一元二次函数

22．1二次函数的图象和性质22．1.1二次函数1．设一个正方形的边长为x，则该正方形的面积y＝_____，其中变量是_____，_____是_____的函数．2．一般地，形如y＝ax2＋bx＋c(__a，b，c为常数且a≠0___)的函数，叫做二次函数，其中x是自变量，a，b，c分别为二次项系数、一次项系数、常数项．知识点1：二次函数的定义1．下列函数是二次函数的是( )A．y＝2x＋1B．y＝－2x＋1C．y＝x2＋2D．y＝0.5x－22．下列说法中，正确的是( )A．二次函数中，自变量的取值范围是非零实数B．在圆的面积公式S＝πr2中，S是r的二次函数C．y＝12(x－1)(x＋4)不是二次函数D．在y＝1－2x2中，一次项系数为13．若y＝(a＋3)x2－3x＋2是二次函数，则a的取值范围是_____．4．已知二次函数y＝1－3x＋2x2，则二次项系数a＝_____，一次项系数b＝_____，常数项c＝_____．5．已知两个变量x，y之间的关系式为y＝(a－2)x2＋(b＋2)x－3.(1)当_____时，x，y之间是二次函数关系；(2)当_____时，x，y之间是一次函数关系．6．已知两个变量x，y之间的关系为y＝(m－2)xm2－2＋x－1，若x，y之间是二次函数关系，求m的值．知识点2：实际问题中的二次函数的解析式7．某商店从厂家以每件21元的价格购进一批商品，该商品可以自行定价．若每件商品售价为x元，则可卖出(350－10x)件商品，那么商品所赚钱数y元与售价x元的函数关系式为( )A．y＝－10x2－560x＋7350B．y＝－10x2＋560x－7350C．y＝－10x2＋350x＋7350D．y＝－10x2＋350x－73508．某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝120x2(x＞0)，若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为( )A．40m/sB．20m/sC．10m/sD．5m/s9．(2014·安徽)某厂今年一月份新产品的研发资金为a元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年三月份新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为y＝__．10．多边形的对角线条数d与边数n之间的关系式为_____，自变量n的取值范围是_____；当d＝35时，多边形的边数n＝_____12．已知二次函数y＝x2－2x－2，当x＝2时，y＝____；当x＝____时，函数值为1.13．边长为4m的正方形中间挖去一个边长为x(m)(x＜4)的小正方形，剩余的四方框的面积为y(m2)，则y与x之间的函数关系式为_____，它是_____函数．14．设y＝y1－y2，y1与x成正比例，y2与x2成正比例，则y与x的函数关系是( ) A．正比例函数B．一次函数C．二次函数D．以上都不正确15．(2014·河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为x厘米，当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为( )A．6厘米B．12厘米C．24厘米D．36厘米16．某高中学校为高一新生设计的学生单人桌的抽屉部分是长方体形，抽屉底面周长为180cm，高为20cm.设底面的宽为x，抽屉的体积为y时，求y与x之间的函数关系式．(材质及其厚度等暂忽略不计)17．一块矩形的草坪，长为8m，宽为6m，若将长和宽都增加x m，设增加的面积为y m2.(1)求y与x的函数关系式；(2)若使草坪的面积增加32m2，求长和宽都增加多少米？18．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向C以4mm/s 的速度移动(不与点C重合)．如果P，Q分别从A，B同时出发，设运动的时间为x s，四边形APQC的面积为y mm2.(1)求y与x之间函数关系式；(2)求自变量x的取值范围；(3)四边形APQC的面积能否等于172mm2？若能，求出运动的时间；若不能，说明理由．22．1.2 二次函数y ＝ax 2的图象和性质1．由解析式画函数图象的步骤是__列表___、__描点___、__连线___． 2．一次函数y ＝kx ＋b(k ≠0)的图象是__一条直线___．3．二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象是一条__抛物线___，其对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，0)___．4．抛物线y ＝ax 2与y ＝－ax 2关于__x___轴对称．抛物线y ＝ax 2，当a ＞0时，开口向__上___，顶点是它的最__低___点；当a ＜0时，开口向__下___，顶点是它的最__高___点，随着|a|的增大，开口越来越__小___．知识点1：二次函数y ＝ax 2的图象及表达式的确定 1．已知二次函数y ＝x 2，则其图象经过下列点中的() A ．(－2，4) B ．(－2，－4) C ．(2，－4) D ．(4，2)2．某同学在画某二次函数y ＝ax 2的图象时，列出了如下的表格：根据表格可知这个二次函数的关系式是____(2)将表格中的空格补全．3．已知二次函数y ＝ax 2的图象经过点A(－1，－13)．