排列、组合、二项式定理教案

高中高三年级数学教案：排列、组合、二项式定理案例分析一、教学目标1.理解排列、组合的基本概念和区别，掌握排列数和组合数的计算公式。

2.学会运用排列、组合解决实际问题。

3.理解二项式定理的内容，能够运用二项式定理计算二项展开式的系数。

二、教学重点与难点1.教学重点：排列数和组合数的计算，二项式定理的应用。

2.教学难点：排列、组合在实际问题中的灵活运用，二项式定理的证明。

三、教学过程1.导入新课（1）引导学生回顾初中阶段学习的排列、组合知识，复习排列数和组合数的计算公式。

（2）提出问题：排列和组合在实际问题中有哪些应用？如何运用排列、组合解决实际问题？2.授课内容（1）案例分析一：排列、组合在实际问题中的应用案例1：某班级有10名学生，其中甲必须参加，从剩余的9名学生中任选3名学生参加比赛，求不同的参赛组合数。

案例分析：这是一个排列问题，因为参赛人员的选择顺序是有关的。

根据排列数公式，可得A_9^3=9×8×7=504。

案例2：某班级有10名学生，从中任选3名学生参加比赛，求不同的参赛组合数。

案例分析：这是一个组合问题，因为参赛人员的选择顺序无关。

根据组合数公式，可得C_10^3=10×9×8/(3×2×1)=120。

（2）案例分析二：二项式定理的应用案例1：求（x+y）^5的展开式。

案例分析：根据二项式定理，展开式为x^5+5x^4y+10x^3y^2+10x^2y^3+5xy^4+y^5。

案例2：求（a+b）^10展开式中含a^5b^5的项。

案例分析：根据二项式定理，含a^5b^5的项为C_10^5a^5b^5=252a^5b^5。

3.练习与讨论1.某班级有10名学生，其中甲必须参加，从剩余的9名学生中任选3名学生参加比赛，求不同的参赛组合数。

2.某班级有10名学生，从中任选3名学生参加比赛，求不同的参赛组合数。

3.求（x+y）^6的展开式。

高中数学备课教案排列组合与二项式定理备课教案：排列组合与二项式定理一、引言数学是一门复杂而又神奇的学科，它在我们的日常生活以及各个学科领域中起着重要的作用。

作为高中数学教师，我们需要深入理解和准确教授各个数学概念和原理。

本教案将重点涵盖排列组合与二项式定理的重要概念和应用。

二、排列组合1. 排列的概念排列是指从给定的元素中取出若干个元素按照一定的顺序进行排列。

具体来说，从n个不同元素中，取出r个元素按照顺序进行排列的个数表示为P(n,r)。

2. 组合的概念组合是指从给定的元素中取出若干个元素，不考虑其顺序的进行组合。

具体来说，从n个不同元素中，取出r个元素进行组合的个数表示为C(n,r)。

3. 排列与组合的计算公式排列和组合的计算公式是我们在解决实际问题中经常使用的重要工具。

- 排列的计算公式：P(n,r) = n! / (n-r)!- 组合的计算公式：C(n,r) = n! / (r! * (n-r)!)三、二项式定理1. 二项式的概念二项式是指具有以下形式的多项式：(a + b)^n，其中a和b是实数或变量，n是非负整数。

2. 二项式定理的表达式二项式定理是指将二项式的幂展开的公式。

根据二项式定理，可以得出以下表达式：(a + b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... + C(n,r) * a^(n-r) * b^r + ... + C(n,n) * a^0 * b^n四、应用举例为了帮助学生更好地理解排列组合和二项式定理的应用，我们针对具体的例子进行练习。

例1：某班有10名学生，要从中选出5名代表参加学校的比赛，问有多少种选择方法？解析：根据组合的计算公式，我们可以计算C(10,5)，即从10名学生中选出5名学生的组合数。

根据计算公式可得，C(10,5) = 10! / (5! * (10-5)!) = 252，因此选择方法的种数为252种。

国规教材
教育学生数据真实性与诚信、社会责任与公共利益、团队协作
教学流程图
4知识点检测：
（1）从甲、乙、丙3名同学中选出两名同学，一名担任班长，一名担任副班长，有多少种不同的选法？
（2）从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别参加上午和下午的活动，有多少种不同的方法？
1.组织学生在了解的基础上理解排列的概念，掌握排列数公
1.组合的概念
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素组成一组，称为从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
排列与组合的区别：排列是从n个不同的元素中任取m（m≤n）个元素，按照一定的顺序排成一列，与m个元素的排列顺序有关；组合是从n个不同元素中任取m（m≤n）个元素组成一组，与m个元素的排列顺序无关.
2.组合数
从n个不同的元素中，任取m（m≤n）个元素的所有组合的个数，称为从n个不同元素中取出m个元素的组合数，
用符号表示.
5、知识点检测：
某天上午共4节课，排语文、数学、体育、计算机课，其中体育课不排在第一节课，那么这天上午课表的不同排法种数是（）
1.引导并组织学生根据信息进行讨论.区别排列与组合。

国主义情怀.
1.二项式定理的内容
设 a.,b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2.二项展开式的通项公式
3.二项式系数与二项展开式中某项的系数
3.知识点检测：
组织学生运用二项式定理的相关内容解决实际问题.。

