求曲线方程

∴ x 2y 7 0 (Ⅰ)
⑴由上面过程可知,垂直平分线上的任一点
证明
的坐标都是方程 x 2y 7 0 的解;
⑵设点 M1 的坐标 (x1, y1) 是方程(Ⅰ)的解,即 x1 2y1 7 0
∵上面变形过程步步可逆,∴ (x1 1)2 (y1 1)2 (x1 3)2 (y1 7)2 M1A M1B
y
.M
(x, y)
F(.0, 2)
0
lB x
6
课堂练习:
练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4)
的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y)
∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM x2 ( y 4)2
∴ y = x2 ( y 4)2
∴ y2 x2 y2 8y 16 ∴ x2 8y 16 这就是所求的轨迹方程.
活用几何性质来找关系
yB
思维漂亮!
(x, y) C
M
0Ax
8
例2、已知直角坐标平面上点Q(2，0) 和圆Ox:2 y2 1.
动点M到圆O的切线长与|MQ|的比等于常数( 0),
求动点M的轨迹方程，并说明它表示什么曲线？
y M
N
0
Q2 (2m 1)x m2 1(m R) 的顶
建立坐标系 设点的坐标
限(找几何条件) 代(把条件坐标化)
化简
7
思考:(P37 练习第 3 题)
如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA
与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB
与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的

于是 ，
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法二：（代入法）设P点坐标为（x，y），N点坐标为（ ）,根据中点坐标公式得 ，因为N在圆上，所以
（x≠0），
化简得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法三：（参数法）设P点坐标为（x，y），直线ON的方程为：y=kx，
由 消去y得：(1+k2)x2-4x=0，
参数法是借助中间变量，间接得到x、y关系的方法。在预先无法判断曲线的类型，又不容易直接找到x、y关系的情况下，就必须使用参数法。参数法的关键是参数的选择。有时用一个中间变量，有时则用多个。平时提到的代入法、点差法、交轨法都属于参数法。使用参数法时，不一定要得到参数方程，在适当的时机消去参数即可。
本课通过对一个题目的多种解法，复习求曲线方程的常用方法，并通过一题多变，让学生体验各种方法的适用条件。学会具体问题具体分析，培养学生发散思维能力和创新能力。
的几种形式，圆、椭圆、双曲线和抛物线的标准方程等。使用公式法的前提是：知道曲线的类型。有时并不告诉曲线的类型，但是根据定义能够判断出曲线的类型，再利用公式（有些书上称为定义法）。在使用公式时，有时可以一一求出公式中的系数，再代入公式。有时则要带着系数运算，直到最后求出系数（这就是所谓的待定系数法）。
因为PC⊥PO，所以|OP|=|OC| =2 ，于是 ， ，P点轨迹的参数方程为
，消去参数得：x2+y2-2x=0（x≠0）。
方法九：（参数法——点差法）设P点坐标为（x，y），直线ON与圆的两个交点的坐标分别为（x1,y1）、（x2,y2），则
， ，两式作差得
注意到x1+x2=2x，y1+y2=2y， ，代入整理得：
变化一：（变化圆心和转动点）