(1)求这个二次函数的解析式并画出其图象； (2)请说出这个二次函数的顶点坐标、对称轴．知识点2：二次函数y ＝ax 2的图象和性质 4．对于函数y ＝4x 2，下列说法正确的是( ) A ．当x ＞0时，y 随x 的增大而减小 B ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小 C ．y 随x 的增大而减小 D ．y 随x 的增大而增大5．已知点(－1，y 1)，(2，y 2)，(－3，y 3)都在函数y ＝x 2的图象上，则( ) A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 1＜y 3＜y 2 C ．y 3＜y 2＜y 1D ．y 2＜y 1＜y 36．已知二次函数y ＝(m －2)x 2的图象开口向下，则m 的取值范围是_____．7．二次函数y ＝－12x 2的图象是一条开口向_____的抛物线，对称轴是_____，顶点坐标是___；当x_____时，y 随x 的增大而减小；当x ＝0时，函数y 有_____(填“最大”或“最小”)值是_____．10．二次函数y＝15x2和y＝5x2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们的对称轴都是y轴，顶点坐标都是原点(0，0)；③当x＞0时，它们的函数值y都是随着x的增大而增大；④它们开口的大小是一样的．其中正确的说法有( )A．1个B．2个C．3个D．4个11．已知a≠0，同一坐标系中，函数y＝ax与y＝ax2的图象有可能是( )12．如图是下列二次函数的图象：①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2.比较a，b，c，d的大小，用“＞”连接为_____．,第12题图),第14题图) 13．当a＝_____时，抛物线y＝ax2与抛物线y＝－4x2关于x轴对称；抛物线y＝－7x2关于x轴对称所得抛物线的解析式为_____；当a＝_____时，抛物线y＝ax2与抛物线y＝－2x2的形状相同．14．已知二次函数y＝2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，则△AOB的面积为_____．15．已知正方形的周长为C(cm)，面积为S(cm2)．(1)求S与C之间的函数关系式；(2)画出所示函数的图象；(3)根据函数图象，求出S＝1cm2时正方形的周长；(4)根据列表或图象的性质，求出C取何值时S≥4cm2?17．如图，抛物线y＝x2与直线y＝2x在第一象限内有一个交点A.(1)你能求出A点坐标吗？(2)在x轴上是否存在一点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．22．1.3 二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象和性质1．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象是一条__抛物线___．它与抛物线y ＝ax 2的__形状___相同，只是__顶点位置___不同，它的对称轴为__y___轴，顶点坐标为__(0，k)___．2．二次函数y ＝ax 2＋k 的图象可由抛物线y ＝ax 2__平移___得到，当k ＞0时，抛物线y ＝ax 2向上平移__k___个单位得y ＝ax 2＋k ；当k ＜0时，抛物线y ＝ax 2向__下___平移|k|个单位得y ＝ax 2＋k.知识点1：二次函数y ＝ax 2＋k 的图象和性质1．抛物线y ＝2x 2＋2的对称轴是_____，顶点坐标是_____，它与抛物线y ＝2x 2的形状_____．2．抛物线y ＝－3x 2－2的开口向_____，对称轴是_____，顶点坐标是_____．3．若点(x 1，y 1)和(x 2，y 2)在二次函数y ＝－12x 2＋1的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y 1与y 2的大小关系为_____．4．对于二次函数y ＝x 2＋1，当x ＝_____时，y 最_____＝_____；当x_____时，y 随x 的增大而减小；当x_____时，y 随x 的增大而增大．5．已知二次函数y ＝－x 2＋4.(1)当x 为何值时，y 随x 的增大而减小？ (2)当x 为何值时，y 随x 的增大而增大？(3)当x 为何值时，y 有最大值？最大值是多少？ (4)求图象与x 轴、y 轴的交点坐标．知识点2：二次函数y ＝ax 2＋k 与y ＝ax 2之间的平移6．将二次函数y ＝x 2的图象向上平移1个单位，则平移后的抛物线的解析式是_____．7．抛物线y ＝ax 2＋c 向下平移2个单位得到抛物线y ＝－3x 2＋2，则a ＝_____，c ＝___．8．在同一个直角坐标系中作出y ＝12x 2，y ＝12x 2－1的图象．(1)分别指出它们的开口方向、对称轴以及顶点坐标；(2)抛物线y ＝12x 2－1与抛物线y ＝12x 2有什么关系？知识点3：抛物线y ＝ax 2＋k 的应用9．如图，小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y ＝－15x 2＋3.5的一部分．若命中篮圈中心，则她与篮底的距离l 是( )A ．3.5mB ．4mC ．4.5mD ．4.6m10．