11第十一章全等三角形--2012年3月中考数学一轮复习精品讲义(含2011中考真题)2

第七章三角形本章小结小结1 本章概述三角形是几何知识中的重要内容，也是几何学的基础．本章从三角形出发，先学习与三角形有关的线段和角再到多边形，其中包括三角形的内角和、外角和及多边形的内角和等知识，最后到多边形的实际应用．小结2 本章学习重难点【本章重点】了解三角形的有关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)；会画出任意三角形的角平分线、中线和高．【本章难点】通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或六边形可以镶嵌平面，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计．【学习本章应注意的问题】正确理解三角形的有关概念，掌握有关性质．在学习中，要注意观察，搜集资料，多交流，注重新旧知识的联系，学会将新知识转化到已学的知识上去，再进行归纳、整理、分析，要深刻理解并掌握归纳、类比的方法．学习中，还要多注意结合图形，理解用多边形镶嵌图案的道理，欣赏丰富多彩的图案，体验数学美，提高审美情趣．小结3 中考透视本章知识在中考中所占比重较大，一方面以填空题、选择题形式出现，以考查对基本概念、基本定理的理解为主；另一方面以综合题形式出现，主要考查对知识的灵活运用及综合运用的能力，利用本章知识解决实际问题的题目也越来越多地出现在中考试题中，还有平面图形的镶嵌内容也是近年来的热点考题，备受关注．由于镶嵌问题具有较强的实用性，对知识的运用要求灵活性较高，所以要得到这类问题的分数也不是太容易的，分值占3～4分．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 三角形的三条重要线段【专题解读】三角形的中线、角平分线和高是三角形的三条重要线段，它们具有十分重要的性质，三角形的高构造了垂直的条件，三角形的中线隐含线段相等，通过三角形的中线可以把三角形的面积分成相等的两部分，三角形的角平分线提供了角相等的条件.掌握这些概念,对解与三角形有关的问题十分重要.例1 如图7-64所示,D为△ABC中AC边上一点,AD=1,DC=2,AB=4,E是AB上一点,且△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,求EB.分析已知△DEC的面积等于△ABC的面积的一半,在图形中, △DEC与△ABC既不同底也不等高,因此需寻找桥梁△AEC来建立二者之间的关系,因为△AEC既与△DEC等高也与△ABC等高.解:作EF⊥AC于F,则122132DECAECDC EFS DCS ACAC EF===,作CG⊥AB于点G,则12142AECABCAE CGS AE AES ABAB CG===,∴234DEC AECAEC ABCS S AES S=⨯,即6DECABCS AES=.又∵12DECABCSS=,∴162AE=,∴AE=3,∴BE=AB-AE=1,即BE的长为1.【解题策略】等高的两个三角形的面积比等于底边长的比,它是面积问题中常用的解题策略.专题2 多边形的内角和及外角和【专题解读】用三角形的内角和定理可以推出多边形的内角和定理及外角和定理,在推导的过程中体现了转化思想,在解有关多边形的问题时,如求多边形的内角、外角、边数及对角线等问题，这两个定理都很重要.例2 已知一个多边形的内角和与某个外角的度数的总和为1350°,求这个多边形的边数.分析应充分利用多边形每个外角在0°～180°间和等式的性质巧解此题.解:设这个多边形的这个外角为x,它的边数为n,则(n-2)·180°+x=1350°, ∴(n-2) ·180°=8×180°-(90°+x),由此可得90°+x是180°的倍数. ∵0°＜x＜180°,∴x=180°-90°=90°,∴(n-2) ·180°=7×180°,∴n=9.【解题策略】灵活运用多边形的内角和定理及外角和定理是解决此类问题的关键.二、规律方法专题专题3 用公式法解有关对角线的条数问题【专题解读】用n边形的对角线有(3)2n n-条来解决相关问题.例3 若一个多边形有77条对角线,求它的内角和.分析由(3)2n n-=77,求n.解:设这个多边形的边数为n,由题意,得(3)2n n-=77.解得n=14,即这个多边形是十四边形,十四边形的内角和为(14-2) ×180°=2160°,即内角和为2160°.【解题策略】根据对角线条数的公式(3)2n n -,即已知边数可求对角线的条数,反之已知对角线的条数,可求出边数.三、思想方法专题 专题4 转化思想 【专题解读】转化思想在本章中有很多的应用,主要体现在探索有关多边形的问题时经常转化为三角形的问题进行解决.例4 填表.分析 先由三角形的内角和为180°及外角和为360°逐一推广,将4,5,…,n 边形分割成若干个三角形,易得答案.解:填表如下.2011中考真题精选（2011陕西，12，3分）如图，AC ∥BD ，AE 平分∠BAC 交BD 于点E ，若︒=∠641， 则=∠2 ．考点：平行线的性质。

