三角形解题技巧及例题

三角形解题口诀及例题角平分线四连线，边垂折叠全等现.垂线要把三线连，平行等腰来构建.垂直平分若出现，线上一点两相连.六十三十四十五，等边直角作三角.要证线段倍与半，延长缩短与直角.两线之和等一线，截长补短试试看.线段和差比大小，三角形中来相见.三角形中有中线，延长中线等中线.中点若与中点见，两点相连中位线1．在△ABC中，AD是△ABC的角平分线，所示，E、F分别是AB、AC上的点，且∠EDF+∠BAC ＝180°，求证：DE＝DF．边垂作全等证明：作DM⊥AB于点M，作DN⊥AC于点N，如右图所示，则∠EMD＝∠FND＝90°，∵AD平分∠BAC，∴DM＝DN，∵∠EDF+∠BAC＝180°，∴∠AED+∠AFD＝180°，又∵∠DFN+∠AFD＝180°，∴∠DEM＝∠DFN，在△EMD和△FND中，，∴△EMD≌△FND（AAS），∴DE＝DF．2．在△ABC中，AD为△ABC的角平分线．如图，∠C≠90°，如果∠C＝2∠B，求证：AB＝AC+CD．折叠作全等解：在AB上截取AE＝AC，连接DE，∵AD为△ABC的角平分线，∴∠CAD＝∠EAD，在在△AED和△ACD中∴△AED≌△ACD（SAS），∴∠C＝∠AED，CD＝ED，∵∠C＝2∠B，∴∠AED＝2∠B，∵∠AED＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴ED＝EB，∴EB＝CD，∵AB＝AE+EB，∴AB＝AC+CD．3．如图，点O是△ABC边AC上的一个动点，过O点作直线MN∥BC．设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．求证：OE＝OF；证明：∵MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F，∴∠2＝∠5，∠4＝∠6， ∵MN ∥BC ，∴∠1＝∠5，∠3＝∠6， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴EO ＝CO ，FO ＝CO ， ∴OE ＝OF ；4．如图，在△ABC 中，BC ＝AC ，∠ACB ＝90°，D 是AC 上一点，AE ⊥BD 交BD 的延长线于点E ，且AE ＝BD ，求证：BD 是∠ABC 的角平分线．证明：延长AE 、BC 交于点F ． ∵AE ⊥BE ，∴∠BEF ＝90°，又∠ACF ＝∠ACB ＝90°， ∴∠DBC +∠AFC ＝∠FAC +∠AFC ＝90°， ∴∠DBC ＝∠FAC ， 在△ACF 和△BCD 中，∴△ACF ≌△BCD （ASA ）， ∴AF ＝BD ． 又AE ＝BD ，∴AE ＝AF ＝EF ，即点E 是AF 的中点． ∵BE ⊥AF∴DE 是AF 的垂直平分线 ∴AB ＝BF ，根据等腰三角形三线合一的性质可知：BD 是∠ABC 的角平分线．角平分线与平行于角一边的线构造等腰三角形垂直于角平分线，构造三线合一5．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，AB的垂直平分线交AB，AC于点D，E．求证：AE＝2CE；有中垂线即向两端连线证明：连接BE．∵DE是AB的垂直平分线，∴AE＝BE，∴∠ABE＝∠A＝30°，∵∠C＝90°，∴∠ABC＝90°﹣30°＝60°，∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝30°，在Rt△BCE中，BE＝2CE，∴AE＝2CE；6．如图，已知在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，对角线AC＝8，求菱形ABCD的周长和面积．60°角找等边三角形解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝8．∴菱形ABCD的周长＝4×8＝32，∵BO＝＝4，∴BD＝2BO＝8，∴菱形ABCD的面积＝×8×＝32．7．如图，△ABC 中，∠B ＝45°，∠C ＝60°，AC ＝10，求边AB 的长．解：作AD ⊥BC 于点D ， 在Rt △ADC 中，∠C ＝60°， ∴∠CAD ＝30°， ∴CD ＝AC ＝5， ∴AD ＝＝5，在Rt △ADB 中，∠B ＝45°， ∴BD ＝AD ＝5，由勾股定理得，AB ＝＝＝5．8．如图，四边形ABCD 中，AD ＝4，BC ＝1，∠A ＝30°，∠B ＝90°，∠ADC ＝120°，求CD 的长．解：延长AD 、BC 交于E ， ∵∠A ＝30°，∠B ＝90°， ∴∠E ＝60°， ∵∠ADC ＝120°， ∴∠EDC ＝60°， ∴△EDC 是等边三角形， 设CD ＝CE ＝DE ＝x ， ∵AD ＝4，BC ＝1， ∴2（1+x ）＝x +4， 解得；x ＝2，60°角找直角三角形，45°角构造直角30°角找直角三角形∴CD ＝2．9．如图，△ABC 中，AB ＝AC ＝2，∠B ＝15°，求等腰△ABC 腰上高的值．解：作BD ⊥AC 交CA 的延长线于D ， ∵AB ＝AC ，∠B ＝15°， ∴∠C ＝∠B ＝15°， ∴∠DAB ＝∠C +∠B ＝30°， ∴BD ＝AB ＝1．10．已知，如图，∠C ＝90°，∠B ＝30°，AD 是△ABC 的角平分线．求证：BD ＝2CD ；解：如图，过D 作DE ⊥AB 于E ， ∵∠C ＝90°，AD 是△ABC 的角平分线， ∴DE ＝CD ， 又∵∠B ＝30°，∴Rt △BDE 中，DE ＝BD ， ∴BD ＝2DE ＝2CD ；11．已知：如图，AD 、AE 分别是△ABC 和△ABD 的中线，且BA ＝BD ，求证：AE ＝AC ．证明：延长AE 至F ，使EF ＝AE ，连接DF ． ∵AE 是△ABD 的中线， ∴BE ＝DE ． ∵∠AEB ＝∠FED ，15°角构造30°找直角三角形线段倍与半构造直角三角形线段倍∴△ABE ≌△FDE （SAS ）． ∴∠B ＝∠BDF ，AB ＝DF ． ∵BA ＝BD ，∴∠BAD ＝∠BDA ，BD ＝DF ．∵∠ADF ＝∠BDA +∠BDF ，∠ADC ＝∠BAD +∠B ， ∴∠ADF ＝∠ADC ． ∵AD 是△ABC 的中线， ∴BD ＝CD ． ∴DF ＝CD ．∴△ADF ≌△ADC （SAS ）． ∴AC ＝AF ＝2AE ，即AE ＝AC ．12．如图，在△ABC 中，AB ＞BC ，BD 是高，P 是BD 上任意一点，求证：PA ﹣PC ＜AD ﹣CD ．证明：在AD 上取一点E ，使得DE ＝CD ， ∴AD ﹣CD ＝AD ﹣DE ＝AE ， ∵BD ⊥AC ， ∴PD ⊥CE ， ∵DE ＝CD ， ∴PE ＝PC ， ∵PA ﹣PE ＜AE ， 故PA ﹣PC ＜AD ﹣CD ．13．如图，DC ∥AB ，∠BAD 和∠ADC 的角平分线相交于E ，过E 的直线分别交DC ，AB 于CB 两点．求证：AD ＝AB +DC线段和差比大小，构造三角形两线之和等一线，截长补短证明：在AD上截取AF＝AB，连接EF，如图所示：在△ABE和△AFE 中，，∴△ABE≌△AFE（SAS），∴∠AFE＝∠B，∵AB∥DC，∴∠B+∠C＝180°，∵∠AFE+∠DFE＝180°，∴∠DFE＝∠C，在△DEF和△DEC 中，，∴△DEF≌△DEC（AAS），∴DF＝DC，∴AB+DC＝AF+DF＝AD，即AD＝AB+DC．14．已知：如图，E是BC的中点，点A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求证：AB＝CD．中线倍长证明：延长DE到F，使EF＝DE，连接BF，∵E是BC的中点，∴BE＝CE，∵在△BEF和△CED中，∴△BEF≌△CED．∴∠F＝∠CDE，BF＝CD．∵∠BAE＝∠CDE，∴∠BAE＝∠F．∴AB＝BF，又∵BF＝CD，∴AB＝CD．15．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，F是BC延长线上的一点，且CF ＝BC．试猜想DE与CF有怎样的数量关系，并说明理由．中位线解：DE＝CF，理由如下：∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE ＝BC，∵CF ＝BC，∴DE＝CF．。

