高三数学必修五《等差数列的前n项和》教案(Word版)

等差数列的前n项和教案一、教学目标：1. 让学生理解等差数列的概念，掌握等差数列的前n项和的公式。

2. 培养学生运用等差数列的前n项和公式解决实际问题的能力。

3. 培养学生的逻辑思维能力和团队合作能力。

二、教学内容：1. 等差数列的概念及通项公式。

2. 等差数列的前n项和公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

三、教学重点与难点：1. 教学重点：等差数列的概念，等差数列的前n项和公式。

2. 教学难点：等差数列的前n项和的性质。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探究等差数列的前n项和公式。

2. 运用案例分析法，让学生通过解决实际问题，巩固等差数列的前n项和公式。

3. 采用小组讨论法，培养学生的团队合作能力和逻辑思维能力。

五、教学过程：1. 导入：引导学生回顾等差数列的概念及通项公式。

2. 新课：讲解等差数列的前n项和公式，并通过案例分析让学生理解并掌握公式。

3. 练习：布置练习题，让学生运用前n项和公式解决问题。

4. 拓展：讲解等差数列的前n项和的性质，引导学生进行思考。

5. 总结：对本节课的内容进行总结，强调重点知识点。

6. 作业布置：布置课后作业，巩固所学内容。

六、教学活动：1. 课堂讨论：让学生举例说明在生活中哪些问题可以用等差数列的前n项和公式解决，促进学生对知识的理解和应用。

2. 小组合作：学生分组，每组选择一个实际问题，运用等差数列的前n项和公式进行解决，并展示解题过程和结果。

七、教学评价：1. 课堂提问：通过提问了解学生对等差数列的前n项和公式的掌握情况。

2. 课后作业：布置有关等差数列前n项和的练习题，评估学生对知识的吸收和运用能力。

3. 小组报告：评估学生在小组合作中的表现，包括问题选择、解题过程、结果展示等方面。

八、教学资源：1. PPT课件：制作包含等差数列前n项和公式的PPT课件，辅助教学。

2. 实际问题案例：收集一些生活中的实际问题，用于引导学生应用所学知识解决实际问题。

等差数列的前 n 项和（第一课时）教学设计【教学目标】一、知识与技能1.掌握等差数列前n 项和公式；2.体会等差数列前n 项和公式的推导过程 ;3.会简单运用等差数列前n 项和公式。

二、过程与方法1．通过对等差数列前n 项和公式的推导 ,体会倒序相加求和的思想方法；2.通过公式的运用体会方程的思想。

三、情感态度与价值观结合具体模型 ,将教材知识和实际生活联系起来 ,使学生感受数学的实用性 ,有效激发学习兴趣 ,并通过对等差数列求和历史的了解 ,渗透数学史和数学文化。

【教学重点】等差数列前 n 项和公式的推导和应用。

【教学难点】在等差数列前 n 项和公式的推导过程中体会倒序相加的思想方法。

【重点、难点解决策略】本课在设计上采用了由特殊到一般、从具体到抽象的教学策略。

利用数形结合、类比归纳的思想，层层深入，通过学生自主探究、分析、整理出推导公式的思路，同时，借助多媒体的直观演示，帮助学生理解，师生互动、讲练结合，从而突出重点、突破教学难点。

【教学用具】多媒体软件，电脑【教学过程】一、明确数列前n 项和的定义，确定本节课中心任务:本我来学《等差数列的前n 和》，那么什么叫数列的前 n 和呢，于数列 {a n} ：a1，a2，a3，⋯， a n，⋯我称 a1+a2+a3+⋯ +a n数列 {a n} 的前 n 和，用 s n表示， s n=a1+a2+a3+⋯ +a n，如，⋯⋯S1 =a1S 7 =a1+a2+a3+ +a7，下面我们来共同探究如何求等差数列的前n 项和。

二、问题牵引，探究发现问题 1：（播放媒体资料情景引入）古算术《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？即: S100=1+2+3+·+100=？著名数学家高斯小时候就会算，闻名于世 ;那么小高斯是如何快速地得出答案的呢？请同学们思考高斯方法的特点，适合类型和方法本质。

