2016高考数学课时冲关练

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课时冲关练(二十二)概率、随机变量及其分布列(45分钟　80分)一、选择题(每小题5分，共25分)1.(2014·济南模拟)两名学生参加考试，随机变量x代表通过的学生数，其分布列为x012P那么这两人通过各自考试的概率最小值为　( )A.B.C.D.【解题提示】这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的.【解析】选B.依题意得，这两名同学通过各自考试的事件是相互独立的.设甲、乙两人通过各自考试的事件分别是A，B，依题意得：[1-P(A)][1-P(B)]=，P(A)P(B)=.解得：P(A)=，P(B)=或P(A)=，P(B)=.所以这两人通过各自考试的概率最小值为.2.1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则从2号箱取出红球的概率是　( )A.B.C.D.【解析】选A.记事件A：最后从2号箱中取出的是红球；事件B：从1号箱中取出的是红球，则根据古典概型和对立事件的概率和为1，可知：P(B)==，P()=1-=；P(A|B)==，P(A|)==.从而P(A)=P(AB)+P(A)=P(A|B)·P(B)+P(A|)·P()=，选A.3.如图，在矩形ABCD中，点E为边CD的中点，若在矩形ABCD内部随机取一个点Q，则点Q取自△ABE内部的概率等于　( )A.B.C.D.【解析】选C.由几何概型的计算方法，可以得出所求事件的概率为P===.【方法技巧】几何概型的求解的步骤(1)判断几何概型与区域的哪些量有关，如长度、面积、体积.(2)求区域的量.(3)求概率.4.(2014·浙江高考)已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球(m≥3，n≥3)，从乙盒中随机抽取i(i=1，2)个球放入甲盒中.(a)放入i个球后，甲盒中含有红球的个数记为ξi(i=1，2)；(b)放入i个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i(i=1，2).则　( )A.p1>p2，E(ξ1)<E(ξ2)B.p1<p2，E(ξ1)>E(ξ2)C.p1>p2，E(ξ1)>E(ξ2)D.p1<p2，E(ξ1)<E(ξ2)【解题提示】根据概率和数学期望的有关知识，分别计算p1，p2和E(ξ1)，E(ξ2)再比较大小.【解析】选A.p1=+×=，2，p1-p2=-=>0，故p1>p2，E(ξ1)=1×+2×=E(ξ2)=1××+2×·×2+3××=，由上面比较可知E(ξ1)<E(ξ2)，故选A.5.盒子中装有形状、大小完全相同的3个红球和2个白球，从中随机取出一个记下颜色后放回，当红球取到2次时停止取球.那么取球次数恰为3次的概率是　( )A.B.C.D.【解析】选B.显然每次取到红球的概率为，取到白球的概率为，该题可看成独立重复试验，第三次必定取到红球，前两次一次取到红球一次取到白球，因此取球次数恰为3次的概率是×××=.【易错提醒】本题易出现××的做法，其错误原因是没有注意到2次取到红球就停止.二、填空题(每小题5分，共15分)6.有一底面半径为1，高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O的距离大于1的概率为 .【解题提示】本题属于几何概型，其概率为体积比.【解析】设点P到点O的距离小于1的概率为P1，由几何概型，则P1===，故点P到点O的距离大于1的概率P=1-=.答案：7.(2013·新课标全国卷Ⅱ)从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n= .【解题提示】表示出两数之和等于5的概率，并建立方程，利用组合数的计算公式，解方程求得n.【解析】从n个正整数1，2，…，n中任意取出两个不同的数，所有的取法有种，而取出的两数之和等于5的取法只有两种，即(1，4)，(2，3)，所以其概率为=，即n2-n-56=0，所以n=8.答案：88.(2014·陕西高考改编)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若y i=x i+a(a为非零常数，i=1，2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和方差分别为 .【解题提示】根据样本数据均值和方差的计算公式代入求解即可.【解析】样本数据x1，x2，…，x10的均值=(x1+x2+…+x10)=1，方差s′2=[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4，新数据x1+a，x2+a，…，x10+a的均值=(x1+a+x2+a+…+x10+a)=(x1+x2+…+x10)+a=1+a，新数据x1+a，x2+a，…，x10+a的方差s2=[(x1+a-1-a)2+(x2+a-1-a)2+…+(x10+a-1-a)2] =[(x1-1)2+(x2-1)2+…+(x10-1)2]=4.答案：1+a，4三、解答题(9题12分，10～11题每题14分，共40分)9.(2014·烟台模拟)第十二届全国人民代表大会第二次会议和政协第十二届全国委员会第二次会议，2014年3月在北京召开.为了做好两会期间的接待服务工作，中国人民大学学生实践活动中心从7名学生会干部(其中男生4人，女生3人)中选3人参加两会的志愿者服务活动.(1)所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列及数学期望.(2)在男生甲被选中的情况下，求女生乙也被选中的概率.【解析】(1)ξ的可能取值为0，1，2，3，由题意P(ξ=0)==；P(ξ=1)==；P(ξ=2)==；P(ξ=3)==.所以ξ的分布列、期望分别为：ξ0123PE(ξ)=0×+1×+2×+3×=.(2)设在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的事件为C，男生甲被选中的种数为=15，男生甲被选中，女生乙也被选中的种数为=5.所以P(C)==.所以在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为.10.(2014·北京模拟)为了解某校学生的视力情况，现采用随机抽样的方式从该校的A，B两班中各抽5名学生进行视力检测.检测的数据如下：A班5名学生的视力检测结果：4.3，5.1，4.6，4.1，4.9.B班5名学生的视力检测结果：5.1，4.9，4.0，4.0，4.5.(1)分别计算两组数据的平均数，从计算结果看，哪个班的学生视力较好?(2)由数据判断哪个班的5名学生视力方差较大?(结论不要求证明)(3)现从A班的上述5名学生中随机选取3名学生，用X表示其中视力大于4.6的人数，求X的分布列和数学期望.【解析】(1)A班5名学生的视力平均数为：==4.6，B班5名学生的视力平均数为==4.5，从数据结果来看A班学生的视力较好.(2)B班5名学生视力的方差较大.(3)由(1)知，A班的5名学生中有2名学生视力大于4.6.则X的所有可能取值为0，1，2.所以P(X=0)==；P(X=1)==；P(X=2)==.所以随机变量X的分布列如下：X012P故E(X)=0×+1×+2×=.11.(2014·临沂模拟)一个均匀的正四面体骰子的四个面上分别标有数字1，2，3，4，现将这颗骰子随机抛掷两次，底面上数字分别为x1，x2，记ξ=(x1-3)2+(x2-2)2.(1)分别求出ξ取得最大值和最小值时的概率.(2)求出ξ的分布列和数学期望.【解析】(1)因为x i的可能取值为1，2，3，4，其中i=1，2.所以(x1-3)2的可能取值为0，1，4；(x2-2)2的可能取值为0，1，4.所以ξ=(x1-3)2+(x2-2)2的最大值为8，最小值为0.故P(ξ=8)= P(x1=1，x2=4)=×=；P(ξ=0)=P(x1=3，x2=2)=×=.(2)由(1)知：ξ的可能取值为0，1，2，4，5，8.P(ξ=0)=P(ξ=8)=；P(ξ=1)=P(x1=2，x2=2)+P(x1=4，x2=2)+P(x1=3，x2=1)+P(x1=3，x2=3)=4××=；P(ξ=2)=P(x1=2，x2=1)+P(x1=2，x2=3)+P(x1=4，x2=1)+P(x1=4，x2=3)=4××=；P(ξ=4)=P(x1=1，x2=2)+ P(x1=3，x2=4)=2××=；P(ξ=5)=P(x1=1，x2=1)+P(x1=1，x2=3)+P(x1=2，x2=4)+P(x1=4，x2=4)=4××=.所以ξ的分布列为：ξ012458PE(ξ)=0×+1×+2×+4×+5×+8×=3.【讲评建议】讲解时提醒学生注意以下两点(1)找错(x1-3)2+(x2-2)2的最小值；误认为(x1-3)2+(x2-2)2大于0，出现错误.(2)漏掉ξ的取值：要通过x1，x2的取值找出ξ的所有取值，学生容易遗漏特殊情况.【加固训练】(2014·惠州模拟)在一个盒子中，放有标号分别为1，2，3的三张卡片，现从这个盒子中，有放回地先后抽得两张卡片的标号分别为x，y，记ξ=|x-2|+|y-x|.(1)求随机变量ξ的最大值，并求事件“ξ取得最大值”的概率.(2)求随机变量ξ的分布列和数学期望.【解析】(1)因为x，y可能的取值均为1，2，3，所以|x-2|≤1，|y-x|≤2，所以ξ≤3，且当x=1，y=3或x=3，y=1时，ξ=3.因此，随机变量ξ的最大值为3.因为有放回地抽两张卡片的所有情况有3×3=9种，所以P(ξ=3)=.答：随机变量ξ的最大值为3，事件“ξ取得最大值”的概率为.(2)ξ的所有取值为0，1，2，3.因为ξ=0时，只有x=2，y=2这一种情况，ξ=1时，有x=1，y=1或x=2，y=1或x=2，y=3或x=3，y=3四种情况，ξ=2时，有x=1，y=2或x=3，y=2两种情况.所以P(ξ=0)=，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=.则随机变量ξ的分布列为：ξ0123P因此E(ξ)=0×+1×+2×+3×=.关闭Word文档返回原板块。

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课时巩固过关练十六圆锥曲线的概念与性质、与弦有关的计算问题(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2016·石家庄一模)过点A(0,1)作直线,与双曲线x2-=1有且只有一个公共点,则符合条件的直线的条数为( )A.0B.2C.4D.无数【解析】选C.过点A(0,1)和双曲线的渐近线平行的直线和双曲线只有一个公共点,这样的直线有两条,过点A(0,1)和双曲线相切的直线只有一个公共点,这样的直线也有两条,故共四条直线与双曲线有且只有一个公共点.2.(2016·海口二模)设点P是椭圆+=1(a>b>0)上一点,F1,F2分别是椭圆的左,右焦点,I为的内心,若+=2,则该椭圆的离心率为( ) A. B. C. D.【解析】选A.因为++=,所以3=,设内切圆的半径为r,则有×2c×r=×(|PF1|+|PF2|+2c)×r,整理得|PF1|+|PF2|=4c,即2a=4c,所以e=.3.(2016·唐山二模)椭圆y2+=1(0<m<1)上存在点P使得PF1⊥PF2，则m的取值范围是( )A. B. C. D.【解析】选B.当点P是短轴的顶点时∠F1PF2最大，因此若椭圆上存在点P使得PF1⊥PF2，则∠F1PF2≥90°，所以∠F2PO≥45°(O是原点)，从而≥，即1-m2≥，又0<m<1，所以0<m≤.4.(2016·忻州二模)设抛物线C：y2=3px(p>0)的焦点为F，点M在C 上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点(0，2)，则C的方程为( ) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8xC.y2=4x或y2=16xD.y2=2x或y2=16x【解析】选C.由抛物线定义得：MF=x M+=5，x M=5-⇒=15p-，以MF为直径的圆的方程为(x-x M)(x-x F)+(y-y M)(y-y F)=0⇒+(2-y M)(2-0)=0⇒y M=2+-=2+⇒y M=4⇒15p-=16，p=或p=，C的方程为y2=4x或y2=16x.二、填空题(每小题5分,共10分)5.(2016·合肥二模)双曲线M:x2-=1的左,右焦点分别为F1,F2,记|F1F2|=2c,以坐标原点O为圆心,c为半径的圆与双曲线M在第一象限的交点为P,若|PF1|=c+2,则P点的横坐标为________.【解析】根据双曲线的定义知-=2,又=c+2,所以=c,由勾股定理得(c+2)2+c2=4c2,即c2-2c-2=0,解得c=+1,根据△OPF2是等边三角形得P点的横坐标为.答案:6.(2016·邯郸二模)已知F1,F2为+=1的左、右焦点,M为椭圆上一点,则△MF1F2内切圆的周长等于3π,若满足条件的点M恰好有2个,则a2=__________.【解析】由题意得内切圆的半径等于,因此△MF1F2的面积为××(2a+2c)=,即=×|y M|×2c,因为满足条件的点M恰好有2个,所以M为椭圆短轴端点,即|y M|=4所以3a=5c而a2-c2=16,所以a2=25.答案:25三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.(2016·武汉一模)在△ABC中,A(-1,0),B(1,0),若△ABC的重心G 和垂心H满足GH平行于x轴(G,H不重合).(1)求动点C的轨迹I的方程.(2)已知O为坐标原点,若直线AC与以O为圆心,以|OH|为半径的圆相切,求此时直线AC的方程.【解析】(1)由题意可设C(x,y),则G,H,=,=(x+1,y),因为H为垂心,所以·=x2-1+=0,整理可得x2+=1,即动点C的轨迹I的方程为x2+=1(x·y≠0).(2)显然直线AC的斜率存在,设AC方程为y=k(x+1),C(x0,y0).将y=k(x+1)代入x2+=1得(3+k2)x2+2k2x+k2-3=0,解得x0=,y0=,则H.原点O到直线AC的距离d=,依题意可得=,即7k4+2k2-9=0,解得k2=1,即k=1或-1,故所求直线AC的方程为y=x+1或y=-x-1.8.(2016·江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程.(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.【解析】(1)因为l:x-y-2=0,所以l与x轴的交点坐标为(2,0),即抛物线的焦点为(2,0),所以=2,所以y2=8x.(2)①设点P(x1,y1),Q(x2,y2),则⇒则k PQ==,又因为P,Q关于直线l对称,所以k PQ=-1,即y1+y2=-2p,所以=-p,又因为P,Q的中点一定在直线l上,所以=+2=2-p,所以线段PQ的中点坐标为(2-p,-p).②因为中点坐标为(2-p,-p),即所以即方程y2+2py+4p2-4p=0有两个不等实根.所以Δ>0,(2p)2-4(4p2-4p)>0⇒p∈.【加固训练】(2016·无锡二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),若直线3x+4y+5=0上有且仅有一个点M,使得∠F1MF2=90°.(1)求椭圆C的标准方程.(2)设圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点,点P,Q分别为椭圆C和圆T上的一动点,若·=0时,|PQ|取得最大值为,求实数t的值.【解析】(1)因为椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1(-,0),A2(,0),所以a2=2.又因为直线3x+4y+5=0上恰存在一个点M,使得∠F1MF2=90°, 即以原点O为圆心,半径为r=|OF1|=c作圆O,使得圆O与直线3x+4y+5=0相切即可.又圆心O到直线3x+4y+5=0的距离d==1,所以c=1,b2=a2-c2=1,所以椭圆C的标准方程为+y2=1.(2)设P(x0,y0),因为点P在椭圆上,所以有+=1,因为圆T的圆心T(0,t)在x轴上方,且圆T经过椭圆C两焦点. 所以圆T的方程为x2+(y-t)2=t2+1(t>0),由·=0得|PQ|2=|PT|2-|QT|2=+(y0-t)2-(t2+1),又+=1,所以|PQ|2=-(y0+t)2+t2+1.①当-t≤-1即t≥1时,当y0=-1时,|PQ|取得最大值,因为|PQ|的最大值为,所以=,解得t=,又t≥1,故舍去.②当-t>-1即0<t<1时,当y0=-t时,|PQ|取得最大值,所以=,解得t2=,又0<t<1,所以t=.综上,当t=时,|PQ|取得最大值.(30分钟55分)一、选择题(每小题5分,共20分)1.点P到图形C上所有点的距离的最小值称为点P到图形C的距离,那么平面内到定圆C的距离与到圆C外的定点A的距离相等的点的轨迹是( )A.射线B.椭圆C.双曲线的一支D.抛物线【解析】选C.设定圆C的半径为r,由题意知动点P在圆C外,且-r=,所以-=r<|AC|,根据双曲线的定义知,点P的轨迹是双曲线的一支.2.已知点A是抛物线C:x2=2py(p>0)上一点,O为坐标原点,若以点M(0,8)为圆心,|OA|的长为半径的圆交抛物线C于A,B两点,且△ABO 为等边三角形,则p的值是( )A. B.2 C.6 D.【解析】选D.由题意知=,所以点A的纵坐标为4,又△ABO为等边三角形,所以点A的横坐标为,又点A是抛物线C上一点,所以=2p×4,解得p=.【加固训练】过抛物线C:y2=4x的焦点F作直线l交抛物线C于A,B 两点,若A到抛物线的准线的距离为4,则|AB|=________.【解析】设A(x A,y A),B(x B,y B),因为y2=4x,所以抛物线的准线为x=-1,F(1,0).又A到抛物线准线的距离为4,所以x A+1=4,所以x A=3.因为x A x B==1,所以x B=,所以|AB|=x A+x B+p=3++2=.答案:3.已知焦点在x轴上的椭圆方程为+=1,随着a的增大,该椭圆的形状( ) A.越接近于圆 B.越扁C.先接近于圆后越扁D.先越扁后接近于圆【解题导引】先求a的取值范围,然后写出离心率e的表达式,根据离心率的变化情况选择.【解析】选D.由题意知4a>a2+1且a>0,解得2-<a<2+,又e2=1-=1-,因此当a∈(2-,1)时,e越来越大,当a∈(1,2+)时,e越来越小.所以椭圆形状变化为先扁后圆.4.已知双曲线x2-=1的左顶点为A1,右焦点为F2,P为双曲线右支上一点,则·的最小值为( )A.-2B.-C.1D.0【解析】选A.由已知得A1(-1,0),F2(2,0).设P(x,y)(x≥1),则·=(-1-x,-y)·(2-x,-y)=4x2-x-5.令f(x)=4x2-x-5,则f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,函数f(x)取最小值,即·取最小值,最小值为-2.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知F为双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,A为双曲线虚轴的一个顶点,过点F,A的直线与双曲线的一条渐近线在y轴右侧的交点为B,若=(-1),则此双曲线的离心率是________.【解题导引】设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=x,求出AF的方程与y=x,联立可得B,利用=(-1),可得a,c的关系,即可求出双曲线的离心率.【解析】设F(c,0),A(0,b),渐近线方程为y=x,则直线AF的方程为+=1,与y=x联立可得B,因为=(-1),所以=(-1)(c,-b),所以c=(+1),所以e==.答案:【加固训练】已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是( ) A. B.C. D.【解析】选A.不妨设左焦点为F2,连接AF2,BF2,由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分,所以四边形AFBF2为平行四边形,所以+=+=2a=4,所以a=2,设M(0,b),所以d=b≥⇒b≥1,所以e==≤=,又e∈(0,1),所以e∈.6.过抛物线y2=4x焦点F的直线交其于A,B两点,O为坐标原点.若|AF|=3,则△AOB的面积为________.【解析】设直线AB的倾斜角为θ(0<θ<π)及|BF|=m,因为|AF|=3,所以点A到准线l:x=-1的距离为3,所以2+3cosθ=3,即cosθ=,则sinθ=.因为m=2+mcos(π-θ),所以m==.所以△AOB的面积为S=×|OF|×|AB|×sinθ=×1××=.答案:【加固训练】双曲线y2-=1的离心率e=2,则以双曲线的两条渐近线与抛物线y2=mx的交点为顶点的三角形的面积为( )A. B.9 C.27 D.36【解析】选C.依题意可知:双曲线中a2=1,b2=m,所以e===2,即=2,所以m=3,所以双曲线的渐近线方程为y=±x,抛物线方程为y2=3x,联立方程组解得或令A(9,3),联立方程组解得或令B(9,-3),由抛物线的对称性可知:△AOB的面积为S=|AB|x A=27.三、解答题(7题12分,8题13分,共25分)7.已知抛物线C1:x2=2py(p>0)与圆C2:x2+y2=5的两个交点之间的距离为4.(1)求p的值.(2)设过抛物线C1的焦点F且斜率为k的直线与抛物线交于A,B两点,与圆C2交于C,D两点,当k∈[0,1]时,求|AB|·|CD|的取值范围. 【解析】(1)由题意知交点坐标为(-2,1),(2,1)代入抛物线C1:x2=2py解得p=2.(2)抛物线C1的焦点F(0,1),设直线方程为y=kx+1与抛物线C1:x2=4y 联立化简得x2-4kx-4=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4k,x1x2=-4,所以|AB|===4(1+k2).圆心C2到直线y=kx+1的距离为d=,|CD|=2=2=2.|AB|·|CD|=4(1+k2)×2=8=8,又k∈[0,1],所以|AB|·|CD|的取值范围为[16,24].8.如图,椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点为F,右顶点、上顶点分别为点A,B,且|AB|=|BF|.(1)求椭圆C的离心率.(2)若点M在椭圆C内部,过点M的直线l交椭圆C于P、Q 两点,M为线段PQ的中点,且OP⊥OQ.求直线l的方程及椭圆C的方程.【解析】(1)由已知|AB|=|BF|,即=a,4a2+4b2=5a2,4a2+4(a2-c2)=5a2,所以e==.(2)由(1)知a2=4b2,所以椭圆C:+=1. 设P(x1,y1),Q(x2,y2),由+=1,+=1, 可得+=0,即+=0, 即+(y1-y2)=0,从而k PQ==2,所以直线l的方程为y-=2, 即2x-y+2=0.由⇒x2+4(2x+2)2-4b2=0,即17x2+32x+16-4b2=0.Δ=322+16×17×(b2-4)>0⇔b>,x1+x2=-,x1x2=.因为OP⊥OQ,·=0,即x1x2+y1y2=0,x1x2+(2x1+2)(2x2+2)=0,5x1x2+4(x1+x2)+4=0,从而-+4=0,解得b=1,所以椭圆C的方程为+y2=1.【加固训练】设椭圆E的方程为+=1,点O为坐标原点,点A的坐标为,点B的坐标为,点M在线段AB上,满足=2,直线OM的斜率为.(1)求E的离心率e.(2)设点C的坐标为,N为线段AC的中点,点N关于直线AB的对称点的纵坐标为,求E的方程.【解析】(1)由题意可知点M的坐标是,又k OM=,所以=,进而得a=b,c==2b,故e==.(2)直线AB的方程为+=1,点N的坐标为,设点N关于直线AB的对称点S的坐标为,则NS的中点T的坐标为, 又点T在直线AB上,且k NS·k AB=-1,从而有⇒b=3,所以a=3,故椭圆的方程为+=1.1.已知椭圆+=1(a>b>0)的左右焦点为F1,F2,其离心率为e=,点P为椭圆上的一个动点,△PF1F2内切圆面积的最大值为.(1)求a,b的值.(2)若A,B,C,D是椭圆上不重合的四个点,且满足∥,∥,·=0,求||+||的取值范围.【解析】(1)当P为椭圆上下顶点时,△PF1F2内切圆面积取得最大值, 设△PF1F2内切圆半径为r,因为=πr2,所以r=.=|F1F2|·b=bc=(|F1F2|+|PF1|+|PF2|)r=(2c+2a)×,化为bc=(a+c),又=,a2=b2+c2,联立解得a=4,c=2,b=2.(2)因为满足∥,∥,·=0,所以直线AC,BD垂直相交于点F1,由(1)椭圆方程+=1,F1(-2,0).①直线AC,BD有一条斜率不存在时,||+||=6+8=14.②当AC斜率存在且不为0时,设方程为y=k(x+2),A(x1,y1),C(x2,y2),联立,化为(3+4k2)x2+16k2x+16k2-48=0.x1+x2=-,x1x2=.所以|AC|==.把-代入上式可得:||=,所以||+||=,设t=k2+1(k≠0),t>1,所以||+||=,t>1,所以0<≤.所以||+||∈,综上可得:||+||的取值范围是.2.已知中心在原点O,焦点在x轴上,离心率为的椭圆过点.(1)求椭圆的方程.(2)设不过原点O的直线l与该椭圆交于P,Q两点,满足直线OP,PQ,OQ 的斜率依次成等比数列,求△OPQ面积的取值范围.【解析】(1)由题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0),则=(其中c2=a2-b2,c>0),且+=1,故a=2,b=1.所以椭圆的方程为+y2=1.(2)由题意可知,直线l的斜率存在且不为0.故可设直线l: y=kx+m(m≠0),设P(x1,y1)、Q(x2,y2),由,消去y得(1+4k2)x2+8kmx+4(m2-1)=0, 则Δ=64k2m2-16(1+4k2)(m2-1)=16(4k2-m2+1)>0,且x1+x2=-,x1x2=,故y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2,因为直线OP、PQ、OQ的斜率依次成等比数列,所以·==k2,即-+m2=0.又m≠0,所以k2=,即k=±.由于直线OP、OQ的斜率存在,且Δ>0,得0<m2<2,且m2≠1.设d为点O到直线l的距离,则d=,|PQ|==,所以S=|PQ|d=<=1(m2≠1),故△OPQ面积的取值范围为(0,1).关闭Word文档返回原板块。

