量子力学习题答案(曾谨言版)

曾谨言量子力学练习题答案曾谨言量子力学练习题答案量子力学是现代物理学的重要分支之一，其研究对象是微观粒子的行为规律。

曾谨言是一位著名的物理学家，他在量子力学领域有着杰出的贡献。

在学习量子力学的过程中，我们常常会遇到一些练习题，以下是曾谨言量子力学练习题的答案。

1. 问题：在双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后，在屏幕上形成干涉条纹。

如果将其中一个狭缝完全堵住，干涉条纹会发生什么变化？答案：当一个狭缝被堵住时，干涉条纹会消失，屏幕上只会出现一个单缝的衍射图样。

这是因为双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后会形成波的叠加，产生干涉现象。

而当一个狭缝被堵住时，只有一个光子通过，无法产生干涉。

2. 问题：在量子力学中，什么是波函数？答案：波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。

它可以用来计算粒子在空间中的位置、动量等物理量的概率分布。

波函数的平方模的积分表示了粒子在某一位置的概率密度。

3. 问题：什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中一种特殊的现象，当两个或多个粒子发生相互作用后，它们的状态将无法被单独描述，而是成为一个整体系统的状态。

即使这些粒子之间距离很远，它们的状态仍然是相互关联的。

这种关联关系在量子通信和量子计算中有着重要的应用。

4. 问题：什么是量子隧穿？答案：量子隧穿是指微观粒子在经典力学中无法通过的势垒或势阱，在量子力学中却有一定概率穿越的现象。

这是由于量子力学中粒子的波粒二象性，粒子具有波动性质，可以在势垒或势阱的两侧存在一定的概率分布。

5. 问题：什么是量子比特？答案：量子比特，简称量子位或qubit，是量子计算中的基本单位。

与经典计算中的比特不同，量子比特可以同时处于多个状态的叠加态，这种叠加态可以通过量子门操作进行处理和控制，从而实现量子计算的优势。

以上是曾谨言量子力学练习题的答案。

量子力学作为一门复杂而又精密的学科，需要我们通过理论和练习来加深对其原理和应用的理解。

希望这些答案能够帮助大家更好地掌握量子力学的知识，并在学习和研究中取得更进一步的突破。

曾谨言量子力学练习题答案量子力学是物理学中描述微观粒子行为的一门基础理论，它在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、波尔、薛定谔、海森堡等科学家共同发展起来。

曾谨言教授的量子力学练习题是帮助学生深入理解量子力学概念和计算方法的重要工具。

以下是一些练习题及其答案的示例：练习题1：波函数的归一化某粒子的波函数为 \( \psi(x) = A \sin(kx) \)，其中 \( A \) 和\( k \) 是常数。

求波函数的归一化常数 \( A \)。

答案：波函数的归一化条件为 \( \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \)。

将\( \psi(x) \) 代入归一化条件中，得到：\[ \int |A \sin(kx)|^2 dx = 1 \]\[ A^2 \int \sin^2(kx) dx = 1 \]利用三角恒等式 \( \sin^2(kx) = \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \)，积分变为：\[ A^2 \int \frac{1 - \cos(2kx)}{2} dx = 1 \]\[ A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} \right] = 1 \]由于波函数在 \( x = 0 \) 到 \( x = \frac{\pi}{k} \) 之间归一化，所以：\[ A^2 \left[ \frac{\pi}{2k} - 0 \right] = 1 \]\[ A = \sqrt{\frac{2k}{\pi}} \]练习题2：薛定谔方程的解考虑一个一维无限深势阱，其势能 \( V(x) = 0 \) 当 \( 0 < x < a \)，\( V(x) = \infty \) 其他情况下。

求粒子的能级。

答案：在无限深势阱中，薛定谔方程为：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]设 \( \psi(x) = \sin(kx) \)，其中 \( k = \frac{n\pi}{a} \)，\( n \) 为正整数。

