下载文档原格式
ercihanshu知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数a≠0，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数y＝ax2+bx+c的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次多项式。
（①含自变量的代数式是整式，②自变量的最高次数是2，③二次项系数不为0.）⑵a b c，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．二、二次函数的基本形式1. y＝ax2的性质：2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减）3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减）4. y ＝a (x －h)2＋k 的性质：5. y ＝ax 2+bx+c 的性质：三、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a.(a 决定了抛物线开口的大小和方向)二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然a ≠0 ① 当0a >时，抛物线开口向上，当0a <时，抛物线开口向下；②a 的绝对值越大，开口越小，反之a 的绝对值越小，开口越大。
总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b （a 和b 共同决定抛物线对称轴的位置）.抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是直线abx 2-=，故：①0=b 时，对称轴为y 轴；② （即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧；③ （即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧.ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”3. 常数项c(c 决定了抛物线与y 轴交点的位置)⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 四、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，；⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”．方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 六、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.七、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y a x b x c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---； 2. 关于y 轴对称2y a x b x c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++； 3. 关于原点对称2y a x b x c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-；根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．八、二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠），适用条件：已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠），适用条件：已知图像上点两坐标，且其中一点为抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶式3. 交点式（两根式）：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）， 适用条件：已知图像上三点坐标，其中两点为抛物线与x 轴的两个交点（1x ，0），（2x ，0），一般选用交点式；九、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当a b x 2-=时，ab ac y 442-=最值。
二次函数所有公式二次函数是高中数学中的重要内容之一，也是一种简单而常用的函数形式。
它的标准形式可表示为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
在这篇文章中，我将介绍二次函数的一些重要公式和性质。
