5.7有理数的除法

有理数除法有理数的除法有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。

a÷b=a (b≠0)两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

0除以任何一个不等于0的数，都得0。

因为有理数的除法可以化为乘法，所以可以利用乘法的运算性质简化运算。

乘除混合运算往往先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后求出结果。

上述的内容是有理数的除法运算知识要领，老师为大家整合的较为精略，详细的内容知识还需大家自己总结。

初中数学知识点总结：平面直角坐标系下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。

平面直角坐标系平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。

水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。

平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合三个规定：①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。

③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。

相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。

初中数学知识点：平面直角坐标系的构成对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。

平面直角坐标系的构成在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。

通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。

水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。

通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。

初中数学知识点：点的坐标的性质下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。

有理数的除法
有理数的除法是指将一个有理数除以另一个有理数，得到的结果仍然是一个有理数。

有理数的除法可以按照以下步骤进行：
1. 确定被除数和除数，分别记为a和b。

2. 判断除数b是否为0，若为0，则除法无意义，结果为无穷大。

3. 计算除数b的倒数（即1/b），得到分数c。

4. 将被除数a与分数c相乘，得到结果d。

5. 判断结果d的符号是否与a和b的符号相同，若不同，则加上负号。

具体计算方法如下：
a ÷
b = (a/b) = a × (1/b)
例如，计算6 ÷ 2：
6 ÷ 2= (6/2) = 6 × (1/2) = 3
另外，还需要注意几个特殊情况：
- 若除数和被除数都为0，则结果也为0。

