债券价格及收益率
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关于债券的相关计算公式
关于债券的相关计算公式债券是一种借款工具，发行者可以通过发行债券来筹集资金，购买债券的投资者则可以获得固定的利息收入和还本付息的权利。
在债券投资中，有一些重要的计算公式可以帮助投资者评估债券的回报和风险。
1.债券价格计算公式债券价格是指债券的市场价格，也是投资者购买债券时需要支付的金额。
债券价格的计算公式如下：债券价格=[每期利息支付金额/(1+债券的市场利率)^剩余付息期数]+[面值/(1+债券的市场利率)^剩余期数]其中，面值是债券的本金金额，每期利息支付金额是债券每年支付的利息金额，剩余期数是债券到期日与计算日期之间的年数。
2.债券的收益率计算公式债券的收益率是指投资者购买债券后可以获得的回报率。
债券的收益率可以通过以下两种方法计算。
-当期收益率计算公式：当期收益率=(每期利息支付金额+(面值-债券价格))/债券价格其中，债券价格是投资者购买债券时支付的金额。
-市场利率计算公式：市场利率=[每期利息支付金额/((面值+债券价格)/2)]*(1/剩余期数)其中，每期利息支付金额是债券每年支付的利息金额，面值是债券的本金金额，债券价格是投资者购买债券时支付的金额，剩余期数是债券到期日与计算日期之间的年数。
3.债券的到期收益率计算公式债券的到期收益率是指投资者持有债券直到到期日所获得的回报率。
债券的到期收益率可以通过以下两种方法计算。
-简单收益率计算公式：到期收益率=[(面值+利息收入-债券价格)/债券价格]/剩余期数其中，面值是债券的本金金额，利息收入是指债券持有期间获得的全部利息金额，债券价格是投资者购买债券时支付的金额，剩余期数是债券到期日与计算日期之间的年数。
-复合收益率计算公式：到期收益率=[(面值+利息收入)^(1/剩余期数)/债券价格]-1其中，面值是债券的本金金额，利息收入是指债券持有期间获得的全部利息金额，债券价格是投资者购买债券时支付的金额，剩余期数是债券到期日与计算日期之间的年数。
债券价格与收益率关系
1第五章马凯尔债券价格五大定理债券价格和收益率关系的关系债券价格和到期日之间的关系2 债券价格波动性的特点1、价格的利率敏感性与债券的票面利率具有反债券价格波动性的特点（续）4、收益率上升导致价格下跌的幅度比Bond Pricing RelationshipsBond Pricing Relationships (cont.)价格价格和收益率关系Examplesc e期限越长的债券价格的利率敏感性越大ex.A B C债券期限长度和利率风险Interest Rate Risk Theorems Interest Rate Risk Theorems利息额的大小与利率风险3 基点价格值基点价格值（price value of a basic point4 债券存续期间的概念债券存续期间的概念债券存续期间的概念存续期（持有期）的计算存续期，也就是持有期，是指给定某债券现金流的情存续期计算举例债券尚有5年到期，息票利率为10%，面值为1000，价格为存续期意义存续期与债券价格久期实际上是一种弹性久期实际上是一种弹性久期实际上是一种弹性一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间一般付息债券的存续期间零息债券的存续期间零息债券的存续期间永续债券的存续期间()影响存续期间的因素影响存续期间的因素影响存续期间的因素影响存续期间的因素修正的存续期间与价格存续期间修正的存续期间与价格存续期间修正的存续期间与价格存续期间投资组合的存续期间的计算Duration of portfolio Duration of portfolion5 债券凸性的概念P假定线性关系运用存续期间计算所产生的误差债券凸性的概念债券凸性的计算债券凸性的计算债券凸性的计算债券凸性的计算债券凸性的计算。
企业债券收益率计算公式
企业债券收益率计算公式
【最新版】
目录
1.企业债券收益率的定义
2.企业债券收益率的计算公式
3.企业债券收益率的计算实例
4.总结
正文
企业债券是指企业发行的债务证券，投资者通过购买企业债券可以为企业提供资金，企业则承诺在债券到期日偿还本金并支付利息。
