2020高考数学小题押题练(三)(理)(含解析)

高考押题31.选择题属于“小灵通”题，其解题过程“不讲道理”，所以解答选择题的基本策略是：充分地利用题干和选项的两方面条件所提供的信息作出判断．先定性后定量，先特殊后推理，先间接后直接，先排除后求解，对于具有多种解题思路的，宜选最简解法等．解题时应仔细审题，深入分析，正确推演，谨防疏漏．初选后认真检验，确保准确．解数学选择题的常用方法，主要分直接法和间接法两大类．直接法是解答选择题最基本、最常用的方法，但高考的题量较大，如果所有选择题都用直接法解答，不但时间不允许，甚至有些题目根本无法解答，因此，我们还要研究解答选择题的一些技巧．总体来说，选择题属小题，解题的原则是：小题巧解，小题不能大做．填空题是高考题中的客观性题型，不要求书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，具有小巧灵活、结构简单、概念性强、运算量不大等特点．常用的求解方法有：直接运算推理、特值代入法、归纳类比猜想、数形结合法、构造法等．在解答问题时，因为不要求写出解答过程，只要求填写结论，所以每一个步骤都要正确，还要将结论表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思都是快速、准确地解答填空题的基本要求．方法一直接法直接从题设条件出发，运用有关概念、性质、定理、法则和公式等知识，通过严密地推理和准确地运算得出正确的结论，然后对照题目所给出的选项“对号入座”，作出相应的选择．当题目涉及概念、性质的辨析或运算较简单时，常用直接法．方法二特例法从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用．特殊情况可能是：特殊值、特殊点、特殊位置、特殊函数等．方法三排除法排除法也叫筛选法、淘汰法．它是充分利用选择题有且只有一个正确的选项这一特征，通过分析、推理、计算、判断，排除不符合要求的选项，从而得出正确结论的一种方法．方法四数形结合法根据命题条件中的函数关系或几何意义，作出函数的图象或几何图形，将数的问题(如解方程、解不等式、判断单调性、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用图象的直观性，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到解决，这种方法称为数形结合法．方法五构造法构造法是一种创造性思维，是综合运用各种知识和方法，依据问题给出的条件和结论给出的信息，把问题作适当的加工处理，构造与问题相关的数学模式，揭示问题的本质，从而沟通解题思路的方法．方法六估算法由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无须过程，因此有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，但是加强了思维的层次．方法七推理分析法推理分析法是通过逻辑推断过程，分析4个选项之间的逻辑关系，从而否定干扰项，肯定正确选项的方法推理分析法一般用来解决概念性问题，根据两个概念外延的重合、包含、交叉、互斥等关系进行推理分析2.解答题在高考数学试题中约占一半的分值，试题已由单纯的知识叠加型转化为知识、方法和能力的综合型，尤其是创新能力型试题．试题具有明显的区分度，前3题一般难度中等，最后两题多为把关题．从近几年的高考试题分析来看，题目的设计一般是三角函数或解三角形、立体几何、应用问题(一般以概率和统计为主)、数列、解析几何和函数与导数几个方面．对于考生来说，想要得到高分，必须争取在前3个解答题上不失分或少失分．这就需要考生在做题时计算准确、推理严谨、书写规范、步骤清晰，解决“会而不对，对而不全”的问题．3.高考中涉及圆锥曲线、函数与导数的考题一般难度较大，通常作为压轴题出现，部分考生对此类题目感到无从下手．对这类题目可以采取“多捞分”的策略．1.缺步答题如遇到一个不会做的问题，可将其分解为一系列的步骤，或者是一个个小问题，先解决问题的一部分，能解决多少就解决多少，能演算几步就写几步．特别是那些解题层次明显的题目，即使得不出最后结论，演算到得分点也可以得分2.跳步解答解题过程卡在某一过渡环节时，我们可以先承认中间结论，继续往后推，看能否得到结论．若题目有两问，第(1)问想不出来，可把第(1)问的结论当作“已知”，先做第(2)问，跳一步再解答．3.辅助解答一道题目的完整解答，既有主要的实质性步骤，也有次要的辅助性步骤．当实质性的步骤不好找时，找辅助性的步骤是明智之举．4.逆向解答正面思考问题思维受阻时，用逆向思维的方法去探求新的解题途径，往往能得到突破性的进展，顺向推有困难就逆推，直接证有困难就反证． 一、单选题1．已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ，{}|28xB x =≤，则A B =I （ ） A ．{1,0,1,2,3}-B ．{0,1,2,3}C ．[1,3]-D ．[0,3]2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．1853．在复平面内O 为坐标原点，复数112(3),3z z i i z i==-对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ） A ．512π B ．12πC ．712π D ．11π124．数列{}n a 满足()1111nn n a a n ++=-+-,且601a <<．记数列{}n a 的前n 项和为n S ,则当n S 取最大值时n 为（ ） A ．11B ．12C ．11或13D ．12或135．己知函数()f x 的定义域是R ，对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=.当[)1,1x ∈-时，()f x x =.给出下列四个关于函数()f x 的命题： ①函数()f x 是奇函数； ②函数()f x 是周期函数；③函数()f x 的全部零点为2x k =，k Z ∈；④当算[)3,3x ∈-时，函数()1g x x=的图象与函数()f x 的图象有且只有4个公共点. 其中，真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．46．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280B ．4864C ．－4864D ．12807．已知正四面体A BCD -的棱长为M ，N 分别是AC ，AD 上的点，过MN 作平面α，使得AB ，CD 均与α平行，且AB ，CD 到α的距离分别为2，4，则正四面体A BCD -的外接球被α所截得的圆的面积为（ ） A ．11πB ．18πC ．26πD ．27π8．已知方程()2sin 2002xx ωωω-=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（ ） A ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．713,66⎛⎤⎥⎝⎦C ．410,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．113,66⎛⎤⎥⎝⎦9．设点O 是面积为4的ABC V 内部一点，且有2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r，则AOC △的面积为（ ）A ．2B ．1C ．12D ．1310．已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，则||||MF MC +的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．511．已知函数()log ,0(0,1)3,40a x x a a f x x x >>≠⎧=⎨+-≤<⎩，若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( ) A ．[)4,+∞B ．()()0,11,e ⋃C ．()0,1D ．()1,e12．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,A a a a =⋅⋅⋅重新编辑，编辑新序列为*324123,,,a a a A a a a ⋅⋅⋅⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第n 项为1n na a +，若序列()**A 的所有项都是2，且51a =，632a =，则1a 等于（ ）A ．1256B ．1512C ．11024D ．12048第II 卷（非选择题)二、填空题 13．已知当|1|2x <时，有21124(2)12n x x x x =-++-+-L L ，根据以上信息，若对任意1||2x <都有20123,(1)(12)n n xa a x a x a x x x =+++++-+L L 则11a =______． 14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u r u u u u r ，120QF QF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为________.15．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，*n N ∈），则球n O 的表面积等于_______． 16．给出下列说法：，3，②当,0()3k ∈-时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立； ③函数22sin ()sin ()44y x x ππ=+--是周期为π的奇函数； ④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 其中，正确说法序号是_________.三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且asin sin csin 0sin sin 3A bBC a B C +--= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.18．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，E 、F 分别为SA 、SD 的中点.（1）当5SA =时，证明：平面BEF ⊥平面SAD ；（2）若平面BEF 与底面ABCD 所成锐二面角为6π，求直线SC 与平面BEF 所成角的正弦值. 19．如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点AB 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠． 20．自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数. 