(完整版)求曲线方程的六种常用方法求曲线方程的六种常用方法在数学中，求解曲线方程是一个非常重要的问题。

这篇文档将介绍六种常用的方法，帮助你解决这个问题。

方法一：代数法代数法是求解曲线方程最常用的方法之一。

它的基本思想是将给定的曲线方程转化为代数方程，然后通过求解代数方程来得到曲线方程的解。

方法二：几何法几何法是另一种常用的求解曲线方程的方法。

它的基本思想是通过几何性质和图形的特点来确定曲线方程的形式和参数。

方法三：微积分法微积分法在求解曲线方程中也起到了非常重要的作用。

它利用微积分的工具和技巧来对曲线进行分析和求解。

通过求导、积分等操作，我们可以推导出曲线的方程式。

方法四：插值法插值法是一种通过已知的离散数据点来推测出未知数据点的方法。

利用插值法，我们可以找到曲线方程经过的点，并进而求解出曲线方程。

方法五：拟合法拟合法和插值法类似，它也是一种通过已知的数据点来求解曲线方程的方法。

拟合法通常通过根据给定的数据点，选择合适的曲线方程形式，使得曲线与这些数据点最为接近。

方法六：数值计算法数值计算法是一种通过数值计算的方式来求解曲线方程的方法。

它利用计算机的高速计算能力，通过迭代等方法快速求解出曲线方程的解。

通过掌握这六种常用的方法，相信你能更加轻松地求解曲线方程。

选择适合你的方法，并进行实践，相信你一定能够取得理想的结果。

结论本文介绍了六种常用的求解曲线方程的方法，包括代数法、几何法、微积分法、插值法、拟合法和数值计算法。

通过掌握这些方法，你能够更加有效地求解曲线方程，解决数学问题。

希望这些方法能够对你有所帮助。

求曲线方程的几种常用方法宜君县高级中学 马卫娟已知动点所满足的条件，求动点的轨迹方程是平面解析几何的一个重要题型。

下面就通过实例介绍几种求曲线方程的常用方法。

一.直接法：即课本中主要介绍的方法。

若命题中所求曲线上的动点与已知条件能直接发生关系,这时,设曲线上动点的坐标为(x,y),再根据命题中的已知条件,研究动点形成的几何特征,运用几何或代数的基本公式、定理等列出含有x,y 的关系式,从而得到轨迹方程。

例1.在直角△ABC 中,斜边是定长2a(a>0),求直角顶点C 的轨迹方程。

解法一：以AB 所在直线为x 轴，线段AB 的中垂线为y 轴建立直角坐标系（如图所示）则有:A(-a,0)、B(a,0),设动点C 的坐标为(x,y) 则满足条件的点C 的集合为}/{222AB BCAC C P =+=所以()()()22222222)()(a ya x ya x =+-+++即222a y x =+因为当点C 与A 、B 重合时，直角△ABC 不存在，所以轨迹中应除去A 、B 两点，既ax ±≠。

故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。

解法二:如解法一建立直角坐标系,设A(-a,0)、B(a,0)、C(x,y) ∵A C ⊥BC ∴1-=⋅BC AC K K∴1-=-⋅+ax y ax y （1）化简得：222a y x =+（2）由于a x ±≠时，方程(1)与(2)不等价,所以所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。

解法三：如解法一建立直角坐标系，则：A(-a,0)、B(a,0)，设C(x,y) 连接CO ，则有：AB CO 21=所以a a yx =⋅=+22122即222ay x =+轨迹中应除去A ，B 两点（理由同解法一） 故所求点C 的轨迹方程为222ay x =+()a x ±≠。

说明：利用直接法求曲线方程的一般步骤(1) 建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意点M 的坐标; (2) 写出适合条件P 的点M 的集合P={M\p(m)}; (3) 用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x,y)=0; (4) 化方程f(x,y)为最简形式;(5) 证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

求曲线方程的五种方法曲线方程是数学中的一个重要的概念，它是表示一个曲线的方程。

曲线方程可以有多种形式，可以用任意数量的参数来确定。

求曲线方程的方法也是各种数学软件的一个重要的功能，下面我们来看看其中的五种求曲线方程的方法：第一种是直接由点法得到曲线方程，通常是根据已知点计算曲线方程，也就是由点求式，即问题中大多数可能给定的曲线方程。

