专题7 三角函数的图象与性质(教师版)

初中数学教案三角函数的图象与性质引言：数学是一门抽象而精密的学科，而三角函数则是数学中的重要组成部分。

掌握三角函数的图象与性质对于学生来说至关重要。

本教案将介绍三角函数的图象与性质，并提供相关的教学活动和示例，以帮助初中学生更好地理解和应用三角函数。

一、正弦函数的图象与性质：1. 图象：正弦函数的图象是一条连续的波浪线，且在横轴上有周期性的重复。

根据正弦函数的性质，我们可以通过一些关键点，如最高点（峰值）和最低点（谷值）来绘制整个函数的图象。

2. 性质：正弦函数的性质包括：（1）定义域和值域：正弦函数的定义域是所有实数集，而值域则是[-1, 1]。

（2）周期性：正弦函数是周期函数，其周期为2π。

（3）奇偶性：正弦函数是奇函数，即f(-x) = -f(x)。

（4）对称性：正弦函数关于原点对称。

二、余弦函数的图象与性质：1. 图象：余弦函数的图象也是一条连续的波浪线，但相比正弦函数，它在横轴上的起点和最高点位置有所不同。

同样地，我们可以通过确定关键点来绘制余弦函数的图象。

2. 性质：余弦函数的性质包括：（1）定义域和值域：余弦函数的定义域是所有实数集，而值域也是[-1, 1]。

（2）周期性：余弦函数也是周期函数，其周期为2π。

（3）偶性：余弦函数是偶函数，即f(-x) = f(x)。

（4）对称性：余弦函数关于y轴对称。

三、切线函数的图象与性质：1. 图象：切线函数的图象是一条连续的曲线，具有与正弦函数和余弦函数类似的波浪性质。

切线函数的图象相对复杂，但是可以通过关键点和曲线的斜率来绘制。

2. 性质：切线函数的性质包括：（1）定义域和值域：切线函数的定义域和值域都是所有实数集。

（2）周期性：切线函数是无界函数，没有固定的周期。

（3）奇偶性：切线函数既不是奇函数也不是偶函数，即f(-x) ≠ f(x)且f(-x) ≠ -f(x)。

（4）对称性：切线函数关于原点对称。

四、教学活动：为了帮助学生更好地理解和应用三角函数的图象与性质，以下是一些教学活动的建议：1. 绘制图象：让学生使用纸张和铅笔手动绘制正弦、余弦和切线函数的图象，并通过观察和比较来理解它们的共同性质。

