I型三阶系统的典型分析与综合设计

电气控制系统设计——直线一级倒立摆控制系统设计学院轮机工程学院班级电气1111姓名李杰学号 36姓名韩学建学号 35成绩指导老师肖龙海2014 年 12 月 25 日小组成员与分工：韩学建主要任务：二阶系统建模与性能分析,二阶控制器的设计,二阶系统的数字仿真与调试,二阶系统的实物仿真与调试;二阶状态观测器的数字仿真与调试,二阶状态观测器的实物仿真与调试;李杰主要任务：四阶系统建模与性能分析,四阶控制器的设计,四阶系统的数字仿真与调试,四阶系统的实物仿真与调试;四阶状态观测器的数字仿真与调试,四阶状态观测器的实物仿真与调试;前言倒立摆系统是非线性、强耦合、多变量和自然不稳定的系统,倒立摆是机器人技术、控制理论、计算机控制等多个领域、多种技术的有机结合,其被控系统本身又是一个绝对不稳定、高阶次、多变量、强耦合的非线性系统,可以作为一个典型的控制对象对其进行研究;倒立摆系统作为控制理论研究中的一种比较理想的实验手段,为自动控制理论的教学、实验和科研构建一个良好的实验平台,以用来检验某种控制理论或方法的典型方案,促进了控制系统新理论、新思想的发展;本报告通过设计二阶、四阶两种倒立摆控制器来加深对实际系统进行建模方法的了解和掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;熟悉倒立摆系统的组成及基本结构并利用MATLAB对系统模型进行仿真,利用学习的控制理论对系统进行控制器的设计,并对系统进行实际控制实验,对实验结果进行观察和分析,研究调节器参数对系统动态性能的影响,非常直观的了解控制器的控制作用;目录第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构 (4)设计的目的 (4)设计的基本任务 (4)设计的要求 (4)设计的步骤 (5)第二章一级倒立摆建模及性能分析微分方程的推导 (5)系统的稳定性和能控能观性分析 (11)二阶的能观性、能控性分析 (13)四阶的能观性、能控性分析 (18)第三章倒立摆系统二阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (22)极点配置 (22)控制器仿真设计与调试 (23)状态观测器仿真设计与调试 (28)第四章倒立摆系统四阶控制器、状态观测器的设计与调试设计的要求 (26)极点配置 (26)控制器仿真设计与调试 (27)状态观测器仿真设计与调试 (28)心得体会 (31)参考文献 (31)第一章设计的目的、任务及要求倒立摆系统的基本结构与工作原理图倒立摆系统硬件框图图倒立摆系统工作原理框图倒立摆系统通过计算机、I/O卡、伺服系统、倒立摆本体和光电码盘反馈测量元件组成一个闭环系统;以直线一级倒立摆为例,其工作原理框图如图所示;图中光电码盘1由伺服电机自带,小车的位移可以根据该码盘的反馈通过换算获得,速度信号可以通过对位移的差分得到;各个摆杆的角度由光电码盘2测量并直接反馈到I/O卡,而角速度信号可以通过对角度的差分得到;计算机从I/O卡实时读取数据,确定控制决策电机的输出力矩,并发给I/O卡;I/O卡经过电控箱内部电路产生相应的控制量,驱动电机转动,使小车按控制要求进行运动,以达到控制目的;实验过程中需要了解倒立摆装置基本结构;了解编码盘、行程开关等的基本工作原理;进行行程开关、编码盘和电机基本测试;设计的目的本设计要求我们针对设计要求,利用课堂所学知识及实验室实测来的系统数据采用工程设计法进行一级直线倒立摆控制系统设计;绘制原理图,同时在实验室进行实验检验设计结果,分析数据,编写设计报告;目的是使学生掌握随动控制系统设计的一般步骤及方法;设计的基本任务本课程设计的被控对象采用固高科技生产的GLIP2001一级直线倒立摆;通过设计与调试使学生能够：1熟悉倒立摆系统的组成及其基本结构；2掌握通过解析法建立系统数学模型及进行工作点附近线性化的方法；3掌握系统性能的计算机辅助分析；4掌握系统控制器的设计与仿真；5研究调节器参数对系统动态性能的影响;设计的要求1.熟悉倒立摆系统结构,熟悉倒立摆装置的基本使用方法；2.建立系统的数学模型,并在工作点附近线性化；3.分析系统的稳定性、频域性能、能控性与能观性；4.采用状态空间的极点配置法设计控制器,要求系统调节时间ts<=3s,阻尼比ξ>= and ξ<=1;实验步骤1.倒立摆系统基本结构分析2.对象的建模3..系统性能分析4.控制器设计与调试5.