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习题课 正弦定理和余弦定理学习目标 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用；2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识；3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题.1.在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3，则cos C 的值为( ) A.13 B.－23 C.14D.－14解析 ∵在△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝3∶2∶3， ∴a ∶b ∶c ＝3∶2∶3，设a ＝3k ，b ＝2k ，c ＝3k ， 则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝9k 2＋4k 2－9k 212k 2＝13，故选A.答案 A2.已知△ABC 的面积S ＝a 2－(b 2＋c 2)，则cos A 等于( ) A.－4 B.1717C.±1717D.－1717解析 ∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，面积S ＝12bc sin A ＝a 2－(b 2＋c 2)，∴12bc sin A ＝－2bc cos A ，∴sin A ＝－4cos A ，又sin 2A ＋cos 2A ＝1，联立解得cos A ＝－1717.故选D. 答案 D3.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对应的边分别是a ，b ，c ，若c 2＝(a －b )2＋6，C ＝π3，则△ABC 的面积是________.解析 由c 2＝(a －b )2＋6，可得c 2＝a 2＋b 2－2ab ＋6，由余弦定理：c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ，所以：a 2＋b 2－2ab ＋6＝a 2＋b 2－ab ，所以ab ＝6；所以S △ABC ＝12ab sin C ＝12×6×32＝332.答案 3324.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22，结合b <c 可得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°类型一 利用正弦、余弦定理证明边角恒等式【例1】 在△ABC 中，A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，求证：a 2－b 2c 2＝sin （A －B ）sin C .证明 在△ABC 中，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，∴a 2－b 2＝b 2－a 2－2bc cos A ＋2ac cos B ， ∴2(a 2－b 2)＝2ac cos B －2bc cos A ， 即a 2－b 2＝ac cos B －bc cos A ， ∴a 2－b 2c 2＝a cos B －b cos A c .由正弦定理得a c ＝sin A sin C ，b c ＝sin Bsin C ，∴a 2－b 2c 2＝sin A cos B －cos A sin B sin C ＝sin （A －B ）sin C ，故等式成立.规律方法 (1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种.(2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.【训练1】 在△ABC 中，若a cos 2C 2＋c cos 2A 2＝3b2，求证：a ＋c ＝2b . 证明 由题a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝3b ， 即a ＋a ·a 2＋b 2－c 22ab ＋c ＋c ·b 2＋c 2－a 22bc ＝3b ， ∴2ab ＋a 2＋b 2－c 2＋2bc ＋b 2＋c 2－a 2＝6b 2， 整理得ab ＋bc ＝2b 2，同除b 得a ＋c ＝2b ， 故等式成立.类型二 利用正弦、余弦定理解三角形【例2】 在△ABC 中，若c ·cos B ＝b ·cos C ，且cos A ＝23，求sin B 的值. 解 由c ·cos B ＝b ·cos C ，结合正弦定理得， sin C cos B ＝sin B cos C ，故sin(B －C )＝0，∵0＜B ＜π，0＜C ＜π， ∴－π＜B －C ＜π，∴B －C ＝0，B ＝C ，故b ＝c . ∵cos A ＝23，∴由余弦定理得3a 2＝2b 2， 再由余弦定理得cos B ＝66，又0°<B <180°，故sin B ＝306.