第二章 第12节对应学生用书课时冲关(十五)第261页 一、选择题1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，0≤x ≤1，1，1<x ≤2，则定积分⎠⎛02f (x )d x 等于( )A.83 B ．2 C.43D.13解析：⎠⎛02f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛121d x＝13x 3|10＋x |21＝43. 故选C. 答案：C2．(2015·厦门模拟)设函数f (x )＝x m ＋ax 的导函数f ′(x )＝2x ＋1，则⎠⎛12f (－x )d x 的值等于( )A.56B.12C.23D.16解析：f ′(x )＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，得m ＝2，a ＝1， 所以f (x )＝x 2＋x ，所以f (－x )＝x 2－x ，所以⎠⎛12f (－x )d x ＝⎠⎛12(x 2－x )d x ＝⎝⎛⎭⎫13x 3－12x 2|21＝56.故选A. 答案：A3．如果1 N 的力能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，所耗费的功为( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 JD ．0.28 J解析：由物理知识F ＝kx 知，1＝0.01k ， ∴k ＝100 N/m ，则W ＝⎠⎛00.06 100x d x ＝50x 2|0.060＝0.18(J)．故选A. 答案：A4．(2015·合肥模拟)如图，由函数f (x )＝e x －e 的图象，直线x ＝2及x 轴所围成的阴影部分面积等于( )A ．e 2－2e －1B ．e 2－2e C.e 2－e 2D ．e 2－2e ＋1解析：由已知得S ＝⎠⎛12f (x )d x ＝⎠⎛12(e x －e)d x ＝(e x －e x )|21＝(e 2－2e)－(e －e)＝e 2－2e. 故选B.答案：B5．(2015·南昌模拟)若a ＝⎠⎛02x 2d x ，b ＝⎠⎛02x 3d x ，c ＝⎠⎛02sin x d x ，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a ＜c ＜bB ．a ＜b ＜cC ．c ＜b ＜aD ．c ＜a ＜b解析：因为a ＝⎠⎛02x 2d x ＝13x 3|20＝83∈(2,3)，b ＝⎠⎛02x 3d x ＝14x 4|20＝4>3，c ＝⎠⎛02sin x d x＝(－cos x )|20＝1－cos 2＜2，所以c ＜a ＜b . 故选D. 答案：D6．一质点运动时速度与时间的关系为v (t )＝t 2－t ＋2，质点做直线运动，则此质点在时间[1,2]内的位移为( )A.176 B.143 C.136D.116解析：∵v (t )>0，∴质点在[1,2]内的位移s 即为v (t )在[1,2]上的定积分， ∴s ＝⎠⎛12v (t )d t ＝⎠⎛12(t 2－t ＋2)d t＝⎝⎛⎭⎫13t 3－12t 2＋2t | 21＝176. 答案：A7．(2015·中山模拟)已知t ＞0，若⎠⎛0t (2x －1)d x ＝6，则t 的值等于( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：⎠⎛0t (2x －1)d x ＝(x 2－x )|t 0＝t 2－t ，由t 2－t ＝6得t ＝3或t ＝－2(舍去)．故选B.答案：B8．由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为( ) A.43 B.54 C.56D.34解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －2＝0，y ＝x 3，解得交点坐标是(1,1)． 故由直线x ＋y －2＝0，曲线y ＝x 3以及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛01x 3d x ＋⎠⎛12(2－x )d x ＝14x 4|10＋⎝⎛⎭⎫2x －12x 2|21＝14＋12＝34.故选D. 答案：D9．(2015·石家庄模拟)已知等比数列{a n }，且a 4＋a 8＝⎠⎛024－x 2d x ，则a 6(a 2＋2a 6＋a 10)的值为( )A ．π2B ．4C ．πD ．－9π解析：∵a 4＋a 8＝π，∴a 6(a 2＋2a 6＋a 10)＝a 6a 2＋2a 26＋a 6a 10＝a 24＋2a 4a 8＋a 28＝(a 4＋a 8)2＝π2，故选A.答案：A10．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1(－1≤x <0)，cos x ⎝⎛⎭⎫0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.32 B ．1 C ．2D.12答案：A11．(2013·北京高考)直线l 过抛物线C ：x 2＝4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于( )A.43 B ．2 C.83D.1623解析：由题意知抛物线的焦点坐标为F (0,1)，故直线l 的方程为y ＝1，该直线与抛物线在第一象限的交点坐标为(2,1)，根据对称性和定积分的几何意义可得所求的面积是2⎠⎛02⎝⎛⎭⎫1－x 24d x ＝2⎝⎛⎭⎫x －x 312|20＝83.答案：C12．(2015·珠海模拟)由曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝t 2(t 为常数且t ∈(0,1))所围成图形(阴影部分)面积的最小值为( )A.14B.13 C.12D.23解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝t 2，x >0，得x ＝t .故S ＝⎠⎛0t (t 2－x 2)d x ＋⎠⎛t1(x 2－t 2)d x＝⎝⎛⎭⎫t 2x －13x 3|t 0＋⎝⎛⎭⎫13x 3－t 2x |1t＝43t 3－t 2＋13， 令S ′＝4t 2－2t ＝0，因为0<t <1，所以t ＝12，易知当t ＝12时，S min ＝14，故选A.答案：A 二、填空题13．(2015·昆明模拟)⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝________.解析：⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x 2d x ＝⎠⎛23⎝⎛⎭⎫x ＋1x ＋2d x ＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋ln x ＋2x |32 ＝92＋ln 32. 答案：92＋ln 3214．(2015·南宁模拟)在同一坐标系中作出曲线xy ＝1和直线y ＝x 以及直线y ＝3的图象如图所示，曲线xy ＝1与直线y ＝x 和y ＝3所围成的平面图形的面积为________．解析：所求区域面积为S ＝⎠⎜⎛13113⎝⎛⎭⎫3－1x d x ＋⎠⎛13(3－x )d x ＝4－ln 3. 答案：4－ln 315．已知曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k >0)所围成的曲边图形的面积为43，则k ＝________.解析：由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2，y ＝kx 得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝k ，y ＝k 2， 则曲线y ＝x 2与直线y ＝kx (k ＞0)所围成的曲边梯形的面积为 ⎠⎛0k(kx －x 2)d x ＝⎝⎛⎭⎫k 2x 2－13x 3|k0＝k 32－13k 3＝43，即k 3＝8，∴k ＝2. 答案：216．(2015·成都模拟)函数y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t 的最大值是________．解析：y ＝⎠⎛0x (sin t ＋cos t sin t )d t＝⎠⎛0x ⎝⎛⎭⎫sin t ＋12sin 2t d t ＝⎝⎛⎭⎫－cos t －14cos 2t |x 0 ＝－cos x －14cos 2x ＋54＝－cos x －14(2cos 2 x －1)＋54＝－12cos 2x －cos x ＋32＝－12(cos x ＋1)2＋2≤2，当cos x ＝－1时取等号． 答案：2 [备课札记]————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————————高考大题冲关导数综合应用的热点问题导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等．体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归的数学思想的运用．题型一利用导数研究函数性质综合问题对应学生用书理52页文49页[典例赏析1] (理科)(2014·重庆高考)已知函数f(x)＝a e2x－b e－2x－cx(a，b，c∈R)的导函数f′(x)为偶函数，且曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c.(1)确定a，b的值；(2)若c＝3，判断f(x)的单调性；(3)若f(x)有极值，求c的取值范围．[思维导引](1)先求导函数f′(x)，再利用f′(x)为偶函数和曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线的斜率为4－c建立关于a，b的方程组求解；(2)把c＝3代入函数解析式，利用基本不等式求f′(x)的最小值，进而确定f′(x)的符号，从而确定函数f(x)的单调性；(3)对c分类，讨论方程f′(x)＝0是否有实根，从而确定极值．[解](1)对f(x)求导得f′(x)＝2a e2x＋2b e－2x－c，由f′(x)为偶函数，知f′(－x)＝f′(x)，即2(a－b)(e2x－e－2x)＝0，所以a＝b.又f′(0)＝2a＋2b－c＝4－c，故a＝1，b＝1.(2)当c＝3时，f(x)＝e2x－e－2x－3x，那么f′(x)＝2e2x＋2e－2x－3≥22e2x·2e－2x－3＝1>0，故f(x)在R上为增函数．(3)由(1)知f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c，而2e2x＋2e－2x≥22e2x·2e－2x＝4，当x＝0时等号成立．下面分三种情况进行讨论．当c<4时，对任意x∈R，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－c>0，此时f(x)无极值；当c＝4时，对任意x≠0，f′(x)＝2e2x＋2e－2x－4>0，此时f(x)无极值；当c >4时，令e 2x＝t ，注意到方程2t ＋2t －c ＝0有两根t 1＝c ＋c 2－164，t 2＝c ＋c 2－164，t 1t 2>0，即f ′(x )＝0有两个根x 1＝12ln t 1或x 2＝12ln t 2.当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0； 又当x >x 2时，f ′(x )>0， 从而f (x )在x ＝x 2处取得极小值．综上，若f (x )有极值，则c 的取值范围为(4，＋∞)．[典例赏析1] (文科)(2014·广东高考)已知函数f (x )＝13x 3＋x 2＋ax ＋1(a ∈R )．(1)求函数f (x )的单调区间；(2)当a ＜0时，试讨论是否存在x 0∈⎝⎛⎭⎫0，12∪⎝⎛⎭⎫12，1，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. [思维导引] (1)由函数的导数与函数的单调性之间的关系求解；(2)先由a <0得函数的单调性，求得函数的最大值是f (0)或f (1)再讨论求解得答案．[解] (1)f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ，方程x 2＋2x ＋a ＝0的判别式Δ＝4－4a ＝4(1－a )， 若a ≥1，则Δ≤0，f ′(x )＝x 2＋2x ＋a ≥0， ∴f (x )在R 上单调递增．若a <1，则Δ>0，方程x 2＋2x ＋a ＝0有两个不同的实数根， x 1＝－1－1－a ，x 2＝－1＋1－a ， 当x <x 1或x >x 2时，f ′(x )>0； 当x 1<x <x 2时，f ′(x )<0， ∴f (x )的单调递增区间为()－∞，－1－1－a 和()－1＋1－a ，＋∞，单调递减区间为()－1－1－a ，－1＋1－a . (2)当a <0时，Δ>0，且f (0)＝1， f ⎝⎛⎭⎫12＝3124＋a 2，f (1)＝73＋a ， 此时x 1<0，x 2>0，令x 2＝12得a ＝－54.①当－54<a <0时，x 1<0<x 2<12，f (x )在(0，x 2)上单调递减，在⎝⎛⎭⎫x 2，12上单调递增，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增． (ⅰ)若－54<a <－712，则f (0)＝1>f ⎝⎛⎭⎫12，∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12； (ⅱ)当－712≤a <0时，f (0)≤f ⎝⎛⎭⎫12， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12；②当a ＝－54时，f (x )在⎝⎛⎭⎫0，12上单调递减，在⎝⎛⎭⎫12，1上单调递增． ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. ③当－2512<a <－54时，f ⎝⎛⎭⎫12<f (1)， ∴存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12. ④当a ≤－2512时，f ⎝⎛⎭⎫12≥f (1)， ∴不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12.综上，当a ∈⎣⎡⎭⎫－712，0∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－54∪⎝⎛⎦⎤－∞，－2512时，不存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12； 当a ∈⎝⎛⎭⎫－2512，－54∪⎝⎛⎭⎫－54，－712时，存在x 0，使得f (x 0)＝f ⎝⎛⎭⎫12.函数性质综合问题难点是函数单调性和极值、最值的分类讨论．(1)单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论．(2)极值讨论策略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点．(3)最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在极值和区间端点函数值中最大的为最大值、最小的为最小值．1．(2015·呼伦贝尔市二模)已知函数f (x )＝1＋ln xx ，(x ≥1)．(1)试判断函数f (x )的单调性，并说明理由； (2)若f (x )≥kx ＋1恒成立，求实数k 的取值范围．解：(1)f ′(x )＝－ln xx2.∵x ≥1，∴ln x ≥0，∴f ′(x )≤0，故f (x )在[1，＋∞)单调递减． (2)f (x )≥k x ＋1⇔(x ＋1)(1＋ln x )x ≥k .记g (x )＝(x ＋1)(1＋ln x )x，g ′(x )＝[(x ＋1)(1＋ln x )]′x －(x ＋1)(1＋ln x )x 2＝x －ln x x 2.再令h (x )＝x －ln x 则h ′(x )＝1－1x . ∵x ≥1则h (x )≥0，∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增，∴[h (x )]min ＝h (1)＝1>0，从而g ′(x )>0，故g (x )在[1，＋∞)上也单调递增，∴[g (x )]min ＝g (1)＝2，∴k ≤2.题型二 利用导数证明不等式[典例赏析2] (2013·新课标全国高考Ⅱ)已知函数f (x )＝e x －ln(x ＋m )． (1)设x ＝0是f (x )的极值点，求m ，并讨论f (x )的单调性； (2)当m ≤2时，证明f (x )>0.[思维导引] (1)f ′(x )＝0解得m ，在f (x )的定义域内确定f ′(x )>0，f ′(x )<0的区间即得其单调区间；(2)m ≤2时，ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，只要f (x )＝e x －ln(x ＋2)>0即可，故只要f (x )min >0，确定函数f (x )的最小值点后论证其最小值大于0.[解] (1)解：f ′(x )＝e x －1x ＋m.由x ＝0是f (x )的极值点得f ′(0)＝0，所以m ＝1. 于是f (x )＝e x －ln(x ＋1)，定义域为(－1，＋∞)， f ′(x )＝e x －1x ＋1.函数f ′(x )＝e x －1x ＋1在(－1，＋∞)上单调递增，且f ′(0)＝0，因此当x ∈(－1,0)时，f ′(x )<0；当x ∈(0，＋∞)时，f ′(x )>0，所以f (x )在(－1,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)证明：当m ≤2，x ∈(－m ，＋∞)时， ln(x ＋m )≤ln(x ＋2)，故只需证明当m ＝2时，f (x )>0.当m ＝2时，函数f ′(x )＝e x －1x ＋2在(－2，＋∞)上单调递增．又f ′(－1)<0，f ′(0)>0，故f ′(x )＝0在(－2，＋∞)上有唯一实根x 0， 且x 0∈(－1,0)．当x ∈(－2，x 0)时，f ′(x )<0；当x ∈(x 0，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当x ＝x 0时，f (x )取得最小值．由f ′(x 0)＝0得e x 0＝1x 0＋2，ln(x 0＋2)＝－x 0，故f (x )≥f (x 0)＝1x 0＋2＋x 0＝(x 0＋2)2x 0＋2>0.综上，当m ≤2时，f (x )>0.导数研究实数区间D 上的不等式的主要表现形式是“证明不等式在区间D 上成立，不等式在区间D 上恒成立，求参数k 的范围”等．(1)证明区间D 上不等式成立的策略：构造函数f (x )，把不等式转化为证明f (x )>0，f (x )<0等，把其转化为求函数f (x )在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值和值域端点值与0的比较得证．(2)根据区间D 上不等式恒成立求参数k 范围的策略：如果能够分离参数k ，即得到φ(k )>f (x )或φ(k )<f (x )，问题等价于求函数在区间D 上的最值或值域的端点值，通过最值与值域端点值得到关于k 的不等式解之；如果不能分离参数，则在含有参数的情况下，其处理策略同证明区间D 上不等式成立的策略．2．(2015·湛江一模)已知f (x )＝ln(x ＋1)，g (x )＝12ax 2＋bx (a ，b ∈R )．(1) 若b ＝2且h (x )＝f (x －1)－g (x )存在单调递减区间，求实数a 的取值范围； (2)若a ＝0，b ＝1，求证：当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立； (3) 利用(2)的结论证明：若x >0，y >0，则x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y 2. 解：(1)当b ＝2时，h (x )＝ln x －12ax 2－2x∴h ′(x )＝1x－ax －2.∵h (x )有单调减区间，∴h ′(x )<0有解，即1－ax 2－2xx <0∵x >0，∴ax 2＋2x －1>0有解． (ⅰ)当a ≥0时符合题意；(ⅱ)当a <0时，Δ＝4＋4a >0，即a >－1. ∴a 的取值范围是(－1，＋∞)．(2)当a ＝0，b ＝1时，设φ(x )＝f (x )－g (x )＝ln(x ＋1)－x ，∴φ′(x )＝1x ＋1－1＝－x x ＋1. ∵x >－1，讨论φ′(x )的正负得下表：∴当x ＝0即φ(x )≤0恒成立，∴当x ∈(－1，＋∞)时，f (x )－g (x )≤0恒成立． (3)证明：∵x >0，y >0， ∴x ln x ＋y ln y －(x ＋y )ln x ＋y2＝x ⎝⎛⎭⎫ln x －lnx ＋y 2＋y ⎝⎛⎭⎫ln y －ln x ＋y 2 ＝x ln2x x ＋y ＋y ln 2y x ＋y＝－x ln x ＋y 2x －y ln x ＋y 2y＝－x ln ⎝⎛⎭⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝⎛⎭⎫1＋x －y 2y .由(2)有－x ln ⎝⎛⎭⎫1＋y －x 2x －y ln ⎝⎛⎭⎫1＋x －y 2y >－x ·y －x 2x －y ·x －y 2y ＝0∴x ln x ＋y ln y >(x ＋y )ln x ＋y2.题型三 利用导数研究恒成立问题 对应学生用书理53页 文50页[典例赏析3] (2015·珠海检测)已知函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12，a ∈R .(1)当a ＝－13时，求f (x )的最大值；(2)讨论函数f (x )的单调性；(3)如果对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|恒成立，求实数a 的取值范围． [思维导引] (1)对函数f (x )求导，得到f (x )的单调递增区间和单调递减区间，进而得到f (x )最小值； (2)对函数f (x )求导，然后对a 分情况进行讨论得到f (x )的单调区间； (3)分①当a ≥0时， ②当a ≤－1时， ③当－1<a <0时进行讨论，在这三种情况中分别找到a 的范围，最后取并集．[规范答题] (1)当a ＝－13时，f (x )＝23ln x －13x 2＋12，f ′(x )＝23x －23x ＝2－2x23x ＝－2(x ＋1)(x －1)3x，所以f (x )的单调递增区间为(0,1)，单调递减区间为(1，＋∞)，所以f (x )max ＝f (1)＝16.(2)函数f (x )＝(a ＋1)ln x ＋ax 2＋12的定义域为(0，＋∞)，且f ′(x )＝a ＋1x ＋2ax ＝2ax 2＋a ＋1x.下面对参数进行如下讨论：当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增； 当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减； 当－1<a <0时，令f ′(x )＝0，解得x ＝－a ＋12a， 则当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0， －a ＋12a ，f ′(x )>0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞，f ′(x )<0. 故f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减． (3)不妨设0<x 1≤x 2：①当a ≥0时，f ′(x )>0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递增，即f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立． 构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递增，即证g ′(x )＝f ′(x )－4＝a ＋1x＋2ax －4≥0，即2ax 2－4x ＋a ＋1≥0(x >0)恒成立．