高中数学人教A版选修2-1抛物线训练题

人教版A 数学选修2－1抛物线 练习一、选择题（每题6分，共42分）1．如果抛物线y 2=ax 的准线是直线x =-1，那么它的焦点坐标为（ ）A ．（1, 0）B ．（2, 0）C ．（3, 0）D ．（－1, 0）2．圆心在抛物线y 2=2x 上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 （ ） A ．x 2+ y 2-x -2 y -41=0 B ．x 2+ y 2+x -2 y +1=0 C ．x 2+ y 2-x -2 y +1=0D ．x 2+ y 2-x -2 y +41=0 3．抛物线2x y =上一点到直线042=--y x 的距离最短的点的坐标是 （ ）A ．（1，1）B ．（41,21） C ．)49,23(D ．（2，4）4．一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m 时，水面宽4m ，若水面下降1m ，则水面宽为（ ）A ．6m B ． 26mC ．4.5mD ．9m5．平面内过点A （-2，0），且与直线x =2相切的动圆圆心的轨迹方程是 （ ）A ． y 2=－2xB ． y 2=－4xC ．y 2=－8xD ．y 2=－16x6．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上点（-5，m ）到焦点距离是6，则抛物线的方程是（ ）A ． y 2=-2xB ． y 2=-4xC ． y 2=2xD ． y 2=-4x 或y 2=-36x7．过抛物线y 2=4x 的焦点作直线，交抛物线于A(x 1, y 1) ，B(x 2, y 2)两点，如果x 1+ x 2=6，那么|AB|= （ ） A ．8 B ．10 C ．6 D ．4二、填空题（每题7分，共28分）8．抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若AB 的长为43，则焦点到AB 的距离为 ．9．抛物线y =2x 2的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是 ．10．P 是抛物线y 2=4x 上一动点，以P 为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经过一个定点Q ，点Q 的坐标是 ．11．抛物线的焦点为椭圆14922=+y x 的左焦点，顶点在椭圆中心，则抛物线方程为 ．三、解答题（12题12分，13题18分，共30分）12．已知动圆M 与直线y =2相切，且与定圆C ：1)3(22=++y x 外切，求动圆圆心M 的轨迹方程．13．河上有抛物线型拱桥，当水面距拱桥顶5米时，水面宽为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面上的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时，小船开始不能通航？参考答案一．选择题（本大题共10小题，每小题6分，共42分）二．填空题（本大题共4小题，每小题7分，共28分） 8．2 9．4kx=10．（1，0） 11．x y 542-= 三、解答题（本大题共6题，共76分）12．（12分）[解析]：设动圆圆心为M （x ，y ），半径为r ，则由题意可得M 到C （0，-3）的距离与到直线y =3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C （0，-3）为焦点，以y =3为准线的一条抛物线，其方程为y x122-=．13．（18分）[解析]：如图建立直角坐标系，设桥拱抛物线方程为)0(22>-=p py x，由题意可知，B （4，-5）在抛物线上，所以6.1=p ，得y x 2.32-=，当船面两侧和抛物线接触时，船不能通航，设此时船面宽为AA ’，则A （A y ,2），由Ay 2.322-=得45-=A y ，又知船面露出水面上部分高为0．75米，所以75.0+=A y h =2米。

抛物线基础训练一、选择题：1．（）抛物线x y 102=的焦点到准线的距离是 A ．25B ．5C ．215D ．10 B 210,5p p ==，而焦点到准线的距离是p2．（）若抛物线28y x =上一点P 到其焦点的距离为9，则点P 的坐标为A ．(7,B ．(14,C ．(7,±D ．(7,-±对C 点P 到其焦点的距离等于点P 到其准线2x =-的距离，得7,P p x y ==±3．（）以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆096222=++-+y x y x 的圆心的抛物线的方程是A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92= D 圆心为(1,3)-，设22112,,63x py p x y ==-=-；设2292,,92y px p y x === 4．（）设AB 为过抛物线)0(22>=p px y 的焦点的弦，则AB 的最小值为 A ．2p B ．p C ．p 2D ．无法确定 C 垂直于对称轴的通径时最短，即当,,2p x y p ==±min 2AB p = 5．（）若抛物线x y =2上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P 的坐标为（）A ．1(,4B ．1(,8C ．1(4D ．1(8 B 点P 到准线的距离即点P 到焦点的距离，得PO PF =，过点P 所作的高也是中线18x P ∴=，代入到x y =2得y P =1(,8P ∴ 6．（）抛物线22x y =上两点),(11y x A 、),(22y x B 关于直线m x y +=对称， 且2121-=⋅x x ，则m 等于A ．23B ．2C ．25D ．3A 22212121212111,2(),2AB y y k y y x x x x x x -==--=-+=--而得，且212122x x y y ++(,) 在直线y x m =+上，即21212121,222y y x x m y y x x m ++=++=++ 222212*********()2,2[()2]2,23,2x x x x m x x x x x x m m m +=+++-=++== 7．（）若点A 的坐标为(3,2)，F 是抛物线x y 22=的焦点，点M 在抛物线上移动时，使MA MF +取得最小值的M 的坐标为A ．()0,0B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛1,21C ．()2,1D ．()2,2 D MF 可以看做是点M 到准线的距离，当点M 运动到和点A 一样高时，MA MF +取得最小值，即2y M =，代入x y 22=得2x M = 二、填空题：8．抛物线x y 62=的准线方程为＿＿＿＿＿.32x =-326,3,22p p p x ===-=-9．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