企业债券收益率是投资者关心的重要指标，它是指企业债券的年化收益率。
企业债券收益率的计算公式如下：
收益率 = (债券价格 - 购买价格) / 购买价格 / 债券期限
其中，债券价格是指债券的面值，购买价格是指投资者实际支付的价格，债券期限是指债券的到期时间。
举个例子，假设某企业发行了一种面值为 100 元的债券，期限为 5 年，年化收益率为 5%。
如果投资者购买该债券的价格为 95 元，那么该债券的收益率为：
收益率 = (100 - 95) / 95 / 5 = 5.26%
这意味着投资者每年可以获得 5.26% 的利息收入。
在实际应用中，企业债券收益率的计算可能会更加复杂，因为债券的价格和购买价格可能会因为市场波动而发生变化。
此外，债券的利息可能是分期支付的，因此需要考虑复利的影响。
总之，企业债券收益率是投资者评估企业债券投资价值的重要指标。
到期收益率债券价格久期凸性计算公式
到期收益率债券价格久期凸性计算公式到期收益率（Yield to Maturity），又称为持有到期收益率或到期收益率，是指债券在到期日时，以当前市场价格购买并持有到期所能获得的平均年收益率。
它是衡量债券投资回报率的重要指标，对于投资者评估债券的收益和风险具有重要意义。
债券价格是指投资者购买债券所需支付的现金金额。
债券价格与债券的到期收益率密切相关，当到期收益率上升时，债券价格下降；当到期收益率下降时，债券价格上升。
久期（Duration）是衡量债券价格对利率变动的敏感性的一个指标。
久期越长，债券价格对利率的变动越敏感；久期越短，债券价格对利率的变动越不敏感。
凸性（Convexity）是衡量债券价格对利率变动的曲率的一个指标。
凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
下面，我们将依次介绍到期收益率、债券价格、久期和凸性的计算公式和计算方法。
一、到期收益率的计算公式：二、债券价格的计算公式：债券价格的计算可以使用现金流量贴现法，即将债券的每期现金流量按到期收益率贴现计算得到，然后将每期现金流量的现值相加得到债券的价格。
三、久期的计算公式：久期的计算有多种方法，常用的方法有修正久期法和Macaulay久期法。
修正久期法是通过对债券价格对市场利率变动的敏感性进行评估来计算债券的久期。
修正久期越长，债券价格对利率的变动越敏感。
Macaulay久期法是将每期现金流量的现值与债券价格的加权平均期限相比较得到债券的久期。
Macaulay久期越长，债券价格对利率的变动越不敏感。
四、凸性的计算公式：凸性的计算可以使用修正凸性法。
修正凸性是指在一些到期收益率下，债券价格对利率变动的非线性程度。
修正凸性越高，债券价格对利率的变动越具有非线性的变化。
总结：到期收益率、债券价格、久期和凸性是衡量债券投资回报率和风险的重要指标，在债券投资决策中起着重要的作用。
了解这些指标的计算公式和计算方法可以帮助投资者更好地评估债券投资的收益和风险。
投资学之债券的价格和收益
(1
r1)(1
r2)
(1rn)
23
第二节 债券及其价格与收益
一.确定的期限结构(P270-) 4.息票债券的定价
息票债券价格的计算方法是把息票债券的每一次 付息从结果上视为各自独立支付的零息票债券，从而可 以独立地被估价，其价值为将付息额以与其支付时间一 致的即期利率来贴现的现值。而息票债券的价值就是其 未来每一次现金流的现值的总和。这种方法称为息票剥 离算法。
Par
i r
r i r(1 r)n
9
第一节 债券及其价格与收益
三．债券的收益率(P255，金117)（指年率）
2.到期收益率（YTM）
（2）到期收益率满足的债券价格方程
假设到期收益率为 r，债券面值记为Par，现值为 PV，息票利率为 i，期限为n年，每半年付息一次，则 到期收益率 r 满足方程：
（2）可转换债券
可转换债券为投资者提供了一种可转换期权。投资
者可以将债券转换成一定份额的公司普通股股票。由转
换率确定每张债券可转换的股票份额。售价高于不可转
换债券。
其他形式的债券：自学阅读(P250-252)
3
第一节 债券及其价格与收益
二．债券定价(P253-) 债券价值=未来收益现金流的贴现值 =息票利息值的现值+面值的现值