造全等三角形解题的技巧一、见角平分线试折叠，构造全等三角形例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。

求证：∠B：∠C=2：1。

点评：见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。

练习：如图3，△ABC中，AN平分∠BAC，CN⊥AN于点N，M为BC中点，若AC=6，AB=10，求MN的长。

图3提示：延长CN交于AB于点D。

则△ACN△ADN，∴AD=AC=6。

又AB=10，则BD=4。

可证为△BCD的中位线。

∴。

点评：本题相当于把△ACN沿AN折叠成△AND。

二、见中点“倍长”线段，构造全等三角形例2 如图4，AD为△ABC中BC上的中线，BF分别交AC、AD于点F、E，且AF=EF，求证：BE=AC。

图4点评：见中线AD，将其延长一倍，构造△GBD，则△ACD△GBD。

例3 如图5，两个全等的含有、角的三角极ADE和ABC如图放置，E、A、C三点在同一直线上，连接BD，取BD中点M，连接ME、MC图5试判断△EMC的形状，并说明理由。

注：①本题也可取EC的中点N，连接MN，利用梯形中位线定理来证明。

②亦可连接AM，利用角的度数来证明。

练习1：如图6，在平行四边形ABCD中，E为AD中点，连接BE、CE，∠BEC=，图6求证：（1）BE平分∠ABC。

（2）若EC=4，且，求四边形ABCE的面积。

提示：见图中所加辅助线，证△ABE△DFE。

练习2：△ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB的取值范围为多少？三、构造全等三角形，证线段的和差关系例4 如图7，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，且∠1=∠2。

图7求证：BE+DF=AE。

二、解题技巧.1利用角平分线构造全等三角形解题.2 利用中线构造全等三角形解题在等腰三角形的题目中常添加的辅助线是顶角的平分线，由此可以得到线段相等和垂直关系．另外，在未指明边(角)的名称时，应分类讨论．在解题时常会遇到与中线有关的问题，由中线可以提供的常见思路有：①线段相等构造全等；②在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半；③中线倍长：即延长中线，使延长的部分等于中线构造全等．。

如何确定全等三角形的对应关系一、字母顺序确定法由于在表示两个全等三角形时，通常是把表示对应顶点的字母写在对应的位置上（在证明三角形全等时也要注意应这样写），所以可以利用字母的顺序确定对应元素.例1已知△ABC≌△ADE，指出△ABC和△ADE的对应边、对应角.分析：先把两个三角形顶点的字母按照同样的顺序排成一排：A→B→C，A→D→E，然后按同样的顺序找出对应元素：（1）点A、A；B、D；C、E分别是对应点；（2）线段AB、AD；BC、DE；AC、AE分别是对应线段；（3）∠ABC、∠ADE；∠ACB、∠AED；∠CAB、∠EAD分别是对应角.二、图形特征确定法（1）有公共边的，公共部分一定是对应边.如图1，△ADB和△ADC全等，则AD一定是两个三角形的对应边.（2）有公共角的，公共角一定是对应角.如图2中，△ABD和△ACE全等，∠DAB和∠EAC是对应角.（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角.如图3中，∠1和∠2是对应角.（4）两个全等三角形的最大边（角）是对应边（角）；最小的边（角）是对应边（角）.（5）对应边（角）所夹（对）的角（边）是对应角（边）三、图形分解法从复杂的图形中，找出全等三角形的对应部分比较困难，这时可把要证全等的两个三角形从复杂图形中分离出来，用不同颜色标出或另画，图形简单了就容易找出对应元素.如图4，点C是线段AB上一点，AC=MC=AM，BC=NC=BN，请说明：BM=AN.此题若作如图5的分离，则容易找出对应部分：AC，MC；NC，BC；∠CAN，∠MCB分别是△ACN和△MCB中的对应边和对应角.“三步曲”证全等牢记判定定理：SSS SAS ASA AAS HL一看图形：全等三角形的基本图形大致有以下几种①平移型；②对称型；③旋转型（复杂图形可分离出基本图形）二看条件：（一）应先看有无隐含条件（如对顶角、公共边、公共角、某些角的和差，某些线段的和差。

）1、利用公共边（或公共角）相等如图1，AB DC =，AC DB =，△ABC ≌△DCB 全等吗？为什么？2、利用对顶角相等如图2，已知AC 与BD 交于点O ，∠A=∠C ，且AD ＝CB ，你能说明BO=DO 吗？3、利用等边（等角）加（或减）等边（等角），其和（或差）仍相等如图3，AB=DC ，BF=CE ，AE=DF ，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由．4、利用平行线的性质得出同位角、内错角相等如图4，AB ∥CD ，∠A ＝∠D ，BF ＝CE ，∠AEB ＝110°，求∠DFC 的度数． （二）再分析显性条件，如果条件不够，应确定还需什么条件，然后证明该条件。

