正比例和反比例的比较

《正比例与反比例的比较》一、教学目标：１、通过具体问题，认识正比例与反比例的量。

２、能找出正比例与反比例量的实例，并进行交流。

３、能根据给出的正比例与反比例关系的数据在有关坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量估计另一个量的值。

二、教学重难点：１、判断实例是否成比例，成正比例还是反比例。

２、生活中比例知识的具体应用。

三、教具：多媒体课件。

四、教学过程：（一）导入：师：前面我们学了正比例与反比例，通过学习你都了解了哪些知识呢？生自由发言。

师：那它们究竟有什么不同呢？今天我们来对正比例与反比例进行对比，师揭示课题：（正比例与反比例）（二）教学新知：１、出示课件：师：表中有哪两个量？它们是什么关系呢？生个别回答。

２、学生画图，比较正比例与反比例的图象。

师：如果用字母怎样表示这两个量的关系呢？生回答。

课件出示，这两种量成什么比例呢？抽生回答。

３、判断下列各题成什么比例？（课件出示）（１）长方形的面积一定，长与宽。

（２）长方形的周长一定，长与宽。

（３）圆的周长一定，半径与圆周率。

（４）圆锥体积一定，底面积与高。

（５）收入一定，支出与结余。

（６）路程一定，速度与时间。

个别学生回答，并说明理由。

４、思考三种量：速度、时间、路程分别是什么关系？抽学生回答，并说明理由。

师生小结：速度一定，路程与时间成正比。

时间一定，路程与速度成反比。

路程一定，速度与时间成反比。

练习：单价、数量、总价三个量之间的关系。

生个别发言。

５、学生比较正比例与反比例的相同点与不同点。

学生以小组为单位进行讨论。

汇报发言，师生共同小结。

并板书：课件出示表格６、讨论总结判断正比例与反比例的步骤：一列二找三判断。

三、作业设计：教材第６３页练习。

四、课堂小结：这节课你有什么收获？请说给同伴听听。

（学生自由发言）板书设计：正比例与反比例的比较正比例反比例关系式：Ｙ：Ｘ＝Ｋ（Ｋ一定）ＸＹ＝Ｋ（Ｋ一定）变化方向：变化规律相同变化规律不同图象：一条直线一条曲线1、已知挂钟和闹钟的时针长10厘米，4厘米，当他们的时针分别转一昼夜时，针尖所走的路程差是多少厘米2、一个挂钟的分针长15厘米，经过1小时，分针尖端走过的路程是多少厘米？经过30分呢？经过15分呢？3、一根铁丝长10米，做成3个同样的圆环后，还剩0、58米，每个圆环的直径是多少米？4、地面上平躺着一个底面半径为0、5米的圆柱形油桶，如果要将这个油桶滚到与它相距16、2米的墙边需要转动几周？5、阴影部分的面积是50平方厘米，则圆环的面积是多少平方厘米？6、自行车前轮直径是28厘米，后轮直径是35 厘米，前轮行走40圈，后轮要走几圈？7、两个连在一起的皮带轮，大轮直径是3分米，小轮直径是1分米2厘米，大轮转1周，小轮要转几周？8、拖拉机后轮半径是前轮半径的1、5倍，后轮转动9周，前轮转动几圈？9、从甲地到乙地A、B两条路走，这两条路的长度（）。