如果抛物线y＝x2＋2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的解析式是( )A．y＝(x－1)2＋2B．y＝(x＋1)2＋2C．y＝x2＋1D．y＝x2＋311．已知y＝ax2＋k的图象上有三点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)，且y2＜y3＜y1，则a的取值范围是( )A．a＞0B．a＜0C．a≥0D．a≤012．已知抛物线y＝－x2＋2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，则△ABC的面积为_____．13．若抛物线y＝ax2＋c与抛物线y＝－4x2＋3关于x轴对称，则a＝____，c＝_____．14．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋3与y轴交于A，过点A作与x轴平行的直线交抛物线y＝13x2于点B，C，则BC的长度为_____．15．直接写出符合下列条件的抛物线y＝ax2－1的函数关系式：(1)经过点(－3，2)；(2)与y＝12x2的开口大小相同，方向相反；(3)当x的值由0增加到2时，函数值减少4.16．把y＝－12x2的图象向上平移2个单位．(1)求新图象的解析式、顶点坐标和对称轴；(2)画出平移后的函数图象；(3)求平移后的函数的最大值或最小值，并求对应的x的值．17．若二次函数y＝ax2＋c，当x取x1，x2(x1≠x2)时，函数值相等，则当x取x1＋x2时，函数值为()A．a＋c B．a－c C．－c D．c18．廊桥是我国古老的文化遗产，如图所示是一座抛物线形廊桥的示意图．已知抛物线对应的函数关系式为y＝－140x2＋10，为保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面AB高为8米的点E，F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离．(5≈2.24，结果精确到1米)第2课时 二次函数y ＝a(x －h)2的图象和性质1．二次函数y ＝a(x －h)2的图象是__抛物线___，它与抛物线y ＝ax 2的__形状___相同，只是__位置___不同；它的对称轴为直线__x ＝h___，顶点坐标为__(h ，0)___．2．二次函数y ＝a(x －h)2的图象可由抛物线y ＝ax 2__平移___得到，当h ＞0时，抛物线y ＝ax 2向__右___平移h 个单位得y ＝a(x －h)2; 当h ＜0时，抛物线y ＝ax 2向__左___平移|h|个单位得y ＝a(x －h)2.知识点1：二次函数y ＝a (x －h )2的图象1．将抛物线y ＝－x 2向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是( ) A ．y ＝－(x ＋2)2 B ．y ＝－x 2＋2 C ．y ＝－(x －2)2D ．y ＝－x 2－22．抛物线y ＝－3(x ＋1)2不经过的象限是( ) A ．第一、二象限B ．第二、四象限 C ．第三、四象限D ．第二、三象限3．已知二次函数y ＝a(x －h)2的图象是由抛物线y ＝－2x 2向左平移3个单位长度得到的，则a ＝_____，h ＝_____.4．在同一平面直角坐标系中，画出函数y ＝x 2，y ＝(x ＋2)2，y ＝(x －2)2的图象，并写出对称轴及顶点坐标．知识点2：二次函数y ＝a (x －h )2的性质 5．二次函数y ＝15(x －1)2的最小值是( ) A ．－1B ．1C ．0D ．没有最小值6．如果二次函数y ＝a(x ＋3)2有最大值，那么a_____0，当x ＝_____时，函数的最大值是_____．7．对于抛物线y ＝－13(x －5)2，开口方向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____．8．二次函数y ＝－5(x ＋m)2中，当x ＜－5时，y 随x 的增大而增大，当x ＞－5时，y 随x 的增大而减小，则m ＝____，此时，二次函数的图象的顶点坐标为_____，当x ＝_____时，y 取最_____值，为_____．9．已知A(－4，y 1)，B(－3，y 2)，C(3，y 3)三点都在二次函数y ＝－2(x ＋2)2的图象上，则y 1，y 2，y 3的大小关系为_____．10．已知抛物线y ＝a(x －h)2，当x ＝2时，有最大值，此抛物线过点(1，－3)，求抛物线的解析式，并指出当x 为何值时，y 随x 的增大而减小．11．顶点为(－6，0)，开口向下，形状与函数y＝12x2的图象相同的抛物线的解析式是( )A．y＝12(x－6)2B．y＝12(x＋6)2C．y＝－12(x－6)2D．y＝－12(x＋6)212．平行于x轴的直线与抛物线y＝a(x－2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为( )A．(1，2) B．(1，－2)C．(5，2) D．(－1，4)13．在同一直角坐标系中，一次函数y＝ax＋c和二次函数y＝a(x＋c)2的图象大致为( )14．已知二次函数y＝3(x－a)2的图象上，当x＞2时，y随x的增大而增大，则a的取值范围是_____．15．已知一条抛物线与抛物线y＝－12x2＋3形状相同，开口方向相反，顶点坐标是(－5，0)，则该抛物线的解析式是_____．16．