- 若除数为0，被除数不为0，则结果为无穷大。

- 若除数和被除数符号相同，则结果为正数；若符号不同，则结果为负数。

此外，有理数的除法还可以利用约分的方法来简化结果。

5.7有理数的除法（作业）一、单选题1．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）下列结论错误的是( )A．若a，b异号，则a·b＜0，ab＜0B．若a，b同号，则a·b＞0，ab＞0C．ab-＝ab-＝－abD．ab--＝－ab【答案】D【解析】根据有理数的乘法和除法法则可得选项A、B正确；根据有理数的除法法则可得选项C正确；根据有理数的除法法则可得选项D原式=ab，选项D错误，故选D.2．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）如果a÷b（b≠0）的商是负数，那么（）A．a,b异号B．a,b同为正数C．a,b同为负数D．a,b同号【答案】A【详解】因为两数相除,同号得正,异号得负,所以a,b异号,故选A.3．（2020·上海青浦区·九年级二模）a（a≠0）的倒数是（）A．a B．﹣a C．1aD．1a-【答案】C【分析】一般地，11(0)a aa•=≠，就说a（a≠0）的倒数是1a．据此即可得出答案．【详解】解：11(0)a a a•=≠，∴ a （a ≠0）的倒数是1a ，故选：C ． 【点睛】本题考查的是倒数的定义，掌握倒数的定义是解题的关键．二、填空题4．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）填空：（1）()279-÷=_______； （2）932510⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭_______； （3）()19÷-=_______； （4）()07÷-=_______；（5）()413÷-=_______； （6）30.254-÷=_______. 【答案】-365 -19 0 -43 -13 【分析】根据有理数的除法法则计算即可.【详解】（1）()()279-279=3-÷=÷-；（2）932510⎛⎫⎛⎫-÷-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭91062535⎛⎫⎛⎫-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （3）()()19-19÷-=÷=-19； （4）()07÷-=0； （5）()413÷-=4-13⎛⎫÷= ⎪⎝⎭-43； （6）30.254-÷=1443-⨯=-13. 故答案为（1）-3；（2）65；（3）-19；（4）0；（5）-43；（5）-13. 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，两数相除，同号得正，异号得负，再把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数都得0，0不能做除数；除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数.5．（2018·上海市久隆模范中学月考）若a ＜0,b ＜0,那么ab____0,a b____0. 【答案】> >【分析】根据有理数的乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘.两数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数,都得0可得答案【详解】∵a<0,b<0，∴ab>0, a b>0，故选:>，> 【点睛】此题考查有理数的乘法和有理数的除法，解题关键在于掌握运算法则6．（2018·上海普陀区·期中）计算：133⎛⎫÷- ⎪⎝⎭____________．【答案】-9分析：先判断符号，利用除法法则计算. 详解：133393÷-=-⨯=-. 点睛：有理数除法法则：一个数除以一个数，等于乘以它的倒数.7．已知4x =，12y =，且0xy <，则x y 的值等于_________． 【答案】8-【解析】解：∵|x |=4，|y |=12，∴x =±4，y =±12．又∵xy ＜0，∴x =4，y =﹣12或x =﹣4，y =12，则x y =﹣8．故答案为﹣8． 点睛：本题是绝对值性质的逆向运用，此类题要注意答案．两个绝对值条件得出的数据有4组，再添上x ，y 大小关系的条件，一般剩下两组答案符合要求，解此类题目要仔细，看清条件，以免漏掉答案或写错．8．已知||4x =，1||2=y ，且＜0，则x y的值等于_______．【答案】-8【详解】已知||4x =，1||2=y ，可得x=±4，y=±12，又因＜0，所以x=-4，y=12或x=4，y=-12，分别代入可得x y 的值等于-8． 考点：绝对值；有理数的运算．三、解答题9．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）若0a ≠，求a a的值．【答案】1或-1【分析】分a>0和a<0两种情况求解即可. 【详解】当a>0时，=1a a a a =；当a<0时，-=-1a a a a =；∴a a的值1或-1. 【点睛】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a 的点到原点的距离叫做这个数的绝对值.一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数.分类讨论是解答本题的关键.10．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）()()50.750.34-÷÷-；（2）()()10.33113⎛⎫-÷-÷- ⎪⎝⎭. 【答案】（1）2；（2）9-100 【分析】把小数化为分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算即可；【详解】（1）原式=3410453⎛⎫⎛⎫-⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=3410453⨯⨯=2；（2）原式=()331310011⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=331310011-⨯⨯ =9-100. 【点睛】本题考查了两个有理数的除法法则，熟练掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解答本题的关键.11．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）化简下列分数：（1）162-；（2）1248-；（3）546--；（4）90.3--． 【答案】（1）-8；（2）-14；（3）9；（4）30． 【分析】根据同号两数相除得正，异号两数相除得负计算即可．【详解】（1）原式=–162=-8； （2）原式=1248-=-14； （3）原式=546=9； （4）原式=90.3=903=30． 【点睛】本题考查了有理数的除法运算，注：同号两数相除得正，异号两数相除得负．12．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）512.584⎛⎫-÷⨯- ⎪⎝⎭； （2）()142722449-÷⨯÷-；（3）311313524⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （4）114222⎛⎫-⨯÷-⨯ ⎪⎝⎭； （5）2415127754⎛⎫⎛⎫-÷-⨯⨯-÷ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （6）134118432-÷⨯⨯-. 【答案】（1）1；（2）29；（3）14-25；（4）8；（5）-1；（6）1 【分析】（1）把小数化为分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；（2）（3）（5）把带分数化为假分数，把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；（4）把除法转化为乘法，再根据乘法法则计算；（6）先算绝对值，再算乘除法.【详解】（1）原式=581=1254⎛⎫-⨯⨯- ⎪⎝⎭； （2）原式=441227=99249⎛⎫-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭； （3）原式=374114=-525325⎛⎫⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； （4）原式=()1422=82-⨯⨯-⨯； （5）原式=74915=19547⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； （6）原式=9441=18332⨯⨯⨯. 【点睛】本题考查了有理数的乘除混合运算，熟练掌握混合运算的顺序及运算法则是解答本题的关键.13．（2020·上海市静安区实验中学课时练习）计算：（1）312411⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭；（2）()()124215⎛⎫-÷-÷- ⎪⎝⎭. 【答案】（1）3-344；（2）-10 【分析】（1）把括号内变为312-11-，把除法转化为乘法，把再根据乘法分配律计算； （2）把带分数化为假分数，再根据除法法则计算；【详解】（1）原式=3113112-=12-1144114⎛⎫-⨯-⨯⨯ ⎪⎝⎭ =3344-- =3-344； （2）原式=()152426⎛⎫⎛⎫-⨯-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ =15-2426⨯⨯ =-10.【点睛】本题考查了两个有理数的除法法则，熟练掌握除以一个数等于乘以这个数的倒数是解答本题的关键.。