日期 23 24 25 26 27 28 29 30 31 时间x1 2 3 4 5 6 7 8 9 新增确诊人数y151926314378565557经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型ˆˆˆln yb x a =+用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：()()()()99911115,42.2,ln 1.42,384,ln ln 100.869i i i i ii i i x y x x x y y x xy y ======--=--=∑∑∑，()()99221160,ln ln 4.1,ln10 2.3ii i i x x x x==-=-==∑∑.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X k =最有可能（即概率最大）的值是多少. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 21．在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与1C ，2C 交于异于极点的A ，B 两点，求OB OA的最大值.22．已知函数()212f x x x =+--，不等式()2f x ≤的解集为M . （1）求M ；（2）记集合M 的最大元素为m ，若a 、b 、c 都是正实数，且11123m a b c++=.求证：239a b c ++≥.一、单选题1．已知集合{|15,}A x x x =-≤≤∈N ，{}|28xB x =≤，则A B =I （ ） A ．{1,0,1,2,3}- B ．{0,1,2,3}C ．[1,3]-D ．[0,3]【答案】B【解析】由题可知{}{|15,}0,1,2,3,4,5A x x x =-≤≤∈=N {}{}|283xB x x x =≤=≤故A B =I {0,1,2,3} 故选：B2．“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝，“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积，作一个边长为5的正方形将其包含在内，并向该正方形内随机投掷200个点，己知恰有80个点落在阴影部分，据此可估计阴影部分的面积是（ ）A ．165B ．325C ．10D ．185【答案】C【解析】设图中阴影部分的面积为s ，正方形的面积为25， 则8025200s =， 解得：10s = 故选：C3．在复平面内O 为坐标原点，复数112(3),3z z i i z i==-对应的点分别为1Z ，2Z ，则12Z OZ ∠的大小为（ ） A ．512π B ．12πC ．712π D ．11π12【答案】B 【解析】因为()1313z ii i ==-+，故(13Z =-，12z =；因为212z i===+，故212Z⎫=⎪⎪⎝⎭.容易知12122,1,OZ OZ Z Z===满足勾股定理，故可得122Z OZπ∠=.故选：B.4．数列{}n a满足()1111nn na a n++=-+-,且601a<<．记数列{}n a的前n项和为n S,则当n S取最大值时n为（）A．11 B．12 C．11或13 D．12或13【答案】C【解析】由题,当n为奇数时, ()1111nn na a n++=-+-,()()1211111nn na a n++++=-++-.故()()()()1211111111211n n nn na a n n++⎡⎤⎡⎤-=-++---+-=--⋅-=⎣⎦⎣⎦.故奇数项为公差为1的等差数列.同理当n为偶数时, ()21213nn na a+-=--⋅-=-.故偶数项为公差为-3的等差数列.又601a<<即2206167a a<-<⇒<<.又()12111119a a+=-+-=.所以123a<<.综上可知,奇数项均为正数,偶数项随着n的增大由正变负.故当n S取最大值时n为奇数.故n为奇数且此时有()()()()1112111110011110nn nnn nna aa a n--+++⎧--+-≥+≥⎧⎪⇒⎨⎨+≤-++-≤⎩⎪⎩,解得1113n≤≤.故11n=或13n=.故选：C5．己知函数()f x的定义域是R，对任意的x∈R，有()()20f x f x+-=.当[)1,1x∈-时，()f x x=.给出下列四个关于函数()f x的命题：①函数()f x是奇函数；②函数()f x是周期函数；③函数()f x的全部零点为2x k=，k Z∈；④当算[)3,3x ∈-时，函数()1g x x=的图象与函数()f x 的图象有且只有4个公共点. 其中，真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】∵对任意的x ∈R ，有()()20f x f x +-=，∴对任意的x ∈R ，()()2f x f x +=， ∴()f x 是周期为2的函数，()()()1121f f f =-=-，又∵当[)1,1x ∈-时，()f x x =，∴()()111f f =-=-，∴函数()f x 不是奇函数，故①错误，②正确. 当[)1,1x ∈-时，()f x x =，∴()00f =，又∵()f x 是周期为2的函数，∴函数()f x 的全部零点为2x k =，k Z ∈，故③正确.∵当[)1,1x ∈-时，()f x x =，令()()1f xg x x==，解得1x =（舍）或1x =-；当[)1,3x ∈时，()()22f x f x x =-=-，令()()f x g x =，则12x x-=，解得1x =1x =（舍）；当[)3,1x ∈--时，()()22f x f x x =+=+，令()()f x g x =，则12x x+=，解得1x =--或1x =-，∴共有3个公共点，故④错误. 因此真命题的个数为2个. 故选：B6．3481(3)(2)x x x+-展开式中x 2的系数为( ) A ．－1280 B ．4864C ．－4864D ．1280【答案】A【解析】根据二项式的展开式得到可以第一个括号里出33x 项，第二个括号里出1x项，或者第一个括号里出4x ，第二个括号里出21x ，具体为：()23174268811322x C x C x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+⋅-⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎣⎦化简得到-1280 x 2 故得到答案为：A.7．已知正四面体A BCD -的棱长为M ，N 分别是AC ，AD 上的点，过MN 作平面α，使得AB ，CD 均与α平行，且AB ，CD 到α的距离分别为2，4，则正四面体A BCD -的外接球被α所截得的圆的面积为（ ） A ．11π B ．18πC ．26πD ．27π【答案】C【解析】将正四面体A BCD -补形成棱长为6的正方体APBQ ECFD -，则A BCD -的外接球球心O 即为正方体的中心，故球O 的半径6333R ==， 且α与面APBQ ，ECFD 平行，α到面ECFD 的距离分别为2和4，此时O 到α的距离为1，故α被球O 所截圆半径22126r R =-=，从而截面圆的面积为26π.故选：C .8．已知方程()223sin 32002xx ωωω-=>在区间()0,π内只有一个实根，则ω的取值范围（ ） A ．17,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．713,66⎛⎤⎥⎝⎦ C ．410,33⎛⎤⎥⎝⎦D ．113,66⎛⎤⎥⎝⎦【答案】D【解析】由题意，方程()223sin 32002xx ωωω-=>在区间()0,π内只有一个实根，即方程2sin 23322xx ωω-=在区间()0,π内只有一个实根，设()2sin 233sin 32x x x f x x ωωωω==-2sin()3x πω=+，当()0,x π∈，则(,)333x πππωωπ+∈+，要使得()2f x =在区间()0,π内只有一个实根， 则满足5232πππωπ<+≤，解得11366ω<≤， 即ω的取值范围是113,66⎛⎤⎥⎝⎦. 故选：D .9．设点O 是面积为4的ABC V 内部一点，且有2OA OB OC ++=0u u u r u u u ru u u r，则AOC △的面积为（ ） A ．2 B ．1C ．12D ．13【答案】B【解析】设AB 的中点为,2220B D OD OC OA O OC =+++=ru u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，OD OC ∴=-u u u r u u u r，即O 为CD 中点，11124AOC ACD ABC S S S ===△△△. 故选：B.10．已知M 是抛物线24x y =上一点，F 为其焦点，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，则||||MF MC +的最小值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】设抛物线24x y =的准线方程为:1l y =-，C 为圆22(1)(2)1x y ++-=的圆心，所以C 的坐标为(1,2)-，过M 作l 的垂线，垂足为E ，根据抛物线的定义可知||||MF ME =，所以问题求||||MF MC +的最小值，就转化为求||||MF MC +的最小值，由平面几何的知识可知，当C ，M ，E 在一条直线上时，此时CE l ⊥，||||ME MC +有最小值，最小值为2(1)3CE =--=， 故选：B ．11．已知函数()log ,0(0,1)3,40a x x a a f x x x >>≠⎧=⎨+-≤<⎩，若函数()f x 的图象上有且只有两个点关于y 轴对称，则a 的取值范围是( ) A ．[)4,+∞ B ．()()0,11,e ⋃ C ．()0,1 D ．()1,e【答案】A【解析】当1a >时，log a y x =关于y 轴对称的函数为log ()a y x =-， 画出图像如下所示：要满足题意，只需log 41a ≤，解得4a ≥.当01a <<时，log a y x =关于y 轴对称的函数为()log a y x =-， 画出函数图像如下所示：数形结合可知，显然不满足题意. 综上所述：4a ≥. 故选：A.12．某软件研发公司对某软件进行升级，主要是软件程序中的某序列{}123,,,A a a a =⋅⋅⋅重新编辑，编辑新序列为*324123,,,a a a A a a a ⋅⋅⋅⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，它的第n 项为1n na a +，若序列()**A 的所有项都是2，且51a =，632a =，则1a 等于（ ） A ．1256B ．1512C ．11024D ．