如果我们知道曲线上两个点并且想要求得这条曲线的方程，可以采用此方法。

事实上，只要有足够的点，就可以根据点求出曲线的方程。

第二种是利用偏导数，如果我们知道曲线上某一点的梯度，我们就可以通过求偏导数确定曲线的方程。

另外，我们也可以使用积分法对曲线去求其方程。

第三种方法是根据它与其他曲线的关系来求曲线方程，如果我们知道两条曲线的关系（比如二次函数与指数函数的关系），我们就可以求出曲线的方程。

第四种方法是根据曲线的特征和性质，比如曲线的斜率，拐点和极值，以及曲线的对称性，都可以作为曲线方程求解的重要根据。

最后，第五种方法是利用计算机软件辅助的方法，如通过利用数学软件和GIS软件等，可以轻松地求出曲线方程。

上述是求曲线方程的五种方法，由于曲线方程的形式和参数不同，求曲线方程的方式也有多种，比如，我们可以根据点求式，根据偏导数，根据它与其他曲线的关系，根据曲线的特征和性质，以及利用计算机软件辅助求解曲线方程。

此外，还有很多其他的求曲线方程的方法，但是最重要的还是要仔细分析问题，熟悉各种求曲线方程的具体方法，才能把握出该问题的解决方案。

综上所述，求曲线方程的五种方法是根据点法得到曲线方程，利用偏导数，根据它与其他曲线的关系，根据曲线的特征和性质，以及利用计算机软件辅助求解曲线方程。

此外，求解曲线方程的关键在于仔细分析问题，熟悉各种求曲线方程的具体方法。

由曲线的方程和方程的曲线两方面来进行说 明 如下图所示的曲线是方程y=1/x的曲线吗 的曲线吗？ 如下图所示的曲线是方程y=1/x的曲线吗？ 为什么？ 为什么？
y
o
x
方程y x=0的曲线是如下图所示的曲线吗 方程y-x=0的曲线是如下图所示的曲线吗？ 的曲线是如下图所示的曲线吗？ 为什么？ 为什么？
间接法（相关点法） 间接法（相关点法）
2、已知曲线C的方程是x2+y2=4,定点A的坐 已知曲线C的方程是x =4,定点 定点A 标是(6,0),Q是曲线 上的一个动点, 是曲线C 标是(6,0),Q是曲线C上的一个动点,当Q在曲 上移动时,求线段QA的中点 的中点P 线C上移动时,求线段QA的中点P的轨迹方 程. (x-3)2+y2=1 (x-
3、已知三角形ABC的顶点是B（-3，8）、 已知三角形ABC的顶点是 的顶点是B C（-1，-6）又顶点A在直线y=x上运动， 又顶点A在直线y=x上运动 上运动， 求这个三角形的重心G的轨迹方程。 求这个三角形的重心G的轨迹方程。 x-y+2=0（x不等于-15/8） y+2=0（ 不等于-15/8） 4、求曲线4x2+9y2=36关于点Q（-3，1） 求曲线4x =36关于点 关于点Q 对称的曲线方程。 对称的曲线方程。 4（x+6）2+9（y-2）2=36 x+6） +9（
求曲线的方程
直接法
1、已知∆ABC的边长BC的长为6，∠ABC 已知∆ABC的边长 的长为 的边长BC的长为6 的正切值与∠ACB的正切值的乘积为 的正切值的乘积为2 的正切值与∠ACB的正切值的乘积为2，求 顶点A 顶点A的轨迹方程
y y 2 2 ⋅ = −2( y ≠ 0) ⇒ 2x + y =18( y ≠ 0) x −3 x &#点的 求证： 轨迹C的方程不是x 轨迹C的方程不是x-y=0