规律方法 (1)余弦定理和正弦定理一样，都是围绕着三角形进行边角互换的.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解.同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.(2)解题时，还应注意，当把条件转化为角之间的关系时，还应注意三角恒等变换公式的应用.【训练2】在锐角△ABC中，b2－a2－c2ac＝cos（A＋C）sin A cos A.(1)求角A；(2)若a＝2，求bc的取值范围.解(1)由余弦定理可得：a2＋c2－b2＝2ac cos B，⇒－2ac cos Bac＝cos（π－B）sin A cos A，∴sin 2A＝1且0°<A<90°⇒A＝45°，(2)⎩⎪⎨⎪⎧B＋C＝135°，0°＜B＜90°，0°＜C＜90°⇒45°＜C＜90°，又bsin B＝csin C＝asin A＝2，∴b＝2sin B，c＝2sin C，bc＝2sin(135°－C)·2sin C＝2sin(2C－45°)＋2，45°＜2C－45°＜135°⇒22＜sin(2C－45°)≤1，∴bc∈(22，2＋2].方向1 与三角恒等变换的综合【例3－1】设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.若b＋c＝2a，3sin A＝5sin B，则C＝()A.π3B.2π3C.3π4D.5π6解析 根据正弦定理可将3sin A ＝5sin B 化为3a ＝5b ， 所以a ＝53b ，代入b ＋c ＝2a 可得c ＝73b ，结合余弦定理可得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12， 因为0<C <π，所以C ＝2π3. 答案 B方向2 在复杂图形中的应用【例3－2】 如图所示，在四边形ABCD 中，AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，∠BCD ＝135°，求BC 的长.解 在△ABD 中，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA ＝60°，设BD ＝x ， 由余弦定理，得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠BDA ，∴142＝102＋x 2－2×10x cos 60°，即x 2－10x －96＝0， 解得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)， ∴BD ＝16.∵AD ⊥CD ，∠BDA ＝60°，∴∠CDB ＝30°. 在△BCD 中，由正弦定理得BC sin ∠CDB ＝BDsin ∠BCD，∴BC ＝16sin 30°sin 135°＝8 2. 方向3 与向量的综合应用【例3－3】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝－35. (1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求向量BA→在BC →方向上的投影.解 (1)由cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin(A ＋C )＝ －35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，则cos(A －B ＋B )＝－35，即cos A ＝－35.又0＜A ＜π，则sin A ＝45.(2)由正弦定理，有a sin A ＝bsin B ，所以sin B ＝b sin A a ＝22.由题知a ＞b ，则A ＞B ，故B ＝π4.根据余弦定理，有(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，解得c ＝1或c ＝－7(负值舍去).故向量BA→在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝22.规律方法 求解正、余弦定理综合应用问题的注意点(1)正弦定理、余弦定理是解决三角形问题的主要工具，正确选择适合试题特点的公式极为重要，当使用一个定理无法解决问题时，要及时考虑另外一个定理. (2)三角函数中的公式在解决三角形问题时是不可或缺的，应该养成应用三角函数公式列式化简的习惯.1.在有关三角形的题目中注意选择是应用正弦定理，还是余弦定理，必要时也可列方程(组)求解，同时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能利用某个定理的信息.2.解决正弦定理与余弦定理的综合应用问题，应注意根据具体情况引入未知数，运用方程思想来解决问题；平面向量与解三角形的交汇问题，应注意准确运用向量知识转化为解三角形问题，再利用正弦、余弦定理求解.基础过关1.在△ABC 中，若a ＝7，b ＝8，cos C ＝1314，则最大角的余弦值是( ) A.－15 B.－16 C.－17D.