八年级数学上册第十二章全等三角形解题技巧总结单选题1、在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，则AD的取值范围是（）A．0＜AD＜10B．1＜AD＜5C．2＜AD＜10D．0＜AD＜5答案：B分析：延长AD至点E，使得DE＝AD，可证△ABD≌△CDE，可得AB＝CE，AD＝DE，在△ACE中，根据三角形三边关系即可求得AE的取值范围，即可解题．解：延长AD至点E，使得DE＝AD，∵在△ABD和△CDE中，∵{AD=DE∠ADB=∠CDEBD=CD，∴△ABD≌△CDE（SAS），∴AB＝CE，AD＝DE∵△ACE中，AC﹣AB＜AE＜AC+AB，∴2＜AE＜10，∴1＜AD＜5．故选：B．小提示：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△ABD≌△CDE是解题的关键．2、“经过已知角一边上的一点作“个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图（1），∠AOB和OA上一点C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为C，一边为CA．作法：如图（2），（1）在0A上取一点D（OD＜OC），以点O为圆心，OD长为半径画弧，交OB于点E；（2）以点C为圆心，OD长为半径画弧，交CA于点F，以点F为圆心，DE长为半径画弧，两弧交于点C；（3）作射线CC．所以∠CCA就是所求作的角此作图的依据中不含有（）A．三边分别相等的两个三角形全等B．全等三角形的对应角相等C．两直线平行同位角相等D．两点确定一条直线答案：C分析：根据题意知，作图依据有全等三角形的判定定理SSS，全等三角形的性质和两点确定一条直线，直接判断即可．解：由题意可得：由全等三角形的判定定理SSS可以推知△EOD≌△GCF，故A正确；结合该全等三角形的性质对应角相等，故B正确；作射线CG，利用两点确定一条直线，故D正确；故选：C．小提示：本题考查作一个角等于已知角和三角形全等的判定与性质，解题关键是明确作图原理，准确进行判断．3、如图，在△ABC中，∠C=90°,BD平分∠ABC,AB=10,CD=3，则△ABD的面积为（）A．30B．20C．15D．10答案：C分析：根据角平分线上的点到角两边的距离相等的性质作出辅助线，即可得出AB边上的高线长度，根据面积公式计算，解：如图，过D作DE⊥AB于E，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，∴DE=DC=3，∴S△ABD=12AB⋅DE=12×10×3=15．故选：C．小提示：本题主要考查了角平分线的性质，根据性质作出辅助线是解答此题的关键．4、如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ=NQ，已知PQ＝5，NQ＝9，则MH的长为（）A．3B．4C．5D．6答案：B分析：先证明△MQP≌△NQH，再由全等三角形的性质可得PQ=QH=5，根据MQ=NQ=9，即可得到答案．解：∵MQ⊥PN，NR⊥PM，∴∠NQH＝∠NRP＝∠HRM＝90°，∵∠RHM＝∠QHN，∴∠PMH＝∠HNQ，在△MQP和△NQH中，{∠PMQ=∠QNHMQ=NQ∠MQP=∠NQH=90°，∴△MQP≌△NQH（ASA），∴PQ＝QH＝5，∵NQ＝MQ＝9，∴MH＝MQ﹣HQ＝9﹣5＝4，故选：B．小提示：本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是推理证明三角形的全等三角形，找到边与边的关系解决问题．5、如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD=90°，BD平分∠ABC，AB=6，BC=9，CD=4，则四边形ABCD 的面积是（）A．24B．30C．36D．42答案：B分析：过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，根据角平分线的性质得到DE=CD=4，根据三角形的面积公式即可得到结论．如图，过D作DE⊥AB交BA的延长线于E，∵BD平分∠ABC，∠BCD=90°，∴DE=CD=4，∴四边形ABCD的面积=S△ABD+SΔBCD=12AB⋅DE+12BC⋅CD=12×6×4+12×9×4=30故选B.小提示：本题考查了角平分线的性质，三角形的面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．6、如图，已知△ABC与△DEF，B，E，C，D四点在同一条直线上，其中AB=DF，BC=EF，AC=DE，则∠ACB等于（）A．∠EFD B．∠ABC C．2∠D D．12∠AFE答案：D分析：根据已知条件可证△ABC≌△DFE，则∠ACB=DEF，再利用三角形的外角的性质可得∠AFE=∠ACB+∠DEF，进而可求解．在△ABC和△DFE{AB=DF BC=EF AC=DE∴△ABC≌△DFE∴∠ACB=DEF∵∠AFE=∠ACB+∠DEF∴∠AFE=2∠ACB，即∠ACB=1∠AFE2故选：D小提示：本题考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，解题关键是利用三角形全等得出对应角相等．7、如图，若∠B=∠C=90°，AB=AC，则△ABD≌△ACD的理由是（）A．SAS B．AAS C．ASA D．HL答案：D分析：根据两直角三角形全等的判定定理HL推出即可．解：∠B＝∠C＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，{AD=ADAB=AC∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL），故选：D．小提示：本题考查了全等三角形的判定定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，两直角三角形全等还有HL．8、如图，AC与BD相交于点O，OA=OD,OB=OC，不添加辅助线，判定△ABO≌△DCO的依据是（）A．SSS B．SAS C．AAS D．HL答案：B分析：根据OA=OD，OB=OC，∠AOB=∠COD正好是两边一夹角，即可得出答案．解：∵在△ABO和△DCO中，{OA=OD∠AOB=∠CODOB=OC，∴△ABO≌△DCO(SAS)，故B正确．故选：B．小提示：本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握两边对应相等，且其夹角也对应相等的两个三角形全等，是解题的关键．9、如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为M．若∠ABC＝30°，∠C＝38°，则∠CDE的度数为（）A．68°B．70°C．71°D．74°答案：D分析：利用三角形内角和定理求出∠BAC=112°，利用全等三角形的性质证明∠BED=∠BAD即可解决问题．解：∵∠ABC=30°，∠C=38°，∴∠BAC=112°，在△BMA和△BME中，{∠ABM ＝∠EBMBM ＝BM ∠BMA ＝∠BME ＝90°．∴△BMA ≌△BME （ASA ），∴BA =BE ，在△BDA 和△BDE 中，{BA ＝BE∠ABD ＝∠EBD BD ＝BD，∴△BDA ≌△BDE （SAS ），∴∠BED =∠BAD =112°，∴∠CED =68°，∴∠CDE =180°-∠C -∠CED =74°，故选：D ．小提示：本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 的面积是30cm 2，AB =13cm ，AC =7cm ，则DE 的长（ ）A ．3cmB ．4cmC ．5cmD ．6cm答案：A分析：根据角平分线的性质求出DE =DF ，根据三角形的面积公式列式计算即可．解：∵AD 是∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE =DF ，∴12×AB ×DE +12AC ×DF =S △ABC =30，即12×13DE +12×7DE =30，解得DE =3． 故选：A ．小提示：本题主要考查了角平分线的性质以及三角形的面积，灵活运用角平分线的性质成为解答本题的关键． 填空题11、如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，DE ⊥BC ，垂足为E ．若AD ＝DE 且∠C ＝50°，则∠ABD ＝_____°．答案：20分析：利用三角形的内角和定理先求解∠ABC ，再利用角平分线的性质定理的逆定理证明：BD 平分∠ABC, 从而可得答案．解：∵∠A =90°，∠C =50°，∴∠ABC =180°−90°−50°=40°，∵∠A =90°，DE ⊥BC,DA =DE,∴BD 平分∠ABC,∠ABD =12∠ABC =20°， 所以答案是：20小提示：本题考查的是三角形的内角和定理，角平分线的定义及性质定理的逆定理，掌握角平分线的性质定理的逆定理是解题的关键．12、如图，已知AB =CB ，要使△ABD ≌△CBD (SSS)，还需添加一个条件，你添加的条件是__________．答案：AD =CD分析：要利用SSS 判定△ABD ≌△CBD ，已知AB =CB ，公共边BD =BD ,只需要再添加一组对边相等即可．解：∵AB=CB，BD=BD，∴要利用SSS判定△ABD≌△CBD，只需要在添加一组对边相等即可．∴AD=CD，所以答案是：AD=CD．小提示：本题考查用三边对应相等判定三角形全等，根据图形找到相关的条件是解题关键．13、如图，AP，BP分别平分△ABC内角∠CAB和外角∠CBD，连接CP，若∠ACP＝130°，则∠APB＝___．答案：40°分析：根据AP平分∠CAB，BP平分∠CBD，可得∠CAB=2∠PAB，∠CBD=2∠PBD，再根据外角的性质可得∠CBD=∠CAB+∠ACB，∠PBD=∠PAB+∠APB，化简得2∠APB=∠ACB；过P作PE1⊥AB于点E1，PE2⊥BC于点E2，PE3⊥AC延长线于点E3，易得PE1=PE2=PE3，可得CP平分∠E3CE2，即有∠E3CP=∠E2CP，根据∠ACP=130°，可得∠E3CP=50°，∠E3CE2=2∠E3CP=100°，则有∠ACB=80°，再根据∠APB=1∠ACB求解即可．2解：∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBD，∴∠CAB=2∠PAB，∠CBD=2∠PBD，又∵∠CBD=∠CAB+∠ACB，∠PBD=∠PAB+∠APB，∴2∠PBD=2∠PAB+∠ACB∴2(∠PAB+∠APB)=2∠PAB+∠ACB∴2∠APB=∠ACB如图示，过P作PE1⊥AB于点E1，PE2⊥BC于点E2，PE3⊥AC延长线于点E3，∵AP平分∠CAB，BP平分∠CBD，∴PE1=PE3，PE2=PE1，即PE1=PE2=PE3∴CP平分∠E3CE2，∴∠E3CP=∠E2CP又∵∠ACP=130°∴∠E3CP=180°−∠ACP=180°−130°=50°∴∠E3CE2=2∠E3CP=100°∴∠ACB=180°−∠E3CE2=180°−100°=80°∴∠APB=12∠ACB=12×80°=40°故答案是：40°．小提示：本题主要考查了角平分线的判定与性质，外角的性质，熟悉相关性质是解题的关键．14、三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是_______________________________答案：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．分析：角边角公理：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等，根据公理直接作答即可.解：三角形全等的判定方法——“角边角”（即ASA）指的是：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．所以答案是：两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等．小提示：本题考查的是全等三角形的判定，掌握角边角公理是解题的关键.15、如图，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过O点作EF∥BC交AB于点E，交AC于点F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF=BE+CF；②∠BOC=90°−12∠A；③点O到ΔABC各边的距离相等；④设OD=m，AE+AF=n，则SΔAEF=12mn．其中正确的结论有________（填写序号）．答案：①③④分析：由角平分线的性质，平行的性质，三角形的性质等对结论进行判定即可．解：在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=12∠ABC，∠OCB=12∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，∴∠OBC+∠OCB=90°−12∠A，∴∠BOC=180°−(∠OBC+∠OCB)=90°+12∠A；故②错误；在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC=∠OBE，∠OCB=∠OCF，∵EF//BC，∴∠OBC=∠EOB，∠OCB=∠FOC，∴∠EOB=∠OBE，∠FOC=∠OCF，∴BE=OE，CF=OF，∴EF=OE+OF=BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON=OD=OM=m，∴SΔAEF=SΔAOE+SΔAOF=12AE·OM+12AF·OD=12OD·(AE+AF)=12mn；故④正确；在ΔABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到ΔABC各边的距离相等，故③正确．所以答案是：①③④．小提示：本题考查了三角形内的有关角平分线的综合问题，一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线，角的平分线上的点到角的两边的距离相等.也就是说，一个点只要在角的平分线上，那么这个点到该角的两边的距离相等．解答题16、如图，已知AB＝DC，AC＝DB，BE＝CE,求证：AE＝DE.答案：见解析分析：利用SSS证明△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质可得∠ABC=∠DCB，再由SAS定理证明△ABE≌△CED，即可证得AE=DE．证明：在△ABC和△DCB中，{AB＝DC AC＝DBBC＝CB，∴△ABC≌△DCB（SSS）．∴∠ABC=∠DCB．在△ABE和△DCE中，{AB＝DC∠ABC＝∠DCB BE＝CE ，∴△ABE≌△DCE（SAS）．∴AE=DE．小提示：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．17、命题：如图，已知AC∥EF,AC=FE，A,D,B,F共线，（1），那么ΔABC≅ΔFDE．(1)从①AB=FD和②BC=DE两个条件中，选择一个填入横线，使得上述命题为真命题，你选择的条件为_______（填序号）；(2)根据你选择的条件，判定ΔABC≅ΔFDE的方法是________；(3)根据你选择的条件，完成ΔABC≅ΔFDE的证明．答案：(1)①(2)SAS(3)见解析分析：（1）根据全等三角形的判定方法分析得出答案；（2）根据（1）直接填写即可；（3）利用SAS进行证明．（1）解：∵AC∥EF，∴∠A=∠F，∵AC=EF，∴当AB=FD时，可根据SAS证明ΔABC≅ΔFDE；当BC=DE时，不能证明ΔABC≅ΔFDE，所以答案是：①；（2）解：当AB=FD时，可根据SAS证明ΔABC≅ΔFDE，所以答案是：SAS；（3）证明：在△ABC和△FDE中，{AC=EF∠A=∠F AB=FD，∴ΔABC≅ΔFDE．小提示：此题考查了添加条件证明两个三角形全等，正确掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．18、如图，在△ABC中，∠A=100°，AB=AC，BE是∠ABC的平分线，求证：AE+BE=BC．答案：见解析分析：延长BE到F，使BF=BC，连接FC，由AB=AC，∠A=100°，得到∠ABC=∠ACB=40°，由于BE平分∠ABC，于是得到∠ABE=∠EBC=20°，通过△FCE≌△F′CE，得到EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，证得△ABE≌△F′BE，于是得到AE=EF′，于是得到结论．解：如图，延长BE到F，使BF=BC，连接FC，∵AB=AC，∠A=100°，∴∠ABC=∠ACB=40°，∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠EBC=20°，∵BF=BC，∴∠F=∠BCF=80°，∴∠FCE=∠ACB=40°，在BC上取CF′=CF，连接EF′，在△FCE与△F′CE中，{CF=CF′∠F′CE=∠FCECE=CE，∴△FCE≌△F′CE（SAS），∴EF=EF′，∠EF′C=∠F=80°，∴∠BF′E=100°，∴∠A=∠BF′E，在△ABE与△F′BE中，{∠A=∠BF′E∠ABE=∠F′BEBE=BE，∴△ABE≌△F′BE（AAS），∴AE=EF′，∴AE=EF，∴AE+BE=BE+EF=BC．小提示：本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键．。

