公钥密码体制综述及展望

Ｋ ｙｗｏｄ ：ｕ ｌ ｅ ｒｐｏ ｒｐ ｙ ｄｓｒｔ ｇｒｈ ｐｏ ｌｍ ；ａｔ ｅｒｄ ｃｉｎ ｑ ａ ｔｍ ｉｈ ｒ ｂ ｉ ｒｕ ｓ ｅ ｒｓｐ ｂｉ ｋ ｙｃｙ ｔｇａ ｈ ； ｉ ｅｅｌ ａ ｔｍ ｒｂｅ ｌｔｃ ｅ ｕ ｔ ； ｕ ｎｕ ｃ ｅ； ｒ ｄ ｇｏ ｐ ｃ ｃ ｏ ｉ ｉ ｏ ｐ ａ
序列， ｌ３ ４ ９ １ ，５不是超递 增序列。一个背包 问题称 为是 而ｆ， ， ， ，５ ２ ）
易 解 的 。 果 其重 量 序 列 是 一 个 超 递 增 序 列 。超 递 增 背 包 问题 可 如
在时间 ０ｎ内很容易地解决 ， （ ） 如果有解 ， 解一定是唯一的。
实 际 上 存 在 两类 不 同 的背 包 问题 ，一 类 在 线 性 时 间 内 可解 ． 即易 解 的背 包 ， 另一 类 只能 在 指 数 时 间 内可 解 。 背 包 体 制 的思 而 想 是 选 取 一 个 易 解 的 背 包 问 题 。 后 将 它 伪 装 成 非 常 难 解 的一 般 然 的背 包 问 题 。 原 来 的背 包 集 可 以 当作 私 钥 ， 换 后 的 背 包 集 作 则 变
维普资讯
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本 责 编 冯 栏目 任 辑： 墨
公钥密码体制的现状与发展
卓 泽 朋 ’魏 仕 民 。 。 曹浩 ’
（， １淮北煤炭师 范学院 数 学系； 安徽 淮北 ２５ ０ ； ， ３０ ０ ２淮北煤炭师范学院 计算机科学与技术 系； 安徽 淮北 ２ ５ ０ ） ３０ ０
zcmdllforrandomas4dimsaslongstext1textput41sclose4endsub4结束语本文介绍了在用vb60编写的应用程序中进行软件注册的详细实现过程主要是通过利用api函数getvolumeinformation来获取硬盘卷序列号对该序列号进行加密操作生成注册码后提供给用户完成软件注册功能的在这里提供了详细的实现步骤在实际应用中软件开发者可以根据不同的加密算法来生成不同的软件注册码实现对应用软件的有效保护

