1.如图，已知抛物线2
1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标;
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积;
（3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 解：（1）令0y =，得2
10x -= 解得1x =±
令0x =，得1y =-
∴ A (1,0)- B (1,0) C (0,1)- ……………………3分 （2）∵O A =O B =O C =1 ∴∠BAC =∠AC O=∠BC O=
45 ∵A P ∥CB ， ∴∠P AB =
45
过点P 作P E ⊥x 轴于E ，则∆A P E 为等腰直角三角形
令O E =a ，则P E =1a + ∴P (,1)a a +
∵点P 在抛物线21y x =-上 ∴2
11a a +=-
解得12a =，21a =-（不合题意，舍去）
∴P E =3……………………………………………………………………………5分
∴四边形ACB P 的面积S
=12AB •O C +12AB •P E =11
2123422
⨯⨯+⨯⨯=………………………………6分 (3)． 假设存在
∵∠P AB =∠BAC =45 ∴P A ⊥AC
∵MG ⊥x 轴于点G ， ∴∠MG A =∠P AC =90 在Rt △A O C 中，O A =O C =1 ∴AC =2
在Rt △P AE 中，AE =P E =3 ∴A P= 32 ………8分
设M 点的横坐标为m ，则M 2
(,1)m m -
①点M 在y 轴左侧时，则1m <- (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时，有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m --，MG=2
1m -即211
322
m m ---=
解得11m =-（舍去） 223m =（舍去）………9分 G
M
C B
y
P
A
o
x
(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有
AG CA =MG
PA
即 211232
m m ---=
解得：1m =-（舍去） 22m =-
∴M (2,3)- ………………………………………………………………………10分
② 点M 在y 轴右侧时，则1m > (ⅰ) 当∆A MG ∽∆P CA 时有
AG PA =MG
CA
∵A G=1m +，MG=2
1m -
∴ 211322
m m +-=
解得11m =-（舍去） 243
m =
∴M 47
(,)39
………………………11分
(ⅱ) 当∆M A G ∽∆P CA 时有AG CA =MG
PA
即
2
11
232
m m +-=
解得：11m =-（舍去） 24m =
∴M (4,15) ………………………………12分
∴存在点M ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与∆P CA 相似
M 点的坐标为(2,3)-，47
(,)39
，(4,15)…………………………………13分
2.如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB =90,AC =BC ,OA =1，OC =4，抛物线2
y x bx c =++经过A ，B 两点，抛物线的顶点为D ．
（1）求b ,c 的值；
（2）点E 是直角三角形ABC 斜边AB 上一动点(点A 、B 除外)，过点E 作x 轴的垂线交抛物线于点F ，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；
（3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P ，使△EFP 是以EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由.
G M
C B
y
P A
o
x
解：（1）由已知得：A （-1，0） B （4，5）…………………1分
∵二次函数2y x bx c =++的图像经过点A （-1，0）B(4,5)
∴101645b c b c -+=⎧⎨++=⎩
…………………………………………………2分
解得：b=-2 c=-3…………………………………………………3分 （2）如２６题图：∵直线AB 经过点A （-1，0） B(4,5)
∴直线AB 的解析式为：y=x+1……………………………………4分 ∵二次函数223y x x =--
∴设点E(t ， t+1),则F （t ，2
23t t --）………………………5分 ∴EF= 2
(1)(23)t t t +---………………………………………6分 =2
3
25()2
4
t --+
∴当32t =
时，EF 的最大值=254
∴点E 的坐标为（32，5
2
）………………………………7分
（3）①如２６题图：顺次连接点E 、B 、F 、D 得四边形ＥＢＦＤ．
可求出点F 的坐标（32，15
4
-）,点D 的坐标为（1，-4） S EBFD 四边行 = S BEF
+ S
DEF
=
12531253
(4)(1)242242⨯-+⨯- =75
8
………………………………………………10分
②如２６题备用图：ⅰ)过点E 作a ⊥EF 交抛物线于点P,设点P(m ,2
23m m --) 则有：2
5
232
m m --=
解得:12262m =－,22262m +=
∴12265(
,)22p －, 22265
(,)22
p + ⅱ）过点F 作b ⊥EF 交抛物线于3P ，设3P （n ，2
23n n --） 则有：2154
23n n --=- 解得：112n = ，23
2
n =（与点F 重合，舍去） ∴3
P 1
1524
（，－） 综上所述：所有点P 的坐标：12265(
,)22p －，22265(,)22p +3P （115
24
（，－）. 能使△EFP 组成以EF 为直角边的直角三角形．…………………………………… 13分
２６题备用图