高三数学必修五《等差数列的前n项和》教案【篇一】教学准备教学目标掌握等差数列与等比数列的性质,并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题.教学重难点掌握等差数列与等比数列的性质,并能灵活应用等差(比)数列的性质解决有关等差(比)数列的综合性问题.教学过程【示范举例】例1：数列是首项为23,公差为整数,且前6项为正,从第7项开始为负的等差数列(1)求此数列的公差d;(2)设前n项和为Sn,求Sn的最大值;(3)当Sn为正数时,求n的最大值.【篇二】教学准备教学目标数列求和的综合应用教学重难点数列求和的综合应用教学过程典例分析3.数列{an}的前n项和Sn=n2-7n-8,(1)求{an}的通项公式(2)求{|an|}的前n项和Tn4.等差数列{an}的公差为,S100=145,则a1+a3+a5+…+a99=5.已知方程(x2-2x+m)(x2-2x+n)=0的四个根组成一个首项为的等差数列,则|m-n|=6.数列{an}是等差数列,且a1=2,a1+a2+a3=12(1)求{an}的通项公式(2)令bn=anxn,求数列{bn}前n项和公式7.四数中前三个数成等比数列,后三个数成等差数列,首末两项之和为21,中间两项之和为18,求此四个数8.在等差数列{an}中,a1=20,前n项和为Sn,且S10=S15,求当n为何值时,Sn 有最大值,并求出它的最大值.已知数列{an},an∈N*,Sn=(an+2)2(1)求证{an}是等差数列(2)若bn=an-30,求数列{bn}前n项的最小值0.已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*)(1)设f(x)的图象的顶点的横坐标构成数列{an},求证数列{an}是等差数列(2设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成数列{dn},求数列{dn}的前n项和sn.11.购买一件售价为5000元的商品,采用分期付款的办法,每期付款数相同,购买后1个月第1次付款,再过1个月第2次付款,如此下去,共付款5次后还清,如果按月利率0.8%,每月利息按复利计算(上月利息要计入下月本金),那么每期应付款多少 ?(精确到1元)12.某商品在最近100天内的价格f(t)与时间t的函数关系式是f(t)=销售量g(t)与时间t的函数关系是g(t)=-t/3+109/3(0≤t≤100)求这种商品的日销售额的最大值注：对于分段函数型的应用题,应注意对变量x的取值区间的讨论;求函数的最大值,应分别求出函数在各段中的最大值,通过比较,确定最大值。

《等差数列的前n项和》教学设计（精选五篇）第一篇：《等差数列的前n项和》教学设计:等差数列的前n项和是人教实验版必修5第二章第3节的内容，是学生学习了等差数列的定义、通项公式后，对数列知识的进一步学习。

学情分析：学生通过对等差数列基本概念和通项公式的学习，对等差数列有了一定的了解。

但是由于学生是第一次接触到数列的求和,缺乏相关经验,因此，需要借助几何直观学习和理解。

教学目标：1、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

2、过程与方法（1）通过公式的探索、发现，在知识发生、发展以及形成过程中培养学生观察、联想、归纳、分析、综合和逻辑推理的能力；（2）利用以退求进的思维策略，遵循从特殊到一般的认知规律，让学生在实践中通过观察、尝试、分析、类比的方法导出等差数列的求和公式，培养学生类比思维能力。

3、情感态度与价值观（1）获得发现的成就感，逐步养成科学严谨的学习态度，提高代数推理的能力。

（2）注重在学习过程中师生情感交流，鼓励学生自主发现，激发学生的学习热情，培养学生的探索精神与创新意识。

教学重点、难点：1、等差数列前n项和公式是重点。

2、获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。

设计理念：在教学中通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，由浅入深，层层深入，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中获得成功。

教学资源：现代教育多媒体技术教学过程：(一)创设问题情境故事引入：德国伟大的数学家高斯“神述求和”的故事。

高斯在上小学四年级时，老师出了这样一道题“1+2+3……+99+100”高斯稍微想了想就得出了答案。

高斯到底用了什么巧妙的方法呢？下面给同学们一点时间来挑战高斯。

高斯的方法：首项与末项的和：1+100=101 第2项与倒数第2项的和：2+99=101 第3项与倒数第3项的和：3+98=101 ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101 ∴前100个正整数的和为：101×50=50502.故事引入：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的公式。

3. 能够运用前n项和公式解决实际问题。

二、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的公式。

3. 等差数列前n项和的性质。

三、教学重点与难点1. 教学重点：等差数列的概念及其性质，等差数列的前n项和的公式。

2. 教学难点：等差数列前n项和的性质的应用。

四、教学方法1. 采用讲授法，讲解等差数列的概念、性质和前n项和的公式。

2. 运用案例分析法，分析等差数列前n项和的性质在实际问题中的应用。

3. 引导学生通过小组讨论，探讨等差数列前n项和的性质。

五、教学过程1. 导入：通过生活中的实例，引导学生思考等差数列的概念，激发学生兴趣。

2. 新课导入：讲解等差数列的定义及其性质，引导学生理解等差数列的特点。

3. 公式讲解：讲解等差数列的前n项和的公式，让学生掌握计算等差数列前n项和的方法。

4. 案例分析：分析等差数列前n项和的性质在实际问题中的应用，让学生学会运用知识解决实际问题。

5. 课堂练习：布置练习题，让学生巩固所学知识。

6. 总结：对本节课的内容进行总结，强调等差数列前n项和的性质及其应用。

7. 作业布置：布置课后作业，巩固所学知识。

六、教学评估1. 课堂提问：通过提问了解学生对等差数列概念和性质的理解程度。

2. 课堂练习：观察学生在练习中的表现，评估其对等差数列前n项和公式的掌握情况。

3. 课后作业：批改课后作业，评估学生对课堂所学知识的巩固程度。

七、教学反思1. 反思教学内容：检查教学内容是否全面，重点是否突出，难点是否讲清楚。

2. 反思教学方法：评估所采用的教学方法是否适合学生，是否有效激发学生的兴趣和参与度。

3. 反思教学效果：根据学生反馈和作业情况，评估教学目标的达成程度。

八、教学拓展1. 等差数列在实际生活中的应用：举例说明等差数列前n项和公式在生活中的运用，如计算工资、奖金等。

《等差数列的前n项和》说课提纲河北肥乡第一中学常天永各位专家、老师大家好，今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》，内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第二章第三节。

