湖北省黄冈中学届高三年级十一月月考数学数学文

湖北省黄冈市罗田县2022届高三数学上学期11月月考试题 文一、单项选择题1．命题:0p x ∀>,总有()1e 1xx +≥,那么p ⌝为A ．00x ∃>,使得()001e 1x x +<B ．00x ∃<,使得()001e 1x x +<C ．0x ∀>,总有()1e 1xx +≤ D ．0x ∀≤,总有()1e 1xx +≤2．在一个棱长为3cm 的正方体的外表涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体外表有三个面涂有颜色的概率是〔 〕 A ．49B ．827C ．29D ．1273．函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中0,0,||2A πωϕ>><〕的图象如下图，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点〔 〕A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度4．执行如下图的程序框图，假设输出的值为﹣2，那么判断框①中可以填入的条件是〔 〕 A ．n ≥999B ．n ＜9999C ．n ≤9999D ．n<9995. 某高校为调查学生喜欢“应用统计〞课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表： 临界值参考:〔参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++〕参照附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计〞课程与性别有关〞B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计〞课程与性别无关〞C ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计〞课程与性别有关〞D ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计〞课程与性别无关〞6．在△ABC 中，向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=，且0AB AC ABAC⋅=，那么△ABC为〔〕A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．等腰直角三角形7．双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，假设直线2F H 的斜率为33-，那么双曲线C 的离心率为( ) A ．2B ．3C ．2D ．38.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半〞假设银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,那么得银最少的3个人一共得银 A.两B.889127两 C. 111131两 D. 84031两9．设01a a >≠且，设函数()log xa f x a x =-，那么当a 变化时，函数()f x 的零点个数可能是〔 〕A.1个或2个B.1个或3个C.2个或3个D.1个或2个或3个10．小金同学在学校中贯彻着“在玩中学〞的学风，他在“汉诺塔〞的游戏中发现了数列递推的微妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上〞的情况，现要将这六个圆环全部套到B 木桩上，那么所需的最少次数为〔 〕 A ．69B ．64C ．61D ．6311．定义在R 上的函数()g x ，其导函数为()g x '，假设3()()g x g x x =-+，且当0x 时，23()2g x x >'，那么不等式22(1)2()331g x g x x x <++-+的解集为( ) A ．1(2-，0) B ．1(,)2-∞- C ．1(2，)+∞ D ．1(,)2-∞12．定义在R 上的函数()f x 假设满足：①对任意1x 、()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，那么称函数()f x 为“中心撇函数〞，点(),a b 称为函数()f x 的中心.函数()32y f x =++是以()3,2-为中心的“中心撇函数〞，且满足不等式()()2233f m n f n m -≤--+，当3,02n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2m n +的取值范围为〔 〕A ．[]6,0-B ．[]2,0-C ．[]2,4D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦二、填空题13．复数11i z i-=+(i 为虚数单位），那么____z = 14.在平面直角坐标系xOy 中,抛物线的准线为l ,直线l 与双曲线22123x y -=的两条渐近线分别交于A,B 两点,3AB =那么p 的值为______．15.在中,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,2222a b c ab +-=,且sin 3sin ac B C =,那么的面积为______．16．如图，在边长为3正方体1111ABCD A B C D -中，E 为BC 的中点，点P 在正方体的外表上移动，且满足11B P D E ⊥，当P 在CC 1上时，AP=_______,点1B 和满足条件的所有点P 构成的平面图形的面积是_______. 三、解答题17．向量(2cos 6),(3cos 3)a x x b x x ==-，函数()2f x a b m =⋅-，且当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，时，()f x 的最大值为1-.〔1〕求m 的值，并求()f x 的单调递减区间；〔2〕先将函数()y f x =的图象上所有点的横坐标缩小到原来的23倍〔纵坐标不变〕，再将所得图象向左平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，求方程11()2g x =-在区间2[0,]3π上所有根之和.18．函数()tan f x x =-，函数()y f x =在()0,∞+上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()Nn a n *∈．〔1〕求数列{}n a 的通项公式；〔2〕设232(3)(321)nn a b n n n π=++-，求数列{}n b 的前n 项和n S . 19．在四棱锥P ABCD -中，090ABC ACD ∠=∠=,060BAC CAD ∠=∠=，PA ABCD ⊥平面，E 为PD 中点，M 为AD 中点，F 为PC 中点,23PA AB ==．〔1〕求证： //EF 平面ABCD ； 〔2〕证明：AF⊥平面PCD ；〔3〕求三棱锥E ACF -的体积.20．椭圆C 的中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2x =-的焦点，. (1)求椭圆C 的标准方程；(2)过椭圆C 的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于,A B 两点(异于左右顶点)，椭圆C 的左顶点为D ，试判断直线AD 的斜率与直线BD 的斜率之积与12-的大小，并说明理由. 21．函数()()ln 1,f x mx x e m R e =-++∈为自然数2.71828.〔1〕假设函数()f x 存在不小于3e +的极小值，求实数m 的取值范围； 〔2〕当1m =-时，假设对[),x e ∀∈+∞，不等式()()0x ex e e af x --+≥恒成立，求实数a 的取值范围.22．曲线1C：sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭和2C：(sin x y θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且两种坐标系中取相同的长度单位. 〔Ⅰ〕求出1C ，2C 的普通方程.〔Ⅱ〕假设曲线2C 上的点M 到曲线1C 的距离等于为d ，求d 的最大值并求出此时点M 的坐标；23．函数()1f x x x x a =---.〔I 〕当2a =时，求不等式()1f x <的解集；〔II 〕假设()1,x ∈+∞时，()2f x x >-恒成立，求实数a 的取值范围.文科数学一、单项选择题1．命题:0p x ∀>,总有()1e 1xx +≥,那么p ⌝为A ．00x ∃>,使得()001e 1x x +<B ．00x ∃<,使得()001e 1x x +<C ．0x ∀>,总有()1e 1xx +≤ D ．0x ∀≤,总有()1e 1xx +≤ 【答案】A 【解析】 【详解】命题的否认是对命题结论的否认，全称命题的否认是特称命题， 因此p ⌝为00x ∃>,使得()001e 1xx +<，应选A.2．在一个棱长为3cm 的正方体的外表涂上颜色，将其分割成27个棱长为1cm 的小正方体，全部放入不透明的口袋中，搅拌均匀后，从中任取一个，取出的小正方体外表有三个面涂有颜色的概率是〔〕 A ．49B ．827C ．29D ．127【答案】B 【解析】 【分析】由在27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体外表有三个面涂有颜色，有8种结果，根据古典概型及其概率的计算公式，即可求解． 【详解】由题意，在27个小正方体中，恰好有三个面都涂色有颜色的共有8个，恰好有两个都涂有颜色的共12个，恰好有一个面都涂有颜色的共6个，外表没涂颜色的1个，可得试验发生包含的事件是从27个小正方体中选一个正方体，共有27种结果，满足条件的事件是取出的小正方体外表有三个面都涂色，有8种结果，所以所求概率为827． 应选：B ．3．函数()sin()f x A x ωϕ=+〔其中0,0,||2A πωϕ>><〕的图象如下图，为了得到()sin g x A x ω=的图象，只需把()y f x =的图象上所有的点〔 〕A ．向右平移6π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移12π个单位长度D ．向左平移12π个单位长度【答案】A 【解析】 【分析】由图象求得函数解析式的参数，再利用诱导公式将异名函数化为同名函数根据图象间平移方法求解. 【详解】由图象可知1A =，又712344Tπππ-==，所以T π=， 又因为2T πω=，所以2ω=，所以()()sin 2f x x ϕ=+，又因为771,sin 211212f ππϕ⎛⎫⎛⎫=-∴⨯+=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，又||2ϕπ<，所以,3πϕ= 所以()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，又因为()sin 2g x x =，故只需向右平移6π个单位长度. 应选A.4．执行如下图的程序框图，假设输出的值为﹣2，那么判断框①中可以填入的条件是〔 〕 A ．n ≥999 B ．n ＜9999 C ．n ≤9999D ．n<999【答案】B 【解析】 【分析】分析循环结构中求和式子的特点，可到最终结果：2lg(1)S n =-+，当2S =-时计算n 的值，此时再确定判断框的内容. 【详解】由图可得：2lg1lg 2lg 2lg3...lg lg(1)S n n =+-+-++-+，那么2lg(1)2S n =-+=-，所以9999n =，因为此时需退出循环，所以填写：9999n <. 应选：B.6. 某高校为调查学生喜欢“应用统计〞课程是否与性别有关，随机抽取了选修课程的55名学生，得到数据如下表： 临界值参考:〔参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++〕参照附表，得到的正确结论是A ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计〞课程与性别有关〞B ．在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计〞课程与性别无关〞C ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计〞课程与性别有关〞D ．有99.99%以上的把握认为“喜欢“应用统计〞课程与性别无关〞【答案】A由公式2255(2020105)11.97810.82830252530K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，有99.9%的把握认为喜欢统计专业与性别有关；即在犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“喜欢“应用统计〞课程与性别有关〞，应选A. 6．在△ABC 中，向量AB 与AC 满足()0AB AC BC ABAC+⋅=，且0AB AC ABAC⋅=，那么△ABC为〔〕 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】D 【详解】解:0||||AB AC BC AB AC ⎛⎫+⋅= ⎪⎝⎭,A ∴∠的角平分线与BC 垂直,AB AC ∴=,cos 0||||AB AC A AB AC =⋅= 2A π∴∠=∴三角形为等腰直角三角形,应选D ．7．双曲线2222:1(,0)x y C a b a b-=>的左、右焦点分别为12,F F ，过2F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为H ，假设直线2F H 的斜率为33-，那么双曲线C 的离心率为( ) A ．2 B ．3C ．2D ．3【答案】A 【详解】由题意可知,渐近线方程为b y x a=±，由223,303F H k HF O =-∠=所以，260,tan 603b HOF a ∠===所以即，224c a=所以,故2c a =答案选A.8.元代数学家朱世杰在算学启蒙中提及如下问题：今有银一秤一斤十两秤=10斤,1斤=10两,令甲、乙、丙从上作折半差分之,问：各得几何？其意思是：“现有银一秤一斤十两,现将银分给甲、乙、丙三人,他们三人每一个人所得是前一个人所得的一半〞假设银的数量不变,按此法将银依次分给5个人,那么得银最少的3个人一共得银 A.两B.889127两 C. 111131两 D. 84031两【答案】D 【解答】解：一秤一斤十两共120两,将这5人所得银两数量由小到大记为数列,那么是公比的等比数列,于是得55115(1)(12)120112a q a S q --===--,解得112031a =,故得银最少的3个人一共得银数为2123120840(122)3131a a a ++=++=(两． 应选D ．9．设01a a >≠且，设函数()log xa f x a x =-，那么当a 变化时，函数()f x 的零点个数可能是〔 〕A.1个或2个B.1个或3个C.2个或3个D.1个或2个或3个【答案】D【解析】将零点问题化归为函数图像交点问题，然后由数形结合可知，存在以下三种情况： 10．小金同学在学校中贯彻着“在玩中学〞的学风，他在“汉诺塔〞的游戏中发现了数列递推的微妙：有A 、B 、C 三个木桩，A 木桩上套有编号分别为1、2、3、4、5、6的六个圆环，规定每次只能将一个圆环从一个木桩移动到另一个木桩，且任意一个木桩上不能出现“编号较大的圆环在编号较小的圆环之上〞的情况，现要将这六个圆环全部套到B 木桩上，那么所需的最少次数为〔 〕 A ．69 B ．64C ．61D ．63【答案】D 【解析】假设A 桩上有1n +个圆环，将1n +个圆环从A 木桩全部套到B 木桩上，需要最少的次数为1n a +，可这样操作，先将n 个圆环从A 木桩全部套到C 木桩上，至少需要的次数为n a ，然后将最大的圆环从A 木桩套在B 木桩上，需要1次，在将C 木桩上n 个圆环从C 木桩套到B 木桩上，至少需要的次数为n a ，所以，121n n a a +=+，易知11a =. 设()12n n a x a x ++=+，得12n n a a x +=+，比照121n n a a +=+得1x =，()1121n n a a +∴+=+，1121n n a a ++∴=+且112a +=，所以，数列{}1n a +是以2为首项，以2为公比的等比数列，5612264a ∴+=⨯=，因此，663a =，应选：D.11．定义在R 上的函数()g x ，其导函数为()g x '，假设3()()g x g x x =-+，且当0x 时，23()2g x x >'，那么不等式22(1)2()331g x g x x x <++-+的解集为( ) A ．1(2-，0) B ．1(,)2-∞- C ．1(2，)+∞ D ．1(,)2-∞【答案】B 【详解】定义在R 上的函数()g x ，3()()g x g x x =-+，()333()()()222x x x g x g x g x --=-+=--， 令3()()2x h x g x =-，那么()()h x h x =-()h x ∴为偶函数23()()2x h x g x '='-，又当0x 时，23()2x g x >'， ()0h x ∴'>，()h x 在[0，)+∞为增函数，且()h x 在(,0)-∞为减函数不等式332(1)2(1)2()331()(1)22x x g x g x x x g x g x ++-<+⇔-+->+即()(1)1h x h x x x >+∴>+解得12x <-，应选B ． 12．定义在R 上的函数()f x 假设满足：①对任意1x 、()212x x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦；②对任意x ，都有()()2f a x f a x b ++-=，那么称函数()f x 为“中心撇函数〞，点(),a b 称为函数()f x 的中心.函数()32y f x =++是以()3,2-为中心的“中心撇函数〞，且满足不等式()()2233f m n f n m -≤--+，当3,02n ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，2m n +的取值范围为〔 〕A ．[]6,0-B ．[]2,0-C ．[]2,4D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【详解】由()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦知此函数为增函数.由函数()32y f x =++是关于()3,2-的“中心撇函数〞，知曲线()32y f x =++关于点()3,2-对称，故曲线()y f x =关于原点对称，故函数()y f x =为奇函数，且函数()y f x =在R 上递增，于是得()()2233f m n f n m -≤-，2233m n n m ∴-≤-.22330m n m n ∴-+-≤，()()30m n m n ∴-++≤⎡⎤⎣⎦.那么问题转化为在线性约束条件()()30302m n m n n ⎧-++≤⎡⎤⎣⎦⎪⎨-≤≤⎪⎩下，求2m n +的取值范围。