正比例和反比例的比较数学教案第一章：正比例的概念和性质1.1 教学目标了解正比例的定义和特点能够识别生活中的正比例关系掌握正比例的计算方法1.2 教学内容正比例的定义和判定方法正比例的性质和特点正比例的计算公式：y = kx (k 为比例常数)1.3 教学活动通过实例引入正比例的概念，让学生观察和分析实例中的正比例关系引导学生通过数学表达式来表示正比例关系进行小组讨论，让学生探索正比例的性质和特点1.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例概念和性质的理解让学生举例说明生活中的正比例关系，评估学生的应用能力第二章：反比例的概念和性质2.1 教学目标了解反比例的定义和特点能够识别生活中的反比例关系掌握反比例的计算方法2.2 教学内容反比例的定义和判定方法反比例的性质和特点反比例的计算公式：y = k/x (k 为比例常数)2.3 教学活动通过实例引入反比例的概念，让学生观察和分析实例中的反比例关系引导学生通过数学表达式来表示反比例关系进行小组讨论，让学生探索反比例的性质和特点2.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对反比例概念和性质的理解让学生举例说明生活中的反比例关系，评估学生的应用能力第三章：正比例和反比例的比较3.1 教学目标能够区分正比例和反比例的关系能够判断一个给定的关系是正比例还是反比例能够解决与正比例和反比例相关的问题3.2 教学内容正比例和反比例的异同点正比例和反比例的判断方法正比例和反比例问题的解决方法3.3 教学活动通过实例比较正比例和反比例的关系，让学生观察和分析实例中的正比例和反比例关系引导学生通过数学表达式来判断一个给定的关系是正比例还是反比例进行小组讨论，让学生探索正比例和反比例的异同点3.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例比较的理解让学生解决与正比例和反比例相关的问题，评估学生的应用能力第四章：正比例和反比例在实际问题中的应用4.1 教学目标能够将正比例和反比例关系应用到实际问题中能够解决与正比例和反比例相关的实际问题能够解释正比例和反比例在生活中的意义4.2 教学内容正比例和反比例在实际问题中的应用方法正比例和反比例实际问题的解决步骤正比例和反比例在生活中的实例分析4.3 教学活动通过实例引入正比例和反比例在实际问题中的应用，让学生观察和分析实例中的正比例和反比例关系引导学生运用正比例和反比例的计算方法解决实际问题进行小组讨论，让学生探索正比例和反比例在实际问题中的应用4.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例在实际问题中应用的理解让学生解决与正比例和反比例相关的实际问题，评估学生的应用能力第五章：正比例和反比例的综合练习5.1 教学目标巩固学生对正比例和反比例的理解提高学生解决正比例和反比例问题的能力培养学生的逻辑思维和综合应用能力5.2 教学内容正比例和反比例的综合练习题正比例和反比例问题的解决策略正比例和反比例的综合应用实例5.3 教学活动提供一系列正比例和反比例的综合练习题，让学生独立完成引导学生运用正比例和反比例的计算方法和判断方法解决综合练习题进行小组讨论，让学生分享解题思路和方法5.4 教学评估通过正比例和反比例的综合练习题，评估学生对正比例和反比例的理解和应用第六章：正比例和反比例的图形表示6.1 教学目标理解正比例和反比例关系在坐标系中的图形表示学会绘制正比例和反比例函数的图像能够通过图像分析正比例和反比例函数的性质6.2 教学内容正比例函数和反比例函数在坐标系中的图形表示绘制正比例函数和反比例函数图像的方法和步骤正比例函数和反比例函数图像的特点和分析方法6.3 教学活动通过示例演示正比例函数和反比例函数在坐标系中的图形表示学生分组练习绘制正比例函数和反比例函数的图像利用计算机软件或图形计算器进行图形展示和分析6.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例图形表示的理解让学生绘制给定函数的正比例和反比例图像，评估学生的应用能力第七章：正比例和反比例的性质探究7.1 教学目标深入理解正比例和反比例的性质学会运用性质解决相关问题培养学生的探究能力和创新思维7.2 教学内容正比例和反比例的基本性质正比例和反比例的衍生性质正比例和反比例性质在问题解决中的应用7.3 教学活动学生分组探究正比例和反比例的衍生性质利用数学软件或实验工具验证正比例和反比例的性质7.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例性质的理解让学生运用正比例和反比例的性质解决实际问题，评估学生的应用能力第八章：正比例和反比例在实际生活中的应用8.1 教学目标了解正比例和反比例在实际生活中的应用学会用正比例和反比例解决问题培养学生的实际问题解决能力和数学应用意识8.2 教学内容正比例和反比例在实际生活中的实例分析正比例和反比例问题解决的方法和步骤正比例和反比例在生活中的意义和价值8.3 教学活动通过实例分析正比例和反比例在实际生活中的应用学生分组讨论和练习解决实际生活中的正比例和反比例问题分享解决实际问题的经验和方法8.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例在实际生活中应用的理解让学生解决给定的实际生活中的正比例和反比例问题，评估学生的应用能力第九章：正比例和反比例的扩展与应用9.1 教学目标掌握正比例和反比例的扩展知识学会解决复杂的正比例和反比例问题培养学生的综合应用能力和创新思维9.2 教学内容正比例和反比例的扩展知识复杂正比例和反比例问题的解决方法正比例和反比例在科学研究和工程技术中的应用9.3 教学活动引导学生学习正比例和反比例的扩展知识学生分组研究复杂正比例和反比例问题的解决方法利用案例分析和项目研究，探讨正比例和反比例在实际中的应用9.4 教学评估通过填空题、选择题和简答题等形式，评估学生对正比例和反比例扩展知识的理解让学生解决复杂的正比例和反比例问题，评估学生的应用能力10.1 教学目标巩固学生对正比例和反比例知识的理解提高学生解决正比例和反比例问题的能力10.2 教学内容正比例和反比例的主要概念、性质和应用复习正比例和反比例的知识点10.3 教学活动通过复习题和讨论，巩固学生对正比例和反比例知识的理解学生自主复习正比例和反比例的概念、性质和应用分享正比例和反比例的学习方法和经验10.4 教学评估通过复习题和讨论，评估学生对正比例和反比例知识的掌握程度重点和难点解析1. 正比例和反比例的概念理解：学生需要理解正比例和反比例的定义，以及它们在数学和现实世界中的应用。