奥数实用技巧直角三角形求解奥数实用技巧：直角三角形求解直角三角形是数学中常见的一种特殊三角形，它具有一个90度的直角和两条相对边长不等的直角边。

在解题时，我们经常需要利用一些实用技巧来求解直角三角形的边长、角度和面积。

以下是一些常用的奥数实用技巧，帮助我们更高效地解决与直角三角形相关的问题。

1. 勾股定理勾股定理是解决直角三角形问题的基础，它可以表示为a²+ b²= c²，其中a和b为直角三角形的两条直角边，c为斜边。

当已知两条直角边的长度时，可以直接利用勾股定理求解斜边的长度。

例题1：已知直角三角形的直角边长分别为3和4，求斜边的长度。

解: 根据勾股定理，可以得到3² + 4² = c²，即9 + 16 = c²。

计算可得c² = 25，因此c = 5。

所以斜边的长度为5。

2. 正弦定理和余弦定理正弦定理和余弦定理是求解三角形内角度和边长的准则。

正弦定理可以表示为：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b和c分别为三角形的边长，A、B和C为对应的内角。

余弦定理可以表示为：c² = a² + b² - 2abcosC，其中c为三角形的斜边，a和b为直角边。

根据正弦定理和余弦定理，我们可以求解直角三角形的各个角度和边长。

例题2：已知直角三角形的一条直角边为5，斜边为13，求另一条直角边的长度。

解：根据勾股定理，可以求得另一条直角边的长度为√(13² - 5²) = 12。

例题3：已知直角三角形的两条直角边的长度分别为3和4，求斜边的长度和三个内角的大小。

解：根据勾股定理，可以求得斜边的长度为5。

然后，利用正弦定理可以求得三个内角：sinA = 3/5，A = arcsin(3/5) ≈ 36.87°；sinB = 4/5，B = arcsin(4/5) ≈ 53.13°；由于直角为90°，所以C = 90°。

解直角三角形的几种方法（二）引言：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角度为90度。

解直角三角形是高中数学中的重要内容。

本文将介绍几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。

概述：解直角三角形主要涉及到三边的关系、三角函数的计算以及角度的计算。

在本文中，我们将详细讨论这些方法，并给出具体的解题步骤和例题，以帮助读者更好地理解和掌握解直角三角形的技巧。

正文内容：一、正弦定理1.推导正弦定理的原理与公式2.利用正弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明正弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析二、余弦定理1.推导余弦定理的原理与公式2.利用余弦定理解直角三角形的方法3.根据已知条件求解角度和边长的具体步骤4.通过示例说明余弦定理在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析三、特殊三角函数值1.讨论特殊角度下正弦、余弦、正切的值2.借助特殊角度的数值计算直角三角形的边长和角度3.解析特殊角度下的直角三角形示例题4.探讨特殊角度对解直角三角形的影响5.实践中注意事项和常见错误分析四、特殊角度的计算方法1.利用标准角度和标准角度的三角函数值2.利用和差角公式计算特殊角度的三角函数值3.根据特殊角度的计算方法确定直角三角形的属性4.通过示例说明特殊角度计算方法在解题中的应用5.注意事项和常见错误分析五、综合运用各个方法1.结合正弦定理、余弦定理和特殊角度的计算方法解直角三角形2.根据题目条件选择合适的解题方法3.通过综合运用不同方法解答综合题目4.分析不同解题方法的优缺点和适用范围5.总结解直角三角形的方法和技巧总结：解直角三角形是数学学科中的基础内容，本文介绍了几种解直角三角形的方法，包括正弦定理、余弦定理、特殊三角函数值以及特殊角度的计算方法等。