本节共分两个课时。

我说课的内容是第一课时。

下面我将从背景分析、教学目标、方法手段、教学过程及教学评价五个方面来阐述我对这节课的教学认识。

一、背景分析1．在教材中的地位与作用等差数列前n项和是进一步学习数列、微积分的基础，与数学课程的其它内容（函数、三角、不等式等）有着密切的联系。

2．重点、难点重点：等差数列前n项和公式的理解、推导、应用及它与二次函数之间的联系。

难点：等差数列前n项和公式推导思路的获得。

3．学生的知识与能力学生已经学习了等差数列的通项公式和性质等有关内容。

学生经过初高中的数学学习，已具有一定的自主探究能力，从特殊到一般的类比推理能力，但学生对于倒序求和的思想还初次见到,要着重引导。

二、教学目标1、知识与技能2、过程与方法3、情感与价值观三、方法手段1.教学方法2.学法指导3.教学媒体四、教学程序设计分为五个阶段：①复习巩固；②情景导入；③新知探究；④应用探究；⑤课堂小结、作业。

具体过程如下：五、评价设计1、本节课在“等差数列前n项和公式”的猜想与推导过程中，充分利用类比推理，使学生体会这种从特殊到一般的推理过程，过程中让学生积极参与、相互交流与合作，让学生感受到参与快乐与收获成果的喜悦。

同时在公式的应用过程中让学生体会构造方程与解方程的思想。

2、在教学中始终本着“教师是课堂教学的组织者，引导者、合作者”的原则，让学生通过观察思考类比、自主探究、合作交流从而收获新知识。

3、在教学中充分的培养学生的观察能力，分析能力、推理能力及应用能力等差数列的前n项和河北肥乡第一中学常天永各位专家、老师大家好，今天我说课的题目是《等差数列的前n项和》，内容选自人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》必修5第二章第三节。

等差数列的前n项和教案一、教学目标1. 理解等差数列的概念及其性质。

2. 掌握等差数列的前n项和的计算公式。

3. 能够运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

二、教学重点1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

三、教学难点1. 等差数列的前n项和的公式的推导过程。

2. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究等差数列的前n项和的计算方法。

2. 通过实例分析，让学生掌握等差数列的前n项和的应用。

3. 利用数形结合法，帮助学生直观地理解等差数列的前n项和的性质。

五、教学内容1. 等差数列的概念及其性质。

2. 等差数列的前n项和的计算公式。

3. 等差数列的前n项和的性质。

4. 运用等差数列的前n项和公式解决实际问题。

第一章：等差数列的概念及其性质1.1 等差数列的定义1.2 等差数列的性质1.3 等差数列的通项公式第二章：等差数列的前n项和的计算公式2.1 等差数列前n项和的定义2.2 等差数列前n项和的计算公式2.3 等差数列前n项和的性质第三章：等差数列的前n项和的性质3.1 等差数列前n项和的单调性3.2 等差数列前n项和的奇偶性3.3 等差数列前n项和的最值问题第四章：运用等差数列的前n项和公式解决实际问题4.1 等差数列前n项和在实际问题中的应用4.2 等差数列前n项和的优化问题4.3 等差数列前n项和与数学竞赛第五章：等差数列的前n项和公式的推导过程5.1 等差数列前n项和公式的推导方法5.2 等差数列前n项和公式的证明5.3 等差数列前n项和公式的拓展与应用六、等差数列的前n项和的图形直观6.1 等差数列前n项和的图形表示6.2 等差数列前n项和的图形性质6.3 等差数列前n项和的图形应用7.1 等差数列前n项和的数值方法7.2 等差数列前n项和的数值例子7.3 等差数列前n项和的数值分析八、等差数列的前n项和的实际应用8.1 等差数列前n项和在经济学中的应用8.2 等差数列前n项在工程学中的应用8.3 等差数列前n项在和生物学中的应用九、等差数列的前n项和的问题拓展9.1 等差数列前n项和的相关问题拓展9.2 等差数列前n项和的问题研究进展9.3 等差数列前n项和的问题解决策略十、等差数列的前n项和的教学设计10.1 等差数列前n项和的教学目标设计10.2 等差数列前n项和的教学方法设计10.3 等差数列前n项和的教学评价设计重点和难点解析一、等差数列的概念及其性质补充和说明：等差数列是一种常见的数列，其特点是相邻两项的差值是常数。

等差数列前n项和优秀教案一、教学目标知识与技能：1. 理解等差数列的定义及其性质；2. 掌握等差数列前n项和的公式；3. 会运用等差数列前n项和公式解决实际问题。

过程与方法：1. 通过探究等差数列的性质，引导学生发现等差数列前n项和的规律；2. 利用公式法、图象法、列举法等多种方法求解等差数列前n项和；3. 培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

情感态度与价值观：1. 培养学生对数学的兴趣和自信心；2. 培养学生勇于探索、积极思考的精神；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