抛物线测试题（2） 一．选择题1.抛物线2y ax =的准线方程为y=1,则实数a 的值是… ( ) A.14B.12C.14-D.12-解析:抛物线2y ax =化为21ax y =,由于其准线方程为y=1,故a<0,且|14a |=1, 解得14a =-.答案:C2．若抛物线y 2＝4x 上一点P 到焦点F 的距离是10，则P 点的坐标为( )A ．(9,6)B ．(6,9)C ．(±6,9)D ．(9，±6)解析：选D.设P (x 0，y 0)，则x 0－(－1)＝10，即x 0＝9，代入抛物线方程，得y 20＝36，即y 0＝±6. 3.若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A.14(B.18(C.14( D.18(解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,∴P 点的横坐标为20128p +=.∴18(P .答案:B4..若抛物线2y x =上一点P 到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P 的坐标为( )A.14(B.18(C.14( D.18(解析:由抛物线定义可得,P 到顶点的距离等于它到抛物线焦点的距离,∴P 点的横坐标为20128p +=.∴18(P .答案:B5. 对任意实数θ，则方程22sin 4x y θ+=所表示的曲线不可能是(A ) A ．抛物线 B ．双曲线 C ．椭圆 D ．圆6.已知抛物线22(0)y px p =>的准线与圆22(3)16x y -+=相切,则p 的值为( ) A.12B.1C.2D.4解析:抛物线22y px =的准线为2px =-与圆2(3)x -+216y =相切,∴21p-=-.∴p=2.答案:C7.点P 是抛物线24y x =上一动点,则点P 到点A(0,-1)的距离与P 到直线x=-1的距离和的最小值是 ( ) A.5B.3C.32D.2解析:抛物线焦点为F(1,0),AF 连线与抛物线交点P 为所求点,最小值为|AF|2=.答案:D8．已知双曲线x 24－y 212＝1的离心率为e ，抛物线x ＝2py 2的焦点为(e,0)，则p 的值为( )A ．2B ．1 C.14 D.116解析：选D.依题意得e ＝2，抛物线方程为y 2＝12px ，故18p ＝2，得p ＝116. 9．已知椭圆的中心在原点，离心率e ＝12，且它的一个焦点与抛物线y 2＝－4x 的焦点重合，则此椭圆方程为( )A.x 24＋y 23＝1B.x 28＋y 26＝1C.x 22＋y 2＝1 D.x 24＋y 2＝1 解析：选A.由题意知，所求椭圆的一个焦点坐标为(－1,0)，即c ＝1，又e ＝12，所以a＝2，b 2＝a 2－c 2＝3.故所求的椭圆方程为x 24＋y 23＝1.10.已知F 是抛物线2y x =的焦点,A,B 是该抛物线上的两点,|AF|+|BF|=3,则线段AB 的中点到y 轴的距离为( ) A.34B.1C.54D.74解析:如图,由抛物线的定义知,|AM|+|BN|=|AF|+|BF|=3.|CD|=32,所以中点C 的横坐标为32-5144=.答案:C11.抛物线2y x =-上的点到直线4x+3y-8=0距离的最小值是( )A.43B.75C.85D.3解析:(方法一)设直线4x+3y+m=0与2y x =-相切,则联立两方程,消去y 得2340x x m --=.令0∆=,有m=-43.两直线间的距离为15|438()---|43=.(方法二)设抛物线2y x =-上一点为2()m m ,-, 该点到直线4x+3y-8=0的距离为15|2438m m --|,当23m =时,取得最小值为43.答案:A12.已知抛物线y 2=2px(p>0)与双曲线-=1(a>0，b>0)有相同的焦点F ，点A 是两曲线的交点，且AF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为( ) A.B.+1C.+1D.【解析】选B.如图， 由双曲线-=1， 且AF ⊥x 轴得-=1得|y|=，由抛物线y 2=2px 的定义得 AF=p ，即=2c.得b 2=2ac ，所以=，e 2-1=2e ，所以e=+1.13.设抛物线28y x =的准线与x 轴交于点Q,若过点Q 的直线l 与抛物线有公共点,则直线l 的斜率的取值范围是( )A.1122[]-,B.[-2,2]C.[-1,1]D.[-4,4]解析:设直线方程为y=k(x+2),与抛物线方程联立,得 28(2)y x y k x ⎧=,⎨=+,⎩ 消去x 得到关于y 的方程28160ky y k -+=.当k=0时,直线与抛物线有一个交点;当0k ≠时,令264640k ∆=-≥,解得10k -≤<或0<k ≤1.所以11k -≤≤. 答案:C 二．填空题14.抛物线2y x =-的焦点坐标为_____. 答案:14(0),-15.设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F 且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为_____. 解析:抛物线焦点为4(0)a F ,,则直线l 的方程为y=2(x-4)a.令x=0得2(0)a A ,-, 则12OAFS=⋅|4a |⋅|2a|=4,∴8a =±.∴抛物线方程为28y x =±. 答案:28y x =±16．已知抛物线y 2＝4x 的准线与双曲线x 2a2－y 2＝1交于A ，B 两点，点F 为抛物线的焦点，若△FAB 为直角三角形，则该双曲线的离心率是________．解析：抛物线y 2＝4x 的准线为x ＝－1，又△FAB 为直角三角形，则只有∠AFB ＝90°，如图，则A (－1,2)应在双曲线上，代入双曲线方程可得a 2＝15，于是c ＝a 2＋1＝65. 故e ＝c a＝ 6. 答案： 617．对于抛物线24y x =上任意一点Q ，点(,0)P a 都满足PQ a ≥，则a 的取值范围是____。

