创作编号：
GB8878185555334563BT9125XW
创作者： 凤呜大王*
相似形（一）
一、比例性质
1.基本性质:
bc ad d
c
b a =⇔=（两外项的积等于两内项积） 2.反比性质：
c
d
a b d c b a =⇔= (把比的前项、后项交换)
3.合比性质：
d
d
c b b a
d c b a ±=
±⇒=（分子加（减）分母,分母不变） ．
4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.）
如
果
)0(≠++++====n f d b n
m
f e d c b a ，那么
b
a n f d
b m e
c a =++++++++ ．
谈重点：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法．
(2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
(3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．
5.黄金分割：
○1内容 ○2尺规作图作一条线段的黄金分割点
经典例题回顾：
例题1．已知a 、b 、c 是非零实数，且k c
b a d
d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，
求k 的值.
例题2．已知
111
x y x y
+=+，求y x x y +的值。
概念： 谈重点：
⑴相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、颜色、大小无关． ⑵相似图形不仅仅指平面图形，也包括立体图形相似的情况．
⑶我们可以这样理解相似形：两个图形相似，其中一个图形可以看作是由另一个图形放大或缩小得到的．
⑷若两个图形形状与大小都相同，这时是相似图形的一种特例——全等形．
①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。
则，，，…
AB
BC
DE
EF
AB
AC
DE
DF
BC
AC
EF
DF
===
②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。
③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。
○4推论：如果一条直线平行于三角形的一条边，截其它两边(或其延长线)，那么所截得的三角形与原三角形相似．推论○4的基本图形有三种情况，如图其符号语言：∵DE∥BC，∴△ABC∽△ADE；
知识点三、相似三角形的判定
判定定理1：两角对应相等，两三角形相似．
符号语言：
拓展延伸：（1）有一组锐角对应相等的两个直角三角形相似。
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创作者：凤呜大王*
（2）顶角或底角对应相等的两个等腰三角形相似。
【重难点高效突破】
例题精讲
例题1．如图，直线DE 分别与△ABC 的边AB 、AC 的反向延长线相交于D 、E ，由ED ∥BC 可以推出AD AE
BD CE
=
吗？请说明理由。（用两种方法说明）
例题2．（射影定理）已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D.
求证：（1）2AB BD BC =⋅；（2）2AD BD CD =⋅；（3）CB CD AC ⋅=2
例题3．如图，AD 是Rt ΔABC 斜边BC 上的高，DE ⊥DF ，且DE 和DF 分别交AB 、AC 于E 、F.则BD
BE
AD AF =
吗？说说你的理由.
例题4．如图，在平行四边形ABCD 中，已知过点B 作BE ⊥CD 于E,连接AE ，F 为AE 上一点，且∠BFE=∠C
（1） 求证：△ABF ∽△EAD ；
（2） 若AB=4，∠BAE=30°，求AE 的长； （3） 在（1）（2）条件下，若AD=3，求BF 的长。
A
E
D
B
C
A
B
C
D
A
D
B
E
F
【即时训练】
一、选择题
1．如图，△ABC 经平移得到△DEF ，AC 、DE 交于点G ，则图中共有相似三角形（ ） A ． 3对 B ． 4对 C ． 5对 D ． 6对
2．如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（ ） A ．AC AE AB AD = B ．
FB EA CF CE = C ． BD AD BC DE = D ． CB CF AB EF =.
3.在矩形ABCD 中，E 、F 分别是CD 、BC 上的点，若∠AEF=90°，则一定有（ ） A ．ΔADE ∽ΔAEF B.ΔECF ∽ΔAEF C.ΔADE ∽ΔECF D.ΔAEF ∽ΔABF
4、如图，直线l 1∥l 2，AF ∶FB=2∶3，BC ∶CD=2∶1，则AE ∶EC 是（ ） A.5∶2 B.4∶1 C.2∶1 D.3∶2
（1题图） （2题图） （3题图） （4
题图）
5.如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（ ）
A.1对
B.2对
C.3对
D.4对
G
F
E
D
C
B
A