二、教学重点与难点重点：1. 等差数列前n项和的公式；2. 运用等差数列前n项和公式解决实际问题。

难点：1. 等差数列前n项和的公式的推导；2. 灵活运用等差数列前n项和公式解决复杂问题。

三、教学准备教师准备：1. 等差数列的相关知识；2. 等差数列前n项和的公式；3. 教学案例和练习题。

学生准备：1. 掌握等差数列的基本知识；2. 具备一定的数学思维能力；3. 准备笔记本，做好笔记。

四、教学过程1. 导入：通过复习等差数列的基本知识，引导学生回忆等差数列的性质，为新课的学习做好铺垫。

2. 探究等差数列前n项和的公式：引导学生发现等差数列前n项和的规律，引导学生利用已知的等差数列性质推导出前n项和的公式。

3. 讲解等差数列前n项和的公式：讲解公式的含义、推导过程及其应用，让学生理解并掌握公式的运用。

4. 运用公式法、图象法、列举法等多种方法求解等差数列前n项和：通过具体案例，让学生学会运用不同的方法求解等差数列前n项和，培养学生的数学思维能力和解决问题的能力。

5. 练习与巩固：布置一些练习题，让学生运用所学知识解决问题，巩固所学内容。

五、课后反思教师在课后要对教案进行反思，分析教学过程中的优点与不足，针对性地调整教学方法，以提高教学效果。

关注学生的学习情况，了解学生在学习等差数列前n项和过程中遇到的问题，及时给予解答和指导。

人教版新课标普通高中◎数学⑤必修2.3 等差数列的前n项和教案 A第1课时教学目标一、知识与技能掌握等差数列前n项和公式的推导方法；掌握公式的运用.二、过程与方法1. 通过对历史有名的高斯求和的介绍，引导学生发现等差数列的第k项与倒数第k 项的和等于首项与末项的和这个规律.2. 由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题，进行等差数列通项公式应用的实践操作并在操作过程中，通过类比函数概念、性质、表达式得到对等差数列相应问题的研究.三、情感、态度与价值观1. 通过公式的运用，树立学生“大众数学”的思想意识.2. 通过生动具体的现实问题，令人着迷的数学史，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感. 教学重点和难点教学重点：等差数列前n项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n项公式解决一些简单的有关问题.教学关键：等差数列前n项和公式的推导方法及公式的应用.教学突破方法主要采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学，通过具体问题的引入，使学生体会数学源于生活，创设情境，重在启发引导，使学生由浅到深、由易到难分层次对本节课内容进行掌握.教法与学法导航教学方法启发、讨论、引导式以及多媒体辅助多种手段相结合，使学生在“做数学”的过程中，掌握数学的概念和方法的本质.学习方法通过学生独立思考、自主探索、动手操作、合作交流等学习方式，养成良好的学习习惯和思维方式.教学准备教师准备：投影仪等多媒体.学生准备：等差数列的有关概念和性质的学案.教学过程一、创设情境，导入新课1教师备课系统──多媒体教案21．等差数列的定义： n a －1-n a =d （n ≥2，n ∈N ﹡）. 2．等差数列的通项公式：（1）d n a a n )1(1-+=；（2）=n a d m n a m )(-+；（3）n a =pn+q （p 、q 是常数）． 3．几种计算公差d 的方法： （1）n a d =－1-n a ；（2）11n a a d n -=-；（3）n m a ad n m-=-. 4．等差中项：,2a bA a b +=⇔成等差数列. 5．等差数列的性质： m +n =p +q ⇒q p n m a a a a +=+ （m ， n ， p ， q ∈N ）. 6．数列的前n 项和：在数列{}n a 中，n a a a a ++++ 321称为数列{}n a 的前n 项和，记为n S .小故事：高斯是伟大的数学家、天文学家，高斯十岁时，有一次老师出了一道题目，老师说: “现在给大家出道题目：1+2+…+100=?”.过了两分钟，正当大家在：1+2=3；3+3=6；4+6=10…算得不亦乐乎时，高斯站起来回答说：“1+2+3+…+100=5050．”教师问：“你是如何算出答案的？” 高斯回答说：“因为1+100=101；2+99=101；…50+51=101，所以101×50=5050” 这个故事告诉我们：（1）作为数学王子的高斯从小就善于观察，敢于思考，所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些规律性的东西．（2）该故事还告诉我们求等差数列前n 项和的一种很重要的思想方法，这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法．二、主题探究，合作交流 1．等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=. 证明： n n n a a a a a S +++++=-1321 ① 1221a a a a a S n n n n +++++=-- ②①+②：1213212()()()()n n n n n S a a a a a a a a --=++++++++.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修3∵12132n n n a a a a a a --+=+=+=，∴)(21n n a a n S += ， 由此得：2)(1n n a a n S +=． 2． 等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+= ． 用上述公式要求n S 必须具备三个条件：1,n na a ．但d n a a n )1(1-+= 代入公式1即得2)1(1dn n na S n -+=. 此公式要求n S 必须已知三个条件：n 、a 1、d ，教师要引导学生分析两个公式中变量的个数及各变量的意义，同时让学生记住两个公式.总之：两个公式都表明要求n S 必须已知n a d a n ,,,1中三个．公式2又可化成式子：n da n d S n )2(212-+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式． 三、拓展创新，应用提高例1 （1）已知在等差数列{a n }中， a 1 =4，S 8 =172，求a 8和d ； （2）等差数列-10，-6，-2，2，…前多少项的和是54？ 解：（1）392)4(817288=⇒+=a a ，5)18(439=⇒-+=d d . （2）设题中的等差数列为{}n a ，前n 项为n S ，则 54,4)10()6(,101==---=-=n S d a . 由公式可得5442)1(10=⨯-+-n n n . 解之得： 3,921-==n n （舍去）.所以，等差数列-10，-6，-2，2…前9项的和是54． 例2 2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》.某市据此提出了实施“校校通”工程的总目标：从2001年起用10年时间，在全市中小学建成不同标准的校园网.据测算，2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金都比上一年增加50万元.那么从2001年起的未来10年内，该市在“校校通”工程中的总投入是多少？