一、基本概念和定义1. 定义：二次函数是一种具有形式f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c是实数，且a ≠ 0。
2.顶点：二次函数的图像是一个抛物线，它的顶点是图像的最低点（如果a>0）或最高点（如果a<0）。
（h，k）表示顶点的坐标，其中h=-b/（2a），k=f(h)。
3.轴对称：二次函数的图像是关于顶点所在的直线x=h对称的。
4.开口方向：如果a>0，则图像开口向上；如果a<0，则图像开口向下。
二、常用公式1. 零点：二次函数的零点是函数值为0时对应的x值。
可以使用求根公式x = [-b ± √(b² - 4ac)] / 2a 来求解二次方程ax² + bx + c = 0的根。
2. 判别式：判别式是二次方程的求解公式中的一部分，其定义为D = b² - 4ac。
判别式可以判断二次方程的根的性质：a)如果D>0，则方程有两个不相等的实数根。
b)如果D=0，则方程有两个相等的实数根。
c)如果D<0，则方程没有实数根。
3. 平移公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若向左平移h个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c；若向右平移h个单位，得到函数y = a(x + h)² + bx + c；若向上平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² + bx + c + k；若向下平移k个单位，得到函数y = a(x - h)² +bx + c - k。
4. 拉伸和压缩公式：对于二次函数y = ax² + bx + c，若a > 1，则函数的图像在x轴方向上被缩短；若0 < a < 1，则函数的图像在x轴方向上被拉长；若a < 0，则函数的图像上下翻转。
二次函数关系式一、二次函数的定义二次函数是形如f(x) = ax² + bx + c的函数，其中a、b、c为常数且a≠0。
它的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
二、二次函数关系式1. 顶点式二次函数的顶点式为f(x) = a(x - h)² + k，其中(h, k)为顶点坐标。
2. 标准式二次函数的标准式为f(x) = ax² + bx + c，其中a、b、c分别表示抛物线的形状和位置。
3. 一般式二次函数的一般式为y = ax² + bx + c，其中x和y表示平面直角坐标系中某个点的横纵坐标。
三、二次函数图像特征1. 对称轴二次函数的对称轴是过顶点且垂直于x轴的直线。
对称轴方程为x = h。
2. 开口方向当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下。
3. 最值当a>0时，最小值等于k；当a<0时，最大值等于k。
4. 零点二次函数在x轴上与x轴交点称为零点。
零点可以通过求解ax²+bx+c=0得到。
四、二次函数的应用1. 求解问题二次函数可以用来求解各种实际问题，如求解最大值、最小值、零点等。
2. 经济学应用在经济学中，二次函数可以用来表示成本、收益、利润等与产量相关的关系。
3. 物理学应用在物理学中，二次函数可以用来表示自由落体运动的高度和时间之间的关系。
五、二次函数的图像绘制1. 找出顶点坐标通过顶点式或标准式可以找到抛物线的顶点坐标。
2. 找出对称轴方程对称轴方程为x = h，其中h为顶点横坐标。
3. 找出零点通过一般式可以求得零点，也可以通过图像上与x轴交点得到。
4. 确定开口方向和最值根据a的正负性可以确定抛物线开口方向和最值。
5. 绘制图像根据以上步骤确定抛物线的各个特征后，就可以绘制出完整的二次函数图像了。
六、总结本文介绍了二次函数的定义、关系式、图像特征以及应用，并详细说明了如何绘制一个完整的二次函数图像。
二次函数基本知识点在数学的世界里，二次函数是一个非常重要的概念。
它不仅在数学学科中有着广泛的应用，还在物理、工程等其他领域发挥着重要作用。
接下来，咱们就一起来深入了解一下二次函数的那些基本知识点。
首先，咱们得明白什么是二次函数。
二次函数的一般形式是：y ＝ax²＋ bx ＋ c （其中 a、b、c 是常数，且a ≠ 0 ）。
这里的 a 决定了二次函数图象的开口方向和开口大小。
当 a ＞ 0 时，图象开口向上；当 a ＜ 0 时，图象开口向下。
而｜a| 的值越大，开口就越小；｜a| 的值越小，开口就越大。
再来说说 b 的作用。
b 与 a 一起决定了二次函数图象的对称轴。
对称轴的方程是 x ＝ b ／ 2a 。
这就意味着，如果 b ＝ 0 ，那么对称轴就是 y 轴。
c 呢，它叫做二次函数的常数项，也就是图象与y 轴的交点纵坐标。
当 x ＝ 0 时，y ＝ c ，所以图象与 y 轴的交点就是（0, c) 。
接下来咱们看看二次函数的图象特点。
二次函数的图象是一条抛物线。
如果开口向上，那么函数有最小值；如果开口向下，函数就有最大值。
这个最值就在抛物线的顶点处。
顶点的坐标可以通过公式（b／ 2a, （4ac b²) ／ 4a) 来计算。