湖北省黄冈市武穴中学2015届高三上学期11月月考数学试卷（文科）一、选择题（5分&#215;10=50分）1．设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，函数f（x）=ln（x2﹣4x）的定义域为N，则M∩N=( )A．[﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2]C．（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪（4，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由偶次根号下被开方数大于等于零、对数的真数大于零，分别求出函数的定义域M、N，再由交集的运算求出M∩N．解答：解：由4﹣x2≥0得，﹣2≤x≤2，则函数f（x）=的定义域为M=[﹣2，2]，由x2﹣4x＞0得，x＞4或x＜0，则函数f（x）=ln（x2﹣4x）的定义域为N=（﹣∞，0）∪（4，+∞），所以M∩N=[﹣2，0），故选：A．点评：本题考查交集及其运算，以及函数的定义域的求法，属于基础题．2．函数f（x）的图象由函数g（x）=4sinxcosx的图象向左平移个单位得到，则=( )A．﹣1 B．1 C．﹣D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由倍角公式化简函数g（x），然后利用函数图象的平移得到函数f（x），然后直接求得．解答：解：g（x）=4sinxcosx=2sin2x，f（x）=g（x+）=2sin2（x+）=2sin（2x+），则==2cos=2×（）=﹣1．故选：A．点评：本题考查了三角函数的图象变换，考查了三角函数的求值，是基础题．3．“x＞0，y＞0”是“xy＞0”成立的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由x＞0，y＞0能推出xy＞0，是充分条件，由xy＞0，推不出x＞0，y＞0，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥cosx”发生的概率为( ) A．B．C．D．1考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先化简不等式，确定满足sinx≥cosx即sin（x﹣）≥0在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．解答：解：∵sinx≥cosx，x∈[0，π]，∴≤x≤π，∴事件“sinx≥cosx”发生的概率为=．故选C．点评：本题考查几何概型，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．5．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是( )A．y=B．y=e x﹣e﹣x C．y=xsinx D．y=lg考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据奇偶函数的定义及基本函数的单调性逐项判断即可得到答案．解答：解：A中，∵y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，∴y=为非奇非偶函数，故排除A；B中，∵e﹣x﹣e﹣（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x），∴y=e x﹣e﹣x是奇函数，又e x递增，﹣e﹣x递增，∴y=e x﹣e﹣x是（0，1）内的增函数；C中，∵﹣xsin（﹣x）=xsinx，∴y=xsinx为定义域上的偶函数，故排除B；D中，y=lg=lg（﹣1+），∵lgt递增，t=﹣1+在（0，1）上递减，∴y=lg在（0，1）上递减，故排除D；故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．6．如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则•=( )A．B．C．R D．R考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据AC为半径，C圆心，AB为弦，可得在上的投影为||，再根据•=||•||，计算求得结果．解答：解：由于AC为半径，C圆心，AB为弦，故在上的投影为||，∴•=||•||=×5×5=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于中档题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．πC．D．2π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球，且圆柱的高与底面圆的直径都是2，挖去半球的直径为2，再根据球与圆柱的体积公式计算即可．解答：解：由三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球，且圆柱的高与底面圆的直径都是2，挖去半球的直径为2，∴几何体的体积V=π×12×2﹣π×13=．故选A．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．8．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．解答：解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．9．设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，且当x＞0时有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）．若f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集是( ) A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：首先，因为g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，所以f（x）＞0式的解集等价于＞0的解集．由当x＞0时有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可以证明的单调性，从而使问题得解．解答：解：首先，因为g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，所以f（x）＞0式的解集等价于＞0的解集．下面我们重点研究的函数特性．因为当x＞0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），所以当x＞0，．也就是，当x＞0时，是递减的．由f（1）=0得=0．所以有递减性质，（0，1）有0．由f（x）是奇函数，f（﹣1）=0，x＜﹣1时，＞0 不等f（x）＞0式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故选C．点评：解答本题的关键是根据已知条件，结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化，是高中阶段必须要掌握的一种方法．10．定义域为R的函数，若关于x的函数有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12+x22+x32+x42+x52等于( )A．B．16 C．5 D．15考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：作出f（x）的图象，由图知，只有当f（x）=1时有两解，欲使关于x的方程有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则必有f（x）=1这个等式，由根与系数的关系得另一个根是f（x）=，从而可得5个根的平方和，问题得到解决．解答：解：作出f（x）的图象：由图知，只有当f（x）=1时有两解；∵关于x的方程f2（x）+bf（x）=0有5个不同的实数解：x1，x2，x3，x4，x5，∴必有f（x）=1，从而x1=1，x2=2，x3=0．由根与系数的关系得另一个根是f（x）=，从而得x4=3，x5=﹣1．∴原方程的五个根分别为：﹣1，0，1，2，3，故可得x12+x22+x32+x42+x52=15．故选D．点评：本题考查复合函数的零点问题，复合函数的零点的问题，必须要将f（x）看成整体，利用整体思想解决．数形结合也是解决此题的关键，利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．二、填空题（5&#215;7=35分）11．设函数f（x）=，则f（f（4））的值为．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（4）=，由此能求出f（f（4））=f（）=1﹣=．解答：解：∵f（x）=，∴f（4）=，f（f（4））=f（）=1﹣=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．12．已知A是角α终边上一点，且A点的坐标为（，），则=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的定义可求得sinα=，cosα=，代入所求关系式计算即可．解答：解：∵sinα=，cosα=，∴==，故答案为：．点评：本题考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．13．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=5．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3=5=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．解答：解：由等比数列的性质知，a 1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以．故答案为点评：本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．14．已知函数，若f（x）在（0，+∞）上单调递减，则实数的取值范围为．考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：利用分段函数单调性的性质，要使函数在（0，+∞）上单调递减，需满足三个条件，两段函数分别为减函数，且x=1时，对数值不小于一次函数值，解不等式即可解答：解：若f（x）在（0，+∞）上单调递减需解得a∈故答案为点评：本题主要考查了一次函数、对数函数的单调性，分段函数单调性的应用，把握基本初等函数的单调性，注意分段函数单调性的特殊性是解决本题的关键15．已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2=2上两点，且∠AOB=120°，则x1x2+y1y2=﹣1．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，x1x2+y1y2=，利用向量的数量积公式，即可得到结论．解答：解：由题意，x1x2+y1y2=∵A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2=2上两点，且∠AOB=120°，∴===﹣1故答案为：﹣1．点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．点P（x，y）为不等式组表示的平面区域上一点，则x+2y取值范围为[﹣2，]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A（0，﹣1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小，为z=﹣2，当直线y=﹣在第一象限内和圆相切时，此时z最大．则圆心到直线x+2y﹣z=0的距离d=，解得z=，∴z的最大值为．﹣2，故x+2y取值范围是[﹣2，]，故答案为：[﹣2，]．点评：本题主要考查线性规划的应用，作出平面区域，利用数形结合以及直线和圆的位置关系是解决本题的关键．17．如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=x2；②y=e x+1；③y=2x﹣sinx；④．以上函数是“H函数”的所有序号为②③．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f （x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=x2在定义域上不单调．不满足条件．②y=e x+1为增函数，满足条件．③y=2x﹣sinx，y′=2﹣cosx＞0，函数单调递增，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题（65分）18．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．考点：正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．（Ⅱ）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2﹣ab ②，由①②求得a、b的值．解答：解：（I）∵==．令，解得，即，∵，∴f（x）的递增区间为．（Ⅱ）由，得．而C∈（0，π），∴，∴，可得．∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴，由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+b2﹣ab ②，由①、②解得．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．19．在数列{a n}中，a1=1，对任意n∈N*，都有．（Ⅰ）证明：数列{b n}为等差数列，并求出a n；（Ⅱ）设数列{a n•a n+1}的前n项和为T n，求证：．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得b n+1﹣b n===2，由此能证明数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，从而求出a n=．（Ⅱ）由a n•a n+1==，利用裂项求和法能证明．解答：（Ⅰ）证明：∵在数列{a n}中，a1=1，对任意n∈N*，都有．b n+1﹣b n===2，又=1，∴数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n=2n﹣1，∴=2n﹣1，∴a n=．（Ⅱ）解：∵a n•a n+1==，∴T n=（1﹣+…+）=（1﹣）=﹣，∴．点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围．解答：解：（1）由题意得y=[1.2×（1+0.75x）﹣1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）整理得y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即解不等式得．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜0.33．