九年级数学微课资料：二次函数最值问题课件

22.1.4 二次函数抛物线型最值问题精讲
第一课时
刘芙蓉
学习目标
1.复习二次函数顶点式的相关知识 2.学习探究二次函数抛物线型最值 问题。
复
二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质
习
根据图形填表：
抛物线 顶点坐标
对称轴 位置
开口方向 增减性 最值
y=a(x-h)2+k(a>0)
（h，k）
直线x=h
解：当水位上升 hm 时，D 点的纵坐标为 h－4.将它代入抛物线的解析 式，得 h－4＝－215x2，∴x＝±5 4－h，于是桥下水面宽度 d＝10 4－h.
(3)为保证过往船只顺利通航，桥下水面宽度不得小于 18m，则水深超 过正常水位多少米时，会影响过往船只顺利通航？
解：当 d≥18 时，10 4－h≥18，∴h≤0.76.∴当水深超过正常水位大 于 0.76m 时，会影响过往船只顺利通航．
7．已知烟花弹爆炸后某个残片在空中的飞行轨迹可以看成是二次函数
y＝－1x 3
2＋2x
＋5
图象的一部分，其中
x(s)为爆炸后经过的时间，y(m)
为残
片离地面的高度，请问在爆炸后 1s 到 6s 之间，残片距离地面的高度范围为
(
B
)
A．0m 到 8m
B．5m 到 8m
C．230m 到 8m
D．5m 到 230m
y=a(x-h)2+k(a<0)
（h，k）
直线x=h
由h和k的符号确定
向上
由h和kቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ符号确定
向下
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大.

解题步骤
化为顶点式 → 求对称轴 → 判断对称轴与区间位置关系 → 代入求最小值。
约束条件下最值问题
例题3
已知$x,y$满足$x^2 + y^2 = 4$，求$f(x,y) = x^2 + 2y^2$的最大值和最小值。
解题思路
利用约束条件$x^2 + y^2 = 4$，将$f(x,y)$转化为只含有 一个变量的函数，然后利用二次函数的性质求最值。或者 利用拉格朗日乘数法求解。
二次函数在最值问题中应用
二次函数图像与性质
01
通过二次函数的图像和性质，可以直观地理解最值的存在性和
求解方法。
二次函数与一元二次方程关系
02
利用二次函数与一元二次方程的关系，可以通过解方程来求解
最值问题。
二次函数在实际问题中建模
03
将实际问题抽象为二次函数模型，进而利用二次函数的性质求
解最值。
求解最值问题意义和方法
解题步骤
利用约束条件转化 → 求导找极值点 → 比较极值点与端 点处的函数值确定最值。
例题4
已知$x,y$满足$x + 2y = 1$，且$x > 0, y > 0$，求 $frac{1}{x} + frac{2}{y}$的最小值。
解题思路
将$frac{1}{x} + frac{2}{y}$与约束条件$x + 2y = 1$相 乘，得到$(frac{1}{x} + frac{2}{y})(x + 2y)$，展开后利 用基本不等式求最小值。
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九年级数学下册二次函数 的最值问题课件冀教版
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顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。

【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一 根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二 根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，

解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二 根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二 根据函数的图像解决问题

21.4二次函数的应用
(第二课时最值问题 )
复习回 顾
y
y
0
x
0
x
抛物线 顶点坐标 对称轴
开口方向
y=ax2+bx+c(a>0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
a>0,开口向上
y=ax2+bx+c(a<0)
b 2a
,
4ac 4a
b2
直线x b
2a
a<0,开口向下
增减性 最值
在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小.
沪科版初中数学九年级上册 21.4.1 二次函数的应用最值问题 课件
二次函数y=ax +bx+c（a≠0）在自变量取值有限制下的最值 沪科版初中数学九年级上册21.4.1二次函数的应用最值问题课件
2
例：已知函数y=x2+2x+2,求此函数在下列各范围内的最值：
① -3 ≤x≤-2；
② 0 ≤x≤1
例题 : 上抛物体在不计空气阻力的情况下，有如下关系式: h＝v0t－1/2gt2，
v0是物体被上抛时的初始速度，g表示重力加速度，通常取g＝10m/s2，t 是舞台抛出后经过的时间。 问题:如果在一次排球比赛中，球从靠近地面处被垫起时竖直向上的初始 速度v0为10m/s。 （1）问排球上升的最大高度是多少？ （2）已知某运动员在2.5m高度是扣球效果最佳，如果她要打快攻，问 该运动员在排球被垫起后多长时间扣球最佳？（精确到0.1s）。
沪科版初中数学九年级上册 21.4.1 二次函数的应用最值问题 课件
沪科版初中数学九年级上册 21.4.1 二次函数的应用最值问题 课件

