3.14 国际数学节

第5课时圆周率的历史课时目标导航一、教学内容圆周率的历史。

(教材第12～13页)二、教学目标1．阅读圆周率发展的历史，体会人类对数学知识不断探索的过程，感受数学文化的魅力。

2．了解圆周率的历史，激发民族自豪感和探索精神。

三、重点难点重点：了解圆周率的历史。

难点：体验数学研究方法的发展过程，为今后的学习提供参考价值。

教学过程一、情境引入师：同学们，在研究圆的周长计算公式时，我们知道圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们把它叫作圆周率，用字母π表示，计算时通常取3.14。

关于“圆周率”你还想了解什么呢？(学生自由交流)教师引导学生提问：人类是怎样发现圆周率的？圆周率的值究竟是多少呢？计算圆周率的方法有哪些……师：这节课我们就一起来了解圆周率的历史。

(教师板书课题：圆周率的历史)二、学习新课1．测量的方法计算圆周率。

(课件出示教材第12页第1部分内容)师：议一议，这部分内容说明了什么？(组织学生读一读)教师引导学生明确：①由于轮子等的广泛应用，人们很自然想到了圆的周长与直径之间的关系，可见很多数学问题都来源于生活。

②最早的解决方案是测量，通过测量得到了圆的周长和直径之间有一定的关系。

③在我国，现存有关圆周率的最早记载是2000多年前的《周髀算经》。

④用测量的方法计算圆周率，圆周率的精确程度取决于测量的精确程度，而许多实际困难限制了测量的精度，这就是测量方法的局限性。

……2．正多边形逼近圆的方法计算圆周率。

(课件出示教材第12页第2部分内容)师：除此之外，后来的人们有什么好的办法吗？请继续阅读，议一议，这部分又说明了什么？(学生读一读)教师引导学生明确：古希腊的阿基米德和我国古代的刘徽想到的计算圆周率的方法，从本质上都是一致的，都是用正多边形逼近圆的方法。

这两种方法不同的是阿基米德的方法是从两个方向同时逼近圆，而刘徽的方法是从一个方向逼近圆。

……3．祖冲之的贡献。

(课件出示教材第13页第1部分内容)师：同学们，你从这部分内容中了解到什么了吗？(学生自由讨论)教师引导学生明确：这部分内容介绍了祖冲之的贡献，他所取得的成就以及这一成就带来的国际声誉，让我们感到非常自豪。

五年级数学兀的由来圆的周长与直径之比是一个常数，人们称之为圆周率。

通常用希腊字母来表示。

1706年，英国人琼斯首次创用代表圆周率。

他的符号并未立刻被采用，以后，欧拉予以提倡，才渐渐推广开来。

现在已成为圆周率的专用符号，的研究，在一定程度上反映这个地区或时代的数学水平，它的历史是饶有趣味的。

在古代，实际上长期使用＝３这个数值，巴比伦、印度、中国都是如此。

到公元前２世纪，中国的《周髀算经》里已有周三径一的记载。

东汉的数学家又将值改为（约为3.16）。

直正使圆周率计算建立在科学的基础上，首先应归功于阿基米德。

他专门写了一篇论文《圆的度量》，用几何方法证明了圆周率与圆直径之比小于而大于。

这是第一次在科学中创用上、下界来确定近似值。

第一次用正确方法计算值的，是魏晋时期的刘徽，在公元263年，他首创了用圆的内接正多边形的面积来逼近圆面积的方法，算得值为3.14。

我国称这种方法为割圆术。

直到1200年后，西方人才找到了类似的方法。

后人为纪念刘徽的贡献，将3.14称为徽率。

公元460年，南朝的祖冲之利用刘徽的割圆术，把值算到小点后第七位3.1415926，这个具有七位小数的圆周率在当时是世界首次。

祖冲之还找到了两个分数：和，用分数来代替，极大地简化了计算，这种思想比西方也早一千多年。

祖冲之的圆周率，保持了一千多年的世界记录。

终于在1596年，由荷兰数学家卢道夫打破了。

他把值推到小数点后第15位小数，最后推到第35位。

为了纪念他这项成就，人们在他1610年去世后的墓碑上，刻上：3.14159265358979323846264338327950288这个数，从此也把它称为“卢道夫数”。