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线l与直线4x+3y﹣3=0垂直，求实数a的值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：ln（n+1）＞++…+（n∈N*）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出原函数的导函数，得到f′（1），由y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线l与直线4x+3y﹣3=0垂直列式求得a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的导函数可知，当a≤0时不合题意，当a＞0时求出函数的单调区间，进一步求出函数的最大值，由最大值小于等于0求解a的范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得lnx＜x﹣1在x∈（0，1]上恒成立．令得到，然后分别取n=1，2，3，…，累加后证得答案．解答：（Ⅰ）解：函数f（x）=lnx﹣ax+1的定义域为（0，+∞），．∴f′（1）=1﹣a．又切线l与直线4x+3y﹣3=0垂直，∴，解得；（Ⅱ）解：若a≤0，则，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．而f（1）=1﹣a，f（x）≤0不成立，故a＞0．若a＞0，则当时，；当时，．∴f（x）在上是增函数，在上是减函数．∴f（x）的最大值为．要使f（x）≤0恒成立，只需﹣lna≤0，解得a≥1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，且f（x）在（0，1]上是增函数，又f（1）=0，∴lnx＜x﹣1在x∈（0，1]上恒成立．令，则，令n=1，2，3…n，则有．以上各式两边分别相加，得．即，故．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，训练了利用放缩法和累加法证明不等式，是压轴题．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F2到直线+=0的距离为1．（1）求椭圆的C方程；（2）已知直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于M、N两点，在轴x上是否存在定点E，使•为定值？若存在，求出E点的坐标和定值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意得e=，，由此能求出椭圆的方程．（2）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出为定值时，定点为E（）．解答：解：（1）由e=，得c=，①又在右焦点F2（c，0）到直线的距离为d=1，得，②由①②，得a2=6，b2=2，∴椭圆的方程为．（2）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），∴，，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）=+（4k2+m2）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•=，更使上式为定值，即与k无关，则应使3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），解得m=，此时为定值，定点为E（）．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查使向量的数量积为定值的x轴上的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。

2021-2022学年湖北省黄冈市高级中学高三数学文月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列函数是在(0,1)为减函数的是（）A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据对数函数、指数函数、余弦函数、反比例函数的单调性即可找出正确选项．【详解】对数函数，底数大于1时，在上增函数，不满足题意；指数函数，底数大于1时，上增函数，不满足题意；余弦函数，从最高点往下走，即上为减函数；反比例型函数，在与上分别为减函数，不满足题意；故选：C.【点睛】考查余弦函数，指数函数，正弦函数，以及正切函数的单调性，熟悉基本函数的图象性质是关键．2. 在复平面内，复数对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：D【考点】复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念．【分析】利用两个复数代数形式的乘法，以及虚数单位i的幂运算性质，求得复数为，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），从而得出结论．【解答】解：∵复数==，它在复平面内对应的点的坐标为（，﹣），故选D．【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，复数与复平面内对应点之间的关系，属于基础题．3. 复数在复平面内对应的点与原点的距离为A．1 B．C．D．2参考答案：4. 椭圆的离心率为A． B．C． D．参考答案：5. 若，则实数的值为( )A. B. C. D.参考答案：A由得，，故选A.6. 已知为锐角，且，则(A) (B) (C) (D)参考答案：C略7. 变量x、y满足条件，则（x﹣2）2+y2的最小值为（）A．B．C．D．5参考答案：D【考点】简单线性规划．【专题】不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，利用距离公式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域，设z=（x﹣2）2+y2，则z的几何意义为区域内的点到定点D（2，0）的距离的平方，由图象知CD的距离最小，此时z最小．由得，即C（0，1），此时z=（x﹣2）2+y2=4+1=5，故选：D．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义以及两点间的距离公式，利用数形结合是解决此类问题的基本方法．8. 函数的图象是（）参考答案：D9.已知是不共线的向量那么A、B、C三点共线的充要条件是A． B． C． D．参考答案：答案：D10. 平行四边形中，，，，，则的值为（）A．10 B．12 C. 14 D．16参考答案：D因为平行四边形中，，，，，所以，，，故选D.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值为 .参考答案：12. “无字证明”(proofs without words)，就是将数学命题用简单、有创意而且易于理解的几何图形来呈现．请利用图甲、图乙中阴影部分的面积关系，写出该图所验证的一个三角恒等变换公式：．参考答案：13. 设a>0,b>0, 若a+b=1，则的最小值是.参考答案：26略14. 如图是某学校学生体重的频率分布直方图，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，第2小组的频数为10，则抽取的学生人数是。

高三月考数学试卷（答案在最后）一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知集合A =x 0<<,B =x 1<<2,若B A ⊆，则实数a 的取值范围为（）A.()2,∞+ B.[)2,∞+ C.()0,2 D.(]0,22.已知,p q 为实数，1i -是关于x 的方程20x px q ++=的一个根，则p q -=（）A.2- B.2C.4D.4-3.设a，b 均为非零向量，且()a ab ⊥- ，2b a = ，则a 与b 的夹角为（）A.3π B.4π C.6π D.23π4.若35log 2a =，0.115b -⎛⎫= ⎪⎝⎭，0.125c -⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 的大小关系为（）.A.c a b << B.a b c<< C.a c b<< D.c b a<<5.已知等比数列{}n a 的前3项和为28，0n a >且5256a a -=，则6a =（）A.28B.56C.64D.1286.已知02πβα<<<，()4sin 5αβ-=，tan tan 2αβ⋅=，则sin sin αβ=（）A.15B.25C.12D.227.球O 与棱长为2的正方体ABCD −A 1B 1C 1D 1的各个面都相切，点M 为棱DD 1的中点，则平面ACM 截球O 所得截面的面积为()A.4π3B.πC.2π3D.π38荀子《劝学》：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这告诉我们中学生要不断学习才能有巨大的进步.假设学生甲和学生乙刚开始的“日学习能力值”相同，学生甲的“日学习能力值”都在前一天的基础上提高1%，而学生乙的“日学习能力值”与前一天相同，那么当学生甲的“日学习能力值”是学生乙的2倍时，大约经过了（）（参考数据：lg101 2.0043,lg20.3010≈≈）A.60天B.65天C.70天D.75天二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分9.某老师想了解班上学生的身高情况，他随机选取了班上6名男同学，得到他们的身高的一组数据（单位：厘米）分别为167,170,172,178,184,185，则下列说法正确的是（）A.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的平均值会变大B.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的方差会变小C.若去掉一个最高身高和一个最低身高，则身高的极差会变小D.这组数据的第75百分位数为18110.已知实数a ，b 满足()lg lg lg 4a b a b +=+，则下列结论正确的是（）A.a b +的最小值为9 B.1ab 的最大值为14D.lg lg a b +的最小值为4lg211..已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，若(31)f x +是偶函数，且(2)(2)f x f x +--=x ，令()()g x f x '=，则下列说法正确的是A.函数1(2)2y x f x =-+是奇函数B.(1)g =C.函数()g x 的图象关于点(3,1)对称D.26i 1325(i)2g ==∑三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

2020届湖北省黄冈市高三上学期11月月考数学试题一、单选题1．设集合{}21log 3A x x =≤≤，{}2340B x x x =--<，则A B =（ ）A ．()1,2-B ．(]1,8-C ．[)2,4D ．[]4,8【答案】B【解析】求出集合A ，集合B ，然后求交集即可. 【详解】解：因为{}28A x x =≤≤，{}14B x x =-<<， 所以{}18A B x x ⋃=-<≤. 故选：B. 【点睛】本题考查集合交集的运算，以及对数不等式，二次不等式的求解，是基础题. 2．复数z 满足()251iz i i ++=，则复数z 的共轭复数的虚部为（ ） A ．72B ．72i -C ．72- D ．72i【答案】A【解析】利用复数的乘除运算求出复数z 的代数形式，再求出其共轭复数，确认其虚部即可. 【详解】 因为()()()()()25+125257337111+1222i i i i i z i i i i i i +++-=====-+---，所以3722z i =+， 其虚部为72.故选：A. 【点睛】本题考查复数的乘除运算，以及对共轭复数的认识，是基础题.3．已知向量()1,2a =，(),3b m =，若()2a a b ⊥-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ）A ．10B C D【答案】D【解析】先求出2a b -，再根据条件()2a a b ⊥-，利用向量的坐标运算，列方程求出m 的值，然后只需要利用夹角公式即可求出a 与b 夹角的余弦值.【详解】()1,2a =，(),3b m =，∴()221a b m -=-,.又()2a a b ⊥-，∴220m -+=，解得4m =，即()4,3b =，故()25cos ,55a a ab b b⋅===⨯.故选：D. 【点睛】本题考查向量垂直的坐标运算以及向量夹角公式，是基础题. 4．函数()cos 22x xx xf x --=-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】利用排除法，根据奇偶性，可以判断B ；根据2f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负值，可以判断D ；根据6f π⎛⎫⎪⎝⎭的正负值，可以判断C ；进而可得出结果. 【详解】 因为()()cos 22x xx xf x f x -+-=≠--，所以排除B ；因为02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以排除D ； 因为06f π⎛⎫<⎪⎝⎭，所以排除C . 故选：A. 【点睛】本题考查利用排除法进行图像的识别，通过函数的性质，通过特殊点对应的函数的正负，均可达到排除的目的，是基础题.5．鸡兔同笼，是中国古代著名的趣味题之一.《孙子算经》中就有这样的记载：今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各有几何？设计如右图的算法来解决这个问题，则判断框中应填入的是（ ）A ．94m >B ．94m =C ．35m =D ．35m ≤【答案】B【解析】由题意知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意可得出判断条件. 【详解】由题意可知i 为鸡的数量，j 为兔的数量，m 为足的数量，根据题意知，在程序框图中，当计算足的数量为94时，算法结束，因此，判断条件应填入“94m =”. 故选：B. 【点睛】本题考查算法程序框图中判断条件的填写，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．若x ，y 满足约束条件10,0,0,x y x y y -+≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-的最小值为（ ）A ．1-B ．3-C ．0D ．2-【答案】D【解析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案． 【详解】 作出可行域，如图可知当直线2y x z =-过()10A -,时，2z x y =-取最小值2-. 故选D. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题． 7．下面有四个命题：①“x ∀∈R ，0x e >”的否定是“0x ∃∈R ，00x e ≤”； ②命题“若6πθ=，则3cos θ=”的否命题是“若6πθ=，则3cos θ≠③“ln ln m n <”是“m n e e <”的必要不充分条件： ④若命题p 为真命题，q 为假命题，则p q ∨为真命题. 其中所有正确命题的编号是 A ．①②④B ．①③C ．①④D ．②④【答案】C【解析】通过全称命题的否定来判断①； 通过否命题的写法来判断②；通过指数，对数不等式的解来确定充分性和必要性来判断③； 通过复合命题的真假关系来判断④. 【详解】全称命题的否定是特称命题，所以①正确；命题“若6πθ=，则cos 2θ=”的否命题是“若6πθ≠，则cos 2θ≠”，所以②错误；由ln ln m n <，可得0m n <<，而由m n e e <”，可得m n <，则“ln ln m n <”是“m n e e <”的充分不必要条件，所以③错误；命题p 为真，q 为假，则p q ∨为真命题，所以④正确. 故选：C. 【点睛】本题考查命题的真假的判断，涉及的知识点较多，综合性强，但难度不大． 8．已知()f x 是周期为4的奇函数，且当()2,0x ∈-时，()2axf x =-.若()441log 805f +=.则a =（ ） A ．1- B ．2-C ．1D ．2【答案】D【解析】利用周期性和奇偶性，将()41log 80f +变形为(21log f -，代入()2ax f x =-，即可解得a 的值.【详解】因为()()4441log 803log 55f f +=+=， 所以()441log 55f -+=，所以(241log 5f -=-，因为()21log 2,0--，所以((1log 241log 25af --=-=-，即45a=， 故2a =. 故选：D. 【点睛】本题考查函数的周期性和奇偶性，关键在于利用函数性质将自变量转化到()2,0-内，是中档题.9．已知函数()sin 44f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，要得到()2sin 22sin 1g x x x =+-的图象，只需将()f x 的图象（ ）A ．向左平移38π个单位长度 B ．向右平移38π个单位长度 C ．向左平移34π个单位长度 D ．向右平移34π个单位长度 【答案】B【解析】将()f x 和()g x 利用三角公式化为cos()A x ωϕ+的形式，然后观察可得平移的的方向和长度. 