11
第一节 债券及其价格与收益
三．债券的收益率(P255，金117) 3.债券定理 （2）债券定理
①对于溢价债券，即价格 P0 PV Par,有
到期收益率 当期收益率 息票利率
r Par i i PV
②对于折价债券，即价格 P0 PV Par,有
到期收益率 当期收益率 息票利率
（14 2）
r1)(1
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(1rn)
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第二节 债券及其价格与收益
一.确定的期限结构(P270-) 4.息票债券的定价
息票债券价格的计算方法是把息票债券的每一次 付息从结果上视为各自独立支付的零息票债券，从而可 以独立地被估价，其价值为将付息额以与其支付时间一 致的即期利率来贴现的现值。而息票债券的价值就是其 未来每一次现金流的现值的总和。这种方法称为息票剥 离算法。
Par
i r
r i r(1 r)n
9
第一节 债券及其价格与收益
三．债券的收益率(P255，金117)（指年率）
2.到期收益率（YTM）
（2）到期收益率满足的债券价格方程
假设到期收益率为 r，债券面值记为Par，现值为 PV，息票利率为 i，期限为n年，每半年付息一次，则 到期收益率 r 满足方程：
（2）可转换债券
可转换债券为投资者提供了一种可转换期权。投资
者可以将债券转换成一定份额的公司普通股股票。由转
换率确定每张债券可转换的股票份额。售价高于不可转
换债券。
其他形式的债券：自学阅读(P250-252)
3
第一节 债券及其价格与收益
二．债券定价(P253-) 债券价值=未来收益现金流的贴现值 =息票利息值的现值+面值的现值
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第一节 债券及其价格与收益
三．债券的收益率(P255，金117) 3.债券定理 （2）债券定理
①对于溢价债券，即价格 P0 PV Par,有
到期收益率 当期收益率 息票利率
r Par i i PV
②对于折价债券，即价格 P0 PV Par,有
到期收益率 当期收益率 息票利率
（14 2）
债券收益率计算公式及方法
债券收益率计算公式及方法一、到期收益率计算公式及方法：1.到期收益率是指投资者一直持有债券直至到期并获得全部本息回收所获得的收益率。
它可以反映债券的期限和还本付息的情况。
2.到期收益率计算公式如下：到期收益率=(票面利率+(到期时的债券价格-购买时的债券价格)/到期时的债券价格)×(365/剩余到期天数)其中，票面利率是指债券上标明的固定利率，债券价格是指购买债券时的实际支付价格，剩余到期天数是指从计算到期收益率的日期到债券到期日的天数。
3.到期收益率的计算方法主要有以下几种：（1）已知票面利率和债券价格，通过计算公式可以直接得到到期收益率。
（2）已知票面利率、债券的未来现金流以及债券价格，可以通过迭代法求解到期收益率。
迭代法是通过多次尝试不同的到期收益率，计算债券现值与实际支付价格的差距，并逐步逼近真实的到期收益率。
（3）债券的到期收益率也可以通过金融市场上其他相关债券的收益率来估算。
根据债券的违约风险、付息频率、剩余到期年限等因素，寻找可比的相关债券，获得其收益率作为近似值。
二、当前收益率计算公式及方法：1.当前收益率是指投资者在当前买入债券时所能获得的收益率。
它还考虑了债券的剩余到期时间和当前债券价格。
2.当前收益率计算公式如下：当前收益率=(票面利率+(年付息额/当前债券价格))×(365/剩余到期天数)其中，年付息额是指债券每年的利息收入。
3.当前收益率的计算方法主要有以下几种：（1）已知票面利率、年付息额和债券价格，通过计算公式可以直接得到当前收益率。
（2）债券的当前收益率也可以通过与市场上同类型、同期限债券的收益率进行比较来估算。
找到可比债券后，计算其当前收益率，并将其作为近似值。
（3）如果债券是可交易的，可以通过市场上的实际交易价格来推算当前收益率。
这种方法适用于短期债券或者大型交易所上市的债券。