1、正比例的意义是：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

2、用字母表示：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值（一定），正比例关系可以用关系式表示：x÷y=k （一定）还可表示为：x=ky以上各种商都是一定的，那么被除数和除数．所表示的两种相关联的量，成正比例关系．注意：在判断两种相关联的量是否成正比例时,应注意已知的两种量必须是两种相关联的量（也就是有关系的两种量），有些量，虽然也是一种量随着另一种的变化而变化，但它们相对应的两个数的比值不一定，它们就不能成正比例．例如：一个人的年龄和它的体重，就不能成正比关系，正方形的边长和它的面积也不成正比例关系．行驶的路程和时间是成比例的量。

“正反比例”归纳：相同点：①正比例和反比例都含有三个数量，在这三个数量中，均有一个定量、两个变量。

②在正、反比例的两个变量中，均是一个量变化，另一个量也随之变化。

正比例中相关联的两种量的变化方向是一致的，即：同时扩大或同时缩小，关键是：相对应的两个数的“比值一定，也就是商一定”；反比例中两种量的变化方向是相反的，即：一个量扩大，则另一个量缩小，一个缩小，另一个量则扩大，关键是：相对应的两个数的“积一定”。

不同点：正比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的比值。

反比例的定量（即不变的量）是两个变量中相对应的两个数的积。

②正比例的图像时上升直线；反比例是曲线。

③公式不同：正比例是（x y=k（一定）），反比例是（xy=k（一定））。

④规律不同：正比例是一个数缩小，另一个数也缩小，一个数扩大，另一个数也扩大；反比例是一个数缩小，另一个数就扩大，一个数扩大另一个数就缩小。

门诊医院：举例：当路程一定时，已行路程与未行路程成比例吗?为什么？分析：虽然这里的已行路程和未行路程也是相关联的两个量，但是它们的变化规律是增加或减少的数，换句话说已行路程与未行路程不是一个量随另一个量的扩大而扩大或缩小而缩小，也就是它们之间不能相乘，也不能相除，得不到一个积或一个商，所以它们不成比例。

