可逆矩阵及的应用举例共41页

可逆， 所以λ A可逆， 且（ λ A ) − 1 =
λ
1
λ
A −1
AB可逆
性质2.3.3 性质 性质2.3.4 性质
若同阶矩阵A 均可逆,则 也可逆， 若同阶矩阵 ,B 均可逆 则 AB 也可逆，且 ( AB ) −1 = B −1 A−1 .
− 可逆， 也可逆， 若A可逆，则 AT 也可逆，且（ AT）1 = ( A−1 )T .
预 习： §2.4 分块矩阵及其运算 §2.5 矩阵的初等变换与初等矩阵 §2.6 矩阵的秩
*14(1) 例3
1 1 , Λ = 4 例3 P = 0 1 − 5 AP = PΛ , 求 A n。
0 , − 2
3 1 A= 5 − 1 ,
解： A = PΛP −1 ⇒ A 2 = PΛP −1 PΛP −1 = PΛ2 P −1= AE依据Fra bibliotekP10,
P16,
P17
性质1.2.2 (展开定理 行列式等于它的任意一行（列）的各 展开定理) 性质 展开定理 行列式等于它的任意一行（ 元素与其对应的代数余子式乘积之和， 元素与其对应的代数余子式乘积之和，即
D = a i 1 Ai 1 + a i 2 Ai 2 + ⋯⋯ + a in Ain
要解决的问题： 要解决的问题： 1.方阵满足什么条件时可逆 方阵满足什么条件时可逆? 方阵满足什么条件时可逆 2.可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时，逆阵怎样求？ 可逆时
可逆概念 结束
2.3.2 方阵可逆的充要条件
伴随矩阵
定义2.3.2 设n 阶方阵 A = ( aij ) ,元素 ij在|A|中的代数余子 元素a 元素 中的代数余子 式为 Aij ,(i , j = 1,2 , ……, n) . 则矩阵

解:
称为矩阵 A 的伴随矩阵.
⎛ d − b⎞ A* = ⎜ ⎜ − c a ⎟. ⎟ ⎝ ⎠
有用的结论
定理2.1
设A为n阶方阵 , A∗是A的伴随矩阵 , 则 AA∗ = A∗ A = A E .
若An = (a ij )满足a ij = Aij , 则A* = AT .
证明
⎡ a11 ⎢a 21 AA* = ⎢ ⎢ M ⎢ ⎣ a n1 ⎡A ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
得
6 − 4⎞ ⎛ 2 ⎟ ⎜ A∗ = ⎜ − 3 − 6 5 ⎟ , ⎟ ⎜ 2 2 − 2⎠ ⎝
⎛a b⎞ −1 设A = ⎜ ⎜ c d ⎟, 若ad − bc ≠ 0, 求A . ⎟ ⎝ ⎠
1 ⎛ d − b⎞ A* ⎜ ⎟. = A ad − bc ⎜ − c a ⎟ ⎝ ⎠
−1
解 : A−1 =
证明： B = ( E + A) −1 ( E − A), 得 由 ( E + A) B = E − A，B + AB + A − E = 0, A( B + E ) + B − E = 0,
A( B + E ) + B + E = 2 E ,
( A + E )( B + E ) = 2 E , ( B + E ) −1 = 1 ( A + E ). 2 A+ E (B + E ) = 2E , 2
−1 性质3 若A可逆, 数λ ≠ 0, 则λA可逆, 且(λA) =
1
λ
A−1
可得 B = EB = (CA) B = C ( AB ) = CE = C .
所以 A的逆矩阵是唯一的 , 即 B = C = A −1 .

