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证明三角形全等的五种方法
方法一：边边边（SSS）——三条边都对应相等的两个三角形全等。
三角形具有稳定性，三条边都确定了，整个三角形都可以固定下来了。
这样就具有了唯一性，而这样的两个三边都对应相等的三角形，自然就是全等的。
但是需要注意的是三个角都相等的两个三角形不能判定全等。
方法二：边角边（SAS）——两边和它们之间的夹角对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是课本上直接给出的，同一个角度的有很多，但是确定了夹这个角的两条边的长短，这个就被确定下来了，这是举不出反例的。
方法三：角边角（ASA）——两角和它们之间的夹边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式也是课本上直接给出的，一个角的边可以无限延长，两个角的夹边被确定以后，就无法延长了，另外两条边则肯定会有交点，这样肯定也能将三角形确定下来。
方法四：角角边（AAS）——两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是由方法三角边角衍生出来的，只要记住了方法三，这个方法就很好记了。
三角形的内角和是180，如果两个角都确定了的话，另外一个角度也可以确定下来，这样三个角都是固定的了，那条对边无论如何都是夹在其中两个角中间的，所以也就形成了“角边角”。
方法五：斜边直角边（HL）——斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等。
这个判定方式是利用了勾股定理，如果两条边都知道了，那么利用勾股定理很容易就可以确定第三条边了，这样利用方法一边边边，或者是方法二边角边，都是可以得出两个三角形全等的。
但是前提必须是两个直角三角形。
1. 三角形全等的定义2. 全等三角形的性质3. 证明方法一：SSS（边-边-边）4. 证明方法二：SAS（边-角-边）5. 证明方法三：ASA（角-边-角）6. 证明方法四：AAS（角-角-边）7. 实例分析：利用SSS证明三角形全等的例题8. 实例分析：利用SAS证明三角形全等的例题9. 实例分析：利用ASA证明三角形全等的例题10. 实例分析：利用AAS证明三角形全等的例题11. 总结1. 三角形全等的定义三角形全等是指两个三角形的对应边相等，对应角相等的情况。
当两个三角形满足这些条件时，可以称它们是全等的。
全等的表示方法通常是用符号△ABC≌△DEF来表示。
2. 全等三角形的性质全等三角形的性质主要包括以下几点：- 对应边相等：若△ABC≌△DEF，则AB=DE, AC=DF, BC=EF。
- 对应角相等：若△ABC≌△DEF，则∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F。
- 三角形的其他边和角也对应相等，并且全等的三角形每个角的对边也相等。
3. 证明方法一：SSS（边-边-边）SSS是Side-Side-Side的缩写，意思是通过证明三角形的三条边相等来证明两个三角形全等。
具体的证明方法如下：- 给出两个三角形△ABC和△DEF，需要证明△ABC≌△DEF。
- 分别计算出△ABC和△DEF的三条边的长度，分别记为AB, BC, CA 和DE, EF, FD。
- 若AB=DE, BC=EF, CA=FD，就可以得出△ABC≌△DEF。
4. 证明方法二：SAS（边-角-边）SAS是Side-Angle-Side的缩写，意思是通过证明三角形的两条边和夹角相等来证明两个三角形全等。
具体的证明方法如下：- 给出两个三角形△ABC和△DEF，需要证明△ABC≌△DEF。
- 分别计算出△ABC和△DEF的两条边和夹角的情况。
- 若在两个三角形中，有两边和夹角分别相等，即AB=DE, BC=EF, ∠B=∠E，就可以得出△ABC≌△DEF。
证明三角形全等公式三角形全等公式是几何学中的重要概念，它用于证明两个三角形之间的全等关系。
全等三角形指的是具有相同边长和角度大小的三角形。