设计报告的撰写第二章一级倒立摆建模及性能分析系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模;实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号,激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出, 应用数学手段建立起系统的输入－输出关系;这里面包括输入信号的设计选取,输出信号的精确检测,数学算法的研究等等内容;机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上,通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输入－状态关系;对于倒立摆系统,由于其本身是自不稳定的系统,实验建模存在一定的困难;但是忽略掉一些次要的因素后,倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统,可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程;下面采用牛顿－欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型;微分方程的推导在忽略了空气阻力和各种摩擦之后,可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统,如图所示;我们不妨做以下假设：M 小车质量m 摆杆质量b 小车摩擦系数l 摆杆转动轴心到杆质心的长度I 摆杆惯量 F 加在小车上的力x 小车位置φ摆杆与垂直向上方向的夹角θ摆杆与垂直向下方向的夹角考虑到摆杆初始位置为竖直向下图是系统中小车和摆杆的受力分析图;其中,N 和P 为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向的分量;注意：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已经完全确定,因而矢量方向定义如图所示,图示方向为矢量正方向;分析小车水平方向所受的合力,可以得到以下方程：①由摆杆水平方向的受力进行分析可以得到下面等式：②即：③把这个等式代入①式中,就得到系统的第一个运动方程④为了推出系统的第二个运动方程,对摆杆垂直方向上的合力进行分析,可以得到下面方程：⑤⑥力矩平衡方程如下：⑦注意：此方程中力矩的方向,由于θ= π+φ,cosφ= -cosθ,sinφ= -sinθ,故等式前面有负号; 合并这两个方程,约去P 和N ,得到第二个运动方程：⑧设θ=π+φφ是摆杆与垂直向上方向之间的夹角,假设φ与1单位是弧度相比很小,即φ<<1,则可以进行近似处理：用u 来代表被控对象的输入力F ,线性化后两个运动方程如下：⑨对式3-9进行拉普拉斯变换,得到⑩注意：推导传递函数时假设初始条件为0;由于输出为角度φ,求解方程组的第一个方程,可以得到：⑾⑿如果令则有⒀把上式代入方程组的第二个方程,得到：⒁整理后得到传递函数：⒂其中,该系统状态空间方程为：⒃方程组对解代数方程,得到解如下：⒄整理后得到系统状态空间方程：⒅由9的第一个方程为对于质量均匀分布的摆杆有：于是可以得到：化简得到：⒆⒇以小车加速度为输入的系统状态空间方程：稳定性分析P=polyA;r=rootsP;ii=findrealr>0;n=lengthii;ifn>0disp'不稳定';elsedisp'稳定';end不稳定由此得到系统在未加控制器之前是发散的,不稳定的能控能观性分析A= 0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B= 0 1 0 3';C= 1 0 0 0;0 0 1 0;D= 0 0 ';>> n=4;Uc=ctrbA,B;Vo=obsvA,C;>> ifrankUc==nifrankVo==ndisp'系统状态即能控又能观'else disp'系统状态即能控,但不能观'endelse ifrankVo==ndisp'系统状态能观,但不能控'else disp'系统状态不能控,但也不能观' endend系统状态即能控又能观二阶的能观性、能控性分析>> A=0 1; 0;>> B=0 3';>> C=0 0 ;1 0;>> D=0;二阶能控性分析：>> M=ctrbA,BM =0 33 0>> rankMans =2说明系统是能控的二阶能观性分析：>> N=obsvA,CN =0 11 0>> rankNans =2说明系统是能观的四阶的能观性、能控性>> A=0 1 0 0; 0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;;>> B=0 1 0 3';>> C= 1 0 0 0;0 0 1 0;>> D=0 0';四阶能控性分析:>> M=ctrbA,BM =0 0 00 0 00 00 0>> rankMans =4说明系统是能控的四阶能观性分析：>> N=obsvA,CN =0 0 00 0 00 0 00 0 00 0 0 00 0 00 0 0 00 0 0>> rankNans =4说明系统是能观的第三章倒立摆系统二阶控制器的设计设计的要求建立以X’’为输入,Φ与Φ’为状态变量,y为输出的模型分析系统的稳定性,能控能观性设计状态反馈控制器进行极点配置,是系统ξ>= ts<=3s极点配置取ξ=,Ts=；则Wn=,极点为±利用MATLAB进行计算:clear;T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;K=placeA,B,P则：K0=,K1=;控制器的仿真测试与调试图二阶系统结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图：取 &= 极点为：Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图有次图可得加入控制器之后系统可以稳定,可见控制器的设计是合理的硬件调试硬件调试结构图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,加入Л模块纠正反馈角度符号通过调试K值,当K取的时候,可使仿真结果较稳定;从摆杆的角度可以看出,角度可以稳定下来,施加一干扰后,摆杆可以很快恢复稳定;状态观测器的仿真测试与调试图二阶状态观测器数字仿真图以小车加速度为输入,摆杆偏移角度和角速度为状态变量的模型,K值为反馈矩阵,输出为角度的波形图仿真波形图：取 &= 极点为：Wn=则 K0= K1= 图仿真结果波形图反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1; 0;B=0;3;C=1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=S1,S2;OP=5P;G=placeA',C',OPG=实物调试由图可知,施加扰动后摆杆能很快恢复,符合系统要求;第四章倒立摆系统四阶控制器的设计设计要求根据设计要求,确定系统闭环极点,设计状态反馈控制器,并进行仿真、调试验证;极点配置取 &= T= Wn= 极点为：±；-20±利用MATLAB进行计算:T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-20+,S1,S2;K=placeA,B,Pk0=,k1=,k2= ,k3=;则K=控制器的仿真测试与调试图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出仿真结果：位移：角度：实物调试：图硬件调试结构图将K1、K2、K3、K4合并后反馈作用系统,系统为单输入双输出四阶一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果平衡时上为位移,下位角度直线一级倒立摆状态空间极点配置实时控制结果施加干扰上为位移,下位角度状态观测器仿真设计与调试图四阶状态观测器数字仿真图四阶系统仿真结构图以小车加速度为输入,摆杆角度、角速度、小车位移、加速度为状态变量,上半部分为位移输出,下半部分为角度输出反馈矩阵G的求法T=input'T=';zeta=input'zeta=';Wn=4/Tzeta;A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 0;B=0;1;0;3;C=1 0 0 0;0 0 1 0;S1=-zetaWn-Wnsqrtzeta^2-1;S2=-zetaWn+Wnsqrtzeta^2-1;P=,-10+,S1,S2;OP=3P;G=placeA',C',OP'G =实物调试反馈矩阵G和增益矩阵K分别调用matlab程序即可实物仿真与结果心得体会通过此次课程设计,使我更加扎实的掌握了有关MATLAB方面的知识,在设计过程中虽然遇到了一些问题,但经过一次又一次的思考,一遍又一遍的检查终于找出了原因所在,也暴露出了前期我在这方面的知识欠缺和经验不足;实践出真知,通过亲自动手制作,使我们掌握的知识不再是纸上谈兵;课程设计诚然是一门专业课,给我很多专业知识以及专业技能上的提升,同时又是一门讲道课,一门辩思课,给了我许多道,给了我很多思,给了我莫大的空间;同时,设计让我感触很深;使我对抽象的理论有了具体的认识;通过这次课程设计,我掌握了倒立摆装置的识别和测试；熟悉了控制系统的设计原理；了解了现代控制理论的设计方法；以及如何提高倒立摆系统的性能等等,掌握了MATLAB、simulink的使用方法和技术,通过查询资料,对所学知识有了很多新的认识;自己写主要参考文献：1.夏德玲、翁贻方,自动控制理论．北京,北京工业大学出版社,2006年1月2.刘豹、唐万生,现代控制理论．北京,机械工业出版社,2006年6月3.李国勇、谢克明,计算机仿真技术与CAD．北京,电子工业出版社,2009年1月4.Googol Technology直线倒立摆系统GLIP系列安装与使用手册固高科技。

