广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练(6)

广州市第一一三中学2008届高三数学基础达标训练（9）班级： 姓名： 计分：1． 设全集为 R ，A =1{|0}x x<，则R C A =（ ）. A. 1{|0}x x > B. ｛x | x ＞0｝ C. ｛x | x 0≥｝ D. 1{|0}x x≥ 2． 2(1)i i ⋅-等于（ ）.A. 2-2iB. 2+2iC. -2D. 23． 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（ ）.A. （a , 0）B. (-a , 0)C. （0, a ）D. （0, - a ）4．若函数32()22f x x x x =+--的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程的一个近似根（精确到0.1）为（ ）. A. 1.2 B. 1.3 C. 1.4 D. 1.55．已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题：① 若//,m n n α⊂，则m ∥α； ② 若,,m n m n αα⊥⊥⊄，则//n α； ③ 若,,m n αβαβ⊥⊥⊥，则m n ⊥；④ 若m n 、是异面直线，,,//m n m αββ⊂⊂，则//n α. 其中正确的命题有（ ）.A. ①②B. ②③C. ③④D. ②④6． 若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k的判断条件是（ ）.A. 8k ≤B. 7k ≤C. 8k ≥D. 7k ≥7． 如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x (0x a ≤≤)，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为y (图中阴影部分)，则函数()y f x =的图象大致是（ ）.8． ABC ∆的内角A 、B 、C的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则cos B =（ ）.A.14B. 34C. D. 9．（文）已知函数2(4),()(1)(4)x x f xf x x ⎧<=⎨-≥⎩，那么(5)f 的值为（ ）.第7题图俯视图A. 32B. 16C. 8D. 64（理）函数2()276f x x x =-+-与()g x x =-的图象所围成封闭图形的面积为（ ）. A. 43 B. 83C. 53D. 10310．已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b+=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2为正三角形，则该椭圆的离心率e 为（ ）.A. 12B. C. 13D.11. 如果实数,a b R +∈,且a b >,那么b 1()2a b + 由大到小的顺序是 .12．（文）用一根长为12m 的铝合金条做成一个“目”字形窗户的框架(不计损耗)，要使这个窗户通过的阳光最充足，则框架的长与宽应为 .（理）61()x x-的展开式中的常数项是 （用数字作答）.13．已知点(1,0)A ，P 是曲线2cos 1cos2x y θθ=⎧⎨=+⎩()R θ∈上任一点，设P 到直线l ：12y =-的距离为d ，则||PA d +的最小值是 .14．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是 . 15. 已知，圆C ：228120x y y +-+=，直线l ：20ax y a ++=. （1）当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；（2）当直线l 与圆C 相交于A、B 两点，且AB =时，求直线l 的方程.16．（天津卷）已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的2个红球和4个黑球.现在从甲、乙两个盒内各任取2个球.(I)求取出的4个球均为黑色球的概率； (II)求取出的4个球中恰有1个红球的概率；(III)设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望.17.如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为正方形，侧棱SD ⊥底面ABCD E F ，，分别为AB SC ，的中点．（1）证明EF ∥平面SAD ；（2）设2SD DC =，求二面角A EF D --的大小的余弦．18.已知函数x x x f ln 21)(2+=A E BC F S D（1）求函数)(x f 在区间[1，e ]上的最大值、最小值；（2）求证：在区间（1，∞+）上，函数)(x f 图象在函数332)(x x g =图象的下方； （3）（理科）设函数)()(x f x h '=，求证：2)]([+n x h ≥n n x h 2)(+．达标训练（9）参考答案1～5 CDACB 6～10 AABC(B)D11. b1()2a b + 12. 3m 与1.5m （20-）13.14. . 15. 解：将圆C 的方程228120x y y +-+=配方得标准方程为22(4)4x y +-=，则此圆的圆心为（0 , 4），半径为2.（1）若直线l 与圆C2=. 解得34a =-. （2）解法一：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得22222,12CD CD DA AC DA AB ⎧=⎪⎪⎪+==⎨⎪⎪=⎪⎩解得7,1a =--. （解法二：联立方程2220,8120ax y a x y y ++=⎧⎨+-+=⎩并消去y ，得 22222(1)4(2)4(43)0a x a x a a ++++++=.设此方程的两根分别为1x 、2x，则用AB ==a .） ∴直线l 的方程是7140x y -+=和20x y -+=.16.解：(I)设“从甲盒内取出的2个球均黑球”为事件A ，“从乙盒内取出的2个球为黑球”为事件B.由于事件A ，B 相互独立，且2234224612(),()25C C P A P B C C ====.故取出的4个球均为黑球的概率为121()()()255P A B P A P B ==⨯= . (II)解：设“从甲盒内取出的2个球均为黑球；从乙盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球”为事件C ，“从甲盒内取出的2个球中，1个是红球，1个是黑球；从乙盒内取出的2个球均为黑球”为事件D.由于事件C ，D 互斥，且211123324422224646.41().,().155C C C C C P C P D C C C C ====.故取出的4个球中恰有1个红球的概率为417()()()15515P C D P C P D +=+=+=. (III)解：ξ可能的取值为0,1,2,3.由(I)，(II)得17(0),(1),515P P ξξ====又13224611(3).,30C P C C ξ=== 从而3(2)1(0)(1)(3)10P P P P ξξξξ==-=-=-==.ξ的分布列为ξ的数学期望17317012351510306E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.17.解法一：（1）作FG DC ∥交SD 于点G ，则G 为SD 的中点．连结12AG FG CD∥，，又CD AB∥， 故FG AE AEFG∥，为平行四边形． EF AG ∥，又AG ⊂平面SAD EF ⊄，平面SAD ． 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设2DC =，则42SD DG ADG ==，，△为等腰直角三角形． 取AG 中点H ，连结DH ，则DH AG ⊥．又AB ⊥平面SAD ，所以AB DH ⊥，而AB AG A = ，所以DH ⊥面AEF ．取EF 中点M ，连结MH ，则HM EF ⊥． 连结DM ，则DM EF ⊥．故DMH ∠为二面角A EF D --的平面角tan 1DH DMH HM ∠===所以二面角A EF D --的大小为的余弦为33． 解法二：（1）如图，建立空间直角坐标系D xyz -．设(00)(00)A a S b ，，，，，，则(0)(0B a aC ，，，，00222a a b E a F ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，， 02b EF a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．取SD 的中点002b G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，，则02b AG a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，，．EF AG EF AG AG =⊂，∥，平面SAD EF ⊄，平面SAD ， 所以EF ∥平面SAD ．（2）不妨设(100)A ，，，则11(110)(010)(002)100122B C S E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，，，，，．AEBCFSD H G MEF 中点111111(101)0222222M MD EF MD EF MD EF ⎛⎫⎛⎫=---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，，，，，，，，，⊥又1002EA ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，，，0EA EF EA EF =，⊥，所以向量MD 和EA的夹角等于二面角A EF D --的平面角．cos 3MD EA MD EA MD EA<>==，． 所以二面角A EF D --的大小的余弦为33． 18. （1）x x x f 1)(+='=xx 12+，当∈x [1，e ]时，0)(>'x f ，则)(x f 在区间[1，e ]上是增函数∴ 当1=x 时，)(x f 有最小值21；当e x =时，)(x f 有最大值122+e （2）设)(x F =3232ln 21x x x -+，则xx x x x x x x F )21)(1(21)(22++-=-+='∵ 1>x ， 0)(<'x F ∴ )(x F 在区间（1，∞+）上是减函数又∵ 061)1(<-=F ∴ 3232ln 21x x x -+0<，即3232ln 21x x x <+，),1(∞+∈x∴在区间（1，∞+）上，函数)(x f 图象在函数332)(x x g =图象的下方（3）当1=n 时，左边=21++x x ，右边=21++xx ，不等式成立；当2=n 时，)1()1()()]([n n n n n x x x x x h x h +-+=-=)]1()1()1([21221442221-------++++++n n n n n n n n n n x xC x x C x xC 由已知，0>x∴ )()]([nn x h x h -≥22121-=+++-n n n n n C C C∴ 2)]([+n x h ≥n n x h 2)(+．。