综上所述，债券收益率的计算方法可以根据债券类型和可得到的数据进行选择。
债券投资收益率简便算法公式
债券投资收益率简便算法公式债券投资收益率是衡量债券投资收益水平的重要指标，也是投资者选择债券投资的重要参考依据。
对于一般投资者而言，计算债券投资收益率可能显得比较繁琐，但实际上存在一种简便算法公式，可以帮助投资者快速计算债券投资收益率。
债券投资收益率的简便算法公式如下：债券投资收益率 = (票面利率 - 债券价格) / 债券价格 * 100%在这个公式中，我们需要知道债券的票面利率和债券的价格。
票面利率是债券发行时确定的固定利率，债券价格则是投资者购买债券时的实际支付价格。
我们需要了解票面利率。
票面利率是债券发行时所设定的利率，也称为固定利率。
它代表了债券到期时投资者可以获得的利息收益。
例如，一张票面利率为5%的债券，表示投资者每年可以获得5%的利息收益。
我们需要了解债券价格。
债券价格是投资者购买债券时实际支付的价格，也是计算债券投资收益率的重要参数。
债券价格可以受到多种因素的影响，如市场供求关系、经济环境、发行机构信用等。
当债券价格上升时，债券投资收益率相对较低；当债券价格下降时，债券投资收益率相对较高。
了解了票面利率和债券价格后，我们可以通过简便算法公式计算债券投资收益率。
假设一张债券的票面利率为5%，购买价格为95元，我们可以按照以下步骤进行计算。
计算票面利率与债券价格之差：5% - 95 = -90。
然后，将差值除以债券价格并乘以100%：-90 / 95 * 100% = -94.74%。
最后得到的结果为-94.74%，表示投资者在购买这张债券时的预期收益率为-94.74%。
通过这个简便算法公式，投资者可以快速计算债券投资收益率，从而判断债券的投资价值。
需要注意的是，债券投资收益率是一个相对指标，不同债券之间的投资收益率并不能直接进行比较。
投资者在投资债券时，除了考虑收益率外，还需要综合考虑债券的风险、期限、发行机构信用等因素，做出全面的投资决策。
债券投资收益率是衡量债券投资收益水平的重要指标，投资者可以通过简便算法公式快速计算债券投资收益率。
债券价格与债券收益率
HRR H B(i)
B0
(1 i) 1
收益率 持有期收益率---对未来利率的设定
某投资者以115.44元的价格购买了一张票面利率为7%， 剩余期限为10年的债券，此时市场利率为5%。假设投 资者刚买完债券后，市场利率上涨到6%，其债券价格 下跌到107.36元，如果今后5年内利率一直保持6%这 一水平不变，问投资者持有该债券5年期间的收益率为 多少？
2.95 102.95 102.77 1 YTM (1 YTM ) 2 解得YTM=1.08%
收益率 到期收益率的实现条件
债券现金流能够如约实现
投资者必须持有债券到期 再投资收益率等于到期收益率 所有期限的利率水平都相同且在债券持有期间保持不 变
收益率 持有期收益率
Hale Waihona Puke 零息债券 零息债券是到期一次性还本付息的债券，其特 征是仅发生两笔现金流
到期偿付
当前价格 零息债券的现金流特点。箭头向下表示支出现金流，箭头向 上表示收到现金流
债券价格表达式
零息债券的价格表达式
B0 BT [1 i(0, T )]
T
例如：某零息债券剩余期限为两年，如果 当前两年期的即期利率是4%，则 B0=100[1+4%]-2=92.46。
利率
远期利率
远期利率代表了未来两个时点之间的利率水平。 用f(0,t,T)代表一个议定日为当前（0时刻）、 资金借出日为t,偿还日为T的远期利率水平。
议定日
贷款日
偿还日
f(0,t,T)
0
t
T
利率
即期利率和远期利率的关系
√如果等号左边大于等号右边：借一笔期限为T的长期资 金，立即投资t期，同时签订一个T-t的远期贷款合同 。 √如果等号左边小于等号右边：借一笔期限为t的短期资 金并立即按照T期贷出，同时签订一个远期借款协议（期 限为T-t）,
有息债券的收益率与价格
利率概念一致 。
到期收益率（或内部收益率、内含报酬率）指债券一直持有， 直到期限到达收回本金时预计可以获得的报酬率，其本 质上是使得所有现金流净现值为零的折现率。
＝
【例5-11】某公司发行票面金额为1000元、票面利率为8％的3 年期债券，该债券每年计息一次，到期归还本金。若以940 元的市场价格购入该债券，到期收益率是多少？