公钥密码体制研究与应用公钥密码体制是一种基于数学难题的密码体制，它区别于传统的对称密钥密码体制，通过使用两个不同的密钥：公钥和私钥，以加密解密信息。

公钥是公开的，任何人都可以使用它来加密信息。

而私钥只有接收者拥有，可以用于解密已加密的信息。

本文将介绍公钥密码体制的基本原理、安全性、应用场景以及未来发展趋势。

一、公钥密码体制的基本原理公钥密码体制是以数学难题作为加解密算法中的核心难点。

这些数学难题在计算上非常困难且可逆性极小，因此可以满足高强度的安全要求。

在使用公钥密码体制时，发送者与接收者都要生成自己的一组密钥对：一个公共键和一个私有键。

发送方可以使用接收方已经发布过的公共键来对信息进行加密，并将其发送给接收方。

接收方收到加密后的信息后使用自己所持有相应配对好的私有键进行解密。

最重要的是，无论是谁都不能从加密后的数据推算出私有键或共有键，并且该机制还能够保证安全数据传输。

二、公钥密码体制的安全性公钥密码体制在密码学中是一种非常安全的方式，它比对称密钥密码体制更为安全。

这是因为对于对称密钥密码体制来说，加密和解密都是使用同一把秘钥，如果这把秘钥被盗取或者被破解了，那么所有传输的数据都会受到影响。

而对于公钥密码体制来说，则不存在这个问题。

与此同时，公钥密码体制还具有其他的优点。

例如，在使用公共网络传输信息时，使用公钥加密技术可以防止中间人攻击、窃听和篡改信息。

在实际应用中，公钥密码体制也具有一定的不足之处。

由于它消耗计算资源大、速度较慢等缺点，使得其在实际应用中不能完全替代对称密钥加密技术。

三、公钥密码体系的应用场景网络安全随着现代社会的发展，网络已成为人们进行通信、交流和商业活动的重要手段。

而网络传输中数据容易受到黑客攻击和窃取等威胁。

在保证数据传输安全性方面，公钥加密技术已被广泛应用，例如HTTPS、SSL等安全协议均采用了公钥加密技术，从而有效地保障了网络安全和数据传输的保密性。

数字签名数字签名是一种保证数据完整性和不可抵赖性的技术。

{1，3，6，13，27，52， …} 而 {1，3，4，9，15，25} 不是。
如果序列为超递增序列，则背包问题则是P类问题。
14
MH背包密码的基本思想
利用实际上存在两类不同的背包问题，一类在线性时间 内可解(超递增背包问题)，而另一类不能(普通背包问题)。 易解的背包问题可以转化成难解的背包问题。公钥使用难解 的背包问题，它可很容易地被用来加密明文但不能用来解密 密文。私钥使用易解的背包问题，它给出一个解密的简单方 法。不知道私钥的人要破解密文就不得不解一个难解的背包 问题。
i=1
利用已知u并根据uv=1 (mod p) ，可求得v。
下面作变换称为墨科-赫尔曼(Merkle-Hellman)变换：
ak≡ubk（mod p），k=1,2,…,n 非超递增序列{ai}和p作为公钥； 超递增序列{bi}和v作为私钥；
12
背包问题
已知一长度 b 的背包及长度分别为 a1,a2,… ,an 的 n 个物品。假定这些物品的半径和背包相同，若从这 n 个物品 中选出若干物品使得恰好装满这个背包。
公式化的描述为：给定一个正整数集A={a1,a2,…,an}，已 知b是A的某子集中元素的和。问题是，找到一个n元的0 、1
向量X=(x1,x2,…,xn)使得：
n
∑ aixi = b
i =1
这是一个NP问题。
其中a1, a2, … , an 和 b 都是正整数。
13
超递增序列
如果序列 a1, a2, … , an 满足条件：
i −1
∑ ai > a j (i = 2,3,..., n) j =1
则称该序列为超递增序列。 例如： {1，2，4，8， … ，2n }

2012，Hanaoka等人[44]在CT-RSA会议上给出了一个更强的代理重加密安全模型，并给出了一个通用方法用于构造CCA安全的单向代理重加密方案。Sun等人[45]提出了第一个CCA安全的单向广播代理重加密（Broadcast PRE，BPRE），该方案在标准模型下满足自适应选择密文安全。
在AsiaCCS 2009会议上，Weng等人[33]第一次介绍了条件代理重加密（C-PRE）的概念，当且仅当密文满足委托者设置的条件时。
相对于对称体制中的密钥必须保密，非对称密钥体制有一个可公开的公钥为其最大特征，因此也叫公钥密码体制。在非对称密码体制中，不再有加密密钥和解密密钥之分。可以使用公钥加密，而用私钥解密，这多用于保护数据的机密性；也可以用私钥加密而公钥解密，这多用于保护信息的完整性和不可否认性。1976年，公钥密码体制（Public Key Cryptography，PKC）的概念被Diffie和Hellman[2]首次提出。PKC在整个密码学发展历史中具有里程碑式的意义。随后出现了一些经典的公钥密码体制，比如RSA[3]Rabin算法[4]ElGamal[5]密码体制和椭圆曲线密码体制[6][7][8]等。公钥密码体制的安全性依赖于不同的计算问题，其中RSA密码体制基于大整数分解的困难性，而ElGamal密码体制则基于离散对数问题的困难性。
第三阶段：伴随着相关理论的完善，以及由集成电路和因特网推动的信息化工业浪潮，密码学进入了一个全新爆发的时代：研究文献和成果层出不穷，研究的方向也不断拓展，并成为了一个数学、计算机科学、通信工程学等各学科密切相关的交叉学科，同时各种密码产品也走进了寻常百姓家，从原来局限的特殊领域进入了人民群众的生产、生活之中。
数据接收者需要先利用其自身私钥解密出对称密钥，接着再使用得到的对称密钥解密出共享数据。