广州市育才中学2010届高三三模数学试题理 科 数 学一、 选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题只有一项是符合题目要求的．1．若方程22150,50x px x x q -+=-+=的解集分别为,M N ，且{}3M N = ，则:p q 的值为（ ）A ．13 B ．23 C ．1 D ．432． “0a =”是“复数a bi +(,)a b R ∈是纯虚数”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．不充分不必要条件3．已知数列{a n }中，a 1=67，a n +1=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<-≤≤121122102n n n n a a a a ，则a2010等于( )A ．37 B ． 47 C ． 57 D ． 674．设10.23121log 3,(),23a b c ===，则（ ）A ． c b a <<B ． a b c <<C ． b a c <<D ． c a b <<5．如图，一个正三棱柱的左（侧）方形，则它的外接球的表面积等于( )A ．8πB ．253π C ．9π D ．283π 6．函数2()2cos 2f x x x =（x ∈R ）的最小正周期和最大值分别为( ) k*s+5-u A ． 2π 3 B ．2π 1 C ．π 3 D ．π 17．已知点P 是以F 1 、F 2为左、右焦点的双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>左支上一点，且满足120PF PF ⋅= ，212tan 3PF F ∠=，则此双曲线的离心率为( )AB ．2C ．D8．定义在R 上的函数()y f x =，满足(3)()f x f x -=，3()'()02x f x -<，若x 1<x 2，且x 1+x 2>3，则有( )A ． 12()()f x f x <B ． 12()()f x f x >C ． 12()()f x f x =D ．不确定二、 填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． 9． 根据《中华人民共和国道路交通安全法》规定：车辆驾驶员血液酒精浓度在20-80 mg/100ml （不含80）之间，属于酒后驾车，处暂扣一个月以上三个月以下驾驶证，并处200元以上500元以下罚款；血液酒精浓度在80mg/100ml （含80）以上时，属醉酒驾车，处十五日以下拘留和暂扣三个月以上六个月以下驾驶证，并处500元以上2000元以下罚款．据《法制晚报》报道，2009年8月15日至8 月28日，全国查处酒后驾车和醉酒驾车共28800人，如图是对这28800人酒后驾车血 液中酒精含量进行检测所得结果的频率分布直方图，则属于醉酒驾车的人数约为 ．10． 执行右边的框图，则输出的s 是 k*．s+5-u 11．二项式101(1)2x-的展开式的中间项系数为 ． 12．五对夫妻排成一列，则每一位丈夫总是排在他妻子的后面（可以不相邻）的概率为 ． 13．与圆C:222210x y x y +--+=相切的直线与x 轴、y 轴的正半轴交于A 、B且2OA >，2OB >，则三角形AOB 面积的最小值为 ．选做题（考生只能两题中选作一题）14．(坐标系与参数方程选做题) 极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=AE1B 1A 1CA 相交于点,AB ，则AB ＝ ；15．（几何证明选讲选做题）如图所示，圆O 的直径AB ＝6，C 为圆周上一点，BC ＝3，过C 作圆的切线l ，则点A 到直线l 的距离AD 为 ．三、 解答题：本大题共6个小题．共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知(sin cos ),(cos sin ,2sin )m x x x n x x x ωωωωωω=+=-，且0ω>，设()f x m n =⋅ ，()f x 的图象相邻两对称轴之间的距离等于2π．（Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）在△ABC 中，a b c 、、分别为角A B C 、、的对边，4b c +=，1f A =（），求△ABC 面积的最大值．17．（本小题满分12分）甲、乙、丙三台机床各自独立的加工同一种零件，已知甲、乙、丙三台机床加工的零件是一等品的概率分别为0．7、0．6、0．8，乙、丙两台机床加工的零件数相等，甲机床加工的零件数是乙机床加工的零件数的二倍．（1）从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，求至少有一件一等品的概率；（2）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，求它是一等品的概率； （3）将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取4件检验，其中一等品的个数记为X ，求EX ． 18．（本小题满分14分） k*s+5-u 如图，在三棱柱111ABC A B C -中，AB ⊥侧面11BB C C 已知11,2,BC BB ==13BCC π∠=（1）求证：1C B ABC ⊥平面；（2）试在棱1CC （不包含端点1,)C C 上确定一点E 的位置,使得1EA EB ⊥；（3）在（Ⅱ）的条件下,若AB =11A EB A --的平面角的正切值．19．（本小题满分14分）已知函数ln(1)()x f x x+=． （1）确定()y f x = 在（0，+∞） 上的单调性；（2）设3()()h x x f x x ax =⋅--在（0，2）上有极值，求a 的取值范围． 20．（本小题满分14分） 高+考*资．源-网如图，已知抛物线C 的顶点在原点, 焦点为F (0, 1)． (Ⅰ) 求抛物线C 的方程;(Ⅱ) 在抛物线C 上是否存在点P , 使得过点P 的直线交C 于另一点Q , 满足PF ⊥QF , 且PQ 与 C 在点P 处的切线垂直? 若存在, 求出点P 的 坐标; 若不存在, 请说明理由．21．（本小题满分14分）设数列{}n a ,{}n b 满足：a 1=4，a 2=52 ,12n n n a b a ++=, 12n nn n na b b a b +=+．（1）用n a 表示1n a + ；并证明：n N +∀∈, a n >2 ;（2）证明：2ln 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列；（3）设S n 是数列{}n a 的前n 项和，当n ≥2时，S n 与42()3n + 是否有确定的大小关系？若有，加以证明；若没有，请说明理由． k*s+5-u广州市育才中学2010届高三三模数学试题答案理 科 数 学一、1．D 2．A 3．A 4．A 5．B 6．C 7．D 8．B 二、9． 4320 10． 1320 11．638-12．132 13．3+14．在平面直角坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=分别表示圆()2224x y ++=和直线1x =，易知AB＝15． C 为圆周上一点，AB 是直径，所以AC ⊥BC ，而BC ＝3，AB ＝6，得∠BAC ＝30°,进而得∠B ＝60°，所以∠DCA ＝60°，又∠ADC ＝90°，得∠DAC ＝30°，09sin sin 602AD AC DCA ∴=⋅∠==．三、16．解：（Ⅰ）22()cos sin cos cos22f x x x x x x x ωωωωωω=-+= =2sin(2)6x πω+ …………………4分依题意：22ππω=，∴1()2sin(2)6f x x πω=∴=+，．…………………6分 （Ⅱ）∵1f A =（），∴1sin(2)62A π+=，又132666A πππ<+<，∴52,66A ππ+=3A π=． …………………8分4b c += 21sin ()22ABC b c S bc A ∆+∴==≤=10分当且仅当2b c ==等号成立，所以ABC S ∆2分 17．解:（1） 设从甲、乙、丙三台机床加工的零件中任取一件是一等品为事件A,B,C ，则 P （A ）=0．7, P （B ）=0．6, P （C ）=0．8从甲、乙、丙加工的零件中各取一件检验，至少有一件一等品的概率为1P =1-P(A)P(B)P(C)=1-0．3×0．4×0．2=0．976 4分（2） 将三台机床加工的零件混合到一起，从中任意的抽取一件检验，它是一等品的概率为 P 2=20.70.60.80.74⨯++= 8分（3） P （X=4）=04C ×0．