中学数学建模

中学数学建模

吴文权

绪论

严士健在“数学教育应为面向21世纪而努力”的报告中指出，我国中学生所学的数学知识与学生的日常生活及他们具有的其他知识和经验的联系太少，致使应付高考几乎是他们学习数学的唯一目的，几乎没有将数学应用于实际的意识，就是升入大学以后，对于数学及其它科学的联系与应用问题也很少兴趣，无疑回给他们以后的工作带来损失。

第八届国际数学教育大会（ICME---8）也探讨了数学教育中的应用问题。而强调数学应用现已成为各发达国家课内容改革的共同特点，起主要途径有：A 、增强现代数学中更具广泛应用性的数学内容。如估算、统计、概率、线性规划、系统分析与决策、计算机应用与数据处理等，其内容与时间比例都渐增趋势。B 、改革传统的中小学数学内容。用增强应用、强调从生活实际和学生知识背景、以及其他学科中提取出问题以发展数学概念的观点，对传统的内容进行根本性的处理，如将指数函数x

a y =与细菌繁殖、人口增长、物质衰变、地震强度等相联系，一变量x 算术地增长a,2a,3a,…， na ，…；另一变量y 几何地增长

b λ，

2b λ，3b λ，…，n b λ，…，那么它们之间存在着指数函数关系a

x b y λ=.C 、开发实践环节，

如以实现，专业的课题和学生的兴趣为出发点，一切设计计划，然后分配工作，实施计划，获取所需的信息，将单项结果汇集在一起进行处理。

数学建模是实际中问题解决的一种形式，数学建模的技巧和方法正是数学家们用来解决他们在工作中碰到的问题的方法。建模方法既注重于求解的各种数学技巧，还帮助学生了解到在广泛的应用中数学有多重要。学生建模练习学到的策略和技术也容易转换到新的情形中去用，这样使他们更能欣赏到数学的威力，从而使学生既学习到了数学应用的训练，又对数学的继续学习更加有了兴趣。

以上所述，即是为什么要在中学数学教学中引入数学建模的原因，那什么是数学建模呢？

数学建模并不是新东西，自从有了数学之后，人们就用数学去解决实际问题。用数学的语言，方法去近似的刻划一个实际问题，，而这种刻划的数学表达就是一个数学模型。其过程就是数学建模的过程，同一个实际问题，从不同的侧面，角度去考虑或不同的数学知识就是会有不尽相同的数学模型。着就是数学模型具有创造性，艺术性的一面。列如，荷载下梁的饶度（弯曲度）在施工中的很重要的，人们可以在每次施工时选一根梁加以荷载并测量其饶度，但这样做既费时又费钱。如果有一个受载下梁的挠度的数学模型将更为方便。经过实验，观察和计算，便可得出荷载下梁的挠度模型：

挠度=EI

pL 483

其中L=梁的长度； P=荷载；

E=与梁的材料有关的弹性模量； I=与梁的横截面有关的惯性矩。

在这个例子中，挠度的模型是一个单个的方程（公式），其实大多数重要的公式实际上就是所描术的实际问题的数学模型。

实际问题当用一个数学模型表达出来后，就要用一定的技术手段（例如推理证明、计算等等）求解该数学问题并用实际情形来验证，若需要就修改数学模型并重复上述过程。如果中间有一步完不成，整个数学建模就很难完成。在数学建模过程中往往需要大量的计算，所以计算机的出现使数学建模这一方法得到了飞速的发展，计算机也是数学建模过程中必不可少的工具之一。数学建模是一个系统的过程它要利用许多技巧以及翻译解释、分析和综合的高度的认知活动。建模活动包括以下四个主要过程：

⒈问题分析过程：了解问题的实际背景材料，分析并找出问题的本质。

⒉假设化简过程：选出影响研究对象的主要因素，忽略次要因素，这样既简单化了问题的以便进行数学描述，又抓住了问题的本质。

⒊建模求解过程：根据分析建立相应的数学模型，并用数学方法或计算机程序（软件包）对模型进行求解。

⒋验证修改过程：检验模型是否符合实际，并对它做出解释。最后将它应用于实际生产、生活中，产生社会效益和经济效益。

数学建模过程可用以下图解来表示图1。

图1

作为建模过程的一个例子，考虑下列例子。某制造厂每年必须生产100000件某类产品。

虽然该厂可以在一年中周期地平均生产出这些产品，但该厂想寻求一种能使成本（花费）最小的生产安排（调度）。本问题中主要的花费如下：生产启动费，每个运转期500元；每件产品的年存储费用1元。当然，可以用许多方式作出生产安排。例如，大运转期可以在年初开始，这中安排将减少生产启动费但增加了存储费用。多个生产运转周期将增加生产启动费但减少了存储费用。哪种策略将会给该厂带来最大的经济效益呢？本问题的关键在于寻求生产启动费和运转周期数目的关系，能就全部花费和运转周期数目间导出一个把它们联系起来的方程和公式吗？为了简化实际问题以便于数学描述，现给出两点假设：①每批新产品进入库存后就以均匀的速率销售出去，即当另一个运转开始的时产品已经按这个速率销售完了；

②每批生产的产品数相同，为L件，显然0

C(L)=L/2+5⨯107⨯L+5⨯105

这就是本问题所建立的数学模型，为一个关于L的函数。

现在来分析总花费C(L)和每批生产量L之间的关系。这可用以下两种方法来研究：

⒈计算数值表进行分析（列表法）

L/1000 C(L) L/1000 C(L)

5 512500 55 528409

1 0083

33269

2 5714

25 5 67

3 0625

35 5 88

4 5889

45 523611 95 548026

5 50550

⒉作出函数图象进行分析（图2）