【详解】 解：由已知()4f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭sin cos 24442x x x x ππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=++=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则()f x x =()2sin22sin 1sin21cos21g x x x x x =+-=+--=324x π⎛⎫-⎪⎝⎭， 故将()f x 的图象向右平移38π个单位长度可得到()g x 的图象. 故选：B. 【点睛】本题考查三角恒等变形，以及三角的平移变换，要特别注意平移变换不要出现错误，本题是基础题. 10．函数()2log ,0,2,0,xx x f x x ⎧>=⎨≤⎩则函数()()()2384g x fx f x =-+的零点个数是（ ） A ．5 B ．4 C ．3 D ．6【答案】A【解析】通过对()g x 式子的分析，把求零点个数转化成求方程的根，结合图象，数形结合得到根的个数，即可得到零点个数． 【详解】 函数()()()2384g x f x f x =-+=()()322f x f x --⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦的零点即方程()23f x =和()2f x =的根， 函数()2log ,0,2,0x x x f x x ⎧>=⎨≤⎩的图象如图所示：由图可得方程()23f x =和()2f x =共有5个根， 即函数()()()2384g x f x f x =-+有5个零点,故选：A. 【点睛】本题考查函数的零点与方程的根的个数的关系，注意结合图象，利用数形结合求得结果时作图很关键，要标准．11．在ABC ∆中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b =，(()cos 243sin 231A B C +++=，点P 是ABC ∆的重心，且273AP =，则a =（ ）A ．325B ．13C ．2313D ．7【答案】C【解析】利用二倍角的余弦公式以及诱导公式求出sin 2A =，可得出3A π=或23π，然后由点P 是ABC ∆的重心，得出()13AP AB AC =+，两边平方后化简得出24cos 240c c A +-=，然后分3A π=或23π两种情况讨论，求出c 的值，由余弦定理可求出a 的值. 【详解】(()cos 24sin 1A B C +++=，(24sin 1n si 21A A +=∴-，整理得(22sin 4sin 0A A -++=，解得sin 2A =或sin 2A =（舍去）. 3A π∴=或23π. 又点P 是ABC ∆的重心，则()13AP AB AC =+， 等式两边平方得()22212cos 9AP AB AC AB AC A =++⋅， 2AP =2b =，()228144cos 99c c A ∴=⨯++，整理得24cos 240c c A +-=. ①当3A π=时，则有22240c c +-=，解得4c =，由余弦定理得22212cos 416224122a b c bc A =+-=+-⨯⨯⨯=，则a = ②当23A π=时，则有22240c c --=，解得6c =，由余弦定理得22212cos 436226522a b c bc A ⎛⎫=+-=+-⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，则a =.因此，a =故选：C. 【点睛】本题考查二倍角的余弦公式、余弦定理解三角形问题，本题涉及三角形的重心问题，在解题时可充分利用向量来处理，可简化计算，考查运算求解能力，属于中等题. 12．定义在()0,∞+上的函数()f x 的导函数为()f x '，且()()()212x f x f x x x '+-<+对()0,x ∈+∞恒成立.现有下述四个结论：①()()22315f f -<；②若()12f =，01x <<.则()21122f x x x >++；③()()3217f f -<；④若()12f =，1x >.则()21122f x x x >++. 其中所有正确结论的编号是（ ） A ．①② B ．①②③C ．③④D ．①③④【答案】B【解析】构造函数()()21f x xg x x -=+，求函数的导数，判断函数的单调性，结合()()(),1,23g g g 的大小关系以及()(),1g x g 的大小关系进行判断即可．【详解】设函数()()21f x xg x x -=+，则()()()()()()22211f x x x f x x g x x '-+--⎡⎤⎣⎦'==+()()()()()22121x f x f x x x x '+--++. 因为()()()212x f x f x x x '+-<+，所以()0g x '<，故()g x 在()0,∞+上单调递减， 从而()()()123g g g >>，故()()()112439234f f f --->>由()()112423f f -->整理得()()22315f f -<，故①正确； 由()()113924f f -->整理得()()3217f f -<，故③正确； 当01x <<时，若()12f =，因为()g x 在()0,∞+上单调递减，所以()()112g x g >=，即()2112f x x x ->+，即()21122f x x x >++，故②正确，从而④不正确. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数单调性的应用，根据条件构造函数，判断函数的单调性以及利用不等式的性质进行转化是解决本题的关键．二、填空题13．设函数()2xf x e x ax =+-，若0x =是()f x 的极值点，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线的斜率为_______.【答案】1e +【解析】先求出()f x '，通过()00f '=列方程求出a 的值，进而可求出()1f '的值，即为切线斜率. 【详解】解：由已知()2xf x e x a '=+-，所以()010f a '=-=， 得1a =， 所以()1211f e e '=+-=+，故答案为：1e +. 【点睛】本题考查导数的几何意义，是基础题.14．已知定义在R 上的函数()f x 和()g x ，其中()f x 的图象关于直线2x =对称，()g x 的图象关于点()2,2-中心对称，且()()333x f x g x x -=++，则()4f =_______. 【答案】74【解析】根据()()333xf xg x x -=++，求出()()00f g -，()()44f g -，由对称性可得()()0, 4f f 间的关系，()()0,4g g 间的关系，利用他们之间的关系通过计算可求得()4f . 【详解】由条件知()()004f g -=，①()()4481643148f g -=++=.②由()f x ，()g x 图象的对称性，可得()()0 4f f =，()()044g g +=-，结合①知，()()()()444004f g f g ++=-=，即()()440f g +=.③由②③解得()474f =. 故答案为：74. 【点睛】本题考查函数对称性的应用，注意赋值法的使用，本题是中档题.15．若()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++，则1245245a a a a --+-678678a a a +-=_______.（用数字作答）.【答案】5368-【解析】对等式()82301232x a a x a x a x +=++++4567845678a x a x a x a x a x ++++两边同时求导得()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，和单独求出3a ，代入可得结果. 【详解】 解：()82301232x a a x a x a x +=++++4467845678a x a x a x a x a x ++++，∴()723123482234x a a x a x a x +=++++456756785678a x a x a x a x +++，令1x =-，有()71234812234a a a a -+=-+-+56785678a a a a -+-， 即1234234a a a a -+-+567856788a a a a -+-=.又553821792a C ==，故所求值为8179235368-⨯=-. 故答案为：5368- 【点睛】本题考查二项展开式系数的相关计算，关键在于对展开式两边同时求导，和利用赋值法，是中档题16．在正项数列{}n a 中，11a =，且()()22216610n n n n a a na n a n +++-+=，若3n nnb a =+，则n b =_______. 【答案】22n【解析】将递推式变形可得到21133n n n n a a +⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，两边同时取常用对数可得lg 3n n a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭是等比数列，利用等比数列的通项公式求解即可. 【详解】因为()()22216610n n n na a na na n +++-+=，所以2222166166nn n n n n a na n n n n a a a a +⎛⎫+++==++ ⎪⎝⎭， 所以22116393n n n n n n n n a a a a +⎛⎫⎛⎫++=++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因为3n nnb a =+，所以21n n b b +=， 两边同时取对数可得1lg 2lg n n b b +=，{}lg n b 是以lg 4为首项，以2为公比的等比数列，则()1lg lg42n n b -=⋅，即22nn b =， 故答案为：22n. 【点睛】本题考查利用递推式求通项公式，考查学生计算推理能力，是一道难题.三、解答题17．已知首项为1的等比数列{}n a 的前3项和为3. （1）求{}n a 的通项公式；（2）若21a ≠，2log n n b a =，求数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（1）1n a =或()12n n a -=-；（2）1n n T n =+. 【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题中条件求出q 的值，然后利用等比数列的通项公式可求出数列{}n a 的通项公式； （2）由（1）可得()12n n a -=-，求出1n b n =-，可得出()12111111n n b b n n n n ++==-++，然后利用裂项求和法可求出数列121n n b b ++⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【详解】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由题意可得213q q ++=，整理得220q q +-=，解得1q =或2q =-，因此，1n a =或()()11122n n n a --=⨯-=-；（2）21a ≠，()12n n a -∴=-，122log log 21n n n b a n -∴===-，()12111111n n b b n n n n ++∴==-++，因此，11111111223111n n T n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解，同时也考查了裂项求和法的应用，考查计算能力，属于基础题.18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos 2cos 0b c C B a a ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭. （1）求B ；（2）若2b =，求ABC △周长的取值范围， 【答案】（1）3B π=（2）(]4,6【解析】（1）先去掉等式cos 2cos 0b c C B a a ⎛⎫+-== ⎪⎝⎭中的分母，然后利用正弦定理，将边化成角，再通过三角形内角和是180°，计算可得B ；（2）利用正弦定理，将周长转化为三角形中的角的正弦来表示，利用三角公式，变形为()sin A x ωϕ+的形式，进而利用角的范围即可求周长的取值范围. 【详解】 解：（1）cos 2cos 0b c C B a a ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭， ∴cos cos 2cos b C c B a B +=.由正弦定理得sin cos sin cos 2sin cos B C C B A B +=， 则()sin 2sin cos B C A B +=，即sin 2sin cos A A B =， 又sin 0A ≠，∴1cos 2B =，即3B π=.（2）2b =，∴sin sin sin 3b ac B A C ===，∴a A =，c C =.3B π=，∴23C A π=-，20,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴)2sin sin sin sin 333a c A C A A π⎡⎤⎛⎫+=+=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦4sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭. 5,666A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭， ∴(]4sin 2,46a c A π⎛⎫+=+∈ ⎪⎝⎭，即(]4,6a c b ++∈，故ABC △周长的取值范围为(]4,6. 【点睛】本题考查正弦定理的应用，其中有关边的取值范围的问题，可以利用公式变成角来表示，这样利用三角公式求最值会方便许多，本题是中档题.19．在贯彻中共中央、国务院关于精准扶贫政策的过程中，某单位在某市定点帮扶甲、乙两村各50户贫困户.为了做到精准帮扶，工作组对这100户村民的年收入情况、劳动能力情况.子女受教育情况、危旧房情况、患病情况等进行调查.并把调查结果转化为各户的贫困指标x .将指标x 按照[)0,0.2，[)0.2,0.4，[)0.4,0.6，[)0.6,0.8，[]0.8,1.0分成五组，得到如图所示的频率分布直方图.规定若00.6x ≤<，则认定该户为“绝对贫困户”，否则认定该户为“相对贫困户”，且当0.8 1.0x ≤≤时，认定该户为“低收入户”；当00.2x ≤<时，认定该户为“亟待帮助户".已知此次调查中甲村的“绝对贫困户”占甲村贫困户的24%.（1）完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关：甲村 乙村 总计 绝对贫困户 相对贫困户 总计（2）某干部决定在这两村贫困指标处于[)00.4,的贫困户中，随机选取3户进行帮扶，用X 表示所选3户中“亟待帮助户”的户数，求X 的分布列和数学期望EX .附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.15 0.10 0.05 0.025 0k2.0722.7063.8415.024【答案】（1）列联表见解析，没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关（2）详见解析【解析】（1）根据频率分布直方图，通过计算，完成列联表，同时根据公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，计算出2K 的值，对照表格得出结果. （2）求出X 分别为0，1，2，3时的概率，求出X 的分布列，进而可求出数学期望EX . 【详解】解：（1）由题意可知，甲村中“绝对贫困户”有500.2412⨯=（户），甲、乙两村的绝对贫困户有()0.250.500.750.210030++⨯⨯=（户），可得出如下列联表：()221001232183812 2.706307050507K ⨯⨯-⨯==<⨯⨯⨯.故没有90%的把握认为绝对贫困户数与村落有关.（2）贫困指标在[)00.4,的贫困户共有()0.250.50.210015+⨯⨯=（户），“亟待帮助户”共有0. 250.21005⨯⨯=（户）， 依题意X 的可能值为0，1，2，3，()31031524091C P X C ====，()2110531545191C C P X C ====， ()1210531520291C C P X C ====，()353152391C P X C ====， 则X 的分布列为故24452020123191919191EX =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查列联表的完善，独立性检验，以及分布列及数学期望，是中档题.20．大学的生活丰富多彩，很多学生除了学习本专业的必修课外，还会选择一些选修课来充实自已.甲同学调查了自己班上的50名同学学习选修课的情况，并作出如下表格：（1）求甲同学班上人均学习选修课科数：（2）甲同学和乙同学的某门选修课是在同一个班，且该门选修课开始上课的时间是早上8:00，已知甲同学每次上课都会在7:00到7:40之间的任意时刻到达教室，乙同学每次上课都会在7:20到8:00之间的任意时刻到达教室，求连续3天内，甲同学比乙同学早到教室的天数X 的分布列和数学期望.