之后，西方数学家计算的工作，有了飞速的进展。

1948年1月，费格森与雷思奇合作，算出808位小数的值。

电子计算机问世后，的人工计算宣告结束。

20世纪50年代，人们借助计算机算得了10万位小数的，70年代又突破这个记录，算到了150万位。

14届国际数学大会会标及其介绍今天咱们来聊一聊一个超级有趣的东西，那就是14届国际数学大会的会标。

这个会标啊，就像是一个神秘的宝藏图，藏着好多数学的小秘密呢。

它的样子很特别，就像一个正方形里面有一些弯弯绕绕的图案。

你看啊，这个会标里有很多小的形状组合在一起。

比如说，有一些像小三角形的部分。

想象一下，我们在玩拼图的时候，这些小三角形就像是拼图的小碎片。

它们一块一块地凑在一起，就组成了这个独特的会标。

这个会标为什么要设计成这个样子呢？其实这里面有着很深的含义。

就像我们在搭积木的时候，每一块积木都有它的作用，这个会标里的每一个小形状也都代表着数学里的一些东西。

比如说那些弯弯的线，可能就代表着数学里的一些关系，就像我们和小伙伴之间的友谊关系一样。

有的线连着这个小形状，有的线连着那个小形状，这就说明在数学的世界里，不同的知识也是相互联系着的。

我给你们讲个小故事吧。

有一个小朋友，他一开始觉得数学很难，就像这个会标看起来很复杂一样。

但是呢，当他开始认真去研究数学里的一个个小知识，就像去仔细看这个会标里的一个个小形状的时候，他发现数学其实很有趣。

就像这个会标，虽然复杂，但是当你发现了里面小形状之间的联系，就会觉得它特别奇妙。

这个会标还像一个小宇宙呢。

那些小形状就像是小星球，它们在这个正方形的大宇宙里各自有着自己的位置。

每一个小星球（小形状）都和其他的小星球有着这样或者那样的联系，就像数学里的各种知识，它们不是孤立存在的。

而且啊，这个会标颜色也很有意思。

假如它是彩色的，不同的颜色就像不同性格的小伙伴。

红色的部分可能就像热情的小伙伴，蓝色的部分就像冷静思考的小伙伴。

它们在一起，就像我们在数学的大家庭里，不同的数学知识一起合作，创造出了这个充满魅力的会标。

每次看到这个会标，就好像看到了全世界的数学家们聚在一起。

他们就像一群探险家，在数学这个大森林里寻找着宝藏。

这个会标就是他们探险的旗帜，代表着他们对数学的热爱和探索精神。

2024年山东省济南市中考数学试题一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.每小题只有一个选项符合题目要求。

1．9的相反数是（ ）A．﹣9B．−19C．19D．92．黑陶是继彩陶之后中国新石器时代制陶工艺的又一个高峰，被誉为“土与火的艺术，力与美的结晶”．如图是山东博物馆收藏的蛋壳黑陶高柄杯．关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）A．主视图与左视图相同B．主视图与俯视图相同C．左视图与俯视图相同D．三种视图都相同3．截止2023年底，我国森林面积约为3465000000亩，森林覆盖率达到24.02%．将数字3465000000用科学记数法表示为（ ）A．0.3465×109B．3.465×109C．3.465×108D．34.65×1084．若正多边形的一个外角是45°，则这个正多边形是（ ）A．正六边形B．正七边形C．正八边形D．正九边形5．如图，已知△ABC≌△DEC，∠A＝60°，∠B＝40°，则∠DCE的度数为（ ）A．40°B．60°C．80°D．100°6．下列运算正确的是（ ）A．3x+3y＝6xy B．（xy2）3＝xy6C．3（x+8）＝3x+8D．x2•x3＝x57．若关于x的方程x2﹣x﹣m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）A．m＜−14B．m＞−14C．m＜﹣4D．m＞﹣48．3月14日是国际数学节．某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（ ）A．19B．16C．13D．239．如图，在正方形ABCD中，分别以点A和B为圆心，以大于12AB的长为半径作弧，两弧相交于点E和F，作直线EF，再以点A为圆心，以AD的长为半径作弧交直线EF于点G （点G在正方形ABCD内部），连接DG并延长交BC于点K．若BK＝2，则正方形ABCD 的边长为（ ）A．2+1B．52C．3+52D．3+110．如图1，△ABC是等边三角形，点D在边AB上，BD＝2，动点P以每秒1个单位长度的速度从点B出发，沿折线BC﹣CA匀速运动，到达点A后停止，连接DP．设点P的运动时间为t（s），DP2为y．当动点P沿BC匀速运动到点C时，y与t的函数图象如图2所示．有以下四个结论：①AB＝3；②当t＝5时，y＝1；③当4≤t≤6时，1≤y≤3；④动点P沿BC﹣CA匀速运动时，两个时刻t1，t2（t1＜t2）分别对应y1和y2，若t1+t2＝6，则y1＞y2．其中正确结论的序号是（ ）A．①②③B．①②C．③④D．①②④二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分．直接填写答案．11．若分式x−12x的值为0，则实数x的值为 ．12．如图是一个可以自由转动的转盘，转盘被等分成四个扇形，转动转盘，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为 ．13．如图，已知l1∥l2，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，顶点A，B分别在l1，l2上，当∠1＝70°时，∠2＝ °．14．某公司生产了A，B两款新能源电动汽车．如图，l1，l2分别表示A款，B款新能源电动汽车充满电后电池的剩余电量y（kw•h）与汽车行驶路程x（km）的关系．