第一章量子力学的诞生1.1设质量为m 的粒子在谐振子势2221)(x m x V ω=中运动，用量子化条件求粒子能量E 的可能取值。

提示：利用 )]([2,,2,1,x V E m p n nh x d p -===⋅⎰)(x V解：能量为E 的粒子在谐振子势中的活动范围为 a x ≤ （1） 其中a 由下式决定：2221)(a m x V E a x ω===。

a - 0 a x 由此得 2/2ωm E a =， （2）a x ±=即为粒子运动的转折点。

有量子化条件h n a m a m dx x a m dx x m E m dx p aaaa==⋅=-=-=⋅⎰⎰⎰+-+-222222222)21(22πωπωωω得ωωπm nm nh a 22==（3） 代入（2），解出 ,3,2,1,==n n E n ω （4）积分公式：c au a u a u du u a ++-=-⎰arcsin 22222221.2设粒子限制在长、宽、高分别为c b a ,,的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。

假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。

动量大小不改变，仅方向反向。

选箱的长、宽、高三个方向为z y x ,,轴方向，把粒子沿z y x ,,轴三个方向的运动分开处理。

利用量子化条件，对于x 方向，有()⎰==⋅ ,3,2,1,x x xn h n dx p即 h n a p x x =⋅2 （a 2：一来一回为一个周期）a h n p x x 2/=∴,同理可得， b h n p y y 2/=, c h n p z z 2/=,,3,2,1,,=z y x n n n粒子能量⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=++=222222222222)(21c n b n a n mp p p m E zy x z y x n n n zy x π ,3,2,1,,=z y x n n n1.3设一个平面转子的转动惯量为I ，求能量的可能取值。

第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A 与B 为厄米算符，则()BA AB +21和()BA AB i-21也是厄米算符。

由此证明，任何一个算符F 均可分解为-++=iF F F ，+F 与-F 均为厄米算符，且()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 证：ⅰ）()()()()BA AB AB BA B A A B BA AB +=+=+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++++++21212121()BA AB +∴21为厄米算符。

ⅱ）()()()()BA AB i AB BA i B A A B i BA AB i -=--=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+++++21212121()BA AB i-∴21也为厄米算符。

ⅲ）令AB F =，则()BA A B AB F ===++++，且定义 ()()+++-=+=F F iF F F F 21 ,21 （1） 由ⅰ），ⅱ）得-+-+++==F F F F ,，即+F 和-F 皆为厄米算符。

则由（1）式，不难解得 -++=iF F F4.2）设),(p x F 是p x ,的整函数，证明[][]F ,F,,pi F x x i F p ∂∂=∂∂-=整函数是指),(p x F 可以展开成∑∞==,),(n m n m mnp x Cp x F 。

证： （1）先证[][]11, ,,--=-=n n m mp ni p x xmi xp 。

[][][][][][][][]()()[]()111111331332312221111,1,3,,2,,,,,------------------=---=+--==+-=++-=++-=+=m m m m m m m m m m m m m m m m m mx m i x i x i m xxp x i m x x p x i x x p x x p x x i x x p x x p x x i xx p x p x x p同理，[][][][][][]1221222111,2,,,,,--------==+=++=+=n n n n n n n n np ni ppx pi p p x p p x p p i pp x p x p p x现在，[][]()∑∑∑∞=-∞=∞=-==⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0,1,0,,,,n m nm mnn m n m mn n m n m mn px m i C p x p C p x C p F p而 ()∑∞=--=∂∂-0,1n m n m mn p x mi C x Fi 。