【答案】（1）甲同学的班上平均每人学习选修课科数是3.14（2）详见解析【解析】（1）将所有的每人选择选修课科数和对应频数相乘之后再求和，即得总的科目数，再除以总人数，即为人均学习选修课科数；（2）将甲和乙到达教室的时间视为x ，y ，可得甲，乙到达教室的时间在平面直角坐标系中构成的区域，然后找到甲比乙早到教室的时间在平面直角坐标系中构成的区域，利用几何概型的公式可求出甲比乙早到教室的概率，然后分别求出甲比乙早到教室的天数X 为0，1，2，3时的概率，进而可求出天数X 的分布列和数学期望. 【详解】解：（1）设甲同学班上人均学习选修课科数为x ，根据表格可得01152931541355621573.145050x ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯===，即甲同学的班上平均每人学习选修课科数是3.14.（2）设甲同学和乙同学到达教室的时间分别为x ，y ，(),x y 可以看成平面中的点， 则全部结果所构成的区域为()2322,7,833A x y x y ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭， 所以49A S =. 用B 表示事件“甲同学比乙同学早到教室”，该事件所构成的平面区域为()2322,,7,833B x y x y x y ⎧⎫=<≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭，所以41117923318B S =-⨯⨯=，故()78B A S P B S ==. 将连续3天内甲同学比乙同学早到教室的天数记为X ，则X 可能的取值为0，1，2，3，()0303711088512P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()12137121188512P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()212371147288512P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()303371343388512P X C ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故X 的分布列为X123P151221512147512343512所以，21147343211235125125128EX =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查平均数的求法，分布列和数学期望，其中关键在于将甲比乙早到教室的概率转化为面积型的几何概型问题，本题难度较大. 21．设函数()()()12xxf x x e a e e=-+-，（1）求()f x 的单调区间；（2）若不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，求整数a 的最大值.【答案】（1）()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞（2）整数a 的最大值为2【解析】（1）求出()f x '，分类讨论，求()f x 的单调区间；（2）将不等式()0f x >对()2,x ∈+∞恒成立，转化为()12x xx e a e e->-在()2,x ∈+∞上恒成立，转化为求()12x x x e e e--的最小值，构造函数，求导，研究其单调性，求出最小值即可. 【详解】解：（1）()()x x x f x xe ae x a e '=-=-.令()0f x '=，则x a =. 当(),x a ∈-∞时，()0f x '<； 当(),x a ∈+∞时，()0f x '>；所以()f x 的单调递增区间是(),a +∞，单调递减区间是(),a -∞. （2）当()2,x ∈+∞时，()()120xxx e a e e-+->恒成立，等价于当()2,x ∈+∞时，()12x xx e a e e ->-恒成立；即()min12x x x e a e e ⎡⎤->⎢⎥-⎣⎦对()2,x ∈+∞恒成立. 令()()12x xx e g x e e-=-，()2,x ∈+∞，()()()222x x xe e ex g x ee -'=-，令()2xh x e ex =-，()2,x ∈+∞，()20xh x e e '=->， 所以()2xh x e ex =-在()2,+∞上单调递增.又因为()2240h e e =-<，()3360h e e =->，所以()g x '在()2,3上有唯一零点0x ，且002x eex =，()02,3x ∈，所以()g x 在()02,x .上单调递减，在()0,x +∞上单调递增， 所以()()()()()000000min01122,3222x x x e x ex g x g x xe eex e--====∈--，所以()02,3a x <∈， 故整数a 的最大值为2. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值，其中分离参数将恒成立问题转化为最值问题是关键，本题难度较大.22．已知函数()()()1ln 11f x x x k x =++-+.（1）当1x ≥时，不等式()0f x ≥恒成立，求实数k 的取值范围； （2）证明：2,n n N ∀≥∈，()22ln 5ln11ln 121n n n n ++++->-++. 【答案】（1）k 2≤；（2）证明见解析. 【解析】（1）将不等式变形为()()11ln x x k x++≥，记()()()()11ln 111ln x x g x x xx ++⎛⎫==++ ⎪⎝⎭，求导利用单调性即可证得； （2）由（1）可知当1x ≥时，取2k =，可得2ln 11x x ≥-+恒成立，令()1x n n =+，则()()211ln 1111211n n n n n n ⎛⎫+-≥-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭，列式相加即可证得.【详解】（1）解：不等式()0f x ≥，等价于()()11ln x x k x++≥，记()()()()11ln 111ln x x g x x xx ++⎛⎫==++⎪⎝⎭，∴()2ln x xg x x -'=， 令()ln h x x x =-，则()11h x x'=-，∵1x ≥，∴()0h x '≥， ∴()h x 在[)1+∞上单调递增，∴()()110h x h ≥=>，从而()0g x '>，故()g x 在[)1+∞上单调递增，∴()()min 12g x g ==，故k 2≤；（2）证明：由（1）可知当1x ≥时，取2k =，()1ln 10x x x +-+≥，则()()11ln 2x x x++≥，即2ln 11x x ≥-+恒成立， 则当2x ≥时，()2ln 11x x-≥-恒成立，当且仅当2x =时取等号， 令()1x n n =+，则()()211ln 1111211n n n n n n ⎛⎫+-≥-=--⎡⎤ ⎪⎣⎦++⎝⎭， ∴当2n =时，()11ln 2311223⎛⎫⨯->-- ⎪⎝⎭， 当3n =时，()11ln 3411234⎛⎫⨯->--⎪⎝⎭， …… ()11ln 11121n n n n ⎛⎫+->--⎡⎤ ⎪⎣⎦+⎝⎭， 上式相加可得()()()()11ln 231ln 341ln 111221n n n n ⎛⎫⨯-+⨯-+++->--- ⎪+⎝⎭， 即()22ln 5ln11ln 121n n n n ++++->-++，原不等式得证. 【点睛】 本题主要考查了导数的应用，利用导数讨论函数的单调性得不等关系，进而真么数列问题，本题的难点是第二问要利用第一问的结论得()11ln 11121n n n n ⎛⎫+-≥--⎡⎤⎪⎣⎦+⎝⎭，属于难题.。

湖北省黄冈市武穴中学2017-2018学年高三上学期11月月考数学试卷（文科）一、选择题（5分&#215;10=50分）1．设全集为R，函数f（x）=的定义域为M，函数f（x）=ln（x2﹣4x）的定义域为N，则M∩N=( )A．[﹣2，0）B．（﹣∞，﹣2]C．（4，+∞）D．（﹣∞，0]∪（4，+∞）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：由偶次根号下被开方数大于等于零、对数的真数大于零，分别求出函数的定义域M、N，再由交集的运算求出M∩N．解答：解：由4﹣x2≥0得，﹣2≤x≤2，则函数f（x）=的定义域为M=[﹣2，2]，由x2﹣4x＞0得，x＞4或x＜0，则函数f（x）=ln（x2﹣4x）的定义域为N=（﹣∞，0）∪（4，+∞），所以M∩N=[﹣2，0），故选：A．点评：本题考查交集及其运算，以及函数的定义域的求法，属于基础题．2．函数f（x）的图象由函数g（x）=4sinxcosx的图象向左平移个单位得到，则=( )A．﹣1 B．1 C．﹣D．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：由倍角公式化简函数g（x），然后利用函数图象的平移得到函数f（x），然后直接求得．解答：解：g（x）=4sinxcosx=2sin2x，f（x）=g（x+）=2sin2（x+）=2sin（2x+），则==2cos=2×（）=﹣1．故选：A．点评：本题考查了三角函数的图象变换，考查了三角函数的求值，是基础题．3．“x＞0，y＞0”是“xy＞0”成立的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义进行判断即可．解答：解：由x＞0，y＞0能推出xy＞0，是充分条件，由xy＞0，推不出x＞0，y＞0，不是必要条件，故选：A．点评：本题考查了充分必要条件，是一道基础题．4．在区间[0，π]上随机取一个数x，则事件“sinx≥cosx”发生的概率为( ) A．B．C．D．1考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：先化简不等式，确定满足sinx≥cosx即sin（x﹣）≥0在区间[0，π]内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论．解答：解：∵sinx≥cosx，x∈[0，π]，∴≤x≤π，∴事件“sinx≥cosx”发生的概率为=．故选C．点评：本题考查几何概型，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题．5．下列四个函数中，既是定义域上的奇函数又在区间（0，1）内单调递增的是( )A．y=B．y=e x﹣e﹣x C．y=xsinx D．y=lg考点：奇偶性与单调性的综合．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：根据奇偶函数的定义及基本函数的单调性逐项判断即可得到答案．解答：解：A中，∵y=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，∴y=为非奇非偶函数，故排除A；B中，∵e﹣x﹣e﹣（﹣x）=e﹣x﹣e x=﹣（e x﹣e﹣x），∴y=e x﹣e﹣x是奇函数，又e x递增，﹣e﹣x递增，∴y=e x﹣e﹣x是（0，1）内的增函数；C中，∵﹣xsin（﹣x）=xsinx，∴y=xsinx为定义域上的偶函数，故排除B；D中，y=lg=lg（﹣1+），∵lgt递增，t=﹣1+在（0，1）上递减，∴y=lg在（0，1）上递减，故排除D；故选B．点评：本题考查函数的奇偶性、单调性的判断，属基础题，定义是解决该类题目的基本方法．6．如图，在半径为R的圆C中，已知弦AB的长为5，则•=( )A．B．C．R D．R考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据AC为半径，C圆心，AB为弦，可得在上的投影为||，再根据•=||•||，计算求得结果．解答：解：由于AC为半径，C圆心，AB为弦，故在上的投影为||，∴•=||•||=×5×5=，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，一个向量在另一个向量上的投影的定义，属于中档题．7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A．B．πC．D．2π考点：由三视图求面积、体积．专题：计算题；空间位置关系与距离．分析：根据三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球，且圆柱的高与底面圆的直径都是2，挖去半球的直径为2，再根据球与圆柱的体积公式计算即可．解答：解：由三视图知几何体为圆柱上、下各挖去一个半球，且圆柱的高与底面圆的直径都是2，挖去半球的直径为2，∴几何体的体积V=π×12×2﹣π×13=．故选A．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，由三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解答此类问题的关键．8．双曲线（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2垂直于x轴，则双曲线的离心率为( )A．B．C．D．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先在Rt△MF1F2中，利用∠MF1F2和F1F2求得MF1和MF2，进而根据双曲线的定义求得a，最后根据a和c求得离心率．解答：解：如图在Rt△MF1F2中，∠MF1F2=30°，F1F2=2c∴，∴∴，故选B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，属基础题．9．设f（x）是定义域为R的奇函数，g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，且当x＞0时有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x）．若f（1）=0，则不等式f（x）＞0的解集是( ) A．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B．（﹣1，0）∪（0，1）C．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）D．（﹣1，0）∪（1，+∞）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题；转化思想．分析：首先，因为g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，所以f（x）＞0式的解集等价于＞0的解集．由当x＞0时有f′（x）g（x）＜f（x）g′（x），可以证明的单调性，从而使问题得解．解答：解：首先，因为g（x）是定义域为R的恒大于零的函数，所以f（x）＞0式的解集等价于＞0的解集．下面我们重点研究的函数特性．因为当x＞0，f'（x）g（x）＜f（x）g'（x），所以当x＞0，．也就是，当x＞0时，是递减的．由f（1）=0得=0．所以有递减性质，（0，1）有0．由f（x）是奇函数，f（﹣1）=0，x＜﹣1时，＞0 不等f（x）＞0式的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1），故选C．点评：解答本题的关键是根据已知条件，结合奇函数的性质，找出函数的零点，并以零点为端点将定义域分为几个不同的区间，然后在每个区间上结合函数的单调性进行讨论，这是分类讨论思想在解决问题的巨大作用的最好体现，分类讨论思想往往能将一个复杂的问题的简单化，是高中阶段必须要掌握的一种方法．10．定义域为R的函数，若关于x的函数有5个不同的零点x1，x2，x3，x4，x5，则x12+x22+x32+x42+x52等于( )A．B．16 C．5 D．15考点：函数的零点与方程根的关系．专题：计算题；函数的性质及应用．分析：作出f（x）的图象，由图知，只有当f（x）=1时有两解，欲使关于x的方程有5个不同的实数解x1，x2，x3，x4，x5，则必有f（x）=1这个等式，由根与系数的关系得另一个根是f（x）=，从而可得5个根的平方和，问题得到解决．解答：解：作出f（x）的图象：由图知，只有当f（x）=1时有两解；∵关于x的方程f2（x）+bf（x）=0有5个不同的实数解：x1，x2，x3，x4，x5，∴必有f（x）=1，从而x1=1，x2=2，x3=0．由根与系数的关系得另一个根是f（x）=，从而得x4=3，x5=﹣1．∴原方程的五个根分别为：﹣1，0，1，2，3，故可得x12+x22+x32+x42+x52=15．故选D．点评：本题考查复合函数的零点问题，复合函数的零点的问题，必须要将f（x）看成整体，利用整体思想解决．数形结合也是解决此题的关键，利用函数的图象可以加强直观性，同时也便于问题的理解．二、填空题（5&#215;7=35分）11．设函数f（x）=，则f（f（4））的值为．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由已知得f（4）=，由此能求出f（f（4））=f（）=1﹣=．解答：解：∵f（x）=，∴f（4）=，f（f（4））=f（）=1﹣=．故答案为：．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要注意分段函数的性质的合理运用．12．已知A是角α终边上一点，且A点的坐标为（，），则=．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：利用三角函数的定义可求得sinα=，cosα=，代入所求关系式计算即可．