x x x x x cos sin 2)2sin 2)(cos 2sin 2(cos 2sin 42+-=2222sin (cos sin )sin cos 2222tan 22sin cos cos cos cos 222x x x xxx x x x x x -⋅====⋅右边.8.证明:左边=2cos 12cos 12cos 1CB A -+-+- 31(cos cos cos )22A B C =-++ 31[cos()cos()cos ]222222A B A B A B A B C +-+-=-++-+ 231(2cos cos 12sin )22222A B A B C +-=-+- 211(2sin cos 2sin )2222C A B C -=--1sin (cos cos )1sin 2sin sin 222222C A B A B C A B-+=--=-⋅12sinsin sin .222A B C =-。
三角恒等变换【专题要点】两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,半角公式,积化和差、和差化积公式(不要求记忆);三角公式的灵活运用,包括正用、逆用、变形使用等,运用公式进行化简、求值、证明以及解三角形或结合三角函数图象解题【考纲要求】 1.和与差的三角函数公式(1)向量的数量积推导出两角差的余弦公式.(2)用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式.(3)用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.(4)体会化归思想的应用,能运用它们进行简单的三角函数式的化简、求值及恒等式的证明(5)理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系; 2.简单的三角恒等变换运用上述公式进行简单的恒等变换,以引导学生推导半角公式,积化和差、和差化积公式(不要求记忆)作为基本训练,使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性,体会一般与特殊的思想,换元的思想,方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用 【知识纵横】11个三角恒等变换公式中,余弦的差角公式是其它公式的基础,由它出发,用-β代替β、2±β代替β、α=β等换元法可以推导出其它公式。
你能根据下图回顾推导过程吗? 【学法导航】1.三角函数的化简与求值、证明的难点在于众多三角公式的灵活运用和解题突破口的合理选择,要认真分析所给式子的整体结构,分析各个三角函数及角的相互关系是灵活选用公式的基础,是恰当寻找解题思维起点的关键所在(1)化简,要求使三角函数式成为最简:项数尽量少,名称尽量少,次数尽量底,分母尽量不含三角函数,根号内尽量不含三角函数,能求值的求出值来;(2)求值,要注意象限角的范围、三角函数值的符号之间联系与影响,较难的问题需要根据上三角函数值进一步缩小角的范围(3)证明是利用恒等变换公式将等式的左边变同于右边,或右边变同于,或都将左右进行变换使其左右相等 2.对于三角变换公式务必要知道其推导思路,从而清晰地“看出”它们之间的联系,它们的变化形式.如tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+, 221cos 1cos cos ,sin 2222αααα+-==等.从而可做到:正用、逆用、变形用自如使用各公式;三角变换公式除用来化简三角函数式外,还为研究三角函数图象及性质做准备。
专题七三角恒等变换与解三角形1.(2016·课标Ⅲ,6,易)若tan θ=-13,则cos 2θ=()A .-45B .-15C.15 D.452.(2013·江西,3,易)若sin α2=33,则cos α=()A .-23B .-13 C.13 D.233.(2013·课标Ⅱ,6,易)已知sin 2α=23,则cos ()A.16B.13C.12D.234.(2015·重庆,6,易)若tan α=13,tan(α+β)=12,则tan β=()A.17B.16C.57D.565.(2016·课标Ⅰ,14,易)已知θ是第四象限角,且=35,则________.6.(2016·浙江,11,易)已知2cos 2x +sin 2x =A sin(ωx +φ)+b (A >0),则A =________,b =________.7.(2014·大纲全国,14,中)函数y =cos 2x +2sin x 的最大值为__________.8.(2013·四川,13,中)设sin 2α=-sin α,αtan 2α的值是________.9.(2014·江苏,15,14分,中)已知αsin α=55.(1)求sin(2)求cos 210.(2014·四川,17,12分,中)已知函数f (x )=x (1)求f (x )的单调递增区间;(2)若α是第二象限角,=45cos 2α,求cos α-sin α的值.三角函数式的化简与求值是三角函数的基本的考点之一,高考每年都涉及.一般涉及到诱导公式、两角和差公式、二倍角公式及三角函数的恒等变换,所以解题中要熟练利用三角函数的有关公式进行化简与求值,一般以选择题、填空题出现,属于基础题,分值为5分.1(1)(2014·课标Ⅰ,8)设αβtan α=1+sin βcos β,则()A .3α-β=π2B .2α-β=π2C .3α+β=π2D .2α+β=π2(2)(2015·江苏,8)已知tan α=-2,tan(α+β)=17,则tan β的值为________.(3)(2015·广东,16,12分)已知tan α=2.①求tan ②求sin 2αsin 2α+sin αcos α-cos 2α-1的值.解题(1)先切化弦再交叉相乘,得到α与β之间的关系式,再结合两角和差公式的逆用得到角的大小,注意一定要先确定好角的范围;解题(2)关键在角的变换β=(α+β)-α;解题(3)①利用两角和的正切公式,②将正、余弦转化为正切后求值.注意转化与化归思想的应用.(2013·重庆,9)4cos50°-tan40°=()A.2B.2+3C.3D.22-12三角函数式的化简方法及基本思路(1)化简方法弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂,“1”的代换,辅助角公式等.(2)化简基本思路“一角二名三结构”,即:一看“角”,这是最重要的一环,通过角之间的差别与联系,把角进行合理地拆分,从而正确使用公式;二看“函数名称”,看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式,常见的有“切化弦”,关于sin α·cosα的齐次分式化切等;三看“结构特征”,分析结构特征,找到变形的方向,常见的有“遇到分式要通分”,“遇根式化被开方式为完全平方式”等.注意:根式的化简常常需要升幂去根号,在化简过程中注意角的范围,以确定三角函数值的正负.在三角函数中涉及到和差角公式、二倍角公式是高考的热点,常与三角函数的求值、化简交汇命题,既有选择题、填空题,又有解答题,难度适中,主要考查公式的灵活运用及三角恒等变换的能力.2(1)(2014·课标Ⅱ,14)函数f(x)=sin(x+φ)-2sinφcos x的最大值为________.(2)(2014·江西,16,12分)已知函数f (x )=(a +2cos 2x )cos(2x +θ)为奇函数,且0,其中a ∈R ,θ∈(0,π).