函数间断点精品课件
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函数间断点分类及类型精品PPT课件
1
x
解 f (1) 1, f (1 ) 2, = f (1 ) 2, 会不会连续呢？
lim f ( x) 2 f (1), 还是间断点 x1
x 0为函数的第一类可去间断点.
15
例3
讨论函数
f (x)
1
x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0) 0,
xx+
0
9
间断点图形举例： 函数在一点间断，其图形在该点断开.
y 不见了
y 掉队了
y
另立山头
o x0 y
2 1
x o1
井水不犯河水
xo
x0
x
y
各自为政
o
x0
x
ox
10
3. 间断点的分类
第一类间断点
如果 f (x)在点 x0处间断，且f (x0 ), f (x0 )都存在.
如果 f ( x0 ) f ( x0 ), 则称点 x0为函数 f ( x)的跳跃间断点 . 如果 f (x0 ) f (x0 ),则称点 x0为函数 f (x)的可去间断点 .
x 0,
y
f (0 ) 0, f (0 ) 1, 第一类
o
x
f (0 ) f (0 ),
跳跃间断点
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
14
例2 讨论函数
y
2 x, 0 x 1,
f
(x)
1,
x 1
2
1 x, x 1,
1
在x 1处的连续性 ，如果不连续说出它到类型 o
y 1 x
y2 x
You Know, The More Powerful You Will Be
《二函数的间断点》课件
第二类间断点
定义
在某点附近，函数至少有一个极 限不存在。
举例
函数$f(x, y) = frac{y}{x}$在点$(0, 0)$处。
分析
在点$(0, 0)$附近，$y$的极限不存 在，因为$x$不能为0。
跳跃间断点
定义
01
在某点附近，函数值的左右极限不相等。
举例
02
函数$f(x, y) = left{ begin{array}{ll} x + y, & x + y > 0 xy, &
连续。这些方法对于理解和分析函数的性质非常有帮助。
03
二元函数的间断点类型
第一类间断点
01
02
03
定义
在某点附近，函数极限都 存在，但在该点函数值不 存在。
举例
函数$f(x, y) = frac{x^2 + y^2}{x^2 + y^2 + 1}$ 在原点$(0, 0)$处。
分析
在原点附近，函数极限为 0，但原点处函数值不存 在。
二元函数连续性的判定方法
总结词
判断一个二元函数在某点是否连续的方法包括，利用连续性的定义、利用极限的运算法 则和性质、利用复合函数的连续性等。
详细描述
根据连续性的定义，可以通过计算函数在该点的极限值并与该点的函数值进行比较来判 断函数是否连续。此外，可以利用极限的运算法则和性质来判断函数的极限是否存在， 从而判断函数的连续性。对于复合函数，可以利用复合函数的连续性来判断原函数是否
函数间断点的分类
第一类间断点
函数在这一点有确定的左右极限 ，但该点处的函数值可能不存在 。
第二类间断点
函数在这一点没有确定的左右极 限，或者左右极限不相等。
函数的间断点及其类型ppt课件
lim x2 x 3 x2 lim
x3
x x2 x 3 x x x2 x 3 x
lim
x3
lim
1 3 x
1
x x2 x 3 x
x
1
1 x
3 x2
1
2
又 lim ( x2 x 3 x) x ()
论
函
数
f
(
x)
x, 1 x,
解 f (0 ) 0, f (0 ) 1,
x 0,在x 0处的连续性.
x 0,
y
f (0 ) f (0 ),
o
x
x 0为函数的第一类跳跃间断点.
6
例 讨论函数
f
(
x)
2 1,
x,
0 x 1, x1
23
x 0, ln(1 x) ~ x, m 1 x 1 ~ 1 x
m
求 lim ( 1 2x 1)e2x x0 ln(1 3x)
lime2x lim
x0
x0
12x 1 ln(1 3x)
1 lim x0
12x 1 ln(1 3x)
1 (2x) lim 2
x0
x0
1
lim f ( x) lim e x ,
x0
x0
x
0是
f (x)
e
1
x的
第
二
类
间
断
点.