1．抛物线y＝4x2的准线方程为()A．x＝－1B．y＝－1 C．x＝－116D．y＝－1162．抛物线y2＝4x的焦点坐标是()A．(0，2) B．(0，1) C．(2，0) D．(1，0)3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为()A．y2＝8x B．x2＝y C．y2＝8x或x2＝y D．无法确定4．过点F(0，3)且和直线y＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为()A．y2＝12x B．y2＝－12x C．x2＝12y D．x2＝－12y5．已知M是抛物线y2＝2px(p>0)上的点，若M到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M的横坐标为()A．1 B．1或4 C．1或5 D．4或56．以双曲线x216－y29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为()A．y2＝16x B．y2＝－16x C．y2＝8x D．y2＝－8x7．已知抛物线的焦点在直线x－2y－4＝0上，则抛物线的标准方程为________．8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．9．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．10．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．11．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．1．抛物线y ＝4x 2的准线方程为( )A ．x ＝－1B ．y ＝－1C ．x ＝－116 D ．y ＝－116答案：D2．抛物线y 2＝4x 的焦点坐标是( )A ．(0，2)B ．(0，1)C ．(2，0)D ．(1，0) 解析：由题意，y 2＝4x 的焦点坐标为(1，0)．答案：D3．经过点(2，4)的抛物线的标准方程为( )A ．y 2＝8xB ．x 2＝yC ．y 2＝8x 或x 2＝yD ．无法确定解析：由题设知抛物线开口向右或开口向上，设其方程为y 2＝2px (p >0)或x 2＝2p ′y (p ′>0)，将点(2，4)代入可得p ＝4或p ′＝12，所以所求抛物线的标准方程为y 2＝8x 或x 2＝y . 答案：C4．过点F (0，3)且和直线y ＋3＝0相切的动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y 2＝12xB ．y 2＝－12xC ．x 2＝12yD ．x 2＝－12y解析：由题意，知动圆圆心到点F (0，3)的距离等于到定直线y ＝－3的距离，故动圆圆心的轨迹是以F 为焦点，直线y ＝－3为准线的抛物线，所以所求的抛物线方程为x 2＝12y .答案：C5．已知M 是抛物线y 2＝2px (p >0)上的点，若M 到此抛物线的准线和对称轴的距离分别为5和4，则点M 的横坐标为( )A ．1B ．1或4C ．1或5D ．4或5解析：因为点M 到对称轴的距离为4，所以点M 的坐标可设为(x ，4)或(x ，－4)，又因为M 到准线的距离为5，所以⎩⎪⎨⎪⎧42＝2px ，x ＋p 2＝5，解得⎩⎨⎧x ＝4，p ＝2，或⎩⎨⎧x ＝1，p ＝8. 答案：B6．以双曲线x 216－y 29＝1的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为( ) A ．y 2＝16x B ．y 2＝－16x C ．y 2＝8x D ．y 2＝－8x答案：A7．已知抛物线的焦点在直线x －2y －4＝0上，则抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝16x 或x 2＝－8y8．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为________．解析：因为|AF|＋|BF|＝x A＋x B＋12＝3，所以x A＋x B＝52.所以线段AB的中点到y轴的距离为x A＋x B2＝54.答案：549．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．解析：x M＋1＝10⇒x M＝9.答案：910．抛物线y＝－14x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．解析：将抛物线方程化成标准方程为x2＝－4y，可知焦点坐标为(0，－1)，因为－3＜－1 4，所以点E(1，－3)在抛物线的内部，如图所示，设抛物线的准线为l，过M点作MP⊥l于点P，过点E作EQ⊥l于点Q，由抛物线的定义可知，|MF|＋|ME|＝|MP|＋|ME|≥|EQ|，当且仅当点M在EQ上时取等号，又|EQ|＝1－(－3)＝4，故距离之和的最小值为4.答案：411．已知动圆M经过点A(3，0)，且与直线l：x＝－3相切，求动圆圆心M的轨迹方程．解：法一：设动点M(x，y)，设⊙M与直线l：x＝－3的切点为N，则|MA|＝|MN|，所以点M的轨迹是抛物线，且以A(3，0)为焦点，以直线l：x＝－3为准线，所以p2＝3，所以p＝6.所以圆心M的轨迹方程是y2＝12x.法二：设动点M(x，y)，则点M的轨迹是集合P＝{M||MA|＝|MN|}，即（x－3）2＋y2＝|x＋3|，化简得y2＝12x.所以圆心M的轨迹方程为y2＝12x.。