求曲线方程的方法
抚松一中 姜民和
学习目标：
1.曲线的方程、方程的曲线； 2.总结求曲线的方程的方法和步 骤；
•
定义：在直角坐标系中，如果某曲线C（看作适合某种
条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数
解建立了如下的关系：
•
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
•
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。
5
2
mx 2 ny 2 1
直接法（第二定义）
3.已知点P到定点F (3,0)的距离与到l：x 25的距离之比 3
为 3，求P的轨迹方程 5
基本步骤： 建，设，现，代，化
4.已知过圆 x2 y2 25上的动点 p向x轴做垂线，垂足为 Q 点R满足PR 1 PQ,求点R的轨迹方程
5
5.已知点P在直线y 164 上移动，直线l过点A(0,4)且与 9
分析作业：
已知曲线的类型，可 先设出曲线的方程
曲线与方程
和 x2 y2 25交于点P, Q过点P作x轴的平行线 l1, 过点Q做 x轴的垂线 l2 , l1交l2与点R，求点 R的轨迹方程。
方法小结：
求曲线的轨迹方✓参数法 ✓定义法
所求动点随另 一动点在已知 曲线上的运动 而运动，称为 相关点法.
✓待定系数法
AP垂直，通过点B(0,4)及点P的直线m和直线l相交于点Q 求点Q的轨迹方程
一、复习回顾
一、求曲线的方程(轨迹方程)的一般步骤: 1、建立适当的坐标系，设曲线上任一
点的坐标; 2、找条件，由条件列出方程;
3说、明化所简得方方程程. (可检以验省略)为所求的曲线
方程.
二、求曲线方程的常用方法：

求曲线方程的六种常用方法本文介绍了求解曲线方程的六种常用方法，分别是：1. 寻找基本解析式：通过观察曲线的形状和特征，找到与之相对应的基本解析式。

基本解析式可以是各种函数的特定形式，比如直线的解析式是 y = kx + b，圆的解析式是 (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 等。

2. 根据已知条件确定系数：如果已知曲线通过某些特定点，或者满足某些特定条件，可以根据这些已知条件来确定方程中的系数。

例如，如果已知曲线通过点 (x1, y1)，可以将这个点的 x 值和 y 值代入方程，然后解方程组得到系数的值。

3. 利用对称性：对于某些曲线，可以利用其对称性来求解方程。

比如，若曲线关于 y 轴对称，则它的方程可以写为一个只包含 x 的函数；若曲线关于原点对称，则它的方程可以写为一个只包含 x^2和 y^2 的函数。

4. 使用切线和法线方程：对于曲线上的一点，可以求出该点处的切线和法线方程，从而得到曲线的方程。

切线方程可通过求导得到，法线方程可以通过求切线方程斜率的倒数得到。

5. 运用参数方程：对于某些曲线，如果能够表示为参数方程的形式，那么可以通过求解参数方程中的参数来得到曲线的方程。

参数方程常用于描述曲线的运动或变化，如抛物线的参数方程为 x =at^2，y = 2at。

6. 通过描点法：对于一些复杂的曲线，可以通过描点法来逼近曲线的方程。

具体做法是在平面上选择一些点，然后将这些点的坐标代入方程，确保曲线经过这些点，进而逐步调整方程的系数，使得曲线更加贴合这些点，最终求得曲线的方程。

综上所述，求解曲线方程的六种常用方法包括寻找基本解析式、确定系数、利用对称性、使用切线和法线方程、运用参数方程以及通过描点法。

在具体应用中，选择合适的方法取决于曲线的特征和已知条件。

希望本文对您求解曲线方程有所帮助。

注意：本文介绍的方法仅供参考，具体问题具体分析，使用时需根据实际情况做出决策，谨慎使用。

求曲线方程的六种常用方法1. 解析法解析法是求解曲线方程最常用的方法之一。

通过观察曲线上的特点、关系和性质，可以得出方程的解析表达式。

这种方法通常适用于简单的曲线，如直线、抛物线和圆等。

2. 描述法描述法是一种通过描述曲线的特征和属性来确定曲线方程的方法。

通过描述曲线的形状、位置和特点，可以推导出方程的表达式。

例如，通过描述曲线的对称性、斜率和截距等，可以确定直线的方程。

3. 坐标法坐标法是一种通过确定曲线上的一些点的坐标，并利用这些点之间的关系来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，建立坐标系，并利用点的坐标与曲线方程之间的关系，可以推导出方程的表达式。