定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少， 并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格 波动幅度增加，并且是以递减的速益率下降导致的债券价格 上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降 的幅度。即对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资 者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。
因此该债券的到其收益率为10.34%。
2.债券持有期收益率（HPR）
HPR P2 P1 C P1 n
HPR——持有期收益率，—债券卖出价格，—债券 买入价格，C—债券持有期间利息，n—债券持有 期限（年）
3．债券收益率的实际度量
（1）对处于最后付息周期的附息债券（包括固定利率债券 和浮动利率债券）、贴现债券和剩余流通期限在一年以 内（含一年）的到期一次还本付息债券，到期收益采取 单利计算。
60 40
1000
11.05 11.0561
P t1 (1 5%)t (1 5%)60 40 111.05 1000 0.0535 810 .672
如果年市场利率为6%，则债券价值为
P
60 t 1
40 (1 3%)t
1000 (1 3%)60
40 11.03 11.0361 1 1 1.03
M
1 k n
P－债券价格，C－每期利息收入，M－到期本金收入，k－要求的回报率，
到期收益率（或内部收益率、内含报酬率）指债券一直持有， 直到期限到达收回本金时预计可以获得的报酬率，其本 质上是使得所有现金流净现值为零的折现率。
＝
【例5-11】某公司发行票面金额为1000元、票面利率为8％的3 年期债券，该债券每年计息一次，到期归还本金。若以940 元的市场价格购入该债券，到期收益率是多少？
定理三：随着债券到期时间的临近，债券价格的波动幅度减少， 并且是以递增的速度减少；反之，到期时间越长，债券价格 波动幅度增加，并且是以递减的速益率下降导致的债券价格 上升的幅度大于同等幅度的收益率上升导致的债券价格下降 的幅度。即对于同等幅度的收益率变动，收益率下降给投资 者带来的利润大于收益率上升给投资者带来的损失。
因此该债券的到其收益率为10.34%。
2.债券持有期收益率（HPR）
HPR P2 P1 C P1 n
HPR——持有期收益率，—债券卖出价格，—债券 买入价格，C—债券持有期间利息，n—债券持有 期限（年）
3．债券收益率的实际度量
（1）对处于最后付息周期的附息债券（包括固定利率债券 和浮动利率债券）、贴现债券和剩余流通期限在一年以 内（含一年）的到期一次还本付息债券，到期收益采取 单利计算。
60 40
1000
11.05 11.0561
P t1 (1 5%)t (1 5%)60 40 111.05 1000 0.0535 810 .672
如果年市场利率为6%，则债券价值为
P
60 t 1
40 (1 3%)t
1000 (1 3%)60
40 11.03 11.0361 1 1 1.03
M
1 k n
P－债券价格，C－每期利息收入，M－到期本金收入，k－要求的回报率，
债券的定价与收益率
例如，同时存在一种国债和一种公司债券，两者 期限相同，到期收益率分别为6.5％和10.2％。国债 通常被认为是没有违约风险的，公司债券则存在违 约风险。但为什么仍然有投资者愿意持有公司债券 呢？原因就在于公司债券提供了违约溢价，在这里 是3.7％。
违约风险越大的债券，提供的违约溢价越高， 因而到期收益率也就越高。这一关系有时被称为 “利率的风险结构”，可以用图2-2的曲线来表示。
第2章 债券的价格与收益
2.1 债券定价 2.2 债券的收益率 2.3 债券的时间价值
2.1 债券定价
债券的内在价值，或者称为债券的理论价格， 是指债券到期日前的全部现金收入流的现值。
债券价值＝息票利息的现值＋面值的现值
T
V
C
A
t1 (1 r)t (1 r)T