2012年中考数学一轮复习讲义1 有理数小结1 概述知识要点主要包括有理数的意义和有理数的运算两部分内容，其课标要求是：理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，会比较有理数的大小；借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数和绝对值；理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算；理解有理数的运算律，并能灵活使用运算律简化运算；能运用有理数的运算解决简单的问题；会用科学记数法表示较大的数，并能按要求取近似数．小结2 学习重难点重点是：有理数的意义及运算；难点是：负数概念的建立以及对有理数运算法则的理解．关键是能够运用有理数的运算法则正确进行运算，并且能够掌握好有理数的运算顺序及符号的确定．小结3 本章学法点津1．注重从算术到代数的过渡，要克服学习小学数学时的思维局限性，考虑问题时不能忽略负数的可能性．2．注重学习方法的更新和能力的提升．学习中要多观察思考、讨论交流、探究反思、归纳总结，从而提升自己的思维能力．3．注重数学思想的运用．掌握数形结合、分类、转化、类比等数学思想是学好数学的重要保障．知识网络结构图重点题型总结及应用题型一绝对值理解绝对值的意义及性质是难点，由于|a|表示的是表示数a的点到原点的距离，因此|a|≥0．可运用|a|的非负性进行求解或判断某些字母的取值．例1 如果a与3互为相反数，那么|a +2|等于( )A．5 B．1 C．－1 D．－5解析：a与3互为相反数，则a＝－3，所以|a+2|＝|－3+2|＝|－1|＝1．答案：B例2 若(a－1)2+|b+2|＝0，则a+ b＝.解析：由于(a－1)2≥0，|b+2|≥0，又(a－1)2与|b+2|互为相反数，因此(a－1)2＝0且|b+2|＝0，则a＝1，b＝－2，所以a +b＝－1．答案：－1规律若几个非负数的和为0，则这几个数分别为0．题型二 有理数的运算有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方，是初中数学运算的基础．要熟记法则，灵活运算，进行混合运算时，还要注意运算顺序及运算律的应用．例3 (－1)2 011的相反数是( )A ．1B ．－1C ．2 011D ．－2 011解析：由于指数2 011为奇数，所以(－1)2 011＝－1，其相反数为1．答案：A例4 计算：(1)2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211(-8)-9-1452； (2)⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦21110.52-(-3)3． 解：(1)2⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯+⨯÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭1211(-8)-9-1452 2⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭523(-8)-9-452 ＝4－9×49＝4－4＝0． (2)⎡⎤⎛⎫⎡⎤--⨯⨯ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎣⎦21110.52-(-3)3 ＝⎡⎤⎛⎫--⨯ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦111(2-9)6 ＝⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭51-(-7)6 ＝.⨯17(-7)=-66题型三 运用运算律简化运算过程运用加法的交换律、结合律，把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等)分别结合在一起相加，可以简化运算过程．例5 计算下列各题．(1)21－49．5+10．2－2－3．5+19； (2)⎛⎫⎛⎫---++-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1137222323483； (3)2⎛⎫⎛⎫⎛⎫÷-++-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭311113*********-42434(-0.2)； (4)32323⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯--⨯⨯-+⨯- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭3351914321251943252． 分析：混合运算，应按法则进行，同时注意灵活运用运算律，简化运算过程．解：(1)原式＝[(21+19)+10．2]+[(－49．5－3．5)－2]＝50．2－55＝－4．8；(2)原式⎛⎫⎛⎫=-++--=-+-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭11372137122232232348324833； =-=311118324； (3)原式3⎛⎫⎛⎫=⨯-++-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫ ⎪⎝⎭12457551241654341-5 ⎛⎫=-+⨯+⨯-⨯+ ⎪⎝⎭14575524242412540434 =-+++113927056-330+125=-121=120404040； (4)原式＝322⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦335194-22519435 ＝⎛⎫-⨯-⨯+=-⨯= ⎪⎝⎭2794319162700.8251943258点拨(1)正、负数分别结合相加；(2)分数中，同分母或分母有倍数关系的分数结合相加；(3)除法转化为乘法，正向应用乘法分配律；(4)逆向应用分配律a (b +c )＝ab +ac ，即ab +ac ＝a (b +c )．题型四 利用特殊规律解有关分数的计算题根据题目特点，灵活将算式变形，对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法，达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的．例6 计算下列各题． (1)--+-5231591736342； (2)⎛⎫⎛⎫--⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3173155959595212777； (3)++++++++1111111112612203042567290(4)+++++++1111111…24816512 1 024 2 048. 分析：(1)带分数相加，可将带分数中整数部分与分数部分拆开分别相加．(2)本题若按常规计算方法比较麻烦，但若用运算律可简化运算．(3)由于==-==-==-⨯⨯⨯111111111111， ， ，212262323123434 ==-⨯1111204545，==-⨯1111305656，==-⨯1111426767，==-⨯1111567878，==-⨯1111728989，==-⨯111190910910，所以将原算式变形裂项后，再进行计算． (4)算式中，后一个分数的分母是前一个分数分母的2倍，可在算式中加上最后一个分数12 048，再减去12 048，加上的12 048与前一个分数运算，所得的和再与前一个分数运算，依次向前进行，最终求得运算结果． 