对于不同的题目和条件，可以选择合适的方法进行解答。

在解题过程中，需要注意运用正确的公式和计算方法，避免常见的错误和误解。

全等三角形复习[ 知识要点 ]一、全等三角形1．判定和性质一般三角形直角三角形边角边（ SAS）、角边角（ ASA）具备一般三角形的判定方法判定斜边和一条直角边对应相等（ HL ）角角边（ AAS）、边边边（ SSS）对应边相等，对应角相等性质对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等注：①判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．2．证题的思路：找夹角（ SAS）已知两边找直角（ HL ）找第三边（ SSS）若边为角的对边，则找任意角（ AAS）找已知角的另一边（SAS）已知一边一角边为角的邻边找已知边的对角（AAS）找夹已知边的另一角（ASA）找两角的夹边（ASA）已知两角找任意一边（AAS）性质1、全等三角形的对应角相等、对应边相等。

2、全等三角形的对应边上的高对应相等。

3、全等三角形的对应角平分线相等。

4、全等三角形的对应中线相等。

5、全等三角形面积相等。

6、全等三角形周长相等。

( 以上可以简称 : 全等三角形的对应元素相等)7、三边对应相等的两个三角形全等。

（SSS)8、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(SAS)9、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

(ASA)10、两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

(AAS)11、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

(HL)运用1、性质中三角形全等是条件，结论是对应角、对应边相等。

而全等的判定却刚好相反。

2、利用性质和判定，学会准确地找出两个全等三角形中的对应边与对应角是关键。

在写两个三角形全等时，一定把对应的顶点，角、边的顺序写一致，为找对应边，角提供方便。

3，当图中出现两个以上等边三角形时，应首先考虑用 SAS找全等三角形。

4、用在实际中，一般我们用全等三角形测等距离。

以及等角，用于工业和军事。

有一定帮助。

5、角平分线的性质及判定性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等判定：到一个角的两边距离相等的点在这个角平分线上做题技巧一般来说考试中线段和角相等需要证明全等。

解三角形典型例题综合讲解在解三角形的过程中，我们常常会遇到各种典型的例题。

这些例题既有基本的求解三角形的方法，也有一些难度较高的解题思路。

本文将综合讲解一些典型的解三角形例题，通过详细的分析与解答，帮助读者更好地理解和掌握解三角形的方法。

【例题一】求解一个已知锐角三角形ABC，已知∠A=30°，AB=10cm，BC=8cm，求AC的长度。

解析：由已知条件可知，已知边和已知角的关系式中，我们可以利用正弦定理来解题。

根据正弦定理，我们可以得到sinA/AB = sinB/BC = sinC/AC代入已知条件，得到sin30°/10 = sinB/8通过计算，可以得到 sinB 的值为8*sin30° / 10 ≈ 0.6928我们可以通过查表或计算器工具得知相应的角度为 sin^-1(0.6928) ≈ 43.10°因为角B为锐角，所以∠B的度数为 43.10°而∠C=180°-∠A-∠B=180°-30°-43.10° ≈ 106.90°通过正弦定理可以得到 sinC/AC = sin30°/10可以解得AC ≈ 10*sin106.90°/sin30° ≈ 18.67 cm所以，AC的长度约为 18.67 cm。

【例题二】已知一个锐角三角形ABC，已知∠A=60°，AB=6cm，AC=8cm，求解∠B 和∠C 的度数。

解析：由已知条件可知，我们可以利用余弦定理来求解∠B 和∠C 的度数。

根据余弦定理，我们可以得到c^2 = a^2 + b^2 - 2*a*b*cosC代入已知条件，得到8^2 = 6^2 + b^2 - 2*6*b*cos60°通过计算，可以得到 b^2 - 6b + 12 ≈ 0解这个一元二次方程，可以得到b ≈ 2 或b ≈ 4因为 b 是边的长度，所以 b 的值为 4，且b ≠ 2那么∠B 的度数为 cos^-1((6^2 + 4^2 - 8^2) / (2*6*4)) ≈ 75.96°而∠C = 180°-∠A-∠B = 180°-60°-75.96° ≈ 44.04°因此，∠B 的度数约为 75.96°，∠C 的度数约为 44.04°。

