通分的技巧

思路分析：在分式计算题中，如果出现了部分整式， 思路分析：在分式计算题中，如果出现了部分整式， 我们可以把整式看成一个整体进行通分， 我们可以把整式看成一个整体进行通分，从而最终 达到解决整个问题的目的。 达到解决整个问题的目的。
小试牛刀： 小试牛刀：计算
x3 − x2 − x − 1 x −1
x3 = − ( x 2 + x + 1) x −1
小试牛刀： 小试牛刀：计算
a −b b−c c−a + + ab bc ca
解：原式
1 1 1 1 1 1 = − + − + − b a c b a c
1 1 1 1 1 1 = − + − + − b a c b a c =0
六.换元通分 换元通分
=(
=
1 1 1 1 1 1 − )+( − )+( − ) x+2 x+3 x+3 x+4 x+4 x+5
1 1 − x+2 x+5 ( x + 5) − ( x + 2) = ( x + 2)( x + 5) = 3 。 2 x + 7 x + 10
思路分析：当算式中各分式的分子与分母是相近的代数式时， 思路分析：当算式中各分式的分子与分母是相近的代数式时，我们可以 利用拆项的方式简化分式的分子，可将每一个分式的分子先拆成几项， 利用拆项的方式简化分式的分子，可将每一个分式的分子先拆成几项， 利用运算的互逆性可将式子展开简化后通分。 利用运算的互逆性可将式子展开简化后通分。
小试牛刀：计算 解：原式
x 2 + 2 xy + y 2 x 2 − 2 xy + y 2 − 2 2 x y + xy x 2 y − xy 2
( x + y) 2 ( x − y) 2 = − xy ( x + y ) xy ( x − y )
x+ y x− y − xy xy x+y−x+y = xy 2y = xy 2 = x =
三. 整体通分
• 在分式计算题中，如果出现了部分整式，我们可以把整式 在分式计算题中，如果出现了部分整式， 看成一个整体进行通分。 看成一个整体进行通分。 例3. 化简
。
a2 − a −1 a −1
a2 ( a + 1)( a − 1) = − a −1 a −1
解：原式
a2 − a2 +1 1 = = a −1 a −1
例6.计算 计算 解：设
(3m − 2n) 3 2n − 3m (3m − 2n) + − (3m − 2n) 2 + 3m − 2n + 1 3m − 2n − 1
3m − 2n = x，则
原式
x3 x = x+ − x2 − x +1 x −1
x ( x 2 − 1) + x 3 ( x − 1) − x 2 ( x 2 − 1) − x ( x + 1) = ( x + 1)( x − 1) −2 x = ( x + 1)( x − 1) 2(2n − 3m) = (3m − 2n + 1)( 3m − 2n − 1)
x3 ( x − 1 )( x 2 + x + 1 ) = − x −1 x −1 x3 x3 − 1 = − x −1 x −1 1 = x −1
解：原式
四. 化简后通分
对于分子、分母比较复杂的分式计算题，可将每一个分式的分子、 分母分别分解因式，约分后再通分。
例4. 化简 解：原式
a2 + a − 2 a 2 − 4 a − 21 a 2 + 3 a − 18 + 2 − 2 a − 2a − 8 a − a − 12 a 2 + 6a
=
=
(a + 2)(a − 1) (a − 7)(a + 3) (a + 6)(a − 3) + − (a + 2)(a − 4) (a − 4)(a + 3) a ( a + 6)
a −1 a − 7 a −3 + − a − 4 a − 4 a 2a − 8 a −3 = − a − 4 a a −3 = 2− a a + 3 。 = a
小试牛刀： 小试牛刀：计算 解：原式
1 2 2 1 − + − a −2 a −1 a +1 a +2
2 1 1 2 = − − + a + 1 a − 1 a − 2 a + 2
=
2 ( a − 1) − 2 ( a + 1) ( a + 2 ) − ( a − 2 ) + ( a + 1)( a − 1) ( a + 2 )( a − 2 ) −4 4 = 2 + 2 a −1 a −4 − 4 a 2 + 16 + 4 a 2 − 4 = ( a 2 − 1)( a 2 − 4 ) 12 = ( a + 1)( a − 1)( a + 2 )( a − 2 )
思路分析：在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动， 思路分析：在分式运算中，应根据分式的具体特点，灵活机动， 如果运算中的分式不是最简分式，可先通过分解因式后约分， 如果运算中的分式不是最简分式，可先通过分解因式后约分， 再选用适当方法通分，可使运算简便。 再选用适当方法通分，可使运算简便。
1、这节课我们学习了几种通分技巧？你在学习中还发现 、这节课我们学习了几种通分技巧？ 的哪些通分技巧？ 的哪些通分技巧？ 2、分式运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用 、分式运算，一要准确，二要迅速， 的就是通分，对于分式的通分，要讲究技巧。 的就是通分，对于分式的通分，要讲究技巧。
4
1 1 2 4 + )+ + 1− y 1+ y 1+ y2 1+ y4
2 1− y 4
4 2
+ +
2 1+ y 4 1+ y
4 2
) + =
4 1+ y
8 4
1− y
8 1− y
思路分析：如果整体通分，相对较为繁琐。从题型结构看，几个分式的 分母依次符合平方差公式。把前两个分式相加，然后面再进行化简相对 简单，所以，我们在计算多个分式加减时，先观察式子的特点，根据需 要，采取分步通分的方法，这样使问题简化了。
。
=
4 4 12 − 2 = 4 x 2 − 4 x − 1 x − 5x 2 + 4
思路分析：如果将4个分式同时通分，运算量大，且容易出错，观察发现 第一、四项，第二、三项分别为同分母分式，因此先将同分母分式相加减， 然后再通分化简。因此，当我们遇到题目中的分式较多时，可先观察是否 有相同分母的分式，适当分组简化。
二. 分组通分
• 有多个分式相加减时，有时也可将其中某些分式结合在一 有多个分式相加减时， 分别通分，这样能使计算比较简便。 起，分别通分，这样能使计算比较简便。 例2. 化简 解：原式
。
1 2 2 1 + − − x − 2 x +1 x −1 x + 2
=( 1 1 2 2 − )−( − ) x−2 x+2 x −1 x +1
五. 拆项通分
• 当分母比较复杂时，不要按照常规思维直接通分，此时我们要仔细观 察题目，看看能否从中出现特征。当具有下题特征时（每一个分式的 分母是两上代数式相乘，并且这两个代数式的差都是一个定值），可 将每一个分式先拆成两项，相减之后再通分。
例5. 化简 解：原式
1 1 1 + + ( x + 2)( x + 3) ( x + 3)( x + 4) ( x + 4)( x + 5)
界首市第七中学来自百度文库
杨峰
一、 逐步通分
多个分式加减，有时不要将所有分式一起通分， 多个分式加减，有时不要将所有分式一起通分，而采取逐步通分 的方法，这样比较容易化简。 的方法，这样比较容易化简。
1 1 2 + + 1 − y 1 + y 1 + y
。
例1. 化简 解：原式
= (
= ( =
2
+
4 1 + y
小试牛刀： 小试牛刀：计算 解：原式
1 1 2 − − 2 x −1 x +1 x +1
1 2 1 = − − 2 x − 1 x + 1 x + 1
( x + 1) − ( x − 1) 2 − 2 ( x + 1)( x − 1) x +1 2 2 = 2 − 2 x −1 x +1 2 ( x 2 + 1) − 2 ( x 2 − 1) = ( x 2 + 1)( x 2 − 1) 4 = ( x + 1)( x − 1)( x 2 + 1) =