当两款新能源电动汽车的行驶路程都是300km时，A款新能源电动汽车电池的剩余电量比B款新能源电动汽车电池的剩余电量多 kw•h．15．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD＝2，E为边AD的中点，点F在边CD上，连接EF，将△DEF沿EF翻折，点D的对应点为D′，连接BD′．若BD′＝2，则DF ＝ ．三、解答题：本题共10小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．计算：9−(π−3.14)0+(14)−1+|3|−2cos30°．17．解不等式组：{4x ＞2(x−1)①x +22＜x +53②，并写出它的所有整数解．18．如图，在菱形ABCD 中，AE ⊥CD ，垂足为E ，CF ⊥AD ，垂足为F ．求证：AF ＝CE ．19．城市轨道交通发展迅猛，为市民出行带来极大方便．某校“综合实践”小组想测得轻轨高架站的相关距离，数据勘测组通过勘测得到了如下记录表：综合实践活动记录表活动内容测量轻轨高架站的相关距离测量工具测倾器，红外测距仪等过程资料轻轨高架站示意图相关数据及说明：图中点A ，B ，C ，D ，E ，F 在同一平面内，房顶AB ，吊顶CF和地面DE 所在的直线都平行，点F 在与地面垂直的中轴线AE 上，∠BCD ＝98°，∠CDE ＝97°，AE＝8.5m ，CD ＝6.7m ．成果梳理…请根据记录表提供的信息完成下列问题：（1）求点C 到地面DE 的距离；（2）求顶部线段BC 的长．（结果精确到0.01m ，参考数据：sin15°≈0.259，cos15°≈0.966，tan15°≈0.268，sin83°≈0.993，cos83°≈0.122，tan83°≈8.144）20．如图，AB，CD为⊙O的直径，点E在BD上，连接AE，DE，点G在BD的延长线上，AB ＝AG，∠EAD+∠EDB＝45°．（1）求证：AG与⊙O相切；（2）若BG=45，sin∠DAE=13，求DE的长．21．2024年3月25日是第29个全国中小学生安全教育日，为提高学生安全防范意识和自我防护能力，某校开展了校园安全知识竞赛（百分制），八年级学生参加了本次活动．为了解该年级的答题情况，该校随机抽取了八年级部分学生的竞赛成绩（成绩用x表示，单位：分）．并对数据（成绩）进行统计整理．数据分为五组：A：50≤x＜60；B：60≤x＜70；C：70≤x＜80；D：80≤x＜90；E：90≤x≤100．下面给出了部分信息：a：C组的数据：70，71，71，72，72，72，74，74，75，76，76，76，78，78，79，79．b：不完整的学生竞赛成绩频数分布直方图和扇形统计图如下：请根据以上信息完成下列问题：（1）求随机抽取的八年级学生人数；（2）扇形统计图中B组对应扇形的圆心角为 度；（3）请补全频数分布直方图；（4）抽取的八年级学生竞赛成绩的中位数是 分；（5）该校八年级共900人参加了此次竞赛活动，请你估计该校八年级参加此次竞赛活动成绩达到80分及以上的学生人数．22．近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A 种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元．（1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？（2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B 种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？23．已知反比例函数y=kx(x＞0)的图象与正比例函数y＝3x（x≥0）的图象交于点A（2，a），点B是线段OA上（不与点A重合）的一点．（1）求反比例函数的表达式；（2）如图1，过点B作y轴的垂线l，l与y=kx(x＞0)的图象交于点D，当线段BD＝3时，求点B的坐标；（3）如图2，将点A绕点B顺时针旋转90°得到点E，当点E恰好落在y=kx(x＞0)的图象上时，求点E的坐标．24．在平面直角坐标系xOy中，抛物线C1：y＝x2+bx+c经过点A（0，2），B（2，2），顶点为D；抛物线C2：y＝x2﹣2mx+m2﹣m+2（m≠1），顶点为Q．（1）求抛物线C1的表达式及顶点D的坐标；（2）如图1，连接AD，点E是抛物线C1对称轴右侧图象上一点，点F是抛物线C2上一点，若四边形ADFE是面积为12的平行四边形，求m的值；（3）如图2，连接BD，DQ，点M是抛物线C1对称轴左侧图象上的动点（不与点A重合），过点M作MN∥DQ交x轴于点N，连接BN，DN，求△BDN面积的最小值．25．某校数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．（一）拓展探究如图1，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D．（1）兴趣小组的同学得出AC2＝AD•AB．理由如下：∵∠ACB＝90°∴∠A+∠B＝90°∵CD⊥AB∴∠ADC＝90°∴∠A+∠ACD＝90°∴∠B＝①_____∵∠A＝∠A∴△ABC∽△ACD ∴ABAC=②_____∴AC2＝AD•AB请完成填空：① ；② ；（2）如图2，F为线段CD上一点，连接AF并延长至点E，连接CE，当∠ACE＝∠AFC 时，请判断△AEB的形状，并说明理由．（二）学以致用（3）如图3，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝2，BC=26，平面内一点D，满足AD＝AC，连接CD并延长至点E，且∠CEB＝∠CBD，当线段BE的长度取得最小值时．求线段CE的长．。