公钥密码体制的研究与发展的基本理解Abstract:⽂中对于公钥密码体制的研究与发展进⾏了介绍，其中着重介绍了⼏个⽐较常⽤的公钥密码体制RSA，EIGamal Keywords: 公钥密码体制，RSA，离散对数问题1. 引⾔公钥密码体制⼜称公开密钥密码体系，公钥密码体制是现代密码学的最重要的发明和进展，在1976年，Whitfield Diffie和Martin Hellman发表了“New directions in cryptography”这篇划时代的⽂章奠定了公钥密码系统的基础。

在公钥密码体制之中，加密密匙和解密密匙是不⼀样的，⽆法通过加密密匙的反推得到解密密匙，所以加密密匙是可以公开的，并且不会危及密码体制的安全性。

因为对称密钥密码体制有⼀个缺点是必须要在Alice和Bob之间⾸先在传输密⽂之前使⽤⼀个安全信道交换密钥。

实际上，这是很难达到的，⽽公钥密码体制改善了这⼀点，Alice可以利⽤公钥加密规则发出⼀条加密的消息给Bob，Bob是唯⼀能够运⽤解密规则对其解密的⼈，例如保险箱的传递，只有接收的⼈知道密码并且能够打开。

【1】要在⾃从公钥密码的概念被提出以来，相继提出了许多公钥密码⽅案，如RSA、ElGamal、基于离散对数问题的公钥密码体制等[2]。

2. 预备知识公钥密码的理论基础,在公钥密码中，加密密钥和解密密钥是不⼀样的，加密密钥为公钥，解密密钥为私钥。

⼀个问题是难解的，直观上讲，就是不存在⼀个计算该问题的有效算法，也可称之为按照⽬前的计算能⼒，⽆法在⼀个相对的短时间内完成，即解决这个问题所付出的成本远远超过了解决之后得到的结果，计算应⼀个难解的问题所需要的时间⼀般是以输⼊数据长度的指数函数形式递增，所以随着输⼊数据的增多，复杂度会急剧的增⼤，对于⼀个问题，如果存在⼀个求其解的有效算法，则称其为有效问题，否则为⽆效问题。

在公钥密码机制之中，进⾏破译已经加密后的密码应该是⼀个难解问题。

摘要：计算机网络的发展突飞猛进，与此同时产生了公钥密码体制，本文重点介绍了当前公钥密码体制的几种常见的算法以及公钥密码体制的未来发展趋势。

关键词公钥密码体制RSADSAECDSASHA－1数字签名身份认证1引言公开密钥密码体制的概念是1976年由美国密码学专家狄匪（Diffie）和赫尔曼（Hellman）提出的，有两个重要的原则：第一，要求在加密算法和公钥都公开的前提下，其加密的密文必须是安全的；第二，要求所有加密的人和把握私人秘密密钥的解密人，他们的计算或处理都应比较简单，但对其他不把握秘密密钥的人，破译应是极困难的。

随着计算机网络的发展，信息保密性要求的日益提高，公钥密码算法体现出了对称密钥加密算法不可替代的优越性。

近年来，公钥密码加密体制和PKI、数字签名、电子商务等技术相结合，保证网上数据传输的机密性、完整性、有效性、不可否认性，在网络安全及信息安全方面发挥了巨大的作用。