解：(1)原式＝－5－--++--523191736342 ⎛⎫=+--+-==- ⎪⎝⎭523111(-5-9+17-3)0-11634244；(2)⎛⎫⎛⎫--⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3173155959595212777 ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31731559+59+59+5212777 ⎛⎫⎛⎫=--⨯-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31731559+59-59+5212777 ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--⨯+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦317315(59-59+59)5212777 ()⎛⎫=--⨯ ⎪⎝⎭31759+15212 =⨯⨯⨯31760-60-60=36-30-35=-295212. (3)原式=++++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯1111111111223344556677889910 ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-+-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭1111111111223344556⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭111111677889 =-=1911010(4)原式＝++++=-+++++++16181412120481204812048110241...161814121 (2048)15121...161814121204811024110241-+++++=-++ .=+-=-=1111 2 047122 2 048 2 048 2 048 点拨利用规律特点，灵活解分数计算题，需要认真观察，注意经常训练，提高思维的灵活性．题型五 有理数运算的应用用正负数可以表示相反意义的量，有理数的运算在生活中的应用十分广泛，其中，有理数的加法、减法及乘法运用较多．做题时，要认真分析，列出算式，并准确计算．例7 有8箱橘子，以每箱15千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，现记录如下(单位：千克)：1．2，－0．8，2．3，1．7，－1．5，－2．7，2，－0．2，则这8箱橘子的总重量是多少?分析：本题运用有理数的加法、乘法解决问题．先求出总增减量，再求出8箱橘子的总标准重量，两者之和便为这8箱橘子的实际总重量．解析：1．2+(－0．8)+2．3+1．7+(－1．5)+(－2．7)+2+(－0．2)＝1．2－0．8+2．3+1．7－1．5－2．7+2－0．2＝(2．3+1．7+2)+(－0．8－2．7－1．5)+(1．2－0．2)＝6－5+1＝2．则15×8+2＝122(千克)．答案：这8箱橘子的总重量是122千克．例8 一货车为一家摩托车配件批发部送货，先向南走了8千米，到达“华能”修理部，又向北走了3．5千米，到达“捷达”修理部，继续向北走了7．5千米，到达“志远”修理部，最后又回到批发部．(1)以批发部为原点，以向南方向为正方向，用1个单位长度表示1千米，你能够在数轴上表示出“华能”“捷达”“志远”三家修理部的位置吗?(2)“志远”修理部距“捷达”修理部多远?(3)货车一共行驶了多少千米?解：(1)能．如图1－6－1所示．(2)由数轴可知“志远”修理部距“捷达”修理部4．5－(－3)＝4．5+3＝7．5(千米)．(3)货车共行驶了|8|+|－3．5|+|－7．5|+|3|＝8+3．5+7．5+3＝22(千米)．题型六 探索数字规律找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题，这类题目灵活多变．解题时要认真观察、分析思考，找出规律，并运用规律解决问题．例9 某种细菌在繁殖过程中，每半小时分裂一次，由一个分裂成两个，2．5小时后，这种细菌可分裂为( )A ．8个B ．16个C ．32个D . 64个解析：本题数字的规律是1→2→4→8…，每半小时细菌个数变为原来的2倍，所以经过2．5小时，细菌个数应变为原来的25倍，即32个．答案：C( )例10 观察图1－6－2，寻找规律，在“?”处应填上的数字是A ．128B ．136C ．162D ．188解析：观察图个数字特点可发现：8＝4+2+2；14＝8+4+2；26＝14+8+4；…．所以“?”＝88+48+26＝162．答案：C思想方法归纳本章中所体现的数学思想方法主要有：1．数形结合思想：在本章中，自始至终利用数轴来定义或描述有理数的概念和运算，数轴成为理解有理数及其运算的重要工具．这种把数与形(图形或数轴)结合起来进行研究的思想方法，是学习数学的重要思想方法．2．分类讨论思想：a 与－a 哪个大呢? a 的绝对值等于什么?在本章中，我们都是通过分类讨论解决问题，分类讨论可以把一个复杂的问题分成若干个较简单的问题来处理，这是数学中处理问题的一种重要思想方法．不重复、不遗漏是对分类讨论提出的基本要求．例如，我们常把有理数分成正有理数、负有理数和零三类，如果遗漏了零，只考虑正有理数和负有理数两种情况，就会犯错误．3．转化思想：有理数的加法是通过符号法则转化为绝对值(小学所学的数)的加减法进行的；有理数的减法是通过转化为加法进行的；有理数的除法是通过转化为乘法，或者说有理数的乘除法是通过符号法则转化为绝对值的乘除法进行的．1．数形结合思想数轴是数形结合的重要工具，涉及含字母或绝对值符号的问题，借助数轴往往有利于问题的迅速解决．例1 |a |＞|b |，a ＞0，b ＜O ，把a 、b 、－a 、－b 按由小到大的顺序排列．分析：将a 、b 、－a 、－b 在数轴上对应点的位置找出来，就可以比较大小了．解：由a ＞0，b ＜0可知，a 为正数，b 为负数，a 、b 所对应的点分别在数轴上原点的右边和左边.由于|a |＞|b |，从绝对值的几何意义可知，表示数a 的点离原点的距离比表示数b 的点离原点的距离远，而互为相反数的两个数绝对值相等，即|a |＝|－a |，|b |＝|－b |，于是a 、b 、－a 、－b 在数轴上的位置如图1－6－3所示．故由小到大的顺序排列为－a ＜b ＜－b ＜a ．提示比较数的大小，可在数轴上把这些对应点表示出来，按从左到右的顺序确定后，就能写出这些数的大小关系．从本例看，我们还可以进一步得到－a ＜b ＜0＜－b ＜a ．例2 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图l －6－4所示，则必有( )A ．a + b ＞0B ．a － b ＜oC ．a b ＞0D . a b＜0解析：由数轴可知0＜a＜1，b＜－l＜0且|b|＞|a|，因此有a+b＜0 a－b＞0，ab＜0，ab＜0．故选D．答案：D点拨本题要注意读懂图形(数轴)，掌握数轴上点的性质，还要注意有理数的四则运算法则．2．分类讨论思想例3 比较2 a与－2 a的大小．分析：由于a可能为正数，也可能为负数和0，所以应分a＞0，a＜0，a＝0三种情况讨论．解：当a＞0时，2 a＞－2 a；当a＜0时，2 a＜－2 a；当a＝0时，2 a＝－2 a．规律解此类题时用分类讨论的思想方法来完成．3．转化思想例4 计算：l3+23+33+43+…+993+1003的值．分析：直接求解，当然不行，必须探索规律，将运算进行转化．解：∵l3＝1，13+23＝9＝32＝(1+2)2，13+23+33＝36＝62＝(1+2+3)2，13+23+33+43＝100＝(1+2+3+4)2，…，由此可知13+23+33+43+…+993+1003＝(1+2+3+4+…+99+100)2＝2⨯⎡⎤⎢⎥⎣⎦(1+100)1002＝5 0502＝25 502 500．点拨利用转化思想可将“复杂问题”转化为“简单问题”，把“陌生”问题转化为“熟悉”的知识解决．本题中把“立方”运算转化为“平方”运算，把“求和”运算转化为“乘方”的运算．4．用“赋值法”解题在做选择题和填空题时，问题的结论如果运用法则、定义等推导，有些题容易，而有些题很复杂，对于那些推导过程比较复杂的题目可采取“赋值法”，这样就能又快又准地得出结论．例5 m－n的相反数是( )A．－( m + n) B．m+ n C．m－n D．－( m－n)解析：可设m＝2，n＝1，则m－n＝1．又－( m + n)＝－3，m+ n＝3，m－n＝1，－( m－n)＝－1．故选D．答案：D点拨赋值时取值要符合题意，但又不能特殊，本题中m，n不能取0，得出结论后再用其他值试一试，如：m＝3，n＝－2等．例6 如果a＞0，b＜0，|a|＞| b|，那么a+ b0，a－b0．(填“＞”或“＜”)解析：由前提条件设a＝3，b＝－1，则a+b＝2，a－b＝4．答案：＞＞例7 若x yx y+-中的x，y都扩大到原来的5倍，则x yx y+-的值( )A．缩小，B．不变C. 扩大到原来的5倍D．缩小到原来的1 5解析：取x=3，y＝2，32532x yx y++==--，5x＝15，5 y＝10，15+1015-10＝5．答案：B点拨(1)“赋值法”只能在客观题(填空题、选择题)上并且用其他方法不易解出时使用，一般不提倡使用，但可以作为检验结论是否正确的方法。