26
做一做
何时窗户通过的光线最多
某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下 半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线 的长度和)为15m.当x等于多少时,窗户通过的光线最 多(结果精确到0.01m)?此时,窗户的面积是多少?
解: 1.由4y 7x x 15. 得, y 15 7x x .
由(1)知6 x<15
当垂直于墙的边长为7.5米是，花圃
的面积最大为112.5平方米。
（3）由图象知：当6≤X ≤11时，面积 不小于88平方米.
PPT课件
25
如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道 篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米。
(1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3)若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。
y（件） 70 50 35
若销售量y是销售价格x的一次函数. (2)若要获得最大的销售利润,每件产品的销售价 格定为多少元？此时每日的销售利润是多少？
设销售利润为W,则 当x 320 160时,
W=(x-120)·y
2
=(x-120)·(-x+200) W=1600
=-x2+320x-2400 PPT课件 则:……
=-2x2+440x+158400
…… =-2(x-110)2+182600
所以,当x…=1…10时,yP有PT课件最大值182600
15
3.某旅社有客房120间,每间房间的日租金为50元, 每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查, 如果一间客房的日租金每增加5元,则客房每天出 租会减少6间,不考虑其它因素,旅社将每间客房的 日租金提高到多少元时,客房日租金总收入最高？ 比装修前的日租金的总收入增加多少元？

品读课文第三部分,回答问题；
1:作者为什么说大自然是无情的又是慷慨的?
无情的:在作者长城万里行的两年里，大自然让他充
分体验到了难以想象的艰难困苦，甚至面临着生死
考验。 慷慨的:大自然是活生生的教科书。万里长城之行让 作者领略到了万里长城,丝绸之路的文化灵魂，了解 了大西北文明的盛衰和当地的风土人情，并首次发 现了一组岩画，这些都具有特殊的文化意义和文物 价值，特别还使作者意识到了作为一个作家一个中 国人的社会感和使命感!
7、毛索洛斯墓庙 毛索洛斯墓庙位于哈利卡纳素斯，在土耳其的西南方，底部建筑
为长方形，面積是40米(120呎)乘30米(100呎)，高45米(140呎)，其 中墩座墙高20米，柱高12米，金字塔高7米，最顶部的马车雕像高6 米建筑物被墩座墙围住，旁边以石像作装饰，顶部的雕像是四匹马 拉著一架古代双辆战车。
3、法洛斯灯塔 法洛斯灯塔与其余六个奇观绝对是不同，因为它并不
带有任何宗教色彩，纯粹为人民实际生活而建，法洛斯灯 塔的灯光在晚上照耀着整个亚历山港，保护著海上的船只， 另外，它亦是当时世上最高的建筑物。
4与、罗巴得比斯伦岛空巨中像花一园样，考古学家至今都未能找到空中花园的遗迹， 事实上，不少在自己著作中提到空中花园的古人也只是从别人 口
5 隐藏 函数图像
5
2 -3 -2 -1 O x
2 -1 O 1 x
练习:已知函数y=x2+2x+2,xD,求此函数在下列各D中的最值：
1
③ [-2,1] ；④[-3, ]
2
y
y
显示 点 显示 对象
显示 文本对象
5 隐藏 函数图像
5
1 -2 -1 O 1 x
-3 -1
1

┐
A
B
N
40m
想一想
何时面积最大
如图,在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，
其中AB和AD分别在两直角边上. (1).设矩形的一边AB=xm,那么AD
M
30m
bm
边的长度如何表示？
D
C
(2).设矩形的面积为ym2,当x取何
值时,y的最大值是多少?
┐ xm
解 : 1.设AD bm,易得b 3 x 30. A
复习提问
1. 二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条 抛物线 ，它的对
称轴是 直线x=h ，顶点坐标是 (h，k) .
2 . 二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条 抛物，线当a>0时，抛
物线开口向 上 ，函数有最
4ac b2
小 值，是 4a
；当
a<0时，抛物线开口向 下 ，函数有最 大 值，
提高技能
用48米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场, 养 鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围 成,并且在与砖墙相对的一面开2米宽 的门(不用篱笆),问养鸡场的边长为多 少米时,养鸡场占地面积最大?最大面 积是多少?
知识升华
某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价 800元。旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每 增加一人，每人的单价就降低10元。当一个旅行团的人 数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
若设销售价为x元(x≤13.5元),那么
销售量可表示为 : 500 20013.5 x 件;
销售额可表示为: x500 20013.5 x 元; 所获利润可表示为:x 2.5500 20013.5 x元;