本文具体介绍了公钥密码体制常用的算法及其所支持的服务。

2公钥密码算法公钥密码算法中的密钥依性质划分，可分为公钥和私钥两种。

用户或系统产生一对密钥，将其中的一个公开，称为公钥；另一个自己保留，称为私钥。

任何获悉用户公钥的人都可用用户的公钥对信息进行加密与用户实现安全信息交互。

由于公钥与私钥之间存在的依存关系，只有用户本身才能解密该信息，任何未受授权用户甚至信息的发送者都无法将此信息解密。

在近代公钥密码系统的研究中，其安全性都是基于难解的可计算问题的。

如：（1）大数分解问题；（2）计算有限域的离散对数问题；（3）平方剩余问题；（4）椭圆曲线的对数问题等。

基于这些问题，于是就有了各种公钥密码体制。

关于公钥密码有众多的研究，主要集中在以下的几个方面：（1）RSA公钥体制的研究；（2）椭圆曲线密码体制的研究；（3）各种公钥密码体制的研究；（4）数字签名研究。

公钥加密体制具有以下优点：（1）密钥分配简单；（2）密钥的保存量少；（3）可以满足互不相识的人之间进行私人谈话时的保密性要求；（4）可以完成数字签名和数字鉴别。

03
保障国家安全
公钥密码体系在国家安全领域 中也有广泛应用，如军事通信
、政府机密保护等。
公钥密码体系的历史与发展
03
起源
公钥密码体系起源于20世纪70年代，最 早的公钥密码体系是RSA算法。
发展历程
未来展望
随着计算机科学和数学的发展，公钥密码 体系不断得到改进和完善，出现了多种新 的算法和应用。
随着互联网和物联网的普及，公钥密码体 系将面临更多的挑战和机遇，需要不断探 索和创新。
性能问题
1 2 3
加密和解密速度
公钥密码体系的加密和解密速度通常较慢，需要 优化算法和提高计算能力，以提高加密和解密的 速度。
资源消耗
公钥密码体系通常需要较大的计算资源和存储空 间，需要优化算法和资源利用方式，以降低资源 消耗。
适应性
公钥密码体系需要适应不同的应用场景和需求， 需要开发适用于不同场景的公钥密码算法和解决 方案。
人工智能与机器学习
人工智能和机器学习技术在公钥密码体系中也有着广阔的应用前景。这些技术可以帮助自动识别和防御 网络攻击，提高公钥密码体系的安全性和可靠性。
应用领域拓展
物联网安全
随着物联网技术的普及，公钥密 码体系在物联网安全领域的应用 将越来越广泛。物联网设备需要 使用公钥密码算法进行身份认证 和数据加密，以确保设备之间的 通信安全。
非对称加密算法可以支持多种加密模式，如对称加密算法中的块加 密和流加密模式。
数字签名
验证数据完整性和身份
数字签名使用私钥对数据进行加密，生成一个数字签名。 接收者使用公钥解密数字签名，验证数据的完整性和发送 者的身份。
防止数据被篡改
数字签名可以防止数据在传输过程中被篡改，因为任何对 数据的修改都会导致数字签名无效。

公钥密码体制的原理与应用方法1. 引言公钥密码体制是现代密码学中一种重要的密码体制，通过使用公钥和私钥来实现加密和解密的过程。

公钥密码体制具有安全性高、方便性好等优点，在信息传输、电子商务、网络通信等领域得到了广泛的应用。

本文将介绍公钥密码体制的原理和常见的应用方法。

2. 公钥密码体制的原理公钥密码体制是基于数学问题的难解性原理设计的一种安全机制。

其核心思想是在整个加密过程中，只有私钥的持有者才能解密密文，而公钥可以公开给任何人使用。

公钥密码体制的原理包括： - 公钥和私钥的生成：公钥和私钥是一对密钥，必须满足一定的数学关系。

公钥是公开的，私钥只有私钥持有者知道。

- 加密过程：使用公钥对明文进行加密，生成密文。

- 解密过程：只有私钥持有者才能使用私钥对密文进行解密，得到明文。

3. 公钥密码体制的应用方法公钥密码体制广泛应用于以下几个方面：3.1 数字签名数字签名是公钥密码体制的重要应用之一。

它可以用于验证消息的完整性和真实性，防止消息被篡改。

数字签名的过程包括： - 消息摘要的生成：将原始消息通过哈希函数等方式生成一个固定长度的消息摘要。

- 摘要的加密：用私钥对消息摘要进行加密，得到数字签名。

- 数字签名的验证：接收者使用公钥对数字签名进行解密，得到消息摘要。

再将原始消息通过同样的哈希函数等方式生成一个新的消息摘要，与解密得到的消息摘要进行比较。

如果两者一致，说明消息的完整性和真实性得到验证。

3.2 密钥交换公钥密码体制可以用于实现双方在不安全信道上进行密钥交换的过程。

常见的密钥交换算法有Diffie-Hellman算法等。

其基本原理是通过双方互相传递公钥，并根据一些数学运算得到相同的对称密钥，然后就可以使用对称密钥进行加密和解密。

3.3 数据加密公钥密码体制可以用于对数据进行加密，以保证数据在传输过程中的安全性。

常见的对称加密算法有RSA算法、ElGamal算法等。

公钥密码体制的加密过程如下： - 接收者生成公钥和私钥，并将公钥公开。

公钥密码体制数学文化课程报告论文题目：公钥密码体制的现状与发展公钥密码体制的现状与发展摘要：文中对公钥密码体制的现状与发展进行了介绍，其中着重讨论了几个比较重要的公钥密码体制Ｍ－Ｈ背包算法、RSA、ECC、量子密码、NTRU密码体制和基于辫群上的密码体制。

