九年级数学旋转几何综合检测题(WORD版含答案)

九年级数学旋转几何综合检测题（WORD 版含答案）

一、初三数学 旋转易错题压轴题（难）

1．如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线2

y ax bx c =++的顶点是A(1，3)，将OA 绕点O 顺时针旋转90︒后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C ．

（1）求抛物线的解析式；

（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与OAB ∆的边分别交于M ，N 两点，将AMN ∆以直线MN 为对称轴翻折，得到A MN '∆． 设点P 的纵坐标为m ．

①当A MN '∆在OAB ∆内部时，求m 的取值范围；

②是否存在点P ，使'

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A MN OA

B S S ∆'∆=,若存在，求出满足m 的值；若不存在，请说明理由．

【答案】()21y x 22x =-++；（2）①433m <<；②存在，满足m 的值为619-或639-． 【解析】

【分析】

（1）作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，然后证明△AOD ≌△BOE ，则AD=BE ，OD=OE ，即可得到点B 的坐标，然后利用待定系数法，即可求出解析式；

（2）①由点P 为线段AC 上的动点，则讨论动点的位置是解题的突破口，有点P 与点A 重合时；点P 与点C 重合时，两种情况进行分析计算，即可得到答案；

②根据题意，可分为两种情况进行分析：当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时；当点M 在线段OB 上，点N 在AB 上时；先求出直线OA 和直线AB 的解析式，然后利用m 的式子表示出两个三角形的面积，根据等量关系列出方程，解方程即可求出m 的值．

【详解】

解：（1）如图：作AD ⊥y 轴于点D ，作BE ⊥x 轴于点E ，

∴∠ADO=∠BEO=90°，

∵将OA 绕点O 逆时针旋转90︒后得到OB ，

∴OA=OB ，∠AOB=90°，

∴∠AOD+∠AOE=∠BOE+∠AOE=90°，

∴∠AOD=∠BOE ，

∴△AOD ≌△BOE ，

∴AD=BE ，OD=OE ，

∵顶点A 为（1，3），

∴AD=BE=1，OD=OE=3，

∴点B 的坐标为（3，1-），

设抛物线的解析式为2

(1)3=-+y a x ，

把点B 代入，得 2(31)31a -+=-，

∴1a =-，

∴抛物线的解析式为2

(1)3y x =--+，

即222y x x =-++；

（2）①∵P 是线段AC 上一动点，

∴3m <，

∵当A MN '∆在OAB ∆内部时，

当点'A 恰好与点C 重合时，如图：

∵点B 为（3，1-），

∴直线OB 的解析式为13y x =-

， 令1x =，则13

y =-， ∴点C 的坐标为（1，1

3-），

∴AC=1103()33

--=

， ∵P 为AC 的中点，

∴AP=1105233⨯=， ∴54333

m =-=， ∴m 的取值范围是

433m <<； ②当点M 在线段OA 上，点N 在AB 上时，如图：

∵点P 在线段AC 上，则点P 为（1，m ），

∵点'A 与点A 关于MN 对称，则点'A 的坐标为（1，2m -3），

∴'3A P m =-，18'(23)233

A C m m =-+=-， 设直接OA 为y ax =，直线A

B 为y kx b =+，

分别把点A ，点B 代入计算，得

直接OA 为3y x =；直线AB 为25y x =-+， 令y m =，

则点M 的横坐标为3m ，点N 的横坐标为52m --， ∴5552326

m m MN m -=-=--； ∵2'11555515'()(3)22261224A MN S MN A P m m m m ∆=

•=•-•-=-+； '138'3(2)34223

OA B S A C m m ∆=••=•-=-； 又∵'56A MN OA B S S ∆'∆=

， ∴255155(34)12246

m m m -+=⨯-， 解得：619m =-或619m =+（舍去）；

当点M 在边OB 上，点N 在边AB 上时，如图：

把y m =代入13y x =-

，则3x m ， ∴5553222m MN m m -=+=+-，18'(23)233

A C m m =---=-， ∴2'11555515'()(3)2222424A MN S MN A P m m m m ∆=

•=•+•-=-++， '138'3(2)43223

OA B S A C m m ∆=••=•-=-， ∵'56A MN OA B S S ∆'∆=

，

∴255155(43)4246

m m m -++=⨯-，

解得：63m -=或63m =（舍去）；

综合上述，m 的值为：6m =-63

m -=

． 【点睛】

本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的旋转、解一元二次方程、全等三角形的判定和性质、三角形的面积公式等，解题的关键是熟练掌握所学的性质，正确得到点P 的位置．注意运用数形结合的思想和分类讨论的思想进行解题．

2．已知抛物线y=ax 2+bx-3a-5经过点A(2，5)

（1）求出a 和b 之间的数量关系．

（2）已知抛物线的顶点为D 点，直线AD 与y 轴交于(0，-7)

①求出此时抛物线的解析式；

②点B 为y 轴上任意一点且在直线y=5和直线y=-13之间，连接BD 绕点B 逆时针旋转90°，得到线段BC ，连接AB 、AC ，将AB 绕点B 顺时针旋转90°，得到线段BH ．截取BC 的中点F 和DH 的中点G ．当点D 、点H 、点C 三点共线时，分别求出点F 和点G 的坐标．

【答案】（1）a+2b=10；（2）①y= 2x 2+4x-11，②G 1，)，

F 1(-8，33-4+)，

G 2(8，-8

)，F 2(218，-4) 【解析】

【分析】

（1）把点A 坐标代入抛物线y=ax 2+bx-3a-5即可得到a 和b 之间的数量关系；

（2）①求出直线AD 的解析式，与抛物线y=ax 2+bx-3a-5联立方程组，根据直线与抛物线有两个交点，结合韦达定理求出a ，b ，即可求出解析式；

②作AI ⊥y 轴于点I ，HJ ⊥y 轴于点J.设B （0，t ），根据旋转性质表示粗H 、D 、C 坐标，应含t 式子表示直线AD 的解析式，根据D 、H 、C 三点共线，把点C 坐标代入求出

1t =，2t =，分两类讨论，分别求出G 、F 坐标。 【详解】

解：（1）把A （2,5）代入y=ax 2+bx-3a-5得4a+2b-3a-5=5

∴a+2b=10

∴a 和b 之间的数量关系是a+2b=10