黑龙江省2016学年普通高中学业水平考试数学试题

．如图所示的由六个小正方体组成的几何体的俯视图是（）．．．．．如图，点A⊙O上的三点，已知∠AOB=100∘的度数是（C．50∘C．213D．，则下列比例式正确的是（C．AEEC =BFFC图象的一部分，图象过点③+c=0；④abc<.其中正确的个数是（C．3D．21~22题各7分，23~24题各，其中x=3tan30∘++1的方格纸中，有线段AB和线段为一边的菱形ABEF，所画的菱形的各顶点必须在小正方形的顶点上，为底边画出等腰三角形CDK，点K在小正方形的顶点上，且FK，请直接写出线段FK的长x的图象与反比例函数的图象交于．如图，在平面直角坐标系中，已知正比例函数y=13）如图1，求证：∠EAC=∠ABO；）如图2，延长AE交⊙O于点D，连接OD交BC于点F，CD=CF，求证：AB=AD；）在（2）的条件下，延长BC至点I，连接AI交⊙O于点H，连接CH、DH、DI，连接AO并延长交=3OF，∠BAI=2∠HDI，CI=5，求⊙O的半径长.．如图在平面直角坐标系中抛物线y=ax2+bx+4经过点A(−2,0)、B(4,0)，点D为抛物线顶点.）如图1，求a、b的值；）如图2，横坐标为t的点P在第一象限对称轴右侧抛物线上，连接PA、PD、AD，△PAD的面积为S 与t之间的函数关系式，直接写出自变量t的取值范围；）在（2）的条件下，AP交y轴于点E，连接BC，点F在线段BC上，且在PE上方，连接PF、EF，∠PFE 90∘，S△PEF=9AE2，点Q在第四象限抛物线上，连接AQ，DQ，∠AQD=2∠PDQ，求线段PQ的长.16=1a，⇒a=−6.∴3≠0)把A(−6,−2)代入∵C(4,1)，∴PC=4−1=3.OD=3∴S△POC=1/2PC×OD=1/2×2×2=9/224．（1）证明：∵CE，CF分别平分∠ACB，∠ACD∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠1+∠2+∠3+∠4=180∘，∴2∠1+2∠3=180∘∴∠1+∠3=90∘，∵EF//BC∴∠5=∠2=∠1，∴EO=OC∵Rt△ECF中，∠5+∠6=90∘∵∠1+∠3=90，∴∠1=∠5，∴∠3=∠6∴OC=OF，∵EO=OC，OC=OF，∴EO=OF（2）当O运动到AC中点时，四边形AECF是矩形∵O为AC中点，∴AO=OC∵EO=OF，∴四边形AECF是平行四边形∵∠ECF=∠1+∠3=90∘∴平行四边形AECF是矩形25．（1）解：y=−10x+520，（2）(x−20)(−10x+520)=2520解得，x1=38，x2=34答：略（3）设，获利w元。

黑龙江省哈尔滨市师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期期中考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2|230A x x x =-+≤，(){}2ln 2B x y x==-，则A B = （）A ．()1,3B．⎡-⎣C．⎡⎤⎣⎦D．(⎤⎦2．复数20252025i z =-在复平面内对应的点所在的象限为（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．函数()2cos f x x x =+在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为（）A ．π2B ．2C．π6D ．π13+4．已知a是单位向量，则“||||1a b b +-= 是“//a b ”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知函数()()e 1x a xf x -⎛⎫= ⎪⎝⎭在区间()1,0-上单调递增，则a 的取值范围是（）A ．[)0,+∞B ．[)2,-+∞C ．(],0-∞D ．(],2-∞-6．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3614SS =，则1236S SS =+（）A ．43B ．8C ．9D ．167．菱形ABCD 边长为2，P 为平面ABCD 内一动点，则()()PA PB PC PD +⋅+的最小值为（）A ．0B ．2-C ．2D ．4-8．已知函数()f x 为偶函数，且满足()()1313f x f x -=+，当∈0,1，()31xf x =-，则()3log 32f 的值为().A ．31B ．5932C ．4932D ．21132二、多选题9．函数π()2sin()(1)3f x x ωω=+≤的图象如图所示，则下列说法中正确的是（）A ．1ω=B ．函数的图象关于点π,03⎛⎫⎪⎝⎭对称C ．将()y f x =向左平移π3个单位长度，得到函数()2cos()6πg x x =+D ．