－18解析 c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝9，c ＝3，B 为最大角，cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝49＋9－642×7×3＝－17.答案 C2.某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为113，111，15，则此人能( )A.不能作出这样的三角形B.作出一个锐角三角形C.作出一个直角三角形D.作出一个钝角三角形解析 假设能作出△ABC ，不妨设高113，111，15对应的边分别为a ＝26S ，b ＝22S ，c ＝10S ，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝（22S ）2＋（10S ）2－（26S ）22×22S ×10S ＝－23110<0，∴A 为钝角. 答案 D3.已知△ABC 的三边长分别为AB ＝7，BC ＝5，AC ＝6.则AB →·BC →的值为( )A.19B.14C.－18D.－19解析 由余弦定理的推论知： cos B ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝1935.所以AB →·BC →＝|AB →|·|BC →|·cos(π－B )＝7×5×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1935＝－19，故选D.答案 D4.在△ABC 中，B ＝60°，a ＝1，S △ABC ＝32，则csin C ＝________.解析 S △ABC ＝12ac sin B ＝12×1×c ×32＝32， ∴c ＝2，∴b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋4－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝3，∴b ＝3，∴c sin C ＝b sin B ＝332＝2.答案 25.在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是________三角形. 解析 ∵a cos A ＝bcos B ，∴sin A cos B －sin B cos A ＝0，∴sin(A －B )＝0， ∵A ，B ∈(0，π)，∴A －B ∈(－π，π)， ∴A －B ＝0，∴A ＝B . 同理B ＝C ，∴A ＝B ＝C ， ∴△ABC 为等边三角形. 答案 等边6.在△ABC 中，BC ＝5，AC ＝3，sin C ＝2sin A . (1)求AB 的值；(2)求sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4.解 (1)在△ABC 中，根据正弦定理AB sin C ＝BCsin A ， 于是AB ＝sin Csin A ·BC ＝2BC ＝2 5. (2)在△ABC 中，根据余弦定理得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝255，于是sin A ＝55， 由倍角公式得sin 2A ＝2sin A cos A ＝45，cos 2A ＝2cos 2A －1＝35，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2A －π4＝sin 2A cos π4－cos 2A sin π4＝210.7.在锐角△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2a sin B ＝3b . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝6，b ＋c ＝8，求△ABC 的面积.解 (1)由2a sin B ＝3b 及正弦定理a sin A ＝bsin B ， 得sin A ＝32.因为A 是锐角，所以A ＝π3. (2)因为a ＝6，cos A ＝12，所以由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得b 2＋c 2－bc ＝36. 又因为b ＋c ＝8，所以bc ＝283. 由三角形面积公式S ＝12bc sin A ， 得△ABC 的面积为12×283×32＝733.能力提升8.△ABC 的两边长分别为2，3，其夹角的余弦值为13，则其外接圆半径为( )A.922B.924C.928D.229解析 不妨设c ＝2，b ＝3，则cos A ＝13，sin A ＝223. ∵a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴a 2＝32＋22－2×3×2×13＝9，∴a ＝3. ∵a sin A ＝2R ，∴R ＝a sin A ＝32×223＝928. 答案 C9.已知△ABC 中，三边与面积的关系为S △ABC ＝a 2＋b 2－c 243，则cos C 的值为( )A.12B.22C.32D.0解析 S △ABC ＝12ab sin C ＝a 2＋b 2－c 243＝2ab cos C 43，∴tan C ＝33，C ∈(0，π)，∴C ＝π6，∴cos C ＝32. 