关键词：公钥密码体制;离散对数问题；格基归约；量子密码1949年，Claude Shannon在《Bell System Technical Journal》上发表了题为“Communication Theory of Secrecy Systems”的论文，它是现代密码学的理论基础，这篇论文将密码学研究纳入了科学轨道，但由于受到一些因素的影响，该篇论文当时并没有引起人们的广泛重视。

直到20世纪70年代，随着人类社会步入信息时代才引起人们的普遍重视，那个时期出现了现代密码的两个标志性成果。

一个是美国国家标准局公开征集，并于1977年正式公布实施的美国数据加密标准；另一个是由Whitfield Diffie和Martin Hellman，在这篇文章中首次提出了公钥密码体制，冲破了长期以来一直沿用的私钥体制。

自从公钥密码体制被提出以来，相继出现了许多公钥密码方案，如RSA、Elgamal密码体制、背包算法、ECC、XTR和NTRU等。

公钥密码体制的发现是密码学发展史上的一次革命。

从古老的手工密码，到机电式密码，直至运用计算机的现代对称密码，这些编码系统虽然越来越复杂，但都建立在基本的替代和置换工具的基础上，而公钥密码体制的编码系统是基于数学中的单向陷门函数。

更重要的是，公钥密码体制采用了两个不同的密钥，这对在公开的网络上进行保密通信、密钥分配、数字签名和认证有着深远的影响。

文章共分为5部分：第１部分首先介绍了Merkle－Ｈellmen背包算法，第2,3,4,5,5部分分别讨论了RSA、ECC、量子密码、NTUR，同时对公钥密码体制进行了展望。

1、Merkle－Hellmen背包算法1978年，Ralph Merkle和Martin Hellmen提出的背包算法是公钥密码体制用于加密的第一个算法，它起初只能用于加密，但后来经过Adi Shamtr的改进使之也能用于数字签名。

关 键 词 ：公 钥 密码 ； 密 和 解 密 加
Ｂｒｅ ｓ ｕ ｓｏ ｂ ｉ ｙ Ｃｒ ｐ ｏ ｙ ｔ ｍ ｉｆＤｉｃ ｓ ｉ ｎ Ｐｕ ｌ Ｋｅ ｙ ｔ ｓ ｓｅ ｃ
Ｓ Ｎ ａ －ａ ＬＩ ｉｇ， Ｕ ｉｏ Ｕ Ｙ ｎ ｊ ｎ， Ｕ Ｂ ｎ Ｆ Ｘ ａ
（ ｏ ｕｅ ｆｃ Ａｖａｏ ｎｖ ｒｔ ｆ ｉＦ ｒｅ， ｈ ｎ ｃｕ ３ ０ ２， ｈｎ ） Ｃ ｍｐ ｔｒ ｆ ｅ， ｉ ｉｎＵ ｉｅｓｙｏ ｒ ｏｃ Ｃ ａｇｈ ｎ １ ０ ２ Ｃ ｉａ Ｏｉ ｔ ｉ Ａ
用 不可靠 的信 使 ，也不 需要事先 安排 ，即使 在传 递过程 中有
人 在窃听 ，传递 的信息也是绝 对安全 的。
一
息发送方 身份 的认 证 ，这 在传统密 码学 中是很难完 成 。但 是
这些 问题在 公钥 密码 中得 到 了很 好 的解决 ，传 统密 码学 中， 加密密钥 和解密密钥都 是相 同的 ，这就保证 了密钥算法灵活 、 高效 ，但是 在密钥 的传递 和保存 问题上还 是限制 了传统 密码
Ｋ ｅ ｏ ｄｓ ｙ ｗ ｒ ：Ｐｕｂ ｉ ｙ Ｃｒ ｐ ｏ ｒ ｐ ｌｃ Ｋｅ ｙ ｔ ｇ ａ ｈｙ ；Ｅｎｃ ｐｔｏ ｎｄ Ｄｅ ｒ ｐｉ ｎ ｙ ｒ ｉ ｎ ａ ｃ ｔｏ ｙ
１ 引言
随着 计算机技 术的 高速发展 ，社会对计 算机 信息 的需 求
也越 来越 大 ，但是如何 保证信息 的安全 性也是很 值得关 注的
点。
（） 甲方用乙方 的公钥加密他 的信息 ，然后传送给乙方 。 ３
（） 乙方用他的私钥解密 甲方 的信息 。 ４ 从 上面这个例 子中可 以看 出对 称加密 系统 的问题 ，那就
是 密 钥 管 理 问 题 。从 上 面 的 例 子 中 可 以看 出 甲 、 乙双 方 不 得 不 选 取 同 一 个 密 钥 ，否 则 的话 将 无 法 完 成 解 密 。 在 这 种 情 况