正反比例比较知识点总结正反比例是数学中常见的一种比例关系，表现为一种正向的变化和一种反向的变化之间的对应关系。

在现实生活中，正反比例关系也经常出现，比如物体的体积和压力、时间和速度、成本和产量等之间都存在着正反比例关系。

在数学中，我们通常用两个变量x和y表示正反比例关系，其中x表示自变量，y表示因变量。

在正比例关系中，当x增大时，y也随之增大；而在反比例关系中，当x增大时，y却相应地减小。

正反比例关系可以用等式y=kx表示，其中k称为比例常数。

当k>0时，表示正比例关系；当k<0时，表示反比例关系。

正反比例关系在数学中有着重要的应用，特别是在解决实际问题中，比如物理、经济、工程等领域。

在这些领域中，正反比例关系可以帮助我们更好地理解和分析问题，为实际应用提供便利。

下面我们将从数学、物理、经济和工程等方面来具体分析正反比例关系的应用。

一、在数学中的应用1.1 正反比例关系的解题方法在数学中，我们经常会遇到一些与正反比例关系有关的题目，如物体的价钱和重量成正比，时间和距离成反比等。

这些问题可以通过建立方程来求解。

例如，一个物体的重量和价格成正比，如果物体的重量是3kg，价格是45元，求每kg的价格是多少。

设每kg的价格为x元，则可以建立等式45=3x，解得x=15。

因此，每kg的价格是15元。

1.2 正反比例关系的图像和性质在数学中，我们可以利用图像来描述正反比例关系。

对于正比例关系来说，图像是一条通过原点的直线，斜率就是比例常数k；而对于反比例关系来说，图像是一条不通过原点的曲线。

正反比例关系还有一个重要的性质，就是两个变量的乘积是一个常数，即y=kx，所以称为正反比例关系。

1.3 正反比例的相关定理在数学中，还有一些与正反比例关系相关的定理，如等距离定理、平行定理等。

这些定理在解决用正反比例关系求解的问题是非常有用的。

二、在物理中的应用2.1 压力和体积的关系在物理中，压力和体积的关系是一个常见的正反比例关系。

正比例和反比例的比较教案一、教学目标：1. 让学生理解正比例和反比例的定义及其区别。

2. 培养学生运用正比例和反比例解决实际问题的能力。

3. 培养学生合作交流、归纳总结的能力。

二、教学内容：1. 正比例和反比例的定义。

2. 正比例和反比例的区别。

3. 正比例和反比例在实际问题中的应用。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：正比例和反比例的定义及其应用。

2. 教学难点：正比例和反比例的区别。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究正比例和反比例的定义及应用。

2. 运用实例分析法，让学生通过实际问题理解正比例和反比例的区别。

3. 采用小组讨论法，培养学生合作交流、归纳总结的能力。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾已学过的比例知识，为新课学习做好铺垫。

2. 探究正比例：(1) 提问：什么情况下，两种相关联的量的比值保持不变？(2) 学生举例，教师点评，引导学生总结正比例的定义。

(3) 出示正比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的比值（也就是它们的商）不变，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

3. 探究反比例：(1) 提问：什么情况下，两种相关联的量的乘积保持不变？(2) 学生举例，教师点评，引导学生总结反比例的定义。

(3) 出示反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量的乘积不变，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

4. 比较正比例和反比例：(1) 学生总结正比例和反比例的区别。

(2) 教师补充，强调正比例和反比例的关键词。

5. 应用练习：让学生运用正比例和反比例解决实际问题，巩固所学知识。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调正比例和反比例的应用。

7. 布置作业：让学生课后巩固正比例和反比例的知识，提高解题能力。

六、教学评估：1. 课堂提问：通过提问了解学生对正比例和反比例概念的理解程度。

正比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系叫做成正比例关系．正方形的周长与边长圆的周长与直径路程比时间等于速度(一定)反比例：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。

这两种量叫做成反比例的量。

它们的关系叫做反比例关系。

用x×y=k(一定）来表示。

1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间是反比例；2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数是反比例；3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西（实际就用文具用品），总钱数一定，它的单价和数量是反比例；5.长方形的面积一定，长和宽是反比例；6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例。

7.等分一块蛋糕，每人分到的蛋糕与人数成反比例。

8.总价一定,单价与数量成反比例.9.长方体体积一定,底面积与高成反比例10.总纸盒一定,每人做的个数与人数成反比例反比例的意义形如y=k;x*y=k乘1/x（k不等于0）的函数叫做反比例函数，k叫做反比例系数。

y*x=k(一定)，这是求反比例的公式。

编辑本段反比例的实质两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，这两种量中相对应的两个数的积一定。

这两种量叫做成反比例的量。

它们的关系叫做反比例关系。

用xy=k(一定）k不等于0来表示。

简单点来说，就是如果一样事物增加了，另一样事物减少，它减少了，另一样事物增加，这两个事物的关系就叫做反比例关系。

编辑本段正比例和反比例之间的相互转化当正比例中的x值（自变量的值），转化为它的倒数时，由正比例转化为反比例；当反比例中的x值（自变量的值）也转化为它的倒数时，由反比例转化为正比例。

编辑本段生活中的反比例1.百米赛跑，路程100米不变，速度和时间成反比例（即路程一定，速度和时间成反比例）；2.排队做操，总人数不变，排队的行数和每行的人数成反比例；3.做纸盒子，总个数一定，每人做的个数和人数成反比例；4.买东西（实际就用文具用品），总价一定，它的单价和数量是反比例；5.长方形的面积一定，长和宽是反比例（提示：但是长方形的周长与长宽不成比例【既不成正比例也不成反比例】）；6.长方体的体积一定，底面积和高是反比例。