若方程(2)f x m =在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上有2个不相等的实数根，则m 的取值范围是2⎤⎦10．设正实数,m n 满足1m n +=，则（）A ．1mm n+的最小值为3B C的最小值为12D ．33m n +的最小值为1411．已知函数1()(0)x f x x x =>，则下列说法中正确的是（）A ．方程1()()f x f x=有一个解B ．若()()g x f x m =-有两个零点，则1e0e m <<C ．若21()(log ())2a h x x f x =-存在极小值和极大值，则(1,e)a ∈D ．若()0f xb -=有两个不同零点，2(())()0f x b x cx d --+≤恒成立，则2ln bc <<三、填空题12．中国冶炼块铁的起始年代虽然迟至公元前6世纪，约比西方晚900年，但是冶炼铸铁的技术却比欧洲早2000年.现将一个轴截面为正方形且侧面积为36π的实心圆柱铁锭冶炼熔化后，浇铸成一个底面积为81π的圆锥，则该圆锥的高度为.13．已知某种科技产品的利润率为P ，预计5年内与时间(t 月)满足函数关系式(t P ab =其中a b 、为非零常数).若经过12个月，利润率为10%，经过24个月，利润率为20%，那么当利润率达到50%以上，至少需要经过个月(用整数作答，参考数据：lg 20.3010)≈14．已知b 为单位向量，,a c 满足42a b c b ⋅=-=，则12a c - 的最小值为四、解答题15．在ABC V 中，a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边，且22()b a a c c -=-(1)求角B .(2)若b = ABC 周长的最大值.16．已知数列{}n a 满足*3212122,N 22n n a a a n a n -++++=∈ (1)求{}n a 的通项公式；(2)在n a 和1n a +之间插入n 个数，使得这2n +个数依次构成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .17．行列式在数学中是一个函数，无论是在线性代数、多项式理论，还是在微积分学中（比如说换元积分法中），行列式作为基本的数学工具，都有着重要的应用．将形如11122122a a a a 的符号称二阶行列式，并规定二阶的行列式计算如下：1112112212212122a a a a a a a a =-，设函数22sin sin ()()π26cos()x xf x x x =∈+R ．(1)求()f x 的对称轴方程及在[0,]π上的单调递增区间；(2)在锐角△ABC 中，已知()32f A =-，2133AD AB AC =+，cos 3B =，求tan BAD ∠.18．已知数列{}n a 满足13a =,11,33,n n n a n n a a n n +⎧+⎪=⎨⎪-⎩为奇数为偶数（N n *∈）.(1)记232n n b a =-（N n *∈），证明：数列{}n b 为等比数列，并求{}n b 的通项公式；(2)求数列{}n a 的前2n 项和2n S ；(3)设12121n n n b c b +-=-（N n *∈），且数列{}n c 的前n 项和为n T ，求证：3ln 131n n n T n -<--（N n *∈）.19．已知函数ln ()e sin ,(0,)x a f x x x -=-∈+∞.(1)当e a =时，求()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程；(2)若32(())(())ln(1())0f x f x f x -++≥恒成立，求a 的范围；(3)若()f x 在(0,π)内有两个不同零点12,x x ，求证：12ππ2x x <+<.。

2023年黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
A ．22i +
B ．4．已知集合{}3,4,5A =，B
A ．AA '
14．把2π3
弧度化成角度是（
A ．30︒
15．函数1x y a =+（A ．()
0,1-16．甲、乙两名运动员进行一次射击比赛，若甲中靶的概率为甲乙射击互不影响，则两人都中靶的概率为（
A ．
16
17．已知3
sin 5
α=
，且A ．45
-
18．四个变量1y ，y 速度越来越快的变量是（
A．1B．22．下列各式正确的是（
A ．
sin sin()
s βαβ⋅+B ．
sin(24．已知定义域为R 的偶函数二、填空题
三、解答题
29．立德中学篮球队10名男篮运动员身高数据如下：（单位：cm ）175178182182182184186189192195(1)直接写出这组数据的众数和中位数；
(2)如果从上表里身高超过185cm 的运动员中随机抽取两名运动员，求这两名运动员身高都超过190cm 的概率.