当a ＝0时，则由－4x ＋1>0得x >14，不合题意，即a ≠0，则a >0.根据二次函数y ＝2ax 2－4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向上，对称轴x ＝1a >0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0， 解得a ≥1(a ≤－2舍去)．②当a ≤－1时，f ′(x )<0，故f (x )在(0，＋∞)上单调递减，即f (x 2)＋4x 2≤f (x 1)＋4x 1恒成立．构造函数g (x )＝f (x )＋4x ，须证g (x )＝f (x )＋4x 在(0，＋∞)上单调递减，即证g ′(x )＝f ′(x )＋4＝a ＋1x＋2ax ＋4≤0，得2ax 2＋4x ＋a ＋1≤0(x >0)恒成立.根据二次函数y ＝2ax 2＋4x ＋a ＋1(x >0)开口方向向下，对称轴x ＝－1a >0，所以只需Δ≤0，可得16－8a (a ＋1)≤0，解得a ≤－2(a ≥1舍去)． ③当－1<a <0时，f (x )在x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－a ＋12a 上单调递增；在x ∈⎝⎛⎭⎪⎫－a ＋12a ，＋∞上单调递减，此时|f (x 1)－f (x 2)|≥4|x 1－x 2|等价于f (x 2)－4x 2≥f (x 1)－4x 1恒成立或者f (x 2)＋4x 2≥f (x 1)＋4x 1恒成立，由上可知a ≥1或a ≤－2，这与－1<a <0不符，故此情况无解．综上所述：实数a 的取值范围是(－∞，－2]∪[1，＋∞)．利用导数解决恒成立问题主要涉及以下方面：(1)已知不等式在某一区间上恒成立，求参数的取值范围：一般先分离参数，再转化为函数在给定区间上的最值问题求解．(2)如果无法分离参数可以考虑对参数a 或自变量进行分类求解，如果是二次不等式恒成立的问题，可以考虑限制二次项系数或判别式的方法求解．(3)已知函数的单调性求参数的取值范围：转化为f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)恒成立的问题．3．(2015·青岛一模)已知函数f (x )＝23x 3－2ax 2－3x .(1)当a ＝0时，求曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程；(2)对一切x ∈(0，＋∞)，af ′(x )＋4a 2x ≥ln x －3a －1恒成立，求实数a 的取值范围； (3)当a >0时，试讨论f (x )在(－1,1)内的极值点的个数．解：(1)由题意知f (x )＝23x 3－3x ，所以f ′(x )＝2x 2－3.又f (3)＝9，f ′(3)＝15，所以曲线y ＝f (x )在点(3，f (3))的切线方程为15x －y －36＝0.(2)由题意2ax 2＋1≥ln x ，即a ≥ln x －12x 2对一切x ∈(0，＋∞)恒成立．设g (x )＝ln x －12x 2，则g ′(x )＝3－2ln x2x 3. 当0<x <e 32时，g ′(x )>0；当x >e 32时，g ′(x )<0.所以当x ＝e 32时，g (x )取得最大值g (x )max ＝14e 3，故实数a 的取值范围为⎣⎡⎭⎫14e 3，＋∞. (3)f ′(x )＝2x 2－4ax －3，f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14， f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14. ①当a >14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14>0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0，∴存在x 0∈(－1,1)，使得f ′(x 0)＝0.因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1，x 0)内f ′(x )>0，在(x 0,1)内f ′(x )<0， 即f (x )在(－1，x 0)内是增函数，f (x )在(x 0,1)内是减函数，故a >14时，f (x )在(－1,1)内有且只有一个极值点，且是极大值点．②当0<a ≤14时，∵⎩⎨⎧f ′(－1)＝4⎝⎛⎭⎫a －14≤0，f ′(1)＝－4⎝⎛⎭⎫a ＋14<0.又因为f ′(x )＝2x 2－4ax －3开口向上，所以在(－1,1)内f ′(x )<0，则f (x )在(－1,1)内为减函数，故没有极值点．综上可知：当a >14，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为1；当0<a ≤14时，f (x )在(－1,1)内的极值点的个数为0.题型四 利用导数研究方程的根(或函数的零点) 对应学生用书理54页 文51页[典例赏析4] (2015·包头市二模)已知函数f (x )＝x 2ln x . (1)求函数f (x )的单调区间；(2)若关于x 的方程f (x )＝kx －1有实数解，求实数k 的取值范围．[思维导引] (1)在定义域范围内，解不等式f ′(x )>0得单调递增区间，解不等式f ′(x )<0得单调递减区间；(2)将实数k 分离出来，转化为求函数的值域．[规范答题] (1)函数的定义域为{x |x >0}， f ′(x )＝x (2ln x ＋1)令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)>0，得2ln x ＋1>0，即x >ee；令f ′(x )＝x (2ln x ＋1)<0，得2ln x ＋1<0，即0<x <e e； 所以，当x ∈⎝⎛⎭⎫0，e e 时，f (x )单调递减；当x ∈⎝⎛⎭⎫ee ，＋∞时，f (x )单调递增 (2)由f (x )＝kx －1，得x 2ln x ＝kx －1， 所以有k ＝x ln x ＋1x(x >0)，设g (x )＝x ln x ＋1x ，g ′(x )＝ln x ＋x 2－1x 2g ′(1)＝0，当0<x <1时，g ′(x )<0，g (x )单调递减；当x >1时，g ′(x )>0，g (x )单调递增，所以x >0时，g (x )min ＝g (1)＝1所以k ≥1，k 的取值范围是[1，＋∞)．研究方程根，可以通过构造函数g (x )的方法，把问题转化为研究构造的函数g (x )的零点问题．研究函数g (x )零点的策略是：(1)如果函数g (x )在已知区间上是单调的，则其最多只有一个零点，再结合函数的零点存在定理，确定其零点是否存在．(2)如果函数g (x )在已知区间不是单调的，则求出这个函数的极值点和单调区间，再结合g (x )的极值与零的大小，以及函数g (x )的单调性、结合零点存在定理判断其零点的个数．4．已知函数f (x )＝x 2－2a ln x －bx .(1)若a ＝－12，函数f (x )在其定义域内是增函数，求b 的最大值；(2)若b ＝0，关于x 的方程f (x )－2ax ＝0有唯一解，求实数a 的取值范围．解：(1)依题意a ＝－12时，f (x )＝ln x ＋x 2－bx ，且在其定义域(0，＋∞)上是增函数，∴f ′(x )＝1x＋2x －b ≥0对x ∈(0，＋∞)恒成立，即b ≤1x ＋2x 对x ∈(0，＋∞)恒成立，∴只需b ≤⎝⎛⎭⎫1x ＋2x min . ∵x >0，∴1x ＋2x ≥22，当且仅当x ＝22时取“＝”，∴b ≤22，故b 的最大值为2 2.(2)记(g )x ＝f (x )－2ax ＝x 2－2a ln x －2ax ， g ′(x )＝2x －2a x －2a ＝2x(x 2－ax －a )．若方程f (x )＝2ax 有唯一解，即g (x )＝0有唯一解. 令g ′(x )＝0，得x 2－ax －a ＝0.因为a >0，x >0， 所以x 1＝a －a 2＋4a 2<0(舍去)，x 2＝a ＋a 2＋4a2.当x ∈(0，x 2)时，g ′(x )<0，g (x )在(0，x 2)是单调递减函数； 当x ∈(x 2，＋∞)时，g ′(x )>0，g (x )在(x 2，＋∞)上是单调递增函数． 当x ＝x 2时，g ′(x 2)＝0，g (x )min ＝g (x 2)． 因为g (x )＝0有唯一解，所以g (x 2)＝0.则⎩⎪⎨⎪⎧ g (x 2)＝0，g ′(x 2)＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 22－2a ln x 2－2ax 2＝0，x 22－ax 2－a ＝0，两式相减得a ln x 2＋ax 2－a ＝0，因为a >0，所以2ln x 2＋x 2－1＝0(*)． 设函数h (x )＝2ln x ＋x －1，因为在x >0时，h (x )是增函数，所以h (x )＝ 0至多有一解． 因为h (1)＝0，所以方程(*)的解为x 2＝1，从而解得a ＝12.1．(2015·武威市凉州区一诊)已知函数f (x )＝(ax －2)e x 在x ＝1处取得极值． (1)求a 的值；(2)求函数f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值；(3)求证：对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤e. 解：(1)解：f ′(x )＝a e x ＋(ax －2)e x ＝(ax ＋a －2)e x . 由已知得f ′(1)＝0，即(2a －2)e x ＝0，解得a ＝1.当a ＝1时，在x ＝1处函数f (x )＝(x －2)e x 取得极小值，所以a ＝1. (2)解：f (x )＝(x －2)e x ，f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x .所以函数f (x 当m ≥1时，f (x )在[m ，m ＋1]单调递增， f min (x )＝f (m )＝(m －2)e m . 当0<m <1时，m <1<m ＋1，f (x )在[m,1]上单调递减，在[1，m ＋1]上单调递增， f min (x )＝f (1)＝－e. 当m ≤0时，m ＋1≤1，f (x )在[m ，m ＋1]上单调递减，f min (x )＝f (m ＋1)＝(m －1)e m ＋1.综上，f (x )在[m ，m ＋1]上的最小值f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(m －2)e m，m ≥1，－e ，0<m <1，(m －1)e m ＋1，m ≤0.(3)证明：由(Ⅰ)知f (x )＝(x －2)e x ， f ′(x )＝e x ＋(x －2)e x ＝(x －1)e x . 令f ′(x )＝0得x ＝1.因为f (0)＝－2，f (1)＝－e ，f (2)＝0，所以f max (x )＝0，f min (x )＝－e ，所以，对任意x 1，x 2∈[0,2]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤f max (x )－f min (x )＝e.2．(2015·常州市监测)已知函数f (x )＝ln x －x －ax ，a ∈R .(1)当a ＝0时，求函数f (x )的极大值； (2)求函数f (x )的单调区间；(3)当a >1时，设函数g (x )＝⎪⎪⎪⎪f (x －1)＋x －1＋a x －1，若实数b 满足b >a 且g ⎝⎛⎭⎫bb －1＝g (a )，g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2，求证：4<b <5.解：(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝ln x －x ，f ′(x )＝1x －1，令f ′(x )＝0得x ＝1.列表：所以f (x )(2)f ′(x )＝1x －1＋a x 2＝－x 2＋x ＋ax 2.令f ′(x )＝0，得－x 2＋x ＋a ＝0，记Δ＝1＋4a .(ⅰ)当a ≤－14时，f ′(x )≤0，所以f (x )单调减区间为(0，＋∞)；(ⅱ)当a >－14时，由f ′(x )＝0得x 1＝1＋1＋4a 2，x 2＝1－1＋4a 2，①若－14<a <0，则x 1>x 2>0，由f ′(x )<0，得0<x <x 2，x >x 1；由f ′(x )>0，得x 2<x <x 1.所以，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；②若a ＝0，由(1)知f (x )单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1，＋∞)； ③若a >0，则x 1>0>x 2，由f ′(x )<0，得x >x 1；由f ′(x )>0，得0<x <x 1. f (x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2.综上所述：当a ≤－14时，f (x )的单调减区间为(0，＋∞)；当－14<a <0时，f (x )的单调减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1＋4a 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝⎛⎭⎪⎫1－1＋4a 2，1＋1＋4a 2；当a ≥0时，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎪⎫1＋1＋4a 2，＋∞，单调增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1＋1＋4a 2.(3)证明： g (x )＝|ln(x －1)|(x >1)． 由g ⎝⎛⎭⎫b b －1＝g (a )得⎪⎪⎪⎪ln 1b －1＝|ln(a －1)|.∵1<a <b ，∴b －1＝a －1(舍)，或(a －1)(b －1)＝1. ∵1＝(a －1)(b －1)<(b －1)2，∴b >2. 由g (b )＝2g ⎝⎛⎭⎫a ＋b 2得|ln(b －1)|＝2⎪⎪⎪⎪ln ⎝⎛⎭⎫a ＋2b －1＝2⎪⎪⎪⎪ln 12[(a －1)＋(b －1)]，(*) 因为a －1＋b －12≥(a －1)(b －1)＝1，所以(*)式可化为ln(b －1)＝2ln 12[(a －1)＋(b －1)]，即b －1＝⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫1b －1＋b －12.令b －1＝t (t >1)，则t ＝⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫t ＋1t 2，整理得t 4－4t 3＋2t 2＋1＝0， 从而(t －1)(t 3－3t 2－t －1)＝0，即t 3－3t 2－t －1＝0.记h (t )＝t 3－3t 2－t －1，t >1.h ′(t )＝3t 2－6t －1，令h ′(t )＝0得t ＝1－233(舍去)，t ＝1＋233，列表：所以，h ，h (4)>0，所以3<t <4，从而4<b <5.对应学生用书理55页 文52页3．(2015·临沂市质检)已知函数f (x )＝ln x .(1)若直线y ＝x ＋m 与函数f (x )的图象相切，求实数m 的值； (2)证明曲线y ＝f (x )与曲线y ＝x －1x有唯一的公共点；(3)设0<a <b ，比较f (b )－f (a )2与b －ab ＋a 的大小，并说明理由．解：(1)f ′(x )＝1x，设切点为(x 0，y 0)，则k ＝1x 0＝1，∴x 0＝1，y 0＝ln x 0＝ln 1＝0， 代入y ＝x ＋m ，得m ＝－1.(2)证明：令h (x )＝f (x )－⎝⎛⎭⎫x －1x ＝ln x －x ＋1x ，则h ′(x )＝1x －1－1x 2＝－x 2＋x －1x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122－34x 2<0，∴h (x )在(0，＋∞)内单调递减．又h (1)＝ln 1－1＋1＝0，∴x ＝1是函数h (x )唯一的零点，故点(1,0)是两曲线唯一的公共点． (3)ln b －ln a 2－b －a b ＋a ＝12ln b a －ba －1b a ＋1，∵0<a <b ，∴ba>1.构造函数φ(x )＝12ln x －x －1x ＋1，(x >1)，则φ′(x )＝12x －x ＋1－(x －1)(x ＋1)2＝12x －2(x ＋1)2＝(x －1)22x (x ＋1)2>0，∴φ(x )在(1，＋∞)内单调递增， 又当x ＝1时，φ(1)＝0，∴x >1时，φ(x )>0，即12ln x >x －1x ＋1，则有12ln b a >ba－1b a ＋1成立，即ln b －ln a 2>b －a b ＋a.即f (b )－f (a )2>b －ab ＋a. 4．(2015·湖北省八市联考)定义在R 上的函数g (x )及二次函数h (x )满足g (x )＋2g (－x )＝e x＋2ex －9，h (－2)＝h (0)＝1且h (－3)＝－2. (1)求g (x )和h (x )的解析式；(2)对于x 1，x 2∈[－1,1]，均有h (x 1)＋ax 1＋5≥g (x 2)－x 2g (x 2)成立，求a 的取值范围；(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧g (x )，(x >0)h (x )，(x ≤0)，讨论方程f [f (x )]＝2的解的个数情况． 解：(1)∵g (x )＋2g (－x )＝e x ＋2e x －9，① g (－x )＋2g (x )＝e －x ＋2e－x －9，即 g (－x )＋2g (x )＝2e x ＋1e x －9.② 由①②联立解得：g (x )＝e x －3.∵h (x )是二次函数，且h (－2)＝h (0)＝1，可设h (x )＝ax (x ＋2)＋1，由h (－3)＝－2，解得a ＝－1.∴h (x )＝－x (x ＋2)＋1＝－x 2－2x ＋1.∴g (x )＝e x －3，h (x )＝－x 2－2x ＋1.(2)设φ(x )＝h (x )＋ax ＋5＝－x 2＋(a －2)x ＋6，F (x )＝e x －3－x (e x －3)＝(1－x )e x ＋3x －3，依题意知：当－1≤x ≤1时，φ(x )min ≥F (x )max .∵F ′(x )＝－e x ＋(1－x )(e x －3)＋3＝－x e x ＋3，F ″(x )＝－e x (1＋x )，当x ∈[－1,1]时，F ″(x )≤0，∴F (x )在[－1,1]上单调递减，∴F ′(x )min ＝F ′(1)＝3－e>0.∴F (x )在[－1,1]上单调递增，∴F (x )max ＝F (1)＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧φ(－1)＝7－a ≥0，φ(1)＝a ＋3≥0，解得－3≤a ≤7， ∴实数a 的取值范围为[－3,7]．(3)f (x )的图象如图所示：令T ＝f (x )，则f (T )＝2.∴T 1＝－1，T 2＝ln 5，f (x )＝－1有两个解，f (x )＝ln 5有3个解．∴f [f (x )]＝2有5个解．5．(理科)(2015·漳州市质检)给出定义在(0，＋∞)上的三个函数f (x )＝ln x ，g (x )＝x 2－af (x )，h (x )＝x －a x ，已知g (x )在x ＝1处取极值．(1)求实数a 的值，并确定函数h (x )的单调性；(2)求证：当1<x <e 2时，恒有x <2＋f (x )2－f (x )成立； (3)若函数y ＝m －g (x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点，求实数m 的取值范围．解：(1)由题设，g (x )＝x 2－a ln x ，则g ′(x )＝2x －a x.由已知，g ′(1)＝0，即2－a ＝0⇒a ＝2.于是h (x )＝x －2x ，则h ′(x )＝1－1x ，且x ∈(0，＋∞)． 由h ′(x )＝1－1x >0⇒x >1，h ′(x )＝1－1x<0⇒0<x <1.所以h (x )在(1，＋∞)上是增函数，在(0,1)上是减函数．(2)当1<x <e 2时，0<ln x <2，即0<f (x )<2，欲证x <2＋f (x )2－f (x )，只需证x [2－f (x )]<2＋f (x )，即证f (x )>2(x －1)x ＋1. 设γ(x )＝f (x )－2(x －1)x ＋1＝ln x －2(x －1)x ＋1，则 γ′(x )＝1x －2(x ＋1)－2(x －1)(x ＋1)2＝(x －1)2x (x ＋1)2. 当1<x <e 2时，γ′(x )>0，所以γ(x )在区间(1，e 2)上为增函数．从而当1<x <e 2时，γ(x )>γ(1)＝0，即f (x )>2(x －1)x ＋1，故x <2＋f (x )2－f (x ). (3)∵y ＝2ln x －x 2＋m ，则y ′＝2x －2x ＝－2(x ＋1)(x －1)x， ∵x ∈⎣⎡⎦⎤1e ，e ，故y ′＝0时，x ＝1.当1e<x <1时，y ′>0；当1<x <e 时，y ′<0. 故函数y ＝φ(x )在x ＝1处取得极大值φ(1)＝m －1.又φ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e2，φ(e)＝m ＋2－e 2， φ(e)－φ⎝⎛⎭⎫1e ＝4－e 2＋1e2<0，则φ(e)<φ⎝⎛⎭⎫1e ， ∴y ＝φ(x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上的最小值是φ(e)．y ＝φ(x )在⎣⎡⎦⎤1e ，e 上有两个零点的条件是⎩⎪⎨⎪⎧φ(1)＝m －1>0，φ⎝⎛⎭⎫1e ＝m －2－1e 2≤0， 解得1<m ≤2＋1e 2，∴实数m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤1，2＋1e 2. 5．(文科)(2015·大连市二模)设函数f (x )＝ln x －cx (x ∈R )．(1)讨论函数f (x )的单调性；(2)若f (x )≤x 2恒成立，求c 的取值范围；(3)设函数f (x )有两个相异零点x 1、x 2，求证：x 1·x 2>e 2.解析：(1)∵f (x )＝ln x －cx ，∴x ∈(0，＋∞)，f ′(x )＝1x －c ＝1－cx x. 当c ≤0时，f (x )单调增区间为(0，＋∞)；当c >0时，f (x )单调增区间为⎝⎛⎭⎫0，1e ，f (x )单调减区间为⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞. (2)∵f (x )≤x 2，∴ln x －cx ≤x 2，∴c ≥ln x x－x . 设g (x )＝ln x x －x ，∴g ′(x )＝1－ln x －x 2x 2， ∴g (x )在(0,1)单调递增，在(1，＋∞)单调递减．∴g (x )max ＝g (1)＝－1，∴c ≥－1.(3)证明： f (x )有两个相异零点，ln x 1＝cx 1，ln x 2＝cx 2，①∴ln x 1－ln x 2＝c (x 1－x 2)，∴ln x 1－ln x 2x 1－x 2＝c ，② 而x 1·x 2>e 2，等价于ln x 1＋ln x 2>2，即cx 1＋cx 2>2，③由①②③得：ln x 1－ln x 2x 1－x 2(x 1＋x 2)>2. 不妨设x 1>x 2>0，则t ＝x 1x 2>1， 上式转化为ln t >2(t －1)t ＋1(t >1)． 设H (t )＝ln t －2(t －1)t ＋1(t >1)，则H (t )＝(t －1)2t (t ＋1)2>0，故函数H (t )是(1，＋∞)上的增函数，所以H (t )－H (l )＝0，即不等式ln t >2(t －1)t ＋1成立， 故所证不等式x 1·x 2>e 2成立.6．(理科)(2015·南平市质检)设函数g (x )＝x 2－2x ＋1＋m ln x ，(m ∈R )．(1)当m ＝1时，求过点P (0，－1)且与曲线y ＝g (x )－(x －1)2相切的切线方程；(2)求函数y ＝g (x )的单调增区间；(3)若函数y ＝g (x )有两个极值点a ，b ，且a <b ，记[x ]表示不大于x 的最大整数，试比较sin [g (a )][g (b )]与cos([g (a )][g (b )])的大小． 解：(1)曲线方程为y ＝ln x ，设切点为(x 0，ln x 0)．由y ′＝1x 得切线的斜率k ＝1x 0，则切线方程为y －ln x 0＝1x 0(x －x 0)． 因为切线过点P (0，－1)，所以－1－ln x 0＝－1，即x 0＝1，故所求切线方程为x －y －1＝0.(2)函数y ＝g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋m x. 令g ′(x )>0并结合定义域得2x 2－2x ＋m >0，对应一元二次方程的判别式Δ＝4(1－2m )．