①求a ,θ的值;②若=-25,αsin题(1)利用正弦的和角公式将函数f (x )转化为f (x )=sin(x -φ)的形式,利用三角函数的性质求解;题(2)①f (x )是奇函数,而y 1=a +2cos 2x 是偶函数,所以y 2=cos(2x +θ)是奇函数,可得θ,然后由0,可得a ;②结合①中的结论,运用倍角公式化简f (x )的解析式,再由同角三角函数的基本关系式与两角和的正弦公式求sin(2014·广东,16,12分)已知函数f (x )=A x ∈R ,且=322(1)求A 的值;(2)若f (θ)-f (-θ)=3,θ三角函数求值的原则通过求角的某种三角函数值来求角,在选取函数时,遵照以下原则:(1)已知正切函数值,选正切函数;(2)范围是(0,π)-π2,三角函数求值的类型及方法(1)“给角求值”:解决给角求值问题的关键是两种变换:一是角的变换,注意各角之间是否具有和差关系、互补(余)关系、倍半关系,从而选择相应公式进行转化,把非特殊角的三角函数相约或相消,从而转化为特殊角的三角函数;二是结构变换,在熟悉各种公式的结构特点、符号特征的基础上,结合所求式子的特点合理地进行变形.(2)“给值求值”:给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外某些函数式的值,以备应用.同时也要注意变换待求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的.(3)“给值求角”:实质上也转化为“给值求值”,关键也是变角,把所求角用含已知角的式子表示,由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角,有时要压缩角的取值范围.注意:在求值的题目中,一定要注意角的范围,要做到“先看角的范围,再求值”.1.(2016·河南洛阳统考,4)若α∈[0,2π),则满足1+sin 2α=sin α+cos α的α的取值范围是()A.0,π2B .[0,π]C.0,3π4D.0,3π4∪7π4,2.(2015·河南开封二模,7)已知tan α=4,则1+cos 2α+8sin 2αsin 2α的值为()A .43B.654C .4D.2333.(2016·四川成都质检,10)若sin 2α=55,sin(β-α)=1010,且α∈π4,π,β∈π,3π2,则α+β的值是()A.7π4B.9π4C.5π4或7π4D.5π4或9π44.(2014·山东临沂质检,13)化简:sin 2αsin 2β+cos 2αcos 2β-12cos 2αcos 2β=________.5.(2015·北京西城一模,13)若锐角α,β满足(1+3tan α)(1+3tan β)=4,则α+β=________.6.(2016·浙江杭州模拟,10)已知sin α,cos α是关于x 的方程x 2-ax +a =0的两个根,则1+cos 2α-sin 2α1-sin 2α-cos 2α+1-sin 2α-cos 2α1+cos 2α-sin 2α=________.7.(2015·山东济南一模,16,12分)已知函数f (x )=sin x cos x -3sin 2x .(1)求f (x )的最小正周期;(2)求f (x )在区间0,π4上的取值范围.8.(2016·湖南株洲模拟,17,12分)已知函数f (x )=cos x(1)求f (2)求使f (x )<14成立的x 的取值集合.9.(2016·广东佛山调研,17,12分)已知函数f(x)=(2cos2x-1)sin2x+12cos4x.(1)求f(x)的最小正周期及最大值;(2)若αf(α)=22,求α的值.1.(2016·课标Ⅰ,4,易)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=5,c=2,cos A=23,则b=()A.2B.3C.2D.32.(2016·山东,8,易)△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知b=c,a2=2b2(1-sin A),则A=()A.3π4B.π3C.π4D.π63.(2016·课标Ⅲ,9,中)在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于13BC,则sin A=()A.3 10B.1010C.55D.310104.(2015·广东,5,易)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若a=2,c=23,cos A=32且b<c,则b=()A.3B.22C.2 D.35.(2014·江西,5,易)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别为a,b,c,若3a=2b,则2sin2B-sin2Asin2A的值为()A.-19B.13C.1 D.726.(2013·陕西,7,易)设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若b cos C+c cos B=a sin A,则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定7.(2013·课标Ⅱ,4,中)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=2,B=π6,C =π4,则△ABC 的面积为()A .23+2B.3+1C .23-2D.3-18.(2016·课标Ⅱ,15,中)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若cos A =45,cos C =513,a =1,则b =________.9.(2016·北京,13,难)在△ABC 中,∠A =2π3,a =3c ,则bc=________.10.(2015·安徽,12,易)在△ABC 中,AB =6,∠A =75°,∠B =45°,则AC =____________.11.(2014·课标Ⅰ,16,中)如图,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°,C 点的仰角∠CAB =45°以及∠MAC =75°;从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =100m ,则山高MN =________m.12.(2016·浙江,16,14分,易)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知b +c =2a cos B .(1)证明:A =2B ;(2)若cos B =23,求cos C 的值.13.(2016·天津,15,13分,易)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a sin 2B =3b sin A .(1)求B ;(2)若cos A =13,求sin C 的值.14.(2016·四川,18,12分,中)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c ,且cos Aa+cos B b =sin Cc.(1)证明:sin A sin B =sin C ;(2)若b 2+c 2-a 2=65bc ,求tan B .15.(2015·山东,17,12分,中)△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知cos B=33,sin(A +B )=69,ac =23,求sin A 和c 的值.16.