三角函数的图象和性质教学目的：（一）1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法；2. 理解并熟练学握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法；3. 理解并学握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三介不等式的方法.（-）1•理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2. 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3. 会求简单函数的奇偶性.（三）1.理解并学握作正切函数和余切函数图像的方法；2. 理解并学握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法；3. 掌握正切函数的性质和性质的简单应用；4. 会解决一些实际问题.教学重点：1. 用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象；2. 正、余弦和正切函数的性质.教学难点：1. 用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象；2. 正、余弦和正切函数性质的理解与应用.教学过程： 一、复习引入：1. 弧度定义：氏度等于半径氏的弧所对的圆心角称为1弧度的角.2. 正、余弦函数定义：设仅是一个任意角，在Q 的终边上任取（异于原点 的）一点P （x,y ）,P 与原点的距离r （r = J 卜『+|y 『=JF +> 0）则比值』叫做Q 的正弦r Y 比值土叫做Q 的余弦 r比值2叫做a 的正切X3. 三角函数线：根据正弦，余弦，正切的定义，则有 sin a = MP , cos a = OM , tan a = AT这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT 分别叫做角a 的正弦线,余弦线，正切线.当角Q 的终边落在兀轴上时，M 与P 重合，A 与T 重合，此时正弦线，正切线分别变成一円 x,y)记作 sincr =— r记作cos a =—r y记作 tan =—x个点；当角a的终边在y轴上时，0与M重合,余弦线变成一个点,过A的切线平行于y轴, 不能与角a的终边相交，所以疋切线不存在，此时角a的止切值不存在.二、讲解新课：（一）正弦函数、余弦函数的图象1・用单位圆中的止弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图彖（几何法）：为了作三角函数的图彖，三角函数的口变量要用弧度制来度量，使口变量与函数值都为实数.在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识.正弦函数= 的图象第一步，在直角坐标系的X轴上任取一点q,以q为圆心作单位圆，从这个圆与兀轴的交点A起把圆分成斤（这里7? = 12）等份.把x轴上从0到271这一段分成n（这里71 =12）等份.（预备：取口变量X值一弧度制下角与实数的对应）.第二步，在单位圆屮画出对应于角0，兰，2龙的正弦线正弦线（等价于“列表”）.6 3 2把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点兀重合，则疋弦线的终点就是正弦函数图彖上的点（等价于"描点”）.笫三步，连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起來，就得到正弦函数y = sin兀，x e [0,2兀]的图象.根据终边相同的同名三和函数值相等，把上述图象沿着兀轴向右和向左连续地平行移动, 每次移动的距离为2兀，就得到y = sinx, xe R的图彖.把角x（xeR）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点为x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y = sinx的图彖.余弦函数y = cosx的图象用儿何法作余弦函数的图象，可y4以用“反射法”将角兀的余弦线“竖立”.把处标弦线0.A的终点4作兀轴的垂线，它与前而所作的直线交于A',那么0{A与AA长度相等几方向同时为正，我们就把余弦线0/ “竖立”起来成为AA,用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移，使起点与x轴上相应的点兀重合，则终点就是余弦函数图象上的点.TT也可以旷旋转法”把角的余弦线“竖立”（把角兀的余弦线按逆时针方向旋转尹7T 7Tcosx = sin（x + -）,述可以把正弦函数y = sinx的图彖向左平移一单位即得余弦函数2 2y = cosx的图彖.函数y = sinx的图彖和余弦函数y = cosx的图彖分别叫做止弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y = sin x, x G [0,2^-]的图彖中，3五个关键点是：（0,0）, （- ,1）,（龙,0）,（-不―1）, （2龙,0）余弦函数y = cosx, x e [0,2^]的图像中,JI 3五个关键点是：（0,1）, （-,0）,（矩―1）,（-处0）, （2^,1）只要这五个点描出后，图彖的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，耍求熟练掌握.