说到二次函数的零点，也就是二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0 的根。
咱们可以通过判别式Δ ＝ b² 4ac 来判断根的情况。
当Δ ＞ 0 时，方程有两个不同的实数根；当Δ ＝ 0 时，方程有两个相同的实数根；当Δ ＜0 时，方程没有实数根，但有两个共轭复数根。
二次函数的平移也是一个重要的知识点。
比如，y ＝ a(x h)²＋ k 就是由 y ＝ ax²经过平移得到的。
如果 h ＞ 0 ，图象就向右平移 h 个单位；如果 h ＜ 0 ，图象就向左平移｜h| 个单位。
如果 k ＞ 0 ，图象就向上平移 k 个单位；如果 k ＜ 0 ，图象就向下平移｜k| 个单位。
二次函数总结二次函数是数学中一种常见且重要的函数形式。
它的一般形式可以表示为f(x) = ax^2 + bx + c，其中a、b和c为常数，且a不等于零。
二次函数是一个拱形曲线，它在数学、物理和经济等领域都有广泛的应用。
在本文中，将对二次函数的性质、图像、方程以及实际问题中的应用进行总结和探讨。
一、二次函数的性质二次函数有一些重要的性质，其中最基本的是二次项的系数a 决定了函数的开口方向。
当a大于零时，二次函数的图像开口向上，形成一个U型；当a小于零时，二次函数的图像开口向下，形成一个倒U型。
另一个重要性质是二次函数的对称轴与顶点。
对称轴是函数图像上对称的线，它通过顶点，并且与x轴垂直。
顶点是二次函数图像的最低点或最高点，它的横坐标可以通过-b/2a来确定。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一个拱形曲线，其形状由a的正负决定。
当a大于零时，图像开口向上，当a小于零时，图像开口向下。
图像的形状还与常数b和c的取值相关。
常数b决定了图像在x方向上的平移，即左右移动；常数c决定了图像在y方向上的平移，即上下移动。
通过改变这些常数的取值，可以使图像的位置和形状发生变化，从而满足不同的条件。
三、二次函数的方程解二次函数的方程是一个重要的应用技巧，因为它可以帮助我们找到函数图像与坐标轴的交点。
二次函数的方程可以通过将f(x)设置为零来表示，即ax^2 + bx + c = 0。
解这个方程可以使用公式x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a，也称为二次方程的根式解。
这个解式给出了二次函数与x轴的交点的横坐标。
方程的解有三种情况：当Δ = b^2 - 4ac大于零时，方程有两个不同的实数解；当Δ等于零时，方程有一个实数解；当Δ小于零时，方程没有实数解。
四、二次函数在实际问题中的应用二次函数在实际问题中有广泛的应用。
其中一个常见的应用是抛物线的运动模型。
当我们抛出一个物体时，它的运动轨迹可以用二次函数来描述。
二次函数是什么
二次函数（quadratic function）的基本表示形式为y=ax²+bx+c（a≠0）。
二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y轴平行或重合于y轴的抛物线。
二次函数表达式为y=ax²+bx+c（且a≠0），它的定义是一个二次多项式（或单项式）。
如果令y值等于零，则可得一个二次方程。
该方程的解称为方程的根或函数的零点。
大约在公元前480年，古巴比伦人和中国人已经使用配方法求得了二次方程的正根，但是并没有提出通用的求解方法。
公元前300年左右，欧几里得提出了一种更抽象的几何方法求解二次方程。
7世纪印度的婆罗摩笈多是第一位懂得使用代数方程的人，它同时容许有正负数的根。
11世纪阿拉伯的花拉子密独立地发展了一套公式以求方程的正数解。
亚伯拉罕·巴希亚（亦以拉丁文名字萨瓦索达著称）在他的著作Liber embadorum中，首次将完整的一元二次方程解法传入欧洲。
据说施里德哈勒是最早给出二次方程的普适解法的数学家之一。
但这一点在他的时代存在着争议。
这个求解规则是：在方程的两边同时乘以二次项未知数的系数的四倍；在方程的两边同时加上一次项未知数的系数的平方；然后在方程的两边同时开二次方（引自婆什迦罗第二）。
二次函数所有知识点二次函数是数学中非常重要的一个概念，在数学学习和实际应用中都有着广泛的用途。
接下来，咱们就一起详细地了解一下二次函数的各种知识点。
一、二次函数的定义一般地，如果形如 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a、b、c 是常数，a ≠ 0）的函数，那么就叫做二次函数。
其中，x 是自变量，a 叫做二次项系数，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。
需要特别注意的是，二次项系数 a 不能为 0，如果 a ＝ 0，那么函数就变成了一次函数。
二、二次函数的图像二次函数的图像是一条抛物线。
当 a ＞ 0 时，抛物线开口向上；当a ＜ 0 时，抛物线开口向下。
抛物线的对称轴是直线 x ＝ b ／（2a）。
顶点坐标为（b ／（2a），（4ac b²）／（4a））。