1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
求解矩阵方程时，一定要记住：先化简，再求解。
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
阵.
调换主对角元
A
d c
b a d b c a
次对角元调符号
用 |A| 去除
1 d b c a |A|
适 阵 用 对 于 二 阶 以 上 的 矩 阵 不 ,
注
此 法 仅 适 用 于 二 阶 矩
.
所以逆阵为
…,
1 0 0 2n ,
n
故
1 2 1 0 1 4 2 A 1 4 0 2 n 2 1 1 1 1 2 n 1 4 2 n2 1 2 1 1 2 1 4 2 n 1 2 n 1 2 n2 n2 2 4 2 2 2
0 2 0 0 0
0 0 3 0 0
0 0 0 4 0
0 0 0 求 A 1 . 0 5
解： 因 A 5! 0,
故A1存在.
A 由伴随矩阵法得 A1 , A
0 0 0 3 4 00 0 2 1 5 0 0 0 1 2 4 5 0 0 0 0 1 3 0 0 0 1 0 0 0 1 1 2 4 0 3 0 5 00 . 0 5! 0 0 0 0 0 1 41 2 3 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 1 2 3 4 0 0

一、可逆矩阵的定义二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件三、逆矩阵的性质四、求逆矩阵的初等行变换五矩阵方程五、矩阵方程一、可逆矩阵的定义定义1设A 是一个n 阶方阵，如果存在n 阶方阵B , 使得A B B A EA B = B A = E ,则称B 为A 的逆矩阵，此时也称A 可逆.由定义1 可知，若B 是A 的逆矩阵，则A 也是B 逆矩阵，即A 与B 是互逆的.定理1若矩阵A 是可逆的，则A 的逆矩阵是唯一的.设B 、C 均为 A 的逆矩阵，则C =C E =C A B )=(C A )B =E B =B ,证 C C E C (A B ) (C A ) B E B B ,故 A 的逆矩阵是唯一的.的逆矩阵的唯性由矩阵A 的逆矩阵的唯一性，记 A 的逆矩阵为A 1.例1设a 11a 22… a nn ≠0 , 则由定义可直接验证对角矩11 22 nn ,阵的逆矩阵111-⎤⎡a 111⎤⎡-a 22⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢a.1122⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎢=--a⎦⎣nn a ⎦⎣nn a 例2若方阵A 1 , A 2 , …, A m 均可逆，则分块对角矩阵与对角矩阵有类似的逆矩阵11-⎥⎤⎢⎡A A 111⎥⎤⎢⎡--A A 2⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣m A.12⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣=-m A上一页当时对~二、伴随矩阵及二、伴随矩阵及矩阵可逆的条件矩阵可逆的条件定义2n >1时，对n 阶方阵,称为矩阵A 的代数余子式余子式阵阵，称为矩阵A 的伴随伴随阵阵。

n n ij a A ⨯=)(n n ij a A ⨯=)~(T A A ~*=例如⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛--=⎪⎪⎫ ⎛=24,34~,321*A A A 非常重要⎭⎝⎭⎝⎭⎝13124定理2则d t(**设，则n n ij a A ⨯=)(EA A A AA )det(==矩阵i j *证由行列式性质2与性质7，矩阵的(i,j )元素为A A *det(),,0TTT T T A i j A A AA A A =⎧====⎨e e e e e e aa ()()()()()0,.i j i j i j i j i j ≠⎩E A A A )det(*=AA d (同可得因此。

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-23 结束
1 1 2 0 1 0 1 1 0 0 1 2 r r r3 r1 0 2 0 1 1 1 0 2 1 1 0 0 r 2r 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1
1
1 1 1 可以验证 A diag( , ,..., ). a1 a2 an
1 E E. 特别地有
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结束
例2
a b , 设 A c d
1
若 ad bc 0, 可以验证 A
可逆且
1 d b A ad bc c a
1 1 1 1 ( A A ... A ) A A ... A 也可逆, 且 1 2 s s s1 1 .
2、设 A, B 可逆，但 A B 不一定可逆。 思考：反例？ 即使 A B 也可逆，一般地
( A B)1 A1 B 1
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结束
定理2.2
设 A 是 n 阶方阵，如果A可逆，则矩阵方程
1 2 3 1 0 0 0 2 5 2 1 0 0 2 6 3 0 1

r3 r2 r1 r2
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-21 结束
1 0 2 1 1 0 1 0 0 1 3 2 r1 2 r3 0 2 0 3 6 5 0 2 5 2 1 0 0 0 1 1 1 1 r2 5 r3 0 0 1 1 1 1
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结束
推论2.1