-6n X55Z・4亢75/ ・2江■[7L/ 2亢、25/ 4兀/y=cosx6兀x根据诱导公式(二)正弦函数、余弦函数的性质1・定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或(-00,+00)).2.值域(1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度，所以I sin x 1< 1,1 cosx 1< 1,即一1 W sin 兀W 1,-1 < cos 兀 < 1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].(2)最值正弦函数y = sinx,兀wTT①当且仅当x = - + 2k兀,keZ时,取得最大值12JT②当且仅当兀二—一+ G Z时,取得最小值—12余弦函数y = cosx,x € R①当口仅当x = 2炽,keZ时,取得最大值1②当且仅当x = 2k7i七兀，kwZ时，取得最小值—13.周期性由sin(兀 + 2k兀)=sin x,cos(x + 2k兀)=cos x,(k G Z)知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数/(兀)，如果存在一个非零常数T,使得当兀取定义域内的每一个值时，都有/(x + T) = /(x),那么函数/(%)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知,2兀,4兀,・・・,一2兀,一4兀,・・・，2炽伙wZ,R工0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数/(%),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/(兀)的最小正周期.根据上述定义，可知：止弦函数、余弦函数都是周期函数，2k7i(k w Z,k工0)都是它的周期,最小正周期是2”.4.奇偶性由sin(-x) =一sin 兀,cos(-x) = cos xXT知：y = sin x (x G /?)为奇函数，其图彖关于原点0对称y = cosx (xeR)为偶函数，其图象关于y轴对称5.对称性正弦函数y = sin x(x G R)的对称中心是(Rr,O)(k eZ),对称轴是直线X = k7T + ^(keZy,( JT Y余弦函数y = cosx(>wR)的对称中心是3 + —,0 (k G Z),\ 2丿对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于兀轴的直线，对称中心为图彖与兀轴(中轴线)的交点).6.单调性JI 3从^ = sinx,xe［——, — 7r］的图象上可看出：2 27T TT当兀w［——,一］时，曲线逐渐上升，sinx的值由—1增大到12 2JT 3当兀刃时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到—1结合上述周期性可知:71 n正弦函数在每一个闭区间［-—+ 2k7T- + 2k/r］(k e Z)上都是增两数，2 2其值从-1增人到1;JI 3疋弦函数在每一个闭区间［-+ 2k7T-7l + 2k7T］(k G Z)上都是减函数，2 2其值从1减小到-1・余弦函数在每一个闭区间［2炽-龙,2炽］伙wZ)上都是增函数，其值从-1增加到1;余弦函数在每一个闭区间［2炽,2炽+刃伙e Z)上都是减函数，其值从1减小到-1・和的图彖和性质(表中对称屮心(so)(“z)( jr \炽 +—,0 ("Z) \ 2丿对称轴x = k” +彳(k G Z)x = kjv(k e Z)最小正周期2龙2龙单调性7T 7T| ---- + 2k7r,——2A TT］递增2 2|— + Zk7r,—7r + 2£兀］递减2 2\2k兀一兀,2k^\递增[2k兀,2k/r +兀1递减(三)正切函数的图象和性质1.正切函数歹=tanx的图像n 7T在区间内作出函数y = tan兀图像，根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数y= tan x x E R，且x H 空 + e z) 的图像，称“止切曲线” •2.正切函数和余切函数的性质⑴定义域：X H炽+彳(£ W Z)(2)值域：/?(3)周期：•・• tan(x + 龙)=+ “! = 一"n”=tanx xwR,且兀^k7r + — ,k e z\ cos(x + /r) -cosx V 2 )( n\:.y = tan x x e /?,且x ¥ kzi + — ,k w乙的周期为T = 7i (最小正周期) ~ 2(4)奇偶性:正切函数是奇函数由诱导公式tan(-x) = -tanx,我们可以证明正切函数是奇函数，正切函数的图像关于原点对成.(bn \⑸对称性:对称中心是—,0 (kwZ),特别提醒：止徐)切型函数的对称中心有两类: I 2丿一类是图象与兀轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处.TT JT⑹单调性：由图像可知，正切函数再区间(——+ kTC.— + k7i\k G Z内都是单调增函数.2 2正、余切函数的性质三、讲解范例：(一)图象问题例1画l\\y = cos x(x G R)与y = -sin x(x e R)两函数的图象，观察两曲线的平移关系. 