第2章 2.4.2 第2课时一、选择题(每小题5分，共20分)1．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在解析：由定义|AB|＝5＋2＝7，∵|AB|min＝4，∴这样的直线有且仅有两条．答案： B2．在同一坐标系中，方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0(a>b>0)的曲线大致为( )解析：方法一：将方程a2x2＋b2y2＝1与ax＋by2＝0转化为x2 1 a2＋y21b2＝1，y2＝－abx.因为a>b>0，所以1b>1a>0.所以椭圆的焦点在y轴上；抛物线的焦点在x轴上，且开口向左．故选D.方法二：方程ax＋by2＝0中，将y换成－y，其结果不变，即ax＋by2＝0的图形关于x轴对称，排除B、C，又椭圆的焦点在y轴上，排除A.故选D.答案： D3．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )A.13B.223C.23D.23解析：过A、B作抛物线准线l的垂线，垂足分别为A1、B1，由抛物线定义可知，AA 1＝AF ，BB 1＝BF ，又∵2|BF |＝|AF |，∴|AA 1|＝2|BB 1|，即B 为AC 的中点．从而y A ＝2y B ，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k x ＋2，y 2＝8x⇒消去x 得y 2－8ky ＋16＝0， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ y A ＋y B ＝8k ，y A ·y B ＝16⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3y B ＝8k ，2y 2B ＝16，，消去y B 得k ＝223.故选B. 答案： B 4．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y 2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A ．2B ．3 C.115D.3716 解析： ∵直线l 2：x ＝－1恰为抛物线y 2＝4x 准线，∴P 到l 2的距离d 2＝|PF |(F (1,0)为抛物线焦点)，所以P 到l 1、l 2距离之和最小值为F 到l 1距离 |4×1－3×0＋6|32＋42＝2，故选A. 答案： A二、填空题(每小题5分，共10分)5．已知直线x －y －1＝0与抛物线y ＝ax 2相切，则a ＝________.解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y －1＝0y ＝ax 2，得ax 2－x ＋1＝0， Δ＝1－4a ＝0，得a ＝14.答案： 146．直线y ＝x ＋b 交抛物线y ＝12x 2于A 、B 两点，O 为抛物线的顶点，且OA ⊥OB ，则b 的值为________．解析： 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝x ＋b y ＝12x 2，得x 2－2x －2b ＝0， Δ＝(－2)2＋8b >0，设直线与抛物线的两交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝2，x 1x 2＝－2b ，于是y 1y 2＝14(x 1x 2)2＝b 2， 由OA ⊥OB 知x 1x 2＋y 1y 2＝0，故b 2－2b ＝0，解得b ＝2或b ＝0(不合题意，舍去)． b ＝2适合Δ>0.答案： 2三、解答题(每小题10分，共20分)7．设过抛物线y 2＝2px 的焦点且倾斜角为π4的直线交抛物线于A 、B 两点，若弦AB 的中垂线恰好过点Q (5,0)，求抛物线的方程．解析： 弦AB 中点为M ，MQ 为AB 的中垂线，AB 的斜率为1，则l MQ ：y ＝－x ＋5.设l AB ：y ＝x －p2. 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，y 2＝2px .得x 2－3px ＋p 24＝0， ∴x 1＋x 2＝3p .① 联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－x ＋5y ＝x －p 2， 得2x ＝5＋p 2，则x 1＋x 2＝5＋p2② 联立①②，解得p ＝2，∴抛物线方程为y 2＝4x .8．已知抛物线C ：y 2＝2px (p >0)过点A (1，－2)．(1)求抛物线C 的方程，并求其准线方程；(2)是否存在平行于OA (O 为坐标原点)的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于55？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由． 解析： (1)将(1，－2)代入y 2＝2px ，得(－2)2＝2p ·1，∴p ＝2，故所求的抛物线方程为y 2＝4x ，其准线方程为x ＝－1； (2)假设存在符合题意的直线l ，其方程为y ＝－2x ＋t ，由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2＝4x y ＝－2x ＋t 得y 2＋2y －2t ＝0， 因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以Δ＝4＋8t ≥0，解得t ≥－12. 另一方面，由直线OA 与直线l 的距离等于55可得|t |5＝55， ∴t ＝±1， 由于－1∉⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞，1∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，＋∞， 所以符合题意的直线l 存在，其方程为y ＝－2x ＋1.尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知抛物线C 1：y 2＝4px (p >0)，焦点为F 2，其准线与x 轴交于点F 1；椭圆C 2：分别以F 1、F 2为左、右焦点，其离心率e ＝12；且抛物线C 1和椭圆C 2的一个交点记为M .(1)当p ＝1时，求椭圆C 2的标准方程；(2)在(1)的条件下，若直线l 经过椭圆C 2的右焦点F 2，且与抛物线C 1相交于A ，B 两点，若弦长|AB |等于△MF 1F 2的周长，求直线l 的方程．解析： (1)x 24＋y 23＝1； (2)①若直线l 的斜率不存在，则l ：x ＝1，且A (1,2)，B (1，－2)，∴|AB |＝4又∵△MF 1F 2的周长等于|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6≠|AB |.∴直线l 的斜率必存在．②设直线l 的斜率为k ，则l ：y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x y ＝k x －1，得k 2x 2－(2k 2＋4)x ＋k 2＝0， ∵直线l 与抛物线C 1有两个交点A ，B ， ∴Δ＝[－(2k 2＋4)]2－4k 4＝16k 2＋16>0，且k ≠0 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则可得x 1＋x 2＝2k 2＋4k2，x 1x 2＝1 于是|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋k 2[x 1＋x 22－4x 1x 2] ＝1＋k 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋4k 22－4 ＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫16k 2＋16k 4＝41＋k 2k 2， ∵△MF 1F 2的周长等于|MF 1|＋|MF 2|＋|F 1F 2|＝2a ＋2c ＝6，∴由41＋k 2k 2＝6，解得k ＝± 2.故所求直线l 的方程y ＝±2(x －1)．。