计算机系统综合课程设计实验总结一、引言计算机系统综合课程设计实验是计算机科学与技术相关专业的一门重要实践课程，旨在通过实际操作和综合实验任务，让学生全面了解计算机系统的组成和工作原理，培养学生的综合应用能力和问题解决能力。

本文旨在对该实验进行总结和回顾，介绍实验的目的、内容、实施过程和取得的成果。

二、实验目的计算机系统综合课程设计实验的目的是通过设计和实现一个简化的计算机系统，包括处理器、内存、I/O设备等，加深对计算机硬件和软件的理解，培养学生的系统思维和综合应用能力。

通过实验，学生能够掌握计算机系统的基本结构和工作原理，熟悉计算机体系结构、操作系统、编译原理等相关知识，提高自己的实践能力和创新能力。

三、实验内容本次实验的内容主要包括以下几个方面：1. 计算机系统的基本组成：学生需要了解并实现计算机系统的各个部分，包括处理器、内存、I/O设备等，理解它们之间的功能和相互作用关系。

2. 处理器设计与实现：学生需要设计并实现一个简化的处理器，包括指令集、寄存器、控制单元等。

通过设计处理器，学生能够深入理解指令的执行过程和计算机的运行机制。

3. 内存管理和地址映射：学生需要设计并实现一个简化的内存管理系统，包括地址映射、虚拟内存、分页机制等。

通过实现内存管理系统，学生能够理解内存的分配与回收原理，掌握地址映射的方法和技巧。

4. I/O设备的设计与实现：学生需要设计并实现一个简化的I/O设备，包括输入设备和输出设备。

通过设计I/O设备，学生能够了解I/O设备的工作原理和驱动程序的编写方法。

四、实施过程本次实验的实施过程主要包括以下几个阶段：1. 系统设计和规划：在实验开始前，学生需要对整个实验进行系统设计和规划，确定实验的目标、内容和实施方案。

2. 硬件和软件开发：学生根据实验的设计要求，开始进行硬件和软件的开发工作。

他们需要使用相应的开发工具和编程语言，实现计算机系统的各个组成部分。

3. 调试和测试：在开发完成后，学生需要对实验系统进行调试和测试，确保系统的功能和性能达到设计要求。

毕 业 设 计 （论 文）设计（论文）题目:_ 用频率特性法设计三阶系统________ __及其仿真研究___________单 位（系别）：_______自动化_________学 生 姓 名：________***________专 业：__电气工程与自动化____班 级：______ 05131104_______学 号：___ _0513110417_____指 导 教 师：______ 汪纪锋________答辩组负责人：______________________填表时间： 2015 年 5 月重庆邮电大学移通学院教务处制编 号：____________审定成绩：____________用频率特性法设计三阶系统及其仿真研究摘要自动控制作为一种技术手段已经广泛地应用于工业、农业、国防乃至日常生活和社会科学许多领域。

自动控制就是指在脱离人的直接干预，利用控制装置（简称控制器）使被控对象（如设备生产过程等）的工作状态或简称被控量（如温度、压力、流量、速度、pH值等）按照预定的规律运行。

实现上述控制目的，由相互制约的各部分按一定规律组成的具有特定功能的整体称为自动控制系统。

如果将控制系统中的各个变量看成是一些信号，而这些信号又是由许多不同频率的正弦信号合成的，则各个变量的运动就是系统对各个不同频率信号响应的总和。

系统对正弦输入的稳态响应称频率响应。

利用频率特性分析法设计三阶系统是从频域的角度研究系统特性的方法。

通过分析频率特性研究系统性能是一种广泛使用的工程方法，能方便地分析系统中的各部分参量对系统总体性能的影响，从而进一步指出改善系统性能的途径，所以我们对系统的频响特性要进行深入的分析。

设计自动控制系统，既要保证所设计的系统简单，成本低，又同时需要有良好的性能，能满足给定技术指标的要求，也就是需要同时考虑方案的可靠性和经济性。

本次设计运用频率特性的方法，设计出一个三阶系统，并对系统进行分析研究，最终得出一个符合要求的设计系统。

自动控制原理实验目录实验一二阶系统阶跃响应（验证性实验） (1)实验三控制系统的稳定性分析（验证性实验） (9)实验三系统稳态误差分析（综合性实验） (15)预备实验典型环节及其阶跃响应一、实验目的1.学习构成典型环节的模拟电路，了解电路参数对环节特性的影响。