解：略例2作下列函数的简图：(1)y = 1 + sin^ , x G [0,2^-] (2) y =1 sin x I (3) y = sin I x I解：略TT例3用五点法作函数y = 2cos(x + -),兀e [0,2刃的简图，并求其与貞线y二2交点个数解：略例4分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足卜•列条件的兀的集合:(1)sinx > 丄(2) cosx W 丄(0 v 兀 < —^)2 2 2解：略例5求下列函数的定义域：______⑴ y 二J2sinx + 1 (2) y = 716-x2 + V-cosx (3) y = Vsinx-cosx补充例题：⑴函数/(x) = sin 兀图象的对称轴是 ___________ ;对称屮心是 __________ .TT(2)函数/(x) = sin(x + -)图象的对称轴是 ___________ ;对称屮心是 ________ .⑶函数/(x) = 2sin(x + -) + l 图象的对称轴是 ____________ ;对称中心是 _______ .(4) 函数y = cos (龙+兀)与y = cos 兀的图象关于 ________ 对称.(填一种情况即可)X(5) 方程sinx = —的根的个数为()10A. 7B. 8C. 9D. 10⑹川五点法作函数y = 2sin2x 的图象时，首先应描出的五个点横坐标可是((二)定义域、值域问题 例1求卜-列函数的定义域：(1) y = 1 + —-—sinx(2) y = J1 - 2cosx (3) y = lg(2sinx-V3)求下列函数的值域:(1) y = • 7 • t 百兀 3 , =sin" x-sinx + l,x e3 4(2) y = =2sin(x + —),x e 6 6 3 (3) y = cosx-3 cos x + 3解：略例2求使下列函数取得最大值的口变量兀(xwR)的集合，并说出最大值是什么;7T 7T若兀W ［一彳，彳)呢？(1) y = cosx + 1 ; (2) y = sin 2xA0,产严 C. 0，九2乃,3込4兀° c 71 兀 3B. 0, — , —. —71.714 2 4 ,c 71 71 兀 2TT TT例3已知函数f(x) = 2a sin(2x -一) + b的定义域为[0,-],值域为[-5,1]. 3 2求的值.解：略例4求函数y = sin2 x + ocos兀+ —a——(x e [0,—])的最大值.8 2 2解：略例5 (1)已知y = 2 sin x cos x + sin x - cos x (x G [0,兀]),求y的最人值和最小值.(2)求y(兀)=sin4x + 2sin3 xcosx + sin2兀cos? x + 2sinxcos3 x + cos4x的最大值利最小值.(注：sin x - cos x = V2 sin(x - —), sin x cos x = — sin 2x)4 2解：略(三)周期性、奇偶性问题例1判断下列函数的奇偶性:⑴ /(x) =1 + sinx-cosx 1 +sinx + cosx(2) /(x) = sin x-cos x + cos2x (cos2兀=cos~ x-sin~ x)(3) /(x)==lg(sinx +Vl + sin2x)(4) /(x) = |sinx| + cosx 解：略例2 (1)已知/(x) = ax + bsin 3x = l(a,b为常数),K/(5) = 7,求/(-5).(2)若于(兀)为奇函数,且当兀> 0时,f(x) = xsinx + cos2x, 求当尢v 0时，于(兀)的解析式.⑶若函数f(x) = sin(x + a)是偶函数，求a的值.解：略例3求下列三角函数的周期,并探究其结.(1) y = 3cosx (2) y = sin 2x1TT TT(3)y = 2sin(—x ----- )(4) y = 2sin(5加 -- )2 6 3解：略点评：一般地，函数y = A sin(69x +(p\ xe R及函数y = cos(ax + 0)，兀w R (其中A* co、2/r©为常数，且A^09CO> 0)的周期T= —co例 4 (1)求函数 y = 2sin 2 2x + 4sin 2xcos2x +3cos 2 2x 的周期.rr (2)求函数y = 4 sin 3(——兀)的周期. 6解：略例5求下列函数的最小正周期：(1) y =1 sin 兀 I(2) y =1 2cos 兀 +11 解：略 例6⑴已知/(兀)是周期为5的周期函数，且/⑴=2007,求/(II).(2)已知奇函数/(兀)是7?上的函数，且/(1) = 2, f(x + 3) = /(x),求于(8)・ 解：略 例7 /(兀)是定义在R 上的偶函数，其图彖关于兀=1对称，对任意的旺宀e[0,-],都有/(兀]+兀2)= /(兀I )/(兀2)・(1) 设/(1) = 2,求/(£),/(：)； 2 4(2) 证明：/(x)是周期函数.解：略例8 (1)若函数y = )的图象关于直线x = 与x = b(b>a)都对称，求证：/(x)是周期函数，月.2(b-d)是它的一个周期；(2) 若函数 y = /(x)(兀 w 7?)满足 /(x) = f(x-a) + f(x +a)(常数 d w 7T ),求 证：f(Q 是周期函数，冃6。