初中数学全等三角形综合复习讲义-全面完整版初中数学全等三角形综合复讲义——全面完整版一、基础知识1.全等图形的有关概念1)全等图形的定义：两个图形能够完全重合，就是全等图形。

例如，图13-1和图13-2就是全等图形。

2)全等多边形的定义：两个多边形是全等图形，则称为全等多边形。

例如，图13-3和图13-4中的两对多边形就是全等多边形。

3)全等多边形的对应顶点、对应角、对应边：两个全等的多边形，经过运动而重合，相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角。

4)全等多边形的表示：例如，图13-5中的两个五边形是全等的，记作五边形ABCDE≌五边形A’B’C’D’E’（这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”）。

表示图形的全等时，要把对应顶点写在对应的位置。

5)全等多边形的性质：全等多边形的对应边、对应角分别相等。

6)全等多边形的识别：对边形相等、对应角相等的两个多边形全等。

2.全等三角形的识别1)根据定义：若两个三角形的边、角分别对应相等，则这两个三角形全等。

2)根据SSS：如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中有一个与（SSS）全等识别法相类似，即三条边对应成比例的两个三角形相似，而相似比为1时，就成为全等三角形。

3)根据SAS：如果两个三角形有两边及夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等。

相似三角形的识别法中同样有一个是与（SAS）全等识别法相类似，即一角对应相等而夹这个角的两边对应成比例的两个三角形相似，当相似比为1时，即为全等三角形。

4)根据ASA：如果两个三角形的两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

5)根据AAS：如果两个三角形有两个角及其中一角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等。

3.直角三角形全等的识别1)根据HL：如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等。

2)SSS、SAS、ASA、AAS对于直角三角形同样适用。

全等三角形本章小结小结1 本章概述本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学习如何利用全等三角形进行证明．学习利用三角形全等推导出角平分线的性质及判定．全等三角形是研究图形的重要工具，是几何学习中最基础的知识，为今后学习四边形、圆等内容打下基础．小结2 本章学习重难点【本章重点】1．全等三角形的性质及各种判定三角形全等的方法．2．角平分线的性质及判定．3．理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式．【本章难点】1．根据不同的条件合理选用三角形全等的判定方法，特别是对于“SSA”不能判定三角形全等的认识．2．角平分线的性质和判定的正确运用．3．用综合法证明的格式．小结3 学法指导1．注意在探究中掌握结论．2．三角形全等的判定方法较多，注重在对比中掌握这些结论．3．注重推理能力的培养，推理时前因后果写清楚，过程书写要严密，有理有据．4．注重联系实际．5．注意分类讨论思想、转化思想、数学建模思想等的应用，掌握作辅助线的技巧．知识网络结构图专题总结及应用一、知识性专题专题1 三角形全等的判定与性质的综合应用【专题解读】三角形的全等的判定要根据题目的具体情况确定采用S A S，A S A，AA S，SSS，H L中的哪个定理，而且这几个判定方法往往要结合其性质综合解题．例1 如图11-113所示，BD，CE分别是△AB C的边AC和AB上的高，点P在BD的延线上，BP＝AC，点Q在CE上，C Q＝AB．（1）求证AP＝A Q；（2）求证AP⊥A Q．分析（1）欲证AP＝A Q，只需证对应的两个三角形全等，即证△ABP≌△Q CA即可．（2）在（1）的基础上证明∠PA Q＝90°．证明：（1）∵BD，CE分别是△ABC的边AC，AB上的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°．在Rt△AEC和Rt△ADB中，∠ABP＝90°－∠BAD，∠ACE＝90°一∠DAB，∴∠ABP＝∠ACE．在△ABP和△Q CA中，BP＝CA（已知），∠ABP＝∠ACE（已证），AB＝Q C（已知），∴△ABP≌△Q CA（S A S）．∴AP＝A Q（全等三角形的对应边相等）．（2）∵△ABP≌△Q CA，∴∠P＝∠CA Q（全等三角形的对应角相等）．又∵∠P＋∠PAD＝90°，∴∠CA Q＋∠PAD＝90°，即∠Q AP＝90°，∴AP⊥A Q．例2 若两个锐角三角形的两边和其中一边上的高分别对应相等．试判断这两个三角形的第三边所对的角之间的关系，并说明理由．分析运用全等三角形的判定和性质，探讨两角之间的关系，题中没给图形，需自己根据题意画出符合题意的图形，结合图形写出已知、结论．已知：如图11-114所示，在△ABC和△A′B′C′中，AB＝A′B′，BC＝B′C′，AD，A′D′分别是BC，B′C′上的高，且AD＝A′D′．判断∠B和∠B′的关系．解：∠B＝∠B′．理由如下：∵AD，A′D′分别是BC，B′C′边上的高，∴∠ADB＝∠A′D′B′＝90°．在Rt△ADB和Rt△A′D′B′中，,, AB A B AD AD''=⎧⎨=⎩∴Rt△ADB≌Rt△A′D′B′（H L）．∴∠B＝∠B′（全等三角形的对应角相等）．规律·方法边、角、中线、角平分线、高是三角形的基本元素，从以上诸元素中选取三个条件组合，可以得到关于三角形全等判定的若干命题．例3 如图11-115所示，已知四边形纸片ABCD中，AD∥BC，将∠ABC，∠DAB分别对折，如果两条折痕恰好相交于DC上一点E，点C，D都落在AB边上的F处，你能获得哪些结论?分析对折前后重合的部分是全等的，从线段关系、角的关系、面积关系等不同方面进行探索，以获得更多的结论，这是一道开放性试题．解：①AD＝AF，ED＝EF＝EC，BC＝BF．②AD十BC＝AB，DE＋EC＝2EF．③∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠D＝∠AFE，∠C＝∠EFB，∠DEA＝∠FEA，∠CEB＝∠FEB．④∠AEB＝90°或EA⊥EB．⑤S△DAE＝S△EAF，S△ECB＝S△EFB.【解题策略】本题融操作、观察、猜想、推理于一体，需要具有一定的综合能力．推理论证既是说明道理，也是探索、发现的途径．善于在复杂的图形中发现、分解、构造基本的全等三角形是解题的关键．需要注意的是，通常面临以下情况时，我们才考虑构造全等三角形：（1）给出的图形中没有全等三角形，而证明结论需要全等三角形．（2）从题设条件中无法证明图形中的三角形全等，证明需要另行构造全等三角形．专题2全等三角形的性质及判定的实际应用【专题解读】全等三角形的知识在实际问题中的应用是常见的一种类型题，解题的是键是将实际问题抽象成几何问题来解决，一般难度不大．例4 如图11-116所示，太阳光线AC与A′C′是平行的，同一时刻两根高度相同的木杆在太阳光照射下的影子一样长吗?说说你的理由．分析本题欲确定影子一样长，实际就是证明BC与B′C′相等，而要证明两条线段相等，常常证明它们所在的两个三角形全等．解：影子一样长．理由如下：因为AB⊥BC，A′B⊥B′C′，所以∠ABC＝∠A′B′C′＝90°．因为AC∥A′C′，所以∠ACB＝∠A′C′B′．在△ABC和△A′B′C′中，∠ABC＝∠A′B′C′,∠ACB＝∠A′C′B′,AB＝A′B′,所以△ABC≌△A′B′C′（AAS），所以BC＝B′C′（全等三角形的对应边相等）．专题3 角平分线的性质及判定的应用【专题解读】此部分内容单独考查时难度不大，要注意角平分线的性质及判定的区别与联系．例5 如图11-117所示．P 是∠AOB 的平分线上的一点，PC ⊥AO 于 C ，PD ⊥OB 于D ，写出图中一组相等的线段 （只需写出一组即可）．分析 本题主要运用角平分线的性质定理来解决，同时本题是一道开放性试题，答案不唯一．故填PD ＝PC （或OD ＝OC ）．【解题策略】 OC 与OD 相等可通过三角形全等来得到．例6 如图11-118所示，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，DG ⊥BC 且平分BC ．交BC 于G ，DE ⊥AB 于 E ，DF ⊥AC 交AC 的延长线于F ．（1）说明BE ＝CF 的理由；（2）如果AB ＝a ，AC ＝b ，求AE ．BE 的长．分析 本题综合考查了角平分线与全等三角形的性质及判定，难度中等．解：（1）连接BD ，CD ，∵AD 是∠BAC 的平分线，且DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF ．又∵DG ⊥BC 且BG ＝GC ，∴△DBG ≌△DCG ，∴DB ＝DC ．