(2015·课标Ⅱ,17,12分,中)△ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,BD =2DC .(1)求sin ∠Bsin ∠C;(2)若∠BAC =60°,求∠B .17.(2015·课标Ⅰ,17,12分,中)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B =2sin A sin C .(1)若a =b ,求cos B ;(2)设B =90°,且a =2,求△ABC 的面积.,利用正、余弦定理解三角形是高考的必考内容,利用正、余弦定理来求边或角及相关的简单三角形问题,难度适中,考查考生对条件的转化能力,有时需要综合应用正、余弦定理.在选择题、填空题及解答都可能出现.1(1)(2015·北京,11)在△ABC 中,a =3,b =6,∠A =2π3,则∠B =________.(2)(2014·重庆,18,13分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 且a +b +c =8.①若a =2,b =52,求cos C 的值;②若sin A cos 2B 2+sin B cos 2A 2=2sin C ,且△ABC 的面积S =92sin C ,求a 和b 的值.题(1)直接应用正弦定理求sin B 的值,但要注意情况的讨论、确定角的范围再求值;题(2)①根据边长关系求解出c ,再由余弦定理求解出cos C 的值;②先运用二倍角公式对已知等式进行降次化简,再运用两角和公式得到sin A +sin B 与sin C 之间的等量关系,利用正弦定理和三角形的面积公式求解出a ,b 的值.在解三角形的问题中,三角形内角和定理起着重要作用,在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号,防止出现增解或漏解.1.(2014·福建,14)在△ABC 中,A =60°,AC =2,BC =3,则AB 等于________.2.(2014·天津,16,13分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知a -c =66b ,sin B =6sin C .(1)求cos A 的值;(2)求cos A利用正、余弦定理解三角形的技巧(1)解三角形问题的两重性:①作为三角形问题,要注意运用三角形的内角和定理,正、余弦定理及其有关三角形的性质,及时进行边角转化,发现解题的思路;②作为三角变换,只是角的范围受到了限制,因此常见的三角变换方法和原则都是适用的,注意“三统一”(即“统一角、统一函数、统一结构”)是解决问题的突破口.(2)正弦定理是一个连比等式,在运用此定理时,只要知道其比值或等量关系就可以通过约分达到解决问题的目的,在解题时要学会灵活运用.运用余弦定理时,要注意整体思想的运用.通过正、余弦定理可以判断三角形的形状,一般是判断属于哪类特殊的三角形,但此类题目考查频率不高,难度中等,以选择题为主,分值为5分.2(1)(2016·山东潍坊一模,5)若△ABC 的三个内角满足sin A ∶sin B ∶sin C =5∶11∶13,则△ABC ()A .一定是锐角三角形B .一定是直角三角形C .一定是钝角三角形D .可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形(2)(2012·上海,16)在△ABC 中,若sin 2A +sin 2B <sin 2C ,则△ABC 的形状是()A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定解题(1)的关键是利用正弦定理将角角关系转化为边边关系,进而利用余弦定理求出最大边所对角的余弦值,通过判断正负确定角的范围;解题(2)直接利用正弦定理将角转化为边,再用余弦定理中边的关系求最大角的余弦值.(2016·江西七校联考,14)对于△ABC ,有如下命题:①若sin 2A =sin 2B ,则△ABC 为等腰三角形;②若sin A =cos B ,则△ABC 为直角三角形;③若sin 2A +sin 2B +cos 2C <1,则△ABC 为钝角三角形.其中正确命题的序号是________.利用正、余弦定理判断三角形形状的思路和途径要判断三角形的形状,应围绕三角形的边角关系进行思考,主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别.依据已知条件中的边角关系判断时,主要有如下两条途径:(1)“角化边”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系,通过因式分解、配方等得出边的相应关系,从而判断三角形的形状.(2)“边化角”:利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系,通过三角函数恒等变形,得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用A +B +C =π这个结论.注意:在两种解法的等式变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.三角形的面积是与解三角形息息相关的内容,经常出现在解答题中,难度不大.常见的题型有:(1)利用正、余弦定理解三角形,直接求面积;(2)把面积作为已知条件之一,与正、余弦定理结合求三角形的其他边角,有时结合函数一起考查,此时难度较大.3(2014·课标Ⅱ,17,12分)四边形ABCD 的内角A 与C 互补,AB =1,BC =3,CD=DA =2.(1)求C 和BD ;(2)求四边形ABCD 的面积.(1)根据内角A ,C 互补,利用余弦定理列出关于角C 和BD 的方程组,即可求出角C 和BD ;(2)利用三角形面积公式可得S 四边形ABCD =S △ABD +S △BCD =12AB ·DA sin A +12·BC ·CD sin C ,即可求得四边形ABCD 的面积.1.(2015·浙江,16,14分)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知tan π4+A=2.(1)求sin2Asin2A+cos2A的值;(2)若B=π4,a=3,求△ABC的面积.2.(2013·福建,21,12分)如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ=90°,OP=22,点M在线段PQ上.(1)若OM=5,求PM的长;(2)若点N在线段MQ上,且∠MON=30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S=12ab sin C=12ac sin B=12bc sin A,一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题,一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化.解三角形在实际问题中的应用,随着对应用题的考查要求降低,在高考中考查频率不高,难度一般不大,常见题型为选择题、填空题,解答题考查越来越少了.4(1)(2014·四川,8)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度是60m,则河流的宽度BC等于()A.240(3-1)mB.180(2-1)mC.120(3-1)mD.30(3+1)m(2)(2015·湖北,15)如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶,到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上,行驶600m后到达B处,测得此山顶在西偏北75°的方向上,仰角为30°,则此山的高度CD=________m.