在本文中，我将详细阐述三角形全等公式的证明过程。
我们需要明确三角形的基本性质。
一个三角形由三条边和三个角组成。
在证明两个三角形全等时，我们需要找到两个三角形之间的对应边和对应角。
如果两个三角形的对应边和对应角相等，则可以说这两个三角形是全等的。
我们来介绍SSS全等公式，即边-边-边全等公式。
假设有两个三角形ABC和DEF，分别有AB=DE，BC=EF和AC=DF。
我们需要证明∠A=∠D，∠B=∠E和∠C=∠F。
我们可以通过使用反证法来证明SSS全等公式。
假设ABC和DEF 不全等，即它们的对应边和对应角不相等。
那么至少有一个对应边或对应角不相等。
我们假设AB≠DE。
根据三角形的性质，我们知道如果两个三角形的两个边长相等，那么它们的夹角也相等。
因此，如果AB=DE，那么∠A=∠D。
这与我们的假设相矛盾，因此假设错误。
类似地，我们可以证明BC=EF和AC=DF时，∠B=∠E和∠C=∠F。
因此，根据SSS全等公式，如果两个三角形的三个边长分别相等，那么它们是全等的。
接下来，我们介绍SAS全等公式，即边-角-边全等公式。
假设有两个三角形ABC和DEF，分别有AB=DE，∠A=∠D和AC=DF。
我们需要证明BC=EF，∠B=∠E和∠C=∠F。
同样地，我们可以使用反证法来证明SAS全等公式。
假设ABC和DEF不全等，即它们的对应边和对应角不相等。
我们假设BC≠EF。
根据三角形的性质，如果两个三角形的一个边长和夹角分别相等，那么它们的对应边也相等。
因此，如果AB=DE和∠A=∠D，那么BC=EF。
这与我们的假设相矛盾，因此假设错误。
类似地，我们可以证明∠B=∠E和∠C=∠F。
因此，根据SAS全等公式，如果两个三角形的一个边长和夹角分别相等，那么它们是全等的。
我们介绍ASA全等公式，即角-边-角全等公式。
三角形全等的证明三角形的全等是指两个或多个三角形的所有对应元素（两边和夹角）都相等。
证明三角形全等的方法有很多种，其中包括使用SSS（边边边）、SAS（边角边）、ASA（角边角）、AAS（角角边）以及HL（斜边和对边的垂直高度）准则等。
以下将介绍四种常用的三角形全等证明方法。
1.使用SSS准则（边边边）证明三角形全等：SSS准则要求两个三角形的三条边长度相等。
即如果两个三角形的三条边长度分别相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,AC=DF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度。
然后根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,AC=DF。
由于三角形的边长相等，根据SSS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
2.使用SAS准则（边角边）证明三角形全等：SAS准则要求两个三角形的两边长度成比例，夹角大小相等。
即，如果两个三角形的两条边长度依次成比例，并且夹角大小相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应边的长度，以及已知的夹角。
根据已知条件，我们可以得出AB=DE,BC=EF,∠ABC=∠DEF。
由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据SAS准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
3.使用ASA准则（角边角）证明三角形全等：ASA准则要求两个三角形的两个角度大小相等，夹边长度相等。
即，如果两个三角形的两个角度大小依次相等，并且夹边长度相等，则这两个三角形全等。
证明过程：假设有两个三角形ABC和DEF，已知∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。
画出三角形ABC和三角形DEF，并标出对应角度和边长。
根据已知条件，我们可以得出∠BAC=∠EDF，∠ABC=∠DEF,AC=DF。