A1 , B 1都存在.
2 1
3 2 1 1 且 A 3 2 3 5 2 , 1 1 1
1
B
1
3 1 , 5 2
1 1
又由 AXB C A AXBB A CB E 1 1 X A CB . 于是 X A1CB 1
1
3 2 1 3 1 3 1 3 2 3 5 2 2 0 1 3 1 5 2 1 1
1 1 1 2 3 1 0 2 10 4 . 0 2 5 2 10 4
1
1
AA1 E ,
推广
A1 A2 Am1 Am1 A21 A1.1
4 若A可逆, 则A 亦可逆 , 且 A
T
T 1
A .
1 T
证明
A
T
A A A
1 T 1
T
ET E,
A
T 1

A
1 T
.
2a c 1, 2b d 0, a 0, b 1,
a 0, b 1, c 1, d 2.
又因为
AB
BA
2 1 0 1 0 1 2 1 1 0 , 1 0 1 2 1 2 1 0 0 1
B是A的一个逆矩阵.
AB BA E ,
说明 若 A 是可逆矩阵，则 A 的逆矩阵是唯一的.
若设 B 和 C 是 A 的可逆矩阵，则有
AB BA E , AC CA E ,

... ... ... ...
an1 an2 ... ann
称为方阵A的行列式，记为 A或det A。
第19页/共50页
对于两个n阶方阵A和B，其乘积AB也是一个 n阶方阵，试问：乘积矩阵的行列式det(AB) 与行列式detA和detB有何关系？
第20页/共50页
例如：A
1 3
12,
B
4 3
12
第29页/共50页
2、 伴随矩阵
(1)定义2 对于n阶矩阵
a11 a12 ... a1n
A
a21 ... an1
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann
，
设Aij是 A中元素aij的代数余子式，则矩阵
第30页/共50页
A11 A21 ... An1
A12
说明理解二可逆矩阵的性质1可逆矩阵a的逆矩阵a1也可逆并且ab3可逆矩阵a的转置矩阵a也可逆并且三矩阵可逆的条件1矩阵乘积的行列式定理1p197定理525设ab是任意两个n阶方阵那么这两个方阵的乘积的行列式等于它们的行列式的乘积即2伴随矩阵1定义221221112性质3矩阵可逆的条件定理2矩阵a可逆的充分必要条件是
现在把行列式D的第n+1行乘以a11加到第一行，
0 a12 ... a1n a11b11 a11b12 ... a11b1n
a21 a22 ... a2n 0
0 ... 0
... ... ... ... ... ... ... ...
D an1 an2 ... ann
0
1 0 ... 0 b11
a22 ... an2
... ... ...
a2n ... ann

4 / 设A是n阶矩阵，若A2＝A，证明A + E可逆。 5 / 设A为n阶方阵，A2 + 2 A − 3E = 0, 证明 : A − 2 E可逆，并求其逆。 6 / 设A为n阶方阵，A3 = 2 E , B = A2 − 2 A + E , 证明：B可逆，并求其逆 7 /已知X , Y是相互正交的n维列向量，证明E + XY T 可逆。
•推论：A , A , L , A 均可逆，则A A L A 可逆 1 2 m 1 2 m
且（A1 A2 L Am） = A L A A 。 DEF：设A是n阶可逆矩阵，那么对任意的 B = Bn×m或（Bm×n）， 矩阵方程AX = B（或XA = B）有唯一解 X = A B(或X = BA )
−1
T −1