排列组合二项式定理的精品教案一、教学设计思想目前教学的核心是“以学生的发展为本”，注重学生的学习状态和情感体验，注重教学过程中学生主体地位的凸现和主体作用的发挥，强调尊重学生人格和个性，鼓励发现、探究与质疑，鼓励培养学生的创新精神和实践能力．二项式定理这部分内容比较枯燥，是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体运用，是学习概率的重要基础．这部分知识具有较高应用价值和思维训练价值．教材中的二项式定理主要包括：定理本身，通项公式，杨辉三角，二项式系数的性质等．如何发挥学生的主体作用，使学生自己探究学习知识、建构知识网络，是本节课教学设计的核心．一是从名人、问题引入课题。

采用“问题――探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律四个阶段．这里体现了新课程的数学应用意识的理念.让学生体会研究问题的方式方法，培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，也让学生体会数学语言的简洁和严谨。

二是从特殊到一般。

观察发现二项式定理的基本内容．遵循学生的认知规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题，发现问题，归纳推理问题的能力，从而形成自主探究的学习习惯．三是采用小组合作、探究的方式。

在教学中，努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主作用；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生的发展和创造意识，以使他们能在再创造的氛围中学习．四是教师的启发与学生的探究恰当结合。

本节课的难点在于确定二项展开式中，每一项的二项式系数，对于普通班的学生，真正能独立归纳出来，有一定的困难，教师在此时的引导启发，就显得尤为重要．本节课，学生通过对=1，2，3，4，…时二项展开式的观察，归纳、猜想到为任意正整数时的二项式定理内容，并真正理解二项式系数的意义。

这样设计的目的是为了让学生参与知识的发生、发展、深化的过程，学习体会应用“观察、归纳、猜想、证明”的科学思维方法的过程，提高数学修养．本节课对二项式定理特点及规律的总结和归纳，有利于学生对二项式定理的识记，同时还可以使学生体验数学公式的对称美、和谐美．二、学生情况分析学生为普通班学生，有一定的数学基础．学生理解组合及组合数的概念，掌握了多项式乘法的运算法则，有一定的归纳猜想能力，能顺利完成课时计划内容．学生有过探究、交流的课堂教学的尝试．三、教学诊断分析在本节内容的学习中，学生容易了解的内容是二项展开式的项数、指数和系数的规律，即项数：项；指数：字母，的指数和为，字母的指数由递减至0，同时，字母的指数由0递增至；二项式系数：下标为，上标由递增至；容易产生误解的内容是：通项指的是第r+1项；通项的二项式系数是，与该项的系数是不同的概念。

典型例题排列：例1.书架的第1层放有4本不同的计算机书，第2层放有3本不同的文艺书，第3层放有2本不同的体育书.(1)从书架中任取1本书，有多少种不同取法？(2)从书架的第1，2，3层各取1本书，有多少种不同取法？例2.要从甲、乙、丙3幅不同的画中选出2幅，分别挂在左、右两边墙上的指定位置，问共有多少种不同的挂法？例3某年全国足球甲级〔A组〕联赛共有14个队参加，每队要与其余各队在主、客场分别比赛一次，求总共要进行多少场比赛.例4〔1〕从5本不同的书中选3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？〔2〕从5种不同的书中买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？例5用0 到9 这十个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？练习用0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的1)五位数；2)六位偶数；例6⑴7位同学站成一排，共有多少种不同的排法？⑵7位同学站成一排，其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？⑶7位同学站成一排，其中甲不站在首位，共有多少种不同的排法？(4) 7位同学站成一排．甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(5) 7位同学站成一排，甲、乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种？(6)甲、乙两同学相邻的排法共有多少种？(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(8)甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？(9)甲、乙、丙按指定顺序排列共有多少种排法？练习1假设有四个男孩和三个女孩站成一排照相：⑴假设其中的A小孩必须站在B小孩的左边，有多少种不同的排法？⑵假设三个女孩要站在一起，四个男孩也要站在一起，有多少种不同的排法？⑶假设三个女孩互不相邻，有多少种不同的排法？⑷假设四个男孩互不相邻，有多少种不同的排法？练习2三名女生和五名男生排成一排，⑴如果女生全排在一起，有多少种不同排法？⑵如果女生全分开，有多少种不同排法？⑶如果两端都不能排女生，有多少种不同排法？组合：简单的组合问题例1一位教练的足球队共有17名初级学员,他们中以前没有一人参加过比赛,按照足球比赛规则,比赛时一个足球队的上场队员是11人.问:(1)这位教练从这17名学员中可以形成多少种学员上场方案?(2)如果在选出11名上场队员时,还要确定其中的守门员,那么教练员有多少种方式做这件事情?例2 (1)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的线段共有多少条?(2)平面内有10个点,以其中每2个点为端点的有向线段共有多少条?例3(1)有4本不同的书，一个人去借，至少借一本，则有多少种不同的借法？(2) 有13本不同的书，其中小说6本，散文4本，诗歌3本，某人借6本，其中有3本小说，2本散文，1本诗歌，问有几种借法？含有附加条件的组合问题：1 某些特殊元素包含在(或不包含在)所要求的组合中：例1 一个口袋内装有大小不同的7个白球和1个黑球，⑴从口袋内取出3个球，共有多少种取法？⑵从口袋内取出3个球,含有1个黑球,有多少种取法?⑶从口袋内取出3个球,使其中不含黑球,有多少种取法？例2按以下条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？〔1〕甲、乙、丙三人必须中选；〔2〕甲、乙、丙三人不能中选；〔3〕甲必须中选，乙、丙不能中选；〔4〕甲、乙、丙三人只有一人中选；〔5〕甲、乙、丙三人至多2人中选；〔6〕甲、乙、丙三人至少1人中选；2 某些特殊元素有特殊归类问题：例3 平面上有五个蓝点和七个红点，其中有三个红点与两个蓝点在同一条直线上，除此以外，再无三点共线，问过两个不同颜色的点，共可作多少条直线？3 组合中的有重复问题：例4 由数1、2、3、4可组成多少个不同的和？例5 以正方体的四个顶点为顶点可以确定多少个三棱锥？4 “名额分配〞问题：例6．有10个参加数学竞赛的名额,要分给7所,每至少一个名额,有多少种不同的名额分配方法？ 例7．方程5x y z ++=，求⑴有多少组正整数解？⑵有多少组非负整数解？5 “分组〞问题：例8 有6本不同的书，〔1〕甲、乙、丙3人每人2本，有多少种不同的分法？〔2〕分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？〔3〕分成3堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少种不同的分堆方法？〔4〕分给甲、乙、丙3人，一人1本，一人2本，一人3本, 有多少不同的分配方法？〔5〕分成3堆，有2堆各一本，另一堆4本，有多少种不同 的分堆方法？〔6〕摆在3层书架上，每层2本，有多少种不同的摆法？6．混合问题，先“组〞后“排〞例 对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，假设所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？7．分清排列、组合、等分的算法区别〔1〕今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?〔2〕今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法? 〔3〕今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法?8、分类组合,隔板处理例1. 要从7个班中选10人参加数学竞赛，每班至少1人，共有多少种不同的选法？。