30．如图，直线12l l ∥，1AB l ⊥，3AB =，P 为线段AB 上一点，且2AP =，点M 、N 分别为直线1l 、2l 上的点，且60MPN ∠=︒，设AMP α∠=.
(1)当30α=︒，求MPN △的面积MPN S ；
(2)用α表示MPN △的面积()S α，并求()S α的最小值.。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 若的展开式中所有项的二项式系数之和为16，则的展开式中的常数项为（ ）A ．6B ．8C ．28D ．562. 已知，则（ ）A．B．C．D． 3. “”是“函数的最小值等于2”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．既不充分也不必要条件D ．充要条件4. 下列选项中，说法正确的是（ ）A ．“”的否定是“”B ．若向量满足，则与的夹角为钝角C ．若，则D ．“”是“”的必要条件5. 在平面直角坐标系中，若点与点关于直线对称，则等于（ ）A．B．C．D．6. 已知集合，则（ ）A．B．C．D．7. 过点的直线与抛物线交于，，的中点在直线上，且与圆相切，则等于（）A．B ．2C ．3D ．48.若函数是幂函数，则函数(其中且)的图象过定点（ ）A．B．C．D．9. 设向量，，则（ ）A．B．与的夹角为C ．与共线D．10.若，且，则（ ）A．B．C．D．11. 已知a ，，，，则下列说法正确的是（ ）A ．z的虚部是B．C．D ．z 对应的点在第二象限12. 已知某圆锥的轴截面为正三角形，侧面积为，该圆锥内接于球，则球的表面积为__________.13. 定长为4的线段两端点在抛物线上移动，设点为线段的中点，则点到轴距离的最小值为__________．2023年黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试题四、填空题五、填空题六、解答题七、解答题14. 设集合，，则的元素个数为__________个．15. 1.设等差数列的前项和，且满足，则的最大是________；数列（）中最大的项为第____________项.16.已知数列的前项和为，且，记，则________；若数列满足，则的最小值是________．17. 用表示不超过的最大整数，已知数列满足：，，.若，，则________；若，则________.18. 如图，两射线、均与直线l 垂直，垂足分别为D 、E 且.点A 在直线l 上，点B 、C 在射线上.(1)若F 为线段BC 的中点（未画出），求的最小值；(2)若为等边三角形，求面积的范围.19. 2021年5月11日，第七次全国人口普查结果显示，中国65岁及以上人口为19064万人，占总人口的．随着出生率和死亡率的下降，我国人口老龄化趋势日益加剧，与老年群体相关的疾病负担问题越来越受到社会关注，虚弱作为疾病前期的亚健康状态，多发于65岁以上人群.虚弱指数量表（frailty in—dex ，FI，取值范围是）可以用来判定老年人是否虚弱，若FI 分，则定义为“虚弱”.某研究团队随机调查了某地1170名男性与1300名女性65岁及以上老年人的身体状况，并采用虚弱指数量表分析后得出虚弱指数频数分布表如下：FI男41157910179女417463162258(1)根据所调查的65岁及以上老年人的虚弱指数频数分布表作出65岁及以上老年人虚弱与性别的列联表，并分析能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为老年人身体虚弱与性别有关？非虚弱虚弱总计男1170女1300总计(2)以频率估计概率，现从该地区随机调查两位男性65岁以上老年人，这两位老人中身体虚弱的人数为随机变量，求随机变量的分布列、期望与方差？附表及公式：，．0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828八、解答题九、解答题十、解答题20. 如图，在三棱锥中，平面平面是的中点．（1）求证：平面；（2）设点N 是的中点，求三棱锥的体积．21. 2024年高三数学适应性考试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得6分，部分选对得3分，有错误选择或不选择得0分．(1)已知某同学对其中4道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，且每题的解答相互独立，记该同学在这4道单选题中答对的题数为随机变量X ．（i ）求；（ii ）求使得取最大值时的整数；(2)若该同学在解答最后一道多选题时，除确定B ，D 选项不能同时选择之外没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，求该同学在答题过程中使得分期望最大的答题方式，并写出得分的最大期望．22. 如图所示，已知两个正方形ABCD 和DCEF 不在同一平面内，M ，N 分别为AB ，DF 的中点．(1)若平面ABCD ⊥平面DCEF ，求直线MN 与平面DCEF 所成角的正弦值；(2)用反证法证明：直线ME 与BN是两条异面直线．。