2020秋高中数学人教A版选修2-1课堂达标：2.4.2.1抛物线的简单几何性质含解析第二章2。

4 2.4。

2第1课时1．(河南洛阳市2019－2020学年高二期末)抛物线y＝4x2的焦点到准线的距离是(C）A．4B．2C．错误!D．错误![解析]抛物线y＝4x2,即x2＝错误!y的焦点到准线的距离为:p＝错误!。

2．若动点M（x，y)到点F(4,0）的距离比它到直线x＋5＝0的距离小1，则点M的轨迹方程是(D）A．x＋4＝0B．x－4＝0C．y2＝8x D．y2＝16x[解析]依题意可知M点到点F的距离等于M点到直线x＝－4的距离，因此其轨迹是抛物线，且p＝8，顶点在原点，焦点在x 轴正半轴上，∴其方程为y2＝16x,故答案是D．3．已知抛物线y2＝2px(p＞0)上的点A到焦点F距离为4，若在y轴上存点B（0,2）使得错误!·错误!＝0，则该抛物线的方程为（A)A．y2＝8x B．y2＝6xC．y2＝4x D．y2＝2x［解析］由题意可得：F(错误!，0)，x A＋错误!＝4，解得x A＝4－错误!，取y A＝错误!＝错误!。

∴A（4－p2，错误!）．∵错误!·错误!＝0，∴错误!（4－错误!）－2(错误!－2)＝0,∴（8p－p2－4)2＝0，解得p＝4。

经过检验满足条件．∴该抛物线的方程为y2＝8x。

故选A．4．抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于__0。

5__。

[解析]抛物线y2＝x中2p＝1，∴p＝0。

5，∴抛物线y2＝x的焦点和准线的距离等于0.5。

5．过抛物线y2＝8x的焦点作直线l，交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3,则｜AB|的值为__10__。

[解析］由抛物线y2＝8x知，p＝4。

设A(x1，y1)、B(x2,y2)，根据抛物线定义知:|AF｜＝x1＋错误!，｜BF|＝x2＋错误!，∴|AB｜＝|AF｜＋|BF|＝x1＋错误!＋x2＋错误!＝x1＋x2＋p，由条件知x1＋x22＝3，则x1＋x2＝6，又∵p＝4,∴｜AB|＝10。