直角三角形的应用题解题技巧直角三角形是初中数学中的基础知识之一，它的应用广泛且重要。

在解题过程中，我们需要掌握一些解题技巧。

本文将介绍直角三角形应用题的解题技巧。

一、勾股定理直角三角形的应用问题中，勾股定理是最常见且重要的定理之一。

勾股定理表达为：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

在解题中，当我们已知直角三角形的斜边和一条直角边时，可以通过勾股定理求解另一条直角边的长度。

反之，当我们已知直角三角形的两条直角边时，可以通过勾股定理求解斜边的长度。

例如，已知直角三角形的斜边长为5，一条直角边长为3，我们可以使用勾股定理计算另一条直角边的长度。

根据勾股定理：$$3^2 + x^2 = 5^2$$解方程得到$x$的值，即可求得另一条直角边的长度。

二、相似三角形定理在一些应用问题中，我们会遇到两个直角三角形的边长比例相等或相似的情况。

此时可以使用相似三角形定理来解题。

相似三角形定理指出，两个直角三角形的角相等并且对应边的比例相等，则这两个三角形相似。

在解题时，如果我们已知一个直角三角形的边长比例，并且已知一个边长的具体值，可以通过相似三角形定理计算其他边长的值。

例如，已知直角三角形ABC与直角三角形DEF相似，且已知直角三角形ABC的斜边长为5，三角形DEF的斜边长为10。

我们可以通过相似三角形定理计算出直角三角形DEF的另一条直角边的长度。

三、特殊直角三角形在应用题中，有时会碰到特殊的直角三角形，如45-45-90三角形和30-60-90三角形。

这些特殊直角三角形有一些固定的边长比例关系，在解题时可以直接使用这些关系进行计算。

例如，已知一个直角三角形的两条直角边相等，我们可以判断这是一个45-45-90三角形。

在这种三角形中，两条直角边的长度相等，斜边的长度等于直角边的长度乘以$\sqrt{2}$。

同样地，已知一个直角三角形的两条直角边的长度比为1：$\sqrt{3}$，我们可以判断这是一个30-60-90三角形。

板块一 解直角三角形一、解直角三角形的概念根据直角三角形中已知的量（边、角）来求解未知的量（边、角）的过程就是解直角三角形.二、直角三角形的边角关系如图，直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：cba CBA⑴ 三边之间的关系：222a b c += (勾股定理)； ⑵ 锐角之间的关系：90A B ∠+∠=︒； ⑶ 边角之间的关系：sin a A c =，cos b A c =，tan a A b =，cot b A a=. 三、 解直角三角形的四种基本类型⑴ 已知斜边和一直角边(如斜边c ，直角边a )，由sin aA c=求出A ∠，则90B A ∠=︒-∠，b =； ⑵ 已知斜边和一锐角(如斜边c ，锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，sin a c A =，cos b c A =；⑶ 已知一直角边和一锐角(如a 和锐角A )，求出90B A ∠=︒-∠，cot b a A =，sin ac A=；⑷ 已知两直角边(如a 和b )，求出c =tan aA b=，得90B A ∠=︒-∠.具体解题时要善于选用公式及其变式，如sin a A c =可写成sin a c A =，sin ac A =等.四、解直角三角形的方法解直角三角形的方法可概括为：“有斜(斜边)用弦(正弦，余弦)，无斜用切(正切，余切)，宁乘毋除，取原避中”．这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求得时，则用原始数据，尽量避免用中间数据． 直角三角形两锐角间的三角函数关系（五）解直角三角形的技巧及注意点在Rt ABC ∆中，90A B ∠+∠=︒，故s in c o s (90)c o s A A B =︒-=，cos sin A B =，tan cot A B =，cot tan A B =.利用这些关系式，可在解题时进行等量代换，以方便解题．（六）如何解直角三角形的非基本类型的题型对解直角三角形的非基本类型的题型，通常是已知一边长及一锐角三角函数值，可通过解方程(组)来转化解直角三角形为四种基本类型求解；（1）如果有些问题一时难以确定解答方式，可以依据题意画图帮助分析；（2）对有些比较复杂的问题，往往要通过作辅助线构造直角三角形，作辅助线的一般思路是： ①作垂线构成直角三角形；②利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边等.【例1】 在三角形ABC 中，903010C A AB ∠=︒∠=︒=，，，则AC 的长度为（ ）A． B． C． D．【例2】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，4b =；【例3】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：60A ∠=︒，6a b +=；【例4】 已知Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，根据下列条件解直角三角形：45A ∠=︒，12S ∆=.【例5】 如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果40BCD ∠=︒，求AC 的长度D C BA【例6】 如图，在Rt ABC ∆中，已知1CD AB BC ⊥=，，如果1tan 3BCD ∠=，求CD 的长度D C BA【例7】 如图所示，在ABC ∆中，90C ∠=︒，D 是AC 边上的一点，且53AD DB CD ===，，求t a n CBD ∠和sin A 的值．DCB A【例8】 如图，在凯里市某广场上空飘着一只汽球P ，A B ，是地面上相距90米的两点，它们分别在汽球的正西和正东，测得仰角45PAB ∠=︒，仰角30PBA ∠=︒，求汽球P 的高度（精确到0.1米，3=1.732）PACPBA【例9】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若sin tan A B =，求cos A 的值.【例10】 在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，若cos cot A B =，求sin A 的值.【例11】 在三角形ABC 中，90C ∠=︒，a b c ，，分别是A B C ∠∠∠，，的对边，已知603B a b ∠=︒+=+，求a b ，【例12】 如图，在ABC ∆中，已知20AB AC BC ===，ABC ∆中各内角的度数 DCBA【例13】 如图，已知：ABC ∆是等腰直角三角形，90ACB ∠=︒，过BC 的中点D 作DE AB ⊥，垂足为E ，连接CE ，求sin ACE ∠的值.FED CBA【例14】 如图所示，天空中有一静止的广告气球C ，从地面A 点测得C 的仰角为45°，从地面B 点测得C 的仰角为60°．已知20AB =米，点C 和直线AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度CD （结果保留根号）．DCBA【例16】 已知：如图，ABC ∆中，45B AB ∠=︒=，，D 是BC 上一点，53AD CD ==，，求ADC ∠的度数及AC 的长．C BA板块二 解直角三角形应用（七）直角三角形中其他重要概念⑴ 仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图⑴．⑵ 坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为hi l=，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan hi lα==．坡度越大，坡面就越陡．如图⑵． ⑶ 方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度.如图⑶．图(3)图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线2. 解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：⑴ 分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距离、垂直距离等概念的意义；⑵ 找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；⑶ 根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；⑷ 按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近似值，注明单位.（一）、仰角俯角【例17】 如图，一艘核潜艇在海面下500米A 点处测得俯角为30︒正前方的海底有黑匣子信号发出，继续在同一深度直线航行4000米后再次在B 点处测得俯角为60︒正前方的海底有黑匣子信号发出，求海底黑匣子C 点处距离海面的深度？（精确到米）海面60°30°D CBA【例18】 亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M ，颖颖的头顶B 及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C ，D ．然后测出两人之间的距离 1.25m CD =，颖颖与楼之间的距离30m DN =（C D N 、、在一条直线上），颖颖的身高 1.6m BD =，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离0.8m AC =．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？M【例19】 某旅游区有一个景观奇异的望天洞，D 点是洞的入口，游人从入口进洞游览后，可经山洞到达山顶的出口凉亭A 处观看旅游区风景，最后坐缆车沿索道AB 返回山脚下的B 处．在同一平面内，若测得斜坡BD 的长为100米，坡角10DBC ∠=︒，在B 处测得A 的仰角40ABC ∠=︒，在D 处测得A 的仰角85ADF ∠=︒，过D 点作地面BE 的垂线，垂足为C ． ⑴ 求ADB ∠的度数； ⑵ 求索道AB 的长．（结果保留根号）【例20】 如图所示，山坡上有一棵与水平面垂直的大树，一场台风过后，大树被刮倾斜后折断倒在山坡上，树的顶部恰好接触到坡面．