有理数的除法有理数是指可以表示为两个整数的比例的数，包括正整数、负整数、零以及分数等形式。

在数学中，除法是一种基本的运算方法，它用于计算两个数的商。

下面将详细介绍有理数的除法。

1. 有理数的除法概念除法是将一个数分成若干等分的操作，其中一个数称为被除数，另一个数称为除数。

有理数的除法可以分为以下两种情况：情况一：当除数不等于零时，有理数的除法可通过乘以除数的倒数来完成。

即，a ÷ b = a × (1/b)。

情况二：当除数等于零时，除法是未定义的，因为不能将一个数等分为零份。

2. 有理数的除法步骤有理数的除法步骤如下：步骤一：判断除数是否等于零。

如果除数为零，则除法运算无法进行。

步骤二：将被除数和除数的绝对值相除，然后将符号置为正负取决于被除数和除数的符号。

步骤三：将得到的商作为结果。

举例来说，计算-6 ÷ 3的运算步骤如下：步骤一：除数不等于零，继续计算。

步骤二：将被除数6和除数3的绝对值相除，得到2。

步骤三：根据被除数和除数的符号，将结果置为负数，即-2。

因此，-6 ÷ 3 = -2。

3. 有理数除法的性质有理数除法具有以下性质：性质一：除法的交换律不成立。

即，a ÷ b ≠ b ÷ a，除非a=b。

性质二：0除以任何非零有理数等于0。

即，0 ÷ a = 0，其中a ≠ 0。

性质三：如果被除数和除数具有相同的符号，则商为正；如果被除数和除数符号不同，则商为负。

4. 有理数除法的应用有理数的除法在实际生活中有许多应用。

例如：应用一：分数运算。

分数可以看作是有理数的一种特殊形式，所以分数的除法可以通过将除数的倒数乘以被除数来完成。

应用二：商业计算。

在商业计算中，除法用于计算利润率、成本比率以及各种经济指标。

应用三：比例和比率。

比例和比率是将两个量或数进行除法运算得到的结果。

总结：有理数的除法是数学中重要的一部分，通过将被除数乘以除数的倒数，我们可以得到商。

《有理数的除法》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在巩固学生在《有理数的除法》课程中学习的基本概念和运算方法，提高学生的计算能力和数学逻辑思维能力，培养学生独立解决问题的能力。

二、作业内容本作业设计主要围绕有理数的除法运算展开，具体包括以下内容：1. 基础练习：包括正数除以正数、负数除以正数、正数除以负数等基本情况的练习，旨在让学生熟练掌握除法的基本规则。