式中：V——债券价值 C——每次付息金额 r——必要收益率 T——剩余的付息次数 A——债券面值
到期收益率
40 60 1000 1150
赎回收益率为6.64％，而到期收益率为6.82％。
2.2.3 到期收益率与违约风险
前面所讲的到期收益率是在假定没有违约风险的 前提下计算的，可以看作是发行人承诺的到期收益 率。投资人在购买某种债券时的预期到期收益率要 考虑违约风险。也就是说，债券的承诺到期收益率 中包含了违约溢价（default premium），扣除违约溢 价后才是投资人的预期到期收益率。
式中：P——债券市价 C——每次付息金额 YTM——到期收益率 T——剩余的付息次数 A——债券面值 等价收益率与有效收益率 思考： ①在前面的例子中，如果债券当前的市场价 格是1080元，其到期收益率是多少？ ②比较以上四种收益率的优劣。
2.2.2 赎回收益率
到期收益率是在假定债券被持有至到期日的 情况下计算的。如果债券是可赎回的，应如何计 算债券的平均回报率呢？
违约风险越大的债券，提供的违约溢价越高， 因而到期收益率也就越高。这一关系有时被称为 “利率的风险结构”，可以用图2-2的曲线来表示。
第2章 债券的价格与收益
2.1 债券定价 2.2 债券的收益率 2.3 债券的时间价值
2.1 债券定价
债券的内在价值，或者称为债券的理论价格， 是指债券到期日前的全部现金收入流的现值。
债券价值＝息票利息的现值＋面值的现值
T
V
C
A
t1 (1 r)t (1 r)T
式中：V——债券价值 C——每次付息金额 r——必要收益率 T——剩余的付息次数 A——债券面值
到期收益率
40 60 1000 1150
赎回收益率为6.64％，而到期收益率为6.82％。
2.2.3 到期收益率与违约风险
前面所讲的到期收益率是在假定没有违约风险的 前提下计算的，可以看作是发行人承诺的到期收益 率。投资人在购买某种债券时的预期到期收益率要 考虑违约风险。也就是说，债券的承诺到期收益率 中包含了违约溢价（default premium），扣除违约溢 价后才是投资人的预期到期收益率。
式中：P——债券市价 C——每次付息金额 YTM——到期收益率 T——剩余的付息次数 A——债券面值 等价收益率与有效收益率 思考： ①在前面的例子中，如果债券当前的市场价 格是1080元，其到期收益率是多少？ ②比较以上四种收益率的优劣。
2.2.2 赎回收益率
到期收益率是在假定债券被持有至到期日的 情况下计算的。如果债券是可赎回的，应如何计 算债券的平均回报率呢？
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t 1
t 1
0
套利行为通过借款，抬高市场借款利率，从而压低债券
理论价格。通过购买债券，推动债券价格上涨。这两方
面都促使被低估的债券市场价格趋向理论价格。
2020年6月20日8时27分
18
债券价格表达式
• 当债券的市场价格B(i)大于理论价格，即
T
t
B(i) B0 ct[1 i(0,t)]
t 1
2020年6月20日8时27分
20
债券价格与时间、利率的关系
• 假设各个期限的即期利率都相同，则债券价格表达式是：
B(i)
c 1 i
c (1 i)2
c (1 i)T
BT (1 i)T
c 1 i
1
1
1
i
(1
1 i)T
1
BT (1 i)T
c 1 i
1 (1 i)T 1 (1 i)1
BT (1 i)T
格为c t ）还给出借者。 √第四步，计算套利结果。每期净现金流的贴现值是：
T
NVP (k 1)ct[1 i(0,t)]t (k 1)B0 B(i) B0 t 1
0
套利行为通过借入债券并抛售，促使债券市场价格下降，
通过贷出资金，导致利率下降，从而提高债券理论价格。
这两方面都促使被高估的债券市场价格趋向理论价格。
❖ 当债券的市场价格偏离理论价格时，就会存在套
利行为，套利活动会使市场价格回归到理论价格。
2020年6月20日8时27分
15
债券价格表达式
❖ 如果第1年至第10年的即期利率分别为4.5%，4.75%， 4.95%，5.1%，5.2%，5.3%，5.4%，5.45%，5.5%， 5.5%，则对于一个剩余期限为10年的票息率为7%的债券， 其理论价格为：