两两互素，a1, a2 ,, ar 是任意r个整数，则r
个同余方程组 x ai mod mi（其中 1 i r）模 M m1m2 mr 有 惟一解，且该解的表达式为：
r
x
ai M i yi (mod m)
i 1
其中，M i
M
mi
，y i
M
1 i
mod mi
, 1i r 。
26
如何产生足够大的随机素数
足 gcd(e, f (n)) 1 ； 4. 计算解密密钥 d e1 mod f (n) ； 5. 公布整数 n 和加密密钥 e。
21
• 证明 M ' Cd mod n (M e mod n)d mod n M 在条件 ed 1mod(n) 下成立。其中(n) 是欧拉函数，
表示不超过n且与n互素的整数个数。 证明： M ' C d mod n
若 gcd(a, m) 1, 则 b c mod m
• 加法逆元 ：设 a Zn，如果存在x Zn 满足x a 0(modn)， 则称x是a的模n加法逆元。
• 乘法逆元 ：设 a Zn，如果存在 x Zn满足ax 1(modn)， 则称x是a的模n乘法逆元，记为 a-1 (mod n)。
1.正向计算容易。即如果知道了密钥KUb和消息x，容易计
算 y fKUb (x)
2.在不知道密钥KRb的情况下，反向计算是不可行的。即
如果只知道消息y而不知道密钥KRb ，则计算
x
f
1 K
Rb
( y)
是不可行的。
3.在知道密钥KRb的情况下，反向计算是容易的。即如果
同时知道消息y和密钥KRb
，则计算
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11
RSA算法

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云计算与大数据
数据存储加密
对存储在云端的数据进行加密，确保数据的安全性和 隐确保只有授权用户 能够访问云端数据。
容灾备份
在大数据场景中，公钥密码体制用于容灾备份数据的 加密和完整性校验。
04
公钥密码体制的实现技术
RSA算法
总结词
RSA算法是一种非对称加密算法，基于数论中的一些基础性质，使用一对公钥和私钥进行加密和解密操作。
数据完整性
通过数字签名等技术，公钥密码体 制能够确保数据的完整性和真实性。
身份认证
公钥密码体制可用于身份认证，验 证发送方的身份，防止伪造和冒充。
公钥密码体制的历史与发展
历史
公钥密码体制的思想起源于20世纪 70年代，最早的公钥密码体制是RSA 算法。
发展
随着技术的不断进步，公钥密码体制 的应用越来越广泛，涉及到网络安全、 电子支付、电子政务等领域。
证书吊销与信任链管理
在公钥密码体制中，证书用于验证公 钥的合法性，但证书可能被吊销或受 到信任链上的信任问题影响。
管理证书吊销列表和信任链的有效性 是确保公钥密码体制安全的重要环节， 需要定期检查和更新证书状态，以及 在必要时撤销或更新信任链。
06
公钥密码体制的未来展望
新算法的研究与发展
算法优化
详细描述
RSA算法由Rivest、Shamir和Adleman于1977年提出，是目前应用最广泛的公钥密码算法之一。其安全性基于 大数质因数分解的困难性，通过选取适当的参数，能够保证很高的安全性。RSA算法可用于加密、数字签名等应 用场景。
ECC算法
总结词
ECC算法是一种基于椭圆曲线的公钥密码算法，具有密钥长度相对较小、加密速度快、安全性高等优 点。