2. 进阶练习：在基础练习的基础上，增加含有小数、百分数等复杂情况的有理数除法练习，提高运算难度。

3. 应用题训练：通过设计一些实际问题背景的数学题目，让学生将所学的除法知识应用到实际生活中，提高学生的应用能力和解决问题的能力。

三、作业要求1. 准时完成：学生需在规定时间内完成作业，并按照教师要求提交。

2. 规范书写：学生在解题过程中应书写规范，答案要清晰、整洁。

3. 独立思考：鼓励学生在解题过程中独立思考，遇到问题可查阅资料或请教同学、老师。

4. 互相讨论：学生可与同学交流解题思路和方法，但需注明来源。

四、作业评价1. 评价标准：根据学生完成作业的准确性、速度和书写规范程度进行评价。

2. 评价方式：教师批改作业时，可采用百分制评分法，对学生的作业进行评分，并给出详细的批改意见。

3. 反馈方式：教师将批改后的作业发回给学生，让学生了解自己的不足之处，同时鼓励学生继续努力。

五、作业反馈1. 教师根据学生完成作业的情况，进行针对性的辅导和指导，帮助学生解决学习中的问题。

2. 对于共性问题，教师可在课堂上进行讲解和演示，帮助学生掌握正确的解题方法和思路。

3. 鼓励学生之间互相交流学习心得和解题方法，提高学习效率和学习效果。

4. 及时调整教学策略和方法，针对学生出现的问题进行重点讲解和训练。

同时注重因材施教，针对不同学生的特点和需求进行个性化教学指导。

作业设计方案（第二课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是巩固学生对于有理数除法运算的理解与掌握，提高学生的计算能力及对数学问题的逻辑分析能力，同时培养学生良好的学习习惯和自主学习的能力。

5.7有理数的除法xx课题组教学目标：1.掌握有理数除法法则，并能熟练进行有理数除法的运算；2.能正确求出负有理数的倒数；3.经历有理数除法法则的探究过程，会运用乘法解决有理数除法的问题，体会化归的数学思想.教学重点：有理数除法的运算方法和求负有理数倒数的方法.教学难点：探索、归纳有理数除法法则．教学过程：教师活动一、引入新知1.计算(–2)×(–3)，(–2)×3，(–2)×0.2.叙述有理数乘法法则.上节课我们学习了有理数的乘法运算，这节课我们学习有理数的除法.板书课题：5.7有理数的除法3.除法是乘法的逆运算，请把它们改写成除法算式.二、探索新知1.观察以上的式子，请试着归xx有理数除法的运算方法.2.有理数除法运算还有什么特殊性？预设学生：如果除数是零，商为零.追问：除数能为零吗？3.归纳有理数除法法则.学生归纳，教师补充.三、应用新知例题1计算：（1）35÷(–7)；学生活动（预设）教学设计意图(–2)×(–3)=6，(–2)×3=–6，(–2)×0= 0.两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数与零相乘，都得零.6÷(–2)=–3，6÷(–3)=–2，(–6)÷(–2)=3，(–6)÷3=–2，0÷(–2)=0.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.如果被除数是零，除数不为零，商为零.有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.零除以任何一个不为零的数，都得零.复习有理数乘法法则，除法是乘法的逆运算，引导学生把乘法算式改写成除法算式.此活动让学生通过独立思考后，发现其中的规律，培养学生发现问题、善于探索的能力．让学生感受从一般的性质到特殊的性质的研究问题的方法．通过与有理数的乘法法则的类比，让学生归纳有理数除法法则，培养学生数学语言的表述能力．通过例题1让学生学会运用有理数除法法则进行计算.（2）（–36）÷（–72）.解：(1)35(7)(357)5；教师板演并归纳运算步骤：1.确定商的符号（一“定”）；2.把绝对值相除（二“算”）.361(2)(36)(72).722学生口述，教师板书.例1中的除数都是整数，计算比较简单，如果除数是分数又该如何解决呢？3例题2求的倒数.4问：倒数的概念是什么？1除以一个不为零的数得到求负有理数的倒数的方法与的商叫做这个数的倒数.求正有理数的倒数的方法一样.解：331()(1)4444(1).3343所以，的倒数是.43求负分数倒数的方法是什(1)符号不变，(2)分子、分母么？交换位置.练习：求下列各数的倒数：–14，1解：–14的倒数是；3141，–0.25，–1，1，0.4问：倒数等于本身的有理数是什么？归纳：正数的倒数是正数，负数的倒数是负数，零没有倒34 1的倒数是；47–0.25的倒数是–4；–1的倒数是–1；1的倒数是1；0没有倒数.答：倒数等于本身的有理数是1或–1.教师引导学生归纳得到有理数除法运算分为两个步骤：先确定商的符号，再把绝对值相除.通过复习倒数的概念，引导学生根据倒数的意义计算.这里对倒数意义的理解和数学语言的符号化是学生理解的难度.通过小练习帮助学生复习求整数、带分数、小数的倒数的方法，同时强调符号，避免学生出错.数.倒数等于本身的有理数是±1.例题3计算：解:引导学生正确运用有理数除法法则，并使其与六年3（1）3；22（2）3.3你能发现什么结论？用文字语言怎样描述？四、课堂练习1.计算：(1)(–36)÷4；(2) 42÷(–35)；(3)0÷(–321)；33933==.222级第一学期分数除法的运算法则前后呼应. 学生纠错，师生讲评，以此巩固有理数除法法则的运用. 学生先谈收获，教师再22(3)()333393.2223(3)()=332答：甲数除以乙数（零除外）等于甲数乘以乙数的倒数. 解：(1)(–36)÷4=–(36÷4)=–9；(2) 42÷(–35)=–(42÷35)=1(2)；22(5)(4)；310(6)(5)().11(4)五、课堂小结这节课你有什么收获？教师补充：运用乘法解决有理数除法的问题，感受知识的互逆，体会转化的数学思想.六、作业：练习册习题5.7426；355(3)0÷(–321)=0；11(4)(2)；242(5)(4)6；31011(6)(5)().112提炼总结，提高学生的认识1.有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负，水平和概括能力．并把绝对值相除.零除以任何一个不为零的数，都得零；2.求负有理数的倒数；3.两个有理数相除的运算步骤：一“定”，二“改”，三“倒”，四“算”.。