74=0．2401， P （X=3）=14C ×0．3×0．73=0．4116P （X=2）=24C ×0．32×0．72=0．2646, P （X=1）=34C ×0．33×0．7=0．0756 P （X=0）=44C ×0．34=0．0081因为X~B （4，0．7），所以EX=4×0．7=2．8 12分 18． 证（1）因为AB ⊥侧面11BB C C ，故1AB BC ⊥ 在1BC C 中，1111,2,3BC CC BB BCC π===∠=由余弦定理有1111BC 故有222111BC BC CC C B BC += ∴⊥而BC AB B = 且,AB BC ⊂平面ABC∴1C B ABC ⊥平面……………… 4分（2）由11,,,,EA EB AB EB AB AE A AB AE ABE ⊥⊥=⊂ 平面从而1B E A B E ⊥平面 且BE ABE ⊂平面 故1BE B E ⊥ 不妨设 C E x =，则12C E x=-， 则221BE x x =+- 又1123B C C π∠= 则22157B E x x =-+在1Rt BEB 中有 225714x x x x -++-+= 从而12x x ==或（舍去） 故E 为1CC 的中点时，1EA EB ⊥……………… 8分（3）取1EB 的中点D ，1A E 的中点F ，1BB 的中点N ，1AB 的中点M连DF 则11//DF A B ，连DN 则//DN BE ，连MN 则11//MN A B 连MF 则//MF BE ， 且MNDF 为矩形，//MD AE 又1111,A BEB BE EB ⊥⊥ 故MDF ∠为所求二面角的平面角 12分 在Rt DFM ∆中，1112DF A BBCE ==∆ 为正三角形）111222MF BE CE ===1tan MDF ∴∠14分 解法2：利用平行关系，二面角11A EB A --即可认为是BAE ∠．19．解：（1）由已知函数求导得2ln(1)1'()xx x f x x-++= 2分 设()ln(1)1x g x x x =-++，则2211'()0(1)1(1)x g x x x x -=-=<+++ 4分∴g (x )在(0,+∞)上递减，()(0)0g x g <= ,∴'()0f x < ,因此()f x 在（0，+∞）上单调递减 6分 （2）由3()()h x f x x ax =--可得， 221(331)'()1311x ax ax h x ax x x -++=--=++ 8分若a ≥0,任给x ∈（0，+∞），1101x -<+，230ax -<，∴'()h x ＜0， ∴()h x 在（0，2）上单调递减，则()f x 在（0，2）无极值 10分 若a <0，3()()h x x f x x ax =⋅--）在（0，2）上有极值的充要条件是2()331x ax ax ϕ=++ 在（0，2）上有零点 12分k*s+5-u∴(0)(2)0ϕϕ⋅<，解得118a <-综上，a 的取值范围是（-∞，118-） 14分 20． (Ⅰ) 解: 设抛物线C 的方程是x 2 = ay ,则14=a, 即a = 4．故所求抛物线C 的方程为x 2 =4y ． 5分(Ⅱ) 解: 设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2), 则抛物线C 在点P 处的切线方程是：112y x x y -=, 直线PQ 的方程是：1122y x x y ++-=． 将上式代入抛物线C 的方程, 得：0)2(48112=+-+y x x x ,故 x 1+x 2 =18x -, x 1x 2 =－8－4y 1 ,所以 x 2=18x -－x 1 , y 2=14y +y 1+4 ．而＝(x 1, y 1－1), ＝(x 2 , y 2－1) ,⋅FQ ＝x 1 x 2＋(y 1－1) (y 2－1)＝x 1 x 2＋y 1 y 2－(y 1＋y 2)＋1＝－4(2+y 1)+ y 1(14y +y 1+4)－(14y +2y 1+4)+1＝21y －2y 1 －14y －7＝(21y ＋2y 1＋1)－4(11y +y 1+2)＝(y 1＋1)2－121)1(4y y +＝1211)1)(4(y y y +-＝0,故 y 1＝4, 此时, 点P 的坐标是(±4,4) ． 经检验, 符合题意．所以, 满足条件的点P 存在, 其坐标为P (±4,4)． 14分21．（1）由已知得a 1=4，a 2=52,所以11b = 故11114n n n n a b a b a b ++==== ; 由已知：0n a >，12a >，22a >，4n n b a =∴122n n na a a +=+,由均值不等式得12n a +> 4分故 n N +∀∈ ，2n a > 5分（2）2112222n n n n a a a a ++⎛⎫++= ⎪--⎝⎭，21(2)22n n n a a a +++=,21(2)22n n na a a +--=高+考*资．源-网所以1122ln 2ln 22n n n n a a a a ++++=--，所以2ln 2n n a a ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭是等比数列 8分（3）由（2）可知1122ln(ln 3)2ln 32n n n n a a --+=⨯=-∴11223131n n n a --+=- 当n ≥2时，()11221221031n n n n a a a -+--=≤-- 10分 ∴()3212210a a -<- , ()4312210a a -<- ,…，()112210n n a a --<- 相加得：[]121112(2)2(2)10n n S a a n S a n -----<--- 12分∵14a =,252a = , ∴106520(2)42(2)n n n S n S a n ---<----∴()1122253125182229993931n n n S n n n --+<+-<+-=+- 高+考*资．源-网 故n ≥2时，423n S n ⎛⎫<+⎪⎝⎭14分 解二：1111222231242212313131n n n n n a ----+⎛⎫=⨯=+=+ ⎪---⎝⎭设()()12212224414333n n n n n C C ----==<，（n ≥2） 10分 211121111124444n n n n n C C C C ----⎛⎫⎛⎫⎛⎫<<<<= ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴当n ≥2时，11224n n a -⎛⎫<+ ⎪⎝⎭12分21121111142(1)2444111442221142182212343n n n n n S a a a n n n n ---⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+++<+-++++⎢⎥⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎛⎫- ⎪⎝⎭=++⨯-⎛⎫=++-<+⎪⎝⎭ 14分。

广东省广州市第一一三中学高三数学（理）十月考试题一、选择题：本大题共 8小题；每小题 5 分，满分 40 分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

请将答案填入答题卡中。

1．函数1)1ln(-+=x x y 的定义域是（ ）A ．}1|{->x xB ．}1|{>x xC ．}1|{-≥x xD ．}1|{≥x x2. “21sin =A ”是“A=30º”的（ ） A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3．过曲线331x y =上点)38,2(的切线方程是 （ ） A ．016312=--y x B ．016312=+-y xC ．016312=--x yD ．016312=+-x y4．已知集合}032|{|,4|{22<--=<=x x x N x x M ，则集合N M ⋂=（ ）A ．{2|-<x x }B ．{3|>x x }C ．{21|<<-x x }D ． {32|<<x x } 5. 设向量a 和b 的长度分别为4和3，夹角为60°，则|a +b |的值为（ ）A.37B.13C.37D.136. 若抛物线22y px =的焦点与椭圆22162x y +=的右焦点重合，则p 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．4- D ．47.袋中有大小相同的5只钢球，分别标有1、2、3、4、5五个号码.在有放回的抽取条件下依次取出2个球，设两个球号码之和为随机变量ξ，则ξ所有可能值的个数是（ ）A.25B.10C.9D.58.某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的顶点A 出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是AA 1→A 1D 1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB →BB 1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i +2段与第i 段所在直线必须成异面直线(其中i 是正整数).设黑“电子狗”爬完2018段、黄“电子狗”爬完2018段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（ ） A .0B .1C .2D .3二、填空题：本大题共有6小题，每小题5分，满分30分。