2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（ ）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（ ）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。

一、单选题二、多选题三、填空题1. 已知命题，，命题若是指数函数，则．则下列命题中为真命题的是（ ）A．B．C．D．2. 记的内角，，的对边分别为，，，分别以，，为边长的正三角形的面积依次为，，，且，则（ ）A．B．C．D．3. 体积为的某三棱锥的三视图如下图所示（其三个视图均为直角三角形），则该三棱锥四个面的面积中，最大值为（）A．B．C．D ．64. 下列常数集表示正确的是( )A ．实数集RB ．整数集QC ．有理数集ND ．自然数集Z5. 已知，，，则（ ）A．B．C．D．6. 下列关于回归分析的说法中的是（ ）A．线性回归方程对应的直线不一定经过其样本数据中的点B ．残差图中的残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，宽度越窄，则说明模型拟合精度越高C ．若回归方程为，则当时，的值必为58.79D ．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，将其变换后得到线性方程，则，的值分别是和0.3错误7. 下列函数中，最小正周期为的是（ ）A．B．C．D．8. 在等比数列中，满足的通项公式可能是（ ）A．B．C．D．9. 已知向量，，若向量与向量共线，则实数的值为_____.10. 九连环是中国的一种古老智力游戏，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷．中国的末代皇帝溥仪（1906—1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）．现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，，则______．2023年黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试题(高频考点版)2023年黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试题(高频考点版)四、解答题11.已知椭圆，经过仿射变换，则椭圆变为了圆，并且变换过程有如下对应关系：①点变为；②直线斜率k 变为，对应直线的斜率比不变；③图形面积S变为，对应图形面积比不变；④点、线、面位置不变（平行直线还是平行直线，相交直线还是相交直线，中点依然是中点，相切依然是相切等）．过椭圆内一点作一直线与椭圆相交于C两点，则的面积的最大值为______．12. 已知，，，为有穷整数数列，对于给定的正整数m ，若对于任意的，在中存在，，，使得，则称为“同心圆数列”．若为“同心圆数列”，则k 的最小值为______．13.三棱锥中，，且异面直线AC 与BD 所成的角为，E ，F 分别是棱DC ，AB 的中点，求直线EF 和AC 所成的角.14. 已知双曲线过点，左右顶点分别为，过左焦点且垂直于轴的直线交双曲线于两点，以为直径的圆恰好经过右顶点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是直线上异于的一点，连接分别与双曲线相交于，当轴正半轴上的虚轴端点到直线的距离最大时，求直线的方程.15. （1）证明：；（2）记的内角，，所对的边分别为，，，已知.（ⅰ）证明：；（ⅱ）若成立，求实数的取值范围.16. 在三棱锥中，，，.（1）求证：平面平面；（2）若点满足，求二面角的余弦值.。

一、单选题1. 已知函数的一条对称轴方程为，则函数的单调递增区间为（ ）A．，B ．，C．，D ．，2. 名男生和名女生站一排照相，则名女生互不相邻且都不站两端的站法有（ ）A．种B．种C．种D．种3. 设复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4. 已知函数图象的一条对称轴为，若，则的最小值为（ ）A．B ．C．D．5. 图1是南北方向、水平放置的圭表（一种度量日影长的天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成）示意图，其中表高为h ，日影长为l .图2是地球轴截面的示意图，虚线表示点A 处的水平面.已知某测绘兴趣小组在冬至日正午时刻（太阳直射点的纬度为南纬）在某地利用一表高为的圭表按图1方式放置后，测得日影长为，则该地的纬度约为北纬（）（参考数据：，）A．B．C．D．6.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A．B．C．D．7.记为等差数列的前项和，若，则（ ）A ．144B ．120C ．100D ．808. 已知集合,,若，则的取值是A．B．C．D．9.已知集合，，则的子集个数为（ ）A ．8B ．6C ．4D ．