2.学习典型环节阶跃响应测量方法，并学会由阶跃响应曲线计算典型环节传递函数。

二、实验内容搭建下述典型环节的模拟电路，并测量其阶跃响应。

1.比例(P)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-1。

2.惯性(T)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-2。

3.积分(I)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-3。

4. 比例积分(PI)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-4。

5.比例微分(PD)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-5。

6.比例积分微分(PID)环节的模拟电路及其传递函数示于图1-6。

三、实验报告1.画出惯性环节、积分环节、比例积分环节、比例微分环节、比例积分微分环节的模拟电路图，用坐标纸画出所记录的各环节的阶跃响应曲线。

2.由阶跃响应曲线计算出惯性环节、积分环节的传递函数，并与由模拟电路计算的结果相比较。

附1：预备实验典型环节及其阶跃响应效果参考图比例环节阶跃响应惯性环节阶跃响应积分环节阶跃响应比例积分环节阶跃响应比例微分环节阶跃响应比例积分微分环节阶跃响应附2：由模拟电路推导传递函数的参考方法1． 惯性环节令输入信号为U 1(s) 输出信号为U 2(s) 根据模电中虚短和虚断的概念列出公式：整理得进一步简化可以得到如果令R 2/R 1=K ，R 2C=T ，则系统的传递函数可写成下面的形式：()1KG s TS =-+当输入r(t)为单位脉冲函数时 则有输入U 1(s)=1输出U 2(s)=G(s)U 1(s)= 1KTS-+由拉氏反变换可得到单位脉冲响应如下：/(),0t TK k t e t T-=-≥ 当输入r(t)为单位阶跃函数时 则有输入U 1(s)=1/s输出U 2(s)=G(s)U 1(s)= 11K TS s-+由拉氏反变换可得到单位阶跃响应如下：/()(1),0t T h t K e t -=--≥当输入r(t)为单位斜坡函数时 则有输入U 1(s)=21s输出U 2(s)=G(s)U 1(s)=2323R R C T R R =+2Cs12Cs-(s)U R10-(s)U 21R R +-=12212)Cs (Cs 1(s)U (s)U )(G R R R s +-==12212)Cs 1((s)U (s)U )(G R R R s +-==由拉氏反变换可得到单位斜坡响应如下：/()(1),0t T c t Kt KT e t -=--≥2． 比例微分环节令输入信号为U 1(s) 输出信号为U 2(s) 根据模电中虚短和虚断的概念列出公式：(s)(s)(s)(s)(s)U100-U U 0U 2=1R1R23(4)CSU R R '''---=++由前一个等式得到 ()1()2/1U s U s R R '=- 带入方程组中消去()U s '可得1()1()2/11()2/12()1134U s U s R R U s R R U s R R R CS+=--+由于14R C〈〈，则可将R4忽略，则可将两边化简得到传递函数如下： 2()23232323()(1)1()11123U s R R R R R R R R G s CS CS U s R R R R R ++==--=-++如果令K=231R R R +， T=2323R R C R R +，则系统的传递函数可写成下面的形式：()(1)G s K TS =-+当输入r(t)为单位脉冲函数时，单位脉冲响应不稳定，讨论起来无意义 当输入r(t)为单位阶跃函数时 则有输入U 1(s)=1/s输出U 2(s)=G(s)U 1(s)=(1)K TS S-+由拉氏反变换可得到单位阶跃响应如下：()(),0h t KT t K t δ=+≥当输入r(t)为单位斜坡函数时 则有输入U 1(s)=21s输出U 2(s)=G(s)U 1(s)=2(1)K TS S -+由拉氏反变换可得到单位斜坡响应如下：(),0c t Kt KT t =+≥实验一 二阶系统阶跃响应（验证性实验）一、实验目的研究二阶系统的两个重要参数阻尼比ξ和无阻尼自然频率n ω对系统动态性能的影响。

系统工程原理试题库判断 马克思、恩格斯说，世界是由无数相互联系、依赖、制约、作用的事物和过程形成的 统一整体”，表现出的普遍联系及其整体性思想，就是现代的系统概念，是系统理 论的哲学基础。

（V ）“有机论”生物学认为，有机体可分解为各个部分，各个部分的功能完全决定了系统的功能和特性。

（X ） 系统工程与系统科学的区别是，前者是工程技术，后者是基础理论。

（） 系统工程是系统科学的基础理论。

（X ） 系统工程属于系统科学体系的技术科学层次。

（X ） 系统工程人员是工程项目的决策者。

（X ） 人脑是一个典型的复杂巨系统。

（）如果系统的所有组成要素都是最优的，那么系统的整体功能也一定是最优的。

（X ） 根据系统与外界环境的物质、能量和信息的交换情况，系统可分为开放系统、封闭系 统两类。

（V ）现实世界中没有完全意义上的封闭系统。

（V ）系统建模时应该把研究问题的一切细节、一切因素都包罗进去。

（X ）系统模型一般不是系统对象本身，而是现实系统的描述、模仿或抽象。

（V ）目标-手段分析法、因果分析法、 KJ 法等是典型的定性系统分析方法。

（）在系统解析结构模型中，总是假定所涉及的关系具有传递性。

（V ）切克兰德的“调查学习”方法论的核心是寻求系统的最优化。

（X ） 切克兰德的“调查学习”模式主要适用于研究良结构的硬系统。

（X ） 在系统解析结构模型中，总是假定所涉及的关系具有传递性。

（V ）设某系统的单元 e 的先行集A （e i ）和可达集R （e i ）满足关系A （eJ= A （eJ n R （e ），贝U 8 一定是该系统的底层单元。

