中考数学压轴题汇总（一）
17.（2005浙江台州）如图，在平面直角坐标系内，⊙C 与y 轴相切于D
点，与x 轴相交于A （2，0）、B （8，0）两点，圆心C 在第四象限. （1）求点C 的坐标；
（2）连结BC 并延长交⊙C 于另一点E ，若线段．．BE 上有一点P ，使得
AB 2＝BP·BE ，能否推出AP ⊥BE ？请给出你的结论，并说明理由；
（3）在直线．．
BE 上是否存在点Q ，使得AQ 2＝BQ·EQ ？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，也请说明理由. [解] （1） C （5，-4）；
（2）能。连结AE ，∵BE 是⊙O 的直径， ∴∠BAE=90°.
在△ABE 与△PBA 中，AB 2＝BP· BE , 即AB
BE BP
AB , 又∠ABE=∠PBA,
∴△ABE ∽△PBA .
∴∠BPA=∠BAE=90°, 即AP ⊥BE .
（3）分析：假设在直线EB 上存在点Q ，使AQ 2＝BQ· EQ. Q 点位置有三种情况：
①若三条线段有两条等长，则三条均等长,于是容易知点C 即点Q ；
②若无两条等长，且点Q 在线段EB 上，由Rt △EBA 中的射影定理知点Q 即为AQ ⊥EB 之垂足；
③若无两条等长，且当点Q 在线段EB 外，由条件想到切割线定理，知QA 切⊙C 于点A.设Q()(,t y t ),并过点Q 作QR ⊥x 轴于点R,由相似三角形性质、切割线定理、勾股定理、三角函数或直线解析式等可得多种解法. 解题过程：
① 当点Q 1与C 重合时，AQ 1=Q 1B=Q 1E, 显然有AQ 12＝BQ 1· EQ 1 , ∴Q 1(5, -4)符合题意；
② 当Q 2点在线段EB 上， ∵△ABE 中，∠BAE=90° ∴点Q 2为AQ 2在BE 上的垂足， ∴AQ 2=
10
48=⋅BE
AE AB = 4.8（或
5
24
）. ∴Q 2点的横坐标是2+ AQ 2·
cos ∠BAQ 2= 2+3.84=5.84, 又由AQ 2·sin ∠BAQ 2=2.88, ∴点Q 2（5.84，-2.88）, ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-257225146，或 ③方法一：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,
则可得点Q 3为过点A 的⊙C 的切线与直线BE 在第一象限的交点. 由Rt △Q 3BR ∽Rt △EBA ，△EBA 的三边长分别为6、8、10, 故不妨设BR=3t ，RQ 3=4t ，BQ 3=5t,
由Rt △ARQ 3∽Rt △EAB 得AB
RQ EA
AR 3=，
即
64836t t =+得t=7
18
，
〖注:此处也可由4
33
=
∠=∠AEB tg AR Q
tg 列得方程
4
3
634=+t t ； 或由AQ 32 = Q 3B·Q 3E=Q 3R 2+AR 2列得方程()()()226345105++=+t t t t )等等〗 ∴Q 3点的横坐标为8+3t=7110， Q 3点的纵坐标为7
72
， 即Q 3（
7110，7
72
）. 方法二：如上所设与添辅助线, 直线 BE 过B(8, 0), C(5, -4), ∴直线BE 的解析式是3
323
4-=x y . 设Q 3（t ，
3
32
34-t ）,过点Q 3作Q 3R ⊥x 轴于点R, ∵易证∠Q 3AR =∠AEB 得 Rt △AQ 3R ∽Rt △EAB,
∴EA
AB AR RQ =3 , 即 862332
34=--t t , ∴t=7110 ,进而点Q 3 的纵坐标为772，∴Q 3（7110，7
72）.
方法三：若符合题意的点Q 3在线段EB 外,连结Q 3A 并延长交y 轴于F,
∴∠Q 3AB =∠Q 3EA ，4
33
=
∠=∠=∠AEB tg AB Q tg OAF
tg ,
在R t △OAF 中有OF=2×4
3
=2
3
，点F 的坐标为（0，2
3-）,
∴可得直线AF 的解析式为2343-=x y ,
又直线BE 的解析式是3
32
34-=x y ,
∴可得交点Q 3（7110，7
72
）.
18.（2005上海长宁）如图1，抛物线关于y 轴对称，顶点C 坐标为（0，h ）(h>0)， 交x 轴于点A （d,0）、B （-d,0）（d>0）。 （1）求抛物线解析式（用h 、d 表示）；
（2）如图2，将ABC 视为抛物线形拱桥，①～⑤拉杆均垂直x 轴，垂足依次在线段AB 的6等分点上。h=9米。
(i )求拉杆⑤DE 的长度；
(ii)若d 值增大，其他都不变，如图3。拉杆⑤DE 的长度会改变吗？(只需写结论)
（3）如图4，点G 在线段OA 上，OG=kd （比例系数k 是常数，0≤k ≤1），GF ⊥x 轴交抛物线于点F 。试探索k 为何值时，
tg ∠FOG= tg ∠CAO ？此时点G 与OA 线段有什么关系？ [解] （1）用顶点式，据题意设y=ax 2+h 代入A （d ，0）得a=2d
h - ∴y=2d
h -
x 2+h (2)(i)h=9，代入（1）中解析式得y=2
9d -x 2+9 据题意OE=3
2d ，设D （32d ，y D ）
点D 在抛物线上，y D =29d -(3
2
d)2+9=5，∴DE=5米。
(ii) 拉杆⑤DE 的长度不变。
（3）OG=kd ，∴点F 坐标可设（kd ，y F ）代入y=2d
h -x 2
+h ，得： y F = h(1－k 2)
tg ∠FOG= tg ∠CAO ，kd k h )1(2- =d h
112
=-k k 012=-+k k 解得2151-=k 2
1
52+=
k （∵01
5-=
k ，此时点G 是线段OA 的黄金分割点。 19.（2006上海金山）已知：抛物线经过A （2，0）、B （8，0）、C
F G x
y C
B
O A
图4