−1 T
• |A|!=0,可逆矩阵是方阵
(7)( A−1 )* = ? (8)( A + B)−1 = ? A−1 + B−1
2.4 可逆矩阵
• 有关逆矩阵的运算规律： 有关逆矩阵的运算规律： • DEF:若A,B为可逆矩阵，则AB也是可逆矩阵，且 （AB）-1=B-1A-1.
2.4 可逆矩阵
2.5.4 转置矩阵的乘法
(AAT) T=AAT,对称矩阵
2.5.5 逆矩阵的乘法
1.AB=BA=I,可逆唯一; 2.伴随矩阵的定义, 3. A* A =| A | I
2.4 可逆矩阵
• Def 2.13 对n阶矩阵A，如果存在同阶矩阵B，使AB=BA=I, 则称A为可逆矩阵 可逆矩阵（简称A可逆）， 可逆矩阵 的逆矩阵，记作 B为A−1，或A−1 = B 并称B是A的逆矩阵 是 的逆矩阵 讨论：n阶矩阵具备什么条件时可逆？逆矩阵是否唯一？ 怎样求逆矩阵？ • 定理 定理2.2 逆矩阵的唯一性 若A是可逆矩阵，则A的逆矩阵是唯一的 唯一的。 唯一的 • 定理 定理2.3 矩阵A可逆的充分必要条件是|A|！=0，且

第一节 可逆阵
第二节 n×n型线性方程组 × 型线性方程组 *第三节 分块阵的初等变换
一、逆矩阵的定义 二、伴随阵及矩阵可逆的条件 三、逆矩阵的性质 四、用初等行变换求逆矩阵 五、逆矩阵的应用
一、逆矩阵的定义
定义1 定义1 方阵， 设 A 是一个 n 阶方阵，如果存在 n 阶方阵 B , 使 AB = BA= E , 逆矩阵， 可逆. 则称 B 为 A 的逆矩阵，此时也称 A 可逆. 由定义 1 可知，若 B 是 A 的逆矩阵，则 A 也是 B 逆矩阵，即 A与 B 是互逆 互逆的. 互逆 定理1 定理1 是可逆的， 的逆矩阵是唯一的. 若矩阵 A 是可逆的，则 A 的逆矩阵A | = 2 ≠ 0, A 可逆，故 原方程组为 A x = b, x = A−1 b , 而 A−1
3 − 2 1 = − 3 2 − 3 5 2 , 1 − 1 1
3 − 2 1 − 8 1 = A b = − 3 2 − 3 5 2 − 1 = 9 , 1 1 − 1 3 − 3
1 − B −1 = E1−4 E2,1 A−1 = E1, 4 E2,3 A−1 = E1 E2 A−1 , 3
例7
A C 设A, B可逆，证明 (P O B 可逆，并求其逆矩阵。 51, 例3 - 7, 求逆 矩阵的待定方法.）
五、逆矩阵的应用
1) 解方程
设 n 个方程 n 个未知量的线性方程组为 A x = b 其中 A = ( aij )n × n . 若 det(A) ≠ 0 , 则 A−1 存在，且 x = A −1 b
B −1 = EB −1 = ( AB) B −1 = A( BB −1 ) = A.