已知抛物线y＝a(x－h)2的对称轴为x＝－2，且过点(1，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)画出函数的图象；(3)从图象上观察，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，函数有最大值(或最小值)?18．如图，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，O为坐标原点，边OA在x轴上，OA＝AB＝1个单位长度，把Rt△OAB沿x轴正方向平移1个单位长度后得△AA1B1.(1)求以A为顶点，且经过点B1的抛物线的解析式；(2)若(1)中的抛物线与OB交于点C，与y轴交于点D，求点D，C的坐标．第3课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象和性质1．抛物线y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2形状__相同___，位置__不同___，把抛物线y＝ax2向上(下)和向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a(x－h)2＋k，平移的方向、距离要根据__h___，__k___的值来决定．2．抛物线y＝a(x－h)2＋k有如下特点：①当a＞0时，开口向__上___；当a＜0时，开口向__下___；②对称轴是直线__x＝h___；③顶点坐标是__(h，k)___．知识点1：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象1．(2014·兰州)抛物线y＝(x－1)2－3的对称轴是( )A．y轴B．直线x＝－1C．直线x＝1D．直线x＝－32．抛物线y＝(x＋2)2＋1的顶点坐标是( )A．(－2，1) B．(－2，－1)C．(2，1) D．(2，－1)3．把抛物线y＝－2x2先向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度后，所得函数的表达式为( )A．y＝－2(x＋1)2＋2B．y＝－2(x＋1)2－2C．y＝－2(x－1)2＋2D．y＝－2(x－1)2－24．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标：(1)y＝3(x－1)2＋2；(2)y＝－13(x＋1)2－5.知识点2：二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质5．在函数y＝(x＋1)2＋3中，y随x的增大而减小，则x的取值范围为( )A．x＞－1B．x＞3C．x＜－1D．x＜36．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的解析式为y＝－2(x－h)2＋k，则下列结论正确的是( )A．h＞0，k＞0B．h＜0，k＞0C．h＜0，k＜0D．h＞0，k＜0,第6题图),第9题图) 7．一小球被抛出后，距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足函数关系式h＝－5(t －1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是()A．1米B．5米C．6米D．7米11．(2014·哈尔滨)将抛物线y ＝－2x 2＋1向右平移1个单位，再向上平移2个单位后所得到的抛物线为( )A ．y ＝－2(x ＋1)2－1B ．y ＝－2(x ＋1)2＋3C ．y ＝－2(x －1)2＋1D ．y ＝－2(x －1)2＋312．已知二次函数y ＝3(x －2)2＋1.下列说法：①其图象的开口向下；②其图象的对称轴为直线x ＝－2；③其图象顶点坐标为(2，－1)；④当x ＜2时，y 随x 的增大而减小．则其中说法正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个13．二次函数y ＝a(x ＋m)2＋n 的图象如图，则一次函数y ＝mx ＋n 的图象经过( )A ．第一、二、三象限B ．第一、二、四象限C ．第二、三、四象限D ．第一、三、四象限14．设A(－2，y 1)，B(1，y 2)，C(2，y 3)是抛物线y ＝－(x ＋1)2＋a 上三点，则y 1，y 2，y 3的大小关系为( )A ．y 1＞y 2＞y 3B ．y 1＞y 3＞y 2C ．y 3＞y 2＞y 1D ．y 3＞y 1＞y 215．二次函数y ＝a(x ＋k)2＋k ，无论k 为何实数，其图象的顶点都在( ) A ．直线y ＝x 上B ．直线y ＝－x 上 C ．x 轴上D ．y 轴上16．把二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数y ＝12(x ＋1)2－1的图象．(1)试确定a ，h ，k 的值；(2)指出二次函数y ＝a(x －h)2＋k 的开口方向、对称轴和顶点坐标． 17．某广场中心标志性建筑处有高低不同的各种喷泉，其中一支高度为1米的喷水管喷出的抛物线水柱最大高度为3米，此时距喷水管的水平距离为12米，求在如图所示的平面直角坐标系中抛物线水柱的解析式．(不要求写出自变量的取值范围)22．1.4 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象和性质1．