2010年广州市高三数学训练题(三) 平面向量、立体几何（2）（时间：100分钟 满分100分）（由广州市中学数学教研会高三中心组编写，本卷命题人:杨 斗 修改：吴永中） 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分．在每个小题给出的四个选项中，只（1）已知向量与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （A ）0° （B ）45°（C ）90°（D ）180°（2）在空间四边形ABCD 中，AB=BC ，AD=DC ，则对角线AC 与BD 所成角的大小是 （A ）90︒ （B ）60︒ （C ）45︒（D ）30︒（3）将函数12++=x x y 的图象按向量()1,1a =-平移后所得图象的函数解析式为（A ）252++=x x y （B ）xy 1= （C ）21+=x y （D ）x x y 12+=（4）已知(1,0,2)a λλ=+，(6,21,2)b μ=-，若//a b ，则λ与μ的值分别为 （A ）－5，－2 （B ）5，2（C ）21,51--（D ）21,51 （5）若向量、的坐标满足(2,1,2)a b +=--，(4,3,2)a b -=--，则·等于（A ）5- （B ）5 （C ）7（D ）1-（6）在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，O 是底面ABCD 的中心，M 、N 分别是棱DD 1、D 1C 1的中点，则直线OM （A ）是AC 和MN 的公垂线 （B ）垂直于AC ，但不垂直于MN （C ）垂直于MN ，但不垂直于AC（D ）与AC 、MN 都不垂直（7）地球表面上从A 地（北纬45°，东经120°）到B 地（北纬45°，东经30°）的球面距离为（地球半径为R ）（A ）R （B ）42Rπ （C ）3R π（D ）2Rπ（8）如图，在一根长11cm ，外圆周长6cm 的圆柱形柱体外表面，用一根细铁丝缠绕，组成10个螺旋，如果铁丝的两端恰好落在圆柱的同一条母线上，则铁丝长度的最小值为（A ）61cm （B ）157cm （C ）1021cm（D ）3710cm（9）在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么直线AM 与CN所成角的余弦值是（ ）（A ）52-（B ）52 （C ）53 （D ）1010 （10）平面内有1230OP OP OP ++=且122331OP OP OP OP OP OP ==，则113PPP∆一定是 （A ）钝角三角形 （B ）直角三角形 （C ）等腰三角形（D ）等边三角形（11）在棱长为2的正方体AC 1中，点E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点，则点C 1到平面B 1EF 的距离是（A ）32（B ）34（C ）332 （D ）322 （12）设PA ，PB ，PC 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线PC 与平面APB 所成角的余弦值是 （A ）21（B ）23 （C ）33 （D ）36 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）（13）C B AP 、、、是球O 面上的四个点，PC PB PA 、、两两垂直，且1===PC PB PA ，则球的体积为__________．（14）设{|(2,2)2(cos ,sin )}M a a θθ==+，{|(2,0)(2,2)}N a a λ==+，则M N ⋂= （15）已知：,2||,2||==与的夹角为45°，要使-λ与垂直，则λ= ． （16）向量的命题：①若非零向量),(y x a =，向量),(x y b -=，则b a ⊥；②四边形ABCD 是菱形的充要条件是==③若点G 是ABC ∆的重心，则0=++ ④ABC∆中,和CA 的夹角为A -︒180,其中正确的命题序号是 __________．三、解答题（本大题共4小题，共40分）（17）（本小题满分8分）平行四边形ABCD 中，已知：13DE DC = ,14DF DB =, 求证：A 、E 、F 三点共线。

1达标训练（1）参考答案1～5 ADADC 6～10 CAAA(A)B 11. 2219yx -= 12.83（8） 13. 22n n - 14. 5.15. 解：（1）函数f (x )的定义域是R ， 设x 1 < x 2 ，则 f (x 1) – f (x 2) = a -1221x +-( a -2221x +)=12122(22)(21)(21)x xx x -++，由x 1<x 2 ，1222x x -< 0，得f (x 1) – f (x 2) < 0，所以f (x 1) < f (x 2). 故，f (x )在R 上是增函数.（2）由f (-x )= -f (x )，求得a =1.达标训练（2）参考答案1～5 CABBC 6～10 ACDB(D)A11. (,0)(2,)-∞+∞ ；(2,)+∞ 12. （1，e ）, e （12e -）13.14.215. 解：（1）∵ tan 2α=2，∴ 22tan2242tan 1431tan2ααα⨯===---，所以tan tantan 14tan()41tan 1tan tan4παπααπαα+++==--=41134713-+=-+.（2）由(1)知，tan α=－43，所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()173463()23-+=--.达标训练（3）参考答案1～5 ABBBC 6～10 BDAD(A)C11. 1 12. 520x y --=（①、③） 13. 0 14. 221)1x y (-+=、22(21)41x y -+=. 15. 解：（1）a b ⊥， 0a b ∴⋅=．a b ∴⋅2sin cos x x x =⋅+1sin 2cos 2222x x =++sin(2)032x π=++=42233x k πππ∴+=+或2233x k πππ+=-+, 2x k ππ∴=+ 或 3k ππ-+.∴所求解集为{,}23x x k k k Z ππππ=+-+∈或（2）()f x a b =⋅sin(2)32x π=++22T ππ∴==.222232k x k πππππ∴-≤+≤+，∴原函数增区间为5[,]1212k k ππππ-+()k Z ∈2达标训练（4）参考答案 1～5 DCDBB 6～10 DADD(C)A 11. 2 12. 8（≥）13.214.15. 解：（1）当3a =-时，32()331f x x x x =-+-+，∵/2()961f x x x =-+-2(31)0x =--≤，∴()f x 在R 上是减函数.（2）∵x R ∀∈不等式()4f x x '≤恒成立，即x R ∀∈不等式23614ax x x +-≤恒成立，∴x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立. 当0a =时，x R ∀∈ 210x -≤不恒成立； 当0a <时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤恒成立，即4120a ∆=+≤，∴13a ≤-.当0a >时，x R ∀∈不等式23210ax x +-≤不恒成立. 综上，a 的取值范围是1(]3-∞-，.达标训练（5）参考答案 1～5 ABACC 6～10 BDAB(B)A 11. x +y －5=0 12. 12、6、4（36） 13. 1[,2]2 14.43（23π+）.15. 解：（1）f (0)=2a =2，∴a =1，f (3π)=2a4b =12+2，∴b =2，∴f (x )=2cos 2x +sin2x =sin2x +cos2xsin(2x +4π)，∴f (x )maxf (x )min =1. （2）由f (α)=f (β)，得sin(2α+4π)=sin(2β+4π)， ∵α－β≠k π，(k ∈Z)∴2α+4π=(2k +1)π－(2β+4π)，即α+β=k π+4π，∴tan(α+β)=1.达标训练（6）参考答案 1～5 BDDCC 6～10 DADB(A)A 11. 0 12. 221)1x y (-+=（43） 13. 2 14. 36.15. 解：（1）① 小明抽出的牌 小华抽出的牌 结果 2 （4，2） 4 5 （4，5） 5 （4，5） ② 由①可知小华抽出的牌面数字比4大的概率为：23.（2）小明获胜的情况有：（4，2）、（5，4）、（5，4）、（5，2）、（5，2）, 故小明获胜的概率为：512， 因为571212<，所以不公平.达标训练（7）参考答案1～5 DABAB 6～10 DBBA(D)C311.1212. 85（42） 13. sin x 14. cos()23πρθ-=.15. 解：（133()]cos[()]12323a ππ⨯-+⨯-+=，解得1a =+（2）由33()cos22f x x x a =++32sin()126x π=+++，∴函数()y f x =的最小正周期24332T ππ==.由33222262k x k πππππ+≤+≤+，得42483939k k x ππππ+≤≤+()k Z ∈.∴ 函数()y f x =的单调递减区间为4248[,]()3939k k k Z ππππ++∈.达标训练（8）参考答案1～5 DABDC 6～10 DBCC(D)B 11.221164xy+= 12. 分层抽样（211） 13. ①③④14. )4π.15. 解：（1）依题得：2*(1)501249824098.()2x x y x x x x x N -⎡⎤=-+⨯-=-+-∈⎢⎥⎣⎦（2）解不等式2240980,:1010x x x -+->-<<+得*,317,3x N x ∈∴≤≤ 故从第年开始盈利。