①当Δ≤0，即m ≥12时，g ′(x )≥0，则函数g (x )的增区间为(0，＋∞)； ②当0<m <12时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－1－2m 2，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞； ③当m ≤0时，函数g (x )的增区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1－2m 2，＋∞. (3)g ′(x )＝2x －2＋m x ＝2x 2－2x ＋m x，令g ′(x )＝0得2x 2－2x ＋m ＝0， 由题意知方程有两个不相等的正数根a ，b (a <b )，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝4(1－2m )>0，m 2>0 解得0<m <12， 解方程得b ＝1＋1－2m 2，则12<b <1. 又由2b 2－2b ＋m ＝0得m ＝－2b 2＋2b ，所以g (b )＝b 2－2b ＋1＋m ln b ＝b 2－2b ＋1＋(－2b 2＋2b )ln b ，b ∈⎝⎛⎭⎫12，1.g ′(b )＝2b －2＋(－4b ＋2)ln b ＋2－2b＝－4⎝⎛⎭⎫b －12ln B. 当b ∈⎝⎛⎭⎫12，1时，g ′(b )>0，即函数g (b )是⎝⎛⎭⎫12，1上的增函数，所以1－2ln 24<g (b )<0，故g (b )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－2ln 24，0.则[g (b )]＝－1.同理可求0<a <12，g (a )＝a 2－2a ＋1＋(－2a 2＋2a )ln a ，a ∈⎝⎛⎭⎫0，12，g ′(a )＝－4⎝⎛⎭⎫a －12ln a <0，即函数g (a )是⎝⎛⎭⎫0，12上的减函数，所以1－2ln 24<g (a )<1，故g (a )的取值范围是⎝⎛⎭⎫1－2ln 24，1，则[g (a )]＝－1或[g (a )]＝0.当[g (a )]＝－1时，sin [g (a )][g (b )]>cos([g (a )][g (b )])； 当[g (a )]＝0时，sin [g (a )][g (b )]<cos([g (a )][g (b )])． 6．(文科)(2015·南平市质检)已知函数f (x )＝e x －x .(1)求曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)已知t 为实数，求函数f (x )在区间[t ，t ＋2]上的最小值；(3)定义在区间D 上的函数g (x )，若存在区间[a ，b ]⊆D 及实常数m ，当x ∈[a ，b ]时，g (x )的取值范围恰为[a ＋m ，b ＋m ]，则称区间[a ，b ]为g (x )的一个同步偏移区间，m 为同步偏移量．试问函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上是否存在同步偏移区间？若存在，请求出一个同步偏移区间及对应的偏移量；若不存在，请说明理由．解：(1)由题意知f (1)＝e －1，f ′(x )＝e x －1.∴函数f (x )在点(1，f (1))处的切线斜率k ＝e －1，∴切线方程为y －(e －1)＝(e －1)(x －1)，即y ＝(e －1)x .(2)令f ′(x )＝e x －1＝0得x ＝0.①当t ≥0时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，f min x ＝f (t )＝e t －t .②当－2<t <0时，在[t,0]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减；在[0，t ＋2]上f ′(x )≥0，f (x )单调递增，∴f min (x )＝f 极小(x )＝f (0)＝1.③当t ≤－2时，在[t ，t ＋2]上f ′(x )≤0，f (x )单调递减，f min (x )＝f (t ＋2)＝e t ＋2－t －2. ∴f min (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ e t ＋2－t －2，t ≤－21，－2<t <0e t －t ，t ≥0(3)函数y ＝[f (x )＋x ](x 2－1)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．证明如下：假设函数g (x )＝[f (x )＋x ](x 2－1)＝(x 2－1)e x 存在同步偏移区间[a ，b ]，则g ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x .∵x >1时，g ′(x )>0，∴g (x )为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧g (a )＝(a 2－1)e a ＝a ＋m ，g (b )＝(b 2－1)e b ＝b ＋m ， 即方程(x 2－1)e x ＝x ＋m 有两个大于1的相异实根．设φ(x )＝(x 2－1)e x －x －m (x >1)，则φ′(x )＝(x 2＋2x －1)e x －1.∵x >1，φ′(x )>0，∴φ(x )在(1，＋∞)上单调递增.∴φ(x)在区间(1，＋∞)上至多有一个零点与方程(x2－1)e x＝x＋m有两个大于1的相异实根矛盾，∴假设不成立，即g(x)在(1，＋∞)上不存在同步偏移区间．。

课时作业37 不等关系与不等式一、选择题1．实数x ，y ，z 满足x 2－2x ＋y ＝z －1且x ＋y 2＋1＝0，则x ，y ，z 满足的下列关系式为( )A ．z≥y>xB ．z≥x>yC ．x>z≥yD ．z>x≥y解析：由x 2－2x ＋y ＝z －1⇒z －y ＝(x －1)2≥0⇒z≥y；又由x ＋y 2＋1＝0⇒y －x ＝y 2＋y ＋1＝(y ＋12)2＋34>0⇒y>x ，故z≥y>x.答案：A2．(2014·山东卷)已知实数x ，y 满足a x<a y(0<a<1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1>1y 2＋1B ．ln(x 2＋1)>ln(y 2＋1) C ．sinx>sinyD ．x 3>y 3解析：由a x<a y(0<a<1)，可得x>y. 又因为函数f(x)＝x 3在R 上递增， 所以f(x)>f(y)，即x 3>y 3. 答案：D3．设a ＝lge ，b ＝(lge)2，c ＝lg e ，则( ) A ．a>b>c B ．a>c>b C ．c>a>bD ．c>b>a解析：∵0<lge<lg 10＝12，∴lge>12lge>(lge)2.∴a>c>b.答案：B4．已知0<a<1b ，且M ＝11＋a ＋11＋b ，N ＝a 1＋a ＋b1＋b ，则M ，N 的大小关系是( )A ．M>NB ．M<NC ．M ＝ND ．不能确定解析：∵0<a<1b ，∴1＋a>0,1＋b>0,1－ab>0，∴M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b1＋b ＝2－2ab＋＋>0，故选A.答案：A5．已知a ，b ，c ∈R ，给出下列命题：①若a>b ，则ac 2>bc 2；②若ab≠0，则a b ＋b a ≥2；③若a>b>0，n ∈N *，则a n >b n；④若log a b<0(a>0，a≠1)，则(a －1)(b －1)<0.其中真命题的个数为( )A ．2B ．3C ．4D ．1解析：当c ＝0时，ac 2＝bc 2＝0，所以①为假命题；当a 与b 异号时，a b <0，b a <0，所以②为假命题；③为真命题；若log a b<0(a>0，a≠1)，则有可能a>1,0<b<1或b>1,0<a<1，即(a －1)(b －1)<0.④是真命题．综上真命题有2个，故选A.答案：A6．已知0<a<b ，且a ＋b ＝1，则下列不等式中，正确的是( ) A ．log 2a>0B ．2a －b<12C ．log 2a ＋log 2b<－2D ．2a b ＋b a <12解析：若0<a<1，此时log 2a<0，A 错误；若a －b<0，此时2a －b<1，B 错误；由a b ＋ba >2a b ·b a＝2,2a b ＋b a >22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，即ab<14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab)<log 214＝－2.故选C.答案：C 二、填空题7．已知a 1≤a 2，b 1≥b 2，则a 1b 1＋a 2b 2与a 1b 2＋a 2b 1的大小关系是________．解析：a 1b 1＋a 2b 2－(a 1b 2＋a 2b 1)＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)，因为a 1≤a 2，b 1≥b 2，所以a 1－a 2≤0，b 1－b 2≥0，于是(a 1－a 2)(b 1－b 2)≤0，故a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 1.答案：a 1b 1＋a 2b 2≤a 1b 2＋a 2b 18．若1<a<3，－4<b<2，则a －|b|的取值范围是________．解析：∵－4<b<2，∴0≤|b|<4，∴－4<－|b|≤0.又∵1<a<3，∴－3<a －|b|<3. 答案：(－3,3)9．如下图所示的两种广告牌，其中图(1)是由两个等腰直角三角形构成的，图(2)是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a ，b(a≠b)的不等式表示为________．解析：图(1)所示广告牌的面积为12(a 2＋b 2)，图(2)所示广告牌的面积为ab ，显然不等式表示为12(a 2＋b 2)>ab(a≠b)．答案：12(a 2＋b 2)>ab(a≠b)三、解答题10．设a>b>c ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －a >0.证明：∵a>b>c ，∴－c>－b. ∴a －c>a －b>0.∴1a －b >1a －c >0.∴1a －b ＋1c －a >0.又b －c>0，∴1b －c >0. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －a>0. 11．甲、乙两人同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半时间步行，一半时间跑步，如果两人步行速度、跑步速度均相同，试判断谁先到教室？解：设从寝室到教室的路程为s ，甲、乙两人的步行速度为v 1，跑步速度为v 2，且v 1<v 2. 甲所用的时间t 甲＝s 2v 1＋s2v 2＝1＋v 22v 1v 2，乙所用的时间t 乙＝2sv 1＋v 2， ∴t 甲t 乙＝1＋v 22v 1v 2×v 1＋v 22s＝1＋v 224v 1v 2＝v 21＋v 22＋2v 1v 24v 1v 2>4v 1v 24v 1v 2＝1.∵t 甲>0，t 乙>0，∴t 甲>t 乙，即乙先到教室．1．设a>0，b>0，则以下不等式中不恒成立的是( )A ．(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥4B ．a 3＋b 3≥2ab 2C ．a 2＋b 2＋2≥2a＋2bD.|a －b|≥a － b解析：∵a>0，b>0，∴(a ＋b)⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b ≥2ab ·21a ·1b＝4，故A 恒成立； ∵a 3＋b 3－2ab 2＝a 3－ab 2＋b 3－ab 2＝(a －b)(a 2＋ab －b 2)，无法确定正负，故B 不恒成立；a 2＋b 2＋2－(2a ＋2b)＝(a －1)2＋(b －1)2≥0，故C 恒成立；若a<b ，则|a －b|≥a －b 恒成立；若a≥b，则(|a －b|)2－(a －b)2＝2(ab －b)≥0，∴|a －b|≥a －b 恒成立，故D 恒成立．综上可知选B. 答案：B2．若存在x 使不等式x －me x >x 成立，则实数m 的取值范围为( )A.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－1e B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1e ，e C ．(－∞，0)D ．(0，＋∞)解析：由x －m e x >x 得：－m>e x×x －x ，令f(x)＝e x×x －x ，则－m>f(x)min . f′(x)＝e x×x ＋e x×12x－1≥2×e x－1>0，所以f(x)≥f(0)＝0，－m>0，m<0，选C. 答案：C3．已知存在实数a 满足ab 2>a>ab ，则实数b 的取值范围是________． 解析：∵ab 2>a>ab ，∴a≠0，当a>0时，b 2>1>b ，即⎩⎪⎨⎪⎧ b 2>1，b<1，解得b<－1；当a<0时，b 2<1<b ，即⎩⎪⎨⎪⎧b 2<1，b>1无解．综上可得b<－1. 答案：(－∞，－1)4．某企业去年年底给全部的800名员工共发放2 000万元年终奖，该企业计划从今年起，10年内每年发放的年终奖都比上一年增加60万元，企业员工每年净增a 人．(1)若a ＝10，在计划时间内，该企业的人均年终奖是否会超过3万元？ (2)为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过多少人？ 解：(1)设从今年起的第x 年(今年为第1年)该企业人均发放年终奖为y 万元． 则y ＝2 000＋60x 800＋ax(a ∈N *,1≤x≤10)．假设会超过3万元，则2 000＋60x 800＋10x >3，解得x>403>10.所以，10年内该企业的人均年终奖不会超过3万元．(2)设1≤x 1<x 2≤10，则f(x 2)－f(x 1)＝2 000＋60x 2800＋ax 2－2 000＋60x 1800＋ax 1＝－2－x 1＋ax 2＋ax 1>0，所以60×800－2 000a>0，得a<24.所以，为使人均年终奖年年有增长，该企业每年员工的净增量不能超过23人．。

课时跟踪检测(三十三) 数列求和(分A 、B 卷，共2页) A 卷：夯基保分一、选择题1．数列{1＋2n －1}的前n 项和为( )A ．1＋2nB ．2＋2nC ．n ＋2n －1D ．n ＋2＋2n2．已知{a n }是首项为1的等比数列，S n 是{a n }的前n 项和，且9S 3＝S 6，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前5项和为( )A.158或5 B.3116或5 C.3116D.1583．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n ·(3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( ) A ．15 B ．12 C ．－12D ．－154．(2015·曲靖一模)122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1的值为( )A.n ＋12(n ＋2)B.34－n ＋12(n ＋2) C.34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2 D.32－1n ＋1＋1n ＋25．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12＋a n －a 2n ，且a 1＝12，则该数列的前2 016项的和等于( ) A ．1 509 B ．3 018 C ．1 512D ．2 0166．(2015·日照一模)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n ＋18(n ＞3) D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)n 2－6n (n ＞3) 二、填空题7．(2015·沈阳质量监测)已知数列{a n }满足a n ＝1＋2＋3＋…＋nn ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n a n ＋1的前n 项和为________．8．对于数列{a n }，定义数列{a n ＋1－a n }为数列{a n }的“差数列”，若a 1＝2，{a n }的“差数列”的通项公式为2n ，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.9．(2015·辽宁五校协作体联考)在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋2＋(－1)n a n ＝1，记S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 60＝________.10．(2015·西安二模)数列{a n }是等差数列，数列{b n }满足b n ＝a n a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，设S n 为{b n }的前n 项和．若a 12＝38a 5＞0，则当S n 取得最大值时n 的值为________．三、解答题11．(2014·湖南高考)已知数列{a n } 的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N * .(1)求数列{a n } 的通项公式；(2)设b n ＝2＋(－1)n a n ，求数列{b n } 的前2n 项和．12．在等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令b n ＝2，证明：数列{b n }为等比数列； (3)求数列{nb n }的前n 项和T n .B 卷：增分提能1．(2015·大连一模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，等比数列{b n }的公比为12，满足S 3＝15，a 1＋2b 1＝3，a 2＋4b 2＝6.(1)求数列{a n }，{b n }的通项a n ，b n ； (2)求数列{a n ·b n }的前n 项和T n .2．(2014·山东高考)已知等差数列{a n }的公差为2，前n 项和为S n ，且S 1，S 2，S 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －14na n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .3．(2015·杭州质检)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝1－14a n，其中n ∈N *. (1)设b n ＝22a n －1，求证：数列{b n }是等差数列，并求出{a n }的通项公式；(2)设c n ＝4a n n ＋1，数列{c n c n ＋2}的前n 项和为T n ，是否存在正整数m ，使得T n ＜1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立？若存在，求出m 的最小值；若不存在，请说明理由．答案A 卷：夯基保分1．选C 由题意得a n ＝1＋2n －1，所以S n ＝n ＋1－2n1－2＝n ＋2n －1，故选C.2．选C 设{a n }的公比为q ，显然q ≠1，由题意得9(1－q 3)1－q ＝1－q 61－q，所以1＋q 3＝9，得q＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1，公比为12的等比数列，前5项和为1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.3．选A 记b n ＝3n －2，则数列{b n }是以1为首项，3为公差的等差数列，所以a 1＋a 2＋…＋a 9＋a 10＝(－b 1)＋b 2＋…＋(－b 9)＋b 10＝(b 2－b 1)＋(b 4－b 3)＋…＋(b 10－b 9)＝5×3＝15.4．选C ∵1(n ＋1)2－1＝1n 2＋2n ＝1n (n ＋2)＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴122－1＋132－1＋142－1＋…＋1(n ＋1)2－1＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2 ＝12⎝⎛⎭⎫32－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－12⎝⎛⎭⎫1n ＋1＋1n ＋2. 5．选C 因为a 1＝12，又a n ＋1＝12＋a n －a 2n ， 所以a 2＝1，从而a 3＝12，a 4＝1，即得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12，n ＝2k －1(k ∈N *)，1，n ＝2k (k ∈N *)，故数列的前2 016项的和等于S 2 016＝1 008×⎝⎛⎭⎫1＋12＝1 512. 6．选C 由S n ＝n 2－6n 可得，当n ≥2时， a n ＝S n －S n －1＝n 2－6n －(n －1)2＋6(n －1)＝2n －7. 当n ＝1时，S 1＝－5＝a 1，也满足上式， 所以a n ＝2n －7，n ∈N *.∴n ≤3时，a n ＜0；n ＞3时，a n ＞0，∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2(1≤n ≤3)，n 2－6n ＋18(n ＞3).7．解析：a n ＝1＋2＋3＋…＋n n ＝n ＋12，1a n a n ＋1＝4(n ＋1)(n ＋2)＝4⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n ＋2，所求的前n 项和为4⎝⎛⎭⎫12－13＋13－14＋…＋1n ＋1－1n ＋2＝4⎝⎛⎭⎫12－1n ＋2＝2n n ＋2.答案：2n n ＋28．解析：∵a n ＋1－a n ＝2n ，∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1 ＝2n －1＋2n －2＋…＋22＋2＋2＝2－2n1－2＋2＝2n －2＋2＝2n .∴S n ＝2－2n ＋11－2＝2n ＋1－2.答案：2n ＋1－29．解析：依题意得，当n 是奇数时，a n ＋2－a n ＝1，即数列{a n }中的奇数项依次形成首项为1、公差为1的等差数列，a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 59＝30×1＋30×292×1＝465；当n 是偶数时，a n ＋2＋a n ＝1，即数列{a n }中的相邻的两个偶数项之和均等于1，a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋…＋a 58＋a 60＝(a 2＋a 4)＋(a 6＋a 8)＋…＋(a 58＋a 60)＝15.因此，该数列的前60项和S 60＝465＋15＝480.答案：48010．解析：设{a n }的公差为d ，由a 12＝38a 5＞0得a 1＝－765d ，d ＜0，所以a n ＝⎝⎛⎭⎫n －815d ， 从而可知当1≤n ≤16时，a n ＞0； 当n ≥17时，a n ＜0.从而b 1＞b 2＞…＞b 14＞0＞b 17＞b 18＞…，b 15＝a 15a 16a 17＜0，b 16＝a 16a 17a 18＞0，故S 14＞S 13＞…＞S 1，S 14＞S 15，S 15＜S 16，S 16＞S 17＞S 18＞….因为a 15＝－65d ＞0，a 18＝95d ＜0，所以a 15＋a 18＝－65d ＋95d ＝35d ＜0，所以b 15＋b 16＝a 16a 17(a 15＋a 18)＞0，所以S 16＞S 14，故当S n 取得最大值时n ＝16.答案：1611．解：(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－(n －1)2＋(n －1)2＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知，a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)n n . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )． 记A ＝21＋22＋…＋22n ，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则 A ＝2(1－22n )1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n .故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.12．解：(1)设数列{a n }的公差为d ，则a n ＝a 1＋(n －1)d ， 由a 10＝30，a 20＝50，得方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝30，a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2.