解答：解：∵sinα=，cosα=，∴==，故答案为：．点评：本题考查三角函数的定义，考查运算求解能力，属于基础题．13．已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=5．考点：等比数列的性质．专题：计算题．分析：由数列{a n}是等比数列，则有a1a2a3=5=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．解答：解：由等比数列的性质知，a 1a2a3，a4a5a6，a7a8a9成等比数列，所以．故答案为点评：本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．14．已知函数，若f（x）在（0，+∞）上单调递减，则实数的取值范围为．考点：函数单调性的性质；分段函数的解析式求法及其图象的作法．专题：计算题．分析：利用分段函数单调性的性质，要使函数在（0，+∞）上单调递减，需满足三个条件，两段函数分别为减函数，且x=1时，对数值不小于一次函数值，解不等式即可解答：解：若f（x）在（0，+∞）上单调递减需解得a∈故答案为点评：本题主要考查了一次函数、对数函数的单调性，分段函数单调性的应用，把握基本初等函数的单调性，注意分段函数单调性的特殊性是解决本题的关键15．已知A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2=2上两点，且∠AOB=120°，则x1x2+y1y2=﹣1．考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：由题意，x1x2+y1y2=，利用向量的数量积公式，即可得到结论．解答：解：由题意，x1x2+y1y2=∵A（x1，y l），B（x2，y2）是圆O：x2+y2=2上两点，且∠AOB=120°，∴===﹣1故答案为：﹣1．点评：本题考查向量知识的运用，考查向量的数量积公式，考查学生的计算能力，属于基础题．16．点P（x，y）为不等式组表示的平面区域上一点，则x+2y取值范围为[﹣2，]．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组对应的平面区域，设z=x+2y，利用数形结合即可得到结论．解答：解：作出不等式组对应的平面区域如图：设z=x+2y，则y=﹣，平移直线y=﹣，由图象可知当直线y=﹣经过点A（0，﹣1）时，直线y=﹣的截距最小，此时z最小，为z=﹣2，当直线y=﹣在第一象限内和圆相切时，此时z最大．则圆心到直线x+2y﹣z=0的距离d=，解得z=，∴z的最大值为．﹣2，故x+2y取值范围是[﹣2，]，故答案为：[﹣2，]．点评：本题主要考查线性规划的应用，作出平面区域，利用数形结合以及直线和圆的位置关系是解决本题的关键．17．如果对定义在R上的函数f（x），对任意两个不相等的实数x1，x2，都有x1f（x1）+x2f （x2）＞x1f（x2）+x2f（x1），则称函数f（x）为“H函数”．给出下列函数①y=x2；②y=e x+1；③y=2x﹣sinx；④．以上函数是“H函数”的所有序号为②③．考点：函数单调性的性质．专题：函数的性质及应用．分析：不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0，即满足条件的函数为单调递增函数，判断函数的单调性即可得到结论．解答：解：∵对于任意给定的不等实数x1，x2，不等式x1f（x1）+x2f（x2）＞x1f（x2）+x2f（x1）恒成立，∴不等式等价为（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0恒成立，即函数f（x）是定义在R上的增函数．①函数y=x2在定义域上不单调．不满足条件．②y=e x+1为增函数，满足条件．③y=2x﹣sinx，y′=2﹣cosx＞0，函数单调递增，满足条件．④f（x）=．当x＞0时，函数单调递增，当x＜0时，函数单调递减，不满足条件．综上满足“H函数”的函数为②③，故答案为：②③．点评：本题主要考查函数单调性的应用，将条件转化为函数的单调性的形式是解决本题的关键．三、解答题（65分）18．已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．考点：正弦定理；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的运算．专题：解三角形．分析：（I）利用三角函数的恒等变换化简f（x）的解析式为．令，k∈z，求得x的范围，结合，可得f（x）的递增区间．（Ⅱ）由f（C）=2，求得，结合C的范围求得C的值．根据向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，可得，故有=①，再由余弦定理得9=a2+b2﹣ab ②，由①②求得a、b的值．解答：解：（I）∵==．令，解得，即，∵，∴f（x）的递增区间为．（Ⅱ）由，得．而C∈（0，π），∴，∴，可得．∵向量向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，∴，由正弦定理得：=①．由余弦定理得：c2=a2+b2﹣2ab•cosC，即9=a2+b2﹣ab ②，由①、②解得．点评：本题主要考查三角函数的恒等变换，正弦函数的增区间，正弦定理、余弦定理的应用，两个向量共线的性质，属于中档题．19．在数列{a n}中，a1=1，对任意n∈N*，都有．（Ⅰ）证明：数列{b n}为等差数列，并求出a n；（Ⅱ）设数列{a n•a n+1}的前n项和为T n，求证：．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）由已知得b n+1﹣b n===2，由此能证明数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，从而求出a n=．（Ⅱ）由a n•a n+1==，利用裂项求和法能证明．解答：（Ⅰ）证明：∵在数列{a n}中，a1=1，对任意n∈N*，都有．b n+1﹣b n===2，又=1，∴数列{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，∴b n=2n﹣1，∴=2n﹣1，∴a n=．（Ⅱ）解：∵a n•a n+1==，∴T n=（1﹣+…+）=（1﹣）=﹣，∴．点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法，考查不等式的证明，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．20．某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x．已知年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．（1）写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；（2）为使本年度的年利润比上年有所增加，问投入成本增加的比例x应在什么范围内？考点：函数模型的选择与应用．专题：应用题；压轴题．分析：（1）根据若每辆车投入成本增加的比例为x（0＜x＜1），则出厂价相应的提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x和年利润=（出厂价﹣投入成本）×年销售量．建立利润模型，要注意定义域．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，只需今年的利润减去的利润大于零即可，解不等式可求得结果，要注意比例的范围．解答：解：（1）由题意得y=[1.2×（1+0.75x）﹣1×（1+x）]×1000×（1+0.6x）（0＜x＜1）整理得y=﹣60x2+20x+200（0＜x＜1）．（2）要保证本年度的利润比上年度有所增加，当且仅当即解不等式得．答：为保证本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的比例x应满足0＜x＜0.33．点评：本小题主要考查建立函数关系、不等式的性质和解法等内容，考查运用数学知识解决实际问题的能力．21．已知函数f（x）=lnx﹣ax+1．（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线l与直线4x+3y﹣3=0垂直，求实数a 的值；（Ⅱ）若f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）证明：ln（n+1）＞++…+（n∈N*）．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出函数的定义域，求出原函数的导函数，得到f′（1），由y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线l与直线4x+3y﹣3=0垂直列式求得a的值；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的导函数可知，当a≤0时不合题意，当a＞0时求出函数的单调区间，进一步求出函数的最大值，由最大值小于等于0求解a的范围；（Ⅲ）由（Ⅱ）可得lnx＜x﹣1在x∈（0，1]上恒成立．令得到，然后分别取n=1，2，3，…，累加后证得答案．解答：（Ⅰ）解：函数f（x）=lnx﹣ax+1的定义域为（0，+∞），．∴f′（1）=1﹣a．又切线l与直线4x+3y﹣3=0垂直，∴，解得；（Ⅱ）解：若a≤0，则，则f（x）在（0，+∞）上是增函数．而f（1）=1﹣a，f（x）≤0不成立，故a＞0．若a＞0，则当时，；当时，．∴f（x）在上是增函数，在上是减函数．∴f（x）的最大值为．要使f（x）≤0恒成立，只需﹣lna≤0，解得a≥1；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当a=1时，有f（x）≤0在（0，+∞）上恒成立，且f（x）在（0，1]上是增函数，又f（1）=0，∴lnx＜x﹣1在x∈（0，1]上恒成立．令，则，令n=1，2，3…n，则有．以上各式两边分别相加，得．即，故．点评：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法，训练了利用放缩法和累加法证明不等式，是压轴题．22．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，右焦点F2到直线+=0的距离为1．（1）求椭圆的C方程；（2）已知直线y=k（x﹣2）（k≠0）与椭圆C相交于M、N两点，在轴x上是否存在定点E，使•为定值？若存在，求出E点的坐标和定值；若不存在，说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意得e=，，由此能求出椭圆的方程．（2）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），由此利用韦达定理结合已知条件能求出为定值时，定点为E（）．解答：解：（1）由e=，得c=，①又在右焦点F2（c，0）到直线的距离为d=1，得，②由①②，得a2=6，b2=2，∴椭圆的方程为．（2）由，得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），∴，，根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得为定值，则有•（x2﹣m，y2）=（x1﹣m）（x2﹣m）+y1y2=（x1﹣m）（x2﹣m）+k2（x1﹣2）（x2﹣2）=+（4k2+m2）=（k2+1）•﹣（2k2+m）•=，更使上式为定值，即与k无关，则应使3m2﹣12m+10=3（m2﹣6），解得m=，此时为定值，定点为E（）．点评：本题考查椭圆方程的求法，考查使向量的数量积为定值的x轴上的定点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．。

黄冈中学2021届11月月考数学试题〔文〕一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的． 1．sin(1920)-的值为〔 〕A．2-B ．12-C．2D ．12解析：sin(1920)sin(2406360)sin(18060)-=-⨯=+，即原式sin60=-，应选A ．答案：A2．命题“x ∀∈R ，20x >〞的否认是〔 〕A ．x ∀∈R ，20x ≤B ．x ∃∈R ，20x >C ．x ∃∈R ，20x <D ．x ∃∈R ，20x ≤解析：全称命题的否认是特称命题，易知应选D ．答案：D3．集合{P =正奇数}和集合{|M x x ==,,}a b a P b P ⊕∈∈，假设M P ⊆，那么M 中的运算“⊕〞是〔 〕 A ．加法 B ．除法C ．乘法D ．减法解析：由集合M 是集合P 的子集，设*21,21(,)a m b n m n =-=-∈N ，∵(21)(21)a b m n ⋅=--42()12[2()1]1mn m n mn m n P =-++=-++-∈，∴M P ⊆，而其它运算均不使结果属于集合P ，应选C ． 答案：C4．某几何体的侧视图与其正视图相同，相关的尺寸如以以下图所示，那么这个几何体的体积是〔 〕A. 8πB. 7πC. 2π`D.74π解析：依题意该几何体为一空心圆柱，故其体积2237[2()]124V ππ=-⨯=，选D ．答案：D5．幂函数2()mf x x +=是定义在区间[1,]m -上的奇函数，那么(1)f m +=〔 〕俯视图正 视 图 侧视图A ．8B ．4C ．2D ．1解析：由必有1m =，函数即3()g x x =，∴3(1)(2)28f m f +===，选A ．答案：A6．平面向量(1,),(1,2)a m b ==-，且a //b ，那么23a b -=〔 〕 A ．(5,2) B ．(1,2)-C ．(5,10)-D ．(1,10)--解析：∵a //b ，∴12(1)0m ⨯-⨯-=，∴2m =-，∴(1,2)a =-， ∴232(1,2)3(1,2)(5,10)a b -=---=-，应选C.答案：C7．A 、B 两点分别在两条互相垂直的直线20x y -=和0x ay +=上，且AB 线段的中点为P 10(0,)a，那么线段AB 的长为〔 〕 A ．11B ．10C ．9D ．8解析：由两直线互相垂直得2a =，∴线段AB 中点为P (0,5)，且AB 为直角三角形AOB 的斜边，由直角三角形的性质得||2||10AB PO ==，选B ．答案：B8．各项为正的等比数列{}n a 中，4a 与14a 的等比中项为，那么7112a a +的最小值为〔 〕A ．16B ．8C ．D ．4解析：由24148a a ==，再由等比数列的性质有4147118a a a a ==，又70a >，110a >，71128a a +≥=，应选B ．9．设函数2,0(),01x x bx c f x x ≥⎧++=⎨<⎩，假设(4)(0)f f =，(2)2f =，那么函数()()g x f x x =-的零点的个数是〔 〕A ．0B ．1C ．2D ．3解析：即164422b c c b c ++=⎧⎨++=⎩，∴46b c =-⎧⎨=⎩，假设0x ≥，那么246x x x -+=，∴2x =，或3x =；假设0x <，那么1x =舍去，应选C ．答案：C10．设集合(){}(){},|||||1,,()()0A x y x y B x y y x y x =+≤=-+≤，M AB =，假设动点(,)P x y M ∈，那么22(1)x y +-的取值范围是〔 〕A ．15[,]22B ．25[,]22C ．110[,]22D ．210[,]22解析：在同一直角坐标系中画出集合A 、B 所在区域，取交集后如图，故M 所表示的图象如图中阴影局部所示，而22(1)d x y =+-表示的是M 中的点到(0,1)的距离，从而易知所求范围是15[,]22，选A ． 答案：A二．填空题：本大题共7小题，每题5分，共35分，把答案填在题中横线上．11．在空间直角坐标系中，点(1,,2)b -关于y 轴的对称点是(,1,2)a c --，那么点P (,,)a b c 到坐标原点O 的距离||PO =_____________．解析：由点(,,)x y z 关于y 轴的对称点是(,,)x y z --，1a ∴=，1b =-，0c =，故所求距离||PO =2．答案：212．定义运算a c ad bcb d =-，复数z 满足11z ii i=+，那么复数z = _______________． 解析：由11z i i i=+得1212izi i i z i i +-=+⇒==-．答案：2i -13．11{|2}82x A x -=<<，2{|log (2)1}B x x =-<，那么A B =________________．解析：31111{|()()()}{|13}222x A x x x =<<=<<，{|022}{|24}B x x x x =<-<=<<，∴{|14}A B x x =<<．答案：{|14}x x <<14．方程22220x y kx y k ++++=所表示的圆有最大的面积，那么直线(1)2y k x =++的倾斜角α=_______________．解析：2214412r k k =+-≤，当有最大半径时圆有最大面积，此时0k =，1r =，∴直线方程为2y x =+，设倾斜角为α，那么由tan 1α=，且[0,)απ∈得4πα=．答案：4π 15．在如图的表格中，每格填上一个数字后，使得每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，那么a b c ++的值为________________．