广州市第一一三中学2011届高三数学20110607猜题二一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知复数1z i =+，则21z z+=（ ） A ．12i - B ．12i + C ．12i -- D ．12i -+ 2、已知01a <<，则函数|||log |x a y a x =-的零点的个数为 （ ）A ．1B ．2C ．3D ．43、二项式1022⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式中常数项是( )A.第10项B.第9项C.第8项D.第7项4、下列结论错误的是（ ）A ．若“p 且q ”与“⌝p 或q ”均为假命题，则p 真q 假B ．若命题01,:2<+-∈∃x x R x P ，则01,:2≥+-∈∀⌝x x R x P . C ．幂函数y=f(x)的图象经过点（4，12），则f(14)的值为2. D ．函数|21)62cos(|++=πx y 的最小正周期为2π.5、已知数列{}n a 中，n a a a n n +==+11,1，若利用如图所示的程序框图计算该数列的第10项，则判断框内的条件是( )A ．n ≤8B ．n ≤9C ．n ≤10D ．n ≤116、若将函数)3sin(2φ+=x y 的图象向右平移4π个单位后得到的图象关于点(0,3π)对称，则||φ的最小值是( )A ．4πB ．3π C ．2π D ．43π 7、ABC ∆的外接圆的圆心为O ，半径为1，2AO AB AC =+，且O A A B =，则向量BA 在向量BC 方向上的投影为（ ）A ． C.12- D. 128、设A 、B 、C 、D 是表面积为4π的球面上的四点，且AB 、AC 、AD 两两互相垂直，则ACD ABD ABC ∆∆∆、、的面积之和ACD ABD ABC S S S ∆∆∆++的最大值为（ ）A.4B.3C.2D.1二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题） 9.．若函数)()(32Z n x x f nn ∈=-是偶函数，且)(x f y =在(0,)+∞上是减函数，则=n▲ ．10.设(32()log f x x x =++，则不等式2()(2)0f m f m +-≥（m R ∈）成立的充要条件是 ▲ .（注：填写m 的取值范围）.11.已知椭圆22221x y a b+=的左、右焦点分别为F 1、F 2，则12||2F F c =，点A 在椭圆上且2112120AF F F AF AF c ==且，则椭圆的离心率为 ．12．当210≤≤x 时，21|2|3≤-x ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ▲ ．13．已知P 是ABC ∆内任一点，且满足AP xAB yAC =+，x 、y R ∈，则2y x +的取值范围是 ▲（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．(坐标系与参数方程选做题) 设直线1l 的参数方程为1,3.x t y a t =+⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴为极轴建立极坐标系得另一直线2l 的方程为sin 3cos 40ρθρθ-+=，若直线1l 与2l a 的值为 ．15．（几何证明选做题）已知P 是O 外一点，PD 为O 的切线，D 为切点，割线PEF经过圆心O ，若12,PF PD ==则EFD ∠的度数为 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.已知函数R x x x x f ∈--+=,12cos 3)4(sin 2)(2π（1）若函数)()(t x f x h +=的图像关于点)0,6(π-对称，且),0(π∈t ，求t 的值；（2）设,3)(:,2,4:<-⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈m x f q x p ππ若q p 是的充分条件，求实数m 的取值范围17设不等式224x y +≤确定的平面区域为U ，1x y +≤确定的平面区域为V ．（1）定义横、纵坐标为整数的点为“整点”，在区域U 内任取3个整点，求这些整点中恰有2个整点在区域V 的概率；（2）在区域U 内任取3个点，记这3个点在区域V 的个数为X ，求X 的分布列和数学期望．18.如图，棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1的所有棱长都等于2，ABC ∠和AC A 1∠均为60，ABCD 11平面平面⊥C C AA 。

广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练（7）班级： 姓名： 计分：1．设集合A={x | x}，a =3，那么（ ）. A. a A B. a ∉A C. {a }∈A D. {a } A 2．向量a = (1,2)，b = (x ,1)，c = a + b ，d = a - b ，若c //d ，则实数x 的值等于（ ）.A.12 B. 12- C. 16 D. 16-3. 方程lg 30x x +-=的根所在的区间是（ ）.A.（1，2）B. （2，3）C. （3，4）D.（0，1） 4．已知2sin cos αα=，则2cos2sin 21cos ααα++的值是（ ）.A. 3B. 6C. 12D. 325．在等差数列｛a n ｝中，1233,a a a ++=282930165a a a ++=，则此数列前30项和等于（ ）.A. 810B. 840C. 870D.900x1)<的图象的大致形状是（）.7. 设三棱锥的3个侧面两两互相垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积为（ ）.A.48πB. 36πC. 32πD.12π8． 实数,x y 满足(6)(6)014x y x y x -++-≥⎧⎨≤≤⎩，则yx 的最大值是（ ）.A ．52B ．7C ．5D ．８ 9．（文）一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，标签的选取是无放回的，两张标签上的数字为相邻整数的概率（ ）.A.25 B. 35 C. 825 925（理）抛掷两个骰子，至少有一个4点或5点出现时，就说这些试验成功，则在10次试验中，成功次数ξ的期望是（ ）. A ．103 B ．559 C ．809 D ．50910. 设动点A , B （不重合）在椭圆22916144x y +=上，椭圆的中心为O ，且0OA OB ⋅=，则O 到弦AB 的距离OH 等于（ ）.A ．203B ．154C ．125D ．415⊂ ≠⊂ ≠11. 复数21ii-+(i 是虚数单位)的实部为 .12. （文）某高校有甲、乙两个数学建模兴趣班. 其中甲班有40人，乙班50人. 现分析两个班的一次考试成绩，算得甲班的平均成绩是90分，乙班的平均成绩是81分，则该校数学建模兴趣班的平均成绩是 分.（理）在10(1)(1)x x -+的展开式中, 5x 的系数是 .13. 在如下程序框图中，输入0()cos f x x =，则输出的是__________.14.自极点O 向直线l 作垂线，垂足是(2,)3H π，则直线l 的极坐标方程为 .15. 已知函数33()cos 22f x x x a =++恒过点(,1)3π-．（1）求a 的值；（2）求函数()y f x =的最小正周期及单调递减区间．16．设两个向量e 1、e 2满足｜e 1｜＝2，｜e 2｜＝1，e 1，e 2的夹角为60°.若向量2t e 1＋7e 2与向量e 1＋t e 2的夹角为钝角，求实数t 的取值范围.17．如图，直线l 与抛物线x y =2交于),(,),(2211y x B y x A 两点，与x 轴相交于点M ，且121-=y y . （1）求证：M 点的坐标为（1，0）； （2）求证：OA ⊥OB ；（3）求△AOB 的面积的最小值.18.已知函数．3()2f x x ax =+与2()g x bx cx =+的图象都过点P(2，0)，且在点P 处有公共切线． (1)求f(x)和g(x)的表达式及在点P 处的公切线方程； (2)设()()ln(1)8mg x F x x x=+-，其中0m <，求F(x)的单调区间．达标训练（7）参考答案 1～5 DABAB 6～10 DBBA(D)C11.12 12. 85（42） 13. sin x 14. cos()23πρθ-=. 15. 解：（1333sin[()]cos[()]12323a ππ⨯-+⨯-+=，解得1a =（2）由33()cos 22f x x x a ++32sin()126x π=++，∴函数()y f x =的最小正周期24332T ππ==. 由33222262k x k πππππ+≤+≤+，得42483939k k x ππππ+≤≤+()k Z ∈. ∴ 函数()y f x =的单调递减区间为4248[,]()3939k k k Z ππππ++∈.16.解：e 12＝4，e 22＝1，e 1·e 2＝2×1cos60°＝1，∴(2t e 1＋7e 2)·(e 1＋t e 2)＝2t e 12＋(2t 2＋7)e 1·e 2＋7t e 22＝2t 2＋15t ＋7. ∴2t 2＋15t ＋7＜0，∴－7＜t ＜－21.设2t e 1＋7e 2＝λ(e 1＋t e 2)(λ＜0).214,21472722=-=⇒=⇒⎩⎨⎧==⇒λλλt t t t∴t ＝－214时，2t e 1＋7e 2与e 1＋t e 2的夹角为π. ∴t 的取值范围是(－7，－214)∪(－214，－21).17.解：(1 ) 设M 点的坐标为（x 0, 0）, 直线l 方程为 x = my + x 0 , 代入y 2= x 得y 2－my －x 0 = 0 ① y 1、y 2是此方程的两根, ∴ x 0 ＝－y 1y 2 ＝1，即M 点的坐标为（1, 0）. (2 ) ∵ y 1y 2 ＝－1∴ x 1x 2 + y 1y 2 = y 12y 22+y 1y 2 ＝y 1y 2 (y 1y 2 +1) = 0∴ OA ⊥OB .（3）由方程①，y 1＋y 2 = m , y 1y 2 ＝－1 , 且 | OM | = x 0 =1, 于是S △AOB = 21| OM | |y 1－y 2| =212214)(21y y y y -+=4212+m ≥1， ∴ 当m = 0时，△AOB 的面积取最小值1.18.解：(1)∵3()2f x x ax =+过点(2,0),P ∴a=-83()28f x x x =-,2()68f x x x '=- ∴切线的斜率(2)16k f '==∵2()g x bx cx =+的图像过点(2,0),P ∴4b+2c=0,∵()2,(2)(2)416g x bx c f g b c '''=+==+=,解得：b=8,c=-16 ∴2()816g x x x =-切线方程为16y ＝（x-2）．即16x-y-32=0(2) ∵ ()(2)l n (1)(F x m xx x =-+->11()(1)11mx m F x m x x x -+'=+=>-- 当m<0时，1[(1)]()1m x m F x x --'=-∵m<0 ∴111m -> 又x>1 当1(1,1)x m ∈-时()0F x '> 当1(1,)x m ∈-+∞时()0F x '<∴F (x)的单调减区间是1(1,)m-+∞∴F(x)的单调增区间是(1，11m-)即m<0时，F(x)的单调递增区间是(1，11m -)，单调减区间是(11m-，+∞)。