排列、组合、二项式定理的教案排列组合及二项式定理排列、组合、二项式定理的教案一．课标要求：1．分类加法计数原理、分步乘法计数原理通过实例，出分类加法计数原理、分步乘法计数原理；能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理解决一些简单的实际问题；2．排列与组合通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；3．二项式定理能用计数原理证明二项式定理；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。

二．命题走向本部分内容主要包括分类计数原理、分步计数原理、排列与组合、二项式定理三部分；考查内容：（1）两个原理；（2）排列、组合的概念，排列数和组合数公式，排列和组合的应用；（3）二项式定理，二项展开式的通项公式，二项式系数及二项式系数和。

排列、组合不仅是高中数学的重点内容，而且在实际中有广泛的应用，因此新高考会有题目涉及；二项式定理是高中数学的重点内容，也是高考每年必考内容，新高考会继续考察。

考察形式：单独的考题会以选择题、填空题的形式出现，属于中低难度的题目，排列组合有时与概率结合出现在解答题中难度较小，属于高考题中的中低档题目。

三．要点精讲1．排列、组合、二项式知识相互关系表2．两个基本原理（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；正确地分类与分步是学好这一章的关键。

3．排列（1）排列定义，排列数（2）排列数公式：系= =n·(n－1)…(n－m+1)；（3）全排列列：=n!；（4）记住下列几个阶乘数：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；4．组合（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式：Cnm= = ；（3）组合数的性质①Cnm=Cnn-m；② ；③rCnr=n·Cn-1r-1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0-Cn1+…+(-1)nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n-1；5．二项式定理（1）二项式展开公式：(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+Cnkan-kbk+…+Cnnbn；（2）通项公式：二项式展开式中第k+1项的通项公式是：Tk+1=Cnkan-kbk；6．二项式的应用（1）求某些多项式系数的和；（2）证明一些简单的组合恒等式；（3）证明整除性。

数学教案－排列、组合、二项式定理-基本原理一、引言本教案主要介绍数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。

通过学习，学生能够了解到排列、组合和二项式定理的概念、性质和应用，提高数学思维和解决实际问题的能力。

二、排列与组合2.1 排列排列是指从n个不同元素中取出m个元素进行有序排列的方法数。

排列的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。

2.2 组合组合是指从n个不同元素中取出m个元素进行无序组合的方法数。

组合的计算公式为：其中，n为总元素个数，m为需要取出的元素个数，“！”表示阶乘运算。

2.3 示例例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行排列，使用排列公式计算有：即有6种排列方法。