第一课时 抛物线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．若动点M (x ，y )到点F (4,0)的距离比它到直线x ＋5＝0的距离小1，则点M 的轨迹方程为( )A ．x ＋4＝0B ．x －4＝0C ．y 2＝8xD ．y 2＝16x解析：由题意知，点M (x ，y )到点F (4,0)的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离，所以点M (x ，y )的轨迹是抛物线，且方程为y 2＝16x .答案：D2．若抛物线y 2＝x 上一点M 到准线的距离等于它到顶点的距离，则点M 的坐标为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，±24B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24C.⎝ ⎛⎭⎪⎫14，24 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫18，－24解析：设M (x 0，y 0)，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫14，0，由题意知|MF |＝|OM |.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－142＋y 20＝x 20＋y 20，解得x 0＝18，代入y 2＝x ，得y 0＝±24，∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫18，±24.答案：B3．(2019·福州期末)设抛物线的顶点在原点，其焦点F 在y 轴上，又抛物线上的点A (k ，－2)与点F 的距离为4，则k 的值为( )A ．4B ．4或－4C ．－2D ．－2或2解析：由题设条件可设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)， ∵A (k ，－2)在抛物线上，∴k 2＝4p . 又|AF |＝4，∴p2＋2＝4，∴p ＝4，∴k ＝±4.答案：B4．(2019·保定模拟)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，F 关于原点的对称点为P ，过F 作x 轴的垂线交抛物线于M ，N 两点，有下列四个命题：①△PMN 必为直角三角形；②△PMN 不一定为直角三角形；③直线PM 与抛物线相切；④直线PM 不一定与抛物线相切．其中正确的命题为( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④解析：如图，由题意知，F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0，M p 2，p ，N ⎝ ⎛⎭⎪⎫p2，－p ，则|PF |＝|MF |＝|NF |＝p .∴∠FPM ＝∠FMP ，∠FPN ＝∠FNP ，从而∠MPN ＝90°，∴△PMN 为直角三角形，故①正确，②错误；直线PM 的方程为y ＝x ＋p2，代入y 2＝2px ，得y 2－2py＋p 2＝0，∴Δ＝(－2p )2－4p 2＝0，∴直线PM 与抛物线相切，故③正确，④错误．答案：A5．(2019·郑州模拟)过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线l 交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 中点的横坐标为3，则|AB |＝( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 22＝3，∴x 1＋x 2＝6，∴|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8.答案：B6．(2019·马鞍山市阶段测试)过抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点F 的直线l 与抛物线交于M ，N 两点，若MF →＝4FN →，则直线l 的斜率为( )A ．±32B ．±23C ．±34D ．±43解析：不妨设M (x 1，y 1)(x 1>0，y 1>0)，N (x 2，y 2)，∵MF →＝4FN →，∴y 1＝－4y 2，又y 1y 2＝－p 2，∴y 2＝－p 2，x 2＝p 8，∴k MN ＝－p2－0p 8－p 2＝43.根据对称性可得直线l 的斜率为±43.答案：D 二、填空题7．(2019·凯里市期末)设抛物线C ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A 为C 上一点，以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，若∠ABD ＝90°，且△ABF 的面积为93，则此抛物线的方程为________．解析：因为以F 为圆心，|FA |为半径的圆交l 于B ，D 两点，∠ABD ＝90°，由抛物线的定义可得|AB |＝|AF |＝|BF |，∴△ABF 是等边三角形，∴∠FBD ＝30°.∵△ABF 的面积为93＝34|BF |2，∴|BF |＝6，∴F 到准线的距离为|BF |sin 30°＝3＝p ，此抛物线的方程为y 2＝6x .答案：y 2＝6x8．如图，已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)的焦点F 恰好是椭圆x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的右焦点，且两曲线的公共点连线AB 过F ，则椭圆的离心率是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧p 2＝c ，2p ＝2b2a ，∴4c ＝2b 2a，即b 2＝2ac ＝a 2－c 2，∴e ＝2－1或e ＝－2－1(舍去)．答案：2－19．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F 为焦点，M 为准线与y 轴的交点，A 为抛物线上一点，且|AM |＝17，|AF |＝3，则此抛物线的标准方程为________．解析：设抛物线方程为x 2＝2py ，A (x 0，y 0)，l 为准线，过A 作AB ⊥l ，交l 于B ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 0＋p 22＝17，y 0＋p 2＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝±22，y 0＝3－p 2.又(x 0，y 0)在x 2＝2py 上，∴8＝2p ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－p 2＝6p －p 2，解得p ＝2或p ＝4.故所求的抛物线方程为x 2＝4y 或x 2＝8y . 答案：x 2＝4y 或x 2＝8y 三、解答题10．抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x 2＋4y 2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．解：椭圆的方程可化为x 24＋y 29＝1，其短轴在x 轴上，∴抛物线的对称轴为x 轴，∴设抛物线的方程为y 2＝2px 或y 2＝－2px (p ＞0)． ∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即p2＝3，∴p ＝6，∴抛物线的标准方程为y 2＝12x 或y 2＝－12x ， 其准线方程分别为x ＝－3和x ＝3.11．已知直线l 经过抛物线y 2＝6x 的焦点F ，且与抛物线相交于A ，B 两点． (1)若直线l 的倾斜角为60°，求|AB |的值； (2)若|AB |＝9，求线段AB 的中点M 到准线的距离． 解：(1)∵直线l 的倾斜角为60°，∴k ＝ 3.又F ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，0，∴直线l ：y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32，y 2＝6x ，得x 2－5x ＋94＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝5， 而|AF |＋|BF |＝x 1＋p2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ，∴|AB |＝5＋3＝8.(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由抛物线的定义可知，|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p 2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p ＝x 1＋x 2＋3，又|AB |＝9，∴x 1＋x 2＝6. ∴AB 的中点M 的横坐标是3， 又∵准线方程为x ＝－32，∴M 到准线的距离为3＋32＝92.12．在平面直角坐标系xOy 中，点M 到点F (0，－2)的距离比它到x 轴的距离大2，记点M 的轨迹为C .(1)求轨迹C 的方程；(2)若直线y ＝2x ＋b 与轨迹C 恰有2个公共点，求实数b 的取值范围．解：(1)设轨迹C 上的动点M (x ，y )，则由题意，x 2＋(y ＋2)2＝|y |＋2，∴x 2＝4(|y |－y )，∴轨迹C 的方程为x2＝⎩⎪⎨⎪⎧－8y ，y ≤0，0，y >0.(2)轨迹C 与直线y ＝2x ＋b 有两个交点，等价于①直线y ＝2x ＋b 与x ＝0(y >0)，x 2＝－8y (y ≤0)各有一个交点，即满足b >0，且⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＝－8y ，y ＝2x ＋b只有一根，即x 2＝－8(2x ＋b )只有一根，Δ＝256－32b ＝0，∴b ＝8.②直线y ＝2x ＋b 与x 2＝－8y (y ≤0)有两个交点，而与x ＝0(y >0)没有交点，即b ≤0，⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－8y ，y ＝2x ＋b 有两根，Δ＝256－32b >0，∴b <8，取交集为b ≤0.综上，实数b 的取值范围为(－∞，0]∪{8}．13．(2019·全国卷Ⅰ)已知抛物线C ：y 2＝3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .(1)若|AF |＋|BF |＝4，求l 的方程； (2)若AP →＝3PB →，求|AB |.解：(1)设直线l ：y ＝32x ＋t ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由题设得F 34，0，故|AF |＝|BF |＝x 1＋x 2＋32，由题设可得，x 1＋x 2＝52.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x可得，9x 2＋12(t －1)x ＋4t 2＝0，则x 1＋x 2＝－12(t －1)9.从而－12(t －1)9＝52，解得t ＝－78，所以l 的方程为y ＝32x －78.(2)由AP →＝3PB →，可得y 1＝－3y 2，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝32x ＋t ，y 2＝3x ，可得y 2－2y ＋2t ＝0.所以y 1＋y 2＝2，从而－3y 2＋y 2＝2，故y 2＝－1，y 1＝3，代入抛物线C 的方程得x 1＝3，x 2＝13，故|AB |＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3223－13＝4133.。