广州市第一一三中学2010届高三数学基础达标训练（5）班级： 姓名： 计分：1. 已知21{|log ,1},{|(),1}2x A y y x x B y y x ==<==>，则A B = （ ）. A ．φ B ．（,0-∞） C ．1(0,)2 D ．（1,2-∞）2. 3(1)(2)i i i--+=（ ）. A ．3i + B ．3i -- C ．3i -+D ．3i -3. 已知等差数列}{n a 中，1,16497==+a a a ，则12a 的值是（ ）. A ．15B ．30C ．31D ．644. 正四棱锥的侧棱长与底面边长都是1，则侧棱与底面所成的角为（ ）.A ．75°B ．60°C ．45°D ．30°5. 已知平面上三点A 、B 、C 满足3AB = ，4BC = ，5CA = ，则AB BC BC CA CA AB ⋅+⋅+⋅的值等于（ ）.A ．25B ．24C ．－25D ．－246．点P 在曲线323y x x =-+上移动，在点P 处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是（ ）. A ．[0,)2π B ．3[0,)[,)24πππ C ．3[,)4ππ D ．3[0,)(,]224πππ7．在ABC ∆中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，则ABC ∆的形状（ ）.A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形8．若函数f(x)=x 2+bx +c 的图象的顶点在第四象限，则函数f /(x)的图象是（ ）.A. B. C. D.9．（文）已知函数y =f (x )，x ∈｛1,2,3｝，y ∈｛－1,0,1｝，满足条件f (3)=f (1)+f (2)的映射的个数是（ ）. A. 2 B. 4 C. 6 D. 7（理）已知随机变量ξ服从二项分布，且E ξ＝2.4，D ξ＝1.44，则二项分布的参数n ，p 的值为（ ）. A ．n =4，p ＝0.6 B ．n ＝6，p ＝0.4 C ．n ＝8，p ＝0.3 D ．n ＝24，p =0.110．椭圆221ax by +=与直线1y x =-交于A 、B 两点，过原点与线段AB ，则 ab值为（ ）.A B C D 11. A 、B 是x 轴上两点，点P 的横坐标为2，且｜PA ｜=｜PB ｜，若直线PA 的方程为x －y +1=0，则直线PB 的方程为12．（文）调查某单位职工健康状况，其青年人数为300，中年人数为150，老年人数为100，现考虑采用分层抽样，抽取容量为22的样本，则青年、中年、老年各层中应抽取的个体数分别为_____________（理）5人站成一排，甲、乙两人之间恰有1人的不同站法的种数有 .13．在条件02021x y x y ≤≤⎧⎪≤≤⎨⎪-≥⎩下, 22(1)(1)Z x y =-+-的取值范围是 .14．设函数f (x )的图象与直线x =a ，x =b 及x 轴所围成图形的面积称为函数f (x )在[a ，b]上的面积，已知函数y ＝sinn x 在[0,nπ]上的面积为2n （n ∈N * ），（i ）y ＝sin3x 在[0,23π]上的面积为 ；（ii ）（理）y ＝sin （3x －π）＋1在[3π,43π]上的面积为 .15. 小明、小华用4张扑克牌（分别是黑桃2、黑桃4，黑桃5、梅花5）玩游戏，他们将扑克牌洗匀后，背面朝上放在桌面上，小明先抽，小华后抽，抽出的牌不放回，各抽一张. （1）若小明恰好抽到黑桃4；①请绘制出这种情况的树状图；②求小华抽出的牌的牌面数字比4大的概率.（2）小明、小华约定：若小明抽到的牌的牌面数字比小华的大，则小明胜，反之，则小明负，你认为这个游戏是否公平，说明你的理由.16．已知函数f x x x ()=-+33（I ）证明：函数f x ()是奇函数；（II ）求f x ()的单调区间。

广东省六所名校2010届高三第三次联考数学（理科）本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟． 参考公式：锥体体积Sh V 31=（其中S 是底面积，h 是高），球体体积334R V π=（其中R 是半径）． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．如图1，正方体1111D C B A ABCD -中，异面直线1BD 与D A 1 所成的角等于A ．︒30B ．︒45C ．︒60D ．︒902．要得到函数⎪⎭⎫ ⎝⎛π-=42cos x y 的图象，只要将函数x y 2sin =的图象A ．向左平移8π个单位B ．向右平移8π个单位C ．向左平移4π个单位D ．向右平移4π个单位3．设],[b a X =，],[d c Y =都是闭区间，则“直积”},|),{(Y y X x y x Y X ∈∈=⨯表示直角坐标平面上的A ．一条线段B ．两条线段C ．四条线段D ．包含内部及边界的矩形区域4．设4443342241404)(x C x C x C x C C x f +-+-=，则导函数)('x f 等于 A ．3)1(4x - B ．3)1(4x +- C ．3)1(4x + D ．3)1(4x -- 5．函数)1(log 913x x y +=在定义域内有A ．最大值41 B ．最小值41C ．最大值22D ．最小值226．公差不为零的等差数列}{n a 中，2a ，3a ，6a 成等比数列，则其公比q 为 A ．1 B ．2 C ．3 D ．47．已知向量y x b a ,,,满足1||||==b a ，0=⋅b a ，且⎩⎨⎧-=+-=y x b yx a 2，则|y ||x |+等于A ．32+B ．52+C ．53+D ．7 8．已知点),(y x 所在的可行域如图2所示．若要使目标函数BCD A1B 1C 1D 1A 1图y ax z +=取得最大值的最优解有无数多个，则a 的值为A ．4B ．41C ．35D ．53二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上． 9．将编号分别为1，2，3，4，5的五个红球和五个白球排成一排，要求同编号球相邻，但同色球不相邻，则不同排法的种数为 （用数字作答）．10．若△ABC 的三个内角满足C C B B A 222sin sin sin sin sin ++=，则A ∠等于 ． 11．据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y （单位：比特数）与时间x （单位：秒）的函数关系式分别是x e y =甲和2x y =乙．显然，当1≥x 时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ．12．若偶函数)(x f 在]0,(-∞内单调递减，则不等式)(lg )1(x f f <-的解集是 ． 13．如图3，有一轴截面为正三角形的圆锥形容器，内部盛水的高度为h ，放入一球后，水面恰好与 球相切，则球的半径为 （用h 表示）． 14．给出下列四个命题：①设∈21,x x R ，则11>x 且12>x 的充要条件是221>+x x 且121>x x ； ②任意的锐角三角形ABC 中，有B A cos sin >成立； ③平面上n 个圆最多将平面分成4422+-n n 个部分； ④空间中直角在一个平面上的正投影可以是钝角．其中真命题的序号是 （要求写出所有真命题的序号）．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I 的最小正周期T 和频率f ；（2）设0≥t ，求电流I 的最大值和最小值，并指出I 第一次达到最大值和最小值时的t 值．2图3图16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，P 、Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的点，且使得折线1APQA 的长1QA PQ AP ++最短． （1）证明：平面⊥APQ 平面C C AA 11； （2）求直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值． 17．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．18．（本小题满分14分）如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．（1）设PQ PG λ=，将OG 用λ、OP 、OQ 表示；（2）设OA x OP =，OB y OQ =，证明：y x 11+是定值；（3）记△OAB 与△OPQ 的面积分别为S 、T ．求ST的取值范围．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，+∈N n ．（1）求}{n a 的通项公式；BCA1A 1C 1B P Q4图OABP QMG5图（2）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式．20．