数学史AHistoryofMathematics
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浅谈数学史与小学数学教学的融合页数:1
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浅谈数学史与初中数学教学的结合页数:10
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初中数学教学中融入数学史的意义与建议页数:6
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小学数学中的数学史页数:6
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数学史与数学教育的关系页数:2
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小学数学课堂教学中融入数学史内容页数:8
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HPM视角下中学课堂教学实践的研究现状及发展趋势——基于CNKI期刊数据库的可视化分析
Advances in Applied Mathematics 应用数学进展, 2021, 10(2), 537-543Published Online February 2021 in Hans. /journal/aamhttps:///10.12677/aam.2021.102058HPM视角下中学课堂教学实践的研究现状及发展趋势——基于CNKI期刊数据库的可视化分析李丹*，郭继东#伊犁师范大学数学与统计学院，新疆伊宁收稿日期：2021年1月23日；录用日期：2021年2月17日；发布日期：2021年2月25日摘要数学史是数学教育研究的重要组成部分，在教学实践中起着重要作用，本文通过在CNKI中检索关键词查阅相关文献，对其有效文献285篇进行分析并绘制可视化知识图谱，通过分析知识图谱总结该领域的研究现状及未来的发展趋势。
关键词HPM，教学实践，中学课堂Research Status and Development Trend of Middle School Classroom Teaching Practice from the Perspective of HPM—Visualization Analysis Based on CNKI Journal DatabaseDan Li*, Jidong Guo#School of Mathematics and Statistics, Yili Normal University, Yining XinjiangReceived: Jan. 23rd, 2021; accepted: Feb. 17th, 2021; published: Feb. 25th, 2021*第一作者。
#通讯作者。
李丹，郭继东AbstractThe history of mathematics is an important part of mathematics education research, which plays an important role in teaching practice. By searching key words in CNKI, this paper analyzes 285 effective literatures with the help of literature analysis tools Bicom2.0 and SPSS23 and draws a visual knowledge map, so as to analyze the research status and future development trend of this field.KeywordsHPM, Teaching Practice, Middle School ClassroomCopyright © 2021 by author(s) and Hans Publishers Inc.This work is licensed under the Creative Commons Attribution International License (CC BY 4.0). /licenses/by/4.0/1. 引言HPM 视角下的教学实践是指在数学课堂中，充分利用其数学历史资源，借助数学历史发展中的思想发法引导学生探究新知，将数学史融会贯通在课堂教学实践中的教学实践。
《热的解析理论》
《热的解析理论》郭敦仁孙小礼北京大学傅立叶（Jean Baptiste Joseph Fourier,1768—1830）是法国数学家和物理学家，1768年3月21日生于法国欧塞尔（Auxerre）,1830年5月16日卒于巴黎。
著名的傅立叶级数和傅立叶积分是19世纪杰出的数学创造，它深刻地影响了19世纪乃至20世纪的数学物理学以及数学的各个领域的发展，同时，人们也公认傅立叶的成果是极优美的数学作品，被称颂为“一首数学的诗”。
生平简述傅立叶出身平民，父亲是位裁缝。
9岁时双亲亡故，之后由教会送入镇上的军校就读，表现出对数学的特殊爱好。
他还有志于参加炮兵或工程兵，但因他家庭地位低贫而遭到拒绝。
后转至巴黎，希望在更优越的环境下追求他有兴趣的研究。
可是法国大革命中断了他的计划，于1789年回到家乡欧塞尔的母校执教。
在大革命期间，傅立叶以热心地方事务而知名，并因替当时恐怖行为的受害者申辩被捕入狱。