已知山坡的坡角23AEF ∠=︒，量得树干倾斜角38BAC ∠=︒，大树被折断部分和坡面所成的角604m ADC AD ∠=︒=，． ⑴求CAE ∠的度数；⑵求这棵大树折断前的高度．1.4 1.72.4==）．A CDE FBGACDEFB【例21】 一次数学活动中，小迪利用自己制作的测角器测量小山的高度CD ．已知她的眼睛与地面的距离为1.6米，小迪在B 处测量时，测角器中的60AOP ∠=°(量角器零度线AC 和铅垂线OP 的夹角，如图)；然后她向小山走50米到达点F 处(点B F D ，，在同一直线上)，这时测角器中的45EO P ''∠=°，那么小山的高度CD 约为( ) Ａ．68米 Ｂ．70米 Ｃ．121米 Ｄ．123米( 1.732≈ 1.414≈供计算时选用)DPGCO A【例22】 如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高20cm ，深为30cm ，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，斜坡的坡角BCA ∠为12︒，设台阶的起点为A ，斜坡的起点为C ，求AC 的长度（精确到1cm ）DC BA【例23】 课外实践活动中，数学老师带领学生测量学校旗杆的高度. 如图，在A 处用测角仪(离地高度1.5米)测得旗杆顶端的仰角为15︒，朝旗杆方向前进23米到B 处，再次测得旗杆顶端的仰角为30︒，求旗杆EG 的高度.C60°38°BDE23°AF【例24】 在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条南北流向的河宽，如图所示，某学生在河东岸点A 处观测到河对岸水边有一点 C ，测得C 在A 北偏西31︒的方向上，沿河岸向北前行20米到达B 处，测得C 在B 北偏西45°的方向上，请你根据以上数据，帮助该同学计算出这条河的宽度．(参考数值：3tan315︒≈，1sin312︒≈)【例25】 如图，湖心岛上有一凉亭，现欲利用湖岸边的开阔平整地带，测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB (见示意图)，可供使用的工具有测倾器、皮尺．A⑴ 请你根据现有条件，设计一个测量凉亭顶端到湖面所在平面的高度AB 的方案，画出测量方案的平面示意图，并将测量的数据标注在图形上(所测的距离用m ，n …表示，角用α，β…表示，测倾器高度忽略不计)；⑵ 根据你所测量的数据，计算凉亭到湖面的高度AB (用字母表示)．【例26】 如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD ，甲乙两人分别在相距8米的A 、B 两处测得D 点和C 点的仰角分别为45︒和60︒，且A 、B 、E三点在一条直线上，若15BE =米，求这块广告牌的高度．(取1.73≈，计算结果保留整数)EDC BA60︒45︒【例27】 由山脚下的一点A 测得山顶D 的仰角是45︒，从A 沿倾斜角为30︒的山坡前进1500米到B ，再次测得山顶D 的仰角为60︒，求山高CD .DCBA【例28】 如图，在山脚的C 处测得山顶A 的仰角为45︒，沿着坡度为30︒的斜坡前进400米到D 处(即30,400DCB CD ∠=︒=米)，测得A 的仰角为60︒，求山的高度AB .【例29】 如图所示，某学校拟建两幢平行的教学楼，现设计两楼相距30米，从A 点看C 点，仰角为5︒；从A点看D 点，俯角为30，解决下列问题：⑴ 求两幢楼分别高多少米？(结果精确到1米)⑵ 若冬日上午9:00太阳光的入射角最低为30(光线与水平线的夹角)，问一号楼的光照是否会有影响？请说明理由，若有，则两楼间距离应至少相距多少米时才会消除这种影响？(结果精确到1米)(参考数据：tan50.0875≈ tan300.5774≈ cos30 1.732≈)DCDCB A【例30】 若每层楼高2.2米，问在例题的第⑵问中，在一号楼中至少住在第几层光照就不会受到二号楼的影响？F 30︒ED CBA【例31】 某住宅小区有一郑南朝向的居民楼，如图，该楼底层是高为6m 的超市，超市以上是居民住房，在该楼前方15m 处准备盖一幢高20m 的新楼，已知当地冬季正午的阳光与水平线夹角为32︒ ⑴超市以上居民住房采光是否受到影响？为什么？⑵若要使居民住房采光不受影响，两楼至少应相距多少米？（精确到0.1m ）新楼居民楼新楼32°BADCBA【例32】 如图，“五一”期间在某商贸大厦上从点A 到点B 悬挂了一条宣传条幅，小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上．小明在四楼D 点测得条幅端点A 的仰角为30︒，测得条幅端点B 的俯角为45︒；小雯在三楼C 点测得条幅端点A 的仰角为45︒，测得条幅端点B 的俯角为30︒．若设楼层高度CD 为3米，请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅AB 的长．(结果精确到个位，参考数据1.732)【例33】 如图，某高层楼房与上海东方明珠电视塔隔江想望，甲、乙两学生分别在这楼房的A B ，两层，甲在A 层测得电视塔塔顶D 的仰角为α，塔底C 的俯角为β，乙在B 层测得塔顶D 的仰角为θ，由于塔底的视线被挡住，乙无法测得塔底的俯角，已知A B ，之间的高度差为a ，求电视塔高CD （用含a αβθ，，，的代数式表示）（二）、坡度角【例34】 为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1m ，使坡度由原来的1:2变成1:3，如图所示，已知原来背水坡长12BC m ，堤长100m ，那么需要运来砂石和土多少立方米?(参考数据3≈1.7，5≈2.7)CFEDBA【例35】 燕尾槽的横断面是等腰梯形，下图是个燕尾槽的横断面，其中燕尾角B 为55°，外口宽AD 为180 mm ，燕尾槽的深度为70 mm ，求它的里口宽BC （精确到1 mm ）F EDCBA【例36】 创意设计”公司员工小王不慎将墨水泼在一张设计图纸上，导致其中部分图形和数据看不清楚（如图所示）．已知图纸上的图形是某建筑物横断面的示意图，它是以圆O 的半径OC 所在的直线为对称轴的轴对称图形，A 是OD 与圆O 的交点．⑴请你帮助小王在下图中把图形补画完整；⑵由于图纸中圆O的半径r的值已看不清楚，根据上述信息（图纸中1:0.75i=是坡面CE的坡度），求r的值．【例37】一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形. 现需将其整修并进行美化，方案如下：①将背水坡AB的坡度由1:0.75改为；②用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花.⑴求整修后背水坡面的面积；⑵如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？DCBA【例38】城市规划期间，欲拆除一电线杆AB，如图所示，已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝，背水坡CD的坡度为2，坝高CF为2m，在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30︒，D、E之间是宽为2m的人行道，试问：在拆除电线杆AB时，为确保行人安全，是否需要将此人行道封上?请说明理由(在地面上，以点B为圆心.以AB的长为半径的圆形区域为危险区域)．FE人行道DCB A【例39】 如图，甲、乙两建筑物的水平距离为30m ，从乙的顶部A 测得甲的顶部C 的仰角为60︒，测得甲的底部D 的俯角为30︒，求两建筑物的高.B【例40】 在建筑楼梯时，设计者要考虑楼梯的安全程度．如图1，虚线为楼梯的斜度线，斜度线与地板的夹角为倾角θ，一般情况下，倾角θ愈小，楼梯的安全程度愈高．如图2，设计者为提高楼梯的安全程度，要把楼梯的倾角由1θ减至2θ，这样楼梯占用地板的长度由1d 增加到2d ，已知11440d m θ=∠=︒，，236θ∠=︒，求楼梯占用地板的长度增加了多少？（精确到0.01 m ． 参考数据：tan36°=0.7256， tan40°=0.8391．）θ地板地板【例41】 武当山风景管理区，为提高游客到某景点的安全性，决定将到达该景点的步行台阶进行改善，把倾角由44︒减至32︒，已知原台阶AB 的长为5米(BC 所在地面为水平面)． ⑴ 改善后的台阶会加长多少？(精确到0.01米)⑵ 改善后的台阶多占多长一段地面？(精确到0.01米)44︒32︒CBA【例42】 我市某乡镇学校教学楼后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示．BC AD ∥，斜坡40AB =米，坡角60BAD ∠=︒，为防夏季因瀑雨引发山体滑坡，保障安全，学校决定对山坡进行改造．经地质人员勘测，当坡角不超过45时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A 不动，从坡顶B 沿BC 削进到E 处，问BE 至少是多少米（结果保留根号）？ABD CEF G ECDBA（三）、方位角【例43】 如图，AC 是某市环城路的一段，AE BF CD ，，都是南北方向的街道，其与环城路AC 的交叉路口分别是A B C ，，．经测量花卉世界D 位于点A 的北偏东45°方向、点B 的北偏东30°方向上， 2AB km =，15DAC ∠=︒． （1）求B D ，之间的距离； （2）求C D ，之间的距离．中山路文化路和平路环城路环城路和平路文化路中山路BCD45°30°15°15°30°45°ODC BABCA44︒【例44】 如图所示，某轮船以30海里／时的速度航行，在A 点处测得海面上的哨所P 在南偏东60︒，向北航行40分钟后到达B 点，测得哨所P 在南偏东30︒，轮船改变为北偏东60︒的航向再航行2小时到达C 点，若在PC 上存在一点M ，点M 在点B 的南偏东60︒处，且在点M 的周围有方圆15海里的暗礁区，问轮船从B 点到C 点的航行中有无触礁的危险?是否需要改变航向?EDB A【例45】 为缓解“停车难”的问题，某单位拟建造地下停车库，设计师提供了车库入口设计示意图，按规定，地下停车库坡道口上方要张贴限高标志，以便告知停车人车辆能否安全驶入，为标明限高，请你计算图中CE 的长（精确到0.1m ）【例46】 如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A 点测得某岛C 在北偏东60°方向上，航行半小时后到B 点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁． （1）试说明B 点是否在暗礁区域外．