高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作抛物线训练题（含答案） A 组一填空题：（每题5分，合计40分）1抛物线y=4x 2的焦点坐标是_______(0,116) 2准线方程为x=2的抛物线的标准方程是____y 2=-8x3点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程为________x 2=-12y 或y 2=16x4一直线过点(-p 2,0)交抛物线y 2=-2px 于A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)两点，且|AB|=3p, x 1+ x 2=-2，则抛物线方程为__y 2=-2x5抛物线y 2=4x 的弦AB 垂直于x 轴，若|AB|=43，则抛物线焦点到弦AB 所在直线的距离是____2 6抛物线y 2=2x 上的两点A 、B 到焦点的距离之和是5，则线段AB 中点横坐标是____ 27过抛物线y=4x 2的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则1p +1q=____168以双曲线x 24-y 25=1的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的抛物线方程是____. y 2=12x二选择题（每题5分,合计40分）9抛物线y =4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( B)( A ) 1716 ( B ) 1516 ( C ) 78( D ) 010已知椭圆的中心在原点，离心率e=12，且它的一个焦点与抛物线y 2=-4x 的焦点重合，则此椭圆方程为（ A ）A ．x 24+y 23=1B ．x 28+y 26=1C ．x 22+y 2=1D ．x 24+y 2=111双曲线x 2m -y 2n =1(mn ≠0)离心率为2，有一个焦点与抛物线y 2=4x 的焦点重合，则mn 的值为（ A ）A ．316 B ．38 C ．163 D ．8312已知两点M （－2，0）、N （2，0），点P 为坐标平面内的动点，满足|→MN |·|→MP |+→MN ·→NP =0，则动点P（x ，y ）的轨迹方程为（ D ）（A ）y 2=8x （B ）y 2=-8x （C ）y 2=4x （D ）y 2=-4x13已知圆x 2+y 2-6x-7=0与抛物线y 2=2px(p>0)的准线相切，则p 为( B )（A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）14抛物线y 2=4x 上与焦点相距最近的点的坐标是（ B ） A 、（0，0） B 、（1，2） C 、（1，-2） D 、以上都不是15动点P 到定点F （0,3）的距离等于到定直线2x+y-3=0的距离则点P 的轨迹是（C ） A .x 2=12y B .2x+y-3=0 C. x-2y+6=0 D.y=12 x 216已知抛物线y 2=a(x-1)的焦点是坐标原点，则以抛物线与坐标轴的三个交点为顶点的三角形的面积为 (B)A ．1B ．2C ．3D ．4三解答题（17题6分，18题14分）17已知动圆过定点F(0,2)，且与定直线L:y=-2相切.求动圆圆心的轨迹C 的方程。