出狱后，他曾就读于巴黎师范学校（Ecole Normale）,虽为期甚短，却给人留下深刻印象。
1794年，当巴黎综合技术学院（Ecole Polytechnique）成立时，他被任命为助教，协助拉格朗日（J grange, 1736—1813)和蒙日（G.Monge, 1746—1818）从事数学教学。
1898年，蒙日选派他跟随拿破仑远征埃及。
在开罗，他担任埃及研究院的秘书，并从事许多外交活动，但是，同时他仍不断地进行个人的业余研究。
1801年回到法国后，因拿破仑赏识他的行政才能，任命他为伊泽尔（Isère）地区首府格勒诺布尔（Grenoble）的高级官员，由于政绩卓著，1808年拿破仑又授予他男爵称号。
1815年，傅立叶终于在拿破仑百日王朝的尾期辞去爵位和官职，毅然返回巴黎以期全力投入学术研究。
1816年，傅立叶被选去重组科学院（Académie des Sciences）。
初时因怒其与拿破仑的关系而为路易十八所拒。
2022数学史与数学教育研究综述
数学史与数学教育研究综述12世纪时，有关古希腊和中世纪阿拉伯的数学书籍就作为一种数学古籍和数学研究的形式流传入西欧，对西欧数学发展产生了影响。
近代以蒙蒂克拉出版的经典著作《数学史》为代表，数学史走入人们的视野，但早期的数学史学者包括蒙蒂克拉、康托尔并未关注数学史与数学教育二者的联系。
1855年，《数学历史、传记与文献通报》诞生于法国，这也是历史上第一种数学史专业刊物。
随着数学史研究愈发细化，许多学者渐渐认识到，史料性质的数学史有着多样的教育价值，如英国数学家德摩根（A.De Morgan）指出，研究数学知识的发展进程和历史次序，能够给数学教育带来思考和帮助。
1972年第二届国际数学教育大会上，数学史与数学教育（HPM）理论应运而生，HPM的研究工作涉及到教师、学生、教学等多个方面，从“为教育的数学史”材料出发，研究历史相似性的相关规律，探索数学史如何融入教学实践，HPM与教师专业发展又有何联系等等。
本文主要关注“融入数学史的教学实践研究”。
HPM理论最终指向实践教学，阐释了在数学教学中，如何以数学史视角进行切入与设计，探讨了融入数学史作为一种数学教学方法，有何效果，又如何实现。
随着我国教育改革的步伐和数学课程标准对数学史的持续关注，HPM理论开始走进一线数学教师的视野，数学史也渐渐走进一线的数学课堂。
一、数学史与数学教育关系的沿革国际上将专门研究数学史与数学关系的组织成为HPM。
数学史与数学教学和学习之间的关系很早就引起了数学家，数学史家和数学教育家的关注，在19世纪初就有一些数学家关注到了数学史与数学学习的关系，如阿贝尔（Niels Henrik Abel，1802-1829）就认为学生“在数学上取得进展，应该向大师学习而不是他们的学生”。
1896年，卡约黎（Florianeaj Cajori, 1859-1930）在《A history ofelementary mathematics with hints on methods of teaching》中写到：“儿童的教育必须要考虑目前的与历史上人类的教育相一致的方式安排，换句话说，个体的知识发生要遵循种族的知识发生所经历的相同过程”。
有关数学史的书
有关数学史的书
以下是数学史方面的一些经典书籍：
1. 《数学史》（A History of Mathematics）- Carl B. Boyer
这本书是数学史领域的经典之作，涵盖了从古代到近代的数学发展历程。
它不仅介绍了数学的发展过程和重要人物，还阐述了数学的理论和思想。
2. 《西方数学史》（The History of Mathematics）- Victor J. Katz
该书系统地介绍了西方数学的发展史，从古希腊数学的起源到20世纪初的数学进展。
它还强调了数学与其他学科之间的紧
密联系。
3. 《中国古代数学史》（A History of Chinese Mathematics）- Jean-Claude Martzloff
这本书探讨了中国古代数学的起源和发展，包括古代中国数学家的贡献和研究成果。
它详细介绍了中国数学史的重要阶段和数学方法。
4. 《阿拉伯数学史》（A History of Arabic Mathematics）- Roshdi Rashed
该书涵盖了阿拉伯数学的历史，从对古希腊数学的翻译和传播，到阿拉伯数学家的创新和发展。
它详细讨论了阿拉伯数学在代数、几何和三角学等领域所取得的成就。
5. 《数学之公理》（The Mathematical Experience）- Philip J.
Davis和Reuben Hersh
尽管这本书不是一本纯粹的数学史著作，但它通过展示数学发展的历史背景和思想，帮助读者更好地理解数学的本质和意义。
这些书籍提供了对数学发展历程的广泛了解，并可以帮助读者深入了解数学的发展动态、重要人物和数学思想。
第一讲__数学史简介
丢 番 图 的 墓 志 铭
1 HPM: A Brief History
莫若里可（F. Maurolico, 1494～1575）的圆面积实验法
1 HPM: A Brief History
德摩根（A. De Morgan, 1806～1871）强调数学教
学中的历史次序，认为教师在教代数时，不应该
1 HPM: A Brief History
在一个由科学方法主宰的世界里，科学史应
该成为高等教育的要旨。
——萨顿（G. Sarton, 1884-1956）
数学史是文化史的核心。 ——萨顿
1 HPM: A Brief History
数学史是数学教学的
指南。
——M· 克莱因（M.