15
1.求函数f ( x)
1
10x
的 间 断 点,
并指出其类型.
《间断点及其分类》课件
分类
第一类间断点
跳跃间断点。
第二类间断点
奇点。
第三类间断点
可去间断点。
跳跃间断点
定义
例子
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等。
f(x) = { x, x < 1 x+ 1, x≥ 1 }
性质
在跳跃间断点处，函数图像的 曲线从一个点跳跃到另一个点， 导致函数值发生突变。
奇点
定义
函数在某一点的极限不存在。
《间断点及其分类》PPT 课件
在学习微积分时，遇到间断点是很常见的。本次课程将帮助你更好地学习间 断点及其分类。
什么是间断点？
定义
在函数图像中，不连续点称为 间断点。它们可以是跳跃间断 点或奇点。
跳跃间断点
奇点
函数在某一点的左右极限存在， 但不相等，导致函数值发生突 变。如：f(x) = |x|
函数在某一点的极限不存在。 如：f(x) = 1/x
例子
f(x) = 1/x
性质
在奇点处，函数图像无法被连数在某一点的极限存在，但 与函数在该点的值不相等。
例子
f(x) = (x-1)/(x²-1)
性质
在可去间断点处，函数图像在 该点的值可以通过修改函数的 定义来使之与该点的极限相等。
总结
1 定义
间断点是函数图像中不 连续的点。
2 分类
跳跃间断点和奇点为第 一类和第二类间断点。 可去间断点为第三类间 断点。
3 应用
在微积分学习中，间断 点是非常重要的概念， 应充分理解和掌握。
函数的间断点课件
函数间断点是指函数在某一点处不连续的点，即函数在该点的左 右极限不相等或不存在。
函数间断点的分类
根据左右极限的性质，函数间断点可以分为可去间断点、跳跃间断 点和无穷间断点等类型。
函数间断点的判断方法
通过计算函数在某一点的左右极限，比较它们的值或是否存在，可 以判断该点是否为间断点。
对函数间断点的思考
函数间断点的分类
第一类间断点
函数在间断点的左右极限都存在 ，但极限值不相等。
第二类间断点
函数在间断点的左右极限存在， 但至少有一个极限值为无穷大。
函数间断点的判断方法
利用极限的定义判断
如果函数在某一点的左右极限都存在且相等，则该点是函 数的连续点；如果左右极限存在但不相等，或者极限不存 在，则该点是函数的间断点。
函数间断点与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，而间断点则是连续性的破坏。 因此，研究函数的间断点有助于深入理解函数的连续性。
函数间断点在数学中的应用
在数学中，函数的间断点常常出现在一些重要的概念和定理中，例如函数的可导性、积分 和级数等。因此，掌握函数的间断点对于深入理解数学概念和定理也是非常重要的。
特点
可去间断点在函数图像上 表现为一个“尖点”，即 函数值在间断点处不连续 ，但左右极限相等。
例子
$f(x) = frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处为可去间断点。
跳跃间断点
定义
在第一类间断点中，如果函数在 间断点的左右极限不相等，则称
此间断点为跳跃间断点。
特点
跳跃间断点在函数图像上表现为一 个“断崖”，即函数值在间断点处 不连续，且左右极限也不相等。
撞、断裂等。
在其他领域的应用
函数间断点的分类
根据左右极限的性质，函数间断点可以分为可去间断点、跳跃间断 点和无穷间断点等类型。
函数间断点的判断方法
通过计算函数在某一点的左右极限，比较它们的值或是否存在，可 以判断该点是否为间断点。
对函数间断点的思考
函数间断点的分类
第一类间断点
函数在间断点的左右极限都存在 ，但极限值不相等。
第二类间断点
函数在间断点的左右极限存在， 但至少有一个极限值为无穷大。
函数间断点的判断方法
利用极限的定义判断
如果函数在某一点的左右极限都存在且相等，则该点是函 数的连续点；如果左右极限存在但不相等，或者极限不存 在，则该点是函数的间断点。
函数间断点与连续性的关系
函数的连续性是指在某一点处的极限值等于该点的函数值，而间断点则是连续性的破坏。 因此，研究函数的间断点有助于深入理解函数的连续性。