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)通过配方可化为y ＝a(x ＋b2a )2＋4ac －b 24a的形式，它的对称轴是__x ＝－b 2a ___，顶点坐标是__(－b 2a ，4ac －b 24a )___．如果a ＞0，当x ＜－b2a时，y 随x 的增大而__减小___，当x ＞－b 2a 时，y 随x 的增大而__增大___；如果a ＜0，当x ＜－b2a时，y 随x 的增大而__增大___，当x ＞－b2a时，y 随x 的增大而__减小___．2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象与y ＝ax 2的图象__形状完全相同___，只是__位置___不同；y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象可以看成是y ＝ax 2的图象平移得到的，对于抛物线的平移，要先化成顶点式，再利用“左加右减，上加下减”的规则来平移．知识点1：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象和性质1．已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的开口向下，顶点坐标为(2，－3)，那么该二次函数有() A ．最小值－3 B ．最大值－3 C ．最小值2D ．最大值2 2．(2014·成都)将二次函数y ＝x 2－2x ＋3化为y ＝(x －h)2＋k 的形式，结果为( ) A ．y ＝(x ＋1)2＋4B ．y ＝(x ＋1)2＋2 C ．y ＝(x －1)2＋4D ．y ＝(x －1)2＋23．若抛物线y ＝x 2－2x ＋c 与y 轴的交点为(0，－3)，则下列说法不正确的是() A ．抛物线开口向上B ．抛物线的对称轴是x ＝1C ．当x ＝1时，y 的最大值为－4D ．抛物线与x 轴的交点为(－1，0)，(3，0) 4．抛物线y ＝x 2＋4x ＋5的顶点坐标是_____．5．已知二次函数y ＝－2x 2－8x －6，当_____时，y 随x 的增大而增大；当x ＝____时，y 有最_____值是____．知识点2：二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的变换6．抛物线y ＝－x 2＋2x －2经过平移得到y ＝－x 2，平移方法是( )A ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位B ．向右平移1个单位，再向上平移1个单位C ．向左平移1个单位，再向下平移1个单位D ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位7．把抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 的图象向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式为y ＝x 2－3x ＋5，则()A ．b ＝3，c ＝7B ．b ＝6，c ＝3C ．b ＝－9，c ＝－5D ．b ＝－9，c ＝218．如图，抛物线y ＝ax 2－5ax ＋4a 与x 轴相交于点A ，B ，且过点C(5，4)． (1)求a 的值和该抛物线顶点P 的坐标；(2)请你设计一种平移的方法，使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式．9．(2014·河南)已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点．若点A的坐标为(－2，0)，抛物线的对称轴为直线x＝2，则线段AB的长为__8___．10．二次函数y＝2x2＋mx＋8的图象如图所示，则m的值是( B)A．－8B．8C．±8D．6,第10题图),第12题图)11．已知二次函数y＝－12x2－7x＋152.若自变量x分别取x1，x2，x3，且0＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系正确的是(A)A．y1＞y2＞y3B．y1＜y2＜y3C．y2＞y3＞y1D．y2＜y3＜y112．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＜0)的图象如图所示，当－5≤x≤0时，下列说法正确的是( B)A．有最小值－5，最大值0B．有最小值－3，最大值6C．有最小值0，最大值6D．有最小值2，最大值613．如图，抛物线y＝ax2＋bx和直线y＝ax＋b在同一坐标系内的图象正确的是( D)14．已知二次函数y＝x2－2kx＋k2＋k－2.(1)当实数k为何值时，图象经过原点？(2)当实数k在何范围取值时，函数图象的顶点在第四象限内？15．当k分别取－1，1，2时，函数y＝(k－1)x2－4x＋5－k都有最大值吗？请写出你的判断，并说明理由；若有，请求出最大值．第2课时用待定系数法求二次函数的解析式用待定系数法求二次函数的解析式的几种常见的形式：(1)三点式：已知图象上的三个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y＝ax2＋bx＋c___．(2)顶点式：已知抛物线的顶点坐标(h，k)及图象上的一个点的坐标，可设二次函数的解析式为__y＝a(x－h)2＋k___．