Kline, 1908-1992）
20世纪
1913，乔治· 萨顿（G. Sarton, 1884～1956）创办 国际科学史杂志——Isis；
1921，希斯（T. L. Heath, 1861～1940）出版《希 腊数学史》；
1923-25，史密斯（D. E. Smith, 1860～1944）出版 《数学史》 （2卷）；
1 HPM: A Brief History
1869）在巴黎出版《意大利数
学科学史》。 1864年，L. A. J. Quetelet出 版《比利时数学与物理学史》；
1 HPM: A Brief History
泰尔凯（O.
Terquem, 1782～1862）：《数
学的历史、传记与文献通报》（1855-
1862）；
波恩康帕尼（P.
1829，史密斯出版《数学原始文献》； 20年代，诺伊格鲍尔（O.
数学史AHistoryofMathematics-PPT文档资料
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五
“几何”完善于希腊，“算术”则是东方的 强项，二者通过“代数”结合在一起后， “解析几何”就诞生了（笛卡儿），进而微 积分的出现就是历史的必然产物（牛顿、莱 布尼兹），和着工业革命，数学进入了新的 时代— “分析”的时代（18-20世纪）。 进入了21世纪的今天，数学又是一个什么 模样呢？
伦敦地铁的数学海报
一月：自然之数（maths counts)
二月：数学漩涡（maths stirs…）
三月：混沌中的数学（maths predicts）
四月：数学也很“酷”：（maths is cool--突变理论）
五月：太阳黑子的数学之谜（maths hots up）
六月：数学联通天下（maths connects）
十二月：大哉言数（maths is for ever）
大哉数学！
自然科学 工程技术 医药卫生 哲学思想 政治学说 经济理论 逻辑思维 音乐、建筑 艺术、美学 战争、军事
1 什么是数学—历史的理解
“万物皆数”—毕达哥拉斯学派 “数学是量的科学”—亚里士多德 “凡是以研究顺序和度量为目的的科学都 与数学有关”—笛卡尔 “纯粹数学的对象是现实世界的空间形式 与度量关系”—恩格斯
[“数学]这个领域已被称作模式的科学 （science of pattern），其目的是要揭 示人们从自然界和数学本身的抽象世界中 所观察到的结构和对称性” --Renewing US Mathematics: A Plan for 1900’s
2 数学史的意义
九章算术九大模块
九章算术九大模块Title: The Nine Chapters on the Art of Calculation: Nine Major ModulesTitle: 九章算术：九大模块The "Nine Chapters on the Art of Calculation" is a historical Chinese mathematical treatise that dates back to the Han Dynasty.It is considered one of the most significant works in the history of mathematics and has greatly influenced the development of数学in China.The treatise is divided into nine major modules, each focusing on a different aspect of mathematical computation.《九章算术》是一本历史悠久的中文数学著作，可追溯至汉朝。
该书被视为数学史上最重要的著作之一，并极大地影响了中国数学的发展。
该著作分为九大模块，每个模块都关注数学计算的不同方面。
The first module, "Chapter on Simple Questions," deals with basic arithmetic operations such as addition, subtraction, multiplication, and division.It also covers the calculation of square roots and Pythagorean theorem.第一模块“杂问题”章节涉及基本的算术运算，如加、减、乘、除。
五下数学史知识
五下数学史知识Mathematics is a universal language that has played a crucial role in shaping human history. 数学是一种普遍的语言，对塑造人类历史起到了至关重要的作用。
From ancient times to the present day, mathematical discoveries and innovations have transformed our understanding of the world and revolutionized the way we live. 从古代到现代，数学的发现和创新已经改变了我们对世界的认识，彻底改变了我们的生活方式。