12048【答案】C【解析】设21a q a =， Q 序列()**A 的所有项都是2，{}2,2,2,A q q q *∴=⋅⋅⋅，即112n n na q a -+=， 12211231n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅Q ，()()21231211222n n n n n n a q q q a q a -----∴=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=， 64511056121232a q a a q a ⎧==∴⎨==⎩，解得：1110242a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩. 故选：C .第II 卷（非选择题)二、填空题 13．已知当|1|2x <时，有21124(2)12n x x x x =-++-+-L L ，根据以上信息，若对任意1||2x <都有20123,(1)(12)n n xa a x a x a x x x =+++++-+L L 则11a =______． 【答案】910 【解析】Q 当1||2x <时，有21124(2)12n x x x x=-+-⋯+-+⋯+，①∴当1||2x <时，有3693311()1nx x x x x =++++⋯++⋯-，② 又对任意1||2x <，都有20123311(1)(12)121n n x x a a x a x a x x x x x=⋅⋅=+++⋯++⋯-++-， 11a ∴即为11x 的系数，可取①中的10(2)x -，②中的1；或①中7(2)x -，②中的3x ； 或①中的4(2)x -，②中的6x ；或①中的()2x -，②中的9x ； ()107411(2)(2)(2)2910a ∴=-+-+-+-=，故答案为：910．14．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上一点，Q 为双曲线C 渐近线上一点，P ，Q 均位于第一象限，且22QP PF =u u u r u u u u r ，120QF QF ⋅=u u u r u u u u r，则双曲线C 的离心率为________.2【解析】由双曲线的方程22221x y a b-=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为双曲线C 上的一点，Q 为双曲线C的渐近线上的一点，且P ，Q 都位于第一象限，且22QP PF =u u u r u u u u r ，120QF QF ⋅=u u u r u u u u r， 可知P 为2QF 的三等分点，且12QF QF ⊥u u u r u u u u r，点Q 在直线0bx ay -=上，并且OQ c =，则(),Q a b ，()2,0F c ， 设()11,P x y ，则()()11112,,x a y b c x y --=--， 解得123a c x +=，123b y =，即22,33a c b P +⎛⎫⎪⎝⎭，代入双曲线的方程可得()2224199a c a +-=，解得2c e a ==，2.15．已知三棱锥A BCD -的棱长均为6，其内有n 个小球，球1O 与三棱锥A BCD -的四个面都相切，球2O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1O 都相切，如此类推，…，球n O 与三棱锥A BCD -的三个面和球1n O -都相切（2n ≥，*n N ∈），则球n O 的表面积等于_______．【答案】164n π- 【解析】不妨设n O 的半径为n r ，正四面体的棱长为a ，取CD 中点为E ，球1O 与平面ACD 切于点F ，球2O 与平面ACD 切于点H ， 作截面ABE ，G 为△BCD 的外心，如下图所示：容易知36GE a =，63AG =，32AE a =， 因为1~AFO AGE ∆∆，故可得11r AG r GE AE -=，解得166r ==； 同理由2~AHO AGE ∆∆，故可得2122r AG r r GE AE --=，解得266r ==， 以此类推，总结归纳可得{}n r 是首项为6212的等比数列，故可得16122n n r -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则n O 的表面积212161644224n n n S r πππ--⎤⎛⎫==⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.故答案为：164n π-.16．给出下列说法：，3，②当,0()3k ∈-时，不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立； ③函数22sin ()sin ()44y x x ππ=+--是周期为π的奇函数； ④两两相交且不过同一点的三条直线必在同一个平面内. 其中，正确说法序号是_________. 【答案】①②③④【解析】① 其被开方数构成一个以3为首项，6为公差的等差数列，② 当(3,0)k ∈-时，230k k ∆=+<， 则函数2328y kx kx =+-的图象开口朝下，且与x 轴无交点， 故不等式23208kx kx +-<对一切实数x 都成立，故②正确； ③ 22sin ()sin ()44y x x ππ=+-- 22sin ()sin ()442x x πππ=+-+-22sin ()cos ()44x x ππ=+-+cos(2)2x π=-+sin 2x =该函数是周期为π的奇函数，故③正确；④ 设三条直线,,a b c ，a b M =I ，b c N =I ，c a P =I ， 由公理3推论2可知，直线,a b 可确定一个平面α，,,,P a a N b b αα∈⊂∈⊂Q ， ∴,P N α∈，又Q ,P N c ∈∴由公理1可知c α⊂，∴三条直线,,a b c 均在平面α内，故④正确.故答案为：①②③④. 三、解答题17．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且asin sin csin 0sin sin A b B C B C +-= .（1）求角C ；（2）若ABC ∆的中线CE 的长为1，求ABC ∆的面积的最大值.【答案】（1）3π；（2）3.【解析】（1）由sin sin sin 0sin sin a A b B c C B C +-=，得： b sin 3a a b b c c a C ⋅+⋅-⋅=⋅，即22223a b c C ab +-=,由余弦定理得cos 3C C =∴tan C =()0,C π∈，∴3C π= .（2）由余弦定理：22121cos 42c c b CEA =+-⨯⨯⋅∠①，②22121cos 42c c a CEB =+-⨯⨯⋅∠，由三角形中线长定理可得：①+②得22222c b a +=+ 即2222()4b a c +=+∵2222cos c a b ab C =+-⋅，∴2242a b ab ab +=-≥ ∴43ab ≤，当且仅当a b =时取等号所以114S =sinC 223ABC ab ∆≤⨯=. 18．如图，正四棱锥S ABCD -的底面边长为2，E 、F 分别为SA 、SD 的中点.（1）当5SA=时，证明：平面BEF ⊥平面SAD ；（2）若平面BEF 与底面ABCD 所成锐二面角为6π，求直线SC 与平面BEF 所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）5. 【解析】（1）连接AC 交BD 于点O ，建立如图所示空间坐标系.∵5SA =3OS =(3S ，)2,0,0A，()0,2,0D -，()2,0B ，23,0,22E ⎛ ⎝⎭，230,22F ⎛- ⎝⎭，设G 是AD 的中点，则2222G ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，22322SG ⎛=-- ⎝u u u r ，22022EF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，232,22EB ⎛=-- ⎝⎭u u u r ，∵0SG EF ⋅=u u u r u u u r ，0SG EB ⋅=u u u r u u u r，∴SG EF ⊥，SG EB ⊥，EF EB B =Q I ，∴SG ⊥平面BEF ，∵SG ⊂平面SAD ，∴平面BEF ⊥平面SAD ；（2）设OS h =，则()0,0,S h ，2,0,22h E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，20,,22h F ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，则220EF ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ,,，2,2,2h EB ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u u u r ，设平面BEF 的一个法向量为()1,,n x y z =u r ，则1100n EF n EB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u v u u u v u v u u u v ，即2202222022x y hz x y ⎧--=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩，令1x =，则1y =-，32z h =-，所以1321,1,n h ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭u r ， 取平面ABCD 的一个法向量为()20,0,1n =u u r，则12123cos 6n n n n π⋅==u r u u ru r u u r ，即23322182h h=+，解得3h =，∴()2,0,3CS =u u u r ， 设直线SC 与平面BEF 所成的角为θ，∴11225sin 5225CS n CS n θ⋅===⋅u u u r u r u u u r u r ，即直线SC 与平面BEF 所成角的正弦值为5. 19．如图，圆C 与x 轴相切于点()2,0T ，与y 轴正半轴相交于,M N 两点（点M 在点N 的下方），且3MN =．(1)求圆C 的方程；(2)过点M 任作一条直线与椭圆22184x y +=相交于两点AB 、，连接AN BN 、，求证：ANM BNM ∠=∠． 【答案】（Ⅰ）()22525224x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭；（Ⅱ）见解析【解析】(1)由题可知圆心的坐标为()2,.r ∵22232553,2,242MN r r ⎛⎫=∴=+== ⎪⎝⎭∴圆C 方程为:()22525224x y ⎛⎫-+-=⎪⎝⎭ (2) 由圆C 方程可得()()0,1,0,4M N①当AB 斜率不存在时，0ANM BNM ∠=∠=o②当AB 斜率存在时，设AB 直线方程为:1y kx =+. 