再例如，从数字1、2、3中取出2个数字进行组合，使用组合公式计算有：即有3种组合方法。

三、二项式定理3.1 基本概念二项式定理是指任意一个二项式的幂展开后各项系数的规律。

二项式定理的公式表达为：其中，a、b为任意实数，n为非负整数，C为组合的计算公式。

3.2 使用方法二项式定理可以应用于多个方面，如多项式展开、概率计算等。

在多项式展开中，可以通过二项式定理将一个多项式化简为一系列项的和。

3.3 示例例如，将二项式展开为更多项的和：即：通过二项式定理，我们可以快速求解幂次较高的多项式。

四、总结本教案主要介绍了数学中的排列、组合和二项式定理的基本原理。

排列和组合是数学中常见的计数方法，可以用于解决实际问题中的选择和排列情况；二项式定理则是多项式展开中的重要工具，可以化简复杂的多项式表达式。

通过对这些概念和公式的学习和应用，可以提高数学思维能力和解决实际问题的能力。

希望通过本教案的学习，学生能够掌握排列、组合和二项式定理的基本原理，并能够应用于实际问题中，提升自己的数学能力。

第十章排列组合和二项式定理教材分析作为高中数学必修内容的一个部份，本章在整个高中数学中占有重要地位以计数问题为主要内容的排列与组合，属于现在发展很快且在计算机领域获得广泛应用的组合数学的最初步知识，它不仅有着许多直接应用，是学习概率理论的准备知识，而且由于其思维方法的新颖性与独特性，它也是培养学生思维能力的不可多得的好素材；作为初中一种多项式乘法公式推广二项式定理，不仅使前面组合等知识的学习得到强化，而且与后面概率中的二项分布有着密切联系本章教学约需17课时，具体分配如下：10．1加法原理和乘法原理约2课时10．2排列约4课时10．3组合约5课时10．4二项式定理约4课时小结与复习约2课时一、内容分析本章从学习加法原理和乘法原理开始，应该说，这两个基本原理在本章的学习中占有重要地位；其作用并不限于用来推导排列数、组合数公式，实际上其解决问题的思想方法贯穿在整个学习的始终：当将一个较复杂的问题通过分类进行分解时，用的是加法原理；当将它通过分步进行分解时，用的是乘法原理在此基础上，研究排列与组合，运用归纳法导出排列数公式与组合数公式，并提出组合数的两个性质，以简化组合数的计算和为推导二项式定理作好铺垫随后研究的二项式定理，在本章中起着承上启下的作用：它不仅将前面的组合的学习深化一步，而且为学习后面的独立重复试验，二项分布作了准备本章还为部分学有余力的学生安排了阅读材料《从集合的角度看排列、组合和概率》，通过这篇材料，可以看到排列、组合与概率这两类看上去并无共同之处的概念间的内在联系例如，求组合数及其相应的等可能性事件的概率，可分别看成是在一个全集下的某个子集到数的集合的不同的映射，可见从集合的角度去认识这些概念，可加深对其本质和内在联系的认识，此外，由于集合及其关系可用图形表示，便于将一些较复杂的问题分析清楚，因此运用集合的方法可以较为顺利地求解一些较为复杂的应用题二、教学要求1．掌握加法原理与乘法原理，并能用它们分析和解决一些简单的应用问题2.理解排列、组合的意义，掌握排列数、组合数计算公式，并能用它们解决一些简单的应用问题3.掌握二项式定理和二项展开式的性质并能用它们计算和证明一些简单的问题三、考点诠释（1）两个原理（分类计数原理、分步计数原理）分类和分步的区别，关键是看事件能否完成，事件完成了就是分类；必须要连续若干步才能完成的则是分步.分类要用加法原理将种数相加；分步要用乘法原理，分步后再将种数相乘.（2）两个概念（排列、组合）排列与组合是既有联系又有区别的两类问题，它们都是从n 个不同元素中任取m 个不同元素.但是前者要求将元素排成一个顺序，后者对此不做要求.若不理解排列问题和组合问题的区别，在分析实际问题时就会犯错误.（3）两类基本公式排列数公式 !(1)(2)(1)()!m n n A n n n n m n m =---+=- 规定：0！=1 组合数公式 )!(!!m n m n A A C m m m n m n-== 特别地：10==n n n C C （4）两类基本性质排列性质：11-++=m nm n m n mA A A 组合性质：性质1.m n n m n C C -=, 性质2.11-++=m nm n m n C C C 在解决排列组合的计算或证明以及解方程，解不等式等问题时，经常用排列数公式、组合数公式以及组合数的两个性质.解这类题的关键是准确、熟练地运用这些公式及性质，但是在使用公式时要注意：计算题与证明题的类型不同，要求选择公式的形式就不同.排列数公式与组合数公式都有两种形式：乘积形式和阶乘形式前者多用于数字计算，后者多用于证明恒等式，同时要注意公式的倒用，即由)!(!!m n m n -写出m n C . 排列数m n A 与组合数m n C 里的m 、n 的关系是 )(N n m n m ∈≤、牢记：0！=1；.1;!;;;1;11100======nn n n n n n n C n A n C n A C A组合数派生性质：k n n k n n k k k C C C C C -+-++=++++122110 1121++++=++++k n k n k k k k k k C C C C C（5）排列组合的综合应用排列与顺序有关，或者说与所有顺序有关.组合与顺序无关，或者说与一种顺序有关.例如：从1、2、3、4四个数字中任取3个不同的数字，可组成多少个不同的三位数？这是排列问题，有34A 个，而组成的三位数中个位、十位、百位上的数字递增的三位数有多少个？这是一种确定的顺序，是组合问题有34C 个不同的三位数.按元素的性质分类，按事件发生的连续过程分步，是处理排列组合问题的基本数学思想方法，要注意题设中“至少”、“至多”等限制词的意义.处理排列组合的综合性问题，一般的思想方法是对于要取出的元素不是一次完成的排列问题，要注意先选取元素，直到把应取的元素都取出来后，再进行排列在排列问题中，某几个元素必须在某几个固定位置，某几个元素不能在某几个位置，某几个元素必须在一起，某几个元素互不相邻等，是排列中的几种基本类型.在组合问题中，某些元素必须在内，某些元素都不在内，某些元素恰有一个在内，某些元素至少有一个在内，某些元素至多有一个在内等，是组合的几种基本类型.（6）二项式定理的有关概念第一、对通项要注意以下几点:①它表示二项展开式中的任意项，只要n 与r 确定，该项也随之确定.②公式表示的是第r+1项，而不是第r 项.③公式中a 、b 的位置不能颠倒，它们的指数和一定为n.第二、要注意区分，展开式的第r+1项的二项式系数与第r+1项的系数是两个不同的概念，千万不能混在一起.（7）二项式系数的性质①展开式中与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等. ②若二项式的幂指数是偶数，则展开式的中间一项即第12+n 项的二项式系数最大；若二项式系数的幂指数是奇数，则展开式的中间两项即第（121+-n ）项和第（121++n ）项的二项式系数相等且最大. ③展开式的所有二项式系数的和等于n 2.即n n n n n n C C C C 2210=++++ ④展开式中的奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.即 +++=+++531420n n n n n n C C C C C C =12-n注意：①用二项式定理进行幂的近似计算时，首先要将幂的底数拆成两项，构造二项式；其次要根据题设的精确度选取展开的项数.