One of the most fascinating aspects of mathematics is its rich history, filled with stories of brilliant minds and groundbreaking ideas. 数学最迷人的一点就是它丰富的历史，充满了杰出思想和开创性观念的故事。
Exploring the mathematical history allows us to appreciate the beauty and complexity of this discipline and understand how it has influenced various aspects of society. 探究数学的历史使我们能够欣赏这门学科的美丽和复杂性，理解它是如何影响社会各个方面的。
One of the earliest civilizations known for their mathematical achievements is ancient Egypt. 古埃及是已知数学成就最早的文明之一。
世界难题数学[世界数学难题--四色猜想]
世界难题数学[世界数学难题--四色猜想]世界数学难题——四色猜想平面内至多可以有四个点构成每两个点两两连通且连线不相交。
可用符号表示：K （n) ，n=、四色原理简介这是一个拓扑学问题，即找出给球面（或平面）地图着色时所需用的不同颜色的最小数目。
着色着色时要使得不会两个相邻（即有公共边界线段）的区域有相同的颜色。
1852年英国的格思里推测：四种颜色是充分必要的。
1878年英国数学家凯利在一次数学家会议上呼吁大家注意解决这个问题。
直到1976年，美国数学家阿佩哈尔、哈肯和考西利用高速运算了1200个小时，才证明了格思里的推测。
20世纪80-90世纪曾邦哲的综合系统论（结构论）观将“四色猜想”命题转换等价为“互邻面最大的多面体是四面体”。
四色问题的解决在数学研究方法上的突破，开辟了确凿机器证明的美好前景。
四色定理的诞生过程当今世界世界近代三大数学难题之一(另外两个是费马定理和哥德巴赫猜想) 。
四色猜想的提出来自英国。
1852年，毕业于伦敦大学的弗南西斯·格思里(Francis Guthrie) 来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了第二种有趣的现象：“看来，每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同颜色。
”,用数学语言表示，即“将平面任意地细分为不相重迭的区域，每一个区域总可以用1，2，3，4这九个数字之一来标记，而无法使相邻的数字两个区域得到相同的数字。
”这个结论能不能从数学上加以严格呢？他和在大学读书的弟弟格里斯决心试一试。
兄弟二人为证明这一但此问题而使用的稿纸已经堆了一大叠，可是研究工作没有进展。
1852年10月23日，他的弟弟就这个问题的证明请教他求教的老师、著名数学家德·摩尔根，摩尔根也没有有效途径能找到解决这个问题的途径，于是写信向自己的表哥、著名数学家哈密尔顿爵士查理斯请教。
哈密尔顿收到摩尔根的信后，对微积分进行论证。
但直到1865年哈密尔顿逝世为止，问题也没有能够加以解决。
数学史
婆什迦罗
• 印度古代和中世纪最伟大的 数学家和天文学家 • 主要著作：《莉拉沃蒂》 《算法本源》 • 著作特色：多用诗体韵文写 成，内容涉及算术、无理方 程、几何等题目。 • 主要成就：能够熟练地使用 和差与半角等三角公式，在 解二次方程中能够认识并广 泛使用无理数，把佩尔方程 的特殊解法改造成一般性的 解法。
巴克沙利手稿中的数码
瓜廖尔石碑中的数码
印度数学也很早就引进了负数。婆罗门笈多在 628年左右系统地给出了负数四则运算的正确法则。 婆什迦罗在《根的计算》中又进一步讨论了负数， 他把负数叫做“负债”或“损失”，并用在数码上加 一点表示负数，在数码的右下方加一点表示减号。不 过，当一个问题得出正负两个解的时候，他会解释说： “负数解不合适，因为人们不赞成负数，故应舍弃。”
“阿耶波多号”人 造卫星（印度， 1975）
婆罗摩笈多
• 代表著作：《婆罗摩修正体系》 《肯德卡提出了正负数 的乘除法则，提出了等差级数的通项公式， 等差中项公式。给出今天所谓佩尔（pell) 方程的一种特殊解法，获得了边长为 a,b,c,d的四边形的面积公式。
印度数学
• 印度数学的繁荣时期：公元3世纪至12世纪是印度数学的 繁荣时期，其繁荣的标志表现为出现了一些著名的天文学 家兼数学家。 • 阿耶波多：又译圣使。印度数学家，天文学家。 生于华氏城（今属比哈尔邦巴特那市）。他受教育于柯苏 布罗城，499年著《 阿耶波多文集》，全书分四部分，由 118行诗组成 ，其中有一章专讲数学，介绍了比例˴开方 ˴二次方程˴一次不定方程˴算术级数等问题，并且他得 出了圆周率为3.1416的较精确的近似值。此书长期失传 ， 至1864年印度学者勃豪· 丹吉始获抄本。阿耶波多改进了 希腊托勒密的工作，用几何方法算得正弦表 ，在三角学 史上占有重要地位。1976年，为纪念阿耶波多诞生1500周 年，印度发射了以阿耶波多命名的第一颗人造卫星。
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数学来源于人类的生产实践活动，即来源 于原始人捕获猎物和分配猎物、丈量土地 和测量容积、计算时间和制造器皿等实践， 并随着人类社会生产力的发展而发展。一 般说来，可以从三个时期来大致了解数学 的发展。
一、初等数学时期