（V ） 层次分析法是一种定性分析方法。

（X ）只有当随机一致性指标 CR 空0.10时，判断矩阵才具有满意的一致性，否则就需要对判断矩阵进行调整。

（） 应用层次分析法时，要求判断矩阵必须具有完全一致性。

（X ） 投入产出法主要研究各部门的投入产出比。

第37卷第2期 2008年4月信息与控制Infor m ation and Contro lV o.l 37,N o .2A pr .,2008文章编号:1002-0411(2008)02-0135-05三阶离散扩张状态观测器的稳定性分析及其综合邵立伟1,廖晓钟1,夏元清1,韩京清2(1.北京理工大学,北京 100081; 2.中国科学院数学与系统科学研究院,北京 100080)收稿日期:2006-11-02摘 要:在连续扩张状态观测器(Ex tended S tate Observer ,ES O )结构的基础上,提出了一种离散形式的三阶ESO,并给出了稳定性分析.当系统扰动变化不是很快的时候,所提出的ES O 能够将状态估计误差和扰动估计误差限制在一个很小的范围内.仿真结果证明了理论分析的有效性.关键词:扩张状态观测器;自抗扰控制器;离散;稳定性中图分类号:T P13 文献标识码:AStability Analysis and Synthesis of Third O rder Discrete Extended State O bserverS HAO L-i w ei 1,2,LIAO X iao -zhong 1,2,XIA Yuan -qing 1,HAN Jing -q i n g3(1.B eiji ng In stit u t e of T ec hnolo gy,B eiji ng 100081,Ch ina;2.A c ade my ofM a t he ma tics and Syst e m S cie nces ,Chinese A c ade my of Sciences ,B eiji ng 100080,Ch ina )Ab stract :A d i scre te t h ird o rder ESO (Ex tended State O bserve r)is propo sed which is based on the frame o f t he continuous ESO,and the analysis of its stab ility is presented .W hen the dist urbances do no t vary too much ,the pro -posed ES O can render the esti m ati on errors of syste m states and dist urbances to be constra i ned i n a s m a ll bounded reg i on .Si m ulati on results sho w t he effecti veness o f the theo re ti ca l analysis .K ey words :ex tended state observe r ;acti ve auto dist urbance rejecti on contro ll er ;d iscrete ;stability1 引言(Introduction)扩张状态观测器[1](Extended Sta te Observer ,ESO)是自抗扰控制器[2](Acti v e D istur bance Re j e c -ti o n Contro ller ,ADRC )的核心单元,它不仅能得到不确定对象的状态,还能获得对象模型中的内扰和外扰的实时作用量,可以通过ESO 消除闭环系统的静差.闭环系统能够自动补偿对象模型的内扰和外扰,使其变为线性系统的标准形:积分器串联型,从而实现动态系统的动态反馈线性化.ESO 除了可以作为ADRC 的单元外,本身还有很多其他用途,如作为状态观测器可以观测系统状态,也可以用来滤波,还可以作为扰动观测器.在国内,ESO 的稳定性的研究一直为众多学者所关注[3],同时国外有关学者也在这方面进行了探索[4],但没有系统地提出ADRC 的思想.文[3]使用分段光滑的李亚普诺夫技术来分析和证明了二阶ESO 的稳态误差和稳定性.而自稳定域法[5~7]也已用于二阶ESO 的稳定性分析,并已经推广到三阶ESO 的稳定性与收敛性分析中,但是对于离散ESO 的形式与稳定性却没有讨论.本文根据连续ESO 的形式,提出了一种离散的线性ESO 结构,并进行了稳定性分析.理论分析证明,当扰动变化不是很快的时候,所提出的算法能将状态估计误差和扰动估计误差限制在很小的范围内,即误差的阶为O (T 2),其中T 为系统的采样周期.仿真实验表明,只要采样时间足够小,状态估计误差和扰动估计误差就能限制在足够小的范围内.2 问题描述(P roble m description)考虑如下S I SO 二阶系统x ##=f(x #,x,w (t))+bu y =x(1)其中f (x #,x,w (t))已经包含了系统内部结构的模型扰动和系统外扰,即系统的总扰动.令x 1=x,x 2=x #,d (t)=f (x #,x,w (t)),整理成状态空间方程为136信息与控制37卷x#1=x2x#2=d(t)+bu(2)令x(t)=x1x2,H=01,D=b,F=1,C=[10],得系统方程为x#(t)=H x(t)+D u+F d(t)y(t)=Cx(t)(3)对式(3)进行离散化,假设采样时间为T,采用zero-order-ho l d(ZOH)来离散对象模型[4],记x(k)=x(kT),y(k)=y(k T),u(k)=u(kT),d(k)=d(k T),离散化后得x(k+1)=Ax(k)+B u(k)+E d(k)+O(T2)y(k)=Cx(k)(4)其中A=exp(H T)=1T01,B=Q T0exp(H S)D d S=Tb,E=Q T0exp(H S)F d S=0T.