通过观察抛物线的对称轴和顶点坐标，可以了解抛物线的基本特征和变化趋势。
三、二次函数的性质1、单调性当 a ＞ 0 时，在对称轴左侧（即 x ＜ b ／（2a）），函数单调递减；在对称轴右侧（即 x ＞ b ／（2a）），函数单调递增。
当 a ＜ 0 时，情况则相反，在对称轴左侧，函数单调递增；在对称轴右侧，函数单调递减。
2、最值当 a ＞ 0 时，函数有最小值，且在顶点处取得，最小值为（4ac b²）／（4a）。
当 a ＜ 0 时，函数有最大值，同样在顶点处取得，最大值为（4acb²）／（4a）。
四、二次函数的表达式1、一般式：y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）这是最常见的形式，通过给定 a、b、c 的值，可以确定函数的图像和性质。
2、顶点式：y ＝ a（x h）²＋ k（a ≠ 0）其中（h，k）是抛物线的顶点坐标。
这种形式可以直接看出顶点的位置。
3、交点式（两根式）：y ＝ a（x x₁）（x x₂）（a ≠ 0）其中 x₁和 x₂是抛物线与 x 轴交点的横坐标。
五、二次函数与一元二次方程的关系二次函数 y ＝ ax²＋ bx ＋ c（a ≠ 0）的图像与 x 轴的交点的横坐标，就是一元二次方程 ax²＋ bx ＋ c ＝ 0（a ≠ 0）的根。
关于二次函数的所有公式
二次函数是高中数学中的一个重要主题，是一类二次方程所对应的函数。
以下是关于二次函数的所有公式：
一、标准形式公式：
二次函数的标准形式公式为：f(x)=ax+bx+c，其中a,b,c为常数，且a≠0。
①零点公式：
由二次函数的定义可知，当f(x)=0时，x的取值就是函数的零点。
因此，二次函数的零点公式为：
x1,x2=[-b±√(b-4ac)]/2a
②对称轴公式：
二次函数的对称轴是一个垂直于x轴的直线，它通过函数图像的顶点（抛物线的最高点）。
对称轴上的坐标可以通过顶点的坐标求得，公式为：
x=-b/2a
③顶点公式：
二次函数的顶点是抛物线的最高点，它的坐标可以通过对称轴公式求得，再代入原函数中计算得出，公式为：
(x,y)=( -b/2a , f( -b/2a ) )
二、一般形式公式：
二次函数的一般形式公式为：f(x)=a(x-h)+k，其中a,h,k为常数，且a≠0。
①零点公式：
通过将一般形式转化为标准形式，可以得到二次函数的零点公式： x1,x2=[-h±√(h-ak)]/a
②对称轴公式：
同样可以通过将一般形式转化为标准形式，得到二次函数的对称轴公式：
x=h
③顶点公式：
由一般形式可知，当x=h时，函数的取值最小或最大，因此函数的顶点坐标为：
(x,y)=( h , k )
以上就是关于二次函数的所有公式，希望对大家的学习有所帮助。
二次函数所有表达式
二次函数是一种常见的数学函数，它的一般表达式为
y=ax^2+bx+c，其中a、b、c都是常数。
除了一般表达式，二次函数还可以用其他形式来表示。
1. 顶点式：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
2. 截距式：y=a(x-p)(x-q)，其中p、q分别为x轴上的两个点的坐标。
3. 标准式：(x-h)^2/4p+(y-k)^2/4q=1，其中(h,k)为椭圆的中心坐标，2p为椭圆在x轴上的轴长，2q为椭圆在y轴上的轴长。
4. 参数式：x=acosθ，y=bsinθ，其中(a,b)为椭圆的长短半轴长度，θ为椭圆上某一点与x轴正方向的夹角。
了解不同的二次函数表达式，可以更方便地进行函数的转化、计算和图像绘制。
- 1 -。
二次函数第1节二次函数所描述的关系某果园有100棵橙子树，每棵树平均结600个橙子。
现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少，根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．（1）问题中有哪些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？（2）假设增种x棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？平均每棵树结多少个橙子？（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系。
果园共有（100 + x）棵树，平均每棵树结（600 - 5x）个橙子，因此果园橙子的总产量y = (100 + x) (600 - 5x) = -5x² + 100x + 60 000想一想在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况．你能根据表格中的数据作出猜测吗？自己试一试．做一做银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量。