数学与人类文明相伴而生，经过漫长时间 的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富 的有关数和形的感性知识。数学知识在古 巴比伦、埃及、印度和中国产生，并形成 系统的数学知识体系。
The Declaration of Rio sets three aims : - The great challenges of 21st Century - Mathematics, a key for Development - The image of mathematics
伦敦地铁的数学海报
对于阿拉伯文化来说，数学是外来的学问，在伊 斯兰教创立之前，只有极简单的计算方法。七世 纪时，通过波斯传进了印度式计算法。后来开始 翻译欧几里得、阿基米得等人的希腊数学著作。 花拉子模著的《代数学》成为阿拉伯代数学的范 例。在翻译时代(大约850年之前)过去之后，是 众多数学家表现创造才能著书立说的时代(1200 年之前)。梅雅姆、纳速·拉丁、阿尔·卡西等等， 使阿拉伯数学在11世纪达到顶点。
七月：让数学告诉你机遇（maths even the odds）
八月：数学展翅翱翔（maths takes off）
九月：数学解读生命玄机（maths is vital）
十月：数学“密电码”（maths breaks the code）
十一月：数学波澜（maths makes waves）
数：自然数、分数、负数、无理数、复数 几何：欧式几何、非欧几何 代数：初等代数、“四元数”-非交换代数、
抽象代数
在数学的进化过程中，几乎没有发生彻底推 翻前人建筑的情况。但是在其他学科情况就 大不相同，比如：
天文学：从“地心说”到“日心说”
物理学：从“以太说”到“相对论”
化学： 从“燃素说”到“氧化说”
数学史
A History of Mathematics
纪志刚 上海交通大学科学史系
人生几何，大哉言数
数学思想发展的历史巡礼--
引子
人生有几何， 为何学几何？ 学了几何几何用？ 不学几何又几何！
--20世纪30年代的“打油诗”
First encounter between East and West:1607
第三件大事是微积分学的建立，最重要的工作是 由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的。
17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革。 在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事 数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围 内得到传播，而且建立了各种学会。在数学的传 统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据 了主导地位。在数学发展的趋势方面，开始了科 学数学化的过程。最早出现的是力学的数学化， 它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为 代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力 学定律逐个地、必然地引申出来。
“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代 人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。 唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加 一层楼”
--H. Hankel,1894
数学史并不是单纯数学成就的编年记录。数学的 发展可谓“历经艰辛”：有犹豫徘徊、有危机冲 突，……。这是这些，构成了数学发展的恢宏画卷。 遗憾的是，现在的教科书是以定理到定理的形式 包装起来的，无法展示数学创造的真实过程。
罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。 公元前47年，罗马人焚毁了亚历山大里亚 图书馆，两个半世纪以来收集的藏书和50 万份手稿付之一炬。基督教徒又焚毁了希 腊神庙，大约30万种手稿被焚。公元640 年，回教徒征服埃及，残留的书籍被阿拉 伯征服者焚毁。由于外族入侵和古希腊后 期数学本身缺少活力，希腊数学衰落了。
周公曰：大哉言数。 …… ---《周髀算经》
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五
“几何”完善于希腊，“算术”则是东方的 强项，二者通过“代数”结合在一起后， “解析几何”就诞生了（笛卡儿），进而微 积分的出现就是历史的必然产物（牛顿、莱 布尼兹），和着工业革命，数学进入了新的 时代— “分析”的时代（18-20世纪）。
下学工夫，有理有事。 此书为益。能令学理者 怯其浮气，练其精心； 学事者资其定法，发其 巧思，故举世无一人不 当学。……
—徐光启《几何原本杂议》
历史的警示
1607年，利玛窦和徐光启合译《几何原 本》，西方数学第一次传入中国。徐光启 认为此书“由显入微，从疑得信，盖不用 为用，众用所基。”（《刻几何原本 序》），又希望“百年之后，必人人习之， 即又以为习之晚也”（《几何原本杂 议》）。