例如，通过选择直线上两个点的坐标，可以确定直线的斜率和截距，从而求解直线的方程。

4. 几何法几何法是一种通过利用几何性质和定理来求解曲线方程的方法。

通过观察和应用几何性质，可以得出曲线的方程。

例如，通过利用直角三角形的性质，可以求解直线的方程。

5. 数值法数值法是一种通过取一些离散点的数值，并利用这些数值来求解曲线方程的方法。

通过选择合适的点，确定它们的坐标和相应的函数值，并利用这些数值进行插值或拟合，可以得出曲线的方程。

数值法适用于曲线较复杂或难以用解析表达式表示的情况。

6. 近似法近似法是一种通过近似计算来求解曲线方程的方法。

通过将复杂的曲线近似为简单的曲线，如直线或二次曲线，可以进行简化的计算，从而得出曲线的近似方程。

这种方法通常适用于复杂曲线的近似表示，例如使用泰勒级数进行近似计算。

以上是求曲线方程的六种常用方法。

根据曲线的特点和需要，选择合适的方法可以更便捷地求解曲线方程。

参数方程可以用来描述 各种平面曲线，如圆、 椭圆、抛物线、双曲线 等。
确定点的位置
通过参数方程可以确定 平面内点的位置，通过 给定参数值计算出对应 的x和y坐标。
解决几何问题
参数方程可以用于解决 几何问题，如求弦长、 切线斜率、面积等。
参数方程在物理问题中的应用
描述运动轨迹
在物理学中，参数方程可以用来描述物体的运动轨迹， 如行星运动轨迹、摆动轨迹等。
总结词：声波传播
详细描述：双曲线方程在声学研究中用于描述声波的传播规律，如声音的传播速 度、衰减等。
抛物线方程在弹道学中的应用
总结词：弹道轨迹
详细描述：抛物线方程在弹道学中用 于描述炮弹、导弹等物体的飞行轨迹 ，是军事领域中非常重要的数学工具 。
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THANKS
截距式方程
$x/a + y/b = 1$，其中a和b分别是 直线在x轴和y轴上的截距。
圆方程
标准方程
$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$，其中(h, k)是圆心，r是半径。
参数方程
$x = h + rcostheta$，$y = k + rsintheta$，其中(h, k)是圆 心，r是半径，$theta$是参数。
04
参数方程的应用
参数方程与极坐标方程的转换
参数方程转换为极坐标方程
将参数方程中的x和y代入极坐标公式（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到极坐标方程。
极坐标方程转换为参数方程
将极坐标方程中的ρ和θ代入参数方程（x=ρcosθ， y=ρsinθ），得到参数方程。
参数方程在几何问题中的应用
描述平面曲线
03
曲线方程的求解方法

求曲线方程的常用方法1． 直接法——若动点的运动规律就是一些几何量的等量关系，这些条件简单明确易于表达，则可根据已知（或可求）的等量关系直接列出方程的方法。

2． 定义法——利用二次曲线的定义求轨迹方程。

（1） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||PF PF +=定长2a ，且122||a F F >(F 1F 2为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的椭圆。

故只须选择恰当的坐标系，就可直接写出椭圆的方程。

（2） 若平面上的动点P(x,y)满足条件：11||||||PF PF -=定长2a ，且122||a F F <(F 1F 2为定点)，那么P 点的轨迹为以F 1、F 2为焦点的双曲线。

当122||a F F =时，P点的轨迹为射线；如果不含绝对值，那么轨迹是一支双曲线或一条射线。

故只须选择恰当的坐标系，依双曲线的定义，就可直接写出椭圆的方程。

3． 代入法（或称相关点法）——有时动点P 所满足的几何条件不易求出，但它随另一动点P ’的运动而运动，称之为相关点，若相关点P ’满足的条件简单、明确（或P ’的轨迹方程已知），就可以用动点P 的坐标表示出相关点P ’的坐标，再用条件把相关满足的轨迹方程表示出来（或将相关点坐标代入已知轨迹方程）就可得所求动点的轨迹方程的方法。