函数间断点在数学中的应用
在数学中，函数的间断点常常出现在一些重要的概念和定理中，例如函数的可导性、积分 和级数等。因此，掌握函数的间断点对于深入理解数学概念和定理也是非常重要的。
特点
可去间断点在函数图像上 表现为一个“尖点”，即 函数值在间断点处不连续 ，但左右极限相等。
例子
$f(x) = frac{1}{x}$ 在 $x = 0$ 处为可去间断点。
跳跃间断点
定义
在第一类间断点中，如果函数在 间断点的左右极限不相等，则称
此间断点为跳跃间断点。
特点
跳跃间断点在函数图像上表现为一 个“断崖”，即函数值在间断点处 不连续，且左右极限也不相等。
撞、断裂等。
在其他领域的应用
1-8函数的连续性与间断点65661 共13页PPT资料
即 函 y 数 six 对 n x 任 (,意 )都 是 . 连
例2 当 a取何,值时
函数 f(x) a cox xs,,
x0, x0,
在 x0处连 . 续
解 f(0)a,
lim f(x)lic m o xs1,
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要f(0 使 )f(0 )f(0 ) , a1 ,
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
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docin/sanshengshiyuan doc88/sanshenglu
证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si nxcoxs(x)
2
2
cosx(x)1, 则y2sinx.
2
2
对任,意 当 的 0时 ,有sin,
故y2sin xx, 当 x 0 时 , y 0 . 2
第八节
第一章
函数的连续性与间断点
自然界中有许多现象，如气温的变化、河 水的流动、植物的生长都是连续变化的， 反映在数学上就是函数的连续性，反映在 图形上就是不间断的曲线。
0
x0
(1) f (x0)无 定 义
0
x0 (2) limf (x)不 存 在
xx0
0
x0
(3)xl ixm 0 f(x)f(x0)；
x
例2 讨论函数
2 x , 0 x 1,
f
(
x
)
1,
x1
1 x , x 1,
在 x 1处的连续性 .
例2 当 a取何,值时
函数 f(x) a cox xs,,
x0, x0,
在 x0处连 . 续
解 f(0)a,
lim f(x)lic m o xs1,
x 0
x 0
lifm (x ) li(a m x )a,
x 0
x 0
要f(0 使 )f(0 )f(0 ) , a1 ,
故当且a仅 1时 当 , 函f数 (x)在 x0处连 . 续
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证 任x 取 (, ) ,
y six n x )( sx i n 2si nxcoxs(x)
2
2
cosx(x)1, 则y2sinx.
2
2
对任,意 当 的 0时 ,有sin,
故y2sin xx, 当 x 0 时 , y 0 . 2
第八节
第一章
函数的连续性与间断点
自然界中有许多现象，如气温的变化、河 水的流动、植物的生长都是连续变化的， 反映在数学上就是函数的连续性，反映在 图形上就是不间断的曲线。
0
x0
(1) f (x0)无 定 义
0
x0 (2) limf (x)不 存 在
xx0
0
x0
(3)xl ixm 0 f(x)f(x0)；
x
例2 讨论函数
2 x , 0 x 1,
f
(
x
)
1,
x1
1 x , x 1,
在 x 1处的连续性 .
§18函数的连续性与间断点省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
19
初等函数无定义旳孤立点是间断点. 分段函数旳分段点可能是间断点, 也 可能是连续点, 需要鉴定.