②利用二项式定理证明整除性问题，也应灵活处理底数，使之符合需要.③赋值法是解决二项展开式中有关系数问题的重要手段，许多复杂的与系数有关的问题均可以通过正确的、简单的赋值得到解决.四、教学建议1.在深刻理解的基础上，严格要求按照两个原理去做分类计数原理和分步计数原理是两个基本原理，它们既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题，这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终.搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性.分类计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类.分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事.分步计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事.从以上的分析可以看出，分类计数原理和分步计数原理的地位是有区别的，分类计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步.在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌罗嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题.只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础.2. 指导判定与顺序有无关系，分清排列与组合排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题.排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关.与顺序有关的是排列问题，与顺序无关是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要.排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系.下面几种方法可供参考.(1) 指导学生根据生活经验和问题的内涵领悟其中体现出来的顺序.教的秘诀在于度，学的真谛在于悟，只有学生真正理解了，才能举一反三、融会贯通.(2) 能列举出某种方法时，让学生通过交换元素位置的办法加以鉴别.(3) 学生易于辨别组合、全排列问题，而排列问题就是先组合后全排列.在求解排列、组合问题时，可引导学生找出两定义的关系后，按以下两步思考：首先要考虑如何选出符合题意要求的元素来，选出元素后再去考虑是否要对元素进行排队，即第一步仅从组合的角度考虑，第二步则考虑元素是否需全排列，如果不需要，是组合问题；否则是排列问题.3. 引导联系现实情景，正确领会问题的实质排列、组合问题大都来源于同学们生活和学习中所熟悉的情景，解题思路通常是依据具体做事的过程，用数学的原理和语言加以表述.也可以说解排列、组合题就是从生活经验、知识经验、具体情景的出发，正确领会问题的实质，抽象出“按部就班”的处理问题的过程.据笔者观察，有些同学之所以学习中感到抽象，不知如何思考，并不是因为数学知识跟不上，而是因为平时做事、考虑问题就缺乏条理性，或解题思路是自己主观想象的做法（很可能是有悖于常理或常规的做法）.要解决这个问题，需要师生一道在分析问题时要根据实际情况，怎么做事就怎么分析，若能借助适当的工具，模拟做事的过程，则更能说明问题.久而久之，学生的逻辑思维能力将会大大提高.4.倡导一题多解优化解法，交流合作互相启发排列、组合问题解题方法比较灵活，问题思考的角度不同，就会得到不同的解法.若选择的切入角度得当，则问题求解简便，否则会变得复杂难解.教学中既要注意比较不同解法的优劣，更要注意提醒学生体会如何对一个问题进行认识思考，才能得到最优方法.排列与组合方法数比较多，无法逐一进行验证.为了防止重复、避免遗漏，除了一题多解之外，另一种切实有效的办法是倡导同学之间的交流与合作.排列、组合问题的分析与解答的过程不长，且逻辑性强，特别有利于语言交流.交流与合作不仅仅是解出题目、对答案，还要根据自己的理解说明分类还是分步的理由，每类或每步中.m n A 、m n C 及n 、m 取值的理由，不断反思自己的思考过程，让别的同学能在你思考的基础上进一步的思考，看清问题的其他方面.这样相互启发、多角度的考虑，定会加深对问题的理解，激发学习的兴趣.课 题： 小结与复习(二)教学目的： 1正确运用二项式定理,解决与之相关的恒等式证明问题,进一步熟悉二项展开式通项公式,灵活地应用于复杂的多项式中,求某些项系数的问题.2.会利用二项式定理解决某些整除性问题教学过程：一、知识点：1．二项式定理及其特例：（1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C ab C b n N -*+=+++++∈ ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ .2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性4 二项式系数表（杨辉三角）()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和5．二项式系数的性质：()n a b +展开式的二项式系数是0nC ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r ，定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n nC C -=）． 直线2n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值：当n 是偶数时，中间一项2nn C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n nC +取得最大值． （3）各二项式系数和：∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++ ，令1x =，则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++ 二、讲解范例：例1．①计算:)1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x②计算:n nn n n C C C 242121++++ 分析：本例是二项式定理的逆用.若正用二项式定理,亦可求解,但过程较繁.解： ① )1(5)1(10)1(10)1(5)1(2345-+-+-+-+-x x x x x ＝11]1)1[(5=-+-x② n nn n n C C C 242121++++ ＝(12)n+＝n 3 例2． 证明恒等式:1010101100102=+++C C C 分析:本题的证明方法值得注意,它是对二项式定理中的a 、b 取某些特殊值. 