∴Rt △BED ≌Rt △CFD （H L ），∴BE ＝CF ．（2）∵DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴∠DEA ＝∠DFA ＝90°．在Rt △ADE 和Rt △ADF 中，Rt △ADF 中,,AD AD DE DF =⎧⎨=⎩∴Rt △ADE ≌Rt △ADF （H L ）．∴AE ＝AF ．又∵BE ＝CF ，∴a －BE ＝6＋BE ．∴2BE ＝a －b ，即BE ＝2a b - ∴AE ＝AB －BE ＝a －2a b -=2a b +． 专题4 利用尺规作图，作一个三角形与另一个三角形全等或作一个角的平分线 【专题解读】 尺规作图是数学的重要知识之一，作一个角的平分线和作一个三角形全等于另一个三角形是尺规作图中的基本作图．很多复杂的图形都是通过这些简单的基本图形作出来的．例7 如图11-119所示，已知△ABC ，在△ABC 内求作一点P ，使它到△ABC 三边的距离相等．（保留作图痕迹，不写作法）分析 到三角形三边距离相等的点是三角形三条角平分线的交点，其实只需作出两个角的平分线，即可确定P 点的位置，作图痕迹指的是确定点P 的过程．解：如图11-120所示．二、思想方法专题专题5分类讨论思想【专题解读】对于三角形全等的有些性质及判定的问题，由于已知条件的不确定或开放性问题．常用到分类讨论思想．例8如图11- 121所示，在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC②AD＝AE；③∠B＝∠C；①BD＝CE．请以其中三个论断作为条件．余下一个作为结论，写出一个正确的数学命题（用序号⊗⊗⊗⇒⊗的形式写出）：．分析解决本题一方面用分类讨论的数学思想来考虑问题，另一方面需熟练应用全等三角形的性质及判定方法．具体分析如下：（1）以①为结论．②③④为条件：在△ABD和△ACE中，,AD AEB C=∠=∠⇒BD CE⎧⎪⎨⎪=⎩△ABD≌△ACE⇒AB＝AC．∴不能以②③④为条件，①为结论．（2）以②为结论，①③④为条件：在△ABD和△ACE中，,,,AB ACB CBD CE=⎧⎪∠=∠⇒⎨⎪=⎩△ABD≌△ACE（S A S）⇒AD＝AE．∴能以①③④为条件，②为结论．（3）以③为结论，①②④为条件：在△ABD和△ACE中，AB ACAD AEBD CE=⎧⎪=⇒⎨⎪=⎩△ABD≌△ACE（SSS）⇒∠B＝∠C．∴能以①②④为条件，③为结论．（4）以④为结论，①②③为条件：在△ABD和△ACE中，AB ACAD AE==⇒B C⎧⎪⎨⎪∠=∠⎩△ABD≌△ACEC⇒BD＝CE．∴不能以①②③为条件，④为结论．∴正确的结果有两种：其一：①③④⇒②；其二：①②④⇒③．两者任选其一即可．故填①③④⇒②或①②④⇒③．专题6转化思想【专题解读】三角形全等是证明线段相等、角相等最常用的方法．证线段（或角）相等往往转化为证线段（或角）所在的两个三角形全等．当需证的两个全等的三角形不明显时，还要添加辅助线，构造全等三角形．例9如图11-122所示，已知AB＝CD，AD＝BC，求证∠B＝∠D，∠A＝∠C．分析本题是证明四边形的对角相等，需构造全等三角形，转化为证三角形全等．为此，需作辅助线AC ，把四边形ABCD 分成△ACD 和△CBA ．证明：连接AC ，在△ADC 和△CBA 中，,,,AD BC DC BA AC AC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ADC ≌△CBA （SSS ）．∴∠D ＝∠B ．同理∠DAB ＝∠DCB ．例10 如图11-123所示．△ABC 中，BD 为∠ABC 的平分线，DE ⊥ AB 于E ，且DE ＝2㎝，AB ＝9㎝，BC ＝6㎝，你能求出△ABC 的面积吗?分析 要求△ABC 的面积，只需分别求出△ABD 和△BCD 的面积即可．在△ABD 中．底AB ．高DE 都知道在△BCD 中，底BC 知道，高没画出来，所以问题就转化为求△BCD 的高，这里可以作辅助线DF ⊥BC 于F ．解：作DF ⊥BC 于F ．因为BD 是∠ABC 的平分线，DE ⊥AB ，DF ⊥BC ，所以DE ＝DF ．由DE ＝2 cm ，可知DF ＝2 cm ．所以S △ABC ＝S △ABD ＋S △BCD ＝12AB ·DE ＋12 B C ·DF ＝12×9×2＋12×6×2＝15（㎝2）． 专题7数学建模思想【专题解读】 全等三角形在实际生活中有很多的应用．比如，测量工具内槽宽的工具—— 卡钳，测量不能直接测量的两点间的距离等．对于这些实际问题，往往是根据实际情况，建立数学模型，利用数学原理解决问题．例11 如图11-124所示的是人民公园中的荷花池，现要测量此荷花池两旁A ，B 两棵树之间的距离，但无法直接测量，请你运用所学知识，以卷尺和测角仪为测量工具设计一种测量方案．要求：（1）画出你设计的测量平面图；（2）简述测量方法，并写出测量数据（长度用a ，b ，c ，…表示，角度用 α,β,γ，… 表示）；（3）根据你测量的数据，计算A ,B 两棵树之间的距离．分析 依题意．结合图形解题，我们可以用SAS ，ASA ，AAS 等方法构造出两个全等三角形，即可用卷尺测出与AB 相等的边的长度，从而得到A ，B 间的距离．解法1：如图11-125所示，在平面内选取一个可以直接到达A ，B 的点C ，连接AC 并延长至D ，使AC ＝CD ，连接BC 并延长至E ，使BC ＝CE ．连接ED ，用卷尺分别测出AC ＝CD ＝b ，BC ＝CE ＝a ，ED ＝c ，则A ，B 两点间的距离AB ＝ED ＝c ．解法2：作射线BM ，如图11-126所示，在射线BM 上取一点C ，使点C 能达到点A .在BM 上取一点E ，使BC ＝CE ＝a ．过点E 作∠BED ＝∠ABC ＝a ，连接AC 并延长，与ED 相交于D 点，这样易知△ABC ≌△DEC （ASA ），所以AB ＝DE ，用卷尺可测出ED 的长为b ，则A ，B 间的距离为b ．【解题策略】 事实上，用测量的方法获得两个不能直接测量的两地之间的距离，除了用三角形全等的方法外，在学习了相似三角形后，也可通过相似的方法获得测量方法和结果．专题8类比思想【专题解读】 对于几何图形的运动问题（如平移、旋转等）以及一些规律探究题，常常会出现一个基本图形，无论从图形上还是从解题方法上都比较简单，而其他的较复杂的图形，都是由基本图形通过变化得到的，它和基本图形有很多类似的条件和结论．类比基本图形，可以解决复杂图形的问题，主要考查观察能力和推理、猜测能力．例12 （规律探究题）如图11-127（1）所示，AB ＝C D ，AD ＝BC ，O 为AC 的中点，过O 点的直线分别与AD ，BC 相交于M ，N ，那∠1和∠2有什么关系?请证明；将过O 点的直线旋转至图11-127（2）（3）的位置时，其他条件不变，那∠图（1）中的∠1和∠2的关系还成立吗?请证明．分析 图（1）是基本的图形，在图（1）中证∠1＝∠2不难，在图（2）（3）中证∠1 ＝∠2，可以类比在图（1）中证明时的方法．解：∠1＝∠2．证明：在△ABC 和△CDA 中，,,,AB CD BC DA AC CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以△ABC ≌△CDA （SSS ）．所以∠BCA ＝∠DAC ．所以AD ∥BC ．所以∠1＝∠2．当直线旋转到图（2）（3）的位置时，仍有∠1＝∠2，证明方法同上．例13（动手操作题）正方形通过剪切可以拼成一个三角形，如图11－128所示．仿照图（1）所示的方法，解答下列问题，操作设计（在原图上画出即可）．（1）如图11-128（2）所示，对直角三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原三角形面积相等的长方形；（2）如图11-128（3）所示，对于任意三角形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形；（3）如图11-128（4）所示．对于任意四边形，设计一种方案，将它分成若干块，再拼成一个与原图形面积相等的长方形．分析本题考查观察能力、动手操作能力．剪下来的图形和拼上去的图形实际上是一个图形．拼图的关键在于使剪切下的图形和拼接的图形的全等．普通三角形可以类比直角三角形，四边形可以类比普通三角形．解：（1）如图11-129所示．（2）如图11-130所示．（3）如图11-131所示．【解题策略】（1）第（2）题中任意三角形的剪切、拼接，可以先把它转化为两个直角形，再按照（1）中直角三角形的拼接方法完成．对于任意四边形，则是通过连接对角线，把四边形转化为两个三角形．本题体现了数学中的类比、转化思想．（2）针对图形而言，本题中实质上是构造全等三角形：利用线段中点把线段分成两条相等的线段的条件，再添加一些合适的条件，就可以构造出全等三角形，从而达到转化线段、角以及三角形位置的目的．2011中考真题精选1.（2011•江苏宿迁，7，3）如图，已知∠1=∠2，则不一定能使△ABD≌△ACD的条件是（）A、AB=ACB、BD=CDC、∠B=∠CD、∠BDA=∠CDA考点：全等三角形的判定。