20
例 讨论函数
f
(
x
)
2 1,
f (1) 11
如果 f ( x)在点xlixmx00处f (的x)极限f (存x0在), , xx但处 可,, 无去xli0xm定间xx0 义断fx1(1点,x,则1),.在称则xf点称(xx10x处)00为或为y的函ff连(数(x续x)的)在性fy间(点x.1断)的x点x0
x1 x 1 x1
2
如补充定义:令 f (1) 2,
1
则 所给函数在x 1处连续. O 1
x
所以x 1称为函数的可去间断点.
23
例
函数f
(x)
x, 1 x,
x 0, x 0,
lim f ( x)不存在,
x x0
则称 x0为f ( x)的间断点 .
y
f ( x)在x 0处有定义,
在高等数学中,主要旳研究对象就是连 续函数. 从直观上不妨这么说, 连续函数旳 特征就是它旳图形是连续旳,也就是说,能够 一笔画成.
2
一、函数旳连续性
1. 函数旳增量
自变量x0 x, 称差 x x x0 为自变量在 x0 旳增量; 函数伴随从f ( x0 ) f ( x), 称差
y f ( x) f ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 ) 为函数旳
f ( x) C[a,b]
14
有关连续函数, 有一种对某些问题旳推理 很有用旳定理.
定理2 设f ( x)在x0连续,且f ( x0 ) 0, 则存在 x0
旳一种邻域, 使得在此邻域内
y
函数的间断点(PPT课件)
因为当x >1时，f (x) = x+1 所以
x 1
lim f ( x ) lim ( x 1) 2
x 1
f (x)=x2 2 1 1 f (x)=x+1
x=1 是函数的第一类间断点，
且为跳跃间断点.
小结
如果函数 f (x) 在 x0 点处不连续， 即 x0 是间断点。 可去的间断点---x0点的左右极限 存在且相等 跳跃间断点---x0点的左右极限存 在不相等 无穷间断点---x0点的左右极限至 少有一个等于∞ … …
x x0
称x0是函数 f(x) 的 可去间断点，
2）
x x0
lim f ( x ) lim f ( x )
x x0
称x0是函数 f(x) 的 跳跃间断点，
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
函数的间断 点？
x0 x0
如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即是 x0 函 数的间断点，
1. x0点的左右 极限都存在 （第一类间断点） 2. x0点的左右 极限至少有 一个不存 (第二类间断) 1） lim f ( x ) 或
第一类 间断点 间断点 的分类 第二类 间断点
F(x)
x
3. lim f ( x ) f ( x0 )
x x0
函数的间断点 ？
x0 x0 如果x0是函数 f(x) 的 不连续点，即 x0 是函 数的间断点，
1）
1. x0点的左右 极限都存在 （第一类间断点） 2. x0点的左右 极限至少有 一个不存 (第二类间断)
x x0
lim f ( x ) lim f ( x ) f ( x0 )
间 断 点 的 分 类
《间断点及其分类》课件
2023 WORK SUMMARY
《间断点及其分类》 ppt课件
REPORTING
目录
• 引言 • 间断点的定义及性质 • 第一类间断点 • 第二类间断点 • 间断点的判断方法 • 实例分析
PART 01
引言
课程背景
数学分析中的基本概念
间断点是数学分析中的一个基本概念，是函数在某个点附近的性质发生变化的 点。理解间断点的概念和分类对于进一步学习数学分析有着重要的意义。
详细描述
尖点是函数的一种特殊类型的间断点，在尖点上，函数的左右极限都存在，但不相等， 函数在该点的值也不存在。这种间断点通常发生在函数在某点的导数不存在的情况。
连续但不可导点
总结词
连续但不可导点是指函数在某点处连续，但该点的导数不存在。
详细描述
连续但不可导点通常发生在函数在某点的切线方向不唯一或切线不存在的情况。在这种情况下，虽然函数在该点 是连续的，但由于切线方向的不唯一性或不存在，导致函数在该点不可导。
实际应用背景
间断点理论在许多实际问题中都有应用，如物理、工程、经济等领域。掌握间 断点的知识有助于解决实际问题，提高分析和解决问题的能力。
课程目标
01
掌握间断点的定义和分类
通过本课程的学习，学生应能理解间断点的定义，掌握间断点的分类，
如可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等。