证明：左边＝01101010101010(11)2C C C +++=+= ＝右边引伸:化简n nn n n n n n n C x C x C x C )1(22110-+++--- 解: n n n n n n n n n C x C x C x C )1(22110-+++--- ＝n x )1(-例3． 求证)(983*22N n n n ∈--+能被64整除.分析:考虑到用二项式定理证明,就需要多项式展开后的各项尽量多的含有28的式子.因此,可将223+n 化成112)18()3(+++=n n 再进行展开,化简即可证得. 证明：∵221389(81)89n n n n ++--=+--＝1221111(18888)89n n n n n n C C C n +++++++++-- ＝22111888n n n n n C C ++++++ ＝2221118(88)n n n n n C C --+++++ ∴多项式展开后的各项含有28∴)(983*22N n n n ∈--+能被64整除.引伸:①求证1923+能被10整除;②求138除以9的余数.例4. 求52)1()1(x x -+的展开式中3x 的系数.解:利用通项公式r r n r n r b a C T -+=1,则2)1(x +的通项公式r r r x C T ⋅=+21,}2,1,0{∈r5)1(x -的通项公式k k k k k k x C x C T 551)1()(-=-⋅=+,}5,4,3,2,1,0{∈k令3=+r k ,则⎩⎨⎧==21r k 或⎩⎨⎧==12r k 或⎩⎨⎧==03r k 从而3x 的系数为535251215=-+-C C C C引伸:求103)1)(1(x x +-的展开式中5x 的系数. ( 答案:207 )例5． 求153)1(x x -的展开式中的常数项和有理项.解:设展开式中的常数项为第1+r 项,则653015153151)1()1()()1(r r r r r r r r x C x x C T --+⋅⋅-=⋅⋅-= (*) 由题意得06530=-r ,解得6=r , 所以展开式中的常数项为第7项5005)1(6156167=⋅-==+C T T . 由题意可得Z r ∈-6530,即r 是6的倍数,又因为150≤≤r ,所以r =0,6,12故展开式中的有理项为5501501)1(x x C T =⋅⋅-=,50057=T ,513420-=x T .三、课堂练习：1.从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法共有（ ）A.8种B.12种C.16种D.20种分析：两个面不相邻，只能对面，中间再夹一个面.第一步，正方体两平面相对有3种不同情况，中间可以夹剩下的4个中的任意一个，又有4种不同的情况，这两步都完成，事情完成，用分步计数原理答案选B.2.一名数学教师和四名获奖学生排成一行留影，若老师不排在两端，则共有_____种不同的排法.分析：（法一）、从特殊元素出发，由于数学教师是特殊元素，所以他除了两端外，还有3个位置可排共有13A 种排法，然后排学生共有44A 种排法，由分步计数原理可得答案是72.（法二）从特殊位置出发，由于两端是特殊位置，除数学教师外先从四名学生中选2人排在两端共有24A 种排法，然后剩余的学生及老师排剩余的位置共有A 33种排法.由分步计数原理可得答案是72.3. 由数字1、2、3、4、5、6、7组成无重复数字的七位数.（1）求有3个偶数相邻的7位数的个数；（2）求3个偶数互不相邻的7位数的个数.答案：用捆绑法可得（1）为720个；用插空法可得（2）为1440个.4. 从5男4女中选4位代表，其中至少有2位男同志，且至少有1位女同志，分别到4个不同的工厂调查，不同的分派方法有（ ）A.100种B.400种C.480种D.2400种解：分两种情况，采取先取后排的思想可得符合要求的选法共有2400441435442425=+A C C A C C （种）5. 四面体的顶点和各棱中点共10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法有________种.解：取出的4点不共面比取出的4点共面的情形要复杂，因此宜用间接法：用任意取出四点的组合总数减去这四点共面的取法数.取出四点共面时有三种可能第一类：四点共面于四面体的某一个面时，有446C 种取法；第二类：由四面体的一条棱上三点及对棱中点所确定的平面有6个；第三类：过四面体中的四条棱的中点，而与另外两条棱平行的平面有3个.故取4个点不共面时的不同取法有)(141)364(46410种=++-C C6.已知碳元素有3种同位素12C 、13C 、14C ，氧元素也有3种同位素16O 、17O 、18O ，则不同的原子构成的CO 2分子有（ ）A.81种B.54种C.27种D.9种解：分步计数原理，先选碳原子，再选第一个氧原子，第二个氧原子.所以27131313==C C C N （种） 7.用1、2、3、4、5、6六个数字组成没有重复数字的四位数中，是9的倍数的共有（ ）A.360个B.180个C.120个D.24个解：因为3+4+5+6=18能被9整除，所以共有44A =24个.8 .在代数式522)11)(524(x x x +--的展开式中，常数项为_____.(答案:15) 9.若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+,则()()2312420a a a a a +-++的值为A.1B.－1C.0D.2解：题中的0a ，1a ，…，4a 是二项展开式的各项系数而不是各项的二项式系数，它们不等于04C ，14C ，…，4C 令x ＝1或－1可得它们的不同形式的代数和，于是可得结论答案选A.10．求6102)1()1(x x x -++展开式中各项系数的和.11．若7722107)21(x a x a x a a x ++++=- ,则=+++710a a a , =+++6420a a a a ,=+++7531a a a a ,=+++710a a a .12．n x x x )1()1()1(2++++++ 的展开式中的各项系数之和为 .13．设121111112084)3()3()3()4()1(a x a x a x a x x +++++++=++ ,求:(1)12210a a a a ++++ 的值;(2)12420a a a a ++++ 的值.答案：10. 令1=x ,得答案: 0 11. -1 12.221-+n .13.令2-=x ,得12210842)1(a a a a ++++=⋅- ,即2562812210==++++a a a a . 令4-=x ,得12210840)3(a a a a +-+-=⋅- ,即012210=+-+-a a a a , 故128)0256(21)]()[(21122101221012420=+=+-+-+++++=++++a a a a a a a a a a a a .四、小结 ：1.二项式定理的应用:证明整除问题.2.通项公式的应用:①通项公式是第1+r 项,而不是第r 项;②运用通项公式可以求出展开式中任意指定的项或具有某种条件的项五、课后作业：1． 已知n x x )2(2+的展开式的第5项的二项式系数与第3项的二项式系数之比为14:3,求展开式中的常数项.