设()()1122,,,A x y B x y()2222112460184y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++-=⎨+=⎪⎩ 1212246,1212k x x x x k k +=-=-++ ∴()22121212121226423234412120612AN BNk k kx x x x y y k k k k x x x x k ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪-+--++⎝⎭⎝⎭+=+===-+∴0AN BN k k +=综上所述ANM BNM ∠=∠20．自从新型冠状病毒爆发以来，全国范围内采取了积极的措施进行防控，并及时通报各项数据以便公众了解情况，做好防护.以下是湖南省2020年1月23日-31日这9天的新增确诊人数.经过医学研究，发现新型冠状病毒极易传染，一个病毒的携带者在病情发作之前通常有长达14天的潜伏期，这个期间如果不采取防护措施，则感染者与一位健康者接触时间超过15秒，就有可能传染病毒.（1）将1月23日作为第1天，连续9天的时间作为变量x ，每天新增确诊人数作为变量y ，通过回归分析，得到模型ˆˆˆln yb x a =+用于对疫情进行分析.对上表的数据作初步处理，得到下面的一些统计量的值（部分数据已作近似处理）：()()()()99911115,42.2,ln 1.42,384,ln ln 100.869i i i i ii i i x y x x x y y x xy y ======--=--=∑∑∑，()()99221160,ln ln 4.1,ln10 2.3ii i i x x x x==-=-==∑∑.根据相关数据，求该模型的回归方程（结果精确到0.1），并依据该模型预测第10天新增确诊人数.（2）如果一位新型冠状病毒的感染者传染给他人的概率为0.3，在一次12人的家庭聚餐中，只有一位感染者参加了聚餐，记余下的人员中被感染的人数为X ，求X k =最有可能（即概率最大）的值是多少. 附：对于一组数据()11,u v ，()22,u v …，(),n n u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为()()()121ˆˆˆ,niii nii u u v v v u u u βαβ==--==--∑∑. 【答案】（1）回归方程为ˆ24.6ln 7.3y x =+，估计第10天新增确诊人数为64人；（2）3k =.【解析】（1）()()()91921ln ln 100.8624.6l ˆˆˆl , 4.1n n ln iii i i b x x y y a xyb x x ==--====+∴-∑∑$Q ， $24.6ln 42.224.6 1.427.3ay x =-⨯=-⨯≈， ∴回归方程为ˆ24.6ln 7.3yx =+， 当10x =时，ˆ24.6ln107.324.6 2.37.363.8864y=⨯+=⨯+=≈， ∴估计第10天新增确诊人数为64人；（2）设余下11人中被感染的人数为X ，则(11,0.3)X B :，1111()0.30.7k k k P X k C -∴==⋅，要使()P X k =最大，需()(1)()(1)P X k P X k P X k P X k =≥=-⎧⎨=≥=+⎩，111112111111111011110.30.70.30.70.30.70.30.7k k k k k k k k k k k kC C C C -----++-⎧⋅≥⋅∴⎨⋅≥⋅⎩即0.30.7!(11)!(1)!(12)!0.70.3!(11)!(1)!(10)!k k k k k k k k ⎧≥⎪---⎪⎨⎪≥⎪-+-⎩，3.60.30.70.70.7 3.30.3k kk k-≥⎧⎨+≥-⎩ 得2.6 3.6,,3k k N k ≤≤∈∴=Q ，所以X k =最有可能（即概率最大）的值为3k =.21．在直角坐标系xOy 中，曲线221:14x C y +=，曲线222cos :2sin x C y ϕϕ=+⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求1C ，2C 的极坐标方程；（2）射线l 的极坐标方程为()0θαρ=≥，若l 分别与1C ，2C 交于异于极点的A ，B 两点，求OB OA的最大值.【答案】（1）1C 的极坐标方程为()223sin14ρθ+=，2C 的极坐标方程为4cos ρθ=；（2）3； 【解析】（1）221:44C x y +=，cos ,sin x y ρθρθ==Q故1C 的极坐标方程为()223sin14ρθ+=.而2C 的直角坐标方程为()2224x y -+=，即2240x y x +-=，2C 的极坐标方程为4cos ρθ=.（2）直线l 分别与1C ，2C 联立得()22314sin ρθθα⎧+=⎪⎨=⎪⎩，则22431OA sin α=+ 4cos ρθθα=⎧⎨=⎩，则2216OB cos α=()2222431OB cos sin OAαα∴=+，()()224131sin sin αα=-+ 24221284OB sin sin OAαα∴=-++由于20sin 1α≤≤，根据二次函数的性质可知，当21sin 3α=时，22OB OA有最大值为163，故OB OA 有最大值3. 22．已知函数()212f x x x =+--，不等式()2f x ≤的解集为M . （1）求M ；（2）记集合M 的最大元素为m ，若a 、b 、c 都是正实数，且11123m a b c++=.求证：239a b c ++≥. 【答案】（1）{}51x x -≤≤；（2）证明见解析. 【解析】（1）()2122f x x x =+--≤Q .当21x <-时，()()()21232f x x x x =-++-=--≤，解得5x ≥-，此时152x -≤<-； 当122x -≤≤时，()()()212312f x x x x =++-=-≤，解得1x ≤，此时112x -≤≤；当2x >时，()()()21232f x x x x =+--=+≤，解得1x ≤-，此时x ∈∅. 故不等式()2f x ≤的解集为{}51x x -≤≤，因此，集合{}51M x x =-≤≤； （2）由（1）可知1m =，111123a b c++=Q， 由柯西不等式得()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭29≥=， 即239a b c ++≥，当且仅当23a b c ==时，即当3a =，32b =，1c =时取等号.0。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．执行如图所示的程序框图，则输出的n值是（）A．5B．7C．9D．112．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：甲预测说：获奖者在乙、丙、丁三人中； 乙预测说：我不会获奖，丙获奖 丙预测说：甲和丁中有一人获奖； 丁预测说：乙的猜测是对的成绩公布后表明，四人的猜测中有两人的预测与结果相符.另外两人的预测与结果不相符，已知有两人获奖，则获奖的是（） A ．甲和丁 B ．乙和丁 C ．乙和丙 D ．甲和丙3．曲线214y x =+-与直线()24y k x =-+有两个不同交点，实数k 的取值范围是（ ） A ．34k ≥B ．35412k -≤<- C ．512k >D ．53124k <≤ 4．已知某线路公交车从6:30首发，每5分钟一班，甲、乙两同学都从起点站坐车去学校，若甲每天到起点站的时间是在6:30~7:00任意时刻随机到达，乙每天到起点站的时间是在6:45~7:15任意时刻随机到达，那么甲、乙两人搭乘同一辆公交车的概率是（） A ．12B ．16C ．19D ．1125．如右图，在长方体1111ABCD A B C D -中，AB =11，AD =7，1AA =12，一质点从顶点A 射向点()4312E ，，，遇长方体的面反射（反射服从光的反射原理），将1i -次到第i 次反射点之间的线段记为()2,3,4i L i =，1L AE =，将线段1234,,,L L L L 竖直放置在同一水平线上，则大致的图形是（）A ．B ．C ．D ．6．函数f （x ）＝22x x -的零点个数有（）个． A ．2B ．3C ．4D ．无数7．等差数列{}n a 满足：10a >，31047a a =.记12n n n n a a a b ++=，当数列{}n b 的前n 项和n S 取最大值时，n =（） A ．17B ．18C ．19D ．208．已知cos tan 0θθ<g ，那么角θ是（ ） Ａ．第一或第二象限角 Ｂ．第二或第三象限角 Ｃ．第三或第四象限角Ｄ．第一或第四象限角9．若存在正实数，使得关于的方程有两个不等的实根（其中是自然对数的底数），则实数的取值范围是（） A ．B ．C ．D ．10．设点O 在ABC ∆的外部，且2350OA OB OC --=u u u v u u u v u u u v v，则:OBC ABC S S ∆∆=（） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:111．设集合S={A 0，A 1，A 2，A 3}，在S 上定义运算⊕为：A 1⊕A=A b ,其中k 为I+j 被4除的余数，I,j=0,1,2,3.满足关系式=（x ⊕x ）⊕A 2=A 0的x(x ∈S)的个数为 A.4 B.3 C.2D ．112．若复数()()2z a i a R =+∈在复平面内对应的点在y 轴上，则z =（） A ．1B ．3C ．2D ．4二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1．己知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+->>的左、右焦点分别为12,F F ，点()11,P x y ，()1,l Q x y --在椭圆C 上，其中1>0x ，10y >，若2||2PQ OF =，113||3QF PF ≥，则椭圆C 的离心率的取值范围为（）A ．610,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．62]C ．231]2- D ．31]2．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，若输入N 的值为20，则输出T 的值为A ．1B ．2C ．3D ．43．对于一个数的三次方，我们可以分解为若干个数字的和如下所示：33331123537911413151719==+=++=+++…，根据上述规律，317的分解式中，等号右边的所有数的个位数之和为（ ） A ．71B ．75C ．83D ．884．设i 是虚数单位，若复数()103a a R i-∈-是纯虚数，则a 的值为（） A ．-3B ．-1C ．1D ．35．在四面体ABCD 中，BCD ∆为等边三角形，2ADB π∠=，二面角B AD C --的大小为α，则α的取值范围是（）A ．0,6π⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．0,3π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．0,2π⎛⎤ ⎥⎝⎦6．