以下有三种特殊情况：①当已知抛物线的顶点在原点时，我们可设抛物线的解析式为__y＝ax2___；②当已知抛物线的顶点在y轴上或以y轴为对称轴，但顶点不一定是原点时，可设抛物线的解析式为__y＝ax2＋c___；③当已知抛物线的顶点在x轴上，可设抛物线的解析式为__y＝a(x－h)2___，其中(h，0)为抛物线与x轴的交点坐标．(3)交点式：已知抛物线与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0)及图象上任意一点的坐标，可设抛物线的解析式为__y＝a(x－x1)(x－x2)___．知识点1：利用“三点式”求二次函数的解析式1．由表格中信息可知，若设y＝ax2＋bx＋c，则下列y与x之间的函数关系式正确的是( )A.y＝x2－4x＋3C．y＝x2－3x＋3D．y＝x2－4x＋82．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点(－1，0)，(0，－2)，(1，－2)，则这个二次函数的解析式为_____．3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝0时，y＝1；当x＝－1时，y＝6；当x＝1时，y＝0.求这个二次函数的解析式．知识点2：利用“顶点式”求二次函数的解析式4．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为()A．y＝2(x＋1)2＋8B．y＝18(x＋1)2－8C．y＝29(x－1)2＋8D．y＝2(x－1)2－85．已知抛物线的顶点坐标为(4，－1)，与y轴交于点(0，3)，求这条抛物线的解析式．知识点3：利用“交点式”求二次函数的解析式 6．如图，抛物线的函数表达式是()A ．y ＝12x 2－x ＋4B ．y ＝－12x 2－x ＋4C ．y ＝12x 2＋x ＋4D ．y ＝－12x 2＋x ＋47．已知一个二次函数的图象与x 轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y 轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的解析式．8．抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是()A．y＝x2－x－2B．y＝－12x2－12x＋2C．y＝－12x2－12x＋1D．y＝－x2＋x＋29．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象的最高点是(－1，－3)，则b，c的值分别是( ) A．b＝2，c＝4B．b＝2，c＝－4C．b＝－2，c＝4D．b＝－2，c＝－410．抛物线y2从上表可知，①抛物线与x轴的一个交点为(3，0)；②函数y＝ax2＋bx＋c的最大值为6；③抛物线的对称轴是x＝0.5；④在对称轴左侧，y随x增大而增大．11．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，且抛物线经过A(－1，0)，B(0，－3)两点，则这条抛物线的解析式为_____．12．将二次函数y＝(x－1)2＋2的图象沿x轴对折后得到的图象的解析式为___．13．(2014·杭州)设抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)过A(0，2)，B(4，3)，C三点，其中点C 在直线x＝2上，且点C到抛物线对称轴的距离等于1，则抛物线的函数解析式为_____．14．已知二次函数的图象的对称轴为x＝1，函数的最大值为－6，且图象经过点(2，－8)，求此二次函数的表达式．15．已知二次函数的图象经过点(0，3)，(－3，0)，(2，－5)，且与x轴交于A，B两点．(1)试确定此二次函数的解析式；(2)判断点P(－2，3)是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAB的面积；如果不在，试说明理由．专题训练(三)用待定系数法求二次函数解析式一、已知三点求解析式1．已知二次函数的图象经过(1，0)，(2，0)和(0，2)三点，则该函数的解析式是( )A．y＝2x2＋x＋2B．y＝x2＋3x＋2C．y＝x2－2x＋3D．y＝x2－3x＋22．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点，求出抛物线的解析式．二、已知顶点或对称轴求解析式3．在直角坐标平面内，二次函数的图象顶点为A(1，－4)，且过点B(3，0)，求该二次函数的解析式．4．已知抛物线经过两点A(1，0)，B(0，3)，且对称轴是直线x＝2，求其解析式．三、已知抛物线与x轴的交点求解析式5．已知抛物线与x轴的交点是A(－2，0)，B(1，0)，且经过点C(2，8)，则该抛物线的解析式为_____．6．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴的两个交点分别为A(1，0)，B(3，0)，求这条抛物线的解析式．四、已知几何图形求解析式7．如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数y＝－23x2＋bx＋c的图象经过B，C两点．求该二次函数的解析式．五、已知面积求解析式8．直线l过点A(4，0)和B(0，4)两点，它与二次函数y＝ax2的图象在第一象限内交于点P，若S△AOP＝92，求二次函数关系式．六、已知图形变换求解析式9．