解:由题意3:14:24=n n C C ,即05052=--n n ,∴10=n 或5-=n (舍去)∵2510102101012)2()(rr r r r r r x C x x C T --+⋅⋅=⋅=, 由题意得02510=-r ,得2=r ,∴常数项为第3项180********=⋅==+C T T .引伸:条件变为第5项的系数与的3项的系数之比为56:3,求展开式的中间项.解:由题意3:56)4(:)16(24=n n C C ,可得10=n ,展开式共11项,故展开式的中间项为第6项,即21568064-=x T .2.求1032)1()1()1()1(x x x x ++++++++ 的展开式中含2x 项的系数. 解:二项式2)1(x +,3)1(x +,…10)1(x +展开式中2x 项的系数分别为： 2222310,,,.C C C其和为：2222310C C C +++ ＝3C∴1032)1()1()1()1(x x x x ++++++++ 的展开式中含2x 项的系数为3C3. 若n 是3的倍数，求证：13-n是13的倍数 解：令n ＝3k ，k 是整数，则()1262626112612713111-+⋅++⋅+=-+=-=---k k k k k k k kk n C C C ()1111262626---++⋅+=k k k k k C C .()12112626---++⋅+k k k k k C C 是整数， 13-∴n 是13的倍数.六、板书设计（略）七、课后记：课 题： 10．1加法原理和乘法原理 (一)教学目的： 1了解学习本章的意义,激发学生的兴趣.2.理解分类计数原理与分步计数原理,培养学生的归纳概括能力.3.会利用两个原理分析和解决一些简单的应用问题.教学重点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)教学难点：分类计数原理(加法原理)与分步计数原理(乘法原理)的准确理解 授课类型：新授课课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪内容分析：两个基本原理是排列、组合的开头课，学习它所需的先行知识跟学生已熟知的数学知识联系很少，排列、组合的计算公式都是以乘法原理为基础的，而一些较复杂的排列、组合应用题的求解，更是离不开两个基本原理，所以在教学目标中特别提出要使学生学会准确地应用两个基本原理分析和解决一些简单的问题对于学生陌生的知识，在开头课中首先作一个大概的介绍，使学生有一个大致的了解是十分必要的基于这一想法，在引入新课时，首先是把这一章将要学习的内容，以及与其它科目的关系做了介绍，同时也引入了课题正确使用两个基本原理的前提是要学生清楚两个基本原理使用的条件；分类用加法原理，分步用乘法原理，单纯这点学生是容易理解的，问题在于怎样的，目的就在于帮助学生对这一知识的理解与应用两个原理是教与学重点，又具有相当难度．加法和乘法在小学就会，那么，在中学再学它与以往有什么不同?不同在于小学阶段重在运算结果的追求，而忽视了其过程中包含的深层次思想；两个原理恰恰深刻反映了人类计数最基本的“大事化小”，即“分解”的思想．更具体地说就是把事物分成类或分成步去数．“分类”、“分步”，看似简单，不难理解，却是全章的理论依据和基本方法，贯穿始终，所以，是举足轻重的重点．两个原理，要能在各种场合灵活应用并非易事，所以，着实有其难用之处教学过程：一、复习引入：一次集会共50人参加，结束时，大家两两握手，互相道别，请你统计一下，大家握手次数共有多少？某商场有东南西北四个大门，当你从一个大门进去又从另一个大门出来，问你共有多少种不同走法？揭示本节课内容：等我们学了这一部分内容后，这些问题会很容易解决而这部分内容是代数中一个独立的问题，与旧知识联系很少，但它是以后学习二项式定理、概率学、统计学等知识的基础内容从本节课开始，我们将要学习中学代数内容中一个独特的部分——排列、组合它们研究对象独特，研究问题的方法不同一般虽然份量不多，但是与旧知识的联系很少，而且它还是我们今后学习概率论的基础，统计学、运筹学以及生物的选种等都与它直接有关至于在日常的工作、生活上，只要涉及安排调配的问题，就离不开它今天我们就来学习本章的两个基本原理(这是排列、组合的第一节课，把这一章的内容作一个大概的介绍，能使学生从一开始就对将要学习的知识有一个初步的了解，并为本章的学习研究打下思想基础)二、讲解新课：1.问题一（1－1）从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中火车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？分析：因为一天中乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，每一种走法都可以从甲地到乙地，所以，共有3+2=5种不同的走法，如图所示(1－2) 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘汽车，还可以乘轮船一天中，火车有4 班, 汽车有2班，轮船有3班那么一天中乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种不同的走法?分析：从甲地到乙地有3类方法：第一类方法，乘火车，有4种方法；第二类方法，乘汽车，有2种方法；第三类方法，乘轮船，有3种方法；所以，从甲地到乙地共有4+2+3=9种方法 2 分类计数原理(加法原理)：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有12n N m m m =+++ 种不同的方法3.问题二（2－1）从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，再于次日从丙地乘汽车到乙地，一天中，火车有3班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的走法？分析:因为乘火车有3种走法，乘汽车有2种走法，所以，乘一次火车再接着乘一次汽车从甲地到乙地，共有326⨯=种不同走法，如图所示，所有走法：火车1──汽车1；火车1──汽车2；火车2──汽车1；火车2──汽车2；火车3──汽车1；火车3──汽车2（2－2）如图,由A 村去B 村的道路有2条，由B 村去C 村的道路有3条从A 村经B 村去C 村，共有多少种不同的走法？分析: 从A 村经 B 村去C 村有2步, 第一步, 由A 村去B 村有2种方法, 第二步, 由B 村去C 村有3种方法,所以 从A 村经 B 村去C 村共有 2×3 = 6 种不同的方法4.分步计数原理(乘法原理)：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有1m 种不同的方法，做第二步有2m 种不同的方法，……，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事有12n N m m m =⨯⨯⨯ 种不同的方法5.原理浅释分类计数原理(加法原理)中，“完成一件事，有n 类办法”，是说每种办法“互斥”，即每种方法都可以独立地完成这件事，同时他们之间没有重复也没有遗漏．进行分类时，要求各类办法彼此之间是相互排斥的，不论那一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事.只有满足这个条件，才能直接用加法原理，。