曾谨言量子力学练习题答案曾谨言量子力学练习题答案量子力学作为现代物理学的重要分支，是研究微观世界的基本理论。

在学习量子力学的过程中，练习题是不可或缺的一部分。

本文将为大家提供一些曾谨言量子力学练习题的答案，希望能对大家的学习有所帮助。

1. 考虑一个自旋1/2的粒子，其自旋矢量可以表示为：S = (h/2π) * σ其中，h为普朗克常数，σ为泡利矩阵。

对于自旋1/2的粒子，其泡利矩阵可以表示为：σx = |0 1||1 0|σy = |0 -i||i 0|σz = |1 0||0 -1|其中，i为虚数单位。

根据这些泡利矩阵，我们可以计算自旋矢量在不同方向上的期望值。

2. 对于一个自旋1/2的粒子，其自旋矢量的模长可以表示为：|S| = √(S·S)其中，S·S表示自旋矢量的内积。

根据泡利矩阵的定义，可以计算出自旋矢量在不同方向上的内积。

3. 考虑一个自旋1/2的粒子，其自旋矩阵可以表示为：J = (h/2π) * σ其中，h为普朗克常数，σ为泡利矩阵。

对于自旋1/2的粒子，其泡利矩阵可以表示为：σx = |0 1||1 0|σy = |0 -i||i 0|σz = |1 0||0 -1|根据这些泡利矩阵，我们可以计算自旋矩阵在不同方向上的期望值。

4. 对于一个自旋1/2的粒子，其自旋矩阵的模长可以表示为：|J| = √(J·J)其中，J·J表示自旋矩阵的内积。

根据泡利矩阵的定义，可以计算出自旋矩阵在不同方向上的内积。

5. 考虑一个自旋1/2的粒子，其自旋算符可以表示为：S = (h/2π) * σ其中，h为普朗克常数，σ为泡利矩阵。

对于自旋1/2的粒子，其泡利矩阵可以表示为：σx = |0 1||1 0|σy = |0 -i||i 0|σz = |1 0||0 -1|根据这些泡利矩阵，我们可以计算自旋算符在不同方向上的期望值。

6. 对于一个自旋1/2的粒子，其自旋算符的模长可以表示为：|S| = √(S·S)其中，S·S表示自旋算符的内积。

教材P25 ~27：1、2、3、4(1)、7 1.解：(a)证明能量平均值公式()[]()⎰⎰⎰⎰⎰⎰∞∞∞∞∞⋅ψ∇ψ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ+ψ∇⋅ψ∇=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ψψ+ψ∇⋅ψ∇-ψ∇ψ⋅∇-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧ψψ+ψ∇ψ-=ψ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∇-ψ=sd r r m r r V r r r m r d r r V r r r r r m r d r r V r r r m r d r r V m r r d E)()(2)()()()()(2)()()()()()()(2)()()()()(2)()(2)(*2**23***23*2*2322*3粒子在势场中运动的波函数平方可积()0)()(2*2=⋅ψ∇ψ⎰⎰∞s d r r m因此)()()()()()(23**23r w r d r r V r r r m r d E⎰⎰∞∞=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψψ+ψ∇⋅ψ∇= 其中能量密度为)()()()()(2)(**2r r V r r r mr wψψ+ψ∇⋅ψ∇=(b)证明能量守恒公式S tr i t r t r i t r S r H t r r H t r S tr r V r r r V t r r t r r t r r t r r t r m tr r V r V t r t r r r t r m t w⋅-∇=∂ψ∂∂ψ∂-∂ψ∂∂ψ∂+⋅-∇=ψ∂ψ∂+ψ∂ψ∂+⋅-∇=∂ψ∂ψ+ψ∂ψ∂+⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∇∂ψ∂+ψ∇∂ψ∂-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∇∂ψ∂+ψ∇∂ψ∂⋅∇=∂ψ∂ψ+ψ∂ψ∂+⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂ψ∂∇⋅ψ∇+ψ∇⋅∂ψ∂∇=∂∂)()()()()(ˆ)()(ˆ)()()()()()()()()()()()()()()(2)()()()()()()()(2*******22***2****2即0=⋅∇+∂∂S tw这表明能量守恒，其中能流密度为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ψ∇∂ψ∂+ψ∇∂ψ∂-=)()()()(2**2r t r r t r mS2.解：(a)证明概率不守恒{}{}()()⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+⋅∇-∇-=+∇-∇⋅∇-=+∇-∇-=-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∂∂+∂∂==τττττττττψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψψρ2*3**2*3**32*3*22*3***3**3*33222222)ˆ(ˆ1)(V r dS d imV r dr d im V r dr d im H H r d i t t r d r d dtdr r d dt dS⎰⎰⎰⎰⎰ψψ+⋅∇-=ψψ+⋅-=τττ2*332*322V r dj r d V r d S d j S⎰=τρ)(3r r d dtd⎰⎰+⋅∇-ττψψ2*332V r dj r d即022*≠ψψ=⋅∇+∂∂V j tρ这表明概率不守恒。