答案 C10.在△ABC 中，若a 2－b 2＝3bc ，sin C ＝23sin B ，则A ＝________. 解析 由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理，得c ＝23b ， 代入a 2－b 2＝3bc ，得a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2.由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 22b ·23b ＝6b 243b 2＝32. 又∵0°＜A ＜180°，∴A ＝30°. 答案 30°11.在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c .已知b －c ＝12a ，2sin B＝3sin C ，则cos A 的值为________.解析 由2sin B ＝3sin C 及正弦定理可得：2b ＝3c ，由b －c ＝12a 可得：a ＝c ，b＝32c ，由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34.答案 3412.在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b 2＝ac ，且cos B ＝34.(1)求1tan A ＋1tan C 的值；(2)设BA →·BC →＝32，求a ＋c 的值. 解 (1)由cos B ＝34及0<B <π，得sin B ＝1－（34）2＝74，由b 2＝ac 及正弦定理，得sin 2 B ＝sin A sin C ，于是1tan A ＋1tan C ＝cos A sin A ＋cos C sin C＝sin C cos A ＋cos C sin A sin A sin C ＝sin （A ＋C ）sin 2B＝sin B sin 2B ＝1sin B ＝477.(2)由BA →·BC →＝32得ca cos B ＝32， 由cos B ＝34，可得ca ＝2，即b 2＝2.由余弦定理得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ＝5，∴(a ＋c )2＝a 2＋c 2＋2ac ＝5＋4＝9，∴a ＋c ＝3.13.(选做题)已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a cos C ＋3a sin C －b －c ＝0.(1)求角A ；(2)若a ＝2，△ABC 的面积为3，求b ，c .解(1)△ABC中，∵a cos C＋3a sin C－b－c＝0，利用正弦定理可得sin A cos C＋3sin A sin C＝sin B＋sin C＝sin(A＋C)＋sin C，化简可得3sin A－cos A＝1，∴sin(A－30°)＝1 2，∴A－30°＝30°，∴A＝60°.(2)若a＝2，△ABC的面积为12bc·sin A＝34bc＝3，∴bc＝4 ①.再利用余弦定理可得a2＝4＝b2＋c2－2bc·cos A＝(b＋c)2－2bc－bc＝(b＋c)2－3·4，∴b＋c＝4 ②.结合①②求得b＝c＝2.。
2017-2018年高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第3课时正、余弦定理的综合应用练习新人教A版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018年高中数学第一章解三角形1.1 正弦定理和余弦定理第3课时正、余弦定理的综合应用练习新人教A版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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1 第3课时正、余弦定理的综合应用A级基础巩固一、选择题1．已知三角形的三边长分别是a，b，错误!,则此三角形中最大的角是( )A．30° B．60° C．120° D．150°解析:因为错误!＞a，错误!＞b,所以最大边是错误!,设其所对的角为θ，则cos θ＝错误!＝－错误!，θ＝120°。
答案：C2．在△ABC中,有下列关系式：①a sin B＝b sin A；②a＝b cos C＋c cos B;③a2＋b2－c2＝2ab cos C;④b＝c sin A＋a sin C。
一定成立的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个答案：C3．在△ABC中,A＝60°，AB＝2,且△ABC的面积为错误!，则BC的长为( ）A.错误!B.错误! C．2错误! D．2解析：S＝错误!×AB·AC sin 60°＝错误!×2×错误!×AC＝错误!，所以AC＝1，所以BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos 60°＝3,所以BC＝错误!.答案:B4．锐角三角形ABC中，sin A和cos B的大小关系是（）A．sin A＝cos B B．sin A＜cos BC．sin A＞cos B D．不能确定解析：在锐角三角形ABC中，A＋B＞90°.所以A＞90°－B,所以sin A＞sin （90°－B）＝cos B。