000896国债交易价格
130 7%
125 6%
120
115
110
105 3%
100
2% 95
90
26
1997-6-27 1997-8-20 1997-10-14 1997-12-4 1998-2-10
1998-4-1 1998-5-22 1998-7-13
1998-9-1 1998-10-23 1998-12-15
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利率
• 即期利率
• 即期利率就是人们根据零息债券的价格计算出来的利率水平 。用i(0,t)表 示偿还期为t的当前时刻的即期利率。
√如果市场上期满日为三个月的零息债券的价格是99元（面值100元），在 意味着（年度化的）即期利率=[（100-99）/99]/（1/4）=4.04%
导致债券供过于
求，价格下跌， 利率下降。
则可以借出一张债券，得到金额B(i)，将其按利率i 在(0,T)期 间投资，到期时本息和为B(i)[1+i(0,T)]T。
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债券价格表达式
• 附息债券
• 附息债券现金流的特点是中途有票息支付，到期归还本金和最后一次票
息
本金+最后的
B0
(1
7 4.5%)
(1
7 4.75%)2
(1
7 4.95%)3
(1
7 5.1%)4
(1
7 5.2%)5
(1
7 5.3%)6
(1
7 5.4%)7
7 (1 5.45%)8
(1
7 5.5%)9
(1
107 4.5%)10
111.83
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债券价格表达式
• 当债券的市场价格B(i)小于理论价格，即
√设想某2年期零息债券当前的价格79.72，则79.72×（1+i）2=100,得到 i=12%，意味着2年期市场的即期利率是（平均每年）12%。
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利率 • 远期利率 • 远期利率代表了未来两个时点之间的利率水平。 • 用f(0,t,T)代表一个议定日为当前（0时刻）、资金借出 日为t,偿还日为T的远期利率水平。
• 1.债券相对价格始终在[（c/ BT）/i]和1之间波动 • 2.票息率和市场利率之间的关系决定债券相对价格
• 3.随着到期日的临近（令T趋向于零），等式右边趋向于1，即债券价格 趋近于面值
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债券价格与时间、利率的关系
• 债券价格与时间、利率关系示意图
• ——仅时间变动
票息=CT
C1 C2 C3 C4
CT-2
CT-1
当前价格
附息债券的现金流特点。与零息债券不同的是中途有多笔现金流发生。
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债券价格表达式
• 附息债券的理论价格是所有现金流的贴现和，故 附息债券的价格表达式是：
T
t
B0 ct [1 i(0, t)]
t 1
对于利率固定的附 息债券，i(0,t)=i
获得无风险收益
导致债券供不应 求，价格上涨， 利率上涨。
则可以按照利率i 在（0，T)期间内借款B(i)，用此借款按市场
价格购买一张债券并持有到期。到期时得到金额BT，此时需
要偿还的借款本息和为B(i)[1+i(0,T)]T。
获得无风险收益
√如果当前零息债券的市场价格B(i)大于B0，即
B(i) B0 BT [1 i(0,T )]T
债券价格 溢价债券
B(i) BT
c / BT i
1
1
(1
i)T
1 (1 i)T
100 平价债券
折价债券
0
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T
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时间
债券价格与时间、利率的关系
• 债券价格与时间、利率关系示意图
• ——仅利率变动
债券价格