量子力学曾谨言练习题答案量子力学是一门研究微观粒子行为的物理学分支，它与经典力学有着根本的不同。

曾谨言教授的《量子力学》教材是许多学生和学者学习量子力学的重要参考书籍。

以下是一些量子力学练习题的答案，供参考：1. 波函数的归一化条件：波函数的归一化条件是为了保证概率的守恒。

一个归一化的波函数满足以下条件：\[ \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \]这意味着粒子在空间中任意位置出现的概率之和等于1。

2. 薛定谔方程：薛定谔方程是量子力学中描述粒子波函数随时间演化的基本方程。

对于一个非相对论性的单粒子系统，薛定谔方程可以写为：\[ i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi + V\psi \]其中，\( \hbar \) 是约化普朗克常数，\( m \) 是粒子质量，\( V \) 是势能，\( \nabla^2 \) 是拉普拉斯算子。

3. 不确定性原理：海森堡不确定性原理表明，粒子的位置和动量不能同时被精确测量。

其数学表达式为：\[ \Delta x \cdot \Delta p \geq \frac{\hbar}{2} \]这里，\( \Delta x \) 和 \( \Delta p \) 分别是位置和动量的不确定性。

4. 氢原子的能级：氢原子的能级是量子化的，并且可以用以下公式表示：\[ E_n = -\frac{13.6 \text{ eV}}{n^2} \]其中，\( n \) 是主量子数，\( E_n \) 是对应于 \( n \) 能级的能级能量。

5. 泡利不相容原理：泡利不相容原理指出，一个原子中的两个电子不能具有完全相同的四个量子数。

这意味着在同一个原子中，没有两个电子可以同时具有相同的主量子数、角量子数、磁量子数和自旋量子数。

6. 量子隧道效应：量子隧道效应是指粒子在经典力学中不可能穿越的势垒下，由于量子效应，粒子有一定的概率穿越势垒。

第二章：函数与波动方程P69 当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?(解)设原来的薛定谔方程式是0)]([2222=-+ψψx V E mdx d将方程式左边加减相等的量ψC 得:0]})([]{[2222=+-++ψψC x V C E mdx d这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(x ψ, 从能量本征值来说,后者比前者增加了C 。

(证)E =υT = = =用高斯定理 中间一式的第一项是零,因为ψ假定满足平方可积条件,因而0>T 因此 V V T E >+=,能让能量平均值V V min >因此V E min >令ψψn=(本征态)则EnE =而VE nmin>得证2.1设一维自由粒子的初态()/00,x ip ex =ψ， 求()t x ,ψ。

解： () /2200,⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t m p x p i et x ψ2.2对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2),(t x ψ。

（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是p ，能量是E ，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： p d ep t x i E px ip )()(21),(-∞-∞=⎰=φπψ （1）这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0=t 应有 ex px i∞)0,(ψx δ)(将（2）（3(ψ，代入（4）(ψ p d eet x p i mx p m it timx ⎰∞-∞=--=)2(22221),(πψ利用积分απξαξ=⎰∞∞--d e 2： ti m et x ti m x ππψ221),(22=写出共轭函数（前一式i 变号）：ti m et x timx -=-ππψ221),(22 t mt m t x πππψ22)2(1),(22=⨯=本题也可以用Fresnel 积分表示，为此可将（6）式积分改为：dp tmx p m t i dp t mx p m t 22)](2[sin )](2[cos ---⎰⎰∞∞-∞∞-用课本公式得timxetm i t x t x 2*2)1(21),(),(ππψψ=，两者相乘，可得相同的结果。