4． 几何法——利用平面几何的有关知识找出所求动点满足的几何条件，并写出其方程的方法。

5． 参数法——有时很难直接找出动点的横纵坐标间的关系，可选择一个（有时已给出）与所求动点的坐标x,y 都相关的参数，并用这个参数把x,y 表示出来，然后再消去参数的方法。

如：遇求两动直线的交点的轨迹方程问题，可适当引进参数（如斜率、截距等），写出两动直线的方程，然后消去参数就得到所求的两动直线的交点的轨迹方程，这种方法又称交轨法，其关键有二：一是选参，要容易写出动直线的方程；二是消参，消参的途径灵活多变，有时分别从两个方程中解出参数，再消参；有时分别解出x,y ，再消参；有时直接或适当变形后，通过加、减、乘、除，求平方和，求平方差等方法整体消参。

曲线方程公式曲线方程公式（Curve Equation Formula）是用来描述曲线的函数公式，它可以用来帮助我们研究曲线的几何特性、求解该曲线的最佳拟合效果等。

下面来详细的介绍以下曲线方程的形式：一、一元曲线方程：1. 二次曲线方程：$$ y=ax^2+bx+c $$2. 三次曲线方程：$$ y=ax^3+bx^2+cx+d $$3. 指数曲线方程：$$ y=ae^x+c $$4. 对数曲线方程：$$ y=a\log_b(x)+c $$二、二元曲线方程：1. 椭圆曲线方程：$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 $$2. 抛物线方程：$$ y=ax^2+bx+c $$3. 双曲线方程：$$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1 $$4. 极坐标方程：$$ (r\cos\theta, r\sin\theta) $$三、三元曲线方程：1. 椭圆曲线方程：$$ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=1 $$2. 三次曲线方程：$$ z=ax^3+by^2+cz+d $$3. 圆柱曲线方程：$$ z=acos\sqrt{x^2+y^2} $$4. 圆锥曲线方程：$$ z=asqrt{x^2+y^2} $$四、多項式曲线方程：1. 一维多项式曲线方程$$ f(x)=ax^2+bx+c $$2. 二维多项式曲线方程$$ F(x,y)=a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 x^2 + a_4 xy + a_5 y^2 + \cdots + a_n x^i y^j $$3. 三维多项式曲线方程$$ F(x,y,z) = a_0 + a_1 x + a_2 y + a_3 z + a_4 x^2 + a_5 xy + a_6 xz + a_7 y^2 + a_8 yz + \cdots + a_n x^i y^j z^k $$以上就是曲线方程公式中常用的几种形式，可以用它们来根据不同的曲线来进行求解。