国际数学日
联合合国教科文组织在2019年11月26日第四十届大会批准宣布，3月14日为“国际数学日（International Day of Mathematics）,（简称IDM）”。

这个节日的昵称是“π日（Pi Day）”——国际数学日之所以定在3月14日，也是因为“3.14”是圆周率数值最接近的数字。

这是一个由国际数学联盟（International Mathematical Union，简称IMU）发起和领导的项目。

此项目得到了来自世界各地众多国际和地区组织的支持。

第一次庆祝活动于2020年3月14日举行。

这是因为数学在我们日常生活的几乎每个领域都发挥着至关重要的作用：从自然模式到气候科学，从医学成像到搜索引擎，从运输网络到AI的优化，从建模到流行病的控制。

它扩大了“圆周率日（以前在3月14日庆祝）”的范围，涵盖了整个数学领域乃至整个世界的各个方面。

关于国际数学日的小知识有哪些
国际数学日是每年的3月14日，旨在庆祝数学的重要性和应用。

以下是关于国际数学日的一些小知识：
1. 国际数学日是为了纪念传奇数学家皮埃尔·费马（Pierre de Fermat）的生日。

费马是17世纪法国数学家，他的许多定理
和问题至今仍激发着数学家们的兴趣。

2. 3月14日被选为国际数学日的原因是它与数学中的圆周率π（pi）相关。

π是一个无窮小数，并且起始数字是
3.14，因此
在全球范围内，人们通常选择3月14日庆祝国际数学日。

3. 国际数学日的目的是提高公众对数学的认识和理解，鼓励人们对数学的热爱和兴趣。

4. 在国际数学日，各国学校和机构会组织各种数学活动和比赛，例如数学问题解决竞赛、数学展览、数学讲座等。

这些活动旨在鼓励学生积极参与数学，发展他们的数学思维和解决问题的能力。

5. 在数学界，国际数学日也被称为“派日”（Pi Day），在这一天，人们会庆祝圆周率π，并与数学相关的主题聚会和活动。

这些是关于国际数学日的一些小知识，希望您会发现它们有趣并且能够增加对数学的了解。

2024-2025学年陕西省榆林市高新区上学期期中测试九年级数学试卷1.若方程是关于x的一元二次方程，则“”可以是（）A．B．C．D．2.下列几何体的三视图中没有矩形的是（）A．B．C．D．3.若，则的值为（）A．B．C．D．4.黄金分割最早是由古希腊数学家欧多克索斯提出的，若线段AB上的一点C将线段AB分为两部分，其中，那么称点C将线段AB进行了黄金分割．把长度为20cm的线段进行黄金分割，则分割后较长线段的长是（）A．B．C．D．5.3月14日是国际数学节、某学校在今年国际数学节策划了“竞速华容道”“玩转幻方”和“巧解鲁班锁”三个挑战活动，如果小红和小丽每人随机选择参加其中一个活动，则她们恰好选到同一个活动的概率是（）A．B．C．D．6.下列四个三角形，与左图中的三角形相似的是（）A．B．C．D．7.对于实数a、b定义新运算：，例如．若关于x的方程没有实数根，则m的取值范围是（）A．B．C．D．8.如图，在中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，交DF的延长线于点E，若，，，则下列说法错误．．的是（）A．B、D之间的距离等于C、E之间的距离B．C．四边形BCDE的面积为D．四边形BCDE是正方形9.一个矩形窗框在太阳光下的投影形状可能是______．（写出一种即可）10.已知四边形四边形，且相似比为2∶3，若四边形ABCD的周长为6，则四边形的周长为__________．11.如图，在四边形ABCD中，，点E在AB上，交CD于点F，若，，则CD的长为__________．12.因为拥有优越的自然环境和深厚的历史文化底蕴，近年来西安的旅游火爆出圈，各地游客慕名来到西安旅游．某景点今年10月15日收入约为10万元，之后两天的收入按相同的日增长率增长，10月17日收入约为14.4万元，若设这两天的日增长率为，则x的值为__________．13.如图，已知菱形ABCD的边长为6，点M是对角线AC上的一动点，目∠ABC＝120°，则MA+MB+MD的最小值是__．14.解方程：．15.某商场进行抽奖活动，每名顾客购物满100元可以获得一次抽奖机会．抽奖箱中只有形状大小相同、质地均匀的“中奖”和“谢谢惠顾”两种卡片共30张，工作人员每次把抽奖箱中的卡片摇匀后由顾客随机摸出一张，记下卡片内容后放回，摇匀后再由下一位顾客从中随机摸出一张，通过多次抽奖后发现，其中摸到“中奖”卡片的频率稳定在左右，请你估计抽奖箱中“谢谢惠顾”卡片的数量．16.如图，在中，，，D是AB的中点，连接CD，求的度数．17.如图，在中，，请你用尺规作图法在BC边上求作一点D，连接AD，使得．（保留作图痕迹，不写作法）18.如图，点E为矩形ABCD的边BC上一点，连接AE，于点F．求证．19.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系中，的顶点坐标依次为，，．(1)以原点O为位似中心，在第一象限内画出，使得与位似，且相似比为2∶1（点A、B、C的对应点分别为点D、E、F）；(2)在（1）的条件下，写出点E的坐标．20.阅读理解：解方程：，解：（1）当时，原方程化为，解得：，（舍去）．（2）当时，原方程化为，解得：（舍去），．综上所述，原方程的解为，．请参照上述方法解方程：．21.蒙古包是内蒙古高原地区的传统民居，如图1是一种蒙古包的大致示意图，若将该蒙古包看成图2所示的，由一个圆柱和一个圆锥组成的几何体，请你画出该几何体的三视图．22.“宫、商、角、徵、羽”是我国五声音调中五个不同音的名称，最早的“官商角徵羽”的名称见于距今2600余年的春秋时期，在《管子·地员篇》中，有采用数学运算方法获得“宫、商、角、徵、羽”五个音的科学办法，这就是中国音乐史上著名的“三分损益法”．某音乐玩具的大致结构如图所示，音乐小球从中间A处沿轨道进入周围的5个音槽内，就可以发出相应的声音，且小球每次进入每个音槽内的可能性均相同，现有一个音乐小球从A处先后两次进入音槽．(1)第一次发出“羽”音的概率为__________；(2)请用列表法或画树状图的方法求这两次先发出“角”音，再发出“徵”音的概率．23.学习了投影和相似的相关知识后，瑶瑶想测量操场边路灯的高度AB，如图，灯泡A处的灯光照在水平放置的单杠CD上，在地面上留下影子EF，经测量得知，单杠长米，影子米，单杠高米．已知，，，点B、M、E、N、F在同一水平直线上．(1)请你在图中画出点F的位置；（保留画图痕迹）(2)请你求出路灯的高度AB．24.如图，在平行四边形中，平分，交于点E，平分，交于点F，与交于点P，连接，．(1)求证：四边形是菱形；(2)若，，，求线段的长．25.人工智能（AI）是近年来科技发展的热点，它的发展和应用正在改变着我们的生活方式，随着AI技术的快速发展和广泛应用，掌握AI技能的人才需求也越来越大．为了培养更多的AI技术人才，某校开设了AI兴趣班，并修建了一个周长为90米，面积为500平方米的矩形AI兴趣教育基地ABCD，如图．(1)请你求出该矩形基地的长和宽；(2)为了便于使用，校方在该基地中间修建了两条互相垂直且等宽的作品展示长廊（图中阴影部分），剩余部分的面积恰好为300平方米，求每条作品展示长廊的宽为多少米？26.【问题提出】（1）如图1，点E为正方形ABCD的边BC的中点，连接AC、DE相交于点F，若的面积为4，求的面积；【问题探究】（2）如图2，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且，连接BE、EF，，EF与BC的延长线交于点G，若，求CG的长；【问题解决】（3）如图3，李叔叔家有一个正方形菜园ABCD，AC为人行步道，李叔叔计划对该菜园进行重新扩建规划，在CA的延长线上取一个点E，AC上取一个点F，使得，在区域内种植某种新品种蔬菜，在DF的延长线与BC的交点G处修建一个储水间（大小忽略不计），DG修建为灌溉水渠，经测量，．根据李叔叔的规划要求，AE的长应为60米，请你计算灌溉水渠DG的长度．。