已知抛物线C1：y＝ax2＋bx＋c经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3)．(1)求抛物线C1的解析式；(2)将抛物线C1向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线C2经过坐标原点，并写出C2的解析式．七、运用根与系数的关系求解析式10．已知抛物线y＝－x2＋2mx－m2－m＋2.(1)直线l：y＝－x＋2是否经过抛物线的顶点；(2)设该抛物线与x轴交于M，N两点，当OM·ON＝4，且OM≠ON时，求出这条抛物线的解析式．22．2 二次函数与一元二次方程第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系1．一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的实数根，就是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c ，当__y ＝0___时，自变量x 的值，它是二次函数的图象与x 轴交点的__横坐标___．2．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点个数与一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0根的判别式的关系：当b 2－4ac ＜0时，抛物线与x 轴__无___交点；当b 2－4ac ＝0时，抛物线与x 轴有__一个___交点；当b 2－4ac ＞0时，抛物线与x 轴有__两个___交点．知识点1：二次函数与一元二次方程1．抛物线y ＝－3x 2－x ＋2与坐标轴的交点个数是() A ．3 B ．2C ．1D ．02．如图，已知抛物线与x 轴的一个交点A(2，0)，对称轴是x ＝－1，则该抛物线与x 轴的另一个交点的坐标是( )A ．(－2，0)B ．(－3，0)C ．(－4，0)D ．(－5，0)3．抛物线y ＝x 2＋6x ＋m 与x 轴只有一个公共点，则m 的值为_____．4．绿茵场上，足球运动员将球踢出，球的飞行高度h(米)与前行距离s(米)之间的关系为h ＝45s －2125s 2，那么当足球落地时距离原来的位置有_____米．知识点2：利用二次函数求一元二次方程的近似解5．根据下列表格的对应值，判断方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0，a ，b ，c 为常数)一个解的范围是( )A .2＜x ＜2.23C ．2.24＜x ＜2.25D ．2.25＜x ＜2.26 知识点3：二次函数与不等式7．二次函数y ＝x 2－x －2的图象如图所示，则函数值y ＜0时x 的取值范围是() A ．x ＜－1B ．x ＞2C ．－1＜x ＜2D ．x ＜－1或x ＞2,第7题图) ,第8题图)8．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象，由图象可知不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是( )A ．－1＜x ＜5B ．x ＞5C ．x ＜－1且x ＞5D ．x ＜－1或x ＞510．已知函数y＝x2＋2x－3，当x＝m时，y＜0，则m的值可能是( )A．－4B．0C．2D．311．根据下列表格中的对应值，判断方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c为常数)的根的个数是( )A.0B．1C．2D12．抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图，则关于x的方程ax2＋bx＋c－2＝0的情况是( )A．有两个不相等的实数根B．有两个异号的实数根C．有两个相等的实数根D．没有实数根13．抛物线y＝2(x＋3)(x－2)与x轴的交点坐标分别为_____．14．(1)用配方法把二次函数y＝x2－4x＋3化成y＝(x－h)2＋k的形式；(2)在直角坐标系中画出y＝x2－4x＋3的图象；(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)是函数y＝x2－4x＋3图象上的两点，且x1＜x2＜1，请比较y1，y2的大小关系；(直接写结果)(4)把方程x2－4x＋3＝2的根在函数y＝x2－4x＋3的图象上表示出来．15．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图，根据图象解答下列问题：(1)写出方程ax2＋bx＋c＝0的两个根；(2)写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围；(3)若方程ax2＋bx＋c＝k有两个不相等的实数根，求k的取值范围．16．已知二次函数y＝x2－2mx＋m2＋3(m是常数)．(1)求证：不论m为何值，该函数的图象与x轴没有公共点；(2)把该函数的图象沿y轴向下平移多少个单位长度后，得到的函数的图象与x轴只有一个公共点？