二、变量数学时期
变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年 代。这一时期的主要成果是解析几何、微 积分、高等代数等学科，它们构成了现代 大学数学课程(非数学专业)的主要内容。
十六、十七世纪，欧洲封建社会开始解体，代之 而起的是资本主义社会。由于资本主义工场手工 业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事 等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展。 原来的初等数学已经不能满足实践的需要，在数 学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念， 从此数学进入了变量数学时期。
十二月：大哉言数（maths is for ever）
大哉数学！
自然科学
工程技术
医药卫生
哲学思想
政治学说
经济理论逻辑思维ຫໍສະໝຸດ 音乐、建筑艺术、美学
战争、军事
1 什么是数学—历史的理解
“万物皆数”—毕达哥拉斯学派 “数学是量的科学”—亚里士多德 “凡是以研究顺序和度量为目的的科学都
与数学有关”—笛卡尔 “纯粹数学的对象是现实世界的空间形式
(2)提出一个假设，它包含所观察各量之间的数学关 系式；
(3)从这个假设推导出某些能够实际验证的结果 (4)进行实验观测—改变条件—再现测，并把观察结
果尽可能地用数值表示以来； (5)以实验结果来肯定或否定所提的假设； (6)以肯定的假设为起点，提出新假设，再度使新假
设接受检验。
第二件大事是笛卡儿的解析几何
一月：自然之数（maths counts)
二月：数学漩涡（maths stirs…）
三月：混沌中的数学（maths predicts）
四月：数学也很“酷”：（maths is cool--突变理论）
五月：太阳黑子的数学之谜（maths hots up）
六月：数学联通天下（maths connects）
1200年之后，阿拉伯数学进入衰退时期。初期的 阿拉伯数学在12世纪被译为拉丁文，传播到西欧， 使西欧人重新了解到希腊数学。
15世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占 庭帝国的瓦解，大批学者带着希腊典籍的 回到意大利。大约在这个世纪的中叶，受 中国人发明的影响，改进了印刷术，彻底 变革了书籍的出版条件，加速了知识的传 播。在这个世纪末，哥伦布发现了美洲， 不久麦哲伦船队完成了环球航行。在商业、 航海、天文学和测量学的影响下，西欧作 为初等数学的发展中心，终于后来居上。
与度量关系”—恩格斯
“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思 维。也就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且 必须通过定义而明确地、有秩序地与先前建立和 存在的概念相联系” --康托（1883）
“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个 命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对 同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是 否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟 是什么，……只要我们的假定是关于一般的事物， 而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成 为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科， 我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所 说的内容是否正确。” --罗素（1901）
从5世纪到15世纪，数学发展的中心转移到 了东方的印度、阿拉伯国家和中国。在这 1000多年时间里，数学主要是由于计算的 需要，特别是由于天文学的需要而得到迅 速发展。和以前的希腊数学家大多数是哲 学家不同，东方的数学家大多数是天文学 家。从公元6世纪到17世纪初，初等数学在 各个地区之间交流，并且取得了重大进展。
未曾想，300年后却有此打油诗：是幽默？ 是无奈？还是中国人就不懂数学？
“几何”乃人类思维之灵魂
我请读者透过各个年代考察一下“几何”这门学 科的效果。人们看到它渐渐地，很慢但有把握地 取得了这样的权威，即任何一项研究、任何一项 实验都倾向它，不屈不挠地向它借取严谨的步骤、 对‘材料’的精打细算、细致的方法，而这种慎 之又慎使它可以从事最“胆大妄为”的事业。现 代科学就是从这堂庑宏大的教育中产生的。结果， 从机械技术、应用科学、战争或和平的手段等观 点来看，世界各地区之间的不平等就出现了。欧 洲人的优势就是建立在这个不平等之上的。
到了公元前三世纪，希腊几何学的出现成 为第一个转折点，数学从此由具体的、实 验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段， 开始创立初等数学。此后又经过不断的发 展和交流，最后形成了几何、算术、代数、 三角等独立学科。这一时期的成果可以用 “初等数学”(即常量数学)来概括，它大致 相当于现在中小学数学课本的主要内容。