所以a n ＝12＋(n －1)·2＝2n ＋10.(2)证明：由(1)得b n ＝2n，所以b n ＋1b n ＝2n ＋12n ＝2.所以{b n }是首项为2，公比为2的等比数列． (3)由nb n ＝n ×2n ，得T n ＝1×2＋2×22＋…＋n ×2n ， ① 2T n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1，②①－②得，－T n ＝2＋22＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2n ＋1－2－n ×2n ＋1.所以T n ＝(n －1)2n ＋1＋2.B 卷：增分提能1．解：(1)设{a n }的公差为d ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3a 1＋3d ＝15，a 1＋2b 1＝3，a 1＋d ＋2b 1＝6，解得a 1＝2，d ＝3，b 1＝12，所以a n ＝3n －1，b n ＝⎝⎛⎭⎫12n. (2)由(1)知T n ＝2×12＋5×⎝⎛⎭⎫122＋8×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ， ① ①×12得12T n ＝2×⎝⎛⎭⎫122＋5×⎝⎛⎭⎫123＋…＋(3n －4)×⎝⎛⎭⎫12n ＋(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1， ②①－②得12T n ＝2×12＋3×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －(3n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝1＋3×14⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n －11－12－(3n －1)·⎝⎛⎭⎫12n ＋1，整理得T n ＝－(3n ＋5)⎝⎛⎭⎫12n ＋5. 2．解：(1)因为S 1＝a 1，S 2＝2a 1＋2×12×2＝2a 1＋2，S 4＝4a 1＋4×32×2＝4a 1＋12，由题意得(2a 1＋2)2＝a 1(4a 1＋12)， 解得a 1＝1，所以a n ＝2n －1. (2)b n ＝(－1)n －14n a n a n ＋1＝(－1)n －14n (2n －1)(2n ＋1)＝(－1)n －1⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1. 当n 为偶数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1－⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1－12n ＋1＝2n2n ＋1. 当n 为奇数时，T n ＝⎝⎛⎭⎫1＋13－⎝⎛⎭⎫13＋15＋…－⎝⎛⎭⎫12n －3＋12n －1＋⎝⎛⎭⎫12n －1＋12n ＋1＝1＋12n ＋1＝2n ＋22n ＋1. 所以T n＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ＋22n ＋1，n 为奇数，2n2n ＋1，n 为偶数.⎝⎛⎭⎪⎫或T n＝2n ＋1＋(－1)n －12n ＋13．解：(1)∵b n ＋1－b n ＝22a n ＋1－1－22a n －1＝22⎝⎛⎭⎫1－14a n －1－22a n －1 ＝4a n 2a n －1－22a n －1＝2(常数)， ∴数列{b n }是等差数列． ∵a 1＝1，∴b 1＝2，因此b n ＝2＋(n －1)×2＝2n ， 由b n ＝22a n －1得a n ＝n ＋12n .(2)由c n ＝4a n n ＋1，a n ＝n ＋12n 得c n ＝2n ，∴c n c n ＋2＝4n (n ＋2)＝2⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，∴T n ＝2⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝2⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2＜3， 依题意要使T n ＜1c m c m ＋1对于n ∈N *恒成立，只需1c m c m ＋1≥3，即m (m ＋1)4≥3，解得m ≥3或m ≤－4，又m 为正整数，所以m 的最小值为3.。

课时作业36 数列的综合应用一、选择题1．已知数列1，a 1，a 2,9是等差数列，数列1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，则b 2·(a 1＋a 2)＝( )A ．20B ．30C ．35D ．40解析：∵1，a 1，a 2,9是等差数列，所以a 1＋a 2＝1＋9＝10；1，b 1，b 2，b 3,9是等比数列，所以b 22＝1×9＝9，因为b 21＝b 2>0，所以b 2＝3，所以b 2·(a 1＋a 2)＝30，故选B.答案：B2．已知等比数列{a n }中的各项都是正数，且5a 1，12a 3,4a 2成等差数列，则a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝( )A ．－1B ．1C ．52nD ．52n －1解析：设等比数列{a n }的公比为q(q>0)，则依题意有a 3＝5a 1＋4a 2，即a 1q 2＝5a 1＋4a 1q ，q 2－4q －5＝0，解得q ＝－1或q ＝5.又q>0，因此q ＝5，所以a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 1＋a 2＝a 1q 2n＋a 2q 2na 1＋a 2＝q 2n＝52n.答案：C3．在直角坐标系中，O 是坐标原点，P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)是第一象限的两个点，若1，x 1，x 2,4依次成等差数列，而1，y 1，y 2,8依次成等比数列，则△OP 1P 2的面积是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：根据等差、等比数列的性质，可知x 1＝2，x 2＝3，y 1＝2，y 2＝4.∴P 1(2,2)，P 2(3,4)．∴S △OP 1P 2＝1.答案：A4．已知函数y ＝log a (x －1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{a n }的第二项与第三项，若b n ＝1a n a n ＋1，数列{b n }的前n 项和为T n ，则T 10等于( ) A.911 B.1011 C.811D.1211解析：由y ＝log a (x －1)＋3恒过定点(2,3)，即a 2＝2，a 3＝3，又{a n }为等差数列，∴a n＝n ，n ∈N *.∴b n ＝1＋，∴T 10＝11－12＋12－13＋…＋110－111＝1－111＝1011.答案：B5．如图所示，矩形A n B n C n D n 的一边A n B n 在x 轴上，另外两个顶点C n ，D n 在函数f(x)＝x ＋1x (x>0)的图象上．若点B n 的坐标为(n,0)(n≥2，n ∈N *)，记矩形A n B n C n D n 的周长为a n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝( )A ．208B ．216C ．212D ．220解析：由B n (n,0)，得C n ⎝ ⎛⎭⎪⎫n ，n ＋1n ，令x ＋1x ＝n ＋1n ，即x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n x ＋1＝0，得x ＝n 或x＝1n ，所以D n ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ，n ＋1n ，所以矩形A n B n C n D n 的周长a n ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1n ＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋1n ＝4n ，则a 2＋a 3＋…＋a 10＝4(2＋3＋…＋10)＝216，故选B.答案：B6．对于函数y ＝f(x)，部分x 与y 的对应关系如下表：数列{x n }满足1n n ＋1x 1＋x 2＋x 3＋x 4＋…＋x 2 013＋x 2 014的值为( )A ．7 549B ．7 545C ．7 539D ．7 535解析：由已知表格列出点(x n ，x n ＋1)，(1,3)，(3,5)，(5,6)，(6,1)，(1,3)，…，即x 1＝1，x 2＝3，x 3＝5，x 4＝6，x 5＝1，…，数列{x n }是周期数列，周期为4,2 014＝4×503＋2，所以x 1＋x 2＋…＋x 2 014＝503×(1＋3＋5＋6)＋1＋3＝7 549.答案：A 二、填空题7．数列{a n }是公差不为0的等差数列，且a 1，a 3，a 7为等比数列{b n }的连续三项，则数列{b n }的公比为________．解析：由题意知a 23＝a 1·a 7，即(a 1＋2d)2＝a 1·(a 1＋6d)，∴a 1＝2d ，∴等比数列{b n }的公比q ＝a 3a 1＝a 1＋2da 1＝2.答案：28．函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线与x 轴交点的横坐标为a k ＋1，k 为正整数，a 1＝16，则a 1＋a 3＋a 5＝________.解析：依题意得，函数y ＝x 2(x>0)的图象在点(a k ，a 2k )处的切线方程是y －a 2k ＝2a k (x －a k )．令y ＝0，得x ＝12a k ，即a k ＋1＝12a k ，因此数列{a k }是以16为首项，12为公比的等比数列，所以a k＝16·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1＝25－k，a 1＋a 3＋a 5＝16＋4＋1＝21.答案：219．在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列{1a n }的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．解析：由{a n }为等差数列，a 2＝5，a 6＝21得，d ＝a 6－a 24＝4，a n ＝5＋4(n －2)＝4n －3，而数列{S 2n ＋1－S n }有(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝S 2n ＋3－S 2n ＋1＋S n －S n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1<0得{S 2n ＋1－S n }单调递减，其最大值为S 3－S 1＝1445，即m 15≥1445得m≥143，所以m 最小值为5.答案：5 三、解答题10．设各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n 满足S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *.(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式； (3)证明：对一切正整数n ，有1a 11＋＋1a 22＋＋…＋1a nn ＋<13. 解：(1)令n ＝1代入得a 1＝2(负值舍去)．(2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n)＝0，n ∈N *得[S n －(n 2＋n)](S n ＋3)＝0. 又已知各项均为正数，故S n ＝n 2＋n.当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －(n －1)2－(n －1)＝2n ， 当n ＝1时，a 1＝2也满足上式，所以a n ＝2n ，n ∈N *. (3)证明：k ∈N *,4k 2＋2k －(3k 2＋3k)＝k 2－k ＝k(k －1)≥0， ∴4k 2＋2k≥3k 2＋3k ， ∴1a kk ＋＝1＋1＝14k 2＋2k ≤13k 2＋3k＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1k ＋1.∴1a 11＋＋1a 22＋＋…＋1a nn ＋≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫11－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1<13.∴不等式成立．11．已知数列{a n }的首项a 1＝4，前n 项和为S n ，且S n ＋1－3S n －2n －4＝0(n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设函数f(x)＝a n x ＋a n －1x 2＋a n －2x 3＋…＋a 1x n，f′(x)是函数f(x)的导函数，令b n ＝f′(1)，求数列{b n }的通项公式，并研究其单调性．解：(1)由S n ＋1－3S n －2n －4＝0(n ∈N *)得S n －3S n －1－2n ＋2－4＝0(n≥2)， 两式相减得a n ＋1－3a n －2＝0，可得a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)(n≥2)， 又由已知得a 2＝14，所以a 2＋1＝3(a 1＋1)， 即{a n ＋1}是一个首项为5，公比为3的等比数列， 所以a n ＝5×3n －1－1(n ∈N *)．(2)因为f′(x)＝a n ＋2a n －1x ＋…＋na 1x n －1，所以f′(1)＝a n ＋2a n －1＋…＋na 1＝(5×3n －1－1)＋2(5×3n －2－1)＋…＋n(5×30－1)＝5(3n －1＋2×3n －2＋3×3n －3＋…＋n×30)－＋2.令S ＝3n －1＋2×3n －2＋3×3n －3＋…n×30，则3S ＝3n ＋2×3n －1＋3×3n －2＋…＋n×31，作差得S ＝－n 2－3－3n ＋14， 所以f′(1)＝5×3n ＋1－154－＋2.即b n ＝5×3n ＋1－154－＋2，而b n ＋1＝5×3n ＋2－154－＋＋2， 所以b n ＋1－b n ＝15×3n2－n －72>0，所以{b n }是单调递增数列．已知各项均为正数的数列{a n }满足：a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1，且a 2＋a 4＝2a 3＋4，其中n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设数列{b n }满足：b n ＝na n ＋n，是否存在正整数m ，n(1<m<n)，使得b 1，b m ，b n成等比数列？若存在，求出所有的m ，n 的值，若不存在，请说明理由．解：(1)因为a 2n ＋1＝2a 2n ＋a n a n ＋1， 即(a n ＋a n ＋1)(2a n －a n ＋1)＝0.又a n >0，所以2a n －a n ＋1＝0，即2a n ＝a n ＋1. 所以数列{a n }是公比为2的等比数列．由a 2＋a 4＝2a 3＋4，得2a 1＋8a 1＝8a 1＋4，解得a 1＝2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2n(n ∈N *)． (2)因为b n ＝na n ＋n＝n2n ＋1， 所以b 1＝13，b m ＝m 2m ＋1，b n ＝n2n ＋1.若b 1，b m ，b n 成等比数列，则⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2m ＋12＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫n 2n ＋1，即m 24m 2＋4m ＋1＝n6n ＋3. 由m 24m 2＋4m ＋1＝n 6n ＋3，可得3n ＝－2m 2＋4m ＋1m 2， 所以－2m 2＋4m ＋1>0，从而1－62<m<1＋62. 又n ∈N *，且m>1，所以m ＝2，此时n ＝12.故当且仅当m ＝2，n ＝12时，b 1，b m ，b n 成等比数列．。

第一章集合与常用逻辑用语第1节集合学生用书课时冲关一[基础训练组]1．(2018·全国Ⅱ卷)已知集合A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，则A∩B＝( )A．{3} B．{5}C．{3,5} D．{1,2,3,4,5,7}解析：C [A＝{1,3,5,7}，B＝{2,3,4,5}，∴A∩B＝{3,5}，故选C.]2．(2019·石嘴山市一模)集合P＝{x|0≤x＜3}，M＝{x||x|≤3}，则P∩M＝( ) A．{1,2} B．{0,1,2}C．{x|0≤x＜3} D．{x|0≤x≤3}解析：C [集合P＝{x|0≤x＜3}，M＝{x||x|≤3}＝{x|－3≤x≤3}，则P∩M＝{x|0≤x＜3}．]3．(2019·张家口市模拟)如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC．(M∩P)∩∁I S D．(M∩P)∪∁I S解析：C [图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集的子集，即是∁I S的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩∁I S.故选C.]4．(2019·漳州市模拟)满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A的个数为( ) A．1 B．2C．3 D．4解析：C[满足{2018}⊆A{2018,2019,2020}的集合A可得：A＝{2018}，{2018,2019}，{2018,2020}．因此满足的集合A的个数为3.]5．已知集合P＝{x|x2≤1}，M＝{a}．若P∪M＝P，则a的取值范围是( )A．(－∞，－1] B．[1，＋∞)C．[－1,1] D．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C [因为P∪M＝P，所以M⊆P，即a∈P，得a2≤1，解得－1≤a≤1，所以a的取值范围是[－1,1]．]6．已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12 B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：D [A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.] 7．(2019·合肥市模拟)已知A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R |12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：A [因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1，故选A.]8．(2019·石家庄市模拟)函数y ＝x －2与y ＝ln(1－x )的定义域分别为M ，N ，则M ∪N ＝( )A ．(1,2]B ．[1,2]C ．(－∞，1]∪[2，＋∞)D ．(－∞，1)∪[2，＋∞)解析：D [使x －2有意义的实数x 应满足x －2≥0，∴x ≥2，∴M ＝[2，＋∞)，y ＝ln(1－x )中x 应满足1－x ＞0，∴x ＜1，∴N ＝(－∞，1)，所以M ∪N ＝(－∞，1)∪[2，＋∞)，故选D.]9．已知集合A ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R ，y ＝4x 2－1}，则A ∩B 的元素个数是________．解析：集合A 是以原点为圆心，半径等于1的圆周上的点的集合，集合B 是抛物线y ＝4x 2－1上的点的集合，观察图像可知，抛物线与圆有3个交点，因此A ∩B 中含有3个元素．答案：310．已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是________．解析：集合A ＝{x |4≤2x ≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]11．对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M ，且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝________.解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)12．(2019·淮南市一模)若A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，则a 的取值范围是________．解析：∵A ＝{x |ax 2－ax ＋1≤0，x ∈R }＝∅，∴a ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0Δa2－4a <0，解得0≤a ＜4.∴a 的取值范围是[0,4)．答案：[0,4)．[能力提升组]13．集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]14．设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B [当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．]15．若集合A ＝{x |(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R }有且仅有两个子集，则实数a 的值为________．解析：由题意知，方程(a －1)x 2＋3x －2＝0，x ∈R ，有一个根，∴当a ＝1时满足题意，当a ≠1时，Δ＝0，即9＋8(a －1)＝0，解得a ＝－18.答案：1或－1816．(2019·西城区一模)某班共有学生40名，在乒乓球、篮球、排球三项运动中每人至少会其中的一项，有些人会其中的两项，没有人三项均会．若该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球，则该班会其中两项运动的学生人数是________．解析：设同时会打乒乓球和篮球的学生有x 人， 同时会打乒乓球和排球的学生有y 人， 同时会打排球和篮球的学生有z 人，∵该班18人不会打乒乓球，24人不会打篮球，16人不会打排球， ∴该班会打乒乓球或篮球的学生有24人， 会打乒乓球或排球的学生有16人， 会打篮球或打排球有22人， ∴x ＋y ＋z ＝24＋16＋22－40＝22. ∴该班会其中两项运动的学生人数是22. 答案：22第2节 命题、充分条件与必要条件学生用书 课时冲关二[基础训练组]1．命题“若a 2＋b 2＝0，a ，b ∈R ，则a ＝b ＝0”的逆否命题是( ) A ．若a ≠b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2＝0 B ．若a ＝b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 C ．若a ≠0且b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0 D ．若a ≠0或b ≠0，a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≠0解析：D [写逆否命题只要交换命题的条件与结论，并分别否定条件与结论即可．] 2．(2019·晋城市一模)设a ∈R ，则“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [因为函数y ＝log a (x －1)在定义域(1，＋∞)上为增函数，所以a ＞1， 因此“a ＞3”是“函数y ＝log a (x －1)在定义域上为增函数”的充分不必要条件．] 3．(2019·天津市模拟)“m ＝1”是“圆C 1：x 2＋y 2＋3x ＋4y ＋m ＝0与圆C 2“x 2＋y 2＝4的相交弦长为23”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [由题意知圆C 1与圆C 2的公共弦所在的直线是3x ＋4y ＋m ＋4＝0，故(0,0)到3x ＋4y ＋m ＋4＝0的距离d ＝|m ＋4|5＝4－3＝1，即|m ＋4|＝5，解得m ＝1或m ＝－9.故m ＝1是m ＝1或m ＝－9的充分不必要条件，故选A.] 4．(2019·大庆市模拟)已知条件p ：|x －4|≤6，条件q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(－∞，9]C ．[1,9]D ．