02
理解间断点的性质和判定方法
详细描述
当函数在某一点的左右极限存在，但不相等，且至少有一个 是无穷大或无穷小，则该点被称为无穷间断点。例如，函数 y = 1/x 在 x = 0 处是一个无穷间断点，因为当 x 趋于 0 时 ，y 趋于无穷大或无穷小。
震荡间断点
总结词
在震荡间断点，函数值在某一方向上呈现周期性震荡。
《间断点及其分类》 ppt课件
REPORTING
目录
• 引言 • 间断点的定义及性质 • 第一类间断点 • 第二类间断点 • 间断点的判断方法 • 实例分析
PART 01
引言
课程背景
数学分析中的基本概念
间断点是数学分析中的一个基本概念，是函数在某个点附近的性质发生变化的 点。理解间断点的概念和分类对于进一步学习数学分析有着重要的意义。
详细描述
尖点是函数的一种特殊类型的间断点，在尖点上，函数的左右极限都存在，但不相等， 函数在该点的值也不存在。这种间断点通常发生在函数在某点的导数不存在的情况。
连续但不可导点
总结词
连续但不可导点是指函数在某点处连续，但该点的导数不存在。
详细描述
连续但不可导点通常发生在函数在某点的切线方向不唯一或切线不存在的情况。在这种情况下，虽然函数在该点 是连续的，但由于切线方向的不唯一性或不存在，导致函数在该点不可导。
实际应用背景
间断点理论在许多实际问题中都有应用，如物理、工程、经济等领域。掌握间 断点的知识有助于解决实际问题，提高分析和解决问题的能力。
课程目标
01
掌握间断点的定义和分类
通过本课程的学习，学生应能理解间断点的定义，掌握间断点的分类，
如可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点等。
02
理解间断点的性质和判定方法
详细描述
当函数在某一点的左右极限存在，但不相等，且至少有一个 是无穷大或无穷小，则该点被称为无穷间断点。例如，函数 y = 1/x 在 x = 0 处是一个无穷间断点，因为当 x 趋于 0 时 ，y 趋于无穷大或无穷小。
震荡间断点
总结词
在震荡间断点，函数值在某一方向上呈现周期性震荡。
《连续性与间断点》课件
连续函数与无穷间断点
定义
无穷间断点是指函数在该点的极 限为无穷大。
举例
$f(x) = frac{1}{x}$在x=0处存在无 穷间断点，因为lim(x->0)f(x)=∞ 。
性质
无穷间断点会破坏函数的连续性， 因为该点的极限为无穷大。
PART 04
连续性与间断点的应用
利用连续性判断函数性质
总结词
连续函数与跳跃间断点
定义
性质
跳跃间断点是指函数在该点的左右极 限不相等，即函数在该点处发生“跳 跃”。
跳跃间断点会破坏函数的连续性，因 为该点的左右极限不相等。
举例
$f(x) = begin{cases} x, & x leq 0 2x, & x > 0 end{cases}$在x=0处存 在跳跃间断点，因为lim(x>0+)f(x)=0!=lim(x->0-)f(x)=0。
在某一点左侧和右侧的函数值相 等，即$f(x_{0} - 0) = f(x_{0} + 0)$，则称$x_{0}$为函数$f(x)$的 可去间断点。
描述
可去间断点是间断点中最容易处 理的一种，可以通过补充定义使 得函数在该点连续。
第二类间断点（跳跃间断点、无穷间断点）
定义
在某一点左侧和右侧的函数值不相等，即$f(x_{0} - 0) neq f(x_{0} + 0)$，则称 $x_{0}$为函数$f(x)$的跳跃间断点。如果函数值在某一点趋于无穷，则称该点为 无穷间断点。
详细描述
在物理学、工程学、经济学等领域中，许多实际问题 需要用到连续性与间断点的概念。例如，在物理学中 的速度、加速度、力的变化规律分析中，可以利用连 续性来描述平滑的变化过程；在经济学中的供需关系 、价格形成机制中，可以利用间断点来描述市场价格 的突变和调整。此外，在信号处理、图像处理等领域 中，连续性与间断点的概念也具有重要应用价值。
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解 在x 0处没有定义,
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点
(见下图)
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
y
拿了小朋友橡皮 竹笋炒肉 小惩大戒，改正不究
存在,但f ( x 0) f ( x 0), 则称点 x 为函数
0
0
0
f ( x)的跳跃间断点.
