江苏省专转本统一考试高等数学复习总纲简略版

高等数学复习提纲

一、 极限

（一）极限七大题型 1. 题型一

()

lim

()

m x

n P x P x （,m n 分别表示多项式的幂次）要求: A:达到口算水平； B:过程即“除大”。 2. 题型二

()lim x a a 有限分子

分母

将a 带入分母

3. 题型三（进入考场的主要战场）

()

lim v x x

a

u x

注：应首先识别类型是否为为“1”型！

公式：1

lim(1)e 口诀：得1得+得内框，内框一翻就是e 。（三步曲）

4. 题型四： 等价无穷小替换（特别注意：0→） （1）

A:同阶无穷小：lim

0()x

f f

g 是g 的同阶；

B:等价无穷小：lim

1(g )x

f f

g 和等价；

C:高阶无穷小：lim

0(g )x

f f g

是的高阶.注意：f g 和的顺序

特别补充：2sec 1~2

-

（3）等价替换的的性质：

0 直接带入a 求出结果就是要求的值

1）自反性：~;αα

2）对称性：~~αββα若，则；

3）传递性：~~~.αββγαγ若，，则 （4）替换原则：

A:非0常数乘除可以直接带入计算； B:乘除可换，加减忌换 （5）另外经常使用：ln M M e 进行等价替换

题型五

有界：,|()|M g x M

有界 （sin ,cos ,arcsin ,arccot ,x x x x 均有界）

识别不存在但有界的函数：sin

,cos

,,2e

5. 题型六：洛必达法则（极限题型六），见导数应用：洛必达法则

6. 题型七：洛必达法则（极限题型七），定积分，见上限变限积分

7. 题型三&题型四的综合 （二）极限的应用 1、单侧极限

（1）极限存在条件 0

lim ()

(0)

(0)x

x f x A

f x f x A 左左右右

（2）极限的连续性 0

00lim ()

()()x

x f x f x f x x x 即在连续

（3）间断点及分类（★难点）

把握两个问题：第一，如何找间断点 ；第二，间断点分类（难）。 A:间断点：定义域不能取值的内点

导数（坚守的阵地） （一） 导数定义

定义一 1、“陡”、“平”的形象叙述;

2、

00()'()

df x f x dx 唯一切线斜率（）;

3、00()()tan

f x x f x y x

x

;

4、0

000

()()'()

lim

x

f x x f x f x x

. 拓展：0

000()

()

lim

'()f x f x A

f x

,Ⅱ类

不存在，不能分类，求左右极限

注意：1）分段点求导，永远用定义！ 2）有连续性条件时可直接带入 定义二

1、乘法运算：()'

''uv u v

uv ()'

'''uvw u vw uv w uvw

2、除法运算：2

''

()'u u v uv v v

（四） 复合函数求导（核心内容★★★）

1、层次分析（如右“九字诀”,由外向内，“遇则则止”） 所谓的“则”是＋、-、×、÷

2、几点性质：

（1）公式()ln x '=1

x

，推广为：11(ln |

|)'

||

x x

x （2）形如：()()v x u x 利用公式ln M M e 等价替换

（3）奇偶性: ①()'y f x y 奇

偶 ②()'y

f x y 偶

奇

1、

基本知识 'dy

y dx 注意求的时候要加“d x ”.

2、 参数方程求导（考试重点）

参数方程、隐函数、变限积分、变限二重积分 ()x x t =

t 为中间变量

公式：''t t y dy dx

x 2

2(

)''

t t dy

d y dx dx

x 3、 符号型求导 ""f 层抽象符号层 4、

隐函数求导（必考）

题目一般形式是:(,)(,),f x y g x y =22d d ,.d d y y

x x

求

5、 对数法求导

巧用对数的性质，变形式子 （七） 导数的应用 1、切线与法线

切线斜率就是在该点的导数值 法线斜率×切线斜率=-1； 2、洛必达法则（极限题型六）（★）

单调性与极值求解

A ：单调性：

'0,;'0,.

y x I y y x I y >∈⇒↑<∈⇒↓

B ：单调性交界点→极值点（判据） C:极值点可疑点（'0&'y y =不存在☆）

D:渐近线 lim (),()lim ()()x x a

f x A y A y f x f x x a y f x →∞

→====∞==如果则是的水平渐近线；

如果，则是的垂直渐近线.

2）函数凹凸性与拐点 A ：

''0,;

''0,.

y x I y y x I y >∈⇒<∈⇒凹（）凸（）

B:凹凸性交界点且能取值→拐点 C ：拐点可疑点''0&''y y =不存在☆ 一般求解步骤：

（1） 求定义域、渐近线； （2） 计算',''y y ；