（1） 先阅读题目；教师备课系统──多媒体教案4（2） 引导学生提取有用的信息，构件等差数列模型；（3） 写这个等差数列的首项和公差，并根据首项和公差选择前n 项和公式进行求解.解：根据题意，从2001～2010年，该市每年投入“校校通”工程的经费都比上一年增加50万元.所以，可以建立一个等差数列｛a n ｝，表示从2001年起各年投入的资金，其中a 1=500， d =50.那么，到2010年（n=10），投入的资金总额为 10101105005072502n S ⨯-=⨯+⨯=（）（万元）.答：从2001～2010年，该市在“校校通”工程中的总投入是7250万元.例3 已知等差数列{a n }前四项和为21，最后四项的和为67，所有项的和为286，求项数n .解：依题意，得⎩⎨⎧=+++=+++---,67,213214321n n n na a a a a a a a两式相加得,88)()()()(3423121=+++++++---n n n n a a a a a a a a 又因为,3423121---+=+=+=+n n n n a a a a a a a a 所以221=+n a a . 又2862)(1=+=n n a a n S ，所以n =26． 练习：教材第45页练习第1、3题． 四、小结1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=； 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=． 五、课堂作业第46页习题2.3 A 组第1、2题第2课时教学目标一、知识与技能1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式．人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修52. 了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题．3. 会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值. 二、过程与方法1. 通过公式的运用，使学生体会从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法.2. 通过研究等差数列通项公式与前 n 项和的公式研究S n 的关系与最值问题，引导学生要善于观察总结解决问题的规律，开阔自己的视野，优化思维的品质.三、情感、态度与价值观通过对数列知识的进一步学习，不断培养自主学习、合作交流、善于反思、勤于总结的科学态度和锲而不舍的钻研精神，提高参与意识和合作精神. 教学重点和难点教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学关键：等差数列的通项公式和前n 项和公式的关系以及前n 项和的最值问题. 教学突破方法：采用观察法、归纳法等教学方法，同时采用设计变式题的教学手段进行教学.教法与学法导航教学方法：启发、讨论、引导式以及多媒体辅助多种手段相结合. 学习方法：引导学生自主探索，创造机会让学生合作、探究、交流. 教学准备教师准备：多媒体、实物投影仪等多媒体. 学生准备：等差数列前和公式学案、教材. 教学过程一、复习旧知，导入新课等差数列求和公式：2)(1n n a a n S +=，d n n na S n 2)1(1-+=.二、主题探究，合作交流1. 探究：等差数列的前n 项和公式是一个常数项为零的二次式. 例1 已知数列{}n a 的前n 项和为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：根据121...n n n S a a a a -=++++，与)1(1211>+++=--n a a a S n n .可知，当n ＞1时，教师备课系统──多媒体教案6221111[11]2222n n n a S S n n n n n -=-=+--+-=-（）（）. ①当n =1时，211131122a S ==+⨯=，也满足①式.所以数列{}n a 的通项公式为122n a n =-.由此可知，数列{}n a 是一个首项为32、公差为2的等差数列.这个例题还给出了等差数列通项公式的一个求法.已知前n 项和n S ，可求出通项 n a =1111n a n S n -=-n , （）S ,（＞）用这种数列的n S 来确定n a 的方法对于任何数列都是可行的，而且还要注意1a 不一定满足由1n n n S S a --=求出的通项表达式，所以最后要验证首项1a 是否满足已求出的n a .练习：已知数列{}n a 的前n 项和212343n S n n =++，求该数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？（答： 是，1a p q r =++，2d p =）.由此，等差数列的前n 项和公式2)1(1dn n na S n -+=可化成式子：21()22n d dS n a n =+-，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式.2. 探究：等差数列前n 项和的最值问题.例2 数列{}n a 是等差数列，a 1=30，d =－0.6.（1）从第几项开始有0n a <？（2）求此数列的前n 项和的最大值. 解析：（1）a n =30+（n -1）×（－0.6）<0，解得n >51，所以从第52项起开始0n a <； （2）由（1）知a 51=0，且前50项a n >0，所以此数列的前n 项和的最大值为S 50=S 51=76551230=⨯+.练习：在等差数列{n a }中，4a =－15，公差d =3，求数列{n a }的前n 项和n S 的最小人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修7值.结论：等差数列前项和的最值问题有两种方法：（1）当n a >0，d <0，前n 项和有最大值.可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值；（2）由21()22n d dS n a n =+-利用二次函数配方法求得最值时n 的值.三、拓展创新，应用提高例1 （1）已知等差数列{a n }的a n =24－3n ，则前多少项和最大？ （2）已知等差数列{b n }的通项b n =2n -17，则前多少项和最小?解：（1）由a n =24－3n 知当8≤n 时，0≥n a ，当9≥n 时，0<n a ，∴前8项或前7项的和取最大值；（2）由b n =2n －17知当8≤n 时，0<n a ，当9≥n 时，0>n a ，∴前8项的和取最小值.例2 数列{a n }是首项为正数a 1的等差数列，且S 9= S 17.问数列的前几项和最大? 解:由S 9= S 17得9a 5=17 a 9，..0,0,0.0,0,0252131413114131最大又所以相邻两项之和为S a a a a a d a ∴<>∴>=+∴=+∴说明:0001413171110917=+⇒=+++⇒=-a a a a a S S 也可以这样得出． 例3 首项为正数的等差数列{a n }，它的前3项之和与前11项之和相等，问此数列前多少项之和最大?解法一:由S 3=S 11， 得:,2101111223311d a d a ⨯+=⨯+解之得： 01321<-=a d ． d n n n na S n )1(1-+=∴n a n a 1211314131+-=1211349)7(131a n a +--=，故当n =7时， S n 最大，即前7项之和最大.