专题1.4 有理数（拓展提高）一、单选题1．下列说法正确的是（）A．所有的整数都是正数B．不是正数的数一定是负数C．0是最小的有理数D．整数和分数统称有理数【答案】D【分析】整数包括正整数、负整数、零；不是正数，有可能是负数和零，零既不是正数，也不是负数；有理数可这样分，正数、零、负数；有理数的概念：整数和分数统称为有理数【详解】A、负整数和0就不是正数，显然A错误；B、不是正数，有可能是零，所以B错误；C、负有理数比零小，错误；D、正确，故选D.【点睛】认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点.2．在31,7π，0，0.6四个数中，有理数有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【分析】根据有理数的定义即可求解．【详解】解：在31,7π，0，0.6四个数中，317，0，0.6是有理数，共3个，故选：C．【点睛】本题考查有理数的定义，整数和分数统称为有理数．3．在﹣3，12-，0，2四个数中，是负整数的是（）A．﹣3 B．12-C．0 D．2【答案】A【分析】根据有理数的分类进行分析即可求解．【详解】解：-3是负整数，12-为负分数，0为整数，2为正整数故选：A．【点睛】本题主要考查学生有理数的分类以及各类数的概念，要求学生熟练掌握各类数的概念．4．在下列六个数中：0，2π，227-，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（ ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个 【答案】B 【分析】根据分数的定义解答即可．【详解】在下列六个数中：0，2π，227-，0.101001，﹣10%，5213中，分数有227-，0.101001，﹣10%共3个．故选：B ．【点睛】本题主要考查了有理数的分类，熟记分数的定义是解答本题的关键．5．下列说法中正确的是（ ）A ．在有理数中，零的意义仅表示没有B ．一个数不是负数就是正数C ．正有理数和负有理数组成全体有理数D ．零是整数【答案】D【分析】根据有理数的分类进行判断即可．有理数包括：整数（正整数、0和负整数）和分数（正分数和负分数）．【详解】解：A 、在有理数中，零的意义表示没有、也可以表示正数和负数的分界点，故选项错误； B 、0不是正数也不是负数，故选项错误；C 、正有理数和负有理数和0组成全体有理数，故选项错误；D 、零是整数，正确．故选：D ．【点睛】本题考查了有理数的分类，认真掌握正数、负数、整数、分数、正有理数、负有理数、非负数的定义与特点．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．6．2020年3月14日，是人类第一个“国际数学日”这个节日的昵称是“π（Day ）”国际数学日之所以定在3月14日，是因为3．14与圆周率的数值最接近的数字，在古代，一个国家所算的的圆周率的精确程度，可以作为衡量这个国家当时数学与科技发展的水平的主要标志，我国南北朝时期的祖冲之是世界上最早把圆周率的精确值计算到小数点后第七位的科学巨匠，该成果领先世界一千多年，以下对圆周率的四个表述：①圆周率是一个有理数；②圆周率是一个无理数；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比；其中正确的是（ ）A ．②③B ．①③C ．①④D ．②④【答案】A 【分析】圆周率的含义：圆的周长和它直径的比值，叫做圆周率，用字母π表示，π是一个无限不循环小数；据此进行分析解答即可．【详解】解：①圆周率是一个有理数，错误；②π是一个无限不循环小数，因此圆周率是一个无理数，说法正确；③圆周率是一个与圆的大小无关的常数，它等于该圆的周长与直径的比，说法正确；④圆周率是一个与圆大小有关的常数，它等于该圆的周长与半径的比，说法错误；故选：A ．【点睛】本题考查了对圆周率的理解，解题的关键是明确其意义，并知道圆周率一个无限不循环小数，3.14只是取它的近似值．二、填空题7．在有理数3-，7，2，123，43-，0，0.01-，10.1%-中，属于非负数的有________个． 【答案】4【分析】根据大于或等于零的数是非负数，可得答案．【详解】解：7，2，123，0，是非负数，共4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了非负数，大于或等于零的数是非负数．8．有六个数：5，0，132，0.3-，14-，π-，其中分数有a 个，非负整数有b 个，有理数有c 个，则a b c +-=______．【答案】0【分析】根据分数、非负整数和有理数的定义得到a ，b ，c 的值，即可求解． 【详解】解：分数有132，0.3-，14-，∴3a =， 非负整数有0，5，∴2b =，有理数有5，0，132，0.3-，14-，∴5c =， ∴3250a b c +-=+-=，故答案为：0．【点睛】本题考查有理数的定义，掌握分数、非负整数和有理数的定义是解题的关键．9．若三个互不相等的有理数，既可以表示为3，a b +，b 的形式，也可以表示为0，3a b ，a 的形式，则4a b -的值________．【答案】15【分析】根据分母不等于0，可得b≠0，进而推得a+b=0，再求出3a b =-3，解得b=-3.a=3，然后代入4a b -进行计算即可．【详解】解：∵三个互不相等的有理数，既可以表示为3、a b +、b 的形式，也可以表示为0、3a b 、a 的形式∴0b ≠，∴a b +＝0， ∴3a 3b=-， ∴b ＝3-，a ＝3，∴4a b -＝123+＝15．故答案为15．【点睛】题考查了代数式求值及其有理数的相关概念，根据题意推得b≠0、 a+b=0、3a b=-3是解答本题的关键．10．（1）、字母a 没有“-”号，所以a 是正数．（_______）（2）、任何一个有理数都可以在数轴上表示出来．（_______）（3）一个数的绝对值必是正数．（_______）（4）符号不同的两个数互为相反数．（_______）（5）有理数就是自然数和负数的统称．（_______）【答案】（1）错， （2）对， （3）错， （4）错， （5）错．【分析】（1）根据0既不是正数，也不是负数，可得凡是前面没有“-”号的数不一定都是正数，据此判断即可；（2）所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数可得答案；（3）根据绝对值的定义进行判断即可；（4）符号不同、且绝对值相等的两个数互为相反数；（5）根据有理数的定义、分类进行判断求解．【详解】解：（1）错误，比如：a=0，或a=-3时；（2）任何一个有理数都可以在数轴上找到对应的点，所以说法正确；（3）根据正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0，可得绝对值是非负数≥0，故错误；（4）只有符合不同的两个数互为相反数，故原题错误；（5）有理数就是正有理数、负有理数和零的统称，故原题错误．【点睛】本题考查有理数分类、相反数，绝对值的定义，只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0；一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．11．把下列各数填在相应的大括号内：－5，34-，－12，0，0.12．．，－3.14，＋1.99，＋6，227．（1）正数集合：{ …}；（2）负数集合：{ …}；（3）分数集合：{ …}；（4）非负整数集合：{ …}．【答案】（1）0.12．．，＋1.99，＋6，227；（2）－5，34-，－12，－3.14；（3）34-，0.12．．，－3.14，＋1.99，227；（4）0，＋6【分析】利用正数，负数，非负整数，以及分数的定义判断即可．【详解】解：（1）正数集合：{ 0.12．．，＋1.99，＋6，227…}；（2）负数集合：{ －5，34－，－12，－3.14 …}；（3）分数集合：{34－，0.12．．，－3.14，＋1.99，227…}；（4）非负整数集合：{ 0，＋6 …}.【点睛】此题考查了正数，负数，非负整数，以及分数的定义，弄清各自的定义是解本题的关键．12．