3
1
公钥密码体制概述
公钥密码体制的要求 用户：产生密钥对K=(PK, SK)在计算上是可行的 发送方：已知公钥与明文，产生密文是容易的 接收方：利用私钥解密密文在计算上是可行的 攻击者：利用公钥求解私钥在计算上是不可行的 攻击者：已知公钥与密文，在不知道私钥的情况下， 恢复明文在计算上是不可行的
4
Zn上的模n运算 设n的二进制表示有 0≤m1, m2≤n-1. 上的模 运算:设 的二进制表示有k, ≤ 运算 的二进制表示有
m1+m2 (mod n): O(k) m1-m2 (mod n): O(k) m1×m2 (mod n): O(k2) (m1) -1 (mod n): O(k3) (m1)c (mod n): O(k2 ×logc) (平方-乘算法).
18
RSA的安全参数 RSA的安全参数
p和q要足够大 n=pq 为1024位, 或2048位. 和 要足够大 要足够大: 位 位 p和q应为强素数 和 应为强素数 应为强素数(strong prime). 如果素数p 满足以下条件, 则称为强素数. (1) p -1有大素数因子r; (2) p+1有大素数因子s; (3) r-1有大素数因子t. 例如: 理想的强素数为: r=2t+1; p=2r+1=4t+3; p=2s-1.
9
2
RSA密码体制 RSA密码体制
例4.1 设p=11, q=13. 令 n=11×13=143 , × φ(n)=(p-1)(q-1)=(11-1)(13-1)=120, 取公钥: PK=(n, e)=(143, e=17)， 计算: d=e-1=17-1=113 (mod 120) (因为: 17×113=1921=16×120+1). 私钥: SK=(p, q , d) =(11, 13, 113). 对于明文: m=24, 密文: c=EPK(m)=2417=7 (mod 143). 对于密文: c=7, 解密: m=DSK(c)=7113=24 (mod 143 ).

第4章公钥密码体制（1）内容●公开密钥密码算法−公开密钥密码算法的基本思想−公开密钥密码算法的数学基础−一些经典算法（2）概述[37:188]●也称“双钥密码体制”。

是密码学史上划时代的事件，为计算机信息网中的安全提供了新的理论和基础。

●最大特点：采用两个密钥将加密和解密能力分开；一个公开作为加密密钥（公钥），一个为用户专用，作为解密密钥（私钥），通信双方无需实现交换密钥就可进行保密通信。

●从已经公开的公钥或密文分析出明文或私钥，在计算上是不可行的。

●若用公钥作为加密密钥，以私钥作为解密密钥，则可实现多个用户加密的消息只能由一个用户解读（用于保密通信）；反之，以私钥作为加密密钥而以公钥作为解密密钥，则可实现由一个用户加密的消息而使多个用户解读（用于数字签名）。

（3）理论：基于数学函数，不基于替换和置换（4）安全性•和对称方案一样，强力攻击在计算上不可行的，但使用的密钥更大(>512bits)•安全性基于一些陷门单向函数，只是计算上不可行–要求使用非常大的数–因此比对称方案计算速度慢•选择明文攻击–通过对报文附加随机比特来实现（5）对公钥密码的常见误解：●从密码分析角度看，公钥密码比传统密码更安全；●公钥密码是一种通用的方法，所以传统密码已经过时；●传统密码中与密钥分配中心的握手是一件异常麻烦的事，与之相比，用公钥密码实现密钥分配则非常简单。

（6）公开密钥密码经典算法– RSA算法– Diffie－Hellman密钥交换算法–背包算法– EIGamal算法–椭圆曲线密码算法ECC4.1 公钥密码体制的基本原理（一）传统密码最困难的问题●密钥分配问题：要求通信双方共享或通过第三方分配，后一种情形容易泄密，密码系统再好也无用。

密钥必须通过某一信道协商，对这个信道的安全性的要求比正常的传送消息的信道的安全性要高。

●数字签名问题：传统加密算法无法实现抗抵赖的需求。

（二）其它问题●密钥量大，n个用户，需要()212-=nnCn个密钥，管理更困难；●每个用户要记n－1个密钥，用载体（纸张、外存等）记录极不安全。

公钥密码体制研究综述摘要：公钥密码体制对于保证网络信息安全起到了非常重要的作用，本文结合笔者学习密码学基础的一些体会，对公钥密码体制的基本概念，发展现状、及未来的发展展望做个简单地概述。

关键词：公钥密码体制；RSA；离散对数；椭圆曲线1引言密码已有几千年的历史。

在很长一段时间里，密码都是作为一种隐蔽通信技术。

直到20世纪50年代，1949年，信息论创始人Shannon发表的经典论文“保密通信的信息理论”，将密码学的研究引入了科学的轨道。

密码才发展成为一门完整的、成熟的学科。

整体而言，安全与秘密通讯的学科包括密码编码学（cryptography）与密码分析学（cryptoanalysis），统称为密码学（Cryptology）。

1976年，著名学者Diffie和Hellman“密码学新方向”的发表，奠定了公钥密码学的基础；Diffie和Hellman描述了几个可能用来实现公钥密码的数学变换，称之为单向陷门函数，简单地理解即是从x计算y=f(x)是容易的，而从y计算出x是困难的，单向陷门函数的概念使得公钥密码系统成为可能。