解法二:由 111111(1)(152)0131(132)013+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩=+-=->=+=-<n n a a n d a n a a nd a n ，，教师备课系统──多媒体教案8解得:215213<<n，所以n=7，即前7项之和最大．解法三:由01321<-=ad知: {a n}是递减的等差数列.又∵S3=S11，5746891011∴+++++++=a a a a a a a a，78∴+=a a，∴必有780,0><a a，∴前7项之和最大．四、小结求“等差数列前n项和的最值问题”常用的方法有：（1）满足100+><n na a，且的n值；（2）由,)2(22)1(121ndanddnnnaSn-+=-+=利用二次函数的性质求n的值；（3）利用等差数列的性质求．五、课堂作业教材第46页A组第4、5、6题.思考：教材第47页B组第4题.教案 B第1课时教学目标一、知识与技能掌握等差数列前n项和公式及其获取思路；会用等差数列的前n项和公式解决一些简单的与前n项和有关的问题.二、过程与方法通过公式的推导和公式的运用，使学生体会从特殊到一般，再从一般到特殊的思维规律，初步形成认识问题，解决问题的一般思路和方法；通过公式推导的过程教学，对学生进行思维灵活性与广阔性的训练，发展学生的思维水平.三、情感、态度与价值观通过公式的推导过程，展现数学中的对称美.教学重点和难点人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修9教学重点：等差数列前n 项和公式的理解、推导及应用.教学难点：灵活应用等差数列前n 项公式解决一些简单的有关问题. 教学过程一、课题导入古算书《张邱建算经》中卷有一道题：今有与人钱，初一人与一钱，次一人与二钱，次一人与三钱，以次与之，转多一钱，共有百人，问共与几钱？师：题目当中我们可以得到哪些信息？要解决的问题是什么？生1：第一人给1钱，第二人给2钱，第三人给3钱，以后每个人都比前一个人多给一钱，共有100人，问共给了多少钱？师：很好，问题已经呈现出来了，你能用数学符号语言表示吗？生2：用n a 表示第n 个人所得的钱数，则由题意得： 1231,2,3,a a a ===…，100100a =.只要求出1+2+3+…+100=？师：你能求出这个式子的值吗？ 生2：（犹豫片刻） 1+100=101，2+99=101，3+98=101…50+51=101， 所求的和为101×1002=5050 . 师：对于这个算法，著名的数学家高斯10岁时曾很快就想出来了. 高斯的算法是：首项与末项的和：1+100=101， 第2项与倒数第2项的和：2+99=101， 第3项与倒数第3项的和：3+98=101， ……第50项与倒数第50项的和：50+51=101， 于是所求的和是101×1002=5050. 上面的问题可以看成是求等差数列1，2，3，…，n ， …的前100项的和.在上面解决问题的过程中，我们发现所求的和可用首项、末项及项数n 来表示，且任意的第k 项与倒数第k 项的和都等于首项与末项的和，从中你有何启发？我们如何去求一般等差数列的前n 项和？二、讲授新课设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，则12n S a a =++…?n a += 生3：（直接给出公式）由刚才问题的结果可知1()2n n n a a S +=. 师：非常好，由具体的推广到一般，这也是研究数学的一种思想方法由特殊到一般，但是这种方法是猜想、推测，是不完全归纳.数学公式的得出需要严谨的推理过程和相关的理论依据.你能否推导这个公式？教师备课系统──多媒体教案10生4：121()()n n n S a a a a -=++++…+？（遇到困惑，最后一组怎样表示？是剩一项还是两项？）师：我们再回顾一下刚才解决的问题，共有100项，两两分组正好分为50组， 如果1+2+3+…+101=？n 项时又应如何分组？最后一组应怎样表示？生4（继续回答）：1+101=102，2+100=102，3+99=102…50+52=102，51=102(1101)22+=.共有50组，多出第51项. n 分奇偶性讨论，n 为偶数时正好分成2n组，n 为奇数时分成12n -组还多一项.∴当n 为偶数时，121()()n n n S a a a a -=++++ (1)22()n n a a +++=1()2n n a a +. 当n 为奇数时，121()()n n n S a a a a -=++++ (1112)1222()n n n a a a ---+++++121()()n n a a a a -=++++ (1112)22()()2n n n a a a a --+++++=1()2n n a a +. 师：好！通过分类讨论我们得出了等差数列{}n a 的前n 项和n S 公式，从所得的结果看无论n 是奇数还是偶数n S 的公式一样.那么我们是否可以避开讨论n 的奇偶性去推导呢？怎样出现首末两项的和？结合所得公式的特征思考.生5：12n S a a =++…n a +；1n n n S a a -=++…1a +.将上面两式左右两边分别相加得1212()()n n n S a a a a -=++++…1()n a a ++=1()n n a a +.∴1()2n n n a a S +=. 师：此种方法简洁明了，且避开讨论n 的奇偶性，我们将这种方法称为“逆序相加法”，在以后解决数列问题是也经常运用“逆序相加法”，主要运用了等差数列下标等距性质.（有学生举手）生6：我用另外一种方法得出的结果不一样.人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 1112n S a a =++…112n a a d a d +=++++…1(1)a n d +-=[1123na ++++…](1)n d -=1(1)2n n na d -+. 师：这个结果对否？为何会有两个公式？它们之间有联系吗？ 大家一起发现[]1111(1)()(1)222n n n a a n d n a a n n S na d ++-+-===+. ∴等差数列{}n a 前n 项和公式：11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+. 师（总结） ：我们得到了两个计算等差数列前n 项和的公式，由公式可知，只要知道1n a n a d ，，， 这四个量中的三个就可以求出等差数列前n 项和n S .三、范例讲解例1 等差数列―10，―6，―2， 2…前多少项的和是54?解：设题中的等差数列为{}n a ，前n 项和为n S ，则110,6(10)4a d =-=---=，54n S =.由题意得(1)104542n n --+⨯=. ∴26270n n --=.解得129,3n n ==-（舍）.∴前9项的和为54.总结：已知量1、、n a d S ，求n ，合理选用公式. 直接运用公式加深对公式的认识和理解，主要通过方程的思想进行基本量的运算，注意解题格式和规范.例2 求集合{}7,N ,100M m m n n m *==∈<中元素的个数，并求这些元素的和. 解：由7100,n <得100,7n <即214,7n <由于满足不等式的正整数n 共有14个，所以集合M 中的元素共有14个，将他们从小到大列出，得7，7×2，7×3，…，7×14，这个数列是等差数列，记为{}n a ，其中1147,98a a ==.教师备课系统──多媒体教案12∴1414(798)7352S ⨯+=. 答：集合M 中的元素共有14个元素，它们的和等于735.