将下列各数填入相应的括号内：﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112……正数集合：{}；负数集合：{ }； 整数集合：{ }；无理数集合：{ }；【答案】正数集合：{152，8，2π}；负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}；整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}； 【分析】直接利用正数、负数、整数、无理数的定义分别分析得出答案．【详解】﹣2.5，152，0，8，﹣2，2π，﹣1.121121112…… 正数集合：{152，8，2π}； 负数集合：{﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……}；整数集合：{0，8，﹣2}；无理数集合：{2π，﹣1.121121112……}． 故答案为：152，8，2π；﹣2.5，﹣2，﹣1.121121112……；0，8，﹣2；2π，﹣1.121121112……． 【点睛】本题考查了实数的分类，正确掌握相关定义是解题的关键．13．观察下面一列数：—1，2，—3，4，—5，6，—7，…，将这列数排成下列形式.按照上述规律排下去，那么第10行从左边数第9个数是______；数—201是第______行从左边数第______个数【答案】90， 15， 5．【分析】根据数的排列，每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方，并且奇数都是负数，偶数都是正数，求出第9行的最后一个数的绝对值，然后加上9即为第10行从左边数第9个数；求出与201最接近平方数为196，即可得解．【详解】∵第9行的最后一个数的绝对值为92=81，∴第10行从左边数第9个数的绝对值是81+9=90，∵90是偶数，∴第10行从左边数第9个数是正数，为90，∵142=196，201-196=5，∴数-201是第15行从左边数起第5个数．故答案为90，15，5．【点睛】本题是对数字变化规律的考查，观察出每一行的最后一个数的绝对值等于行数的平方是解题的关键．14． 将一列有理数﹣1，2，﹣3，4，﹣5，6…如图所示有序排列，4所在位置为峰1，﹣9所在位置为峰2…．（1）处在峰5位置的有理数是_____；（2）2022应排在A ，B ，C ，D ，E 中_____的位置上．【答案】24 A【分析】根据图示信息找出A ，B ，C ，D ，E 各个位置数据的表达式，代入即可【详解】解：（1）观察发现：峰n 中，A 位置的绝对值可以表示为：5n ﹣3；B 位置的绝对值可以表示为：5n ﹣2；C 位置（峰顶）的绝对值可以表示为：5n ﹣1；D 位置的绝对值可以表示为：5n ；E 位置的绝对值可以表示为：5n+1；∴处在峰5位置的有理数是5×5﹣1＝24；（2）根据规律，∵2022＝5×405﹣3， ∴2022应排在A 的位置．故答案为：（1）24；（2）A ．【点睛】此题属于找规律题，考查提取信息和总结的能力．三、解答题15．下列各数填入它所在的数集中：18-，227，3.1416，0，2001，35，0.142-，95%，π． 正数集：{ …}；整数集：{ …}；自然数集：{ …}；分数集：{ …}．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类即可求出答案．【详解】解：正数集：{ 227，3.1416，2001，95%，π}整数集：{-18，0，2001 }分数集：{ 227，3.1416，35，-0.142，95% }非负整数集：{0，2001}【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是熟练运用有理数的分类，本题属于基础题型，注意：π不是有理数．16．将下列各数填入它所属于的集合的圈内：20，-0.08，-213，4.5，3.14，-1，+43，+5．【答案】见解析【分析】分别判断题干中的8个数字是否符合四个圆圈的内容，相应填入数字即可【详解】负整数，即既是负数，也是整数；正整数，即既是正数，也是整数；负分数，即既是负数，也是分数；正分数，即既是正数，也是分数；故负整数集合为：－1；正整数集合：20、+5；负分数集合为：－0.08、1 23正分数集合为：4.5、3.14、﹢4 3【点睛】本题考查有理数的分类，解题的关键是细心，切勿遗漏或重复填写数字17．把下列各数填入相应的大括号内（将各数用逗号分开）6，-3，2.4，34，0，-3.14，29，＋2，－312，－1.414，－17，23．正数：{ …}非负整数：{ …}整数：{ …}负分数：{ …}【答案】6，2.4，29，+2，23；6，0，+2；6，-3，0，+2，-17；-34，-3.14，-312，-1.414．【分析】根据大于零的数是正数，可得正数集合；根据大或等于零的整数是非负整数，可的非负整数集合；根据分母为1的数是整数，可得整数集合；根据小于零的分数是负分数，可得负分数集合．【详解】正数：{6，2.4，29，+2，23…}非负整数：{6，0，+2 …}整数：{6，-3，0，+2，-17 …}负分数：{-34，-3.14，-312，-1.414 …}【点睛】本题考查了有理数，熟练掌握有理数的分类是解本题的关键．注意整数和正数的区别，注意0是整数，但不是正数．18．把下列各数填入相应的数集中：+125、-5％、200、-3、6.8、0、－215、0.12003407、1、-43.555、77％、-334（1）非负数集合：______________________（2）负有理数集合：________________________ （3）正整数集合：______________________（4）负分数集合：___________________________【答案】（1）+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％；（2）-5％、-3、－215、-43.555、-334；（3）200、1；（4）-5％、－215、-43.555、-334.【分析】根据有理数的分类，可得答案【详解】解：（1）非负数集合：+125、200、6.8、0、0.12003407、1、77％； （2）负有理数集合：-5％、-3、－215、-43.555、-334； （3）正整数集合：200、1；（4）负分数集合：-5％、－215、-43.555、-334. 【点睛】本题考查了有理数，熟知有理数的分类是解题关键．19．把下列各数填在相应的横线处：115 , 0.81 -3 25% -3.1 -4 , 171 , 0 , 3.142，，，，， 正数集合：_____；负数集合：_____；整数集合：_____；负分数集合：_____；有理数集合：_____．【答案】见解析【分析】根据有理数的分类进行填空即可． 【详解】解：正数集合：115 0.81 25% 171 , 3.142，，，，； 负数集合：-3，-3.1，-4；整数集合：15，-3，-4，171，0；负分数集合：-3.1； 有理数集合：1115 0.81 -3 -3.1 -4 171 , 0 3.1424，，，，，，，，． 【点睛】本题考查了有理数的分类．掌握有理数的分类是解题的关键．20．任何一个有理数都能写成分数的形式(整数可以看作是分母为1的分数)．我们知道：0.12可以写成123,0.12310025=可以写成1231000，因此，有限小数是有理数．那么无限循环小数是有理数吗？下面以循环小数2.615454542.6154••=为例，进行探索： 设 2.6154x ••=，①两边同乘以100得： 100261.54x ••=，② ②-①得：99261.54 2.61258.93x =-= 25893287799001100x ∴== 因此，••261.54是有理数．（1）直接用分数表示循环小数1.5•= （2）试说明3.1415••是一个有理数，即能用一个分数表示．【答案】（1）149；（2）见解析 【分析】（1）设 1.5x •=，两边乘10，仿照例题可解；（2）设 3.1415x ••=，两边乘100，仿照例题可化简求解．【详解】解：（1）设 1.5x •=，① 两边乘10得：1015.5x •=，② ②-①得：914x =， ∴149x =， ∴141.59•=； （2）设 3.1415x ••=，① 两边同乘以100得：••100314.15x =，② ②-①得：314.15 3.1499311.1105x ••••=-= 311011036799003300x ∴==， 因此3.1415••是有理数【点睛】本题需理解题中的例子，将一个循环小数化为分数的方法，需要学生有很好的分析理解能力．。