由于两个三角形之间存在一对边和夹角均相等的关系，根据ASA准则，三角形ABC和三角形DEF全等。
全等三角形证明方法1. 引言在初等数学中，全等三角形是指具有完全相同的形状和大小的三角形。
证明两个三角形全等是数学中的基本技能之一。
本文将介绍三种常用的全等三角形证明方法，包括SSS（边-边-边）、SAS（边-角-边）和ASA（角-边-角）证明方法。
2. SSS证明方法（边-边-边）SSS证明方法是基于三角形的三条边相等来推断两个三角形全等的方法。
2.1 定义与引理在此之前，我们先介绍一些定义和引理： - 定义1：三角形的边是指连接两个顶点的线段。
- 定义2：相等的边是指具有相同长度的边。
- 定义3：全等三角形是指具有完全相同的形状和大小的三角形。
- 引理1：若两个三角形的对应边相等，则两个三角形的对应顶点所在直线相等。
2.2 SSS证明方法步骤SSS证明方法的步骤如下： 1. 给定两个三角形ABC和DEF，已知三角形ABC的边AB与DEF的边DE相等，边BC与边EF相等，边AC与边DF相等。
2. 根据引理1可得，由AB和DE所在直线，BC和EF所在直线，AC和DF所在直线相等。
3. 推断三角形ABC和DEF的对应顶点A、B、C和D、E、F相等。
4. 结合引理1的推断，得出三角形ABC与三角形DEF全等。
2.3 示例2.3.1 例题1已知三角形ABC与三角形DEF的边长分别如下： - AB =DE = 5cm - BC = EF = 7cm - AC = DF = 9cm我们通过SSS证明方法证明三角形ABC与三角形DEF全等。
证明过程如下： 1. 根据给定边长，可得AB与DE相等，BC与EF相等，AC与DF相等。
2. 由引理1，能够推断出三角形ABC与三角形DEF的对应顶点A、B、C和D、E、F相等。
3.结合引理1的推断，得出三角形ABC与三角形DEF全等。
由此可得，三角形ABC与三角形DEF全等。
2.4 注意事项在使用SSS证明方法时，需要确保给定的边长满足边-边-边的条件，即三条边分别相等。
学生1对1个性化教案第 6 次课学生姓名年级授课日期教师科目数学时间段授课内容全等三角形证明——SSS出题依据初二预习知识点一：SSS定理（一）知识点精讲①AB=DE ②BC=EF ③CA=FD ④∠A= ∠D ⑤∠B=∠E ⑥∠C= ∠F思考：1.满足这六个条件可以保证△ABC ≌△DEF吗？2.如果只满足这些条件中的一部分,那么能保证△ABC ≌△DEF吗?探究一：1.只给一个条件：只给一条边时；只给一个角时.结论:只有一条边或一个角对应相等的两个三角形不一定全等.2.如果满足两个条件，你能说出有哪几种可能的情况？①两边；②一边一角；③两角。
①如果三角形的两边分别为4cm，6cm 时结论:两条边对应相等的两个三角形不一定全等.②三角形的一条边为4cm,一个内角为30°时:结论:一条边一个角对应相等的两个三角形不一定全等.③如果三角形的两个内角分别是30°，45°时结论:两个角对应相等的两个三角形不一定全等.根据三角形的内角和为180度，则第三角一定确定，所以当三内角对应相等时，两个三角形不一定全等结论：只给出一个或两个条件时，都不能保证所画的三角形一定全等。
3.如果满足三个条件，你能说出有哪几种可能的情况？①三角；②三边；③两边一角；④两角一边。
⑴三个角已知两个三角形的三个内角分别为30°，60°，90°它们一定全等吗？结论：这说明有三个角对应相等的两个三角形不一定全等⑵三条边已知两个三角形的三条边都分别为3cm、4cm、6cm 。
它们一定全等吗？探究二：先任意画出一个△ABC，再画出一个△A’B’C’ ,使A’B’= AB ,B’C’ =BC, A’C’ =AC.把画好△A’B’C’的剪下，放到△ABC上，他们全等吗？画法:1.画线段B’C’ =BC;2.分别以B’，C’为圆心,BA,BC为半径画弧,两弧交于点A’;3. 连接线段A’B’，A’C’ .上述结论反映了什么规律？边边边公理：三边对应相等的两个三角形全等。
简写为“边边边”或“SSS”注：这个定理说明，只要三角形的三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，这也是三角形具有稳定性的原理。