三角函数图像和性质专题讲义1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质π2．用“五点法”作图，就是令ωx＋φ取下列5个特殊值：0, π2, π,3π2, 2π，通过列表，计算五点的坐标，描点得到图象.3．三角函数图象变换4[常用结论]（1）对称与周期的关系正弦曲线、余弦曲线相邻的两个对称中心、相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是四分之一个周期；正切曲线相邻两个对称中心之间的距离是半个周期． （2）与三角函数的奇偶性相关的结论若y ＝A sin(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )．若y ＝A cos(ωx ＋φ)为偶函数，则有φ＝k π(k ∈Z )；若为奇函数，则有φ＝k π＋π2(k ∈Z )．若y ＝A tan(ωx ＋φ)为奇函数，则有φ＝k π(k ∈Z )． 题型一 三角函数的5大性质例1 已知函数f (x )＝2cos x ·sin ⎪⎭⎫⎝⎛+3πx －3sin 2x ＋sin x cos x ＋1. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎪⎭⎫⎝⎛20π，时，求函数f (x )的最大值及最小值；(3)写出函数f (x )的单调递增区间． (4)写出函数f (x )的对称轴和对称中心.(5)函数f (x )向右平移t 个单位为偶函数，求t 的最小正值。

[玩转跟踪]1．函数2()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的最小正周期为（ ）A ．4π B ．2πC ．2π D ．π2．已知函数()()()2sin 20f x x ϕϕπ=+<<，若将函数()f x 的图象向右平移6π个单位长度后，所得图象关于y 轴对称，则下列结论中正确的是( ) A ．56πϕ= B ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭是()f x 图象的一个对称中心 C ．()2fϕ=-D ．6x π=-是()f x 图象的一条对称轴3.已知函数21()2cos 22f x x x =-+. (1)求2()3f π的值及f (x )的对称轴； (2)将()f x 的图象向左平移6π个单位得到函数()g x 的图象，求()g x 的单调递增区间. 题型二 三角函数模型中“ω”范围的求法探究 例2 已知函数 f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛+6πωx (ω>0)在区间]32,4[ππ-上单调递增，则ω的取值范围为( ) A.]830(， B.]210(， C.]8321[， D.]2,83[ 例3 已知函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛+3πωx (ω>0)的一条对称轴x ＝π3，一个对称中心为点⎪⎭⎫⎝⎛0,12π，则ω有( ) A ．最小值2 B ．最大值2 C ．最小值1D ．最大值1例4 已知函数f (x )＝2sin ωx 在区间]4,3[ππ-上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．[玩转跟踪]1．若函数f (x )＝23sin ωx cos ωx ＋2sin 2ωx ＋cos 2ωx 在区间]23,32[ππ-上单调递增，则正数ω的最大值为( )A.18 B ．16 C.14 D.13 2.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)，若f (x )在区间]2,0[π上是单调函数，且f (－π)＝f (0)＝－f )2(π，则ω的值为( )A.23 B ．23或2 C.13 D ．1或13 3.设函数f (x )＝cos ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx (ω>0)．若f (x )≤f )4(π对任意的实数x 都成立，则 ω的最小值为________． 题型三 三角函数的图像和图像变换 例5设函数，其中．已知．（Ⅰ）求；（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值． [玩转跟踪]1．将函数y ＝3sin ⎪⎭⎫⎝⎛+32πx 的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( ) A ．在区间]127,12[ππ上单调递减 B ．在区间]127,12[ππ上单调递增C ．在区间]3,6[ππ-上单调递减 D ．在区间]3,6[ππ-上单调递增 2.已知曲线C 1：y =cos x ，C 2：y =sin (2x +2π3)，则下面结论正确的是 A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2 C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2()sin()sin()62f x x x ππωω=-+-03ω<<()06f π=ω()y f x =4π()y g x =()g x 3[,]44ππ-3将函数()3cos 213f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的图象向左平移3π个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则下列关于函数()g x 的说法正确的是（ ） A ．最大值为3，图象关于直线12x π=对称 B ．图象关于y 轴对称C ．最小正周期为πD ．图象关于点,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 题型四 由图象求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式例6 (1)若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象如图所示，则y ＝ .(2)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ) )2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则y ＝f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πx 取得最小值时x 的集合为 ．[玩转跟踪]1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( ) A ．2，－π3 B ．2，－π6 C ．4，－π6D ．4，π32已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)＋B )2,0,0(πϕω<>>A 的部分图象如图所示，将函数f (x )的图象向左平移m (m >0)个单位长度后，得到函数g (x )的图象关于点)23,3(π对称，则m 的值可能为( )A.π6B.π2C.7π6D.7π12题型五 三角函数大题 例7 已知函数f (x )＝23sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+42πx ·co ⎪⎭⎫⎝⎛+42πx －sin(x ＋π)． (1)求f (x )的最小正周期；(2)若将f (x )的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g (x )的图象，求函数g (x )在区间[0，π]上的最大值和最小值． [玩转跟踪]1．已知函数4()cos f x x =-42sin cos sin x x x - （1）求()f x 的单调递增区间； （2）求()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值及取最小值时的x 的集合. 2．设函数f (x )＝32－3sin 2ωx －sin ωx cos ωx (ω＞0)，且y ＝f (x )图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为π4. (1)求ω的值；(2)求f (x )在区间[π，3π2]上的最大值和最小值．[玩转练习]1．函数y ＝2cos ⎪⎭⎫⎝⎛+62πx 的部分图象大致是( )2．已知函数f (x )＝4sin(ωx ＋φ)(ω＞0)．在同一周期内，当x ＝π6时取最大值，当x ＝－π3时取最小值，则φ的值可能为( )A.π12B.π3C.13π6D.7π6 3．将曲线y ＝sin(2x ＋φ))2(πϕ<向右平移π6个单位长度后得到曲线y ＝f (x )，若函数f (x )的图象关于y 轴对称，则φ＝( )A.π3 B ．π6 C ．－π3 D ．－π6 4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-322πx ，则下列结论正确的是( ) A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移7π12个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移7π12个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π6个单位长度，得到曲线C 25.(多选)已知函数f (x )＝A sin ωx (A >0，ω>0)与g (x )＝A2cos ωx 的部分图象如图所示，则( )A ．A ＝1B ．A ＝2C ．ω＝π3D ．ω＝3π6．(多选)函数f (x )＝2sin ⎪⎭⎫⎝⎛-32πx 的图象为C ，如下结论正确的是( ) A ．f (x )的最小正周期为π B ．对任意的x ∈R ，都有f ⎪⎭⎫⎝⎛+6πx ＋f ⎪⎭⎫⎝⎛+-6πx ＝0 C ．f (x )在)125,12(ππ-上是减函数D ．由y ＝2sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C7．将函数y ＝sin x 的图象上所有的点向右平移π10个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是____________．8．函数f (x )＝tan ωx (ω>0)的图象的相邻两支截直线y ＝2所得线段长为π2，则f )6(π的值是________．9．将函数y ＝cos x 的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位长度后，得到函数y ＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πx 的图象，则φ＝____. 10．(一题两空)已知函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ))2,0(πϕω<>一部分图象如图所示，则ω＝________，函数f (x )的单调递增区间为________．11．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ))2,0,0(πϕω<>>A 的图象过点P )0,12(π，图象上与点P 最近的一个最高点是Q )5,3(π.(1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数f (x )的单调递增区间． 12．设函数f (x )＝sin ⎪⎭⎫⎝⎛-6πωx ＋sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-2πωx ，其中0<ω<3，且f )6(π＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在]43,4[ππ-上的最小值．。

