一、请给出一个集合A ，并给出A 上既具有对称性，又具有反对称性的关系。（10分） A:(A ∩B)∪A=A,(A ∪B)∩A=A.
二、请给出一个集合A ，并给出A 上既不具有对称性，又不具有反对称性的关系。（10分） A:(A ∩B)∪A=A,(A ∪B)∩A=A.
三、设A={1，2}，请给出A 上的所有关系。（10分）
{1,2} {2,1}
四、设A={1，2，3}，问A 上一共有多少个不同的关系。（10分）
集合中有三个元素,3个元素对,可定义二元关系2^3=8种（3个元素对分别满足或者不满足关系R ）
五、证明： 命题公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。（10分）
证明：设公式G 的合取范式为：G ’=G 1∧G 2∧…∧G n
若公式G 恒真，则G ’恒真，即子句G i ；i=1,2,…n 恒真
为其充要条件。
G i 恒真则其必然有一个原子和它的否定同时出现在G i 中，也就是说无论一个解释I 使这个原子为1或0 ，G i 都取1值。
若不然，假设G i 恒真，但每个原子和其否定都不同时出现在G i 中。则可以给定一个解释I ，使带否定号的原子为1，不带否定号的原子为0，那么G i 在解释I 下的取值为0。这与G i 恒真矛盾。
因此，公式G 是恒真的当且仅当在等价于它的合取范式中，每个子句均至少包含一个原子及其否定。
六、若G=(P ，L)是有限图，设P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。证明：n ≤2m C ，其中2m C 表
示m 中取2的组合数。（10分）
证明：如果G=(P,L)为完全图，即对于任意的两点u 、v （u ≠v ）,都有一条边uv ，则此时对于元数为m 的P(G)，L(G)的元数取值最大为C m 2
。因此，若G=(P,L)为一有限图，设P(G)的元数为m ，则有L(G)的元数n ≤C m 2 ，其中C m 2 表示m 中取2的组合数。
六、试证明n 个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n 次对称群）。证明n 个元素的所有偶置换作成群（叫做n 次交代群）。写出四次交代群中的元素。n 次交代群的元数为何？
试证明n 个元素的所有置换作成一个群（通常叫做n 次对称群）。证明n 个元素的所有偶置换作成群（叫做n 次交代群）。写出四次交代群中的元素。n 次交代群的元数为何？
证明：只需验证满足群的各条件，略。
注意到偶置换×偶置换=偶置换。易知偶置换成群。
A 4：(1)，(1 2 3)，（1 3 2），（1 2 4），（1 4 2），
（1 3 4），（1 4 3），（2 3 4），（2 4 3），（1 2）（3 4），（1 3）（2 4），（1 4）（2 3）， 2
1n!。
七、设G 是有限图，P(G)，L(G)的元数分别为m ，n 。δ，∆分别是G 中点的最小度和最大度。
证明：δ≤2n/m≤∆。（10分）
八、设G=(P，L)是有限图，P(G)，L(G)的元数分别为m，n。证明：如果n>，则G是
连通的。（10分）
九、设G为图（可能无限），无回路，但若任意外加一边于G后就形成一回路，试证G必为
树。（10分）
十、证明：一个有限连通图G是一条非回路的简单路，当且仅当G中有两个点的度为1，且
其余点的度均为2。（10分）