第2课时二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象与字母系数a，b，c之间的关系：(1)当a＞0时，开口__向上___，当a＜0时，开口__向下___；(2)若对称轴在y轴的左边，则a，b__同号___，若对称轴在y轴的右边，则a，b__异号___；(3)若抛物线与y轴的正半轴相交，则c__＞___0，若抛物线与y轴的负半轴相交，则c__＜___0，若抛物线经过原点，则c__＝___0；(4)当x＝1时，y＝ax2＋bx＋c＝a＋b＋c；当x＝－1时，y＝ax2＋bx＋c＝a－b＋c；当x＝2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a＋2b＋c；当x＝－2时，y＝ax2＋bx＋c＝4a－2b＋c；…；(5)当对称轴x＝1时，x＝－b2a＝1，所以－b＝2a，此时2a＋b＝0; 当对称轴x＝－1时，x＝－b2a＝－1，所以b＝2a，此时2a－b＝0；(6)b2－4ac＞0⇔二次函数与横轴有两个交点；b2－4ac＝0⇔二次函数与横轴有一个交点；b2－4ac＜0⇔二次函数与横轴无交点．知识点1：二次函数图象与字母系数的关系1．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列关系式错误的是( )A．a＞0B．c＞0C．b2－4ac＞0D．a＋b＋c＞0,第1题图),第2题图),第4题图) 2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，下列结论正确的是()A．a＜0B．b2－4ac＜0C．当－1＜x＜3时，y＞0D．－b2a＝13．(2014·白银)二次函数y＝x2＋bx＋c中，若b＋c＝0，则它的图象一定过点( )A．(1，－1) B．(－1，1)C．(－1，－1) D．(1，1)4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若M＝a＋b－c，N＝4a－2b＋c，P ＝2a－b，则M，N，P中，值小于0的数有()A．3个B．2个C．1个D．0个知识点2：函数图象的综合5．若正比例函数y＝mx(m≠0)，y随x的增大而减小，则它和二次函数y＝mx2＋m的图象大致是( )6．二次函数y＝ax2＋bx的图象如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图象大致是( ) 7．在同一坐标系内，一次函数y＝ax＋b与二次函数y＝ax2＋8x＋b的图象可能是( )8．已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，则下列结论中正确的是( ) A ．ac ＞0B ．当x ＞1时，y 随x 的增大而减小C ．b －2a ＝0D ．x ＝3是关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)的一个根,第8题图),第9题图),第11题图) 9．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，其对称轴为x ＝1.下列结论中错误的是()A ．abc ＜0B ．2a ＋b ＝0C ．b 2－4ac ＞0D ．a －b ＋c ＞010．已知二次函数y ＝kx 2－7x －7的图象和x 轴有交点，则k 的取值范围是( )A ．k ＞－74B ．k ＞－74且k ≠0C ．k ≥－74D ．k ≥－74且k ≠011．(2014·天津)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，且关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c －m ＝0没有实数根，有下列结论：①b 2－4ac ＞0；②abc ＜0；③m ＞2.其中正确结论的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．312．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的对称轴是过点(1，0)且平行于y 轴的直线，若点P(4，0)在该抛物线上，则4a －2b ＋c 的值为_____．,第12题图) ,第13题图)13．如图，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ＞0)的图象的顶点为点D ，其图象与x 轴的交点A ，B 的横坐标分别为－1，3，与y 轴负半轴交于点C.在下面四个结论中：①2a －b ＝0；②a ＋b＋c ＞0；③c ＝－3a ；④只有当a ＝12时，△ABD 是等腰直角三角形．其中正确的结论是_____．(只填序号)14．如图，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交于A ，D 两点，与y 轴交于点C ，抛物线的顶点B 在第一象限，若点A 的坐标为(1，0)．试分别判断a ，b ，c ，b 2－4ac ，2a ＋b ，2a －b ，a ＋b ＋c ，a －b －c 的符号．15．已知关于x的二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象经过点C(0，1)，且与x轴交于不同的两点A，B，点A的坐标是(1，0)．(1)求c的值；(2)求a的取值范围．16．如图，直线y＝x＋m和抛物线y＝x2＋bx＋c都经过点A(1，0)，B(3，2)．(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)求不等式x2＋bx＋c＞x＋m的解集；(直接写出答案)(3)若M(a，y1)，N(a＋1，y2)两点都在抛物线y＝x2＋bx＋c上，试比较y1与y2的大小．。