变式1：{}7,N ,100M m m n n n *==∈< 分析：∵n <100，∴M 中有99个元素，分别为7，7×2，7×3，…，7×99， 变式2：在1到100中被7除余1的正整数共有多少个？它们的和是多少？ 分析：设m 是满足条件的数，则m =7n +1，且m <100（N n *∈），或m =7n -6，且m <100（N n *∈）.例3 已知一个等差数列{a n }前10项和为310，前20项的和为1 220，由这些条件能确定这个等差数列的前n 项和的公式吗？分析：将已知条件代入等差数列前n 项和的公式后，可得到两个关于a 1与d 的关系式，它们都是关于a 1与d 的二元一次方程，由此可以求得a 1与d ，从而得到所求前n 项和的公式.解：由题意知S 10=310， S 20=1 220，将它们带入公式 2)1(1d n n na S n -+=， 得到 ⎩⎨⎧=+=+.122019020,310451011d a d a解这个a 1与d 的方程组，得到a 1=4， d =6，所以n n n n n S n +=⨯-+=2362)1(4.思考：（1）等差数列中1020103020,,S S S S S --成等差数列吗？（2）等差数列前m 项和为m S ，则m S ，m m S S -2，m m S S 23-是等差数列吗？例4 已知数列{a n }的前n 项和为S n =n 2+0.5n ，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？解：当n =1时，23211211=+==S a ； 当n >1时，)]1(21)1[(21221-+--+=-=-n n n n S S a n n n 212-=n ． 当n =1时，a 1也满足上式，人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 13所以{a n }通项公式 212-=n a n ， {a n } 是首项为23，公差为2的等差数列. 由n S 的定义可知，当n =1时，1S =1a ；当n ≥2时，n a =n S -1-n S ，即11(1)(2)-=⎧=⎨-≥⎩n nn S n a S S n ．． 四、课堂练习教材第45页练习第1、2、3页.五、课时小结本节课学习了以下内容：1.等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S += ； 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+= . 六、课后作业教材第46页习题A 组 第2、3题．第2课时教学目标一、知识与技能1. 进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；2. 会利用等差数列通项公式与前n 项和的公式研究S n 的最值.二、过程与方法经历前n 项和公式应用的过程，用方程的思想和基本元的思想方法进行相关计算.三、情感、态度与价值观感受前n 项和的应用价值，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并熟练地解决问题.教学重点和难点教学重点：熟练掌握等差数列的求和公式.教学难点：灵活应用求和公式解决问题.教学方法：讨论式，讲练结合.教师备课系统──多媒体教案14教学过程一、复习导入上节课学习了以下内容1. 等差数列的前n 项和公式：2)(1n n a a n S +=或2)1(1d n n na S n -+=；2. S n 与n a 之间的关系：即n a ={11(1)(2)-=-≥nn S n S S n ，．. 二、探究提高探究：一般地，如果一个数列{}n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？师生共同探究：由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++；当2n ≥时， 1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=q p pn +-2， ()()[]p q p n p q p pn a a d n n 21221=+---+-=-=-，结论： ⎩⎨⎧≥+-=-=++===-时当时当2,21,111n q p pn S S n r q p a S a n nn 当r =0时，{n a }是等差数列；当r 不为零时，{n a }不是等差数列.例1 已知等差数列....,743,724,5的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.分析：等差数列的前n 项和公式可以写成2122n d d S n a n =+-（），所以n S 可以看成函数2122d d y x a x =+-⨯∈*（）（N ）当x =n 时的函数值.另一方面，容易知道n S 关于n 的图象是一条抛物线上的一些点.因此，我们可以利用二次函数来求n 的值. 解：由题意知，等差数列2454377，，，....的公差为57-，所以人教版新课标普通高中◎数学⑤ 必修 155[251]27n n S n =⨯+--（）（） =2275551511251414256n n n -=--+（）. 于是，当n 取与152最接近的整数即7或8时，n S 取最大值. 例2 已知等差数列{a n }，3 a 5 =8 a 12，a 1<0，设前n 项和为S n ，求S n 取最小值时n 的值．分析: 求等差数列前n 项的和最小，可以用函数的方式去求，亦可以用数列单调性，也可以由AB A B n A S n 4)2(22-+=完成. 解法一：.576),11(8)4(3,83111125d a d a d a a a -=+=+∴=即 ,0,01>∴<d a 由 ,)2(22)1(121n d a n d d n n na S n -+=-+=∴ 点（n ，S n ）是开口向上抛物线上一些孤立的点，即在函数x d a x d y )2(212-+=的图象上，其对称轴17652215.7d d d a x d d ---=-=-=，距离x=15.7最近的整数点（16，S 16）， .16=∴n S n 最小时解法二: .576,831125d a a a -=∴= ,0,01>∴<d a 由 ,0222,02,4)2(122=⨯-+=+-+=d d a n A B n A B A B n A S n 即令 *762515.7(N )d d n n d+∴==∈， ∴n =16时，S n 最小三、小结1．前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，不一定是等教师备课系统──多媒体教案16差数列，通项公式是⎩⎨⎧≥+-=-=++===-)2(,2)1(,111时当时当n q p pn S S n r q p a S a n nn 当r =0时，{n a }是等差数列，该数列的首项是1a p q r =++，公差是d =2p ； 当r 不为零时，{n a }不是等差数列.2．求等差数列前项和的最值问题有两种方法:（1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值．可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值．可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值；（2）由21()22n d d S n a n =+-利用二次函数配方法求得最值时n 的值. 四、作业教材第46页习题B 组第1、2、3、4题.。