[1]随着计算机网络迅猛发展及电子商务应用的需求，网络信息安全保密性要求日益提高，公钥密码体制在数字签名和公开信道密钥建立上的两个重要应用，保证网上数据传输的完整性、有效性和不可否认性，对促进网络安全电子商务的发展也就起到了不可替代的巨大作用。

本文结合笔者在密码学基础学习的基础上，对公钥密码体制的基本概念，发展现状、及未来发展的展望做个简单地概述。

2基础知识保密是密码学的核心，而加密是获得信息保密的实用工具。

现代加密技术主要分为两种体制，一种是称为对称密码体制（又称为单钥密码体制），另一种也是我们重点介绍的称为非对称密码体制（又称为双钥/公钥密码体制），我们在此分别对这两个概念做个简单的总结。

2.1对称密码体制对称密码体制是一种传统密码体制,也称为单钥/私钥密码体制。

在对称加密系统中,加密和解密采用相同的密钥，密文发送者必须和密文接收者分享密文的该加密密钥。

公钥密码体制的研究与应用
公钥密码体制是一种安全的密码体制,使用公钥加密和解密数据,以防止未经授权的访问和窃取。

公钥密码体制的研究与应用在许多领域都有广泛应用,下面是其中的一些应用领域:
1. 数字身份验证:公钥密码体制是数字身份验证的基础。

通过使用公钥加密算法来生成公钥,并将其与用户的私钥进行比对,可以确
保用户的身份验证是安全的。

这种技术已经被广泛应用于在线身份验证、电子支付等领域。

2. 数据加密:公钥密码体制可以用于加密和解密数据,以确保数
据的机密性。

例如,在电子邮件中,可以使用公钥加密来保护邮件内容。

3. 网络通信:公钥密码体制可以用于网络通信中的数据加密和
安全传输。

通过使用加密算法和安全协议,可以确保数据传输过程中
的数据安全性和完整性。

4. 安全密码存储:公钥密码体制可以用于安全存储用户的密码。

例如,可以使用私钥加密密码文件,以防止文件被窃取或篡改。

5. 量子计算:公钥密码体制可以用于量子计算中的身份验证和
授权。

在量子计算中,可以使用量子比特来生成和验证公钥,从而实现更高效的身份验证和授权。

公钥密码体制是一种重要的密码体制,可以提高数据的安全性和
机密性,在许多领域中都有广泛的应用前景。

第4讲 公钥密码体制
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§2.1 RSA公钥密码算法描述
（2）加密
对于明文M，用公钥 (n，e) 加密可得到密文C。
C = Me mod (n) （3）解密 对于密文C，用私钥(n，d)解密可得到明文M。 M = Cd mod (n) 当定义用私钥(n，d)先进行解密后，然后用公钥(n，e)进行 加密，就是数字签名。
（6）e应选择使模(n)的阶最大
第4讲 公钥密码体制
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§3 背包公钥密码体制
美国斯坦福大学的Merkle和Hellman于1978年提出的。 背包问题描述：已知一长度为b的背包及长度分别为 a1,a2,…an的n个物品。假定这些物品的直径与背包相同，若从
这些物品中选出若干个正好装满这个背包，究竟是哪些物品。
只有密钥拥有者才知道的密钥：私有密钥(private key)
这两种密钥合在一起称为密钥对； 公开密钥可以解决安全分配密钥问题（不需要与保密密 钥通信，所传输的只有公开密钥，它不需要保密），但对保 证其真实性和完整性却密，则必须用私有密钥解密，
如果某一信息用私有密钥加密，它必须用公开密钥解密，
= (17302)3*1520 mod 2537
∵17302 ＝1777 mod 2537 ∴C= (1777)3*1520 mod 2537
= (1777)2*1777*1520 mod 2537
∵17772 ＝1701 mod 2537 ∴C=1701*(1777*1520) mod 2537 =1701*1672 mod 2537 =95（密文）
第4讲 公钥密码体制 13
§2.1 RSA公钥密码算法描述
举例1：选取p=3, q=5，则n=p＊q =15，(n)=(p-1)(q-1)=8 选取e=11（大于p和q的质数）；