33、如果惧怕前面跌宕的山岩，生命 就永远 只能是 死水一 潭。 34、当你眼泪忍不住要流出来的时候 ，睁大 眼睛， 千万别 眨眼!你会看到 世界由 清晰变 模糊的 全过程 ，心会 在你泪 水落下 的那一 刻变得 清澈明 晰。盐 。注定 要融化 的，也 许是用 眼泪的 方式。
35、不要以为自己成功一次就可以了 ，也不 要以为 过去的 光荣可 以被永 远肯定 。
▪
26、要使整个人生都过得舒适、愉快，这是不可能的，因为人类必须具备一种能应付逆境的态度。——卢梭
▪
27、只有把抱怨环境的心情，化为上进的力量，才是成功的保证。——罗曼·罗兰
▪
28、知之者不如好之者，好之者不如乐之者。——孔子
▪
29、勇猛、大胆和坚定的决心能够抵得上武器的精良。——达·芬奇
▪
30、意志是一个强壮的盲人，倚靠在明眼的跛子肩上。——叔本华
谢谢！
Байду номын сангаас
43
可逆矩阵及应用举例.
31、别人笑我太疯癫，我笑他人看不 穿。(名 言网) 32、我不想听失意者的哭泣，抱怨者 的牢骚 ，这是 羊群中 的瘟疫 ，我不 能被它 传染。 我要尽 量避免 绝望， 辛勤耕 耘，忍 受苦楚 。我一 试再试 ，争取 每天的 成功， 避免以 失败收 常在别 人停滞 不前时 ，我继 续拼搏 。

它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。

可逆矩阵作为矩阵乘法的逆运算,是矩阵的一种重要运算,在解决矩阵问题中起着重要的作用。

因而掌握可逆矩阵的求法,在解决实际问题时,往往可以起到事半功倍的效果。

本文将对一些常用的可逆矩阵的求法作系统的总结，并进一步介绍几种常见得可逆矩阵的在数学领域和通讯领域的简单应用。

【关键词】矩阵可逆矩阵通信【Abstract】In the discussion of linear equations, we can see that someimportant properties of the linear equations are reflected in its coefficient matrix and augmented matrix of nature, what`s more, the process of the solution performance of the process of transformation of these matrices. Invertible matrix multiplication as the inverse of the matrix is an important matrix operations,and plays an important role in solving the problem. master ring the method of Invertible matrix often can play a multiplier effect in solving practical problems.The following are the system summary of the commonly used reversible method for the evaluation of Invertible matrix, and further descripitions of several common application in the field of mathematics and simple communications.【Key Words】Matrix Invertible matrix Communications目录前言 (5)一、可逆矩阵 (5)二、可逆矩阵的性质及求法 (5)（一）性质 (5)（二）逆矩阵求法 (6)三、可逆矩阵的简单应用 (10)（一）可逆矩阵在数学方面的应用 (10)（二）可逆矩阵在通信方面的应用 (11)（1）加密保密通信模型 (12)（2）可逆矩阵的应用 (12)（3）加密密钥的生成 (13)（4）解密密钥的生成 (14)（5）明文矩阵的选择 (14)（6）加密矩阵的选择 (14)（7）算法优化 (14)结论 (15)参考文献 (15)致谢16前言矩阵作为高等代数，这一伟大数学图腾的重要分支的一大重要部分，在我们的生活，学习，工作，更是在人类的进步中发挥了卓越的工具作用。

例5 （选择题） B C 均为ｎ阶方阵，且 ABC = E 均为ｎ阶方阵， 选择题） A 则：下列矩阵为单位矩阵的是
( 4)
(1) ACB (2)CBA (3)BAC (4)BCA
-13-
例6
设 A 为 n阶 方阵 , 证明
(1)
证
A = 0 ⇒ A∗ = 0
( 2)
A∗ = A
n −1
(1) 如果 A=O, 则结论显然成立 如果 则结论显然成立.如果 如果A≠O, 反证 反证:
线性方程组
(1)
记 A = (a ij ) n×n ，称为 的系数矩阵。 称为(1)的系数矩阵。 记
b1 b= M , bn
称为(1)的常数项向量或右端项(向量 称为 的常数项向量或右端项 向量 。 的常数项向量或右端项 向量)。
x1 x= M 记 xn
AB = BA = E
则称矩阵A是可逆的 并把矩阵B称为 称为A的逆矩阵. 则称矩阵 是可逆的, 并把矩阵 称为 的逆矩阵 易知,如果 可逆 则其逆矩阵是唯一的,记作 易知 如果A可逆 则其逆矩阵是唯一的 记作 A −1 . 如果 可逆,则其逆矩阵是唯一的
-7-
定理 证 (⇒ ) ⇒
A 可逆 ⇔ A ≠ 0
n
n −1
-14-
例7 设列矩阵 α = (a 0 L 0 a )T ,
a<0
其中A的逆矩阵为 其中 的逆矩阵为B, 则a= ? 的逆矩阵为 1 T 1 T T T 解: Q AB = E ⇒ E + αα − αα − αα αα = E
a
1 T E是n阶的单位矩阵 A = E − αα , B = E + αα 阶的单位矩阵, 是 阶的单位矩阵 a