[9，＋∞)解析：D [由|x －4|≤6，解得－2≤x ≤10，即p ：－2≤x ≤10；又q ：x ≤1＋m ，若p 是q 的充分不必要条件，则1＋m ≥10，解得m ≥9.故选D.] 5．(2019·洛阳市一模)若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B ．(－∞，2]C ．(－∞，1]D ．[2，＋∞)解析：C [由x 2－3x ＋2＜0得1＜x ＜2， 若x ＞m 是x 2－3x ＋2＜0的必要不充分条件， 则m ≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]．]6．(2019·南昌市模拟)a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [因为a sin θ＋b cos θ＝a 2＋b 2sin (θ＋φ)≤a 2＋b 2，所以由a 2＋b 2＝1可推得a sin θ＋b cos θ≤1恒成立．反之，取a ＝2，b ＝0，θ＝30°，满足a sin θ＋b cos θ≤1，但不满足a 2＋b 2＝1，即由a sin θ＋b cos θ≤1推不出a 2＋b 2＝1，故a 2＋b 2＝1是a sin θ＋b cos θ≤1恒成立的充分不必要条件．故选A.]7．(2019·新余市模拟)“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m－33在区间[1，＋∞)无零点”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 解析：A [因为函数f (x )＝3x ＋m－33在区间[1，＋∞)上单调递增且无零点，所以f (1)＝31＋m －33＞0，即m ＋1＞32，解得m ＞12，故“m ＞1”是“函数f (x )＝3x ＋m－33在区间[1，＋∞)无零点的充分不必要条件，故选A.]8．(2019·焦作市质检)设等比数列{a n }的公比为q ，前n 项和为S n .给出命题s ：若|q |＝2，则S 6＝7S 2，则在命题s 的逆命题、否命题、逆否命题中，错误命题的个数是( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：B [若|q |＝2，则q 2＝2，S 6＝a 11－q 61－q＝a 11－q 21＋q 2＋q 41－q＝7·a 11－q 21－q ＝7S 2，所以原命题为真，从而逆否命题为真；而当S 6＝7S 2时，显然q ≠1，这时a 11－q 61－q ＝7·a 11－q 21－q，解得q ＝－1或|q |＝2，因此，逆命题为假，否命题为假，故错误命题的个数为2.]9．(2019·西宁市模拟)《左传·僖公十四年》有记载：“皮之不存，毛将焉附？”这句话的意思是说皮都没有了，毛往哪里依附呢？比喻事物失去了借以生存的基础，就不能存在．皮之不存，毛将焉附？则“有毛”是“有皮”的_______条件(将正确的序号填入空格处)．①充分条件 ②必要条件 ③充要条件 ④既不充分也不必要条件解析：由题意知“无皮”⇒“无毛”，所以“有毛”⇒“有皮”即“有毛”是“有皮”的充分条件．答案：①10．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，则“a ≤b ”是“sin A ≤sinB ”的__________条件．解析：由正弦定理，得a sin A ＝bsin B ，故a ≤b ⇔sin A ≤sin B.答案：充要11．(2019·曲靖市一模)若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_________．解析：由x 2－5x ＋6≥0得x ≥3或x ≤2，若“x ＞a ”是“x 2－5x ＋6≥0”成立的充分不必要条件，则a ≥3，即实数a 的取值范围是[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)12．(2019·日照模拟)已知条件p ：2x 2－3x ＋1≤0，条件q ：x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0.若非p 是非q 的必要不充分条件，则实数a 的取值范围是________．解析：由2x 2－3x ＋1≤0，得12≤x ≤1，∴命题p 为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |12≤x ≤1.由x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，得a ≤x ≤a ＋1， ∴命题q 为{x |a ≤x ≤a ＋1}．非p 对应的集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＞1或x ＜12，非q 对应的集合B ＝{x |x ＞a ＋1或x ＜a }． ∵非p 是非q 的必要不充分条件，∴a ＋1≥1且a ≤12，∴0≤a ≤12，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12 [能力提升组]13．(2019·合肥市模拟)祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”．它是中国古代一个涉及几何体体积的问题，意思是两个同高的几何体，如果在等高处的截面积恒相等，那么体积相等．设A ，B 为两个同高的几何体，p ：A ，B 的体积不相等，q ：A ，B 在等高处的截面积不恒相等，根据祖暅原理可知，p 是q 的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：A [设命题a ：“若p ，则q ”，可知命题a 是祖暅原理的逆否命题，则a 是真命题．故p 是q 的充分条件．设命题b ：“若q ，则p ”，若A 比B 在某些等高处的截面积小一些，在另一些等高处的截面积大一些，且大的总量与小的总量相抵，则它们的体积还是一样的．所以命题b 是假命题，即p 不是q 的必要条件．综上所述，p 是q 的充分不必要条件．故选A.]14．(2019·保定市模拟)已知条件p ：4x －1≤－1，条件q ：x 2＋x ＜a 2－a ，且非q 的一个充分不必要条件是非p ，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－2，－12 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2C ．[－1,2] D.⎝ ⎛⎦⎥⎤2，12∪[2，＋∞) 解析：C [由4x －1≤－1，移项得4x －1＋1≤0，通分得x ＋3x －1≤0，解得－3≤x ＜1； 由x 2＋x ＜a 2－a ，得x 2＋x －a 2＋a ＜0.由非q 的一个充分不必要条件是非p ，可知非p 是非q 的充分不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，即条件q 对应的x 取值集合是条件p 对应的x 取值集合的真子集．设f (x )＝x 2＋x －a 2＋a ，如图，则⎩⎪⎨⎪⎧f 3a 2＋a ＋6≥0，f 1a 2＋a ＋2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2＜a ＜3－1≤a ≤2∴－1≤a ≤2，故选C.]15．给出下列命题：①“数列{a n }为等比数列”是“数列{a n a n ＋1}为等比数列”的充分不必要条件； ②“a ＝2”是“函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上为增函数”的充要条件； ③“m ＝3”是“直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直”的充要条件； ④设a ，b ，c 分别是△ABC 三个内角A ，B ，C 所对的边，若a ＝1，b ＝3，则“A ＝30°”是“B ＝60°”的必要不充分条件．其中真命题的序号是________．解析：对于①，当数列{a n }为等比数列时，易知数列{a n a n ＋1}是等比数列，但当数列{a n a n＋1}为等比数列时，数列{a n }未必是等比数列，如数列1,3,2,6,4,12,8显然不是等比数列，而相应的数列3,6,12,24,48,96是等比数列，因此①正确；对于②，当a ≤2时，函数f (x )＝|x －a |在区间[2，＋∞)上是增函数，因此②不正确；对于③，当m ＝3时，相应的两条直线互相垂直，反之，这两条直线垂直时，不一定有m ＝3，也可能m ＝0.因此③不正确；对于④，由题意得b a ＝sin B sin A ＝3，若B ＝60°，则sin A ＝12，注意到b >a ，故A ＝30°，反之，当A ＝30°时，有sin B ＝32，由于b >a ，所以B ＝60°或B ＝120°，因此④正确．综上所述，真命题的序号是①④.答案：①④16．设命题p ：2x －1x －1<0，命题q ∶x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．解析：2x －1x －1<0⇒(2x －1)(x －1)<0⇒12<x <1，x 2－(2a ＋1)x ＋a (a ＋1)≤0⇒a ≤x ≤a ＋1.由题意，得⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1⊆[a ，a ＋1]．故⎩⎪⎨⎪⎧a ≤12，a ＋1≥1，解得0≤a ≤12.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12第3节量词与逻辑联结词学生用书课时冲关三[基础训练组]1．(2019·安阳市模拟)已知命题p：存在x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，则非p为( ) A．存在x0∈[0，＋∞)，2x0<3x0B．存在x0∈(－∞，0)，2x0≥3x0C．任意x0∈[0，＋∞)，2x＜3xD．任意x∈(－∞，0)，2x≥3x解析：D [由特称命题的否定为全称命题，可得命题p：存在x0∈(－∞，0)，2x0<3x0，则非p为：任意x∈(－∞，0)，2x≥3x，故选D.]2．(2019·济南市一模)若命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则( ) A．命题p与命题q都是真命题B．命题p与命题q都是假命题C．命题p是真命题，命题q是假命题D．命题p是假命题，命题q是真命题解析：D [命题“p或q”与命题“非p”都是真命题，则p是假命题，q是真命题，故选D.]3．(2019·濮阳市一模)已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面．命题p：若α∩β＝m，m⊥n，则n⊥α；命题q：若m∥α，m⊂β，α∩β＝n，则m∥n.那么下列命题中的真命题是( )A．p且q B．p或非qC．非p且q D．非p且非q解析：C [直线垂直于平面内的一条直线，不能确定该直线与平面垂直，命题p是假命题；命题q满足直线与平面平行的性质定理，命题q是真命题；所以非p是真命题，可得非p且q是真命题．故选C.]4．已知命题p：若a＝0.30.3，b＝1.20.3，c＝log1.20.3，则a＜c＜b；命题q：“x2－x －6＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，则下列命题正确的是( )A．p且q B．p且(非q)C．(非p)且q D．(非p)且(非q)解析：C [因为0＜a＝0.30.3＜0.30＝1，b＝1.20.3＞1.20＝1，c＝log1.20.3＜log1.21＝0，所以c＜a＜b，故命题p为假命题，非p为真命题；由x2－x－6＞0可得x＜－2或x＞3，故“x2－x－6＞0”是“x＞4”的必要不充分条件，q为真命题，故(非p)且q为真命题，选C.]5．(2019·沈阳市模拟)命题p ：“任意x ∈N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”的否定为( )A ．任意x ∈N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞12B ．任意x ∉N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＞12C ．存在x 0∉N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＞12D ．存在x 0∈N ＋，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＞12 解析：D [命题p 的否定是把“任意”改成“存在”，再把“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ≤12”改为“⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 0＞12”即可，故选D.]6．短道速滑队组织6名队员(含赛前系列赛积分最靠前的甲乙丙三名队员在内)进行冬奥会选拔赛，记“甲得第一名”为p ，“乙得第二名”为q ，“丙得第三名”为r ，若p 或q 是真命题，p 且q 是假命题，(非q )且r 是真命题，则选拔赛的结果为( )A ．甲得第一名、乙得第二名、丙得第三名B ．甲得第二名、乙得第一名、丙得第三名C ．甲得第一名、乙得第三名、丙得第二名D ．甲得第一名、乙没得第二名、丙得第三名解析：D [(非q )且r 是真命题意味着非q 为真，q 为假(乙没得第二名)且r 为真(丙得第三名)；p 或q 是真命题，由于q 为假，只能p 为真(甲得第一名)，这与p 且q 是假命题相吻合；由于还有其他三名队员参赛，只能肯定其他队员得第二名，乙没得第二名，故选D.]7．(2019·玉溪市模拟)有四个关于三角函数的命题：p 1：存在x ∈R ，sin x ＋cos x ＝2； p 2：存在x ∈R ，sin 2x ＝sin x ；p 3：任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2，1＋cos 2x2＝cos x ； p 4：任意x ∈(0，π)，sin x ＞cos x .其中真命题是( ) A ．p 1，p 4 B ．p 2，p 3 C ．p 3，p 4D ．p 2，p 4解析：B [因为sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4，所以sin x ＋cos x 的最大值为2，可得不存在x ∈R ，使sin x ＋cos x ＝2成立，得命题p 1是假命题；因为存在x ＝k π(k ∈Z )，使sin 2x ＝sin x 成立，故命题p 2是真命题； 因为1＋cos 2x 2＝cos 2x ，所以1＋cos 2x 2＝|cos x |，结合x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2得cos x≥0由此可得1＋cos 2x2＝cos x ，得命题p 3是真命题； 因为当x ＝π4时，sin x ＝cos x ＝22，不满足sin x ＞cos x ，所以任意x ∈(0，π)，使sin x ＞cos x 不成立，故命题p 4是假命题．故选B.] 8．(2019·瓦房店市一模)下列说法错误的是( )A ．命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0” B ．“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件C ．命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则非p ：“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0” D ．若p 且q 为假命题，则p 、q 均为假命题解析：D [命题“若x 2－4x ＋3＝0，则x ＝3”的逆否命题是“若x ≠3，则x 2－4x ＋3≠0”，故A 正确；由x ＞1，可得|x |＞1＞0，反之，由|x |＞0，不一定有x ＞1，如x ＝－1， ∴“x ＞1”是“|x |＞0”的充分不必要条件，故B 正确；命题p ：“存在x ∈R ，使得x 2＋x ＋1＜0”，则非p ：“任意x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，故C 正确；若p 且q 为假命题，则p 、q 中至少有一个为假命题，故D 错误．] 9．(2019·银川市模拟)命题“存在x 0∈R,2x 0＞3”的否定是________．解析：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x 0∈R,2x 0＞3”的否定是：“任意x ∈R,2x≤3”．答案：任意x ∈R,2x≤310．若命题“任意x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，则k 的取值范围是________． 解析：命题“任意x ∈R ，kx 2－kx －1＜0”是真命题，当k ＝0时，则有－1＜0；当k ≠0时，则有k ＜0且Δ＝(－k )2－4×k ×(－1)＝k 2＋4k ＜0，解得－4＜k ＜0，综上所述，实数k 的取值范围是(－4,0]．答案：(－4,0]11．(2019·西宁市一模)命题“存在x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1＜0”为假命题，则实数m 的取值范围为________．解析：命题“存在x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1＜0”为假命题， 可得任意x ∈R ，x 2－(m －1)x ＋1≥0恒成立， 即有Δ＝(m －1)2－4≤0，解得－1≤m ≤3，则实数m 的取值范围为[－1,3]． 答案：[－1,3]12．若命题p ：关于x 的不等式ax ＋b >0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x >－b a ，命题q ：关于x 的不等式(x －a )(x －b )<0的解集是{x |a <x <b }，则在命题“p 且q ”、“p 或q ”、“非p ”、“ 非q ”中，是真命题的有________．解析：依题意可知命题p 和q 都是假命题，所以“p 且q ”为假、“p 或q ”为假、“非p ”为真、“非q ”为真．答案：非p ，非q[能力提升组]13．已知命题p 1：存在x 0∈R ，使得x 20＋x 0＋1<0成立；p 2：对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0.以下命题为真命题的是( )A ．(非p 1)且(非p 2)B ．p 1或(非p 2)C ．(非p 1)且p 2D ．p 1且p 2解析：C [∵方程x 20＋x 0＋1＝0的判别式Δ＝12－4＝－3<0，∴x 20＋x 0＋1<0无解，故命题p 1为假命题，非p 1为真命题；由x 2－1≥0，得x ≥1或x ≤－1.∴对任意x ∈[1,2]，x 2－1≥0，故命题p 2为真命题， 非p 2为假命题．∵非p 1为真命题，p 2为真命题， ∴(非p 1)且p 2为真命题，选C.]14．已知命题p ：任意x ∈R,2x＋12x ＞2，命题q ：存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝12，则下列命题中为真命题的是( ) A ．非p 且非q B ．非p 且q C ．p 且非qD ．p 且q解析：A [命题p ：任意x ∈R,2x＋12x ＞2，当x ＝0时，命题不成立．所以命题p 是假命题，则非p 是真命题；命题q ：任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4∈[1，2]，所以存在x 0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，使sin x 0＋cos x 0＝12，不正确，则非q 是真命题．所以非p 且非q .故选A.]15．若“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tanx ＋1”为真命题，则实数m 的最大值为________．解析：由“任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，m ≤tan x ＋1”为真命题，可得－1≤tan x ≤1，∴0≤tan x ＋1≤2，∴实数m 的最大值为0.答案：016．(2019·洛阳市一模)已知p ：任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，2x ＜m (x 2＋1)，q ：函数f (x )＝4x＋2x ＋1＋m －1存在零点，若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是________．解析：已知p ：任意x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12，2x ＜m (x 2＋1)，故m ＞2x x 2＋1.令g (x )＝2x x 2＋1，则g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，12递增，所以g (x )≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝45， 故p 为真时：m ＞45；q ：函数f (x )＝4x ＋2x ＋1＋m －1＝(2x ＋1)2＋m －2，令f (x )＝0，得2x＝2－m －1. 若f (x )存在零点，则2x＝2－m －1>0， 解得m ＜1， 故q 为真时，m ＜1.若“p 且q ”为真命题，则实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫45，1第二章 函数、导数及其应用 第1节 函数的概念及其表示 学生用书 课时冲关四[基础训练组]1．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )解析：B [可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案．] 2．(2016·全国Ⅱ卷)下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是( )A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x解析：D [函数y ＝10lg x的定义域和值域均为(0，＋∞)；函数y ＝x 的定义域和值域均为R ，不满足要求；函数y ＝lg x 的定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足要求；函数y ＝2x 的定义域为R ，值域为(0，＋∞)，不满足要求；函数y ＝1x的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求．故选D.]3．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( )A ．(x ＋1)2(x ≠1) B ．(x －1)2(x ≠1) C ．x 2－x ＋1(x ≠1)D ．x 2＋x ＋1(x ≠1) 解析：C [f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝x ＋12x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x＝t ，得f (t )＝t 2－t ＋1(t ≠1)，即f (x )＝x 2－x ＋1(x ≠1)．故选C.]4．(2015·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1－2，x ≤1－log 2x ＋1x >1，且f (a )＝－3，则f (6－a )＝( )A ．－74B ．－54C ．－34D ．－14解析：A [当a ≤1时，2a －1－2＝－3，无解；当a >1时，－log 2(a ＋1)＝－3，得a ＝7， 所以f (6－a )＝f (－1)＝2－2－2＝－74，故选A.]5．(2019·孝义市模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋4x－3，x >1，( )A ．[1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[0,1)∪(1，＋∞)解析：B [由f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ≤1x ＋4x－3，x >1，知当x ≤1时，x 2≥0； 当x ＞1时，x ＋4x－3≥2x ·4x －3＝4－3＝1，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时取“＝”． 取并集得f (x )的值域是[0，＋∞)．]6．图中的图像所表示的函数的解析式f (x )＝________.解析：由图像知每段为线段．