判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等。
如何用符号语言来表达呢?在△ABC与△DEF中AB=DEAC=DFBC=EF∴△ABC≌△DEF（SSS）（二）典型例题剖析例1 ：如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC中点D的支架，求证：△ABD≌△ACD证明：∵D是BC的中点∴BD=CD在△ABD与△ACD中AB=AC（已知）BD=CD（已证）AD=AD（公共边）∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C，归纳：证明的书写步骤：①准备条件：证全等时要用的条件要先证好；②三角形全等书写三步骤：1.写出在哪两个三角形中2.摆出三个条件用大括号括起来3.写出全等结论练习：已知：如图，AB=AD，BC=DC，求证：△ABC≌△ADC例2：填空题：（1）如图，AB=CD，AC=BD，△ABC和△DCB是否全等？试说明理由。
解：△ABC≌△DCB理由如下：AB = CDAC = BD ==> △ABC ≌（）=（2）如图，D、F是线段BC上的两点，AB=CE，AF=DE，要使△ABF≌△ECD ，还需要条件（1）（2）例3：已知：如图1，AC=FE，AD=FB,BC=DE，求证：（1）△ABC≌△FDE，（2）∠C=∠E，（3）AC∥EF；DE∥BC证明：（1）∵AD=FB∴AB=FD（等式性质）在△ABC和△FDE 中AC=FE（已知）BC=DE（已知）AB=FD（已证）∴△ABC≌△FDE（SSS）（2）∵△ABC≌△FDE（已证）∴∠C=∠E （全等三角形的对应角相等）（3）例4：已知:如图，AB=AC，DB=DC，请说明∠B =∠C成立的理由解：连接AD在△ABD和△ACD中，AB=AC (已知）DB=DC （已知）AD=AD （公共边）∴△ABD≌△ACD (SSS)∴∠B =∠C (全等三角形的对应角相等）例5：已知：如图，四边形ABCD中，AD=CB，AB=CD，求证：∠A＝∠C。
分析：要证两角或两线段相等，常先证这两角或两线段所在的两三角形全等，从而需构造全等三角形。
构造公共边是常添的辅助线例6：已知：AC=AD，BC=BD，求证：AB是∠DAC的平分线.证明:在△ABC和△ABD中AC=AD(已知)BC=BD（公共边）AB=AB(已知)∴△ABC≌△ABD（SSS）∴∠1=∠2（全等三角形的对应角相等）∴AB是∠DAC的平分线（角平分线定义）小结:1.边边边公理：有三边对应相等的两个三角形全等 简写成：“边边边”（SSS ）2.边边边公理发现过程中用到的数学方法（包括画图、猜想、分析、归纳等.)3.边边边公理在应用中用到的数学方法:证明线段(或角)相等转化为证明线段(或角)所在的两个三角形全等.两个三角形全等的注意点：1. 说明两三角形全等所需的条件应按对应边的顺序书写.2. 结论中所出现的边必须在所证明的两个三角形中.3. 有时需添辅助线(如:造公共边)（三）随堂练习 一、填空1、能够完全 的两个三角形叫做全等三角形.2、全等三角形的 相等，全等三角形的 相等.3、完成下面的证明过程：如图，OA ＝OB ，AC ＝BC.求证：∠AOC ＝∠BOC.证明：在△AOC 和△BOC 中， OA ______,AC ______,OC ______.⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴ ≌ （SSS ）.∴∠AOC ＝∠BOC （ ）.4、△ABC 和A B C '''△中，若AB A B ''=，BC B C ''=，则需要补充条件 可得 到△ABC ≌A B C '''△．5、如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，则△ABD ≌△ACD ，根据是_______，AD 与BC 的位置关系是_______． 二、选择1、如图，AB ＝DB ，BC ＝BE ，欲证△ABC ≌△DBC ，则需补充的条件是（ ） Ａ．