曲线方程的求解方法在几何学中，曲线是指一类可以被完全描述的路径，由连续且无限多的点组成。

曲线方程是一种数学模型，用来描述任何一条曲线。

它是一种系统的方法，用来确定曲线的特性和位置，也可以用来确定曲线与定义域和值域的关系。

曲线方程求解的方法主要分为三大类：分析求解、数值求解、图像求解。

1、分析求解：分析求解是通过分析曲线方程的形式，把它转换成直观易于理解的形式来解决曲线方程。

当曲线方程表示出来时，它可能是曲线函数的形式，可以用积分来解决。

也可以采用计算曲线函数的局部最大值、最小值和拐点的方法来求解。

2、数值求解：数值求解是指通过近似计算曲线方程的实际值来求解曲线方程。

该方法采用数值求解法，要求用户输入一些参数，然后使用某种数值求解方法来求解曲线方程，如牛顿法、拉格朗日法等。

3、图像求解：图像求解是指通过绘制曲线图像来求解曲线方程，是一种近似的求解方法。

这种求解方法把曲线方程看成一种图形，用图形的方法来求解，如观察图形的拐点、凹点等，从而对曲线方程进行分析。

曲线方程求解是一个涉及到具体求解方法的研究课题，为了得到准确的结果，它需要用到数学分析、计算机科学、计算机图形学等多领域的知识。

另外，曲线方程求解还可以从不同的角度来进行研究，比如可以从结构的角度来求解曲线方程，对其进行模型化建模，结合经典的算法，设计新的求解方法；也可以从表示的角度来求解曲线方程，构建两维、三维的曲线表示方法，用以解决复杂曲线表达、求解曲线上的点和特征点等问题；还可以从应用的角度来求解曲线方程，如机器人导航、游戏设计等，为其开发出具有一定实用价值的曲线求解方法。

总之，曲线方程求解是一项非常重要的研究课题，也是一个相当复杂的技术领域，涉及到许多不同的知识领域，未来仍然有许多可以去挖掘的空间。

三.补充练习
8.动圆 与圆 内切,且过点 ,则圆心 在
曲线上运动,并求出其方程.
9.已知 的底边 ,顶点 为动点,且 ,则点 在曲线上运动,写出其方程.
10.设 是双曲线 的焦点, 是双曲线上的任意一点从 引 得平分线的垂直,垂足为 ,求 到原点的距离.
11.从双曲线 上点 引直线 的垂线,垂足为 ,求线段 的中点的轨迹方程.
【例3】已知两个定圆 ,它们的半径分别是 ,且 ,动圆 与圆 内切,与圆 外切,求动圆圆心 的轨迹方程.
【练习3】若将例3中的”内切”改为”外切”,则动圆圆心 的轨迹方程又是什么?
【练习4】求与圆 外切,又与 轴相切的圆的圆心 的轨迹方程.
二次总结栏
五.本节内容个人掌握情况反思,疑问
编号:X2-1013
(4)对任意实数 ,必存在实数 ,使得直线 与圆 相切;
二.今日作业
4.平面直角坐标系中,若定点 与动点 满足 ,则点 的轨迹方程为.
5.点 满足 ,则 点的轨迹为.
6.已知定点 ,动点 与 两点的连线 的斜率分别为 ,且 ,求点 的轨迹方程.
纠错、总结栏
7.求到两条互相垂直的直线的距离之积等于常数 的点的轨迹方程.
§2.6.2求曲线的方程
一.滚动复习
1.经过圆 圆心 ,且与直线 垂直的直线的方程为.
2.已知 满足方程 ,则 的最大值为.
3.已知圆 ,直线 ,下列四个命题中正确的有.
(1)对任意实数 与 ,直线 与圆 相切;
(2)对任意实数 与 ,直线 与圆 有公共点;
(3)对任意实数 ,必存在实数 ,使得直线 与圆 相切;编号:X2-10来自3§2.6.2求曲线的方程
学习
目标
(1)了解解析几何的基本思想;