（本小题满分14分）如果对于函数)(x f 的定义域内任意的21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是否是“平缓函数”；（2）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意 的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． （3）设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间),[∞+m 上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）．数学（理科）参考答案及评分标准 20091218命题：深圳实验学校高中部 高三数学备课组本试卷共4页，20小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．把答案填在题中横线上． 9． 240 ． 10． 120° ． 11．xe x 2>．12．),10()101,0(∞+ ． 13． 153h． 14． ②④ ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 15．（本小题满分12分）设有同频率的两个正弦电流)3100sin(31ππ+=t I ，)6100sin(2ππ-=t I ，把它们合成后，得到电流21I I I +=．（1）求电流I 的最小正周期T 和频率f ；（2）设0≥t ，求电流I 的最大值和最小值，并指出I 第一次达到最大值和最小值时的t 值． 解：（1）（法1）∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t)100cos 23100sin 21(3t t ππ+=)100cos 21100sin 23(t t ππ-+ ……2分t t ππ100cos 100sin 3+=)6100sin(2ππ+=t ，………………………………4分∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==T f ． ………………6分 （法2）∵21I I I +=)3100sin(3ππ+=t )6100sin(ππ-+t)3100sin(3ππ+=t ]2)3100sin[(πππ-++t)3100sin(3ππ+=t )3100cos(ππ+-t ……………………………2分)6100sin(2ππ+=t ……………………………………………4分∴电流I 的最小正周期5011002==ππT ，频率501==T f ．………………6分 （2）由（1）当ππππk t 226100+=+，即300150+=k t ，N ∈k 时，2max =I ； 当π+π=π+πk t 2236100，即75150+=k t ，N ∈k 时，2min -=I ．…9分 而0≥t ，∴I 第一次达到最大值时，3001=t ；I 第一次达到最小值时，751=t ．………………………12分 16．（本小题满分12分）如图4，正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，P 、Q 分别是侧棱1BB 、1CC 上的点，且使得折线1APQA 的长1QA PQ AP ++最短． （1）证明：平面⊥APQ 平面C C AA 11； （2）求直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值． 解：（1）∵正三棱柱111C B A ABC -中，11==AB AA ，∴将侧面展开后，得到一个由三个正方形拼接而成的矩形""''11A A A A （如图），BCA1A 1C 1B P Q4图BCA1A 1C 1B PQ'A '1A "A "1A从而，折线1APQA 的长1QA PQ AP ++最短，当且仅当'A 、P 、Q 、"A 四点共线， ∴P 、Q 分别是1BB 、1CC 上的三等分点，其中311==Q C BP ．…………………2分 （注：直接正确指出点P 、Q 的位置，不扣分）连结AQ ，取AC 中点D ，AQ 中点E ，连结BD 、DE 、EP ．由正三棱柱的性质，平面⊥ABC 平面C C AA 11， 而AC BD ⊥，⊂BD 平面ABC ， 平面 ABC 平面AC C C AA =11，∴⊥BD 平面C C AA 11．………………………………………………4分又由（1）知，BP CQ DE ==//21//，∴四边形BDEP 是平行四边形，从而BD PE //． ∴⊥PE 平面C C AA 11．而⊂PE 平面APQ ，∴平面⊥APQ 平面C C AA 11． ………………………8分 （2）（法一）由（2），同理可证，平面⊥PQ A 1平面B B AA 11．…………………10分 而⊂AP 平面B B AA 11，平面 PQ A 1平面AP B B AA =11， ∴P A 1即为AP 在平面PQ A 1上的射影，从而1APA ∠是直线AP 与平面PQ A 1所成的角．……………………12分在△1APA 中，11=AA ，31022=+=BP AB AP ，313212111=+=P B B A PA ， 由余弦定理，130130731331021913910cos 1=⨯⨯-+=∠APA ，即直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307．…………………………14分（法二）取BC 中点O 为原点，OA 为x 轴，OC 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，由（1）及正三棱柱的性质，可求得：)0,0,23(A ，)1,0,23(1A ，)31,21,0(-P ，)32,21,0(Q ． 从而)31,21,23(--=AP ，)32,21,23(1---=P A ，)31,21,23(1--=Q A ．…………………10分设平面PQ A 1的一个法向量为),,(z y x =n ，BCA1A 1C 1B P QDEB CA1A 1C 1B P QB则⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥Q A P A 11n n ，所以⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011Q A P A n n ， 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+-=---03121230322123z y x z y x ，解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-=z y z x 3133，………………………12分取3-=z ，得3=x ，1=y ，∴)3,1,3(-=n ．从而()()1309313312123331121323,cos 222222-=-++⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯-⨯-⨯-=⨯>=<|n |||n AP AP AP ，即直线AP 与平面PQ A 1所成角的正弦值为1309|,cos |=><n AP ， ∴直线AP 与平面PQ A 1所成角的余弦值为1301307130912=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-． …………14分 17．（本小题满分14分）已知函数)(x f 满足C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(（其中⎪⎭⎫⎝⎛32'f 为)(x f 在点32=x 处的导数，C 为常数）．（1）求函数)(x f 的单调区间；（2）若方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，求常数C ；（3）在（2）的条件下，若031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，求函数)(x f 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积．解：（1）由C x x f x x f +-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=2332')(，得132'23)('2-⎪⎭⎫⎝⎛+=x f x x f ．取32=x ，得13232'232332'2-⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯=⎪⎭⎫ ⎝⎛f f ，解之，得132'-=⎪⎭⎫⎝⎛f ，∴C x x x x f +--=23)(． ……………………………………2分从而()1313123)('2-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=--=x x x x x f ，列表如下：∴)(x f 的单调递增区间是)3,(--∞和),1(∞+；)(x f 的单调递减区间是)1,31(-．………………4分（2）由（1）知，C C f x f +=+⎪⎭⎫⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=27531313131)]([23极大值；C C f x f +-=+--==1111)1()]([23极小值．………………………………6分∴方程0)(=x f 有且只有两个不等的实数根，等价于0)]([=极大值x f 或0)]([=极小值x f ． ………8分∴常数275-=C 或1=C ． ……………………………………9分（3）由（2）知，275)(23---=x x x x f 或1)(23+--=x x x x f ．而031>⎪⎭⎫⎝⎛-f ，所以1)(23+--=x x x x f ．………………10分令01)(23=+--=x x x x f ，得)1()1(2=+-x x ，11-=x ，12=x ．