210. “（其中是虚数单位）是纯虚数”是“”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要2023年黑龙江省普通高中学业水平合格性考试数学试题二、多选题三、填空题四、填空题五、解答题11. 若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值范围为（ ）A．B．C．D．12. 已知复数z满足，则（ ）A ．2B．C ．3D ．513. 已知函数令，则下列说法正确的是（ ）A．B ．方程有3个根C．方程的所有根之和为－1D ．当时，14.已知函数（）的初相为，且函数的最小正周期为，则下列结论正确的是（ ）A．的图象关于直线对称B．函数的一个单调递减区间为C ．若把函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则为偶函数D ．若函数在区间上的值域为，则15. 已知函数是偶函数，且．当时，，则下列说法正确的是（ ）A ．是奇函数B．在区间上有且只有一个零点C ．在上单调递增D ．区间上有且只有一个极值点16. 设函数，则（ ）A．是偶函数B ．在上单调递增C．的最小值为D ．在上有个零点17. 已知向量，，且与共线，则______.18. 若无穷数列的所有项都是正数，且满足，则______．19.若等比数列的前项和为，且，，则_____．20. 函数f （x ）=x 2+acosx+bx ，非空数集A={x|f （x ）=0}，B={x|f （f （x ））=0}，已知A=B ，则参数a 的所有取值构成的集合为_____；参数b 的所有取值构成的集合为_____．21.已知函数，则的最小值是________，若关于的方程有且仅有四个不同的实数解，则整数的一个取值为________.22. 某校高中“数学建模”实践小组欲测量某景区位于“观光湖”内两处景点，之间的距离，如图，处为码头入口，处为码头，为通往码头的栈道，且，在B 处测得，在处测得（均处于同一测量的水平面内）六、解答题七、解答题八、解答题(1)求两处景点之间的距离；(2)栈道所在直线与两处景点的连线是否垂直？请说明理由.23.已知函数．（1）化简并求函数的最小正周期；（2）求使函数取得最大值的集合．24. 已知国家某5A 级大型景区对每日游客数量拥挤等级规定如下表：游客数量（百人）拥挤等级优良拥挤严重拥挤该景区对月份的游客量作出如图的统计数据：(1)下面是根据统计数据得到的频率分布表，求，的值；游客数量（百人）天数1041频率(2)估计该景区月份游客人数的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）：(3)某人选择在月日至月日这天中任选天到该景区游玩，求他这天遇到的游客拥挤等级均为优的概率.25.已知函数为其极小值点．(1)求实数的值；(2)若存在，使得，求证：．26.如图，多面体中，为正三角形，，平面平面平面．(1)求证：；(2)求该多面体的表面积．九、解答题27. A ，B 两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A 队队员是，，，B队队员是，，，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负的概率如下表：对阵队员A 队队员胜的概率A 队队员负的概率对对对现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分，设，分别表示A 队、B 队最后所得总分．求：(1)，的分布列；(2)，．28. 向量，如图所示，求：(1)；(2)．。

哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（答案在最后）（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）1.在空间直角坐标系中，点()2,1,4-关于x 轴对称的点坐标是（）A.()2,1,4-- B.()2,1,4 C.()2,1,4--- D.()2,1,4-2.若向量{}123,,e e e 是空间中的一个基底，那么对任意一个空间向量a，存在唯一的有序实数组(),,x y z ，使得：123a xe ye ze =++ ，我们把有序实数组(),,x y z 叫做基底{}123,,e e e 下向量a 的斜坐标.设向量p 在基底{},,a b c 下的斜坐标为()1,2,3-，则向量p 在基底{},,a b a b c +-下的斜坐标为（）A.13,,322⎛⎫--⎪⎝⎭B.13,,322⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭ D.13,,322⎛⎫-⎪⎝⎭3.已知两条直线12:410,:20l ax y l x ay +-=++=，则“2a =”是“12l l //”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.已知平面α的一个法向量(2,2,1)n =--，点()1,3,0A -在平面α内，若点()2,1,P z -到α的距离为103，则z =（）A.16B.4- C.4或16- D.4-或165.已知点()2,3A -，()3,2B --，若过点()1,1的直线与线段AB 相交，则该直线斜率的取值范围是（）A.