（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．东【例47】 如图，公路MN 和公路PQ 在P 处交会，且30QPN ∠=︒，点A 处有一所学校，160m AP =，假设拖拉机行使时，周围100m 以内会受到噪音的影响，那么当拖拉机在公路MN 上沿PN 的方向以10m/s 的速度行使时，⑴ 学校是否会受到噪音的影响？为什么？⑵若学校会受到噪音的影响，受影响的时间是多少？【例48】 随着科学技术的发展，机器人已经能按照设计的指令完成各种动作，在坐标平面上，根据指令[s ，]α(0a ≥，0360α︒≤<︒)机器人能完成下列动作：先原地顺时针旋转角度α，再朝其面对的方向沿直线行走距离s.⑴填空：如图，若机器人在直角坐标系的原点，且面对y轴的正方向，现要使其移动到点(2A，2)，则给机器人发出的指令应是_________⑵机器人在完成上述指令后，发现(6P，0)处有一小球正向坐标原点做匀速直线运动，已知小球的滚动速度与机器人行走的速度相同，若忽略机器原地旋转时间，请你给机器人发一个指令，使它能最快截住小球.(如图，点C为机器人最快截住小球的位置)(角度精确到度；参考数据：sin490.75︒≈，cos370.80︒≈，tan370.75︒≈，tan390.80︒≈)NyxPOANyxPO CBA【例49】第⑵问中，将“小球的滚动速度与机器人行走的速度相同”改为“小球速度为机器人的2”，则要在最短时间内截住小球应下的指令为.【例50】如图，在某海域内有三个港口A、D、C．港口C在港口A北偏东60︒方向上，港口D在港口A北偏西60︒方向上．一艘船以每小时25海里的速度沿北偏东30︒的方向驶离A港口3小时后到达B点位置处，此时发现船舱漏水，海水以每5分钟4吨的速度渗入船内．当船舱渗入的海水总量超过75吨时，船将沉入海中．同时在B处测得港口C在B处的南偏东75︒方向上．若船上的抽水机每小时可将8吨的海水排出船外，问此船在B处至少应以怎样的航行速度驶向最近的港口停靠，才能保证船在抵达港口前不会沉没（要求计算结果保留根号）？并指出此时船的航行方向．【例51】渔船上的渔民在A处看见灯塔M在北偏东60︒方向，这艘渔船以28海里/时的速度向正东航行，半小时到B处.在B处看见灯塔M在北偏东15︒方向，求此时灯塔M与渔船的距离.北东北15︒60︒MBA北东北60︒15︒NM BA【例52】 如图，某剧组在东海拍摄广告风光片，拍摄基地位于A 处，在其正南方向15海里处一小岛B ，在B的正东方向20海里处有一小岛C ，小岛D 位于AC 上，且距小岛A 有10海里. ⑴ 求A ∠的度数(精确到1︒)和点D 到BC 的距离；⑵ 摄制组甲从A 处乘甲船出发，沿A B C →→的方向匀速航行，摄制组乙从D 处乘乙船出发，沿南偏西方向匀速直线航行，已知甲船的速度是乙船速度的2倍，若两船同时出发并且在B 、C 间的F 处相遇，问相遇时乙船航行了多少海里？(结果精确到0.1海里)北C B北EC B【例53】 海面上B 处有一货轮正在向正南方向航行，其航行路线是当它到达正南方C 时，在驶向正西方的目的地A 处，且200CA CB ==海里，在AB 中点O 处有一客轮，其速度为货轮的一半，现在客轮要截住货轮取一件货物，于是选择某一航向行驶去截住货轮，那么当客轮截住客轮时至少航行了多少海里，它所选择了怎样的方向角？(路程保留整数海里，角度精确到度)【例54】 为保卫祖国的海疆，我人民解放军海军在海岸线上相距20n mile 的A B ，两地设立观测站，按国际惯例，海岸线以外12n mile 范围内均为我国领海，外国船只除特许外，不得私自进入我国领海，某日，观测员发现一外国船只行驶至P 处，在A 观测站测得P 在北偏东27︒，同时在B 观测站测得P 在北偏西56︒，问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告，命令其退出我国领海？（参考数据：932sin63tan632sin34tan341053︒≈︒≈︒≈︒≈，，，）56°27°PBA【例55】 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心，在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力.据气象观测，距沿海某城市A 的正南方向220km 的B 处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20km ，风力就减弱一级，该台风中心现在以15km/h 的速度沿北偏东30︒方向往C 移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到四级，则称受台风影响. ⑴ 该城市是否会受这次台风影响？请说明理由.⑵ 若受台风影响，那么台风影响该城市的持续时间会有多长？ ⑶ 该城市受台风影响的最大风力是几级？（四）其它【例56】 公园里有一块形如四边形ABCD 的草地，测得10BC CD ==米，120B C ∠=∠=︒，45A ∠=︒．请你求出这块草地的面积．DCBA【例57】 如图，不透明圆锥体DEC 放在水平面上，在A 处灯光照射下形成影子，设BP 过底面圆的直径，已知圆锥体的高为，底面半径为2m ，4BE m =⑴求B ∠的度数；⑵若2ACP B ∠=∠，求光源A 距水平面的高度PEDCBA【例58】 小明发现在教学楼走廊上有一拖把以15︒的倾斜角斜靠在栏杆上，严重影响了同学们的行走安全.他自觉地将拖把挪动位置，使其的倾斜角为75︒，如果拖把的总长为1.80m ，则小明拓宽了行路通道_________m ．(结果保留三个有效数字，参考数据：sin150.26︒≈，cos150.97︒≈)【例59】 如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60︒．⑴ 求AO 与BO 的长；⑵ 若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.① 如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且:2:3AC BD =，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；② 如图３，当A 点下滑到'A 点，B 点向右滑行到'B 点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到'P 点．若'15POP ∠=︒，试求'AA 的长．图1图2图3【例60】 如图1、图2，是一款家用的垃圾桶，踏板AB （与地面平行）或绕定点P （固定在垃圾桶底部的某一位置）上下转动（转动过程中始终保持''AP A P BP B P ==，）．通过向下踩踏点A 到'A （与地面接触点）使点B 上升到点'B ，与此同时传动杆BH 运动到''B H 的位置，点H 绕固定点D 旋转（DH 为旋转半径）至点'H ，从而使桶盖打开一个张角'HDH ∠．如图3，桶盖打开后，传动杆''H B 所在的直线分别与水平直线AB DH 、垂直，垂足为点M C 、，设''H C B M =．测得6cm 12cm '8cm AP PB DH ===，，．要使桶盖张开的角度'HDH ∠不小于60︒，那么踏板AB 离地面的高度至少等于多少cm ？（结果保留两位有效数字）图3图2B【例61】 如图，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AB的垂直平分线MN 交AC 于点D ，连结BD ，若3cos 5BDC ∠=， 求tan A 的值．（图1）NM DCA【例62】 如图所示，已知在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，3sin 5B =，D 是BC 上一点，DE AB ⊥，垂足为E ，CD DE =，9AC CD +=.求：⑴ BC 的长；⑵ CE 的长.EDCBA【例63】 如图，某居民小区内A B ，两楼之间的距离30MN =米，两楼的高都是20米，A 楼在B 楼正南，B楼窗户朝南．B 楼内一楼住户的窗台离小区地面的距离2DN =米，窗户高 1.8CD =米．当正午时刻太阳光线与地面成30角时，A 楼的影子是否影响B 楼的一楼住户采光？若影响，挡住该住户窗户多高？若不影响，请说明理由．(1.4141.732=2.236=)【例64】 如图，水坝的横截面为梯形ABCD ，坝顶宽6m AD =，坡面CD =，AB 的坡度为，135ADC ∠=︒，求水坝的横截面积．DBA【例65】 水坝的横截面是等腰梯形ABCD ，坝顶宽6AD m =，坝高4m ，斜坡AB 的坡度为1:2，现要将水坝加高2m ，要求坝顶宽度不变，背水坡AB 改为EG 后，坡度改为1:2.5，如图，按这样的要求，加固一条长为50m 的水坝，需要多少土方？Q HR G FEDCB A【例66】 如图所示，甲、乙两只捕捞船同时从A港出海捕鱼，甲船以每小时的速度沿北偏西60︒方向前进，乙船以每小时15km 的速度沿东北方向前进，甲船航行2h 到达C 处，发现渔具丢在乙船上，于是甲船快速(匀速)沿北偏东75︒的方向追赶，结果两船在B 处相遇. ⑴ 甲船从C 处追上乙船用了多长时间？ ⑵ 甲船追赶乙船的速度是多少？北【例67】 如图，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD ，建筑物周围没有开阔平整地带，建筑物顶端宽度AD 、高度DC 都可以直接测得，从A D C ，，三点都可看到塔顶H⑴试根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量塔顶端到地面高度HG 的方案，具体要求如下：①可供使用的测量工具有皮尺、测角器；②测量数据尽可能少；③在所给图形上，画出你设计的测量平面图，并将应测数据标记在图形上（如果测A D ，间距离，用m 表示，D C ，间距离，用n 表示；如果测角，用αβγ，，表示）⑵根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG （用字母表示，测角器高度忽略不计）DBA【例68】 如图，某电信部门计划架设一条连结B C ，两地的电缆，测量人员在山脚A 地测得B C ，两地在同一方向，且两地的仰角分别为3045︒︒，，在B 地测得C 地的仰角为60︒，已知C 地比A 地高200米，且由于电缆的重力导致下坠，实际长度是两地距离的1.2倍，求电缆的长（精确到0.1米）。