[“数学]这个领域已被称作模式的科学 （science of pattern），其目的是要揭 示人们从自然界和数学本身的抽象世界中 所观察到的结构和对称性”
--Renewing US Mathematics:
A Plan for 1900’s
2 数学史的意义
与其他知识部门相比，数学是一门“历史 性”很强的学科：基本概念、基本方法几 乎亘古未变，即使重大的数学理论也总是 在继承和发展原有理论的基础上建立起来 的。
阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时期(公元8 至15世纪)在阿拉伯语的文献中看到的数学。 七世纪以后，阿拉伯语言不仅是阿拉伯国 家的语言，而且成为近东、中东、中亚细 亚许多国家的官方语言。阿拉伯数学有三 个特点：实践性；与天文学有密切关系； 对古典著作做大量的注释。它的表现形式 和写文章一样，不用符号，连数目也用阿 拉伯语的数词书写，而“阿拉伯数字”仅 用于实际计算和表格。
一、初等数学时期
数学与人类文明相伴而生，经过漫长时间 的萌芽阶段，在生产的基础上积累了丰富 的有关数和形的感性知识。数学知识在古 巴比伦、埃及、印度和中国产生，并形成 系统的数学知识体系。
The Declaration of Rio sets three aims : - The great challenges of 21st Century - Mathematics, a key for Development - The image of mathematics
伦敦地铁的数学海报
对于阿拉伯文化来说，数学是外来的学问，在伊 斯兰教创立之前，只有极简单的计算方法。七世 纪时，通过波斯传进了印度式计算法。后来开始 翻译欧几里得、阿基米得等人的希腊数学著作。 花拉子模著的《代数学》成为阿拉伯代数学的范 例。在翻译时代(大约850年之前)过去之后，是 众多数学家表现创造才能著书立说的时代(1200 年之前)。梅雅姆、纳速·拉丁、阿尔·卡西等等， 使阿拉伯数学在11世纪达到顶点。
七月：让数学告诉你机遇（maths even the odds）
八月：数学展翅翱翔（maths takes off）
九月：数学解读生命玄机（maths is vital）
十月：数学“密电码”（maths breaks the code）
十一月：数学波澜（maths makes waves）
数：自然数、分数、负数、无理数、复数 几何：欧式几何、非欧几何 代数：初等代数、“四元数”-非交换代数、
抽象代数
在数学的进化过程中，几乎没有发生彻底推 翻前人建筑的情况。但是在其他学科情况就 大不相同，比如：
天文学：从“地心说”到“日心说”
物理学：从“以太说”到“相对论”
化学： 从“燃素说”到“氧化说”
数学史
A History of Mathematics
纪志刚 上海交通大学科学史系
人生几何，大哉言数
数学思想发展的历史巡礼--
引子
人生有几何， 为何学几何？ 学了几何几何用？ 不学几何又几何！
--20世纪30年代的“打油诗”
First encounter between East and West:1607
第三件大事是微积分学的建立，最重要的工作是 由牛顿和莱布尼兹各自独立完成的。
17世纪的数学，发生了许多深刻的、明显的变革。 在数学的活动范围方面，数学教育扩大了，从事 数学工作的人迅速增加，数学著作在较广的范围 内得到传播，而且建立了各种学会。在数学的传 统方面，从形的研究转向了数的研究，代数占据 了主导地位。在数学发展的趋势方面，开始了科 学数学化的过程。最早出现的是力学的数学化， 它以1687年牛顿写的《自然哲学的数学原理》为 代表，从三大定律出发，用数学的逻辑推理将力 学定律逐个地、必然地引申出来。
“在大多数的学科里，一代人的建筑为下一代 人所拆毁，一个人的创造被另一个人所破坏。 唯独数学，每一代人都在古老的大厦上添加 一层楼”
--H. Hankel,1894
数学史并不是单纯数学成就的编年记录。数学的 发展可谓“历经艰辛”：有犹豫徘徊、有危机冲 突，……。这是这些，构成了数学发展的恢宏画卷。 遗憾的是，现在的教科书是以定理到定理的形式 包装起来的，无法展示数学创造的真实过程。
罗马人征服了希腊也摧毁了希腊的文化。 公元前47年，罗马人焚毁了亚历山大里亚 图书馆，两个半世纪以来收集的藏书和50 万份手稿付之一炬。基督教徒又焚毁了希 腊神庙，大约30万种手稿被焚。公元640 年，回教徒征服埃及，残留的书籍被阿拉 伯征服者焚毁。由于外族入侵和古希腊后 期数学本身缺少活力，希腊数学衰落了。
周公曰：大哉言数。 …… ---《周髀算经》
既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五
“几何”完善于希腊，“算术”则是东方的 强项，二者通过“代数”结合在一起后， “解析几何”就诞生了（笛卡儿），进而微 积分的出现就是历史的必然产物（牛顿、莱 布尼兹），和着工业革命，数学进入了新的 时代— “分析”的时代（18-20世纪）。
下学工夫，有理有事。 此书为益。能令学理者 怯其浮气，练其精心； 学事者资其定法，发其 巧思，故举世无一人不 当学。……
—徐光启《几何原本杂议》
历史的警示