《拋物线的简单几何性质》基础训练一、选择题1.以x 轴为对称轴的抛物线的通径（过焦点且与x 轴垂直的弦）长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为（ ） A.28y x = B.28y x =-C.28y x =或28y x =-D.28x y =或28x y =-2.已知点()6,P y 在抛物线()220y px p =>上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于（ ） A.2 B.1 C.4 D.83.设F 为抛物线22y x =的焦点，,,A B C 为抛物线上三点，若F 为ABC ∆的重心，则FA FB FC ++的值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.44.设,A B 是抛物线24x y =上两点，O 为原点，若OA OB =，且AOB ∆的面积为16，则AOB ∠=（ ） A.30︒ B.45︒ C.60︒5.直线440kx y k --=与抛物线2y x =交于,A B 两点,若4AB =，则弦AB 的中点到直线102x +=的距离等于（ ） A.74 B.2C.94D.46.过抛物线24y x =的焦点的直线交抛物线于,A B 两点，O 为坐标原点，则OA OB ⋅的值是（ ） A.12 B.12- C.3 D.3-7.已知拋物线()220x py p =>的焦点为F ，过F 作倾斜角为30︒的直线，与抛物线交于,A B 两点，若()0,1AFBF ∈，则AF BF =（ ）A.15 B.14 C.13 D.128.已知双曲线()22210y x b b-=>的一条渐近线方程为2y x =，且右焦点与抛物线()220y px p =>的焦点重合，则常数p 的值为（ ）D.25 二、填空题9.抛物线24y x =与直线240x y +-=交于,A B 两点，F 是抛物线的焦点，则FA FB += .10.在已知抛物线2y x =上存在两个不同的点,M N 关于直线92y kx =+对称，则k的取值范围为 . 三、解答题11.已知抛物线28y x =.（1）求出该抛物线的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围；（2）以坐标原点O 为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB ，OA OB =，若焦点F 是OAB ∆的重心，求OAB ∆的周长. 12.已知抛物线()220y px p =>过点()1,2A -. （1）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；（2）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线l ，使得直线l 与抛物线C 有公共点,且直线OA 与l 的距离等于5?5若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.13.如图，探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分，光源位于抛物线的焦点处.已知灯口圆的直径为60,灯深40，求拋物线的标准方程和焦点坐标.14.如图，已知直线:24l y x =-交抛物线24y x =于A B 、两点，试在抛物线的AOB 这段曲线上求一点P ，使PAB ∆的面积最大，并求出这个最大面积.15.已知点P 在抛物线2x y =上运动，过点P 作y 轴的垂线段PD ，垂足为D .动点(),M x y 满足2DM DP =，设点M 的轨迹为曲线C . （1）求曲线C 的方程；（2）设直线:1l y =-，若经过点()0,1F 的直线与曲线C 相交于A B 、两点，过点A B 、分别作直线l 的垂线，垂足分别为11A B 、，试判断直线1A F 与1B F 的位置关系，并证明你的结论.参考答案一、选择题 1. 答案：C解析：设抛物线方程为()220y px p =>或()220y px p =->，由题意可得4p =，所以其方程为28y x =或28y x =-. 2. 答案：C解析：抛物线()220y px p =>的准线方程为2px =-，因为()6,P y 为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以682p+=，所以4p =，所以焦点F 到抛物线准线的距离等于4,故选C. 3. 答案：C解析：依题意，设点()()()112233,,,,,A x y B x y C x y ,又焦点F 的坐标为1,02⎛⎫⎪⎝⎭，所以12313322x x x ++=⨯=，则123111222FA FB FC x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()1233333222x x x =+++=+=. 4. 答案：D解析：由OA OB =，知拋物线上点,A B 关于y 轴对称，设22,,,44a a A a B a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则2121624AOBa S a ∆=⨯⨯=，解得4a =.所以8AB =，OA OB ==，所以90AOB ︒∠=.5. 答案：C解析：直线440kx y k --=，即14y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，故直线440kx y k --=过抛物线2y x =的焦点1,04⎛⎫⎪⎝⎭.设()()1122,,,A x y B x y ，则12142AB x x =++=，故1272x x +=，则弦AB 的中点的横坐标是74，弦AB 的中点到直线102x +=的距离是719424+=. 6. 答案：D解析：设221212,,44y y A y B y ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭、，则221212,,,44y y OA y OB y ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则222212121212,,4416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，AB 过焦点，则有2124y y p =-=-，()()2212124431616y y OA OB y y -∴⋅=+=-=-，故选D.7. 答案：C解析：由题意可知抛物线的焦点为0,2p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线方程为32p y x =+，与抛物线方程联立消元得2203x px p --=，解方程得,,3A B x p x =-= 所以13AB AF x BFx ==.故选C. 8.答案：D解析：双曲线2221y x b-=的一条渐近线方程为2,2y x b =∴=，其右焦点坐标为),∴抛物线()220y px p =>的焦点坐标为)，2p∴=，解得p =二、填空题9.答案：7解析：设()()1122,,,A x y B x y ，则122FA FB x x +=++.又22124540,5240y xx x x x x y ⎧=⇒-+=∴+=⎨+-=⎩，7FA FB ∴+== 10.答案：1144k k ><-或解析：设()()221122,,,,,M x x N x x M N 关于直线92y kx =+对称，2212121x x x x k-∴=--，即121x x k +=-.设MN 的中点为()00,P x y ，则00119,4222x y k k k ⎛⎫=-=⨯-+= ⎪⎝⎭.2211114,21644k k k k ⎛⎫∴>-⇒>∴><- ⎪⎝⎭或.三、解答题 11.答案：见解析解析：（1）抛物线28y x =的顶点、焦点、准线、对称轴、变量x 的范围分别为()()0,02,0,2,x x =-，轴，0x ≥.（2）如图所示.由OA OB =可知AB x ⊥轴，设垂足为点M ，又焦点F 是OAB ∆的重心,则23OF OM =.因为()2,0F ，所以332OM OF ==，所以()3,0M ，故设()3,A m .代人28y x =，得224m =，所以26m =或6m =-.所以((3,26,3,26A B -，所以33OA OB ==OAB ∆的周长为2334612.答案：见解析解析：（1）将()1,2-代入()220y px p =>,得2p =，故所求拋物线的方程为24y x =，其准线方程为1x =-.（2）存在.假设存在符合题意的直线l ，设其方程为2y x t =-+，由242y x y x t⎧=⎨=-+⎩得2220y y t +-=.因为直线l 与抛物线C 有公共点，所以()22412t ∆=-⨯⨯-=480t +≥，解得12t ≥-.由直线OA 与直线l 的距离等于55可得55t =，解得1t =±.由于12t ≥-，所以1t =.所以符合题意的直线l 存在，其方程为21y x =-+.13.答案：见解析解析：如图，在探照灯的轴截面所在平面内建立平面直角坐标系，使探照灯的顶点（即抛物线的顶点）与原点重合，x 轴垂直于灯口直径.设抛物线的标准方程为()220y px p =>，由已知条件可得点A 的坐标是(4030)，，且 在抛物线上,代入方程，得230240p =⋅，解得454p =.故所求拋物线的标准方程为2452y x =,焦点坐标是45,08⎛⎫⎪⎝⎭. 14.答案：见解析解析：由224,4,y x y x =-⎧⎨=⎩解得()()4,41,2,35A B AB -∴=、设P 点坐标为()00,x y ，d 为P 到直线AB 的距离，PAB ∆的面积为S .则4d y==--)219y=--，()()200224,19091.y yd y-<<∴--<⎤∴=--⎦从而当1y=时，max12724maxd S===.因此，当P点坐标为1,14⎛⎫⎪⎝⎭时，PAB∆的面积取得最大值，最大值为274.15.答案：见解析解析：（1）设()00,P x y，由2DM DP=知点P为线段DM的中点，故01,2.x xy y⎧=⎪⎨⎪=⎩，因为点P在抛物线2x y=上,故200x y=，从而212x y⎛⎫=⎪⎝⎭，即曲线C的方程为24x y=.（2）直线1A F与1B F垂直.证明：设()()1122,,,A x yB x y，则()()1112,1,,1A xB x--，由已知，可得直线AB的斜率k存在，设其方程为1y kx=+.由21,4,y kxx y=+⎧⎨=⎩得2440x kx--=，所以124x x=-，因为()()1112,2,,2A F xB F x=-=-，故111240A FB F x x⋅=+= 11A FB F⇒⊥.所以直线垂直1A F与1B F垂直.。