全等三角形1、判定和性质一般三角形直角三角形判定边角边（SAS ）、角边角（ASA ） 角角边（AAS ）、边边边（SSS ） 具备一般三角形的判定方法 斜边和一条直角边对应相等（HL ）性质对应边相等，对应角相等对应中线相等，对应高相等，对应角平分线相等2、证题的思路：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧）找任意一边（）找两角的夹边（已知两角）找夹已知边的另一角（）找已知边的对角（）找已知角的另一边（边为角的邻边）任意角（若边为角的对边，则找已知一边一角）找第三边（）找直角（）找夹角（已知两边AAS ASA ASA AAS SAS AAS SSS HL SAS 【例1：SSS 的证明】如图，AD ＝BC ，AC ＝BD 。

试证明：∠CAD ＝∠DBC 。

【例2：SAS 的证明】如图，AB ＝AC ，BE ＝CD 。

求证：∠B ＝∠C 。

【变式2-1】如图，AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2。

求证：BC＝DE。

【变式2-2】如图，将两个一大、一小的等腰直角三角尺拼接（A、B、D三点共线，AB＝CB，EB＝DB，∠ABC＝∠EBD＝90°），连接AE、CD，试确定AE与CD的位置与数量关系，并证明你的结论。

【例3：AAS和ASA的证明】如图，AB⊥AE，AD⊥AC，∠E＝∠B，DE＝CB。

求证：AD＝AC。

【变式3-1】如图，在△MPN中，H是高MQ和NR的交点，且MQ＝NQ。

求证：HN＝PM。

【例4：HL 的证明】如图，AC ＝BD ，AD ⊥AC ，BC ⊥BD 。

求证：AD ＝BC 。

【课堂练习】1、如图⑴，点是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出。

从下列条件中补充一个条件，不一定能．．．．推出的是（ ） A 、BC=BD B 、AC=AD C 、 D 、2、如图⑵，已知，，要使≌，可补充的条件是 。

3、如图，在△ABE 中，AB ＝AE ，AD ＝AC ，∠BAD ＝∠EAC ， BC 、DE 交于点O 。

全等三角形讲义一、知识点总结全等三角形定义：形状大小相同，并且能够完全重合的两个三角形叫做全等形三角形。

补充说明：重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。

全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等 全等三角形判定定理：（1）边边边定理：三边对应相等的两个三角形全等。

（简称SSS ） （2）边角边定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。

(简称SAS) （3）角边角定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。

（简称ASA ） （4）角角边定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。

（简称AAS ） （5）斜边、直角边定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。

（简称HL ） 角平分线的性质：在角平分线上的点到角的两边的距离相等.∵OP 平分∠AOB ，PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ， ∴PM=PN角平分线的判定：到角的两边距离相等的点在角的平分线上.∵PM ⊥OA 于M ，PN ⊥OB 于N ，PM=PN ∴OP 平分∠AOB三角形的角平分线的性质：三角形三个内角的平分线交于一点，并且这一点到三边的距离等。