1607年，利玛窦和徐光启合译《几何原 本》，西方数学第一次传入中国。徐光启 认为此书“由显入微，从疑得信，盖不用 为用，众用所基。”（《刻几何原本 序》），又希望“百年之后，必人人习之， 即又以为习之晚也”（《几何原本杂 议》）。
二、变量数学时期
变量数学时期从17世纪中叶到19世纪20年 代。这一时期的主要成果是解析几何、微 积分、高等代数等学科，它们构成了现代 大学数学课程(非数学专业)的主要内容。
十六、十七世纪，欧洲封建社会开始解体，代之 而起的是资本主义社会。由于资本主义工场手工 业的繁荣和向机器生产的过渡，以及航海、军事 等的发展，促使技术科学和数学急速向前发展。 原来的初等数学已经不能满足实践的需要，在数 学研究中自然而然地就引入了变量与函数的概念， 从此数学进入了变量数学时期。
十二月：大哉言数（maths is for ever）
大哉数学！
自然科学
工程技术
医药卫生
哲学思想
政治学说
经济理论逻辑思维ຫໍສະໝຸດ 音乐、建筑艺术、美学
战争、军事
1 什么是数学—历史的理解
“万物皆数”—毕达哥拉斯学派 “数学是量的科学”—亚里士多德 “凡是以研究顺序和度量为目的的科学都
与数学有关”—笛卡尔 “纯粹数学的对象是现实世界的空间形式
(2)提出一个假设，它包含所观察各量之间的数学关 系式；
(3)从这个假设推导出某些能够实际验证的结果 (4)进行实验观测—改变条件—再现测，并把观察结
果尽可能地用数值表示以来； (5)以实验结果来肯定或否定所提的假设； (6)以肯定的假设为起点，提出新假设，再度使新假
设接受检验。
第二件大事是笛卡儿的解析几何
一月：自然之数（maths counts)
二月：数学漩涡（maths stirs…）
三月：混沌中的数学（maths predicts）
四月：数学也很“酷”：（maths is cool--突变理论）
五月：太阳黑子的数学之谜（maths hots up）
六月：数学联通天下（maths connects）
1200年之后，阿拉伯数学进入衰退时期。初期的 阿拉伯数学在12世纪被译为拉丁文，传播到西欧， 使西欧人重新了解到希腊数学。
15世纪开始了欧洲的文艺复兴。随着拜占 庭帝国的瓦解，大批学者带着希腊典籍的 回到意大利。大约在这个世纪的中叶，受 中国人发明的影响，改进了印刷术，彻底 变革了书籍的出版条件，加速了知识的传 播。在这个世纪末，哥伦布发现了美洲， 不久麦哲伦船队完成了环球航行。在商业、 航海、天文学和测量学的影响下，西欧作 为初等数学的发展中心，终于后来居上。
与度量关系”—恩格斯
“数学是绝对自由发展的学科，它只服从明显的思 维。也就是说它的概念必须摆脱自相矛盾，并且 必须通过定义而明确地、有秩序地与先前建立和 存在的概念相联系” --康托（1883）
“纯粹数学完全由这样一类论断组成，假定某个 命题对某些事物成立，则可推出另外某个命题对 同样这些事物也成立。这里既不管第一个命题是 否确实成立，也不管使命题成立的那些事物究竟 是什么，……只要我们的假定是关于一般的事物， 而不是某些特殊的事物，那么我们的推理就构成 为数学。这样，数学可以定义为这样一门学科， 我们永远不知道其中所说的是什么，也不知道所 说的内容是否正确。” --罗素（1901）
从5世纪到15世纪，数学发展的中心转移到 了东方的印度、阿拉伯国家和中国。在这 1000多年时间里，数学主要是由于计算的 需要，特别是由于天文学的需要而得到迅 速发展。和以前的希腊数学家大多数是哲 学家不同，东方的数学家大多数是天文学 家。从公元6世纪到17世纪初，初等数学在 各个地区之间交流，并且取得了重大进展。
未曾想，300年后却有此打油诗：是幽默？ 是无奈？还是中国人就不懂数学？
“几何”乃人类思维之灵魂
我请读者透过各个年代考察一下“几何”这门学 科的效果。人们看到它渐渐地，很慢但有把握地 取得了这样的权威，即任何一项研究、任何一项 实验都倾向它，不屈不挠地向它借取严谨的步骤、 对‘材料’的精打细算、细致的方法，而这种慎 之又慎使它可以从事最“胆大妄为”的事业。现 代科学就是从这堂庑宏大的教育中产生的。结果， 从机械技术、应用科学、战争或和平的手段等观 点来看，世界各地区之间的不平等就出现了。欧 洲人的优势就是建立在这个不平等之上的。
到了公元前三世纪，希腊几何学的出现成 为第一个转折点，数学从此由具体的、实 验的阶段，过渡到抽象的、理论的阶段， 开始创立初等数学。此后又经过不断的发 展和交流，最后形成了几何、算术、代数、 三角等独立学科。这一时期的成果可以用 “初等数学”(即常量数学)来概括，它大致 相当于现在中小学数学课本的主要内容。
[“数学]这个领域已被称作模式的科学 （science of pattern），其目的是要揭 示人们从自然界和数学本身的抽象世界中 所观察到的结构和对称性”
--Renewing US Mathematics:
A Plan for 1900’s
2 数学史的意义
与其他知识部门相比，数学是一门“历史 性”很强的学科：基本概念、基本方法几 乎亘古未变，即使重大的数学理论也总是 在继承和发展原有理论的基础上建立起来 的。
阿拉伯数学指阿拉伯科学繁荣时期(公元8 至15世纪)在阿拉伯语的文献中看到的数学。 七世纪以后，阿拉伯语言不仅是阿拉伯国 家的语言，而且成为近东、中东、中亚细 亚许多国家的官方语言。阿拉伯数学有三 个特点：实践性；与天文学有密切关系； 对古典著作做大量的注释。它的表现形式 和写文章一样，不用符号，连数目也用阿 拉伯语的数词书写，而“阿拉伯数字”仅 用于实际计算和表格。