高一数学导学案§正、余弦定理习题高一数学备课组备课教师：备课组长：备课：授课：一、三维目标知识与技能：掌握在已知三角形的两边及其屮i边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；掌握三角形各种类型的判定方法；能够应用三角形面积定理。
过程与方法：通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。
情感态度与价值观：正、余弦定理在解三角形问题时，沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，使学生了解事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，培养学生从本质上寻求事物之间内在联系的能力。
二、教学重难点重点：在已知三角形的两边及其屮一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。
难点：正、余眩定理与三角形的有关性质的综合运用。
三、学法指导：通过典型题型掌握用正弦定理，余弦定理及其变形解决问题的方法。
四、知识链接1.正弦定理：2.余弦定理及其推论：五、学习过程题型一、判断三角形解的个数问题在利用正弦定理解“己知两边及其中一边的对角”的三角形时，可能有两解、一解、或无解。
例1.在AABC中，已知日,5,力，讨论三角形解的情况分析：先由sin〃二如空可进一步求出B；则C = 180°-(J + ^),从而“竺丄亠a sin^1.当A为钝角或直角时，必须a>b才能有且只有一解；否则无解。
因为从sin/二竺皿计算B时，只能取锐角的值，所以只有一解。
a2.当A为锐角时，如果日2方，这时从sin〃二竺皿计算B时，也只能取锐角的值，所以只有一解。
a如果a<b.那么可以分下而三种情况来讨论：(1)若$>Z?sin/,这时从sin〃 =加讪月计算得sinB〈l,B可以取锐角和钝角，故有两解;a(2)若a = bsinA f这时从sin〃二竺皿计算得sinB=l, B只能是直角，故有一解；(3)若ci<bsix\A ,这时从sin^ = ?sln/ 计算得 sinB>l,故无解。
Do it well and show that you are excellent.正、余弦定理（复习）一、学习目标1．理解并掌握正、余弦定理，并会用它解三角形 2. 综合应用正、余弦定理解决一些问题 二、自主学习.学与思1、三角形ABC ∆中的一些常用结论①内角和定理：②边角关系： ③()=+B A sin , ()=+B A cos , =+2sinBA , 2、正弦定理：设c b a ,,分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，R 为外接圆的半径，则有 ________ =__________=___________=__________ 变形一（化边为角）：_________________________________________________________________ 变形二（化角为边）： 变形三（三角形的面积公式）： 3、余弦定理：设c b a ,,分别为△ABC 中角A ，B ，C 的对边，R 为外接圆的半径， 则有 ， ， 常用变形：_____________________________________________________________________ 4、解三角形___________________________________________________________________ __叫解三角形．（1） 正弦定理可解决以下两类问题：① ②（2） 余弦定理可解决以下两类问题：① ② 三、探究学习.讲与练 题型一：解三角形例1 已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解？有解的解三角 （1）a=7，b=8，A=105°； （2）a=10，b=20，A=80°；（3）a=5，b =A=30°。
【变式】1、在中，若a =A=300，试讨论当b 为何值时（或什么范围内）三角形有解，两解，无解？- -2 练习2：在ABC ∆中，sin :sin :sin 3:2:4A B C =，求cos C 的值。
在ABC ∆中，已知45a b B ==︒，求A,C 和c练习3、△ABC 中，，求c 的值. 思路点拨：已知两边和其中一边的对角，求第三边.思路1：用正弦定理求出∠B ，进而求得∠C ，再利用正弦定理求得c 边. 思路2：用余弦定理得到关于c 的一元二次方程，可直接求得c 边. 题型二：三角形面积公式的应用 例2．已知中，，, 求、、及外接圆的半径。
思路点拨:根据已知条件，先用正弦定理求出角，再用正弦定理的变形公式求的面积及外接圆的半径.解析：∵， ∴， ∵， ∴或，当时，，，外接圆的半径；当时，，此时，，外接圆的半径。