二、典型例题举例A BC PMNO A BC PMNO例1、如图,△ABN ≌△ACM,∠B 和∠C 是对应角,AB 与AC 是对应边,写出其他对应边和对应角.例2、如图，△ABC 是一个钢架，AB=AC ，AD 是连结点A 与BC 中点D 的支架．求证：△ABD ≌△ACD ．例3、已知：点A 、F 、E 、C 在同一条直线上， AF ＝CE ，BE ∥DF ，BE ＝DF ． 求证：△ABE ≌△CDF ．例4、如图：D 在AB 上，E 在AC 上，AB ＝AC ，∠B ＝∠C ．求证AD ＝AE ．例5、如图：∠1=∠2，∠3=∠4 求证：AC=AD例6、如图，B 、E 、F 、C 在同一直线上，AF ⊥BC 于F ，DE ⊥BC 于E ，AB=DC ，BE=CF ，你认为AB 平行于CD 吗？说说你的理由D CB ACADB123 4例7、如图1，△ABC 的边AB 、AC 为边分别向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连结EG ，试判断△ABC 与△AEG 面积之间的关系，并说明理由.例8、如图，OC 是∠AOB 的平分线，P 是OC 上的一点，PD ⊥OA 交OA 于D ，PE ⊥OB 交OB 于E ，F 是OC 上的另一点，连接DF ，EF ，求证DF ＝EF例9、如图，△ABC 中，AD 是它的角平分线，P 是AD 上的一点，PE ∥AB 交BC 于E ，PF ∥AC 交BC 于F ，求证：D 到PE 的距离与D 到PF 的距离相等例10、如图，在△ABC 中，AD 为∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于E ，DF ⊥AC 于F ，△ABC 面积是282cm ，AB ＝20cm ，AC ＝8cm ，求DE 的长．AGF C BDE图1AEB DCFAB CDE D C EFBA 例10、已知：BE ⊥CD ，BE ＝DE ，BC ＝DA ，求证：① △BEC ≌△DAE ；②DF⊥BC ．例11、如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C ，D 是垂足，连接CD ，求证:（1）∠ECD=∠EDC ；（2）OD=OC ；（3）OE 是CD 的中垂线.三、专题版块专题一： 全等三角形的判定和性质的应用例1、如图，在△ABC 中，AB=AC ， BAC=40°,分别以AB 、AC 为边作两个等腰三角形ABD 和ACE ，使∠BAD=∠CAE=90°.(1)求∠DBC 的度数.(2)求证：BD=CE.例2、如图，A B ∥CD,AF ∥DE,BE=CF,求证：AB=CD.例3、如图在△ABC 中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，在BE 延长线上截取BM ＝AC ，在CF 延长线上截到CN ＝AB ，求证：AM ＝AN 。