B(i) BT
c / BT i
1
(1
1 i)T
1 (1 i)T
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利率 • 如何计算远期利率
已知3年期即期利率为5%，两年期即期利率为4%，则第2 年到第3年之间的远期利率为
[1 5%]3
[1 5%]3
f (0,2,3) 32
1
1 7.03%
[1 4%]2
[1 4%]2
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利率 • 利率与金额回报 把“1+利率”看作是某个投资期实现的金额回报。T期即 期金额回报就是组成T期的两个远期金额回报的几何加权 平均数，权重是每段时间占总时段的比重。
2020年6月20日8时27分
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债券价格表达式
• 一般意义
• 债券的价格，从理论上讲，就是债券带来的现金流的贴现之和
• 零息债券
• 零息债券是到期一次性还本付息的债券，其特征是仅发生两笔现金流
到期偿付
当前价格
零息债券的现金流特点。箭头向下表示支出现金流，箭头向 上表示收到现金流
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1 i(0,T ) [1 i(0, t)]t /T [1 f (0, t,T )](T t) /T
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利率 • 利率与金额回报 把tn来时代间表段这（些0，小T的）时划间分区成间n个上小的区时间间，点分，别则由市t1场，套t2，利t机3，制…， 使得下面的式子成立
国债全称 九六年记帐式(八期)票面利率 8.56%
国债
实际发行量 200亿
国债付息方式按年付息
发行价格 100
计息日期 1996-11-01
发行方式 记帐式
上市日期 1996-11-21
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债券价格与时间、利率的关系
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96国债8净价平均价格与1年期定期存款利率的走势
借款笔数共T笔，分别是1年期借款，
2年期借款，∙∙∙，T年期借款。其中，1
年期借款的数额是 kc1[1+i(0,1)]-1，2年 期借款的数额是 kc2[1+i(0,2)]-2， ∙∙∙，T 年期借款的数额是kc2[1+i(0,T)]-T。
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债券价格表达式
√第二步，预测各期债券的现金流，以及需要归还的借款本息， 并计算净现金流。
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债券价格表达式
于票是息，c1后第，1年净年利底润套是利：者得到的贷款本息和是kc1，在偿还了债券出借者的
kc1-c1=c1(k-1)
同理，第t 年年底的净利润是：
kc t -c t =c t (k-1) √第三步，在第T 期期末，套利者用得到的现金kc t买回债券（价
同样令B(i)=kB0，则k>1。此时，套利者借入借入债券并立即
抛售，然后获得的资金用于投资，就可获得无风险利润。
T
√第一步，借入债券并抛售，所得资金为： B(i) kB0 kct [1 i(0, t)]t t 1
√第二步，按照下列方式投资并计算净收益：
将金额为 kc1[1+i(0,1)]-1的货币按利率 i(0,1)投资1年，将金额为 kc2[1+i(0,2)]-2的 货币按利率 i(0,2)投资2年， ∙∙∙ ，将金额为 kc2[1+i(0,T)]-T的货币按利率 i(0,T)投资T 年。
这里，cT=c+BT
c i
1
1 (1 i)T
BT (1 i)T
• 因此，债券价格B(i)与利率i呈反比关系。
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