在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的．设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存．如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）的表达式（不考虑利息税）．一般地，形如y = ax² + bx + c ( a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数(quadratic function)．例如，y = - 5x²+ 100x + 60 000和y = 100x² + 200x + 100 都是二次函数。
我们以前学过的正方形面积A与边长a的关系A = a²,圆面积S与半径r的关系S = πr²等也都是二次函数的例子．随堂练习1．下列函数中（x,t 是自变量），哪些是二次函数？.51;22;2521;32122322t t s x y x x y x y ++=+=+-=+-= ２．圆的半径是1cm ，假设半径增加x cm 时，圆的面积增加y cm. (1)写出y 与x 之间的关系表达式； (2)当圆的半径分别增加1cm,2cm,2cm 时，圆的面积增加多少？习题21．物体从某一高度落下，已知下落的高度h(m)和下落的时间(s)关系是：h=4.9t ².填表表示物体在前5s 下落的高度。
2．某工厂计划为一批长方体形状的产品涂上油漆，长方体的长和宽相等。
高比长多0.5m.（1） 长方体的长和宽用x(m)表示，长方体需要涂漆的表面积（m ²）如何表示？（2） 如果涂漆每平方米所需的费用是5元，油漆每个长方体所需的费用用y （元）表示，那么y 的表达式是什么？第２节. 结识抛物线在二次函数y=x²中， y随x的变化而变化的规律是什么？你想直观地了解它的性质吗？作二次函数y=x²的图象。
（1（2(3)用光滑的曲线连接各点，便得到函数y=x²的图象。
议一议对于二次函数y=x²的图象，（1）你能描述图象的形状吗？与同伴进行交流。
（2）图象与x轴有交点吗？如果有不，交点坐标是什么？（3）当x<0时，随x值的增大，y值如何变化？当x>0时呢？（4）当x取什么值时，y的值最小？最小值是什么？你是如何知道的？（5）图象是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？请你找出几对对称点，并与同伴交流。
如图2-2二次函数y=x2的图象是一条抛物线(parabola),它的开口向上，且关于y轴对称。
对称轴与抛物线的顶点，它是图象的最低点。
做一做二次函数y=-x2的图象是什么形状？先想一想，然后作出它的图象。
它与二次函数y=x2的图象有什么关系？与同伴交流。
读一读二次函数的广泛应用二次函数是刻画客观世界许多现象的一种重要模型。
请看下面的一些例子：1．物体的质量为m ，它运动时的能量E 与它的运动速度之间的关系是：E= 21mv ²(m 为定值).2.导线的电阻为R ，当导线中有电流通过时，单位时间所产生的热量Q与电流强度I 之间的关系是：Q=21RI ²（R 为定值）. 3.g 表示重力加速度，当物体自由下落时，不落的高度h 与下落的时间t 之间的关系是：h=21gt ²（g 为定值） 此外，二次函数在建筑学上也有重要应用，如抛物线型隧道、抛物线型拱桥、抛物线型吊桥、抛物线型弯道等。
要确定这些抛物线的形状，需要对地质、地形、气象、水力、材料等因素进行综合分析。
习题21．下面动物的身体部分轮廓线呈抛物线形状，你还能找出类似的动物或植物吗？2．设正方形的边长为a ，面积为S 。
试作出S 随a 变化而变化的图象。
第3节．刹车距离与二次函数你知道两辆汽车在行驶时为什么要保持一定距离吗？汽车刹车时向前滑行的距离（称为刹车距离）与什么因素有关？影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴天在某段公路上行驶时速度为v (km/h)的汽车的刹车距离s (m)可以由公式确定.10012v s =；雨天行驶时，这一公式为.5012v s =图2-4是 21001v s =的图象，在同一直角坐标系中作出 2501v s =的图象（先想一想，在公式2501v s =中，v 可以取任何值吗？为什么？）２． 在图2-4中作出的图象。
３．回答下列问题：（1） 21001v s =和2501v s =的图象有什么相同与不同？ （2） 如果行车速度是60km/h ，那么在雨天行驶和在晴天行驶相比，刹车距离相差多少米？你是怎么知道的？做一做作二次函数 22x y = 的图象。