求曲线方程的方法一、已知特征点求曲线方程。

如果已知曲线上的一个或多个特征点，我们可以利用这些特征点来求曲线方程。

例如，如果已知曲线上的一个点坐标和曲线的斜率，我们可以利用点斜式来求出曲线方程。

又如，如果已知曲线上的三个点坐标，我们可以利用三点式来求出曲线方程。

这些方法都是通过已知特征点来确定曲线方程的常用方法。

二、已知曲线性质求曲线方程。

有时候我们知道曲线的一些性质，比如曲线的对称轴、焦点、直角坐标系中的方程等，这些性质可以帮助我们求出曲线方程。

例如，如果已知曲线是关于y轴对称的，那么曲线方程一定是关于x的偶函数；如果已知曲线经过某一点且在该点的切线斜率为2，那么我们可以利用导数的概念来求出曲线方程。

这些方法都是通过已知曲线性质来确定曲线方程的常用方法。

三、已知微分方程求曲线方程。

微分方程是描述曲线的变化规律的一种数学工具，通过微分方程我们可以求出曲线的方程。

例如，如果已知某条曲线上的点的切线斜率与该点的横纵坐标之比等于该点的纵坐标与横坐标之比，那么我们可以利用微分方程来求出曲线方程。

这是通过微分方程来确定曲线方程的常用方法。

总结。

通过以上介绍，我们可以看到求曲线方程的方法有很多种，我们可以根据已知条件的不同来选择合适的方法。

在实际问题中，我们经常需要根据具体情况来选择合适的方法来求解曲线方程。

希望大家在学习数学的过程中能够灵活运用这些方法，提高数学解题的能力。

以上就是我对求曲线方程的方法的介绍，希望对大家有所帮助。

如果有任何疑问或者补充，欢迎大家留言讨论。

祝大家学习进步，谢谢！。

求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围． 解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线，∴|NA |＝|NM |.∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆．当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2b2＝1 (a >b >0)． 由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )，∴直线l 的方程为x －1＋y b＝1，即bx －y ＋b ＝0. 设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，∴⎩⎪⎨⎪⎧ y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y 2＋b ＝0， 消去x 得y ＝4b b 2＋1.∵离心率e ∈⎣⎡⎦⎤12，32，∴14≤e 2≤34， 即14≤1a 2≤34.∴43≤a 2≤4.∴43≤b 2＋1≤4，即33≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1b≤2，当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程． 解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2，∴d 22－d 21＝25，即⎝⎛⎭⎪⎫3x －2y ＋3132－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋2132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65. 点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可．3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23，求椭圆的方程． 解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23， 所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2＋|OF |2＝b 2＋c 2＝a ＝3，c 3＝23，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，∵点P 是线段QN 的中点，∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0＝1， 即x 0－y 0＝x －y .②由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12(x ＋3y －2)． 又∵点Q 在双曲线上，∴14(3x ＋y －2)2－14(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. ∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12. 点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P 、Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x ，y )中的x ，y 分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫做参数法．例5已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程．解如图，设OP的斜率为k，则P(2,2k)．当k≠0时，直线l的方程：y＝－1k x；①直线m的方程：y＝2k(x－1)．②联立①②消去k得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1)．当k＝0时，点Q的坐标(0,0)也满足上式，故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(x≠1)．。

曲线方程求解方法
曲线方程求解方法：
1. 极坐标方法：这种方法通过将曲线变换为极坐标方程的形式来求解，在极坐标系中得到定义域和值域的解，继而获得曲线的参数方程和极
坐标方程。

2. 直角坐标方法：这种方法也称为田字型法，它通常用于定位曲线的
拐点及其位置。

具体做法是把曲线裁切成许多小直角矩形，根据曲线
的函数给出的上限和下限，找出它们之间的关系，继而得到曲线方程。

3. 导数方程求解方法：这个方法假设曲线是一种连续函数，以其函数
的连续导数为方程解决，可以解决许多曲线方程求解问题。

4. 霍夫曼变换：霍夫曼变换是一种数学技术，它将一个曲线转换为一
组简单的代数形式的双曲线方程，并可利用这些形式解决曲线方程求
解问题。

5. 幂级数：这种方法使用高次幂级数，用来描述曲线的形状，它可以
有效的解决曲线的复杂曲线方程，并为曲线的拐角和平整度等提供参考。

6. 四边形算法：它使用一种正方形矩形的分割，把曲线分成更小的子
曲线，然后再逐一求解每个子曲线，最后综合各子曲线把整个曲线构
造出来。

7. 马太效应：马太效应是把一个曲线的一部分按一定的定理进行移动，使曲线的某个部分变为定值或等向量，经过移动后的曲线方程和源曲
线方程是等价的，这种方法可以用来解决一些比较复杂的曲线方程。

8. 牛顿迭代法：它是一种求解非线性方程的方法，它可以通过迭代搜
索来求解非线性方程，特别对于曲线方程，可以从参数空间中搜索出
最接近曲线的方程。