而且未知扰动也转化成式(5)d(k)=Q T0e H S d((k+1)T-S)d S(5)为了设计离散的ESO,做如下假设.假设:采样时间足够小,以至于扰动f(x#,x,w(t))在两个相邻采样周期内变化不是很大,在这个前提下,式(6)成立.d(k+1)-d(k)I O(T2)(6)而且,如下关系成立O(T n)+O(T n+1)U O(T n)P n I N(7)3离散ESO稳定性分析(Stability analysisof discrete ES O)采用ZOH方法对连续线性ESO进行离散化,得到下面的离散形式z1(k+1)=z1(k)+T(z2(k)-B c01(z1(k)-x1(k)))z2(k+1)=z2(k)+T(q(k)-B c02(z1(k)-x1(k))+bu(k))q(k+1)=q(k)-T(B c03(z1(k)-x1(k)))(8)式中B c01、B c02、B c03分别为ESO的三个可调参数,z1是对x1的状态估计,z2是对x2的状态估计,q(k)是d(k)的估计值,这正体现了ESO的精髓,即将未知扰动作为系统一个扩张状态进行估计.令z(k)=z1(k)z2(k),y^(k)=Cz(k),B01=T B c01,B02=T B c02,B03=T B c03,L1=B01B02,L2=[B03],结合系统输出方程y(k)=x1(k),y^(k)=z1(k),整理式(8)得z(k+1)=Az(k)+B u(k)+E q(k)-L1(y^(k)-y(k))q(k+1)=q(k)-L2(y^(k)-y(k))y^(k)=Cz(k)(9)式(9)即得到的离散的ESO形式,其中L1、L2为ESO的可调参数,z为对系统状态的估计,q为对扰动的估计.对离散系统可以采用式(9)进行状态和扰动估计.定义状态误差e(k)=x(k)-x^(k),则输出估计误差为y~(k)=y(k)-y^(k)=Ce(k).从式(9)和式(4)得到误差方程为e(k+1)=(A-L1C)e(k)+E(d(k)-q(k))(10)令G(k)=d(k)-q(k),得G(k+1)=d(k+1)-q(k+1)=G(k)-(q(k+1)-q(k))+(d(k+1)-d(k))=G(k)-L2Ce(t)+(d(k+1)-d(k))(11)e(k+1)G(k+1)=A-L1C E-L2C Ie(k)G(k)+O(T2)d(k+1)-d(k)=(M-LG)e(k)G(k)+O(T2)(12)y~(k)=[C0]e(k)G(k)=Ge(k)G(k)(13)其中M=A E0I=1T001T001,L=L1L2=B01B02B03,G=[C0]=[100].式(12)中,O(T2)因为是T2的同阶无穷小,所以当采样周期T比较小的时,这项可以忽略,得到广义误差方程为e(k+1)G(k+1)=(M-LG)e(k)G(k)y~(k)(14)2期邵立伟等:三阶离散扩张状态观测器的稳定性分析及其综合137从式(14)可知,如果(M ,G )可观测,则(M -LG )能稳定,也就是说,如果(M ,G )可观测,则存在L 使(M -LG )是稳定的.因为GGM G M2=101T 012TT2,显然只要采样周期T 不等于0,则(M ,G )可观测,即存在L 使观测器稳定.下面对L 参数的具体要求进行分析.若要求所设计的ESO 稳定,需要(M ,G )可观测,则要求M -LG 的特征根均分布在单位圆内. M -LG 的特征多项式为t z I -(M -LG )t =z-1+B 01-T 0B 02z-1-TB 03z-1=z 3+(B 01-3)z 2+(T B 02-2B 01+3)z +(T 2B 03-T B 02+B 01-1)(15)令z =(w +1)/(w -1),代入式(15)中进行双线性变换,化简后得w 域特征方程T 2B 03w 3+(2T B 02-3T 2B 03)w 2+(4B 01-4T B 02+3T 2B 03)w +(8-4B 01+2T B 02-T 2B 03)=0(16)由Routh 判据可知M -LG 稳定的条件为T 2B 03>02T B 02-3T 2B 03>04B 01-4T B 02+3T 2B 03>08-4B 01+2T B 02-T 2B 03>0(2T B 02-3T 2B 03)(4B 01-4T B 02+3T 2B 03)>T 2B 03(8-4B 01+2T B 02-T 2B 03)(17)式(17)为离散ESO 稳定的条件,这可以为ESO 参数调节提供参考价值.由此可见,ESO 的稳定性与系统采样周期以及ESO 的系数都有关系.对以上的分析进行归纳可知,如果ESO 的参数能保证M -LG 是稳定的,则从式(14)中可知,当k y ]时,e (k )y 0且G (k )y 0,即 当k y ]时,x^(k)y x (k ),q (k )y d (k)(18)这样,尽管设计的离散ESO 不能提供百分之百的精确估计,但是它能保证估计误差在O (T 2)范围内,只要能够加快采样频率,那估计误差就能更小.所以,ESO 的稳定性与采样周期有关,其估计误差也与采样周期有关,采样周期越小,ESO 的估计误差就越小.自抗扰控制器(ADRC)利用跟踪微分器(Trac -k i n g D ifferentiator ,TD)来安排过渡过程并提取其微分信号,结合扩张状态观测器ESO 估计对象状态和不确定扰动作用,最后利用安排的过渡过程与状态估计之间误差的非线性组合(N on -L i n ear Co m b i n a -tion ,NLC )和扰动估计量的补偿来生成控制信号.