设f (x )＝ax ＋b ，把(0,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32和⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，(2,0)分别代入求解，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝32，b ＝0，⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－32，b ＝3.答案：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧32x ，0≤x ≤13－32x ，1＜x ≤27．若函数y ＝f (x )的值域是[1,3]，则函数F (x )＝1－2f (x ＋3)的值域是________． 解析：∵1≤f (x )≤3，∴－6≤－2f (x ＋3)≤－2， ∴－5≤1－2f (x ＋3)≤－1，即F (x )的值域为[－5，－1]．答案： [－5，－1]8．(2019·东莞市模拟)已知函数f (x )＝ax －b (a ＞0)，f (f (x ))＝4x －3，则f (2)＝__________.解析：∵f (x )＝ax －b ，∴f (f (x ))＝f (ax －b )＝a (ax －b )－b ＝a 2x －ab －b ＝4x －3.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝4ab ＋b ＝3，且a ＞0，∴a ＝2，b ＝1.∴f (x )＝2x －1，∴f (2)＝2×2－1＝3. 答案：39．二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1. (1)求f (x )的解析式； (2)解不等式f (x )＞2x ＋5.解：(1)设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． ∵f (0)＝1，∴c ＝1.把f (x )的表达式代入f (x ＋1)－f (x )＝2x ，有a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋1－(ax 2＋bx ＋1)＝2x .∴2ax ＋a ＋b ＝2x . ∴a ＝1，b ＝－1. ∴f (x )＝x 2－x ＋1.(2)由x 2－x ＋1＞2x ＋5，即x 2－3x －4＞0， 解得x ＞4或x ＜－1.故原不等式解集为{x |x ＞4，或x ＜－1}． 10．已知函数f (x )＝x ·|x |－2x . (1)求函数f (x )＝0时x 的值；(2)画出y ＝f (x )的图像，并结合图像写出f (x )＝m 有三个不同实根时，实数m 的取值范围．解：(1)由f (x )＝0可解得x ＝0，x ＝±2，所以函数f (x )＝0时，x 的值为－2,0,2. (2)f (x )＝x |x |－2x ，即f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，－x 2－2x ，x <0.图像如图，由图像可得实数m ∈(－1,1)．[能力提升组]11．(2019·遂宁市模拟)设函数f (x )＝x －1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 的定义域为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4 B ．[2,4]C ．[1，＋∞)D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤14，2 解析：B [∵函数f (x )＝x －1的定义域为[1，＋∞)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x2≥14x ≥1，解得2≤x ≤4.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 的定义域为：[2,4]．]12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ＋2，－1≤x ≤0，x 2－2x ，0<x ≤1，若f (2m －1)<12，则m 的取值范围是( )A ．m >12B ．m <12C ．0≤m <12D.12<m ≤1 解析：D [由题得⎩⎪⎨⎪⎧ －1≤2m －1≤0，12m ＋1<12，或⎩⎪⎨⎪⎧0<2m －1≤1，2m －12－22m －1<12，解得12<m ≤1，故选D.]13．若函数f (x )＝x 2＋2ax －a 的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 解析：由题意知x 2＋2ax －a ≥0恒成立．∴x 2＋2ax －a ≥0恒成立， ∴Δ＝4a 2＋4a ≤0，∴－1≤a ≤0. 答案：[－1,0]14．行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2200＋mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．(1)求出y 关于x 的函数表达式；(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解：(1)由题意及函数图像，得⎩⎪⎨⎪⎧402200＋40m ＋n ＝8.4，602200＋60m ＋n ＝18.6，解得m ＝1100，n ＝0，所以y ＝x 2200＋x100(x ≥0)．(2)令x 2200＋x100≤25.2，得－72≤x ≤70.∵x ≥0， ∴0≤x ≤70.故行驶的最大速度是70千米/时．第2节 函数的单调性与最值 学生用书 课时冲关五[基础训练组]2．已知函数f (x )＝2ax 2＋4(a －3)x ＋5在区间(－∞，3)上是减函数，则a 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34 解析：D [当a ＝0时，f (x )＝－12x ＋5，在(－∞，3)上是减函数；当a ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧a >0－4a －34a ≥3，得0<a ≤34.综上，a 的取值范围是0≤a ≤34.]3．(2019·聊城市模拟)函数y ＝ln (x 2－4x ＋3)的单调减区间为( ) A ．(2，＋∞) B ．(3，＋∞) C ．(－∞，2)D ．(－∞，1)解析：D [令t ＝x 2－4x ＋3＞0，求得x ＜1，或x ＞3， 故函数的定义域为{x |x ＜1，或x ＞3}，且y ＝ln t .由二次函数的性质得，t 在区间(－∞，1)上为减函数，在区间(3，＋∞)为增函数， 又y ＝ln t 在t ∈(0，＋∞)上为增函数，根据复合函数单调性的判断方法，知函数y ＝ln (x 2－4x ＋3)的单调减区间为(－∞，1)．]4．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3a －1x ＋4a ，x <1，log a x ，x ≥1是(－∞，＋∞)上的减函数，那么a 的取值范围是( ) A ．(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，13 D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫17，1 解析：C [由题意知⎩⎪⎨⎪⎧3a －1<0，0<a <1，3a －11＋4a ≥log a 1，即⎩⎪⎨⎪⎧a <13，0<a <1，a ≥17，所以17≤a <13.故选C.]5．已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋a 在区间(－∞，1)上有最小值，则函数g (x )＝f xx在区间(1，＋∞)上一定( )A ．有最小值B ．有最大值C ．是减函数D ．是增函数解析：D [由题意知a <1，∴g (x )＝f x x ＝x ＋ax－2a ，当a <0时，显然g (x )在区间(1，＋∞)上单调递增，当a >0时，g (x )在[a ，＋∞)上是增函数，故在(1，＋∞)上为增函数，∴g (x )在(1，＋∞)上一定是增函数．]6．(2019·日照市模拟)已知奇函数f (x )为R 上的减函数，若f (3a 2)＋f (2a －1)≥0，则实数a 的取值范围是________.解析：∵奇函数f (x )为R 上的减函数， ∴不等式f (3a 2)＋f (2a －1)≥0， 等价为f (3a 2)≥－f (2a －1)＝f (1－2a )，即3a 2≤1－2a ，即3a 2＋2a －1≤0，得(a ＋1)(3a －1)≤0，得－1≤a ≤13，即实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，13. 答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，137．设函数f (x )＝ax ＋1x ＋2a在区间(－2，＋∞)上是增函数，那么a 的取值范围是________． 解析：f (x )＝ax ＋2a 2－2a 2＋1x ＋2a ＝a －2a 2－1x ＋2a，定义域为(－∞，－2a )∪(－2a ，＋∞)， ∵函数f (x )在区间(－2，＋∞)上是增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0－2a ≤－2即⎩⎪⎨⎪⎧2a 2－1＞0a ≥1，解得a ≥1.答案：[1，＋∞)8．(2019·沈阳市一模)已知函数f (x )＝|log 3x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f (m )＝f (n )，若f (x )在[m 2，n ]的最大值为2，则nm＝________.解析：∵f (x )＝|log 3x |，正实数m ，n 满足m ＜n ，且f (m )＝f (n )，∴－log 3m ＝log 3n ，∴mn ＝1.∵f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，函数f (x )在[m 2,1)上是减函数，在(1，n ]上是增函数，∴－log 3m 2＝2，或log 3n ＝2.若－log 3m 2＝2是最大值，得m ＝13，则n ＝3，此时log 3n ＝1，满足题意条件．此时n m ＝3÷13＝9. 同理：若log 3n ＝2是最大值，得n ＝9，则m ＝19，此时－log 3m 2＝4，不满足题意条件． 综合可得 m ＝13，n ＝3，nm ＝9.答案：9 9．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )，(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2) 且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：任取x 1<x 2<－2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2x 1－x 2x 1＋2x 2＋2.∵(x 1＋2)(x 2＋2)>0，x 1－x 2<0， ∴f (x 1)<f (x 2)．∴f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任设1<x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a＝a x 2－x 1x 1－a x 2－a.∵a >0，x 2－x 1>0，∴要使f (x 1)－f (x 2)>0，只需(x 1－a )(x 2－a )>0恒成立，∴a ≤1. 综上所述知a 的取值范围是(0,1]．10．(2019·西安市模拟)已知定义在R 上的函数f (x )满足： ①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数． (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0得f (0)＝－1. 在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1.又f (x 1)＝f ((x 1－x 2)＋x 2)＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以，函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)，又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3，解得x <－2或x >1， 故原不等式的解集为{x |x <－2，或x >1}．[能力提升组]11．(2019·天津市一模)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上对于任意两个不相等的实数x 1，x 2恒有f x 1f x 2x 1－x 2<0成立，若实数a 满足f (log 6a )≥f (－1)，则a 的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤16，6 B.⎣⎢⎡⎭⎪⎫16，＋∞ C ．(0,6]D ．(－∞，6]解析：A [根据题意，函数f (x )在区间[0，＋∞)上有f x 1f x 2x 1－x 2<0成立，则函数f (x )在区间[0，＋∞)上是减函数，又函数f (x )为偶函数，则f (log 6a )≥f (－1)等价于f (|log 6a |)≥f (1)， 即|log 6a |≤1，解得－1≤log 6a ≤1，所以16≤a ≤6.]12．设函数y ＝f (x )在(－∞，＋∞)内有定义．对于给定的正数k ，定义函数f k (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f x f x k ，k ，f x >k ，取函数f (x )＝2－|x |.当k ＝12时，函数f k (x )的单调递增区间为( )A ．(－∞，0)B ．(0，＋∞)C ．(－∞，－1)D ．(1，＋∞)解析：C [由f (x )>12，得－1<x <1.由f (x )≤12，得x ≤－1或x ≥1.所以f 12(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≥1，12，－1<x <1，2x，x ≤－1.故f 12(x )的单调递增区间为(－∞，－1)．]13．对于任意实数a ，b ，定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b .设函数f (x )＝－x ＋3，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝min{f (x )，g (x )}的最大值是________．解析：依题意，h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，0<x ≤2，－x ＋3，x >2.当0<x ≤2时，h (x )＝log 2x 是增函数，当x >2时，h (x )＝3－x 是减函数，∴h (x )在x ＝2时，取得最大值h (2)＝1.答案：114．已知f (x )是定义在[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若a ，b ∈[－1,1]，a ＋b ≠0时，有f af ba ＋b>0成立．(1)判断f (x )在[－1,1]上的单调性，并证明它；(2)解不等式：f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －1；(3)若f (x )≤m 2－2am ＋1对所有的a ∈[－1,1]恒成立，求实数m 的取值范围． 解：(1)任取x 1，x 2∈[－1,1]，且x 1<x 2， 则－x 2∈[－1,1]，∵f (x )为奇函数，∴f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2) ＝f x 1＋f x 2x 1x 2·(x 1－x 2)，由已知得f x 1f x 2x 1x 2>0，x 1－x 2<0，∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )在[－1,1]上单调递增． (2)∵f (x )在[－1,1]上单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋12＜1x －1，－1≤x ＋12≤1，－1≤1x －1≤1.∴－32≤x <－1.所以，不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－32≤x <－1.(3)∵f (1)＝1，f (x )在[－1,1]上单调递增． ∴在[－1,1]上，f (x )≤1. 问题转化为m 2－2am ＋1≥1，即m 2－2am ≥0，对a ∈[－1,1]恒成立． 设g (a )＝－2m ·a ＋m 2≥0.①若m ＝0，则g (a )＝0≥0，对a ∈[－1,1]恒成立．②若m ≠0，则g (a )为a 的一次函数，若g (a )≥0，对a ∈[－1,1]恒成立，必须有g (－1)≥0且g (1)≥0，∴m ≤－2或m ≥2.∴m 的取值范围是m ＝0或m ≥2或m ≤－2.第3节 函数的奇偶性与周期性学生用书 课时冲关六[基础训练组]1．(2019·呼和浩特市一模)下列函数中，既是偶函数又在(－∞，0)上单调递减的函数是( )A ．y ＝－x 3B ．y ＝2|x |C ．y ＝x －2D ．y ＝log 3(－x )解析：B [选项A ，函数是奇函数，不满足条件；选项B ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝2|x |＝2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 是减函数，满足条件；选项C ，函数是偶函数，当x ＜0时，y ＝x －2＝1x 2是增函数，不满足条件；选项D ，函数的定义域为(－∞，0)，不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足条件．故选B.]2．(2019·赣州市一模)已知偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，若f (x －1)＞0，则x 的取值范围是( )A ．(3，＋∞)B ．(－∞，－3)C ．(－∞，－1)∪(3，＋∞)D ．(－1,3)解析：D [由偶函数f (x )在[0，＋∞)单调递减，f (2)＝0，得f (x )＝f (|x |)，因为f (x －1)＞0，则f (|x －1|)＞f (2)，即|x －1|＜2，解得－1＜x ＜3，即x 的取值范围是(－1,3)．故选D.]3．(2019·保定市一模)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0－1，x <0，设g (x )＝f xx 2，则g (x )是( ) A ．奇函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增 B ．奇函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减 C ．偶函数，在(－∞，0)上递增，在(0，＋∞)上递增 D ．偶函数，在(－∞，0)上递减，在(0，＋∞)上递减解析：B [根据题意，g (x )＝f xx 2＝⎩⎪⎨⎪⎧1x 2，x >0，－1x 2，x <0，其定义域关于原点对称．设x ＞0，则－x ＜0，g (－x )＝－1x2＝－1x2＝－g (x )；设x ＜0，则－x ＞0，g (－x )＝1x2＝1x 2＝－g (x )，故g (x )为奇函数．又g (x )＝1x2＝x－2在区间(0，＋∞)上递减，则g (x )在(－∞，0)上也递减．故选B.]4．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)解析：A [∵f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x1－x<1，解得－1<x <0，故选A.]5．(2019·安庆市模拟)定义在R 上的奇函数f (x )满足：f (x ＋1)＝f (x －1)，且当－1＜x ＜0时，f (x )＝2x－1，则f (log 220)等于( )A.14 B ．－14C ．－15D.15解析：D [∵f (x ＋1)＝f (x －1)，∴函数f (x )是周期为2的周期函数， 又∵log 232＞log 220＞log 216，∴4＜log 220＜5， ∴f (log 220)＝f (log 220－4)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 254 ＝－f ⎝⎛⎭⎪⎫－log 254.又∵x ∈(－1,0)时，f (x )＝2x－1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 254＝－15，f (log 220)＝15.故选D.]6．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，且f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则f (1)，g (0)，g (－1)之间的大小关系是________．解析：在f (x )－g (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 中，用－x 替换x ，得f (－x )－g (－x )＝2x，由于f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，所以f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，因此得－f (x )－g (x )＝2x.于是解得f (x )＝2－x－2x 2，g (x )＝－2－x ＋2x2，于是f (1)＝－34，g (0)＝－1，g (－1)＝－54，故f (1)>g (0)>g (－1)．答案：f (1)>g (0)>g (－1)7．(2019·惠州市模拟)已知函数f (x )＝2x －2－x，则不等式f (2x ＋1)＋f (1)≥0的解集是________．解析：根据题意，有f (－x )＝2－x－2x ＝－(2x －2－x)＝－f (x )，则函数f (x )为奇函数， 又函数f (x )在R 上为增函数，f (2x ＋1)＋f (1)≥0等价于f (2x ＋1)≥－f (1)，即f (2x ＋1)≥f (－1)，所以2x ＋1≥－1，解得x ≥－1，即不等式的解集为[－1，＋∞)． 答案：[－1，＋∞)8．(2019·泰安市模拟)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，f (x ＋2)＝－f (x )且f (x )在[－1,0]上是增函数，给出下列几个命题：①f (x )是周期函数；②f (x )的图像关于x ＝1对称；③f (x )在[1,2]上是减函数；④f (2)＝f (0)，其中正确命题的序号是________(请把正确命题的序号全部写出来)．解析：f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )对任意x ，y ∈R 恒成立．令x ＝y ＝0， 所以f (0)＝0.令x ＋y ＝0，所以y ＝－x ，所以f (0)＝f (x )＋f (－x )． 所以f (－x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为f (x )在x ∈[－1,0]上为增函数，又f (x )为奇函数，所以f (x )在[0,1]上为增函数． 由f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (x ＋4)＝－f (x ＋2)⇒f (x ＋4)＝f (x )，所以周期T ＝4，即f (x )为周期函数．f (x ＋2)＝－f (x )⇒f (－x ＋2)＝－f (－x )．又因为f (x )为奇函数，所以f (2－x )＝f (x )，所以函数关于x ＝1对称． 由f (x )在[0,1]上为增函数，又关于x ＝1对称，所以f (x )在[1,2]上为减函数． 由f (x ＋2)＝－f (x )，令x ＝0得f (2)＝－f (0)＝f (0)． 答案： ①②③④9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x ＞0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x ＜0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解：(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ， 所以m ＝2.(2)由(1)知f (x )在[－1,1]上是增函数，要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增． 结合f (x )的图像知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图像关于直线x ＝1对称． (1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式． 解：(1)证明：由函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称， 有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)． 又函数f (x )是定义在R 上的奇函数， 故有f (－x )＝－f (x )．故f (x ＋2)＝－f (x )． 即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]，f (x )＝－f (－x )＝－x .故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，函数f (x )＝－－x －4.[能力提升组]11．函数f (x )满足f (x )·f (x ＋2)＝13，若f (1)＝2，则f (99)等于( ) A ．13 B ．2 C.213D.132解析：D [∵f (x )·f (x ＋2)＝13，∴f (x ＋2)＝13f x，则f (x ＋4)＝13fx ＋2＝1313f x＝f (x )，故函数f (x )的周期为4， ∴f (99)＝f (3)＝13f 1＝132.] 12．(2019·佛山市一模)已知f (x )＝2x＋a2x 为奇函数，g (x )＝bx －log 2(4x＋1)为偶函数，则f (ab )＝( )A.174 B.52 C ．－154D ．－32解析：D [根据题意，f (x )＝2x＋a2x 为奇函数，则有f (－x )＋f (x )＝0，即(2－x＋a2－x )＋⎝⎛⎭⎪⎫2x＋a 2x ＝0，解得a ＝－1.因为g (x )＝bx －log 2(4x＋1)为偶函数，则g (x )＝g (－x )， 即bx －log 2(4x ＋1)＝b (－x )－log 2(4－x＋1)， 解得b ＝1，则ab ＝－1，f (ab )＝f (－1)＝2－1－12－1＝－32.] 13．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)时，那么t 的取值范围是________．解析：因为函数f (x )是偶函数，所以f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (－ln t )＝f (ln t )＝f (|ln t |)．则有f (ln t )＋f ⎝⎛⎭⎪⎫ln 1t <2f (1)，即2f (ln t )<2f (1)，等价于f (|ln t |)<f (1)，因为函数f (x )在区间[0，＋∞)上是单调增函数，所以|lnt |<1，解得1e<t <e.答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，e 14．设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图像与x 轴所围成图形的面积； (3)写出(－∞，＋∞)内函数f (x )的单调区间． 解：(1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )， 得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，。