【变式1】在中，，，，求的面积.【变式2】已知：圆内接四边形中，，，求四边形的面积.【答案】 如图：∵是圆内接四边形， ∴，∴,,根据余弦定理：= 即：，∴ ，∴，∴Do it well and show that you are excellent.。
即四边形的面积.题型三：判断三角形的形状例3．判断下列三角形的形状：(1)a=6，b=8，c=10；(2)a=6，b=8，c=9；(3)a=6，b=8，c=11思路点拨:已知三边判断三角形的形状，通常先用勾股定理判断是否为直角三角形，斜三角形再用余弦定理判断最大边所对角的余弦值的符号。
解析：(1)因为a2+b2=62+82=100=102=c2，所以三角形为直角三角形.(2)因为a＜b＜c，所以A＜B＜C，又，所以三角形是锐角三角形.(3)因为a＜b＜c，所以A＜B＜C，又，所以三角形是钝角三角形.举一反三：【变式1】在△ABC中，根据下列条件决定三角形形状.(1)；(2).【答案】(1)由，则该三角形为直角三角形；(2)∵,∴，由正弦定理得：,∵中，, ,∴,即，∴或,即：或，∴是等腰或直角三角形.【变式2】根据下列条件，试判断△ABC的形状.（1）；（2）bcosA=acosB；（3）a=2bcosC【答案】（1）解法一：余弦定理化为边的关系- -4 由得，整理得，即，当时，为等腰三角形；当即时，则为直角三角形；综上：为等腰或直角三角形。
解法二：正弦定理化为角的关系 由，得，即∴，∴或,即：或，∴是等腰或直角三角形. （2）解法一：正弦定理由bcosA=acosB 得2RsinBcosA=2RsinAcosB ， 即sin(B-A)=0，于是B=A ， ∴△ABC 为等腰三角形.解法二：余弦定理由bcosA=acosB 得，即a 2=b 2， 所以a=b ，△ABC 为等腰三角形. （3）解法一：正弦定理由a=2bcosC 得2RsinA=4RsinBcosC ，有sin(B+C)=2sinBcosC ，得出sin(B-C)=0，即B=C ，△ABC 为等腰三角形； 解法二：余弦定理由a=2bcosC 得，得b 2=c 2， 即b=c ，△ABC 等腰三角形.变式训练：钝角三角形的三边分别为a,a+1,a+2，其中最大内角不超过120°，求a 的取值范围。
题型四：正、余弦定理的简单应用例4、在斜度一定的山坡上的一点A 测得山顶上一建筑物顶端对于上坡的斜度为15°，向山顶前进100m 后，又从B 点测得斜度为45°,设建筑物的高为50m ，求此山对于地平面的斜度的倾斜角θ。
练习1：要测量对岸A 、B 两点之间的距离，选取相距3 km 的C 、D 两点,并测得∠ACB=75°, ∠BCD=45°,∠ADC=30°,∠ADB=45°,求 A 、B 之间的距离.Do it well and show that you are excellent.解 如图所示在△ACD 中，∠ACD=120°，∠CAD=∠ADC=30°， ∴AC=CD= km.在△BCD 中，∠BCD=45°，∠BDC=75°，∠CBD=60°.在△ABC 中，由余弦定理，得例5、如图所示，已知半圆的直径AB=2，点C 在AB 的延长线上，BC=1，点P 为半圆上的 一个动点，以DC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.解 设∠POB=θ，四边形面积为y ， 则在△POC 中，由余弦定理得PC 2=OP 2+OC 2-2OP ·OCcos θ=5-4cos θ.四、落实技能.测与评1.(2009·广东高考)a ，b ，c .若a ＝c ＝6＋2，且∠A ＝75°，则b ＝ ( ) A ．2 B ．4＋2 3 C ．4－2 3 D.6－ 2 解析：如图所示．在△ABC 中，由正弦定理得sin 30b ===4，75sin 602BC︒∴==︒222(2cos 7522325,AB ABA =+-︒=+=∴=∴- -6 ∴b=2. 答案：A2．在锐角△ABC 中，BC ＝1，B ＝2A ，则ACcos A 的值等于______，AC 的取值范围为________．解析：由正弦定理得AC sin2A ＝BCsin A .即AC 2sin A cos A ＝1sin A .∴AC cos A ＝2. ∵△ABC 是锐角三角形，∴0＜A ＜π2，0＜2A ＜π2，0＜π－3A ＜π2，解得π6＜A ＜π4.由AC ＝2cos A 得AC 的取值范围为(2，3)． 答案：2 (2，3)3．(2009·全国卷Ⅰ)在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边长分别为a 、b 、c .已知a 2－c 2＝2b ，且sin A cos C ＝3cos A sin C ，求b . 解：由余弦定理得 a 2－c 2＝b 2－2b c cos A .又a 2－c 2＝2b ，b ≠0，所以b ＝2c cos A ＋2.① 又sin A cos C ＝3cos A s in C ， sin A cos C ＋cos A sin C ＝4cos A sin C ， sin(A ＋C )＝4cos A sin C ， sin B ＝4sin C cos A .由正弦定理得sin B ＝bc sin C ，故b ＝4c cos A .