高等数学课后习题答案第六章

习题六

1. 指出下列各微分方程的阶数：

(1)一阶 (2)二阶 (3)三阶 (4)一阶

2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：

;

解：由得代入方程得

故是方程的解.

;

解：

代入方程得 .

故是方程的解.

;

解：

代入方程得 .

故不是方程的解.

解：

代入方程得

故是方程的解.

3. 在下列各题中，验证所给二元方程为所给微分方程的解：

证：方程两端对x求导：

得

代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.

证：方程两端对x求导：

(*)

得.

(*)式两端对x再求导得

将代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.

4. 从下列各题中的曲线族里，找出满足所给的初始条件的曲线：

解：当时，y=5.故C=-25

故所求曲线为：

解：

当x=0时，y=0故有.

又当x=0时，.故有.

故所求曲线为：.

5. 求下列各微分方程的通解：

;

解：分离变量,得

积分得

得 .

解：分离变量，得

积分得

得通解：

;

解：分离变量，得

积分得

得通解为 .

;

解：分离变量，得

积分得

得通解为

;

解：分离变量，得

积分得

得通解为

;

解：

积分得

得通解为 .

;

解：分离变量，得

积分得

即为通解.

.

解：分离变量，得

积分得

得通解为： .

6. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

;

解：分离变量，得

积分得 .

以代入上式得

故方程特解为 .

.

解：分离变量，得

积分得

将代入上式得

故所求特解为 .

7. 求下列齐次方程的通解：

;

解：

令

原方程变为

两端积分得

即通解为：

;

解：

令，则

原方程变为

积分得

即方程通解为

解：

令，则

原方程变为

即

积分得

故方程通解为

;

解：

令, 则

原方程变为

即

积分得

以代替u，并整理得方程通解为 .

;

解：

令，则

原方程变为

分离变量,得

积分得

以代替u，并整理得方程通解为到

解：

即

令，则,

原方程可变为

即

分离变量，得

积分得 .

即

以代入上式，得

即方程通解为 .

8. 求下列各齐次方程满足所给初始条件的解：

;

解：

令，则得

分离变量，得

积分得

即

得方程通解为

以x=0，y=1代入上式得c=1.

故所求特解为 .

.

解：设，则

原方程可变为

积分得 .

得方程通解为

以x=1，y=2代入上式得c=e2.

故所求特解为 .

9. 利用适当的变换化下列方程为齐次方程，并求出通解：解：设，则原方程化为

令

代回并整理得

.

解：

作变量替换，令

原方程化为

令,则得

分离变量，得

积分得

即

代回并整理得

;

解：作变量替换则

原方程化为

代回并整理得

.

解：令则

原方程可化为

分离变量，得

积分得

故原方程通解为

10. 求下列线性微分方程的通解：

;

解：由通解公式

；

解：方程可化为

由通解公式得

解：

;

解：

.

;

解：方程可化为

解：方程可化为

11. 求下列线性微分方程满足所给初始条件的特解：

;

解：

以代入上式得，

故所求特解为 .

.

解：

以x=1,y=0代入上式，得.

故所求特解为 .

12. 求下列伯努利方程的通解：

解：令，则有

即为原方程通解.

.

解：令.

即为原方程通解.

13. 求下列各微分方程的通解：

;

解：方程两边连续积分两次得

;

解：积分得

;

解：令,则原方程变为

故 .

;

解：设，则

原方程可化为

即

由p=0知y=c，这是原方程的一个解.

当时，