对于时变、强非线性、强耦合、大时滞等广泛的被控对象,ADRC 均能给出很好的控制效果,系统的控制结构图如图1所示.图1 ADRC 的控制框图F i g.1 The con tro l frame o f ADRC4 仿真结果(Si m ulation results)仿真的对象为式(1)所示的二阶系统,x ##=f (x ,x #,t)+w (t)+uy =x其中,f (x,x #,t)=-t x t x #-0.2(x +cos x #)为模型的参数内扰,w (t)=0.5sgn(cos (t /2))为外部的扰动.由于仿真对象是一个非线性系统,采用常规PI 控制器很难对其进行控制,其阶跃响应控制效果如图2所示.可见,PI 控制器很难控制好阶跃信号,更别说跟踪方波等其它信号了.图2 P I 控制的阶跃响应曲线F i g.2 Step response curve w it h P I con tro l138 信 息 与 控 制37卷采用离散ESO 进行状态和扰动估计,结合AD-RC 进行控制.输入为方波信号,系统实验波形如图3~图7.图3 系统的输入信号F i g .3 T he i npu t si gna l o f system图4 ESO 的输出估计误差F i g .4 T he output esti m ate error o f ESO图5 ESO 的扰动估计误差F i g .5 T he d i sturbance esti m a te erro r o f ESO图6 系统的输出波形F i g.6 T he ou t put wave o f syste m图7 系统的跟踪误差F ig .7 The traci ng error of syste m图3~图7中,系统的采样时间为0.0001s ,图3为系统的给定信号,ESO 的输出(状态)估计误差如图4所示,扰动估计误差如图5所示,可见大部分时间,ESO 的估计精度很高.结合ADRC 控制后的输出波形为图6,图7为跟踪误差,可见,输出能很好地跟踪输入,跟踪的动态精度和稳态精度都很好,这正是得益于ESO 对状态和扰动的准确及时的估计,才使ADRC 能很好地控制这个非线性对象. 理论分析表明,ESO 的状态和扰动估计误差与系统的采样时间有直接关系.为了证明这点,保持ESO 的参数不变,将系统的采样时间变为0.005s ,得到的系统波形为图8~图11.可见,采样时间变大以后,ESO 的状态估计误差和扰动估计误差都变大了,以至于ADRC 不能通过ESO 对状态和扰动的准确估计来对系统进行很好的控制,此时,系统的输出波形如图8所示.这说明,ESO 的估计准确性与采样时间有很大关系,采样越快,ESO 的估计误差就越小.2期邵立伟等:三阶离散扩张状态观测器的稳定性分析及其综合139图8 采样周期变大后ESO 的输出观测误差F i g.8 T he ou t put esti m a te erro r o f ES O w hen samp li ngti m e is larg er图9 采样周期变大后ESO 的扰动估计误差F i g .9 T he disturbance esti m ate error of ESO whensamp li ng ti m e is larger图10 变采样时间后的系统跟踪曲线F ig .10 T he syste m trac i ng curve when sa m pli ng ti m e i s l arger5 结论(Conclusion)本文根据连续ESO 的形式,提出了一种离散形图11 变采样时间后的系统跟踪误差F i g .11 The sy stem trac i ng erro r when sa m pli ng ti m e is larger式的ESO 观测器,并且从理论上分析了ESO 的稳定性,得出ESO 的状态估计误差和扰动估计误差与系统的采样时间有直接关系,采样时间越小,ESO 的估计准确度就越高,从而利用ADRC 的闭环控制效果就越好.本文还给出ESO 参数稳定时应该满足的条件,对ESO 的调节有着一定的指导意义.仿真结果证明了理论分析的有效性.参 考 文 献(R eferences)[1] 韩京清.一类不确定对象的扩张状态观测器[J].控制与决策,1995,10(1):85~88.[2] 韩京清.自抗扰控制器及其应用[J].控制与决策,1998,13(1):19~23.[3] 韩京清,张荣.二阶扩张状态观测器的误差分析[J].系统科学与数学,1999,19(4):465~471.[4]C hang J L.App l ying d i screte -ti m e proportional integral observers f or state and d i s t urb ance es ti m ations [J].I EEE T ran s acti on s onAuto m atic C ontro,l 2006,51(5):814~818.[5] 夏元清,黄焕袍,韩京清.不确定时滞系统ADRC 控制[J ].中南工业大学学报,2003,34(4):383~385.[6] 黄一,韩京清.非线性连续二阶扩张状态观测器的分析与设计[J ].科学通报,2000,45(13):1373~1379.[7] 要晓梅,王庆林,韩京清.大纯滞后纯积分对象的二阶自抗扰控制[J].控制工程,2002,9(6):7~9,17.作者简介邵立伟(1979-),男,博士,助理研究员.研究领域为非线性控制,电机控制.廖晓钟(1962-),女,博士,教授,博士生导师.研究领域为电力电子,电气传动.。