大题冲关集训(五)1.已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:+=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S是椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x=分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求线段MN的长度的最小值.解:(1)如图,由题意得椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),即a=2,b=1.故椭圆C的方程为+y2=1.(2)直线AS的斜率显然存在且不为0,设直线AS的方程为y=k(x+2)(k>0),解得M(,),且将直线方程代入椭圆C的方程,得(1+4k2)x2+16k2x+16k2-4=0.设S(x1,y1),由根与系数的关系得(-2)·x1=.由此得x1=,y1=,即S(,).又B(2,0),则直线BS的方程为y=-(x-2),联立直线BS与l的方程解得N(,-).∴MN=+=+≥2=.当且仅当=,即k=时等号成立,故当k=时,线段MN的长度的最小值为.2.椭圆的中心是原点O,它的短轴长为2,A(,0),F(c,0)(c>0OF|=2|FA|,过点A的直线与椭圆相交于P、Q两点.(1)求椭圆的方程及离心率;(2)若·=0,求直线PQ的方程;(3)设=λ(λ>1),过点P且平行于x=的直线与椭圆相交于另一点M,证明=-λ.(1)解:由题意,可设椭圆的方程为+=1(a>).由已知得解得a=,c=2.所以椭圆的方程为+=1,离心率e=.(2)解:由(1)可得A(3,0).设直线PQ的方程为y=k(x-3).由方程组得(3k2+1)x2-18k2x+27k2-6=0,依题意Δ=12(2-3k2)>0,得-<k<.设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1+x2=,①x1x2=.②由直线PQ的方程得y1=k(x1-3),y2=k(x2-3).于是y1y2=k2(x1-3)(x2-3)=k2[x1x2-3(x1+x2)+9].③∵·=0,∴x1x2+y1y2=0.④由①②③④得5k2=1,从而k=±∈(-,).所以直线PQ的方程为x-y-3=0或x+y-3=0.(3)证明:=(x1-3,y1),=(x2-3,y2).由已知得方程组由题意知λ>1,解得x2=.因F(2,0),M(x1,-y1),故=(x1-2,-y1)=(λ(x2-3)+1,-y1)=(,-y1)=-λ(,y2). 而=(x2-2,y2)=(,y2),所以=-λ.3.已知椭圆C1,抛物线C2的焦点均在y轴上,C1的中心和C2的顶点均为原点O,从每条曲线上取两个点,将其坐标记录于表中:-2(1)求C1,C2的标准方程;(2)设斜率不为0的动直线l与C1有且只有一个公共点P,且与C2的准线相交于点Q,试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设C1,C2的标准方程分别为+=1(a>b>0),x2=py,∵(0,-2)不符合x2=py方程,∴必为椭圆上点,代入得a=2.即椭圆方程为+=1,若(4,1)在椭圆上,则有+=1,b2=>a2(不合题意).即(4,1)在抛物线上,∴p=16,抛物线方程为x2=16y,验证得(-1,)在抛物线上,(,-2)不在抛物线上,∴(,-2)在椭圆上,∴b2=4.故C1,C2的标准方程分别为+=1,x2=16y.(2)存在.设直线l的方程为x=my+n,将其代入+=1,消去x并化简整理得(1+2m2)y2+4mny+2n2-8=0,∵l与C1相切,∴Δ=16m2n2-4(1+2m2)(2n2-8)=0,∴n2=4(1+2m2),设切点P(x0,y0),则y0=-=-,x0=my0+n==.又直线l与C2的准线y=-4的交点Q(n-4m,-4),∴以PQ为直径的圆的方程为(x-)(x-n+4m)+(y+)(y+4)=0,化简并整理得x2-x+(4m-n)x+(y+2)+(y+2)2=0,当x=0,y=-2等式恒成立,即存在定点M(0,-2)符合题意.4.在平面直角坐标系中,点P(x,y)为动点,已知点A(,0),B(-,0),直线PA和PB的斜率之积为-.(1)求动点P的轨迹E的方程;(2)过点F(1,0)的直线l交曲线E于M,N两点,设点N关于x轴的对称点为Q(M、Q不重合),求证:直线MQ过x轴上一定点.(1)解:由题意知:·=-.化简得+y2=1(y≠0).(2)证明:设M(x1,y1),N(x2,y2),Q(x2,-y2),l:x=my+1,代入+y2=1(y≠0)整理得(m2+2)y2+2my-1=0.y1+y2=,y1y2=,MQ的方程为y-y1=(x-x1),令y=0,得x=x1+=my1+1+=+1=2.∴直线MQ过定点(2,0).5.(2014高考湖北卷)在平面直角坐标系xOy中,点M到点F(1,0)的距离比它到y轴的距离多1.记点M的轨迹为C.(1)求轨迹C的方程;(2)设斜率为k的直线l过定点P(-2,1),求直线l与轨迹C恰好有一个公共点、两个公共点、三个公共点时k的相应取值范围.解:(1)设点M(x,y),依题意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1.化简整理得y2=2(|x|+x).故点M的轨迹C的方程为y2=(2)在点M的轨迹C中,记C1:y2=4x,C2:y=0(x<0).依题意,可设直线l的方程为y-1=k(x+2).由方程组可得ky2-4y+4(2k+1)=0.(*)①当k=0时,此时y=1.把y=1代入轨迹C的方程,得x=.故此时直线l:y=1与轨迹C恰好有一个公共点(,1).②当k≠0时,方程(*)根的判别式为Δ=-16(2k2+k-1).(**)设直线l与x轴的交点为(x0,0),则由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.(***)(ⅰ)若由(**)(***)解得k<-1或k>.即当k∈(-∞,-1)∪(,+∞)时,直线l与C1没有公共点,与C2有一个公共点. 故此时直线l与轨迹C恰好有一个公共点.(ⅱ)若或由(**)(***)解得k∈(-1,),或-≤k<0.即当k∈{-1,}时,直线l与C1只有一个公共点,与C2有一个公共点.当k∈[-,0)时,直线l与C1有两个公共点,与C2没有公共点.故当k∈[-,0)∪{-1,}时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点.(ⅲ)若由(**)(***)解得-1<k<-或0<k<.即当k∈(-1,-)∪(0,)时,直线l与C1有两个公共点,与C2有一个公共点, 故此时直线l与轨迹C恰好有三个公共点.综合①②可知,当k∈(-∞,-1)∪(,+∞)∪{0}时,直线l与轨迹C恰好有一个公共点;当k ∈[-,0)∪{-1,}时,直线l与轨迹C恰好有两个公共点;当k∈(-1,-)∪(0,)时,直线l与轨迹C恰好有三个公共点.6.设椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点M到直线+=1的距离d=,O为坐标原点.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C相交于A,B两点,若以AB为直径的圆经过坐标原点,证明:点O到直线AB的距离为定值;(3)在(2)的条件下,试求△AOB的面积S的最小值.(1)解:由e=,得c=a,又b2=a2-c2,所以b=a,即a=2b.由左顶点M(-a,0)到直线+=1,即bx+ay-ab=0的距离d=,得=,即=,把a=2b代入上式,得=,解得b=1.所以a=2b=2,c=.所以椭圆C的方程为+y2=1.(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),①当直线AB的斜率不存在时,由椭圆的对称性,可知x1=x2,y1=-y2. 因为以AB为直径的圆经过坐标原点,故·=0,即x1x2+y1y2=0,也就是-=0,又点A在椭圆C上,所以+=1,解得|x1|=|y1|=.此时点O到直线AB的距离d1=|x1|=.②当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx+m,与椭圆方程联立有消去y,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0,所以x1+x2=-,x1x2=.因为以AB为直径的圆过坐标原点O,所以OA⊥OB.所以·=x1x2+y1y2=0.所以(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0.所以(1+k2)·-+m2=0.整理得5m2=4(k2+1),所以点O到直线AB的距离d2==.综上所述,点O到直线AB的距离为定值.(3)解:设直线OA的斜率为k0.当k0≠0时,则OA的方程为y=k0x,OB的方程为y=-x,联立得同理可求得故△AOB的面积为S=·|x1|·|x2|=2.令1+=t(t>1),则S=2=2,令g(t)=-++4=-9(-)2+(t>1),所以4<g(t)≤.所以≤S<1.当k0=0时,可求得S=1,故≤S≤1,故S的最小值为.7.(2014山师附中模拟)已知三点O(0,0),A(-2,1),B(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足|+|=·(+)+2.(1)求曲线C的方程;(2)动点Q(x0,y0)(-2<x0<2)在曲线C上,曲线C在点Q处的切线为l.问:是否存在定点P(0,t)(t<0),使得l与PA,PB都相交,交点分别为D,E,且△QAB与△PDE的面积之比是常数?若存在,求t的值.若不存在,说明理由.解:(1)依题意可得=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),|+|=,·(+)=(x,y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化简得曲线C的方程:x2=4y.(2)假设存在点P(0,t)(t<0)满足条件,则直线PA的方程是y=x+t,直线PB的方程是y=x+t,曲线C在点Q处的切线l的方程为y=x-,它与y轴的交点为F(0,-),由于-2<x0<2,因此-1<<1.①当-1<t<0时,-1<<-,存在x0∈(-2,2),使得=,即l与直线PA平行,故当-1<t<0时,不符合题意.②当t≤-1时,≤-1<,≥1>,所以l与直线PA,PB一定相交,分别联立方程组解得D,E的横坐标分别是x D=,x E=.则x E-x D=,又|FP|=--t,有S△PDE=|FP|×|x E-x D|=×,又S△QAB=×4×(1-)=.于是=×=×对任意x0∈(-2,2),要使△QAB与△PDE的面积之比是常数,只需t满足解得t=-1,此时△QAB与△PDE的面积之比为2,故存在t=-1,使△QAB与△PDE的面积之比是常数2.。

课时提升作业(三十三)一元二次不等式及其解法一、选择题(每小题5分,共35分)1.不等式(x-1)(2-x)≥0的解集为( )A.{x|1≤x≤2}B.{x|x≤1或x≥2}C.{x|1<x<2}D.{x|x<1或x>2}【解析】选A.因为(x-1)(2-x)≥0,所以(x-2)(x-1)≤0,所以结合二次函数的性质可得1≤x≤2.故选A.2.(2015·某某模拟)使不等式2x2-5x-3≥0成立的一个充分不必要条件是( )A.x≥0B.x<0或x>2C.x∈{-1,3,5}D.x≤-或x≥3【解析】选C.不等式2x2-5x-3≥0的解集是.由题意,选项中x的X围应该是上述解集的真子集,只有C满足.3.(2015·潍坊模拟)函数f(x)=的定义域是( )A.(-∞,1)∪(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,2)∪(2,+∞)D.(1,2)∪(2,3)【解析】选D.由题意知即故函数f(x)的定义域为(1,2)∪(2,3).【加固训练】不等式≤0的解集为( )A.B.C.∪[1,+∞)D.∪[1,+∞)【解析】选A.≤0等价于不等式组①或②解①得-<x≤1,解②得x∈∅,所以原不等式的解集为.4.(2015·某某模拟)已知一元二次不等式f(x)<0的解集为,则f(10x)>0的解集为( )A.{x|x<-1或x>lg2}B.{x|-1<x<lg2}C.{x|x>-lg2}D.{x|x<-lg2}【解析】选C.由题意,得10x<-1,或10x>,10x<-1无解;由10x>,得x>lg,即x>-lg2.5.(2015·某某模拟)若x=1满足不等式ax2+2x+1<0,则实数a的取值X围是( )A.(-∞,-3)B.(-3,+∞)C.(1,+∞)D.(-∞,1)【解析】选A.因为x=1满足不等式ax2+2x+1<0,所以a+2+1<0,所以a<-3.故选A.6.关于x的不等式x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立的充分不必要条件是( )A.a<0或a>4B.0<a<2C.0<a<4D.0<a<8【解析】选B.本题考查一元二次不等式的解法及充分必要条件的判断.由x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立可知,Δ=a2-4a<0,所以0<a<4.当0<a<2时,Δ=a2-4a<0,x2-ax+a>0(a∈R)在R上恒成立;反之不成立.故其充分不必要条件为0<a<2.7.已知函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=f(-x)的图象为( )【解析】选B.因为函数f(x)=ax2-x-c,且不等式ax2-x-c>0的解集为{x|-2<x<1},所以a<0,方程ax2-x-c=0的两个根为-2和1,-2+1=,-2×1=-,所以a=-1,c=-2,所以f(x)=ax2-x-c=-x2-x+2,所以f(-x)=-x2+x+2,其图象开口向下,与x轴交点为(-1,0),(2,0),故选B.二、填空题(每小题5分,共15分)8.已知函数f(x)=若f(f(1))>3a2,则a的取值X围是.【解析】f(1)=21+1=3,所以f(f(1))=f(3)=9+6a.由f(f(1))>3a2得9+6a>3a2,即a2-2a-3<0,解得-1<a<3.答案:(-1,3)【误区警示】此题是分段函数,代入求值时容易出现因不同的取值而出现错误,应注意分段函数分段求值,不能代错.9.(2015·模拟)已知p:x≥k,q:<1,若p是q的充分不必要条件,则实数k的取值X围是.【解题提示】先解出分式不等式的解集,再利用p是q的充分不必要条件,可得结果.【解析】<1⇔>0⇔x∈(-∞,-1)∪(2,+∞),k∈(2,+∞).答案:k∈(2,+∞)10.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值X围是.【解析】当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立⇒m<-=-在x∈(1,2)上恒成立,设φ(x)=-,φ(x)=-∈(-5,-4),故m≤-5.所以m的取值X围为(-∞,-5].答案:(-∞,-5]【一题多解】本题还有以下解法设f(x)=x2+mx+4,因为当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,又因为f(0)=4,f(x)开口向上,所以若f(x)<0在(1,2)恒成立,则:解得m≤-5.所以m的取值X围为(-∞,-5].答案:(-∞,-5](20分钟40分)1.(5分)关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0的解集中,恰有3个整数,则a的取值X围是( )A.(4,5)B.(-3,-2)∪(4,5)C.(4,5]D.[-3,-2)∪(4,5]【解析】选D.原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,当a>1时得1<x<a,此时解集中的整数为2,3,4,则4<a≤5,当a<1时得a<x<1,此时解集中的整数为-2,-1,0.则-3≤a<-2,故a∈[-3,-2)∪(4,5].【加固训练】(2015·某某模拟)若不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},则a+b的值为( )A.3B.1【解析】选A.因为不等式(x-a)(x-b)<0的解集为{x|1<x<2},所以1和2为方程(x-a)(x-b)=0的两个根,则有或所以a+b=1+2=3,即a+b的值为3.2.(5分)已知函数f(x)=ax2+bx+c,不等式f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1},则函数y=f(-x)的图象可以为( )【解析】选 B.由f(x)<0的解集为{x|x<-3或x>1}知a<0,y=f(x)的图象与x轴交点为(-3,0),(1,0),所以f(-x)图象开口向下,与x轴交点为(3,0),(-1,0).3.(5分)(2015·某某模拟)已知a为正的常数,若不等式≥1+-对一切非负实数x 恒成立,则a的最大值为.【解析】原不等式即≥1+-(*),令=t,t≥1,则x=t2-1,所以(*)即≥1+-t==对t≥1恒成立,所以≥对t≥1恒成立,又a为正的常数,所以a≤[2(t+1)2]min=8,故a的最大值是8.答案:8【加固训练】(2014·某某模拟)若关于x的不等式4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,则实数a的取值X围为.【解析】因为4x-2x+1-a≥0在[1,2]上恒成立,所以4x-2x+1≥a在[1,2]上恒成立.令y=4x-2x+1=(2x)2-2×2x+1-1=(2x-1)2-1.因为1≤x≤2,所以2≤2x≤4.由二次函数的性质可知:当2x=2,即x=1时,y有最小值0,所以a的取值X围为(-∞,0].答案:(-∞,0]4.(12分)已知函数f(x)=ax2+(b-8)x-a-ab,当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0.当x∈(-3,2)时,f(x)>0.(1)求f(x)在[0,1]内的值域.(2)若ax2+bx+c≤0的解集为R,某某数c的取值X围.【解题提示】(1)由题意得-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,故有且a<0,解得a和b,然后再根据函数单调性解出函数在[0,1]内的值域即可.(2)在已知a和b的情况下,不等式ax2+bx+c≤0的解集为R,列式,可解出实数c的取值X围.【解析】(1)因为当x∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0,当x∈(-3,2)时,f(x)>0,所以-3,2是方程ax2+(b-8)x-a-ab=0的两根,所以可得所以a=-3,b=5,所以f(x)=-3x2-3x+18=-3+18.75,函数图象关于x=-0.5对称,且抛物线开口向下,所以在区间[0,1]上f(x)为减函数,所以函数的最大值为f(0)=18,最小值为f(1)=12,故f(x)在[0,1]内的值域为[12,18].(2)由(1)知,不等式ax2+bx+c≤0化为-3x2+5x+c≤0,因为二次函数y=-3x2+5x+c的图象开口向下,要使-3x2+5x+c≤0的解集为R,只需即25+12c≤0⇒c≤-,所以实数c的取值X围为.【加固训练】1.已知不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b}.(1)求a,b的值.(2)解不等式ax2-(ac+b)x+bc<0.【解析】(1)因为不等式ax2-3x+6>4的解集为{x|x<1或x>b},所以x1=1与x2=b是方程ax2-3x+2=0的两个实数根,b>1且a>0.由根与系数的关系,得解得(2)不等式ax2-(ac+b)x+bc<0,即x2-(2+c)x+2c<0,即(x-2)(x-c)<0.当c>2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式(x-2)(x-c)<0的解集为∅.所以,当c>2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|2<x<c};当c<2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为{x|c<x<2};当c=2时,不等式ax2-(ac+b)x+bc<0的解集为∅.2.已知f(x)=-3x2+a(6-a)x+b.(1)解关于a的不等式f(1)>0.(2)若不等式f(x)>0的解集为(-1,3),某某数a,b的值.【解析】(1)因为f(1)>0,所以-3+a(6-a)+b>0,即a2-6a+3-b<0.Δ=(-6)2-4(3-b)=24+4b.①当Δ≤0,即b≤-6时,原不等式的解集为∅.②当Δ>0,即b>-6时,方程a2-6a+3-b=0有两根a1=3-,a2=3+,所以不等式的解集为(3-,3+).综上所述:当b≤-6时,原不等式的解集为∅;当b>-6时,原不等式的解集为(3-,3+).(2)由f(x)>0,得-3x2+a(6-a)x+b>0,即3x2-a(6-a)x-b<0.因为它的解集为(-1,3),所以-1与3是方程3x2-a(6-a)x-b=0的两根.所以解得或5.(13分)某商品每件成本价为80元,售价为100元,每天售出100件.若售价降低x成(1成=10%),售出商品数量就增加x成.要求售价不能低于成本价.(1)设该商店一天的营业额为y,试求y与x之间的函数关系式y=f(x),并写出定义域.(2)若要求该商品一天营业额至少为10260元,求x的取值X围.【解析】(1)由题意得y=100·100.因为售价不能低于成本价,所以100-80≥0.所以y=f(x)=20(10-x)(50+8x),定义域为[0,2].(2)由题意得20(10-x)(50+8x)≥10260,化简得8x2-30x+13≤0.解得≤x≤.所以x的取值X围是.。