例1
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2, lim f ( x) 2 f (1),
x1
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
[停车场收费] 一个停车场第一个小时（或不到一小时） 收费3元，以后每小时（或不到整时）收费2元， 每天最多收费10元．讨论此函数在th时的连续性 以及此函数的间断点，并说明其实际意义． 解 设停车场第t小时的收费为y
3 y 3 2 t 1
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
这种情况称为无穷间 断点.
o
x
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
例4 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
因为 lim y 7 t20
lim y 5
t20
所以 lim y 不存在，函数在t=2处不连续。 t2
此函数在t=1，2，3处间断。 停车小窍门
由于超过整时后，收费价格会突然增加，因此 ，在停车时，为节省费用，应尽量控制在整时 之内。由于一天的停车费最高价格不超过10元 ，因此，超过3小时后，可以不急于取车。
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
不影响规律、走向和趋势
可去型
o x0
x
y
成年偷窃，付出代价，人生改变
以此处为分界点，走向发生改变
跳跃型
o
x0
x
y
有些底线不能突破，突破了罪不容赦，无法挽回
无穷间断或者震荡，没有了极限
o 无穷型 《应用数学》
x0
x
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
连 续
连续与间断是的数学基础概念之一
o
x
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
例2 讨论函数
f
(
x)
2 1,
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
《应用数学》
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3.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
例3
讨论函数
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函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3)
lim
x x0
x 0为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
《应用数学》
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如例2中, 令 f (1) 2,
y
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
2 1
o1
x
10
0t 1 4t 1 24 t 4
其中 为向上取整函数
《应用数学》
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建立如下关系式：
3 0t 1
y
5 7
1t 2 2t 3
9
3t 4
10 4 t 24
《应用数学》
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与
间
是植根于工业生活骨髓的概念之一
断 连续与间断是对世界认知的重要概念
《应用数学》
作业
1
在线测试
2
间断的现实例子
《应用数学》
请各位专家批评指正！
第三届技能大赛教学能力比赛作品
勾勒世界 演绎无限-应用数学
函数间断点
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微课： 《函数间断点》
《应测试检验 实际应用 拓展梳理 《应用数学》
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字面含义：间隔 断离 人生路漫漫，或高昂或平直或跌宕，只是千万不要间断
《应用数学》
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连续与间断应用范围很广，重要的比如流体力 学、固体力学甚至可以应用在电荷守恒上面推 导出基尔霍夫电流定律。连续性更多的是一种 思想。在流体力学中连续性方程的欧拉描述存 在密度与速度之间的关系。几乎所有的工业生 产中都有连续和间断概念的应用。
且 lim sin 1 不存在. x0 x
y sin 1 x
x 0为第二类间断点.
这种情况称为的振荡间断点.
注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点.
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初等函数的连续性
基本初等函数在定义域内是连续的。 一切初等函数在其定义区间内都是连续的。
《应用数学》
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1.函数在一点连续必须满足的三个条件; 2.区间上的连续函数; 3.间断点的分类与判别;
间断点
第一类间断点:可去型,跳跃型. 第二类间断点
(见下图)
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y
拿了小朋友橡皮 竹笋炒肉 小惩大戒，改正不究
存在,但f ( x 0) f ( x 0), 则称点 x 为函数
0
0
0
f ( x)的跳跃间断点.
例1
讨论函数
f
(x)
x, 1 x,
x 0,在x 0处的连续性. x 0,
解 f (0 0) 0, f (0 0) 1,
y
f (0 0) f (0 0),
x 0为函数的跳跃间断点.
x,
0 x 1, x1
1 x, x 1,
在x 1处的连续性 .
y y 1 x
2 y2 x
1
o1
x
《应用数学》
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解 f (1) 1,
f (1 0) 2, f (1 0) 2, lim f ( x) 2 f (1),
x1
《应用数学》
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[停车场收费] 一个停车场第一个小时（或不到一小时） 收费3元，以后每小时（或不到整时）收费2元， 每天最多收费10元．讨论此函数在th时的连续性 以及此函数的间断点，并说明其实际意义． 解 设停车场第t小时的收费为y
3 y 3 2 t 1
f
(x)
1 x
,
x 0,在x 0处的连续性.
x, x 0,
y
解 f (0 0) 0, f (0 0) ,
x 1为函数的第二类间断点.
这种情况称为无穷间 断点.
o
x
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例4 讨论函数 f ( x) sin 1 在 x 0处的连续性. x
因为 lim y 7 t20
lim y 5
t20
所以 lim y 不存在，函数在t=2处不连续。 t2
此函数在t=1，2，3处间断。 停车小窍门
由于超过整时后，收费价格会突然增加，因此 ，在停车时，为节省费用，应尽量控制在整时 之内。由于一天的停车费最高价格不超过10元 ，因此，超过3小时后，可以不急于取车。
f (x)
f ( x0 ).
如果上述三个条件中只要有一个不满足, 则称
函数 f ( x)在点 x0处不连续(或间断), 并称点x0为 f ( x)的不连续点(或间断点).
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1.跳跃间断点 如果 f ( x)在点 x0处左, 右极限都
不影响规律、走向和趋势
可去型
o x0
x
y
成年偷窃，付出代价，人生改变
以此处为分界点，走向发生改变
跳跃型
o
x0
x
y
有些底线不能突破，突破了罪不容赦，无法挽回
无穷间断或者震荡，没有了极限
o 无穷型 《应用数学》
x0
x
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连 续
连续与间断是的数学基础概念之一
o
x
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2.可去间断点如果 f ( x)在点 x0处的极限存在 ,
但lim f ( x) A f ( x ), 或 f ( x)在点 x 处无定
x x0
0
0
义则称点x0为函数 f ( x)的可去间断点.
例2 讨论函数
f
(
x)
2 1,
跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点. 特点 函数在点 x0处的左、右极限都存在 .
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3.第二类间断点 如果 f ( x)在点 x0处的左、
右极限至少有一个不存在, 则称点 x0为函数 f ( x)的第二类间断点.
例3
讨论函数
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函数的间断点
函数 f ( x)在点 x0处连续必须满足的三个条件 : (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3)
lim
x x0
x 0为函数的可去间断点.
注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函 数的定义, 则可使其变为连续点.
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如例2中, 令 f (1) 2,
y
则
f (x)
2 1
x, x,
0 x 1, x 1,
在x 1处连续.
2 1
o1
x
10
0t 1 4t 1 24 t 4
其中 为向上取整函数
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建立如下关系式：
3 0t 1
y
5 7
1t 2 2t 3
9
3t 4
10 4 t 24
《应用数学》
课前反馈 引入教学 新知探索 测试检验 实际应用 拓展梳理
与
间
是植根于工业生活骨髓的概念之一
断 连续与间断是对世界认知的重要概念
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2
间断的现实例子
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微课： 《函数间断点》
《应测试检验 实际应用 拓展梳理 《应用数学》
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连续与间断应用范围很广，重要的比如流体力 学、固体力学甚至可以应用在电荷守恒上面推 导出基尔霍夫电流定律。连续性更多的是一种 思想。在流体力学中连续性方程的欧拉描述存 在密度与速度之间的关系。几乎所有的工业生 产中都有连续和间断概念的应用。