[)3,4,4⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦B.(]3,4,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣--⋃⎭∞C.3,44⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D.34,4⎡⎤-⎢⎣⎦6.直线l 过点()2,3A ，则直线l 与x 轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积最小值为（）A.9B.12C.18D.247.如图，在平行六面体ABCD A B C D -''''中，5,3,7AB AD AA ='==，60BAD ∠=︒，45BAA DAA ''∠=∠=︒，则AC '的长为（）A. B.C.D.8.正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，所有棱长均为2，点E ，F 分别为棱BB 1，A 1C 1的中点，若过点A ，E ，F 作一截面，则截面的周长为（）A. B.C. D.2+二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）9.下列命题中正确的是（）A.若向量,a b 满足0a b ⋅<，则向量,a b 的夹角是钝角B.若,,OA OB OC 是空间的一组基底，且232OD OA OB OC =-+，则,,,A B C D 四点共面C.若向量{},,a b c 是空间的一个基底，若向量m a c =+，则{},,a b m 也是空间的一个基底D.若直线l 的方向向量为(1,0,3)e = ，平面α的法向量为(2,0,2)n =-，则直线l 与平面α所成角的余弦值为5510.以下四个命题为真命题的是（）A.过点()10,10-且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为11542y x =-+B.直线()cos 20R x θθ+=∈的倾斜角的范围是π5π0,,π66⎡⎤⎡⎫⎪⎢⎢⎣⎦⎣⎭C.直线10x y +-=与直线2210x y ++=D.直线()()()1213m x m y m m -+-=-∈R 恒过定点()5,2-11.如图，在多面体ABCDES 中，SA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 是正方形，且//DE SA ，22SA AB DE ===，,M N 分别是线段,BC SB 的中点，Q 是线段DC 上的一个动点（含端点,D C ），则下列说法正确的是（）A.不存在点Q ，使得NQ SB⊥B.存在点Q ，使得异面直线NQ 与SA 所成的角为60o C.三棱锥Q AMN -体积的最大值是23D.当点Q 自D 向C 处运动时，直线DC 与平面QMN 所成的角逐渐增大第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）12.已知()()()1,1,0,0,3,0,2,2,2A B C ，则向量AB 在AC上的投影向量的坐标是______．13.当点()2,1P --到直线l ：()()()131240x y λλλλ+++--=∈R 距离的最大值时，直线l 的一般式方程是______．14.离散曲率是刻画空间弯曲性的重要指标．设P 为多面体Γ的一个顶点，定义多面体Γ在点P 处的离散曲率为()122311112πP k k k Q PQ Q PQ Q PQ Q PQ -∅=-∠+∠++∠+∠ ，其中i Q （1i =，2，……，k ，3k ≥）为多面体Γ的所有与点P 相邻的顶点，且平面12Q PQ ，平面23Q PQ ，…，平面1k k Q PQ -和平面1k Q PQ 为多面体Γ的所有以P 为公共点的面.如图，四棱锥S ABCD -的底面ABCD 是边长为2的菱形，且2AC =，顶点S 在底面的射影O 为AC 的中点.若该四棱锥在S 处的离散曲率13S ∅=，则直线OS 与平面SAB 所成角的正弦值为___________.四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15.已知直线()():12360m a x a y a -++-+=，:230n x y -+=.（1）若坐标原点O 到直线m ，求a 的值；（2）当0a =时，直线l 过m 与n 的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l 的方程.16.已知ABC V 的顶点()1,2,A AB 边上的中线CM 所在直线的方程为210,x y ABC +-=∠的平分线BH 所在直线的方程为y x =.（1）求直线BC 的方程和点C 的坐标；（2）求ABC V 的面积．17.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PA PD ⊥，PA PD =，AB AD ⊥，1AB =，2AD =，AC CD ==(1)求证：PD ⊥平面PAB ．