专题10.1 排列、组合、二项式定理教案第课时教案序号 1一、知识梳理1.计数原理：（1）分类计数原理(加法原理):完成一件事有n类办法，各类办法分别有m1,m₂,..,m n种方法,则完成这件事共有N=m1+m₂+…+m n,种不同的方法.（2）分步计数原理(乘法原理):完成一件事需要分成n个先后步骤，各步骤分别有m1,m₂,…,m n种方法,则完成这件事共有N=m1,*m₂,*…*m n种方法.两个原理的区别：分类计数中，无论采用哪一类办法中的哪一种具体的方法都可以“独立”完成一件事；分步计数中，必须将n个先后步骤都做完才能完成一件事.2.排列与排列数(1)排列的概念从n个不同元素中，任取m(m ≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.(2)排列数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数,记作.（3）排列数公式3.组合与组合数(1)组合的概念从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.(2)组合数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.（3）组合数公式（4）组合数的两个性质4.排列与组合的区别排列与组合的共同点都要“从n个不同元素中，任取m个不同的元素”;不同点是排列要“按照一定的顺序排成一列”，而组合却是“无顺序的并成一组”.故“有序”与“无序”是排列与组合的重要标志.5.二项式定理6.二项展开式的性质二、考点解析例1：某班级的课外活动小组有篮球小组8人，足球小组10人，羽毛球小组11人.（1）选其中1名同学为总负责人，有多少种不同的选法？（2）每组选1名小组负责人，有多少种不同的选法？例1变式训练：如图，从A地到B地有2条路可通，从B地到C地有3条路可通；从A地到D地有4条路可通，从D地到C 地有2条路可通.从A地到C地共有多少种不同的走法？例2:由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个无重复数字且能被2整除的四位数？例2变式训练：由0，1，2，3，4，5这六个数字可以组成多少个没有重复数字且能被5整除的四位数？例3：（1）5个人坐一条长凳，求甲乙相邻的坐法有多少种？（2）文艺晚会有7个唱歌节目和3个舞蹈节目,要求不连续出现舞蹈节目,问节目单有多少种不同的排法?解：例3变式训练：把编号为1，2，…,9的九本书任意地排列在书架的同一层,求下列情况下各有多少种排法?（1）编号为4,5,6的三本书不分开；（2）编号为4,5,6的三本书彼此不相邻.例4：求二项式的展开式中:( 1) 第四项；（2）排列在中间的一项；（3）第几项是常数项.解：例4变式训练：已知的展开式中，第三项系数为4，求它的常数项.三、错题分析纠正下题解法中的错误：现有4名男生，5名女生排成一排照相，其中男女生相间的排法有多少种？错解：正解：。