解题(1)的关键是明确俯角的概念,正确使用两角差的余弦公式;解题(2)的关键是要注意由实际问题转化为数学问题,正确应用正弦定理及解直角三角形.(2014·浙江理,17)如图所示,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角θ的大小(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15m,AC=25m,∠BCM=30°,则tanθ的最大值是__________.(仰角θ为直线AP与平面ABC所成角)解三角形应用题的常见情形及方法(1)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量全部集中在一个三角形中,可用正弦定理或余弦定理求解.(2)实际问题经抽象概括后,已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形,这时需作出这些三角形,先解够条件的三角形,然后逐步求解其他三角形,有时需设出未知量,从几个三角形中列出方程(组),解方程(组)得出所要求的解.解三角形应用题的一般步骤1.(2016·北京东城一模,6)在锐角△ABC中,AB=3,AC=4,S△ABC=33,则BC=()A .5 B.13或37 C.37 D.132.(2016·山东济南一模,9)已知△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,且a cos C +32c =b ,若a =1,3c -2b =1,则角B 为()A.π4B.π6C.π3D.π123.(2015·湖南衡阳二模,14)在△ABC 中,若a =2,∠B =60°,b =7,则BC 边上的高等于________.4.(2015·湖北荆门月考,13)在△ABC 中,若b =22,c =1,tan B =22,则a =________.5.(2015·福建泉州一模,15)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c 且2b >2a ,log sin2b <log sin 2c ,b2+c 2=a 2+3bc .若AB →·BC →<0,则cos B +sin C 的取值范围是________.6.(2016·广东佛山一模,13)如图,为了测量河对岸A ,B 两点之间的距离,观察者找到一个点C ,从C 点可以观察到点A ,B ;找到一个点D ,从D 点可以观察到点A ,C ;找到一个点E ,从E 点可以观察到点B ,C ;并测量得到:CD =2,CE =23,∠D =45°,∠ACD =105°,∠ACB =48.19°,∠BCE =75°,∠E =60°,则A ,B 两点之间的距离为48.19°7.(2015·山东师大附中一模,17,12分)设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且b sin A =3a cos B .(1)求角B 的大小;(2)若b =3,sin C =2sin A ,求a ,c 的值.8.(2016·陕西安康二模,19,12分)在锐角△ABC 中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 所对的边,且asin A =2c 3(1)求角C 的大小;(2)若c =7,且△ABC 的面积为332,求a 2+b 2的值.9.(2015·山东青岛二模,16,12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,q =(2a ,1),p =(2b -c ,cos C )且p ∥q .求:(1)sin A 的值;(2)三角函数式-2cos 2C1+tan C+1的取值范围.10.(2016·山东德州一模,18,12分)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,满足2AB→·AC→=a2-(b+c)2.(1)求角A的大小;(2)求sin A sin B sin C的最大值,并求取得最大值时角B,C的大小.一、三角恒等变换1.两角和与差的三角函数公式sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.(Sα+β)sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ.(Sα-β)cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.(Cα+β)cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.(Cα-β)tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ.(Tα+β)tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ.(Tα-β)2.二倍角公式sin2α=2sinαcosα.(S2α)cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.(C2α)tan2α=2tanα1-tan2α.(T2α)3.公式的变形与应用(1)两角和与差的正切公式的变形tanα+tanβ=tan(α+β)(1-tanαtanβ).tanα-tanβ=tan(α-β)(1+tanαtanβ).(2)升幂公式1+cosα=2cos2α2;1-cosα=2sin 2α2 .(3)降幂公式sin2α=1-cos2α2;cos 2α=1+cos2α2.(4)其他常用变形sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α;cos2α=cos2α-sin2αcos2α+sin2α=1-tan2α1+tan2α;1±sinαsinα2±cos;tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.4.辅助角公式a sinα+b cosα=a2+b2sin(α+φ),(a,b为非零常数)或a2+b2cos(α-φ),其中cosφ=aa2+b2,sinφ=ba2+b2(φ由a,b唯一确定).辅助角公式在求值和化简中的作用很重要,它可以把不同名的函数化为只有一个函数名的三角函数.5.角的拆分与组合(1)已知角表示未知角例如,2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,α-π4=+π3.(2)互余与互补关系π=π2 .(3)非特殊角转化为特殊角例如,15°=45°-30°,75°=45°+30°.转化思想是实施三角变换的主导思想,恒等变换前需清楚已知式中角的差异、函数名称的差异、运算结构的差异,寻求联系,实现转化.二、正、余弦定理及解三角形1.正、余弦定理2.利用正、余弦定理解三角形(1)已知两角一边,用正弦定理,只有一解.(2)已知两边及一边的对角,用正弦定理,有解的情况可分为几种情况.在△ABC中,已知a,b和角A时,解的情况如下:A为锐角A为钝角或直角图形关系式a=b sin A b sin A<a<b a≥b a>b解的个数一解两解一解一解上表中A为锐角时,a<b sin A,无解.A为钝角或直角时,a=b,a<b均无解.