设函数()222f x ax x =-+，对于满足14x <<的一切x 值都有()0f x >，则实数a 的取值范围为（） A ．1a ≥B ．112a << C ．12a ≥D ．12a >7．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为()km.A ．85B ．415C ．215D ．258．有两个等差数列2，6，10，…，190和2，8，14，…，200，由这两个等差数列的公共项按从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列的项数为（） A ．15B ．16C ．17D ．189．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且对任意的()(),2x R f x f x ∈+=，当()201,x f x x ≤≤=，若直线y x a =+与函数()f x 的图像在[]0,2内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（）A ．0B ．0或12-C ．14-或12-D ．0或14-10．如图，在四边形ABCD 中，AB BC ⊥,AD DC ⊥．若,AB a AD b ==u u u v u u u v v v ，则AC BD ⋅u u u v u u u v=（）A ．22a b -vvB ．22b a -v vC ．22a b +v vD ．a b ⋅v v11．设U 为全集，M ,P 是U 的两个子集，且P P M C U =I )(，则=P M I A ．MB ．PC ．P C UD ．φ12．如图，有一种游戏画板，要求参与者用六种颜色给画板涂色，这六种颜色分别为红色、黄色1、黄色2、黄色3、金色1、金色2，其中黄色1、黄色2、黄色3是三种不同的颜色，金色1、金色2是两种不同的颜色，要求红色不在两端，黄色1、黄色2、黄色3有且仅有两种相邻，则不同的涂色方案有（ ）A ．120种B ．240种C ．144种D ．288种二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。

12020年高考押题预测卷03【新课标Ⅰ卷】理科数学（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．集合{}2,A x x x R =>∈，{}2230B x x x =-->，则A B =I （ ） A ．(3,)+∞ B ．(,1)(3,)-∞-+∞U C ．(2,)+∞ D ．(2,3)2．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的（ ） A ．必要不充分条件 B ．充分不必要条件 C ．充要条件D ．既非充分也非必要条件3．若(12)5i z i -=（i 是虚数单位），则z 的值为（ ） A ．3B ．5C ．3D ．54．若如下框图所给的程序运行结果为20S =，那么判断框中应填入的关于k 的条件是( )A ．9k =B ．8k ≤C ．8k <D ．k ＞85．若31log 2a =，2log 3b =，312c ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>6．已知边长为4的菱形ABCD ，60DAB ∠=︒，M 为CD 的中点，N 为平面ABCD 内一点，若AN NM =，则AM AN ⋅=u u u u r u u u r（ ） A ．16B ．14C ．12D ．87．数学家也有许多美丽的错误，如法国数学家费马于1640年提出了以下猜想221(0,1,2,)nn F n =+=L 是质数．直到1732年才被善于计算的大数学家欧拉算出56416700417F =*，不是质数．现设n a =()2log 1,(1,2,)n F n -=L ，n S 表示数列{}n a 的前n 项和．则使不等式212231222n n n S S S S S S +++⋯+<22020n成立的最小正整数n 的值是（提示1021024=）（ ） A ．11B ．10C ．9D ．88．函数23ln ()x f x x=的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知点()1,1A 和77,69B ⎛⎫⎪⎝⎭，直线l ：70ax by +-=，若直线l 与线段AB 有公共点，则22a b +的最小值为（ ） A ．24B ．492C ．25D ．3241310．设X ～N (1,σ2),其正态分布密度曲线如图所示,且P (X ≥3)＝0.0228,那么向正方形OAB C 中随机投掷10000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值为( )(附：随机变量ξ服从正态分布N (μ，σ2)，则P (μ－σ＜ξ＜μ＋σ)＝68.26%，P (μ－2σ＜ξ＜μ＋2σ)＝95.44%)A ．6038B ．6587C ．7028D ．753911．定义在R 上函数()f x 满足()()f x f x -=，且对任意的不相等的实数[)12,0,x x ∈+∞有。

2020届河北衡水金卷新高考原创押题考试（三）理科数学一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知全集U =R ，集合{|lg }A x y x ==, 集合{|1}B y y ==，那么U A C B ⋂= （ ）A. φB. (]0,1C. ()0,1D. ()1,+∞【答案】C 【解析】 【分析】先化简集合A 和B,再求U U C B A C B ⋂和.【详解】由题得A={x|x>0},B={y|y≥1}，所以{|1},(0,1)U U C B y y A C B =<∴⋂=. 故答案为C【点睛】(1)本题主要考查集合的化简和运算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2) 集合的运算要注意灵活运用维恩图和数轴，一般情况下，有限集的运算用维恩图分析，无限集的运算用数轴，这实际上是数形结合的思想的具体运用. 2.复数()2211i i+++的共轭复数是 A. 1i + B. 1i -C. 1i -+D. 1i --【答案】B 【解析】()()22121121112i i i i i ⋅-++=+-+=++Q ，故其共轭复数是1i - ，选B 3.已知向量,a b r r不共线，若()()3//a b ka b +-r r r r ，则实数k =（ ）A. 13- B. 12-C.13D.12【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线的性质得()3ka b a b λ-=+r r r r，由此能求出实数k 的值．【详解】由于()()3//a b ka b +-r r r r ，所以存在实数λ，使得()3ka b a b λ-=+r r r r，因此k λ=且31λ=-，解得13k =-. 故选：A【点睛】本题考查实数值的求法，考查向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 4.执行如图所示的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 2log 101-B. 22log 31-C.92D. 6【答案】B 【解析】【详解】第一次循环，23log 2,2S i =+=；第二次循环，2233log 2log ,32S i =+=；以此类推得第七次循环，22223893log 2log log 3log 8,8272S i =++=+==L ；结束循环输出229log 2log 312=-，选B. 点睛：算法与流程图考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.5.一次数学考试后，某老师从甲，乙两个班级中各抽取5人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图，已知甲班5名同学成绩的平均数为81，乙班5名同学成绩的中位数为73，则x y -的值为（ ）A. 2B. -2C. 3D. -3【答案】D 【解析】由茎叶图知727786(80)908157073x y +++++⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得0,3x y ==， 所以3x y -=-，故选D .6.《中国诗词大会》（第二季）亮点颇多，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味．若《将进酒》《山居秋暝》《望岳《送杜少府之任蜀州》和另确定的两首诗词排在后六场，且《将进酒》排在《望岳》的前面，《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有（ ） A. 288种 B. 144种 C. 720种 D. 360种【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分2步进行分析：①用倍分法分析《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的排法数目；②用插空法分析《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》的排法数目，由分步计数原理计算可得答案【详解】根据题意分2步进行分析：①将《将进酒》，《望岳》和另外两首诗词的4首诗词全排列，则有4424A =种顺序Q 《将进酒》排在《望岳》的前面，∴这4首诗词的排法有44122A =种②，这4首诗词排好后，不含最后，有4个空位，在4个空位中任选2个，安排《山居秋暝》与《送杜少府之任蜀州》，有3412A =种安排方法则后六场的排法有1212144⨯=种 故选B【点睛】本题考查的是有关限制条件的排列数的问题，第一需要注意先把不相邻的元素找出来，将剩下的排好，这里需要注意定序问题除阶乘，第二需要将不相邻的两个元素进行插空，利用分步计数原理求得结果，注意特殊元素特殊对待．7.在平面直角坐标系中，不等式组22200x y x y x y r +≤⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩(r 为常数)表示的平面区域的面积为π，若x ，y 满足上述约束条件，则z ＝13x y x +++的最小值为( )A. －1B. －5217+ C.13D. －75【答案】D 【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图所示，由题意，知214r ππ=，解得2r =．因为目标函数12133x y y z x x ++-==+++表示区域内上的点与点(3,2)P -连线的斜率加上1，由图知当区域内的点与点P 的连线与圆相切时斜率最小．设切线方程为2(3)y k x -=+，即320kx y k -++=，则有23221k k +=+，解得125k =-或0k =（舍），所以min 127155z =-=-，故选D ．8.