∠A ＝∠D Ｂ．∠E ＝∠C Ｃ．∠A ＝∠C Ｄ．AE ＝DC2、全等三角形是( )A ．三个角对应相等的三角形B ．周长相等的两个三角形C ．面积相等的两个三角形D ．三边对应相等的两个三角形COA B（ ）3、如图所示，在△ABC 中，AB =AC ，BE =CE ，则由“SSS ”可以判定( )A ．△ABD ≌△ACDB ．△BDE ≌△CDEC ．△ABE ≌△ACED ．以上都不对 4、下列各组条件中能判定△ABC ≌△DEF 的是（ ） A 、AB=DE ，BC=EF B 、∠A=∠D ，∠C=∠F C 、AB=DE,BC=EF,ΔABC 的周长等于ΔDEF 的周长 D 、∠A=∠D ，∠B=∠E, ∠C=∠F 1. 解答题1、已知：如图，A 、B 、E 、F 在一条直线上，且AC=BD ，CE=DF ，AF=BE 。
求证：△ACE ≌△BDF2、已知：如图，B 、E 、C 、F 在一条直线上，且BE=CF ，AB=DE ，AC=DF 。
求证：△ABC ≌△DEF 。
3、已知：如图，AB=DC ，AD=BC ，求证：∠A=∠C 。
4、已知：如图 , AB=AC , AD=AE , BD=CE ．求证：∠BAC=∠DAE ．ABCDEFEDCBA DFCEB ADCBA EDBCAABOCD课后作业一、基础知识1、能够完全 的两个三角形叫做全等三角形.2、全等三角形的 相等，全等三角形的 相等.3、如图所示，沿直线AC 对折，△ABC 与△ADC 重合，则△ABC ≌ ，AB 的对应边是 ，BC 的对应边是 ，∠BCA 的对应角是 ．4、如图，AB 、DC 相交于点O ，△AOB ≌△DOC ，A 、D 为对应顶点，则这两个三角形中，相等的边有____________，_______________，_____________，相等的角有__________，____________，_________． 5、边边边公理：______________________________ 6、完成下面的证明过程： 如图，OA ＝OB ，AC ＝BC. 求证：∠AOC ＝∠BOC. 证明：在△AOC 和△BOC 中，OA ______,AC ______,OC ______.⎧=⎪=⎨⎪=⎩∴ ≌ （SSS ）.∴∠AOC ＝∠BOC （ ）.7、尺规作图。
已知：∠AOB. 求作：∠DEF,使∠DEF=∠AOBCOAB（ ） （ ） （ ）二、巩固练习1、已知：如图，A、B、E、F在一条直线上，且AC=BD，CE=DF，AF=BE。
求证：△ACE≌△BDF2、如图，△ABC中，D是BC边的中点，AB=AC，求证：∠B=∠C。
FEDCBAC3、已知：如图，B、E、C、F在一条直线上，且BE=CF，AB=DE，AC=DF。
求证：△ABC≌△DEF。
4、已知：如图，AD=BC,AC=BD. 求证：∠OCD=∠ODCDFCEBA5、已知：如图，AB=DC，AD=BC，求证：∠A=∠C。
6、已知：如图, AB=AC , AD=AE , BD=CE．求证：∠BAC=∠DAE．7、已知AB=DE，BC=EF，D，C在AF上，且AD＝CF，求证：AB//DE．D CBAEDB CA8、已知AB=DE ，BC=EF ，D ，AF ＝CD ，求证EF//BC ：9、如图，已知AB ＝AC ，AD 为△ABC 的中线，求证：AD ⊥BC10、 如图，已知AB=CD ，AC=BD ，求证：∠A=∠D.11、如图，已知AB=AD ，AC=AE ，BC=DE,求证：∠1=∠2ABCDO21FEDCB AD ACDAC21EBDACB12、已知AD=BE ，BC=EF ，D ，AC ＝DF ，求证EF//BC ：13、已知AB=AE ，BC=EF ，D ，AF ＝AC ，求证：∠BAE=∠CAF14、已知AB=DC ，AC=DB ，求证：∠DBC=∠ACBDA C FEB15、已知C是BD上一点，AC=CE,AB=CD,BC=DE, ∠B=900求证：AC⊥CE16、如图，已知AE=AB，AF=AC，EC=BF，求证：∠CMF=∠CAF CB ADEAEB MCF。