(3)已知三边,用余弦定理,有解时,只有一解.(4)已知两边及夹角,用余弦定理,必有一解.在利用正、余弦定理求解三角形中的三角函数问题时,要注意角的范围与三角函数符号之间的联系.3.三角形中常见的结论(1)A +B +C =π.(2)在三角形中大边对大角,反之亦然.(3)任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边.(4)三角形内的诱导公式:sin(A +B )=sin C ;cos(A +B )=-cos C ;tan(A +B )=-tan C ;sin A +B 2=cos C 2;cosA +B 2=sin C2.(5)在非直角△ABC 中,tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C .(6)△ABC 中,A ,B ,C 成等差数列的充要条件是B =60°.(7)△ABC 为正三角形的充要条件是A ,B ,C 成等差数列且a ,b ,c 成等比数列.4.三角形的面积公式设△ABC 的三边为a ,b ,c ,对应的三个角分别为A ,B ,C ,其面积为S .(1)S =12ah (h 为BC 边上的高);(2)S =12ab sin C =12bc sin A =12ac sin B ;(3)S =2R 2sin A sin B sin C (R 为△ABC 外接圆半径);(4)S =abc 4R;(5)S =12(a +b +c (6)S =pr (p 同“(5)”,r 为△ABC 内切圆的半径).一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.(2013·北京,5)在△ABC中,a=3,b=5,sin A=13,则sin B=()A.1 5B.59C.53D.12.(2015·贵州贵阳检测,6)已知sin π6-α=13,则cos2π3+α的值是()A.7 9B.13C.-13D.-793.(2016·重庆巴蜀中学一模,9)化简:cos40°cos25°1-sin40°=()A.1 B.3 C.2D.24.(2013·湖南,5)在锐角△ABC中,角A,B所对的边分别为a,b.若2a sin B=3b,则角A 等于()A.π3B.π4C.π6D.π125.(2013·山东,7)△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若B=2A,a=1,b=3,则c=()A.23B.2 C.2D.16.(2012·江西,9)已知f(x)=sin2x+π4若a=f(lg5),b=lg15()A.a+b=0B.a-b=0C.a+b=1D.a-b=17.(2014·河北沧州联考,9)△ABC中,三边长a,b,c满足a3+b3=c3,那么△ABC的形状为()A.锐角三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.以上均有可能8.(2016·四川成都一模,8)在△ABC中,A(-5,0),B(5,0),点C在双曲线x216-y29=1上,则sin A -sin Bsin C =()A.35B .±35 C.45D .±459.(2015·河北唐山一模,9)已知2sin 2α=1+cos 2α,则tan 2α=()A .-43 B.43C .-43或0D.43或010.(2016·山西四校联考,7)已知tan α=-12,则sin 2α-2cos 2α-1=()A .-175B .-174C .-165D .-211.(2013·安徽,9)设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c .若b +c =2a ,3sin A=5sin B ,则角C =()A.π3B.2π3C.3π4D.5π612.(2012·四川,5)如图,正方形ABCD 的边长为1,延长BA 至E ,使AE =1,连接EC ,ED ,则sin ∠CED =()A.31010B.1010 C.510D.515二、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.(2014·河南商丘质检,14)已知α2sin 2α-sin αcos α-3cos 2α=0________.14.(2015·山东菏泽二模,13)已知α,β∈(0,π),且tan(α-β)=12,tan β=-17,则2α-β=________.15.(2016·河北唐山一模,14)在△ABC 中,AB =2,点D 在边BC 上,BD =2DC ,cos ∠DAC =31010,cos C =255,则AC +BC =________.16.(2016·山东青岛一模,13)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对边的边长分别为a ,b ,c ,设S是△ABC的面积,若2S sin A<(BA→·BC→)·sin B,则下列结论中:①a2<b2+c2;②c2>a2+b2;③cos B cos C>sin B sin C;④△ABC是钝角三角形.其中正确结论的序号是________.三、解答题(共6小题,共70分)17.(10分)(2014·安徽,16)设△ABC的内角A,B,C所对边的长分别是a,b,c,且b=3,c =1,△ABC的面积为2,求cos A与a的值.18.(12分)(2013·江西,17)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知sin A sin B +sin B sin C+cos2B=1.(1)求证:a,b,c成等差数列;(2)若C=2π3,求ab的值.19.(12分)(2015·福建龙岩一模,18)已知函数f(x)=3sin x·cos x+cos2x+a.(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间;(2)若f(x)在区间-π6,π3上的最大值与最小值的和为32,求a的值.20.(12分)(2013·天津,16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b sin A=3c sin B,a=3,cos B=2 3 .(1)求b的值;(2)求sinB21.(12分)(2014·湖南,19)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=2π3,∠BEC=π3.(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.22.(12分)(2016·江西宜春模拟,17)f(x)=3cos2x+-x),x∈R.(1)求f(x)的最小正周期及单调递增区间;(2)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且f(A)=-3,a=3,求BC边上的高的最大值.。
第29讲三角恒等变换知识梳理知识点一.两角和与差的正余弦与正切①sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;②cos()cos cos sin sin αβαβαβ±= ;③tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=;知识点二.二倍角公式①sin 22sin cos ααα=;②2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-;③22tan tan 21tan ααα=-;知识点三:降次(幂)公式2211cos 21cos 2sin cos sin 2;sin ;cos ;222ααααααα-+===知识点四:半角公式sin 22αα==sin 1cos tan21cos sin aαααα-==+知识点五.辅助角公式)sin(cos sin 22ϕααα++=+b a b a (其中abb a a b a b =+=+=ϕϕϕtan cos sin 2222,,).【解题方法总结】1、两角和与差正切公式变形)tan tan 1)(tan(tan tan βαβαβα ±=±;1)tan(tan tan )tan(tan tan 1tan tan ---=++-=⋅βαβαβαβαβα.2、降幂公式与升幂公式ααααααα2sin 21cos sin 22cos 1cos 22cos 1sin 22=+=-=;;;2222)cos (sin 2sin 1)cos (sin 2sin 1sin 22cos 1cos 22cos 1αααααααααα-=-+=+=-=+;;;.3、其他常用变式αααααααααααααααααααsin cos 1cos 1sin 2tan tan 1tan 1cos sin sin cos 2cos tan 1tan 2cos sin cos sin 22sin 222222222-=+=+-=+-=+=+=;;.4、拆分角问题:①=22αα⋅;=(+)ααββ-;②()αββα=--;③1[()()]2ααβαβ=++-;④1[()()]2βαβαβ=+--;⑤()424πππαα+=--.注意:特殊的角也看成已知角,如()44ππαα=--.必考题型全归纳题型一:两角和与差公式的证明例1.(浙江省绍兴市2024学年高一下学期6月期末数学试题)为了推导两角和与差的三角函数公式,某同学设计了一种证明方法:在直角梯形ABCD 中,90B C ∠=∠=︒,1AD =,点E 为BC 上一点,且AE DE ⊥,过点D 作DF AB ⊥于点F ,设BAE α∠=,DAE β∠=.(1)利用图中边长关系DF BE CE =+,证明:()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+;(2)若13BE CE ==,求sin 2cos 2αβ+.例2.(2024·辽宁·高一辽宁实验中学校考期中)某数学学习小组研究得到了以下的三倍角公式:①3sin 33sin 4sin θθθ=-;②3cos34cos 3cos θθθ=-根据以上研究结论,回答:(1)在①和②中任选一个进行证明:(2)求值:sin1098 .例3.(2024·全国·高三专题练习)(1)试证明差角的余弦公式()C αβ-:cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+;(2)利用公式()C αβ-推导:①和角的余弦公式()C αβ+,正弦公式()S αβ+,正切公式()T αβ+;②倍角公式(2)S α,(2)C α,(2)T α.变式1.(2024·全国·高三专题练习)如图,考虑点(1,0)A ,1(cos ,sin )P αα,2(cos ,sin )P ββ-,(cos(),sin())P αβαβ++,从这个图出发.(1)推导公式:cos()cos cos sin sin αβαβαβ+=-;(2)利用(1)的结果证明:1cos cos [cos()cos()]2αβαβαβ=++-,并计算sin 37.5cos 37.5︒︒⋅的值.变式2.(2024·广东揭阳·高三统考期中)在推导很多三角恒等变换公式时,我们可以利用平面向量的有关知识来研究,在一定程度上可以简化推理过程.如我们就可以利用平面向量来推导两角差的余弦公式:()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+.具体过程如下:如图,在平面直角坐标系xOy 内作单位圆O ,以Ox 为始边作角α,β.它们的终边与单位圆O 的交点分别为A ,B .则()cos ,sin OA αα→=,()cos ,sin OB ββ→=,由向量数量积的坐标表示,有cos cos sin sin OA OB αβαβ→→⋅=+.设OA →,OB →的夹角为θ,则cos cos cos cos sin sin OA OB OA OB θθαβαβ→→→→⋅=⋅==+,另一方面,由图(1)可知,2k απβθ=++;由图(2)可知2k απβθ=+-,于是2k αβπθ-=±,k ∈Z .所以()cos cos αβθ-=,也有()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+;所以,对于任意角α,β有:()()cos cos cos sin sin C αβαβαβαβ--=+.此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦值与其差角αβ-的余弦值之间的关系,称为差角的余弦公式,简记作C αβ-.有了公式C αβ-以后,我们只要知道cos α,cos β,sin α,sin β的值,就可以求得()cos αβ-的值了.阅读以上材料,利用图(3)单位圆及相关数据(图中M 是AB 的中点),采取类似方法(用其他方法解答正确同等给分)解决下列问题:(1)判断1OC OMOM→→→=是否正确?(回答“正确”,“不正确”,不需要证明)(2)证明:cos cos 2coscos22αβαβαβ+-+=.【解题方法总结】推证两角和与差公式就是要用这两个单角的三角函数表示和差角的三角公式,通过余弦定理或向量数量积建立它们之间的关系,这就是证明的思路.题型二:两角和与差的三角函数公式例4.(2024·安徽安庆·安徽省桐城中学校考二模)已知ππsin sin()3cos sin 36αααα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭,则sin(2)6πα+=()A .-1B .C .12D .2例5.(2024·福建三明·高三统考期末)已知πsin cos 16θθ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭,则πcos 3θ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A B .C D .例6.(2024·广东广州·高三华南师大附中校考阶段练习)sin 3α=,π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π4β=,则()tan αβ-=()A .1B .3C .3+D .3-变式3.(2024·四川成都·四川省成都市玉林中学校考模拟预测)设π1tan 44α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝⎭等于()A .-2B .2C .-4D .4变式4.(2024·安徽亳州·安徽省亳州市第一中学校考模拟预测)已知3πsin ,,π52αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,若()sin 4cos αββ+=,则()tan αβ+=()A .167-B .78-C .167D .23【解题方法总结】两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广,可用α,β的三角函数表示αβ±的三角函数,在使用两角和与差的三角函数公式时,特别要注意角与角之间的关系,完成统一角和角与角转换的目的.题型三:两角和与差的三角函数公式的逆用与变形例7.(2024·安徽安庆·安庆一中校考模拟预测)已知π3αβ-=,tan tan αβ-=cos()αβ+的值为()A .12B .13C .14-D .16-例8.(2024·上海静安·高三校考期中)已知α、β是不同的两个锐角,则下列各式中一定不成立的是()A .sin()2cos sin sin()0αβαβαβ+++->B .cos()2sin sin cos()0αβαβαβ+++-<C .cos()2sin sin cos()0αβαβαβ+-+->D .sin()2cos sin sin()0αβαβαβ+-+-<例9.(2024·北京海淀·高三101中学校考阶段练习)已知O 为坐标原点,点123(cos ,sin ),(cos ,sin ),(cos(),sin()),(1,0)P P P A ααββαβαβ-++.给出下列四个结论:①12OP OP = ;②12AP AP = ;③312OA OP OP OP ⋅=⋅ ;④123OA OP OP OP ⋅=⋅ .其中正确结论的序号是()A .①②B .①④C .①③D .③④变式5.(2024·全国·高三专题练习)已知1cos cos 2αβ+=,1sin sin 3-=αβ,则()cos αβ+的值为()A .1372-B .1372C .5972-D .5972变式6.(2024·河南平顶山·高三校联考阶段练习)若()()πsin cos 4sin cos3αβαβαβ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭,则()A .()tan αβ+=B .()tan αβ+=C .()tan αβ-=D .()tan αβ-=变式7.(2024·全国·高三专题练习)已知第二象限角α满足()2sin π3α+=-,则()()sin 22sin cos βαβαβ-+-的值为()A .19-B .9-C .19D .9【解题方法总结】运用两角和与差的三角函数公式时,不但要熟练、准确,而且要熟悉公式的逆用及变形.公式的逆用和变形应用更能开拓思路,增强从正向思维向逆向思维转化的能力.题型四:角的变换问题例10.(2024·河南·校联考模拟预测)已知πtan 34θ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭,则cos 2θ=()A .35-B .35C .1D .1-例11.(2024·宁夏·高三六盘山高级中学校考期中)已知tan 34πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则()()sin cos 3cos sin 22αππαππαα++-=⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()A .13-B .13C .3-D .3例12.(2024·江西·校联考二模)已知πsin 4x ⎛⎫- ⎪⎝⎭,则πcos 23x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭()A.310B.310C.410D.410变式8.(2024·四川·校联考模拟预测)若α为锐角,且π3cos 125α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则πsin 3α⎛⎫+=⎪⎝⎭()A.10-B.10C.10D.10变式9.(2024·全国·高三专题练习)已知π3ππsin ,3526αα⎛⎫⎛⎫+=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则sin α的值为()ABCD变式10.(2024·安徽淮南·统考二模)已知ππ340,π,sin ,cos()2255αβααβ<<<<=+=-,则sin β=()A .2425B .2425-C .2425-或2425D .0或2425变式11.(2024·山西晋中·统考三模)已知α,β为锐角,且tan 2α=,()sin 2αβ+=,则cos β=()A.10-B.10C.10D.10变式12.(2024·山东日照·高三校考阶段练习)已知α,()0,πβ∈,πtan 3α⎛⎫+ ⎪⎝⎭πcos 63β⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则()cos 2αβ-=()A .9-B .3-C .9D .3变式13.(2024·吉林四平·高一四平市第一高级中学校考开学考试)已知412cos ,cos ,,0,,656136πππαβαβ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=-=∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭则cos()αβ+=()A .1665B .3365C .5665D .6365【解题方法总结】常用的拆角、配角技巧: 2()()ααβαβ=++-;()()ααββαββ=+-=-+;(2)()22αβαββαβαβ+-=-=+-+;()()αβαγγβ-=-+-;154530︒︒︒=-; 424πππαα⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭等.题型五:给角求值例13.(2024222sin183cos 9sin 91-- )A .12B .1C .2sin 9D .2例14.(2024sin 40sin80cos 40cos60︒︒⋅=+()A .2B .12-C .2D .12例15.(2024·陕西西安·西安中学校考模拟预测)若sin160tan 20λ+= λ的值为()A .4B .C .D变式14.(2024·全国·高三专题练习)sin10tan10︒︒=()A .14B .4C .12D .2变式15.(2024=()A .1BCD .【解题方法总结】(1)给角求值问题求解的关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系,借助角之间的联系寻找转化方法.(2)给角求值问题的一般步骤①化简条件式子或待求式子;②观察条件与所求之间的联系,从函数名称及角入手;③将已知条件代入所求式子,化简求值.题型六:给值求值例16.(2024·山东济宁·嘉祥县第一中学统考三模)已知2π3cos 45α⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则sin 2α=________.例17.(2024·江西·校联考模拟预测)已知sin 63πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则2πcos 23α⎛⎫-= ⎪⎝⎭______.例18.(2024·江苏盐城·盐城中学校考模拟预测)若πsin 2cos26αα⎛⎫++= ⎪⎝⎭tan α=__________.变式16.(2024·山东泰安·统考二模)已知sin 3αα=,则5πsin 26α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_______.变式17.(2024·全国·高三专题练习)已知πsin 5α⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则πsin 210α⎛⎫-= ⎪⎝⎭_________变式18.(2024()π2cos cos cos 4αβαβαβ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭,则()tan αβ+=________.【解题方法总结】给值求值:给出某些角的三角函数式的值,求另外一些角的三角函数值,解题关键在于“变角”,使其角相同或具有某种关系,解题的基本方法是:①将待求式用已知三角函数表示;②将已知条件转化而推出结论,其中“凑角法”是解此类问题的常用技巧,解题时首先要分析已知条件和结论中各种角之间的相互关系,并根据这些关系来选择公式.题型七:给值求角例19.(2024·四川·高三四川外国语大学附属外国语学校校考期中)写出一个使等式cossin222ππcos()sin()2626αααα+=++成立的α的值为_______.例20.(2024·北京·高三专题练习)若实数α∀,β满足方程组12cos 2cos 2sin 2sin αβαβ+=⎧=,则β的一个值是_______.例21.(2024·江西·高三校联考阶段练习)已知cos 5α=,sin 10β=,且π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,2β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,则αβ+的值是___________.变式19.(2024·上海嘉定·高三校考期中)若,αβ为锐角,()11sin 14ααβ+=-,则角β=__________.变式20.(2024·全国·高三专题练习)已知263ππα<<,sin 4sin cos tan 15315315πππππαα⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭α=______.变式21.(2024·全国·高三专题练习)已知3sin 45410ππαβ⎛⎫⎛⎫-=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,且3,,0,444πππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,求αβ-的值为_____.变式22.(2024·全国·高三专题练习)已知()sin 27αβ+=,()11cos 214αβ+=-,,42⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππα,,04πβ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,则αβ-=________.【解题方法总结】给值求角:解此类问题的基本方法是:先求出“所求角”的某一三角函数值,再确定“所求角”的范围,最后借助三角函数图像、诱导公式求角.题型八:正切恒等式及求非特殊角例22.(2024·全国·高三对口高考)tan15tan 30tan15tan 30++⋅︒︒︒︒的值是__________.例23.(2024·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考期中)已知α,β满足()()1tan 1tan 2αβ+-=,则βα-=______.例24.(2024·江苏南通·高三校考期中)在ABC 中,若tan tan tan A B A B +=,则tan 2C =_________.变式23.(2024·全国·高三专题练习)tan50tan20tan20︒︒-︒︒=____________.变式24.(2024·山东·高三济宁市育才中学校考开学考试)若角α的终边经过点()sin 70,cos70P ︒︒,且tan tan 2tan tan 2m αααα++⋅,则实数m =___________.变式25.(2024·上海金山·高一华东师范大学第三附属中学校考阶段练习)若,A B 是ABC ∆的内角,且(1tan )(1tan )2A B ++=,则A B +等于______.变式26.(2024·全国·统考模拟预测)若α,β为锐角,且4παβ+=,则()()1tan 1tan αβ++=__________;()()()()1tan11tan 21tan 31tan 45++++= __________变式27.(2024·全国·高三专题练习)已知π0,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,π0,2y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,cos sin tan cos sin x xy x x+=-,则()A .π4y x -=B .π24y x -=C .π2y x -=D .π22y x -=【解题方法总结】正切恒等式:当A B C k π++=时,tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⋅⋅.证明:因为tan tan tan()1tan tan A BA B A B++=-,tan tan ()C A B =-+,所以tan tan tan (1tan tan )A B C A B +=--故C B A C B A tan tan tan tan tan tan ⋅⋅=++.题型九:三角恒等变换的综合应用例25.(2024·陕西咸阳·校考二模)已知函数()()2cos sin cos 1,f x x x x x =-+∈R (1)求函数()f x 的对称轴和对称中心;(2)当π3π,84x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,求函数()f x 的值域.例26.(2024·上海松江·高三上海市松江二中校考阶段练习)已知())3cos cos2f x xx x =-+.(1)求()f x 在[]0,π上的单调递减区间;(2)若()2π5π,,536f αα⎛⎫=∈ ⎪⎝⎭,求sin2α的值.例27.(2024·河南·洛宁县第一高级中学校联考模拟预测)已知函数()2sin sin cos 1f x x x x =+-.(1)求()f x 的最小正周期和单调递增区间;(2)当π0,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时,求()f x 的最大值,并求当()f x 取得最大值时x 的值.变式28.(2024·全国·高三对口高考)已知函数()o s i 4n πc f x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭;(1)若在ABC 中,2BC =,AB =π04f A ⎛⎫-= ⎪⎝⎭的角B .(2)求()f x 在区间π17π,224⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的取值范围;变式29.(2024·全国·高三对口高考)已知()()21sin 2,02R f x x x x ωωω∈=+->.若()f x 的最小正周期为2π.(1)求()f x 的表达式和()f x 的递增区间;(2)求()f x 在区间π5π,66⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.【解题方法总结】(1)进行三角恒等变换要抓住:变角、变函数名称、变结构,尤其是角之间的关系;注意公式的逆用和变形使用.(2)形如sin cos y a x b x =+化为)y x ϕ=+,可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性。