② 由①、②解得b ＝4.4.(2010·天津模拟)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c2c ，(a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC的形状为 ( ) A ．正三角形 B ．直角三角形Do it well and show that you are excellent.C ．等腰三角形或直角三角形D ．等腰直角三角形解析：∵cos 2B 2＝a ＋c 2c ，∴cos B ＋12＝a ＋c 2c ，∴cos B ＝ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ＝ac，∴a 2＋c 2－b 2＝2a 2，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 为直角三角形． 答案：B5．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是 ( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 解析：法一：因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 由2sin A cos B ＝sin C ，得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 所以△ABC 是等腰三角形． 法二：利用正弦定理和余弦定理 2sin A cos B ＝sin C 可化为2a ·a 2＋c 2－b 22ac ＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2，故a ＝b .所以△ABC 是等腰三角形． 答案：B6.在△A BC 中，AB ＝3，AC ＝1，B ＝π6，则△ABC 的面积等于 ( )A.32 B.34 C.32或 3 D.32或34解析：由正弦定理知AB sin C ＝AC sin B ，∴sin C ＝AB sin B AC ＝32，- -8 ∴C ＝π3或2π3，A ＝π2或π6，∴S ＝32或34.答案：D7．在△ABC 中，面积S ＝a 2－(b －c )2，则cos A ＝ ( ) A.817 B.1517 C.1315 D.1317解析：S ＝a 2－(b －c )2＝a 2－b 2－c 2＋2bc ＝2bc －2bc cos A ＝12bc sin A ，∴sin A ＝4(1－cos A ),16(1－cos A )2＋cos 2A ＝1，∴cos A ＝1517.答案：B8．(2009·浙江高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且满足cos A 2＝255，AB ·AC＝3.(1)求△ABC 的面积； (2)若c ＝1，求a 的值． 解：(1)因为cos A 2＝255，所以cos A ＝2cos 2A 2－1＝35，sin A ＝45.又由AB ·AC＝3，得bc cos A ＝3，所以bc ＝5.因此S △ABC ＝12bc sin A ＝2.(2)由(1)知，bc ＝5，又c ＝1，所以b ＝5，由余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝20，所以a ＝2 5.9.若△ABC ( ) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解析：依题意及面积公式S ＝12bc sin A ，得103＝12bc sin60°，得bc ＝40.又周长为20，故a ＋b ＋c ＝20，b ＋c ＝20－a ，由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝b 2＋c 2－2bc cos60°Do it well and show that you are excellent.＝b 2＋c 2－bc ＝(b ＋c )2－3bc ，故a 2＝(20－a )2－120，解得a ＝7. 答案：C10．(文)在三角形ABC 中，已知∠B ＝60°，最大边与最小边的比为3＋12，则三角形的最大角为 ( ) A ．60° B ．75° C ．90° D ．115° 解析：不妨设a 为最大边．由题意， a c ＝sin A sin C ＝3＋12， 即sin A sin(120°－A )＝3＋12，∴sin A 32cos A ＋12sin A ＝3＋12， (3－3)sin A ＝(3＋3)cos A ， ∴tan A ＝2＋3，∴A ＝75°. 答案：B(理)锐角△ABC 中，若A ＝2B ，则ab 的取值范围是 ( )A ．(1,2)B ．(1，3)C ．(2，2)D ．(2，3) 解析：∵△ABC 为锐角三角形，且A ＝2B ，∴⎩⎨⎧0＜2B ＜π2，0＜π－3B ＜π2，∴π6＜B ＜π4， ∴sin A ＝sin2B ＝2sin B cos B ， a b ＝sin Asin B＝2cos B ∈(2，3)． 