(2)在棱PA 上是否存在点M ，使得//BM 平面PCD ？若存在，求AMAP的值；若不存在，说明理由．18.已知两个非零向量a ，b ，在空间任取一点O ，作OA a = ，OB b =，则AOB ∠叫做向量a ，b 的夹角，记作,a b <> .定义a 与b 的“向量积”为：a b ⨯是一个向量，它与向量a ，b 都垂直，它的模sin ,a b a b a b ⨯=.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，4DP DA ==，E 为AD 上一点，AD BP ⨯=.（1）求AB 的长；（2）若E 为AD 的中点，求二面角P EB A --的余弦值；19.如图①所示，矩形ABCD 中，1AD =，2AB =，点M 是边CD 的中点，将ADM △沿AM 翻折到PAM △，连接PB ，PC ，得到图②的四棱锥P ABCM -，N 为PB 中点，（1）若平面PAM ⊥平面ABCD ，求直线BC 与平面PMB 所成角的大小；（2）设P AM D --的大小为θ，若π0,2θ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最小值.哈尔滨市2024-2025学年度上学期十月学业阶段性评价考试高二数学学科考试试卷（考试时间：120分钟满分150分）第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意）【1题答案】【答案】C【2题答案】【答案】D【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】C【5题答案】【答案】B【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对得得部分分，有选错的得0分）【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】BD【11题答案】【答案】CD第Ⅱ卷（共92分）三、填空题（共3个小题，每小题5分）【12题答案】【答案】111,,663⎛⎫ ⎪⎝⎭【13题答案】【答案】3250x y +-=【14题答案】【答案】1323-四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）【15题答案】【答案】（1）14a =-或73a =-（2）370x y -=或120x y -+=【16题答案】【答案】（1）2310x y --=，51(,)77，（2）107.【17题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)存在，AM AP 的值为14.【18题答案】【答案】（1）2（2）13-【19题答案】【答案】（1）π6；（2）11。

黑龙江省普通高中学业水平考试数学试卷考生须知：1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。

2.问答第Ⅰ卷时。

选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答且卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共12小题，每小题4分，满分48分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1、已知集合{1,2,3,4,5,6,7}U =，{2,5,4}A =，{1,3,5,7}B =，则()U C A B ⋂=（ ）A {1,3,5}B {1,3,7}C {1,5,7}D {3,5,7}2、5sin3π=（ ） A12 B 12- CD3、已知函数()lg(1)f x x =+，则(9)f =（ ）A 1B 1- C32 D 32- 4、等差数列{}n a 中，12a =-，44a =，则n a =（ ）A 21n +B 22n +C 21n -D 24n -5、已知向量(1,1),(2,),x ==ab 若a +b 与-4b 2a 平行，则实数x 的值是（ ）A 2-B 0C 1D 26、设0a <，01b <<，则2A a B ab C a b ===，，的大小关系是（ ）A ABC >> B A C B >> C C B A >>D C A B >>7、有一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 16B 20C 24D 328、圆224250x y x y +---=的圆心坐标是（ ）A (2,1)--B (2,1)C (2,1)-D (1,2)-9、点()2,1P -为圆()22125x y -+=的弦AB 的中点,则直线AB 的方程为（ ）A 10x y +-=B 230x y +-=C 210x y --=D 30x y --=10、执行如图1所示的程序框图,若输入n 的值为3,则输出s 的值是 （ ）A 1B 2C 4D 7图 111、数列{}n a 的通项公式11++=n n a n ，则该数列的前几项之和等于9 （ ）A 98B 99C 96D 9712、已知直线//a β平面，直线b