关于日期的数学故事3.14这个看似平凡的日期里，其实藏着各种科学而浪漫的内涵。

3.14是个特殊的日子，不仅仅是因为“白色情人节”，还因为爱因斯坦的生日以及霍金逝世的日子都是3月14日。

人类史上两位伟大的物理学家，与今天这个日子关联在一起，而3.14也是“圆周率日（πday）”。

3月14日，由圆周率最常用的近似值3.14而来。

在2011年，国际数学协会正式宣布将每年的3月14日设为“国际数学节”，全球各地的一些数学系的人会在这天下午1时59分或者在下午3时9分（15时9分）庆祝以象征圆周率的六位近似值3.14159，还有人把圆周率的数字对应到和声小调音阶写成了乐谱，并弹奏出来。

今天，你可以一边听着圆周率钢琴曲一边吃着各种味道的派，喝一种名字中含有“pi”的鸡尾酒，和朋友比赛谁能背诵小数点后更多的数字，来庆祝这个一年一度的“π节”。

最早的以π为主题的大型庆祝活动是1988年3月14日在旧金山科学博物馆举办的一名物理学家带着博物馆的员工和参与者一起围绕博物馆纪念碑做3又1／7圈（π的近似值）的圆周运动，并一起吃水果派，分享有关π的知识。

加拿大滑铁卢大学则在圆周率日免费供应馅饼，麻省理工学院则经常选择在这一天向学生发出录取通知书。

2010年的圆周率日，谷歌为表庆祝推出了π的谷歌节日图标。

上述图解只是π的基本应用，它还应用于许许多多的数学和科学领域中，上至天文、下至地理在宏如宇宙、微如量子的地方四处都会看到它的身影。

π的魅力和π带给我们的惊喜就像它的数一样，无穷无尽，永不重复关于π的知识，你忘了吗？圆周率是圆周长与直径的比值，也是圆形面积与半径平方的比。

用一个希腊字母π来表示可能是因为在数学公式中随处可见，π在流行文化中的出现频率及地位远远高于其他数学常数。

提到圆周率，大家自然会想到我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之。

中国邮政于1955年发行了《中国古代科学家》纪念邮票，其中全套第二枚便是数学家祖冲之。

2011年，国际数学协会正式宣布，将每年的3月14日设为国际数学节，是为了纪念中国古代数学家祖冲之。

去年的今天，霍金逝世，享年76岁。

霍金1942年1月8日出生于英国牛津，出生当天正好是伽利略逝世300年忌日。

通常，人们会在凌晨或下午1时59分庆祝，以象征圆周率的六位近似值3.14159。

排版软件TeX从第三版之后的版本号为逐次增加一位小数，使之越来越接近π的值：3.1，3.14，……当前的最新版本号是3.1415926。

在谷歌公司2005年的一次公开募股中，共集资四十多亿美元，A股发行数量是14,159,265股，这当然是由π小数点后的位数得来。

祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。

他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。

祖冲之算出圆周率（π）的真值在3.1415926和3.1415927之间，相当于精确到小数第7位，简化成3.1415926，祖冲之因此入选世界纪录协会世界第一位将圆周率值计算到小数第7位的科学家。