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32xy =⨯的图象上，等比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）A. 2n n S T =B. 21n n T b =+C. n n T a >D. 1n n T b +<【答案】D 【解析】【详解】由题意可得：332,323nnn n S S +=⨯=⨯- ，由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项公式：132n n a -=⨯ ，设11n nb b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，数列{}n b 的通项公式12n nb -= ，由等比数列求和公式有：21nn T =- ，考查所给的选项：13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .本题选择D 选项.9.双曲线2222:1(0,0)x y M a b a b-=>>的左、右焦点为1F ，2F ，抛物线N ：()220y px p =>的焦点为2F ，点P 为双曲线M 与抛物线N 的一个交点，若线段1PF 的中点在y 轴上，则该双曲线的离心率为（ ）A.1B.1C.D.【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线焦点为2F ，求得2p c =;再根据线段1PF 的中点在y 轴上，可得P 点横坐标，分析可知2PF x ⊥轴.由双曲线通经公式可得22PF p c ==，即可由勾股定理及双曲线定义得,a c 关系，进而求得离心率.【详解】抛物线N ：()220y px p =>焦点为2F则抛物线焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，()2,0F c ，()1,0F c - 所以2pc =，即2p c =， 因为线段1PF 的中点在y 轴上， 所以P 点横坐标为c ， 则2PF x ⊥轴所以22PF p c ==，即212PF F F =则12PF ==根据双曲线定义可知122PF PF a -=所以22c a -=解得1ce a === 故选:B【点睛】本题考查了双曲线离心率的求法，抛物线焦点与双曲线焦点的关系，双曲线的几何意义，中点坐标公式的应用，属于中档题.10.已知函数1()cos 626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若存在123,,,,n x x x x L 满足12306n x x x x π≤<<<<≤L ，且()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-L ()*122,n n N =≥∈，则n 的最小值为（ ）A. 6B. 10C. 8D. 12【答案】C 【解析】 【分析】由辅助角公式先将函数()f x 化简，当()()()()1max min n n f x f x f x f x --=-时n 取得最小值，由正弦函数的性质即可求得n x 的值即可求解.【详解】函数1()sin cos 2626f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，根据助辅助角公式化简可得()sin sin 66f x x x ππ⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭因为()()()()1max min 2n n f x f x f x f x --=-=所以当()()()()()()12231n n f x f x f x f x f x f x --+-++-L ()*122,n n N=≥∈时，n 的取值满足12330,,22x x x ππ===，4557,22x x ππ==，678911,,622x x x πππ=== 所以此时n 的最小值为8 故选:C【点睛】本题考查了正弦函数的图像与性质应用，辅助角化简三角函数式的应用，属于中档题.11.设12,F F 分别为双曲线()2222:1,0x y E a b a b-=>左、右焦点，以坐标原点O 为圆心，1OF 为半径的圆与双曲线E 的右支相交于,P Q 两点，与E 的渐近线相交于,,,A B C D 四点，若四边形12PFQF 的面积与四边形,,,A B C D 的面积相等，双曲线E 的离心率为（ ）【答案】C 【解析】 【分析】由双曲线的定义和勾股定理可求得2122PF PF b ⨯=，从而可得四边形12PFQF 的面积，然后求出点圆O 与E 的渐近线在第一象限的交点为(),a b ，可求出四边形ABCD 的面积，然后可得答案.【详解】由双曲线的定义及平面几何知识可知122PF PF a -=，①222124PF PF c +=，②2-②①得2122PF PF b ⨯=，∴四边形12PFQF 的面积为21121222S PF PF b =⨯⨯=， 由222x y c b y xa ⎧+=⎪⎨=⎪⎩，当0,0x y >>，解得,x a y b ==，∴圆O 与E 的渐近线在第一象限的交点为(),a b . ∴四边形ABCD 的面积24S ab =，∵224b ab =，∴2b a =，即2224,c a ce a a-===故选：C【点睛】本题考查双曲线定义渐进性的简单应用，属于中档题.12.已知函数22()1x f x e ax bx =-+-，其中,a b ∈R ，e 为自然对数的底数，若(1)0f =，'()f x 是()f x 的导函数，函数'()f x 在区间(0,1)内有两个零点，则a 的取值范围是（ ）A. 22(3,1)e e -+B. 2(3,)e -+∞C. 2(,22)e -∞+D. 22(26,22)e e -+【答案】A 【解析】 【分析】利用f （1）＝0得出a ，b 的关系，根据f ′（x ）＝0有两解可知y ＝2e 2x 与y ＝2ax +a +1﹣e 2的函数图象在（0，1）上有两个交点，做出两函数图象，根据图象判断a 的范围． 【详解】解：∵f （1）＝0，∴e 2﹣a +b ﹣1＝0，∴b ＝﹣e 2+a +1， ∴f （x ）＝e 2x ﹣ax 2+（﹣e 2+a +1）x ﹣1， ∴f ′（x ）＝2e 2x ﹣2ax ﹣e 2+a +1， 令f ′（x ）＝0得2e 2x ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2， ∵函数f ′（x ）在区间（0，1）内有两个零点，∴y ＝2e 2x 与y ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2的函数图象在（0，1）上有两个交点， 作出y ＝2e 2x 与y ＝2ax ﹣a ﹣1+e 2＝a （2x ﹣1）+e 2﹣1函数图象，如图所示：若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（1，2e2），则a＝e2+1，若直线y＝2ax﹣a﹣1+e2经过点（0，2），则a＝e2﹣3，∴e2﹣3＜a＜e2+1．故选：A．点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．二、填空题（每小题5分，共20分）13.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”.其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如下表：表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推，例如6613用算筹表示就是：，则7288用算筹式可表示为__________.【答案】【解析】 【分析】根据题意，分别用横式或纵式表示出7288的各位数字，合并后即可得解. 【详解】根据题意， 7288用算筹式表示时: 千位需要用横式表示，即7用来表示;百位需要用纵式表示，即2用来表示;十位需要用横式表示，即8用来表示;个位需要用纵式表示，即8用来表示.所以7288用算筹式可表示为；故答案为:.【点睛】本题考查了数学在中国传统文化中的应用，对所给条件分析清晰，进行合理运用，属于基础题.14.若随机变量()2~2,3X N ，且()()1P X P x a ≤=≥，则()52x a ax x ⎛+⋅- ⎝展开式中3x 项的系数是__________． 【答案】1620 【解析】随机变量()2~2,3X N ，均值是2，且()()1P X P x a ≤=≥，∴3a =；∴()()()55522233693x a ax x x x x x x x x ⎛⎛⎛+=+=++- ⎝⎝⎝； 又53x x ⎛ ⎝展开式的通项公式为()()35552155313rrr r r r r r T C x C xx ---+⎛=⋅⋅=-⋅⋅⋅ ⎝， 令3512r -=，解得83r =，不合题意，舍去；令3522r -=，解得2r =，对应2x 的系数为()232512270C -⋅⋅=；令3532r -=，解得43r =，不合题意，舍去；∴展开式中3x 项的系数是62701620⨯=，故答案为1620.点睛：本题考查了正态分布曲线的特点及其几何意义，也考查二项式系数的性质与应用问题，是基础题；根据正态分布的概率性质求出a 的值，再化()()5522693x a ax x x x ⎛⎛+=++ ⎝⎝；利用(53x ⎛ ⎝展开式的通项公式求出含2x 的系数，即可求出对应项的系数.15.关于x的方程1xe m x =-无实根，则实数m 的取值范围为___．【答案】)20,e ⎡⎣【解析】 【分析】程1x e m x =-无实根,即直线()1y m x =-与曲线x y e =无公共点，找直线()1y m x =-与曲线x y e =相切的时候m 的值，然后分析可得答案.【详解】由1x e m x =-，得()1xe m x =-，若直线()1y m x =-与曲线xy e =相切，设切点为()00,x y ，00xy e = ，∵e xy '=，∴0x m e =， ∴()0001xx e ex =-，∴02x =，∴2m e =.直线()1y m x =-恒过点()1,0.因为原方程无实数根，所以实数m 的取值范围为)20,e ⎡⎣.故答案为：)20,e⎡⎣【点睛】本题考查方程的根的情况，转化为两曲线的交点问题，属于中档题.16.如图，在ABC ∆中，三内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且222a b c bc =++，a ，S 为ABC ∆的面积，圆O 是ABC ∆的外接圆，P 是圆O上一动点，当cos S B C +取得最大值时，PA PB ⋅u u u r u u u r的最大值为_______.【答案】332+. 