解析：由题意易得第一列的五个数依次为11111,,,,24816， 第三列的五个数依次为1112,1,,,248，即12a =，由于第四、五两行均成等差数列，故其公差分别为116和132， ∴可得11541616b =+=，113283216c =+⨯=，故153121616a b c ++=++=． 答案：1 16．四棱锥ABCD 中，E 、H 分别是AB 、AD 的中点，F 、G 分别是CB 、CD 的中点，假设AC ＋BD=3，AC·BD=1，那么EG 2＋FH 2=___________．解析：易知四边形EFGH 是平行四边形，而平行四边形对角线的平方和等于各边的平方和，∴222222112()2[()()]22EG FH HG EH AC BD +=+=+ 221()2AC BD =+22117[()2](321)222AC BD AC BD =+-=-⨯=．答案：7217．在工程技术中，常用到双曲正弦函数2x xe e shx --=和双曲余弦函数2x x e e chx -+=，双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数有许多相类似的性质，请类比正、余弦函数的和角或差角公式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个正确的类似公式 ．解析：由右边2222x x y y x x y ye e e e e e e e ----++--=⋅-⋅1()4x yx y x y x y x y x y x y x y e e e e e e e e +--+--+--+--=+++-++-()()1(22)()42x y x y x y x y e e e e ch x y ------+=+==-=左边，故知．答案：填入()c c c s s h x y hx hy hx hy -=-，()c c c s s h x y hx hy hx hy +=+，()c s sh x y shx hy chx hy -=-，()c s sh x y shx hy chx hy +=+四个之一即可．AB CDEH FG三．解答题：本大题共5小题，共65分，请给出详细的解答过程． 18．〔本小题总分值12分〕函数()1sin cos f x x x =+．〔1〕求函数()f x 的最小正周期和单调递减区间； 〔2〕假设tan 2x =，求()f x 的值．解答：〔1〕函数即1()1sin 22f x x =+，∴22T ππ==，………………………3分令3222()22k x k k ππππ+<<+∈Z ，那么3()44k x k k ππππ+<<+∈Z ，即函数()f x 的单调递减区间是3[,]()44k k k ππππ++∈Z ；………………………6分 〔2〕由222222sin sin cos cos tan tan 1sin cos tan 1x x x x x x y x x x ++++==++，……………………9分 ∴当tan 2x =时，222217521y ++==+． ………………………12分19．〔本小题总分值12分〕在如以以下图的多面体ABCDE中，AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，AC=AD=CD=DE=2，AB=1． 〔1〕请在线段CE 上找到点F 的位置，使得恰有直线BF∥平面ACD ，并证明这一事实；〔2〕求直线EC 与平面ABED 所成角的正弦值．解答：如图，〔1〕由AB⊥平面ACD ，DE⊥平面ACD ，∴AB//ED ， 设F 为线段CE 的中点，H 是线段CD 的中点，连接FH ，那么//FH =12ED ，∴//FH =AB ， ……………3分∴四边形ABFH 是平行四边形，∴//BF AH ，由BF ⊄平面ACD 内，AH ⊂平面ACD ，//BF ∴平面ACD ；……………6分〔2〕取AD 中点G ，连接CG 、EG ，那么CG ⊥AD ，又平面ABED ⊥平面ACD ，∴CG ⊥平面ABED ，∴CEG ∠即为直线CE 与平面ABED 所成的角，……………9分 设为α，那么在Rt CEG ∆中，有sin CG CE α===． ……………12分20．〔本小题总分值13分〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*41()n n S a n =+∈N ． 〔1〕求1a ，2a ；〔2〕设3log ||n n b a =，求数列{}n b 的通项公式． 解答：〔1〕由1141S a =+，即1141a a =+，∴=1a 13，………………3分 又2241S a =+，即1224()1a a a +=+，∴219a =-； ………………6分 〔2〕当1n >时，1111(1)(1)44n n n n n a S S a a --=-=+-+，即13n n a a -=-，易知数列各项不为零(注：可不证不说)，∴113n n a a -=-对2n ≥恒成立， ∴{}n a 是首项为13，公比为13-的等比数列， ………………10分 ∴1111()(1)333n n n n a ---=-=-，∴33log ||log 3n n a n -==-，即n b n =-． ………………13分21．〔本小题总分值14分〕ABC ∆的两边长分别为25AB =，39AC =，且O 为ABC ∆外接圆的圆心．〔1〕假设外接圆O 的半径652R =，且角B 为钝角，求BC 边的长； 〔2〕求AO BC ⋅的值．〔注：39313=⨯，65513=⨯，且2sin sin sin BC AB ACR A C B===〕 解答：〔1〕由正弦定理有2sin sin AB ACR C B==， ∴253965sin sin C B ==，∴3sin 5B =，5sin 13C =， ………………3分 且B 为钝角，∴12cos 13C =，4cos 5B =-∴3125416sin()sin cos sin cos ()51313565B C B C C B +=+=⨯+⨯-=，又2sin BCR A=，∴2sin 65sin()16BC R A B C ==+=； ………………7分 〔2〕由AO OC AC +=，∴22()AO OC AC +=， 即2222||2||||39AO AO OC OC AC +⋅+== ………………9分 同理AO OB AB +=，∴2222||2||||25AO AO OB OB AB +⋅+==，……11分两式相减得22(3925)(3925)896AO OC AO OB ⋅-⋅=-+=，即2896AO BC ⋅=，∴448AO BC ⋅=． ………………14分 22．〔本小题总分值14分〕函数32()(,)f x ax x ax a x =+-∈R ． 〔1〕当1a =时，求函数()f x 的极值；〔2〕假设()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，试求a 的取值或取值范围；〔3〕设函数118()()(2)1333h x f x a x a '=++-+，(]1,x b ∈-，(1)b >-，如果存在(],1a ∈-∞-，对任意(]1,x b ∈-都有()0h x ≥成立，试求b 的最大值．解答：〔1〕当1a =时，32()f x x x x =+-，∴/2()321f x x x =+-，令/()0f x =，那么113x =，21x =-， ………………2分x 、/()f x 和()f x 的变化情况如下表即函数的极大值为1，极小值为27-； ………………5分 〔2〕2()32f x ax x a '=+-，假设()f x 在区间[0,)+∞上是单调递增函数， 那么()f x '在区间[0,)+∞内恒大于或等于零，假设0a <，这不可能，假设0a =，那么2()f x x =符合条件，假设0a >，那么由二次函数2()32f x ax x a '=+-的性质知23(0)0af a ⎧-<⎪⎨⎪=->⎩，即00a a >⎧⎨<⎩，这也不可能， 综上可知当且仅当0a =时()f x 在区间[0,)+∞上单调递增； ……………10分 〔3〕由2()32f x ax x a '=+-，118()()(2)1333h x f x a x a '=++-+， ∴2()(21)(13)h x ax a x a =+++-，(]1,,(1)x b b ∈->-， 当1x b -<≤时，令2(21)(13)0ax a x a +++-≥，………………①， 由(],1a ∈-∞-，∴()h x 的图象是开口向下的抛物线，故它在闭区间上的最小值必在区间端点处取得， ……………11分 又(1)40h a -=->，∴不等式①恒成立的充要条件是()0h b ≥，即2(21)(13)0ab a b a +++-≥，∵1b >-，∴10b +>，且0a <，∴22311b b b a+-≤-+，依题意这一关于a 的不等式在区间(],1-∞-上有解，∴2max 231()1b b b a +-≤-+，即22311b b b +-≤+，240b b +-≤，b ≤≤1b >-，故1b -<≤，从而max b =………………14分。

数学试题（文科）第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数32(z i i =-+为虚数单位)是关于x 的方程220(,x px q p q ++=为实数)的一个根,则p q +的值为（ ） A ．22B ．36C ．38D ．422.已知α∈（2π,π），sin α=53,则tan （4πα-）等于（ ）A ． －7B ． － 71C ． 7D ．713.已知()21sin ,42f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x '为()f x 的导函数，则()f x '的图像是（ ）4.在等差数列{}n a 中，若4681012120a a a a a ++++=，则10122a a -的值为（ ） A ．20B ．22C ．24D ．285.某四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则该四棱锥的体积等于（ ） A ．1B ．2C ．3D ．4211俯视图正视图13【答案】B 【解析】试题分析：由题设及图知，此几何体为一个四棱锥，其底面为一个对角线长为2的正方形，故其底面积为141122⨯⨯⨯=，由三视图知其中一个侧棱为棱锥的高，其相对的侧棱与高及底面正方形的对角线组成一个直角三角形，由于此侧棱长为13，对角线长为2，故棱锥的高为()221323-=此棱锥的体积为12323⨯⨯=故选B．考点：由三视图求体积．6.已知等比数列{}na中，公比1q>，且168a a+=，3412a a=，则116aa= （）A．2 B． 3或6 C．6 D．37.已知函数()sin()(0,)2f x xπωϕωϕ=+><的部分图像如图，则20131()6nnfπ==∑（）A．12B．1- C．1 D．0【答案】C【解析】试题分析：由函数()sin()(0,)2f x xπωϕωϕ=+><的部分图象的周期性可得：1125441264Tππππω==-=，所以2ω=，再由五点法作图可得262ππϕ⨯+=，∴6πϕ=φ，∴()sin(2)6f x xπ=+，且函数的周期为π，∴234361111()()()()()()1106666662222f f f f f f ππππππ+++++=+---+=，∵201363353=⨯+，故2013111()11622n n f π==+-=∑，故选C ． 考点：由()sin()f x x ωϕ=+的部分图象确定其解析式．8.在ABC ∆中，()︒︒=72cos ,18cos AB ,()︒︒=27cos 2,63cos 2BC ，则ABC ∆面积为（ ） A ．42B ．22 C ．23 D ．29.定义域是一切实数的函数()y f x =，其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个“λ的相关函数”.有下列关于“λ的相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”；②2()f x x =是一个“λ的相关函数”；③ “12的相关函数”至少有一个零点.其中正确．．结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．010.设函数()x f x e x a =+-a R ∈,e 为自然对数的底数).若曲线sin y x =上存在00(,)x y 使得00(())f f y y =,则a 的取值范围是( )(A) 1[-1,1]e e -+ (B)1[-11]e -， (C)[1,1]e + (D) [1,]e 【答案】D 【解析】试题分析：曲线sin y x =上存在点00(,)x y 使得00(())f f y y =，则[]01,1y ∈-，考查四个选项，B ，D 两个选项中参数值都可取0，C ，A 两个选项中参数都可取1e +，A ，B ，C ，D 四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与1e +时是否符合题意，即可得出正确选项，第Ⅱ卷（共100分）二、填空题（每题5分，满分35分，将答案填在答题纸上）11.已知向量a ，b 的夹角为︒120，且1=a ，2=b ，则向量a b +在向量a 方向上的投影是 ________．12.设关于x 的不等式2|4|4x x m x -+≤+的解集为A ，且0,2A A ∈∉，则实数m 的 取值范围是 . 【答案】)2,4[-- 【解析】试题分析：0,2A A ∈∉，|00|4m ∴-+≤ ①，且|48|6m -+> ②，由①得44m -≤≤，由②得10m >，或2m <-，①和②的解集取交集得42m -≤<-，故实数m 的取值范围是[4,2)--，故答案为[4,2)--．考点：绝对值不等式的解法．13.已知函数321()33f x x ax x =++在（0， 1）上不是单调函数，则实数a 的取值范围为 _____.14.已知实数,a b 满足：102102210a b a b a b -+≥⎧⎪--<⎨⎪+-≥⎩，()21z a b =--，则z 的取值范围是_ ．15.若正数,x y 满足230x y +-=，则2x yxy+的最小值为 ．16.如图所示，O 点在△ABC 内部，D 、E 分别是AC ，BC 边的中点，且有OC OB OA 32++＝0，则△AEC 的面积与△AOC 的面积的比为17.已知函数xx f 2)(=且)()()(x h x g x f +=，其中)(x g 为奇函数, )(x h 为偶函数，若不等式2()(2)0a g x h x ⋅+≥对任意]2,1[∈x 恒成立,则实数a 的取值范围是 .因此，实数a 的取值范围是),1217[+∞-，故答案为),1217[+∞-． 考点：函数奇偶性的性质，指数函数．三、解答题 （本大题共5小题，共65分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（本题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，2cos cos b c Ca A-=. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）求函数3sin sin()6y B C π=+-的值域.（II ）22(0,)333A B C B πππ=∴+=∈且…………………………8分3sin sin()3sin()3cos 2sin()626y B C B B B B B πππ=+-=+-=+=+……10分251(0,),(,),sin()(,1]366662B B B πππππ∈+∈∴+∈所以所求函数值域为(1,2] ………………12分 考点：解三角形，三角恒等变化，三角函数的值域．19.（本题满分12分）已知ABC ∆中，2==BC AC ，120=∠ACB ，D 为AB 的中点，F E ,分别在线段BC AC ,上的动点，且AB EF //，EF 交CD 于G ，把ADC ∆沿CD 折起，如下图所示，（Ⅰ）求证： //1F E 平面BD A 1；（Ⅱ）当二面角B CD A --1为直二面角时，是否存在点F ，使得直线F A 1与平面BCD 所成的角为60，若存在求CF的长，若不存在说明理由。