5.7有理数的除法教学目标1.了解有理数除法的意义，掌握有理数除法法则，会进行有理数的除法运算.2.理解有理数倒数的意义，了解有理数除法也可分为商的符号确定和绝对值运算两部分组成.3. 知道除法是乘法的逆运算，0不能作除数，初步形成逆向思维.教学重点与难点重点：有理数的除法法则和倒数概念.难点：除法与乘法的互换.教学过程一、创设问题情境1．叙述有理数乘法法则.计算：（－3）×4＝________； （－3）×______＝－12；（－3）×（－4）＝______； （－3）×______＝ 12.由此我们也得到了：(-12)÷(-3)＝4 ，12÷(-3)＝-4如果在除数或被除数中出现了负数该怎样计算呢？即一般有理数如何进行除法运算？二、合作交流，探索发现1．你能选择适当的数填入括号内吗？(-8)÷4＝（ ）；(-12)÷(-3)＝（ ）；0÷(-2)＝（ ）2．完成上题，把你的想法在组内交流.3．观察上题中的式子，发现了什么？用你的语言描述出来.4．归纳有理数除法法则.5．比较乘除法法则的异同.三、应用新知，尝试成功1．例1 计算：(1)35÷(-7) (2)(-36)÷(-72)2．有理数的倒数：1除以一个数所得的商叫做这个数的倒数.例2 如何求43-的倒数呢？a -()0≠a 的倒数呢？qp -()0,0≠≠q p 的倒数呢？ 3．有理数范围内0有没有倒数？4．有理数范围内什么数的倒数等于它本身？5．例3 计算：（1）()233-⨯-；（2）()⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷-323 计算并比较上述二题的结果，你发现了什么？同桌二人相互各出一组题来验证你们的发现.四、巩固练习，体验成功课堂练习：课后练习 5.7补充练习：计算：（1）)313()5()212(-⨯-÷- （2）75.0)431(218)522(52--⨯--÷ （3）433)712217(÷-- 五、整理知识，形成结构 （1）有理数的除法法则是什么？（2）怎样求负数的倒数？（3）除以一个数等于__________；（4）反思：今天有什么收获，还有什么问题？六、作业：练习册 习题5.7。