A1
注：1. 求逆时,若用初等行变换必须坚持始终，不能 夹杂任何列变换. 2. 若作初等行变换时, A化不成E说明矩阵不可逆! 3. 利用初等行变换求逆矩阵的方法，还可用于
A 1 B . 求矩阵
A 1 ( A B ) ( E A 1 B )
即
( A B)
初等行变换
E A1 B
例5
2012
定理2.3 n阶方阵A可逆的充要条件是A可以经过有限
次初等行变换化成n阶单位矩阵。
推论2.1
(1)方阵可逆的充分必要条件是可以分解为有限个初等 矩阵的乘积； (2)方阵A可逆的充分必要条件齐次线性方程组 AX O 只有零解； (3)方阵A可逆的充分必要条件非齐次线性方程组 AX B
例如：
1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1
r1 r3
E ( 0 0
1 0 0 kr3 0 1 0 0 0 k E ( 3( k ))
1 0 0 r3 kr1 0 1 0 k 0 1 E ( 3,1( k ))
性质 初等矩阵都是可逆的，且其逆矩阵仍是
同一种初等矩阵。
Eij Eij
1
1 E i (k ) 1 E i ( k )
E ij ( k ) 1 E ij ( k )
Pl P2 P1 A E Pl P2 P1 A Pl P2 P1 E
E
A 1
例4
1 设 A 2 3
2 2 4
3 1 , 求 A 1 . 3
1 2 3 1 0 0 解： A E 2 2 1 0 1 0 3 4 3 0 0 1

A* A* ∴ A = A=I | A| | A|
1 * A = A | A|
−1
注:1)此定理适用于低阶(2或3阶)矩阵的求逆. 2)此定理在理论推导中非常有用. 3)阶数较高的矩阵求逆,我们要寻求新的方法.
高 等 代 数
a11 a21 定义 设 Aij 是矩阵 A = M a n1
高 等 代 数
例1:判断下列矩阵是否可逆,若可逆,求其逆矩阵
1 2 (1) A = ; 3 4 1 2 3 (2) B = 4 5 6 3 3 3
解:
(1)
A −1 =
A = −2 ≠ 0. 故 A可逆，
1 * A A
−2 1 4 −2 1 = = 3 1 −2 −3 1 − 2 2
都是A的逆矩阵 证明 若B、C都是 的逆矩阵，则 、 都是 的逆矩阵，
AB = BA = I , AC = CA = I.
于是 性质2 性质
B = BI = B(AC) = (BA)C = IC = C.
可逆， 若A可逆，则 可逆
A
−1
可逆， 可逆，且
(A )
−1 −1
= A.
事实上， 可以直接推出. 事实上，这由等式 AA−1 = A−1 A = I ，可以直接推出
数方程 ax = b 一样求解? 即:
对方阵 A是否存在矩阵 A −1 , 使 A −1 A = I
若是，则AX = B有唯一解X = A−1 B
高 等 代 数
可逆矩阵
可逆矩阵的定义： 一.可逆矩阵的定义： 可逆矩阵的定义 定义： １.定义： 设 A是数域 P上n阶矩阵,若存在n阶矩阵B,使 定义 AB = BA = E