专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。

初中数学教案三角函数的性质与图像初中数学教案：三角函数的性质与图像一、引言在初中数学教学中，三角函数是一个重要的概念，它涉及到角度的度量以及三角比的计算。

本教案将着重讲解三角函数的性质与图像，帮助学生理解和掌握三角函数的基本特征和变化规律。

二、三角函数的定义1. 正弦函数（sin）角A的正弦值sinA的定义为：sinA = 对边/斜边2. 余弦函数（cos）角A的余弦值cosA的定义为：cosA = 邻边/斜边3. 正切函数（tan）角A的正切值tanA的定义为：tanA = 对边 / 邻边三、三角函数的性质1. 周期性正弦函数、余弦函数和正切函数都具有周期性。

其中，正弦函数和余弦函数的周期为360°或2π弧度，而正切函数的周期为180°或π弧度。

2. 定义域和值域正弦函数和余弦函数的定义域为所有实数，值域为[-1, 1]。

正切函数的定义域为所有实数，但它的值域没有上下界。

3. 奇偶性正弦函数是奇函数，即sin(-x) = -sin(x)；余弦函数是偶函数，即cos(-x) = cos(x)；正切函数既不是偶函数也不是奇函数。

4. 单调性正弦函数和余弦函数在一个周期内都是周期性变化的，没有单调性。

而正切函数在每个周期内是增函数或减函数。

5. 对称性正弦函数具有对称性，即sin(π + x) = -sin(x)和sin(π - x) = sin(x)。

余弦函数也具有对称性，即cos(π + x) = -cos(x)和cos(π - x) = -cos(x)。

6. 周期相似性正弦函数和余弦函数具有周期相似性，即sin(x + 2π) = sin(x)和cos(x + 2π) = cos(x)。

四、三角函数的图像1. 正弦函数图像正弦函数的图像是一条波浪线，波浪线在原点通过，并且在一个周期内先达到最大值，然后达到最小值。

根据正弦函数的周期性和对称性，可以通过画出一个周期内的图像，再通过平移、对称等操作来得到其他区间内的图像。

三角函数专题一、核心知识点归纳：1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：sin y x =cos y x =tan y x =图象定义域 R R,2x x k k ππ⎧⎫≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭值域[]1,1-[]1,1-R最值当22x k ππ=+()k ∈Z 时，max 1y =; 当22x k ππ=-()k ∈Z 时，min 1y =-． 当()2x k k π=∈Z 时，max 1y =；当2x k ππ=+()k ∈Z 时，min 1y =-．既无最大值也无最小值周期性 2π2ππ奇偶性奇函数 偶函数奇函数单调性在2,222k k ππππ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦()k ∈Z 上是增函数;在32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦ ()k ∈Z 上是减函数．在[]()2,2k k k πππ-∈Z 上是增函数；在[]2,2k k πππ+ ()k ∈Z 上是减函数． 在,22k k ππππ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭()k ∈Z 上是增函数．对称性对称中心()(),0k k π∈Z对称中心对称中心函 数 性 质2。

正、余弦定理：在ABC ∆中有: ①正弦定理：2sin sin sin a b cR A B C===（R 为ABC ∆外接圆半径) 2sin 2sin 2sin a R A b R B c R C =⎧⎪=⎨⎪=⎩⇒ sin 2sin 2sin 2a A Rb B Rc C R⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩注意变形应用 ②面积公式：111sin sin sin 222ABC S abs C ac B bc A ∆=== ③余弦定理： 2222222222cos 2cos 2cos a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩ ⇒ 222222222cos 2cos 2cos 2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩二、方法总结：1.三角函数恒等变形的基本策略。