三、基本练习：1、速度一定，路程和时间成比例。

路程一定，速度和时间成比例。

时间一定，路程和速度成比例。

2、单价一定，数量和总价成比例。

总价一定，数量和单价成比例。

数量一定，总价和单价成比例。

3、每小时织布米数一定，织布总米数和时间。

（比例）4、幼儿园老师分给每个小朋友饼干的块数一定，小朋友的人数和所需的饼干数。

（比例）5、订阅《中国少年报》的份数和钱数。

（比例）6、小新跳高的高度和他的身高。

（比例）7、小麦每公顷产量一定，小麦的公顷数和总产量。

（比例）8、种子的总量一定，每公顷的播种量和播种的公顷数。

（比例）9、李叔叔从家到工厂，骑自行车的速度和所需的时间。

（比例）10、华容做12道数学题，做完的题和没有做的题。

（比例）11、生产电视机的总台数一定，每天生产的台数和所用的天数。

（比例）12、①长方形的面积一定，它的长和宽。

（比例）②长方形的周长一定，它的长和宽。

（比例）13、小林拿一些钱买练习本，单价和购买的数量。

（比例）14、每包书中册数相同，包数和总册数。

（比例）15、①全班的学生人数一定，每组的人数和组数。

（比例）②全班的学生人数一定，男生人数和女生人数。

（比例）16、每平方米种植玉米的棵数一定，土地的面积和种植玉米的总棵数。

（比例）17、工人的人数一定，每人生产的产品数和全体工人生产的产品总数。

（比例）18、和一定，加数和另一个加数。

（比例）19、把一堆粮食装入麻袋，麻袋的数量和每袋粮食的重量。

（比例）20、单位时间内写字的个数相同，写字的时间和写字的总数。

（比例）21、一条绳子的长度一定，剪去的部分和剩下的的部分。

（比例）22、一栋楼房的户数一定，全楼居民的人数和平均每户的人数。

（比例）23、同学们做操，每行人数和行数。

（比例）24、①圆的直径和它的周长。

（比例）②圆的半径和它的周长。

（比例）25、①圆的面积和它的半径。

（ 比例）②圆的面积和它的半径的平方。

（ 比例）26、一个因数一定，积和另一个因数。

正比例函数和反比例函数的区别在初中数学的学习过程中，我们都已经知道了两种基本的函数类型——正比例函数和反比例函数。

由于教材中两种函数的分类明确，所以很多同学对这两种函数形式不太重视，对其内涵的理解也不到位。

在函数中有一种叫做正比例函数，它的图像是y=kx(k为常数)，即y=kx的图像上任意一点p(x)都满足x^2=k(x-k)(x^2-kx^2)|x|，而k(x-k)=kx^2的大小与x有关，与x无关。

正比例函数的图像就是这样一条直线，这是学生容易混淆的地方，它们之间虽然相差一个k字，但实质上存在着区别，需要注意：第一， k(x-k)=kx^2，而k(x-k)=kx，即如果是单项式，那么只有一个k；如果是多项式，则还有两个k，分别为第一个k和最后一个k，与x无关。

反比例函数与正比例函数相比较，两者的相似性更加明显，他们都具有“相反”的特点，而且二者的定义域和值域也相似，但反比例函数与正比例函数的区别在于反比例函数可能会经过一个点而使得它的图像不是一条直线，而正比例函数通常不会。

例如：反比例函数y=ax2+bx-c，当x=0时，它的图像与y轴交于两点(a,b)和(c,d)，这两点表示的意义是不相同的， a是原点，它表示的是直线y=x的图像， b表示的是实数，而c表示的是点p在反比例函数y=ax2+bx-c图像上的位置。

而正比例函数通常是在图像上取一个点(x=0)，代入反比例函数的表达式后，可以发现它们的比值是相等的。

总结：两种函数相似，但要细致辨析！首先，两种函数都属于“变量与其对应值成正比例”，两种函数也都有“最大值与最小值”，所以最大值、最小值可以认为是两种函数的共同点。

但他们却有本质的区别。

由于k值是否与x有关，也可将两种函数划分为一种与k无关的“直线型”正比例函数和一种与k有关的“点”型反比例函数，并且反比例函数图像在k=0时，与y轴交于一点(在该点处的左边或右边)，当k=0时，反比例函数图像与y轴不交。