（备战中考）2012年中考数学深度复习讲义（教案+中考真题+模拟试题+单元测试）全等三角形◆考点聚焦1．探索并掌握两个三角形全等的特征和识别．2．了解定义、命题、逆命题和定理的含义，会区分命题的条件和结论．3．完成基本作图（等线段、等角、角的平分线、线段的垂直平分线）；•会利基本作图作三角形及过不在同一直线上的三点作圆．◆备考兵法1．证边角相等可转化为证三角形全等，即“要证边相等，转化证全等．•”全等三角形是证明线段、角的数量关系的有力工具，若它们所在的三角形不全等，可找中间量或作辅助线构造全等三角形证明．在选用ASA 或SAS 时，一定要看清是否有夹角和夹边；要结合图形挖掘其中相等的边和角（如公共边、公共角和对顶角等），若题目中出现线段的和差问题，往往选择截长或补短法．2．本节内容的试题一改以往“由已知条件寻求结论”的模式，•而是在运动变化中（如平移、旋转、折叠等）寻求全等．对全等三角形的考查一般不单纯证明两个三角形全等，命题时往往把需要证明的全等三角形置于其他图形（如特殊平行四边形）中，或与其他图形变换相结合，有时也还与作图题相结合；解题时要善于从复杂的图形中分离出基本图形，寻找全等的条件．◆识记巩固1．三角形全等的识别方法：注意：要证全等必须满足至少一组边对应相等．2．三角形全等的证题思路： SAS HL SSS SAS ASA AAS ASA AAS ⎧→⎧⎪⎪→⎨⎪⎪⎪→⎩⎪⎪→⎧⎪⎪→⎨⎨⎪⎪→⎩⎪⎪→⎧⎪⎨→⎪⎩⎪⎩找夹角已知两边找直角找另一边找夹角的另一边已知一边和一角找夹边的另一角找边的对角找夹边已知两角找任一边3．全等三角形的特征：全等三角形的对应边_______，•对应角______；•图形经过_______，_______，_______等几何变换后与原图形全等．•4．•________________•叫做命题．•正确的命题称为_______，•错误的命题称为_______．两个三角形中对应相等的边或角 全等识别法 一般三角形 三条边 两边及其夹角 两角及其夹边两角及一角的对边直角三角形 斜边及一条直角边5．在几何中，限定用________和_______来画图，称为尺规作图，新课标要求掌握四种基本作图（画线段、画角、画角平分线、画垂直平分线）．6．全等三角形中常见的基本图形：识记巩固参考答案:1．SSS SAS ASA AAS HL3．相等相等对称平移旋转4．可以判断正确与错误的语句真命题假命题5．直尺圆规 ◆典例解析例1（2011重庆江津，22，10分）在△ABC 中,AB=CB,∠ABC=90º,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且AE=CF.(1)求证:Rt △ABE ≌Rt △CBF; (2)若∠CAE=30º,求∠ACF 度数.【答案】（1）∵∠ABC=90°,∴∠CBF=∠ABE=90°.在Rt △ABE 和Rt △CBF 中,∵AE=CF,AB=BC,∴Rt △ABE ≌Rt △CBF(HL)(2)∵AB=BC,∠ABC=90°,∴∠CAB=∠ACB=45°.∵∠BAE=∠CAB-∠CAE=45°-30°=15°.由（1）知Rt △ABE ≌Rt △CBF ，∴∠BCF=∠BAE=15°, ∴∠ACF=∠BCF+∠ACB=45°+15°=60°.例2在一次数学课上，王老师在黑板上画出下图，并写下了四个等式：①AB=DC ；②BE=CE ；③∠B=∠C ；④∠BAE=∠CDE ．•要求同学从这四个等式中选出两个作为条件，推出△AED 是等腰三角形．请你试着完成王老师提出的要求，并说明理由．（写出一种即可）已知： 求证：△AED 是等腰三角形．证明：解析本例是一道开放性问题，考查全等三角形的识别，填法多样，•一般先看从题中已知的四个条件中取出两个共有六种取法，再看有几种正确．正确的填法可以是已知：①③（或①④，或②③，或②④）（任选一个即可）．若选①③，证明如下：证明：在△ABE 和△DCE 中，∵,,,B C AEB DEC AB DC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCE ， ∴AE=DE ，即△AED 是等腰三角形． 点评几何演绎推理论证该如何考？一直是大家所关注的．本题颇有新意，提供了一种较新的考查方式，让学生自主构造问题，自行设计命题并加以论证，给学生创造了一个自主探究的机会，具有一定的挑战性．这种考查的形式在近几种的中考试题中频繁出现，复习时值得重视．例3已知Rt △ABC 中，∠C=90°．（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．①作∠BAC的平分线AD交BC于点D；②作线段AD的垂直平分线交AB于点E，交AC于点F，垂足为H；③连结ED．（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形：△_____≌△______，并加以证明．解析（1）按照要求用尺规作∠BAC的平分线AD，作线段AD的垂直平分线，并连结相关线段．（2）由AD平分∠BAC，可以得到∠BAD=∠DAC．由EF垂直平分线段AD，可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，从而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共边，从而有△AEH≌△AFH≌△DEH．以上三组中任选一组即可．点拨本题的最大特点是将基本作图与证明结合起来，就目前的情况来看，“作图→证明”“作图→计算”“作图→变换”是考查基本作图的常见命题模式．作角平分线和线段的垂直平分线是新课标中明确提出的基本作图之一，作图的图形中含有很多相等的线段和角，蕴含着全等三角形．例4在△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D为BC的中点．（1）如图1，E，F分别是AB，AC上的点，且BE=AF，求证：△DEF为等腰直角三角形；（2）如图2，若E，F分别是AB，CA延长线上的点，仍有BE=AF，其他条件不变，•那么△DEF是否仍为等腰直角三角形？证明你的结论．解析（1）连结AD．∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD⊥BC，BD=AD，∴∠B=∠DAC=45°．又BE=AF，图1 图2∴△BDE≌△ADF（SAS），∴ED=FD，∠BDE=∠ADF，∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°．∴△DEF为等腰直角三角形．（2）连结AD．∵AB=AC，∠BAC=90°，D为BC的中点，∴AD=BD，AD⊥BC．∴∠DAC=∠ABD=45°，∴∠DAF=∠DBE=135°．又AF=BE，∴△DAF≌△DBE（SAS），∴FD=ED，∠FDA=∠EDB，∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°．∴△DEF仍为等腰直角三角形．例5在△ABC中，AB=AC，CG⊥BA交BA的延长线于点G，•一等腰直角三角尺按如图1所示的位置摆放，该三角尺的直角顶点为F，一条直角边与AC边在一条直线上，•另一条直角边恰好经过点B．（1）在图中请你通过观察、测量BF与CG的长度，猜想并写出BF与CG满足的数量关系，然后证明你的猜想；（2）当三角尺沿AC方向平移到如图2所示的位置时，一条直角边仍与AC•边在同一直线上，另一条直角边交BC 边于点D，过点D作DE⊥BA于点E．此时请你通过观察，•测量DE，DF与CG的长度，猜想并写出DE+DF与CG 之间满足的数量关系，然后证明你的猜想；（3）当三角尺在（2）在基础上沿AC方向继续平移到如图3所示的位置（点F•在线段AC上，且点F与点C不重合）时，（2）中的猜想是否仍然成立？（不用说明理由）图1 图2 图3解析（1）BF=CG ．证明：在△ABF 和△ACG 中，∵∠F=∠G=90°，∠FAB=∠GAC ，AB=AC ， ∴△ABF ≌△ACG （AAS ）， ∴BF=CG ．（2）DE+DF=CG ．证明：过点D 作DH ⊥CG 于点H （如图2）．∵DE ⊥BA 于点E ，∠G=90°，DH ⊥CG ． ∴四边形EDHG 为矩形， ∴DE=HG ，DH ∥BG ， ∴∠GBC=∠HDC ． ∵AB=AC ， ∴∠FCD=∠GBC=∠HDC ． 又∵∠F=∠DHC=90°，CD=DC ， ∴△FDC ≌△HCD （AAS ），∴DF=CH ． ∴GH+CH=DE+DF=CG ，即DE+DF=CG ．（3）仍然成立．点评本题从直接证明三角形全等，到探究新的情况下如何构建新的全等三角形证明待定的数量关系，再到不同位置关系下的归纳猜想，三个问题由浅入深考查学生的不同层次的数学能力．本题还可以利用面积来进行证明，比如（2）中连结AD ．全等三角形练习题一、选择题1.（2011安徽芜湖，6，4分）如图1，已知ABC △中，45ABC ∠=，F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度为（ ）. A ．B ．4C ．D ．【答案】B图1 图2 图3 图42.（2011山东威海，6，3分）图2在△ABC 中，AB ＞AC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，点F 在BC 边上，连接DE,DF,EF.则添加下列哪一个条件后，仍无法判定△BFD 与△EDF 全等（ ）．A ．EF ∥AB B ．BF=CFC ．∠A=∠DFED ．∠B=∠DFE 【答案】C 3.（2011浙江衢州，1,3分）如图3，OP 平分,MON PA ON ∠⊥于点A ，点Q 是射线OM 上的一个动点，若2PA =，则PQ 的最小值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B4.（2011江西，7，3分）如图下列条件中，不能．．证明△ABD≌△ACD 的是（ ）.A.BD=DC ，AB=ACB.∠ADB=∠ADCC.∠B=∠C，∠BA D=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC 【答案】D5.（2011江苏宿迁,7,3分）如图5，已知∠1＝∠2，则不一定．．．能使△ABD ≌△ACD 的条件是（ ） A ．AB ＝AC B ．BD ＝CD C ．∠B ＝∠C D ．∠BDA ＝∠CDA 【答案】B图5 图6 图86.（2011江西南昌，7，3分）如图6下列条件中，不能．．证明△ABD≌△ACD 的是（ ）. A.BD=DC ，AB=AC B.∠ADB=∠ADC C.∠B=∠C，∠BA D=∠CADD.∠B=∠C，BD=DC 【答案】D7.（2011上海，5，4分）下列命题中，真命题是（ ）．A 周长相等的锐角三角形都全等；B 周长相等的直角三角形都全等；C 周长相等的钝角三角形都全等；D 周长相等的等腰直角三角形都全等． 【答案】D8.（2011安徽芜湖，6,4分）如图8，已知ABC △中，45ABC ∠=，F 是高AD 和BE 的交点，4CD =，则线段DF 的长度为（ ）. A ．B ．4C ．D ．【答案】B二、填空题1.（2011江西，16，3分）如图1所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°。