等差数列前n项和教案（共5篇）第一篇：等差数列前n项和教案等差数列前n项和(第一课时）教案【课题】等差数列前n项和第一课时【教学内容】等差数列前n项和的公式推导和练习【教学目的】（1）探索等差数列的前项和公式的推导方法；（2）掌握等差数列的前项和公式；（3）能运用公式解决一些简单问题【教学方法】启发引导法，结合所学知识，引导学生在解决实际问题的过程中发现新知识，从而理解并掌握.【重点】等差数列前项和公式及其应用。

【难点】等差数列前项和公式的推导思路的获得【教具】实物投影仪，多媒体软件，电脑【教学过程】1.复习回顾 a1 + a2 + a3 +......+ an=sna1 + an=a2 + an-1 =a3 + an-2 2.情景自学问题一：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1 支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放 100支，这个V 形架上共放着多少支铅笔？思考：(1)问题转化求什么能用最短时间算出来吗？(2)阅读课本后回答，高斯是如何快速求和的？他抓住了问题的什么特征？(3)如果换成1+2+3+…+200=？我们能否快速求和？，(4)根据高斯的启示，如何计算18+21+24+27+…+624=？3..合作互学（小组讨论，总结方法）问题二：Sn = 1 + 2 + 3 + … + n = ?倒序相加法探究：能把以上问题的解法推广到求一般等差数列的前n 项和吗？问题三：已知等差数列{an }中，首项a1，公差为d，第n项为an , 如何求前n项和Sn ？等差数列前项和公式： n(a1 + an)=2Sn问题四：比较以上两个公式的结构特征，类比于问题一，你能给出它们的几何解释吗？n(a1 + a n)=2Sn公式记忆——类比梯形面积公式记忆n（a1 + a n)=2S 问题五：两个求和公式有何异同点？能够解决什么问题？展示激学应用公式例1.等差数列－10，－6，－2，2的前多少项的和为-16 例2.已知一个等差数列的前10项和是310,前20项的和是1220,由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗?【思考问题】如果一个数列{an }的前n项和Sn = pn2 + qn + r，(其中p,q,r为常数，且p ≠ 0)，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，说明理由，若不是，说明Sn必须满足的条件。