【解析】试题分析：∵222a b c bc =++，∴2221cos 22b c a A bc +-==-，∴23A π=，设圆O 的半径为R ，则322sin sin3a R A π===，∴1R =，∴13cos cos sin 3cos cos 2S B C bc A B C +=+ 33cos cos bc B C =+3sin sin 3cos cos 3cos()B C B C B C =+=-， 当6B C π==时，3cos cos S B C +取得最大值，建立如图直角坐标系，则(0,1)A ，31(,)2B -，31(,)22C ，设(cos ,sin )P θθ，则 31(cos ,sin 1)(cos ,sin )2PA PB θθθθ⋅=-+-u u u r u u u r 3333cos sin 3cos()2223πθθθ=-+=++，当且仅当cos()13πθ+=时，PA PB ⋅u u u r u u u r 取最大值3+32.考点：1.正余弦定理解三角形；2.三角恒等变形；3.平面向量数量积的坐标运算.三、解答题（17，18，19，20，21每题12分，22，23选做一题每题10分，共70分）17.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，345S S S +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令11(1)n n n n b a a -+=-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T .【答案】（Ⅰ）21n a n =-（Ⅱ）284n n -- 【解析】试题分析: （Ⅰ）求等差数列通项公式,一般方法为待定系数法,即根据条件列出关于首项与公差的方程组,解出首项与公差再代入通项公式即可,（Ⅱ）涉及符号数列求和,一般方法为分组求和,即按奇偶,项的正负重新组合,利用平方差公式转化为求特殊数列(如等差数列)的和.试题解析: （Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由345S S S +=可得1235a a a a ++=， 即253a a =，所以3(1)14d d +=+，解得2d =．∴ 1(1)221n a n n =+-⨯=-．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：112(1)(21)(21)(1)(41)n n n b n n n --=-⋅-+=-⋅-.∴ 22222122(411)(421)(431)(441)(1)4(2)1n n T n -⎡⎤=⨯--⨯-+⨯--⨯-++-⋅⨯-⎣⎦L 22222241234(21)(2)n n ⎡⎤=-+-++--⎣⎦L22(21)4(1234212)4842n n n n n n +=-+++++-+=-⨯=--L ． 点睛：本题采用分组转化法求和，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型有分段型（如,{2,n nn n a n =为奇数为偶数）及本题的符号型（如2(1)n n a n =- ） 18.如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，23BCD π∠=，四边形ACFE 为矩形，且CF ⊥平面ABCD ，AD CD BC CF ===.（1）求证：EF ⊥平面BCF ；（2）点M 在线段EF 上运动，当点M 在什么位置时，平面MAB 与平面FCB 所成锐二面角最大，并求此时二面角的余弦值. 【答案】（1）见解析；（2）77【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）在梯形ABCD 中，设1AD CD BC ===，题意求得2AB =,再由余弦定理求得23AB =,满足222AB AC BC =+,得则BC AC ⊥.再由CF ⊥平面ABCD 得AC CF ⊥，由线面垂直的判定可.进一步得到AC 丄平面BCF ;（Ⅱ）分别以直线,,CA CB CF 为:x 轴，y 轴轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD CF === ,令FM λ=()03λ≤≤得到,,,C A B M 的坐标，求出平面MAB 的一法向量.由题意可得平面的FCD 一个法向量，求出两法向量所成角的余弦值，可得当λ0=时，有最小值为7,此时点M 与点F 重合. 试题解析：（Ⅰ）证明：在梯形ABCD 中，∵//AB CD ,设1AD CD BC ===， 又∵23BCD π∠=,∴2AB =,∴2222cos603AC AB BC AB BC =+-⋅⋅︒= ∴222AB AC BC =+.则BC AC ⊥. ∵CF ⊥平面ABCD ,AC ⊂平面ABCD ，∴AC CF ⊥,而CF BC C =I ,∴AC ⊥平面BCF .∵//EF AC ,∴EF ⊥平面BCF . （Ⅱ）解：分别以直线,,CA CB CF 为x 轴，y 轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设1AD CD BC CD ====，令(03FM λλ=≤≤， 则())()()0,0,0,3,0,0,0,1,0,,0,1C AB M λ，∴()()3,1,0,,1,1AB BM λ=-=-u u u v u u u u v设(),,n x y z =v为平面MAB 的一个法向量，由00n AB n BM ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u u v v 得300x y x y z λ⎧-+=⎪⎨-+=⎪⎩，取1x =，则()1,3,3n λ=-v ，∵()1,0,0m =v是平面FCB 的一个法向量，∴()()22cos ,133134n m n m n mλλ⋅===++-⨯-+v vv v v v∵03λ≤≤，∴当0λ=时，cos θ有最小值为77， ∴点M 与点F 重合时，平面MAB 与平面FCB 所成二面角最大，此时二面角的余弦值为7. 19.噪声污染已经成为影响人们身体健康和生活质量的严重问题，为了了解强度D （单位：分贝）与声音能量I （单位：2/W cm ）之间的关系，将测量得到的声音强度i D 和声音能量()1,2,,10i I i =L 数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.表中lg i i W I =，101110i i W W ==∑ （1）根据表中数据，求声音强度D 关于声音能量I 的回归方程lg D a b I =+；（2）当声音强度大于60分贝时属于噪音，会产生噪声污染，城市中某点P 共受到两个声源的影响，这两个声源的声音能量分别是1I 和2I ，且10121410I I +=.已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和.请根据（1）中的回归方程，判断P 点是否受到噪声污染的干扰，并说明理由. 附：对于一组数据()()()1122,,,,,n n v v v μμμL，其回归直线v αβμ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()121ii i ii uuuu v v uu β∧==--=-∑∑，v u αβ∧∧=-【答案】（1）10lg 160.7i D I =+（2）会受到干扰,理由见解析. 【解析】 【分析】（1）令lg i i W I =，建立D 与W 的线性回归方程，结合所给公式求得b .代入样本中心点求得a ，即可得声音强度D 关于声音能量I 的回归方程. （2）由点12P I I =+，结合10121410I I +=，利用基本不等式求得点P 能量的最小值.由（1）得声音强度D 的预报值，比较大小即可判断.【详解】（1）令lg i i W I =，则i D a bW =+由表中参考数据可得()()()10110215.1100.51i i i i i W W D D b W W==--===-∑∑ 将45.7,11.5D W ==-代入i D a bW =+ 可得()45.71011.5160.7a D bW =-=+⨯-= 所以10160.7D W =+即声音强度D 关于声音能量I 的回归方程为10lg 160.7i D I =+ （2）已知点P 的声音能量等于声音能量1I 与2I 之和， 所以12P I I =+而10121410I I +=，即101214101I I -⎛⎫⨯+= ⎪⎝⎭所以12P I I =+()1012121410I I I I -⎛⎫=+⨯⨯+ ⎪⎝⎭1021124105I I I I -⎛⎫=⨯++ ⎪⎝⎭10910-≥⨯由（1）可知点P 的声音强度预报值为()10min 10lg 910160.710lg960.760D -=⨯+=+>所以点P 会受到噪声污染的干扰【点睛】本题考查了非线性回归方程的求法，利用线性回归方程进行预报与判断，属于中档题.20.已知12P ⎫⎪⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，F 为右焦点，PF x ⊥轴，,,,A B C D 为椭圆上的四个动点，且AC ，BD 交于原点O . （1）判断直线:()(,)2m n l x m n y m n R ++-=∈与椭圆的位置关系； （2设()11,A x y ，()22,B x y 满足12124y y x x =，判断AB BC k k +的值是否为定值，若是，请求出此定值，并求出四边形ABCD 面积的最大值，否则说明理由.【答案】（1）直线l 与椭圆相切或相交.（2）AB BC k k +的值是定值，0AB BC k k +=；()max 1ABCD S = 【解析】 【分析】（1）将直线l 变形，可确定直线l 所过定点的坐标，可得该定点坐标在椭圆上，即可判断出直线l 与椭圆的位置关系.（2）先根据条件，求得椭圆的标准方程.讨论直线AB 的斜率情况可知当斜率不存在或斜率为0时不满足12124y y x x =.进而设直线AB 的方程为y kx m =+，联立椭圆方程，利用韦达定理及等式12124y y x x =，化简即可求得k 的值，确定AB BC k k +为定值；由点到直线距离公式求得d ，利用弦长公式求得AB ，即可用m 表示出AOB S ∆，由二次函数性质求得AOB S ∆的最大值，并根据4ABCD AOB S ∆=即可求得ABCD S 的最大值.【详解】（1）直线11:()(,)222m n l x m n y m n m n R ++-=+∈，将直线方程化简变形可得022x x y m y n ⎛⎛++-= ⎝⎭⎝⎭，因为,m n R ∈，令0202x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得12x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，所以直线l过定点12P ⎫⎪⎭， 而由P 在椭圆上，可知直线l 与椭圆相切或相交.（2）12P ⎫⎪⎭在椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>上，PF x ⊥轴，由椭圆性质可得212b c a ==，则222212c ba abc ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩解得2,1a b == ，所以椭圆的标准方程为2214x y +=，因为()11,A x y ，()22,B x y ，,,,A B C D 为椭圆上的四个动点且AC ，BD 交于原点O . 