答案：D11．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(3，－1)，n ＝(cos A ，sin A )，若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝________. 解析：∵m ⊥n ，∴3cos A －sin A ＝0，- -10 ∴tan A ＝3，∴A ＝π3.∵a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，∴sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，∴sin(A ＋B )＝sin 2C ，∴sin C ＝sin 2C ，∵sin C ≠0，∴sin C ＝1. ∴C ＝π2，∴B ＝π6.答案：π612．(文)(2010·长郡模拟)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3＜C ＜π2且ba －b ＝sin2Csin A －sin2C(1)判断△ABC 的形状；(2)若|BA ＋BC |＝2，求BA ·BC的取值范围．解：(1)由b a －b ＝sin2C sin A －sin2C 及正弦定理得sin B ＝sin2C ，∴B ＝2C ，且B ＋2C ＝π， 若B ＝2C ，π3＜C ＜π2，∴23π＜B ＜π，B ＋C ＞π(舍)； ∴B ＋2C ＝π，则A ＝C ，∴△ABC 为等腰三角形．(2)∵|BA ＋BC|＝2，∴a 2＋c 2＋2ac ·cos B ＝4，∴cos B ＝2－a 2a 2(∵a ＝c )，而cos B ＝－cos2C ，π3＜C ＜π2，∴12＜cos B ＜1， ∴1＜a 2＜43，又BA ·BC ＝ac cos B ＝2－a 2，∴BA ·BC ∈(23，1)． (理)(2010·广州模拟)在△ABC 中，A ，B ，C 分别是三边a ，b ，c 的对角．设m ＝(cos C 2，sin C2)，Do it well and show that you are excellent.n ＝(cos C 2，－sin C 2)，m ，n 的夹角为π3. (1)求C 的大小；(2)已知c ＝72，三角形的面积S ＝332，求a ＋b 的值． 解：(1)m ·n ＝cos 2C 2－sin 2C 2＝cos C ， 又m ·n ＝|m ||n |cos π3＝12， 故cos C ＝12，∵0＜C ＜π，∴C ＝π3. (2)S ＝12ab sin C ＝12ab sin π3＝34ab ， 又已知S ＝332，故34ab ＝332，∴ab ＝6. ∵c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ，c ＝72， ∴494＝a 2＋b 2－2ab ×12＝(a ＋b )2－3ab . ∴(a ＋b )2＝494＋3ab ＝494＋18＝1214， ∴a ＋b ＝112. 五、反思提升.悟与通备用题：1．在ABC ∆中，已知4=-b a ，b c a 2=+，且最大角为 120，求ABC ∆的三边长．2．在ABC ∆中， 45=B ，25=c ，5=b ，则a 等于__________．3．在ABC ∆中，2=a ，22=b ，26+=c ，则A ∠的度数是__________．4．（1）在ABC ∆中，若6:2:1::=c b a ，则最大角的余弦值等于______________．- -12 （2）在ABC ∆中，若52:35:5sin :sin :sin =C B A ，则最大角的度数等于____．5．在ABC ∆中，5=a ，3=b ， 120=∠C ，则A sin 的值为___________．6．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（ ）A ．10=b ， 45=A ， 70=CB ．60=a ，48=c ， 60=BC ．7=a ，5=b ， 80=AD ．14=a ，16=b ， 45=A7．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程02322=-+x x 的根，则第三边长是（ ）A ．20B ．21C ．22D ．618．在ABC ∆中，如果bc a c b c b a 3))((=-+++，那么角A 等于（ ） A ． 30 B ． 60 C ． 120 D ．1509．在ABC ∆中，若 60=A ，16=b ，此三角形面积3220=S ，则a 的值是（ ） A ．620 B ．75 C ．51 D ．4910．在△ABC 中，AB=3，BC=13，AC=4，则边AC 上的高为（ ）A ．223B ．233 C ．23 D ．33 11．（选作）在ABC ∆中，已知4=AB ，7=AC ，BC 边的中线27=AD ，那么=BC ____． 12．（选作）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等差数列，且2cos 28cos 50B B -+=，求角B 的大小并判断ABC ∆的形状。