β⊂，则下列说法正确的是（ ）A 有且只有一个平面α，使b α⊂且a α⊥B 若存在平面α，使b α⊂且a α⊥，则α是唯一的C 不存在平面α，使b α⊂且a α⊥D 有无数多个平面α，使b α⊂且a α⊥第Ⅱ卷二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，满分16分.）13、某校共有高中学生1000人，其中高一年级400人，高二年级340人，高三年级260人，现采用分层抽样抽取容量为50的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为14、已知函数tan ,2010()32010,2010x x f x x x π⎧<⎪=⎨⎪-≥⎩,则[](2010)f f = 15、若tan 2α=,16、某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：[40,50)，[50,60)，频率分布直方图（如图所示）．则分数在[70,80) 内的人数是________三、解答题：（本大题共4小题，满分36分. 解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17、（本小题满分8分）奇函数)(x f 在定义域)1,1(-内是增函数，且0)1()1(2<-+-a f a f ，求实数a 的取值范围。

2015—2016学年度第一学期期末考试高一数学试卷考试说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。

（1） 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；（2） 请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，在草稿纸、试题上答题无效。

（3） 保持卡面清洁，不得折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。

第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（每题5分） 1.若，则 ( )．A ．B ．1C ．D ．02．40sin 20cos 40cos 20sin +的值等于( )．A ．B ．C ．D ．3若则角的终边位于（ ）A.第一、二象限B.第二、四象限C.第二、三象限D.第三、四象限 4. 化简的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 函数)32(log 2122++-+--=x x x x y 的定义域为 ( ) A ． B ． C ．}3221|{<<<≤x x x 或 D ． 6.已知)2sin(2)3sin(απαπ+-=-，则等于 ( )A ．B ．C ．D ． 7.．已知，，．则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．c ＞a ＞bD ．c ＞b ＞a8．将函数y ＝sin(6x ＋π4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π8个单位，得到的函数的一个对称中心是( )A ．(π2，0)B ．(π4，0)C ．(π9，0)D ．(π16，0)9．已知是定义在R 上的奇函数，当时（为常数），则的值( )A ．B ．C ．D ．10.若则3cos 10s 5in παπα⎛⎫- ⎪⎝⎭=⎛⎫- ⎪⎝⎭（ ）A. B. C. D.11.函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为 ()A.))(43,41(Z k k k ∈+-ππ B. ))(432,412(Z k k k ∈+-ππ C ))(43,41(Z k k k ∈+-D. ))(432,412(Z k k k ∈+- 12. （1+tan21°）(1+tan22°)(1+tan23°)(1+tan24°)的值是 ( ).A B C D 二、填空题（每题5分）13. 半径为2cm ，圆心角为的扇形面积为 ； 14. 已知，则 ；15. 如图，在平面直角坐标系中，以x 轴为始边作两个锐角、，它们的终边分别与单位圆交于A 、B 两点．已知点A 的横坐标为,B 点的纵坐标为．则的值为 .16.定义域为的函数1(2)|2|()1(2)x x f x x ⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩，若关于的方程恰有5个不同的实数解1234512345,,,,,()x x x x x f x x x x x ++++则等于 . 三、解答题17. （本题满分10分）求值22sin 120cos180tan 45cos (330)sin(210)︒+︒+︒--︒+-︒18.( 本题满分12分)已知函数⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧≥<≤<+=)2(21)20()0(2)(2x x x x x x x f(1)(2)画出此函数的图象。