所以()11,C x y --，()22,D x y --，当直线AB 的斜率不存在时，不满足12124y y x x =，因而直线AB 的斜率一定存在.当直线AB 斜率存在且为0时，不满足12124y y x x =，所以直线AB 的斜率一定存在且不为0. 设直线AB 的方程为y kx m =+.则2214y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化简可得()()222418410k x kmx m +++-=， 所以()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-⋅=++，()()()()2222284414416410,km k m k m ∆=-+-=-+>①因为1122,kx m y kx m y =+=+，所以()()()2212121212y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++，则()()2222222414184414141m m km k km m k k k ⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⨯+⨯-+= ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎢⎥⎣⎦， 整理可得241k =， 解得12k =±.由题意可知A B C D 、、、的位置等价，所以不妨设12AB k =，则12BC k =-， 则11022AB BC k k +=-=， 即AB BC k k +为定值.直线AB 的方程为12y x m =+.即102x y m -+= 则点O 到直线AB的距离为d =因为()2121222418,4141m km x x x x k k -+=-⋅=++代入可得()212122,21x x m x x m +=-⋅=-则由弦长公式可得AB =所以1122AOB S AB d ∆=⋅⋅====当21m =时取等号.而21m =时满足①. 所以()max 1AOB S ∆=此时44ABCD AOB S ∆==故四边形ABCD 面积的最大值的最大值为4【点睛】本题考查了直线过定点的求法，直线与椭圆位置关系的判断，椭圆标准方程的求法，韦达定理在求弦长公式中的应用，椭圆中的四边形面积问题综合应用，属于难题. 21.已知函数()()()21'0xf x ax x e f =+-+.（1）讨论函数()f x 的单调性； （2）若()()()ln ,xx g x ef x x h x e -=+=，过()0,0O 分别作曲线()yg x =与()yh x =的切线12,l l ，且1l 与2l 关于x 轴对称，求证:()321222e e a e ++-<<-.【答案】(1)见解析；(2) 见解析. 【解析】试题分析：(1) 求出()'f x ，分五种情讨论，分别令()'0f x >得增区间，()'0f x <得减区间；（2）根据导数的几何意义可求出两切线的斜率分别为,e e -，根据切点处两函数纵坐标相等可得关于1,x a 的两个等式，由其中一个等式求得1x 的范围，再根据另一个等式利用导数求得a 的范围.试题解析：由已知得()()()2'21,'00xf x ax a x e f ⎡⎤=++=⎣⎦，所以()()21xf x ax x e =+-.(1)()()()2'2121xxf x ax a x e x ax a e ⎡⎤⎡⎤=++=++⎣⎦⎣⎦. ① 若0a >，当12x a<--或0x >时，()'0f x >；当120x a --<<时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫--⎪⎝⎭. ②若()()()0,1,'x xa f x x e f x xe ==-=，当0x >时，()'0f x >；当0x <时，()'0f x <，所以()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞. ③ 若102a -<<，当12x a >--或0x <时，()'0f x <；当102x a <<--时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.④若()211,'022x a f x x e =-=-≤，故()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞.⑤若12a <-，当12x a <--或0x >时，()'0f x <；当120x a--<<时，()'0f x >，所以()f x 的单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.当0a >时，()f x 的单调递增区间为()1,2,0,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭；单调递减区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 当0a =时，()f x 的单调递增区间为()0,+∞；单调递减区间为(),0-∞.当102a -<<时，()f x 的单调递增区间为10,2a ⎛⎫--⎪⎝⎭；单调递减区间为()1,0,2,a ⎛⎫-∞--+∞ ⎪⎝⎭.当12a =-时，()f x 的单调递减区间为(),-∞+∞；当12a <-时，()f x 单调递增区间为12,0a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭ ； 单调递减区间为1,2a ⎛⎫-∞-- ⎪⎝⎭,()0,+∞； (2)()()()22ln 1ln 1ln xx x g x ef x x e ax x e x ax x x --=+=-+-+=+-+,设2l 的方程为2y k x =，切点为()22,x y ，则222222,x x y y e k e x ===，所以2221,,x y e k e ===.由题意知12k k e =-=-，所以1l 的方程为y ex =-，设1l 与()y g x =的切点为()11,x y ，则()111121111111'21,22y e k g x ax e a x x x x +==++==-=--. 又2111111ln y ax x x ex =++-+=-,即1113ln 022e x x ++-=，令()()1311ln ,'222e e u x x x u x x++=+-=+，在定义域上，()'0u x >，所以()0,+∞上，()u x 是单调递增函数，又()2310,ln 021212e e e e u u e e -⎛⎫=>=+-< ⎪++⎝⎭，所以()1?01e u u e ⎛⎫< ⎪+⎝⎭，即111e x e <<+，令11t x =，则()()2111,12e t a t t e t e +⎡⎤<<=-++⎣⎦，所以()()32112,122e e e a a a a e e +++⎛⎫>=-<=- ⎪⎝⎭，故 ()321222e e a e ++-<<-.【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式的证明，属于难题.不等式证明问题是近年高考命题的热点，命题主要是和导数、绝对值不等式及柯西不等式相结合，导数部分一旦出该类型题往往难度较大，要准确解答首先观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明.22.在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）已知直线l 与y 轴交于点M ，且与曲线C 交于A ，B 两点（A 在第一象限），则11||||MA MB -的值． 【答案】（1）曲线C 为229x y +=，直线l 为10x y --=.（2）8- 【解析】 【分析】（1）消去曲线C 参数方程中的参数，将曲线C 的参数方程化为直角坐标方程；利用极坐标转化为直角坐标的公式，将直线l 的极坐标方程化为直角坐标方程.（2）求得M 点的坐标，写出直线l 的参数方程，并代入229x y +=，化简后写出韦达定理，根据直线参数的几何意义求得11||||MA MB -的值. 【详解】（1）曲线C 的参数方程为3cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩，两式平方相加得229x y +=.直线l 的极坐标方程为(cos sin )1ρθθ-=，即10x y --=.（2）直线:10l x y --=与y 轴的交点为()0,1M -，所以直线l的参数方程为212x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.代入229x y +=并化简得280t -=，所以12128t t t t +=⋅=-.画出图像如下图所示，依题意设A 点对应1t ，B 点对应2t .则11||||MA MB-121212118t t t t t t +=+==-.【点睛】本小题主要考查参数方程转化为普通方程，极坐标方程转化为直角坐标方程，考查利用直线参数的几何意义进行计算，属于中档题.23.[选修4-5：不等式选讲]:已知函数()2f x x a x a =++-. （1）当1a =时，求不等式()42f x x ≥-+的解集； （2）设0a >，0b >，且()f x 的最小值为t .若33t b +=，求12a b+的最小值. 【答案】（1） 7(,][1,)3-∞--+∞U （2）322+【解析】 【分析】（1）当1a =时，()|2||1|f x x x =++-，原不等式可化为2|2||1|4x x ++-≥，分类讨论即可求得不等式的解集；（2）由题意得，()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，利用基本不等式即可求解其最小值．【详解】（1）当1a =时，()21f x x x =++-，原不等式可化为2214x x ++-≥，① 当2x ≤-时，不等式①可化为2414x x ---+≥，解得73x ≤-，此时73x ≤-； 当21x -<<时，不等式①可化为2414x x +-+≥，解得1x ≥-，此时11x -≤<； 当1x ≥时，不等式①可化为2414x x ++-≥，解得13x ≥，此时1x ≥， 综上，原不等式的解集为][7,1,3⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭.（2）由题意得，()2f x x a x a =++-≥ ()()23x a x a a +--=，因为()f x 的最小值为t ，所以3t a =，由333a b +=，得1a b +=，所以()1212a b a b a b ⎛⎫+=+⋅+ ⎪⎝⎭2333b a a b =++≥+=+， 当且仅当2b a a b =，即1a =，2b =12a b+的最小值为3+【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。