……………………………12分∴所求封闭图形的面积()⎰-+--=1 123 1dx x x x 11234213141-⎪⎭⎫⎝⎛+--=x x x x 34=．………………14分18．（本小题满分14分）如图5，G 是△OAB 的重心，P 、Q 分别是边OA 、OB 上的动点，且P 、G 、Q 三点共线．（1）设PQ PG λ=，将OG 用λ、OP 、OQ 表示；（2）设OA x OP =，OB y OQ =，证明：yx 11+是定值；（3）记△OAB 与△OPQ 的面积分别为S 、T ．求ST的取值范围．解：（1）)(OP OQ OP PQ OP PG OP OG -+=+=+=λλOQ OP λλ+-=)1(．…………………………………………2分（2）一方面，由（1），得OB y OA x OQ OP OG λλλλ+-=+-=)1()1(；① 另一方面，∵G 是△OAB 的重心， ∴OB OA OB OA OM OG 3131)(213232+=+⨯==．② ……………4分而OA 、OB 不共线，∴由①、②，得⎪⎩⎪⎨⎧==-.31,31)1(y x λλ……………………6分解之，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=.31,331λλyx，∴311=+y x （定值）． …………………8分OAP QMG5图（3）xy OB OQ OA OP AOB OB OA POQ OQ OP ST ==∠⋅∠⋅=||||sin ||||21sin ||||21．……………………10分 由点P 、Q 的定义知121≤≤x ，121≤≤y ， 且21=x 时，1=y ；1=x 时，21=y ．此时，均有21=S T ．32=x 时，32=y ．此时，均有94=S T ．以下证明：2194≤≤S T ．（法一）由（2）知13-=x xy ，∵0)13(9)23(94139422≥--=--=-x x x x S T ，∴94≥S T ．…………………………12分 ∵0)13(2)12)(1(2113212≤---=--=-x x x x x S T ，∴21≤S T ． ∴S T的取值范围]21,94[．………………………………14分 （法二）⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-==32)31(91)31(31132x x x x xy S T ，令31-=x t ，则⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T ，其中3261≤≤t ．利用导数，容易得到，关于t 的函数⎪⎭⎫ ⎝⎛++=329131t t S T 在闭区间]31,61[上单调递减，在闭区间]32,31[上单调递增．………………………………12分∴31=t 时，9432313131min =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ． 而61=t 或32=t 时，均有2132326131max =⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎭⎫⎝⎛S T ． ∴S T的取值范围]21,94[．…………………………14分 注：也可以利用“几何平均值不小于调和平均值”来求最小值．19．（本小题满分14分）已知数列}{n a 的前n 项和)1(23-=n n a S ，+∈N n ． （1）求}{n a 的通项公式；（2）设∈n N +，集合},,|{+∈≤==N i n i a y y A i n ，},14|{+∈+==N m m y y B ．现在集合n A 中随机取一个元素y ，记B y ∈的概率为)(n p ，求)(n p 的表达式． 解：（1）因为)1(23-=n n a S ，+∈N n ，所以)1(2311-=++n n a S ． 两式相减，得)(2311n n n n a a S S -=-++，即)(2311n n n a a a -=++，∴n n a a 31=+，+∈N n ．…………………………3分又)1(2311-=a S ，即)1(2311-=a a ，所以31=a ． ∴}{n a 是首项为3，公比为3的等比数列．从而}{n a 的通项公式是n n a 3=，+∈N n ．………………………6分 （2）设n i i A a y ∈==3，n i ≤，+∈N n ． 当k i 2=，+∈N k 时，∵++=+===-110288)18(93k k k k k k k C C y …kk k k C C ++-81++⨯=--211088(24k k k kC C …1)1++-k k C ，∴B y ∈． ………………………9分 当12-=k i ，+∈N k 时，∵++⨯=+⨯==------21110111288(3)18(33k k k k k k C C y …)81121----++k k k k C C++⨯=----31120188(64k k k k C C …3)21++--k k C ，∴B y ∉．…………………12分又∵集合n A 含n 个元素，∴在集合n A 中随机取一个元素y ，有B y ∈的概率⎪⎩⎪⎨⎧-=. , 21, , 21)(为偶数为奇数n nn n n p ．……………………14分20．（本小题满分14分）如果对于函数)(x f 的定义域内任意的21,x x ，都有|||)()(|2121x x x f x f -≤-成立，那么就称函数)(x f 是定义域上的“平缓函数”．（1）判断函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是否是“平缓函数”；（2）若函数)(x f 是闭区间]1,0[上的“平缓函数”，且)1()0(f f =．证明：对于任意 的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． （3）设a 、m 为实常数，0>m ．若x a x f ln )(=是区间),[∞+m 上的“平缓函数”，试估计a 的取值范围（用m 表示，不必证明．．．．）． 证明：（1）对于任意的∈21,x x ]1,0[，有11121≤-+≤-x x ，1|1|21≤-+x x ．…………………………2分从而|||1||||)()(||)()(|21212122212121x x x x x x x x x x x f x f -≤-+-=---=-． ∴函数x x x f -=2)(，]1,0[∈x 是“平缓函数”． ………………………4分（2）当21||21<-x x 时，由已知得21|||)()(|2121<-≤-x x x f x f ； ……………6分 当21||21≥-x x 时，因为∈21,x x ]1,0[，不妨设1021≤<≤x x ，其中2112≥-x x ， 因为)1()0(f f =，所以=-|)()(|21x f x f |)()1()0()(|21x f f f x f -+-|)()1(||)0()(|21x f f f x f -+-≤|1||0|21x x -+-≤121+-=x x 21121=+-≤. 故对于任意的∈21,x x ]1,0[，都有21|)()(|21≤-x f x f 成立． ………………………10分 （3）结合函数x a x f ln )(=的图象性质及其在点m x =处的切线斜率，估计a 的取值范围是闭区间],[m m -．…………………………（注：只需直接给出正确结论）…………14分。

2023年广东省广州市第一一三中学中考三模数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题A．66．将等腰直角三角形纸片和长方形纸片按如下图方式叠放，若为（）20︒上的点，DE AB⊥A．4.8B．4.5 3.28．已知，如图，点C是以AB CD，BD⊥于点D，若∠DCB=50°，则∠50°为圆心，以大于12 AC，F，则AE25上运动，连接A．5425B．1257225二、填空题用科学记数法表示边形．．某中学开展劳动实习，学生到教具加工厂制作圆锥，他们制作的圆锥，母线长为．的值是为边在BC的同从点B运动到三、解答题17．解不等式组：21452xx x-⎧⎨++⎩＜＞并把解集在数轴上表示出来.18．已知：如图，E为BC上一点，AC∥BD．AC=BE．BC=BD．求证：AB=DE．阅读四类社团．将调查结果绘制成如图所示的(1)求本次调查的学生人数，并补全条形统计图；(2)若全校共有学生3600人，求愿意参加劳动类社团的学生人数；(3)甲、乙两名同学决定在阅读、美术、劳动社团中选择参加一种社团，请用树状图或列表法表示出所有等可能结果，并求出恰好选中同一社团的概率．21．五一节前，某商店拟用1000元的总价购进A B、两种品牌的电风扇进行销售，为更好的销售，每种品牌电风扇都至少购进1台．已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与B种品牌电种品牌电风扇定价为250台，为能在销售完这两种电风扇后获得最大的利润，该商店应采用哪种进货方案？2，ED= (1)求证：ABE ADB；∠的值．(2)求tan ADB，与B，与反比例(1)求一次函数和反比例函数的表达式；OCD绕点A按逆时方向匀速运动，速度为PQ交AC于点⊥时，求t的值；(1)当EQ AD(2)设四边形PCDQ的面积为S(3)是否存在某一时刻t，使PQ的值；若不存在，请说明理由．在点B左侧），若存在，求出点M，请直接写参考答案：为了解长沙市中学生的睡眠情况，应该采用抽样调查的方式，不符合题意；由题意可知，ABC 是等腰直角三角形，∴1(1802ACB ABC ∠=∠=⨯︒-又∵由题意可知，AD CE ∥，的形式，1803（2）解：愿意参加劳动社团的学生人数：（3）解：根据题意，画出树状图，如下图：共有9种等可能的结果，选中同一社团的结果有3种．∴恰好选中同一社团的概率为31 93=．2（2）解：分别过点C ，P 作CM ∵90,B BAC CAM ∠+∠=∠+︒∴B CAM∠=∠又90BCA AMC ∠=∠=︒∴213714210S t t =-+（3）解：假设存在某一时刻∵125,5AD AM ==∴121355DM AD AM =-=-=∵PQ CD∥的外接圆的圆心，。