同时他还给出圆周率(π)的两个分数形式：22/7（约率）和355/113（密率），其中密率精确到小数第7位。

他对圆周率数值的精确推算值，对于中国乃至世界是一个重大贡献，后人将“约率”用他的名字命名为“祖冲之圆周率”，简称“祖率”。

祖冲之在圆周率方面的研究，有着积极的现实意义，他的研究适应了当时生产实践的需要。

他亲自研究度量衡，并用最新的圆周率成果修正古代的量器容积的计算。

古代有一种量器叫做“ 釜”，一般的是一尺深，外形呈圆柱状，祖冲之利用他的圆周率研究，求出了精确的数值。

他还重新计算了汉朝刘歆所造的“律嘉量”，利用“祖率”校正了数值。

以后，人们制造量器时就采用了祖冲之的“祖率”数值。

圆周率的应用很广泛，尤其是在天文、历法方面，凡牵涉到圆的一切问题，都要使用圆周率来推算。

用模拟方法估计圆周率的值教案【教材分析】本课时选自北师大版教材必修3第三章探究活动，主题为用模拟方法估计圆周率π的值.第三章第3节课题为《模拟方法—概率的应用》，主要内容是用模拟方法完成大量重复试验，通过估计不规则图形的面积引出几何概型，再应用几何概型解决会面问题，主要模拟方法是撒芝麻法和计算机模拟法.本课时主要研究模拟方法的应用，丰富对圆周率π的认识，以大量重复试验中随机事件发生的频率的稳定性和几何概型为基础，经历通过大量重复试验（模拟实验）估计圆周率π的过程，主要模拟方法为撒芝麻法（人工实验）和计算机（Geogebra）模拟法，分析误差产生的原因，探究控制误差的方法，渗透数学文化，感受数学的美和思想的力量.【教学目标】1.从圆周率π的前世中理解圆周率π的估计思想；2.会用学过的模拟方法估计圆周率π的值；3.通过小组合作试验提高动手操作能力，培育科学探究精神，增强数据分析与处理的意识和能力；4.了解计算机随机模拟实验在估计中的重大作用.【教学重点】1.小组合作试验估计圆周率π的值，指导科学实验，做好实验结果的数据分析；2.理解模拟方法的基本思想及其应用.3.了解计算机随机模拟实验在估计中的重大作用.【教学难点】1.理解模拟方法的基本思想；2.引导学生学会科学实验，初步掌握实验流程；3.初步理解实验数据的分析与处理.【教学过程】一、圆周率π的传奇圆周率π知多少？圆周率是圆的周长与直径的比值，是一个无理数（约等于3.141592654），一般用希腊字母π表示，在数学及物理学中普遍存在.π是第十六个希腊字母，本来它是和圆周率没有关系的，但大数学家欧拉从1736年开始，在书信和论文中都用π来表示圆周率，圆周率才开始用π来表示.刘徽（约225年—约295年）用割圆术，从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆，依次得正12边形、正24边形、…，割得越细，正多边形面积和圆面积之差越小，他计算了正3072边形的面积，得到了π的近似值3.1416.祖冲之（公元429年—500年），算出圆周率π的值在3.1415926和3.1415927之间，这是一项了不起的大成就.2011年9月17日，人类通过云计算，将π的值计算到了小数点后2千万亿位.2011年，国际数学协会宣布，3月14日为国际圆周率日，也是国际数学节.在日常生活中，通常都用3.14代表圆周率去进行近似计算，而用十位小数3.141592654便足以应付一般计算.即使是工程师或物理学家要进行较精密的计算，充其量也只需取值至小数点后几百位.二、做实验，用软件，估计π的值我们知道，在大量重复试验中，随机事件发生的频率具有稳定性，我们还知道，利用几何概型，可以估计不规则图形的面积.如图所示，为了估算圆的面积，作出它的外切正方形，向其中随机地撒一把芝麻，设落在圆内的芝麻数为m，落在正方形内的芝麻数为n，圆的面积为πr，则正方形的面积为4r，则224mπr2mπ，即.2n4rn今天我们通过随机模拟的方法来体验估计圆周率π的值.活动一撒芝麻模拟试验下面我们来做个实验，老师为每个小组准备了一张画有正方形及其内切圆的纸板和芝麻若干，请大家向正方形内撒芝麻，尽量使芝麻落在正方形中每一个位置的可能性相同，并统计落在圆内的芝麻数和落在正方形中的芝麻数.【实验过程】（1）将全体学生分成6组，10人一组，并对小组进行编号；（2）各组一块大的硬纸板，上面已经画了一个正方形及其内切圆；（3）各组分发200—300粒芝麻（可能有若干芝麻会落在正方形外）；（4）各组进行实验，自主讨论撒芝麻的方式，教师不作引导；（5）清点落在圆内的芝麻数和落在正方形内的芝麻数；（6）根据计算估计π的值.【实验报告】小组成员：实验过程：重点报告本小组撒芝麻的方式实验结果：落在圆内的芝麻数m，落在正方形中的芝麻数n，计算得π的估计值为.【互动交流】。