（2） 在图2-5中作出22x y =的图象． （3） 二次函数22x y =的图象是什么形状？与二次函数2x y =的图象有什么相同和不 同？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？议一议（1） 二次函数122+=x y 的图象与二次函数22x y =的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？作图看一看． （2） 二次函数132-=x y 的图象与二次函数23x y =的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？习题21．二次函数23x y -=的图象与二次函数23x y =的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，作草图看一看，二次函数与呢？2． 二次函数2132+-=x y 的图象与二次函数23x y -=的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的开口方向、对称轴和顶点坐标分别是什么？先想一想，如果需要，作草图看一看，二次函数3212--=x y 与221x y -=呢？第4节．二次函数c bx axy ++=2的图象二次函数5632+-=x x y 的图象是什么形状？它与我们已经作过的二次函数的图象有什么关系由于2)1(356322+-=+-=x x x y ，因此我们先作二次函数2)1(3-=x y 的图象。
（1） 完成下表，并比较23x 和2)1(3-x 的值，它们之间有什么关系？（2）在图2-6中作出二次函数2)1(3-=x y 的图象。
你是怎样作的？（3）函数2)1(3-=x y 的图象与23x y =的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？（4）x 取哪些值时，函数2)1(3-=x y 的值随x 的值的增大而增大？x 取哪些值时，函数2)1(3-=x y 的值随x 的值的增大而减小？做一做在图2-6的直角坐标系中作出二次函数2)1(32+-=x y 的图象。
它与二次函数2)1(3-=x y 的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？二次函数23x y =，2)1(3-=x y ，2)1(32+-=x y 的图象都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同，将函数的图象向右平移1个单位，就得到函数的图象，要再向上平移2个单位，就得到函数的图象。
议一议（1）二次函数2)1(3+=x y 的图象与二次函数23x y =的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？（2）二次函数4)2(32+--=x y 的图象与二次函数23x y -=的图象有什么关系？它是轴对称图形吗？它的对称轴和顶点坐标分别是什么？（3）对于二次函数2)1(3+=x y ，当取哪些值时，的值随值的增大而增大？当取哪些值时，的值随值的增大而减小？二次函数4)1(32++=x y 呢？一般地，平移二次函数2ax y =的图象便可以得到二次函数k h x a y +-=2)(的图象。
因此，二次函数k h x a y +-=2)(的图像是一条抛物线，它的开口方向、对称轴、和顶点坐标与k h a ,,的值有关。
随堂练习1．指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标：.5)1(31)2(;)3(2)1(22-+-=+=x y x y习题21． 指出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标，必要时作草图进行验证：.)3(43)6(;2)4(5.0)5(;5)2(2)4(;143)3(;)1(5.0)2(;5)3(2)1(222222--=++=+-=--=+-=--=x y x y x y x y x y x y 图2-7所示桥梁的两条钢缆具有相同的抛物线形状。
按照图中的直角坐标系，左面的一条抛物线可以用109.00225.02++=x x y表示，而且左右两条抛物线关于y 轴对称。
（1） 钢缆的最低点到桥面的距离是多少？（2） 两条钢缆最低点之间的距离是多少？（3） 你是怎样计算的？与同伴进行交流。
一般地，对于二次函数c bx ax y ++=2，我们可以利用配方法推导出它的对称轴和顶点坐标公式。
例 求二次函数c bx ax y ++=2的对称轴和顶点坐标。
解：把c bx axy ++=2的右边配方，得.44)2()2()2(22)(2222222ab ac a b x a a c a b a b x a b x a a c x a b x a cbx ax y -++=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+∙+=++=++=因此，二次函数c bx ax y ++=2的图象是一条抛物线，它的对称轴是直线,2a b x -=，顶点是.)44,2(2ab ac a b --直接利用顶点坐标公式再计算一下上面问题中钢缆的最低点到桥面的距离以及两条钢缆最低点之间的距离。
随堂练习1．根据公式确定下列二次函数图象的对称轴和顶点坐标：.)2)(12(3)4(;)2)(21(2)3(;319805)2(;13122)1(22x x y x x y x x y x x y -+=--=-+-=+-=读一读利用Z+Z 智能教育平台（新世纪版）研究二次函数的图象 利用Z+Z 智能教育平台（新世纪版）可以探索二次函数的系数a,b,c 与图象变化之间的关系。