2024年秋季普通高中11月份高三年级阶段性联考数学本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.★祝考试顺利★注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将答题卡上交.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数对应的点位于（ ）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知，则的值为（ ）A.B. C.D.3.已知，且，则与的夹角为（ ）A.B. C. D.4.已知曲线在点处的切线在轴上的截距为，则的值为（ ）A.1B.0C.D.5.暑假期间某校5名学生计划去黄冈旅游，体验黄冈的风俗与文化.现有黄梅东山问梅村､罗田天堂寨､黄州的东坡赤壁三个景区可供选择若每名学生只去一个景区，且恰有2人前往黄梅东山问梅村，则不同的游览方案种数为（ ）A.40B.90C.80D.16011i+π1cos 33α⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πsin 6α⎛⎫+ ⎪⎝⎭1313-(),2a b == ()2a a b ⊥+ a bπ32π33π45π6ln ay x x=+()1,a y 3-a 1-2-6.已知函数的最小正周期为，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值为（ ）A.B. C. D.7英国生物统计学家高尔顿设计了高尔顿钉板来研究随机现象.如图是一个高尔顿钉板的设计图，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗钉子恰好位于下一层两颗打子的正中间，小球每次下落，将随机的向两边等概率的下落.数学课堂上，老师向学生们介绍了高尔顿钉板放学后，爱动脑的小明设计了一个不一样的“高尔顿钉板”，它使小球在从钉板上一层的两颗钉子之间落下后砸到下一层的钉子上时，向左下落的概率为向右下落的概率的2倍.当有大量的小球依次滚下时，最终都落入钉板下面的5个不同位置.若一个小球从正上方落下，经过5层钉板最终落到4号位置的概率是（）A.B. C. D.8.是定义在上的函数，为的导函数，若方程在上至少有3个不同的解，则称为上的“波浪函数”.已知定义在上的函数为“波浪函数”，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分.9.下列结论中正确的有（ ）A.已知，若，则；B.某学生8次考试的数学成绩分别为：101､108､109､120､132､135､141､141，则这8次数学成绩的第75百分位数为135；C.已知的平均值为8，则的平均值为7；D.已知为两个随机事件，若，则.()()cos 0f x x x ωωω=->π()f x ϕ()g x ()g x ϕπ12π6π32π3881168124813281()f x [],a b ()f x '()f x ()()f x f x ='[],a b ()f x [],a b []4,3-()3228f x x x mx =+++m 5675m -<- (56)45m -<- (56)45m -< (74)m -<-…()24,X N σ~()50.1P X =…()340.4P X =……128,,,,11,13x x x 128,,,x x x A B ､()()()0.4,0.3,0.2P A P B P AB ===∣()0.15P B A =∣10.已知正实数满足，下列结论中正确的是（）A.的最大值是B.的最小值是C.的最小值是3D.的最小值为11.高斯被誉为“数学王子”，是世界上伟大数学家.用他名字定义的函数（表示不超过的最大整数）称为高斯函数.已知正项数列的前项和为，且，令，则下列结论正确的有（ ）A.B.C.D.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数，则__________.13.已知的角的对边分别为，且，若，则__________.14.已知函数在区间上存在零点，则的取值范围为__________.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）已知，函数.（1）求的单调递减区间；（2）在中，若，求和长.16.（本题满分15分）已知是公差不为0的等差数列，，且成等比数列，数列满足：，且.,a b 23a b ab +=ab 982a b +832a b +1b a-3-()[]f x x =[]x x {}n a n n S 112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭21n n n b S S +=+()*n a n n =∈N)*n S n =∈N []12636b b b +++= 1210011118S S S ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦ ()()2222ln f x x f x x -'=+()2f '=ABC A B C ､､a b c ､､sin a C =π6A =22b c bc+=()()()()13e 0xf x a x b a =-++≠[]1,3-3b a+()π,cos ,cos ,sin 2m x x n x x ⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎭()32f x m n =-⋅()f x ABC ()0,ABC f A BC S ===AC AB {}n a 421a =125,,a a a {}n b 143n n b b +=-1121b a =-（1）求和的通项公式；（2）若为数列的前项和，求.17.（本题满分15分）东风学校有甲乙两个食堂，学校后勤服务中心为了调查学生对两个食堂的满意度，随机调査300名学生.设表示事件“学生喜欢去甲食堂”，表示事件“调査的学生是男生”.若.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂喜欢去乙食堂合计（1）完成上列列联表，并根据小概率值的独立性检验，判断学生喜欢去哪个食堂与性别是否有关？（2）为了答谢参与调查的学生，学校后勤服务中心从参与调查的300名学生中按性別分层抽样的方法选15名幸运学生参与抽奖活动，并为他们准备了15张奖券，其中一等奖奖券有3张，二等奖奖券有5张，三等奖奖券有7张，每人抽取一张.设15名幸运学生中男生抽中一等奖的人数为，写出的分布列，并计算.附0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.82818.（本题满分17分）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；（3.19.（本题满分17分）马尔科夫链是一种随机过程，它具有马尔科夫性质，也称为“无记忆性”，即一个系统在某时刻的状态仅{}n a{}n b n T1n n a b ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭n n T M N ()()()457|,|,7815P M N P N M P N ===22⨯0.001α=X X ()E X ()()()()22():ad bc na b c d a c b d χ-⋅=++++αax ()1ln f x x a x x=--()f x 1x …()0f x …a ()ln 1n ++>+与前一时刻的状态有关.为了让学生体验马尔科夫性质，数学老师在课堂上指导学生做了一个游戏.他给小明和小美各一个不透明的箱子，每个箱子中都有个红球和1个白球，这些球除了颜色不同之外，其他的物质特征完全一样规定“两人同时从各自的箱子中取出一个球放入对方的箱子中”为一次操作，假设经过次操作之后小明箱子里的白球个数为随机变量，且.（1）求的值；（2）求；（3）证明：为定值.x n n X ()1518P X ==x ()1n P X =()n E X2024年秋季普通高中11月份阶段性联考高三数学试卷参考答案一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.D2.B3.B4.C5.C6.B7.A8.D8.【解析】，显然不满足上式，所以，令，则，在，且，画出的图像，可知：.二､选择题（多选）【有错选得0分，全对得6分，部分对得部分分.两解题，每答对一个得3分，三解题，每答对一个得2分】9.ACD 10.BCD11.BCD10.解析：（1）（当时取等号）；（2）（当时取等号）；()()()32481f x f x x x x m x '=⇒--+=-1x =32481,1x x x x m x--+≠=-()32481x x x g x x --+=-()()()22221(1)x x g x x '-+=--()g x ∴[)(4,1,1,2,2,3⎤⎤⎡-↑↑↓⎦⎣⎦()()()564,24,375g g g -=-=-=-[)7,4m ∈--8329ab a b ab =+≥⇒≥⇒≥24,33a b ==8233a b ab +=≥24,33a b ==（3）（当时取等号）；（4）（当时取等号）.11.解析：（1）当时，，又A 错，B 对；（2），.故C 对；（3），当时，，，；故D对；三､填空题：12.13.14.14.【解析】，令，在，在，()()212122233,3225923a b a b ab a b a b a b b a b a b a ⎛⎫+=⇒+=∴+=++=++≥⇒+≥ ⎪⎝⎭1a b ==132233b b b b a b b --=-=+-≥-b =11,2n n nS a a ⎛⎫=+∴ ⎪⎝⎭2n ≥2211112,1n n n n n n n S S S S S S S ---=-+⇒-=-11111,02n S a a a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭211;n n n a S n S a ⇒=∴=⇒==∴()1263211176,722n n n b b b b S S +===-∴+++=+-∈+ []12636b b b ∴+++= 12n S =>=]1210011122118;S S S ⎡⎤∴+++>+++=->⎣⎦2n ≥12n S =<=-]121001111212119S S S ⎡⎤∴+++<++++=+-=⎣⎦1210011118S S S ⎡⎤∴+++=⎢⎥⎣⎦ 3-21,2e e ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦()()()03e 1;x f x b a x =⇔+=-310,e x b x a a +-≠∴= ()()12,e ex x x x g x g x --=='()g x ∴()1,2-↓()2,3↑作出的图像，可知：.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.（本题满分13分）解：（1）由减区间为（2），或.16.（本题满分15分）解：（1）设的公差为，又（2），两式相减，得：17.（本题满分15分）()g x 2132e e b a+-≤≤()23π3cos cos sin sin 222f x x x x x x x ⎛⎫=---=- ⎪⎝⎭()311π1cos21cos2sin 21,2226x x x x x ⎫⎛⎫=--=--=--+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭πππππ2π22πππ,26263k x k k x k -+≤-≤+⇒-+≤≤+()f x ∴()*πππ,π63k k k ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦N ()ππ0sin 21,,63f A A A ⎛⎫=⇒-== ⎪⎝⎭6,ABC S AB AC =⇒⋅= 227,BC AB AC AB AC =⇒+-⋅=2,3AB AC ∴==3,2,AB AC ==⋅{}n a ()()()221520,,21321(212)6d d a a a d d d d ≠=∴-+=-⇒= ()14133,16 3.n a a d a a n d n ∴=-==+-=-()1143141,n n n n b b b b ++=-⇒-=-111215,14,b a b =-=-=()*1441n n n n b b n ∴-=⇒=+∈N 6314n nn a n b -=-2323411633915631391563;;4444444444nn n n n n k n n n T T +=---==++++∴=++++∑2341336666635165;4444444334n n n n n n n T T +-+=+++++-⇒=-⋅解：（1）被调查的学生中男生有140人，女生有160人.男生中喜欢去乙食堂的有80人，喜欢去甲食堂的有60人..被调查的学生中喜欢去甲食堂的有160人.调查的是男生调查的是女生合计喜欢去甲食堂60100160喜欢去乙食堂8060140合计140160300零假设：假设学生喜欢去哪个食堂与性别无关.，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为学生喜欢去哪个食堂与性别有关.此推断犯错误的概率不大0.001.（2）根据男女生人数之比可知，被抽取的15人中男生7人，女生8人.，，X 的分布列为：X 0123p，18.（本题满分17分）解（1）定义域为；..当时，恒成立，；()77,300140,1515P N =⨯=∴44(),14080,77P M N =⨯=∴∣533()(),60160,888P N M P N M =⇒=÷=∴∣∣0H 220.001(606010080)30011.5810.828160140160140χχ⨯-⨯⨯=≈>=⨯⨯⨯0.001α=0H 0,1,2,3X =()()()()615243712312312312777715151515C C C C C C C 8282450,1,2,3C 65C 65C 65C 65P X P X P X P X ============86528652465113()82824570123656565655E X =⨯+⨯+⨯+⨯=()0,∞+()()22211,Δ4,f x x ax a x=-+=-⋅'0122a -≤≤2Δ0,10x ax ≤-+≥()()0,f x f x ≥↑'.当时，有两根，但两根均为负数，当时，.当时，有两正根，当时，；当时，；当时；综上所述：.当时，增区间为；.当时，增区间为和；减区间为.（2），令，则在，若，则，与题意相符；若，则，所以必存在，使得当时，，从而使得当时，，与题意相矛盾；综上：.（3）证明：由（2）知，当时，（仅当时取等号），，令；，得证.19.（本题满分17分）解：（1）（2）022a<-2Δ0,10x ax >-+=()0,x ∞∈+()()0,;f x f x '≥↑32a >2Δ0,10x ax>-+=1x =2x =()10,x x ∈()()0,f x f x >↑'()12,x x x ∈()()0,f x f x <↓'()2,x x ∞∈+()(),0,f x f x >'↑012a ≤()f x ()0,∞+022a >()f x ⎛ ⎝∞⎫+⎪⎪⎭()11f x x a x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭'()1g x x a x =+-()()()22110,g x x g x x =-≥∴'[)()1,,12g a ∞+↑=-2a ≤()()()()()()10,0,,10g x g f x f x f x f ≥≥≥↑≥='2a >()120g a =-<01x >()01,x x ∈()()()0,0,g x f x f x <'<↓()01,x x ∈()()10f x f <=2a ≤1x ≥()12ln 0f x x x x=--≥1x =12ln x x x∴-≥x =11ln ln n n n n ++>=⇒>()2341ln ln ln ln ln 1123n n n +>+++=+ ()111513;11118x x P x x x x x x ==⋅+⋅=⇒=++++()()()()()()()11111010111212n n n n n n n n n n P x P x P x x P x P x x P x P x x ++++===⋅==+=⋅==+=⋅==∣∣∣，又，.（3），令，则而，..得证.()()()()()()11331111510120122244442282n n n n n n P x P x P x P x P x P x ⎛⎫==⋅+=⋅⨯+⨯+=⋅==+=+= ⎪⎝⎭()()()0121n n n P x P x P x =+=+==()()()()()()11151141411111,11,2882787n n n n n n P x P x P x P x P x P x ++⎡⎤⎡⎤∴==-=+===+⇒=-==-⎣⎦⎢⎥⎣⎦()()()114543431314311,11;78756756878778n n nn n P x P x P x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-=∴=-=⨯=⨯⇒==+⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()()()()()1112020121n n n n n n n P x P x P x x P x P x x +++===⋅==+=⋅==∣∣()()1222n n n P x P x x ++=⋅==∣()()()1311913122162214828n n n n P x P x P x +⎛⎫==+===++ ⎪⎝⎭()()()()111131391339228248214214148141414n n n n n n n P x P x P x P x ++++⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎡⎤⇒=-==-+⇒=-=⨯=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦⎣⎦()38214n n n a P x ⎡⎤==-⎢⎥⎣⎦1193344,141414n n n n a a a a ++⎛⎫=+⇒+=+ ⎪⎝⎭()113333338280141414161414a P x ⎡⎤⎡⎤+==-+=-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()3333310820214141414148n n n n n a P x P x ⎡⎤∴+=⇒=-+=⇒==-⨯⎢⎥⎣⎦()()()()43133100112212177814148n n n n n n E X P x P x P x ⎡⎤⎡⎤=⨯=+⨯=+⨯==⨯+⨯+⨯-⨯=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦。