一、质点运动微分方程
解题要求：①明确研究对象②画受力图③列方程求解
1、半径为R 的偏心轮绕O 轴以匀角速度ω转动，推动导板沿铅直轨道运动，如图所示。导板顶部放有一质量为m 的物块A ，设偏心距OC=e ，开始时OC 沿水平线。求：（1）物块对导板的最大压力；（2）使物块不离开导板的ω最大值。（提示：列A 的运动方程求加速度）
解：建立如图b 所示直角坐标系Oxy ，导板与物块均沿y 轴线作直线运动，导板作平移，其运动规律为：y = R + e sin ωt ，对时间求2 阶导数得：
a y = −e ω2sin ωt （1）
物块A 受重力m g 和导板的约束力F N 作用，如图c 。物块对导板的压力与F N 等值、反向、共线。由图c 得，物块A 的运动微分方程在y 轴的投影式为：
y N ma mg F =- （2）
把（1）带入（2），可得
)sin (2t e g m F N ωω-=
因此，物块对导板的最大压力为)(2
max ωe g m F N +=
要使物块不离开导板，则应有0)(2min ≥-=ωe g m F N ，即2
ωe g ≥，e
g
≤
ω
2、质量kg m
6=的小球，放在倾角o 30=α的光滑斜面上，并用平行于斜面的软绳将小球固定在图示
位置。如斜面以3
g
a =的加速度向左运动，求绳的张力和斜面的反力；欲使绳的张力为零，斜面的加速
度应该多大？
解：以小球为研究对象，进行受力和运动分析，并建立如图b 所示直角坐标系Oxy 。
小球跟随斜面一起沿x 轴反方向以3
g
a =的加速度向左运动，根
据质点运动微分方程有：
ma F T N -=-ααsin cos （1） 0cos sin =-+mg F T N αα （2）
代入数据，求解得
g
a g m
T g
F N )33()3(2
)133(-=-=+= 要使0=T ，即g a 3
3
≥，
二、动量定理
解题要求：①明确研究对象②画受力图③运动分析求动量④列方程求解
1、在图示系统中，均质杆OA 、AB 与均质轮的质量均为m ，OA 杆的长度为1l ，AB 杆的长度为2l ，轮的半径为R ，轮沿水平面作纯滚动。在图示瞬时，OA 杆的角速度为ω，求整个系统的动量。
解：OA 杆：ω112
1
ml p =
（水平向左） AB 杆：
ω12ml p =（水平向左） 均质轮B ：ω13ml p =（水平向左）
系统的动量
ω13212
5
ml p p p p =
++=（水平向左） 2、一凸轮机构如图所示。半径为r , 偏心距为e 的圆形凸轮绕O 轴以匀角速ω转动，带动滑杆D 在套筒
E 中作水平方向的往复运动。已知凸轮质量为1m ，滑杆质量为2m ，求在任一瞬时机座地脚螺钉所受的动约束力。
解 取凸轮机构为研究对象，设基座重m 3g ，重心在点C ，建立图b 示定坐标Oxy ，设运动初始时，凸轮轮心在轴x 上点O 的右边，如图c 所示。根据质心坐标公式，得
3
21312)cos (cos m m m b
m a y t e m t e m x C ++++++=
ωω
3
2132sin m m m h
m t e m y C ++-=
ω
将上述各量代入上式，并对时间t 求2 次导数，得
t e m y
m m m t e m m x m m m C C ωωωωsin )(cos )()(2
2321221321-=+++-=++ （1）
设螺钉总水平约束力为F R x ，总铅垂约束力为F R y ，如图c 所示。据质心运动定理有
g
m m m F y m m m F x
m m m Ry C Rx C )()()(321321321++-=++=++ （2）
比较方程组（1）和（2），得任意瞬时机座螺钉的总约束力为
t
e m g m m m F t
e m m F Ry Rx ωωωωsin )(cos )(2
2321221-++=+-=
故总动约束力为
t e m F t e m m F Ry
Rx
ωωωωsin cos )(22221-='+='
4、图示质量为m 、半径为R 的均质半圆形板，受力偶M 作用，在铅垂面内绕O 轴转动，转动的角速度为ω，角加速度为α。C 点为半圆板的质心，当OC 与水平线成任意角ϕ时，求此瞬时轴O 的约束力⎪⎭
⎫ ⎝
⎛=
π34R OC 。
解：以半圆形板为研究对象，建立Oxy 坐标系，进行运动和受力分析（如图）。
（1）系统动量
C
v m p
=，其中
ωωπ
34R C OC v =⨯=
ϕωπsin 34m R
mv p Cx x -== ϕωπ
cos 34m R mv p Cy
y -==
（2）由根据动量定理
∑=e
ix x F dt
dp ，∑=e iy y F dt dp 有 Ox F m R
=+-
)cos sin (342ϕωϕαπ mg F m R Oy -=--)sin cos (342ϕωϕαπ 故此瞬时轴O 的约束力为：
)cos sin (342ϕωϕαπ+-
=m R
F Ox )sin cos (342ϕωϕαπ
--=m R
mg F Oy
3、图示长l 、质量为1m 的均质细长杆OA 与A 质量为2m 的均质圆盘焊
接在一起。已知图示位置OA 杆的角速度和角加速度分别为ω和α，杆与水平线的夹角为θ，求轴承O 处的约束力。
解1：用质心运动定理。
以杆与圆盘组成的系统为研究对象，受力如图，建立如图坐标。
（1）确定系统质心坐标
