函数综合题重点题型归纳
1、已知函数x x x f -=3
)(.
（Ⅰ）求曲线)(x f y =在点M （)(,t f t ）处的切线方程；
（Ⅱ）设a >0. 如果过点（a , b ）时作曲线y =f （x ）的三条切线，证明： ).(a f b a <<-
2、设函数()e e x x
f x -=-．
（Ⅰ）证明：()f x 的导数()2f x '≥；（Ⅱ）若对所有0x ≥都有()f x ax ≥，求a 的取值范围．
3、已知函数32
()1f x x ax x =+++，a ∈R ． （1）讨论函数()f x 的单调区间；
（2）设函数()f x 在区间213
3⎛⎫--
⎪⎝⎭
，内是减函数，求a 的取值范围．
4、设函数x
x
x f cos 2sin )(+=
.
(Ⅰ)求)(x f 的单调期间； (Ⅱ)如果对任何0≥x ，都有ax x f ≤)(，求a 的取值范围.
5、设函数()()2
1f x x aIn x =++有两个极值点12x x 、，且12x x < （I ）求a 的取值范围，并讨论()f x 的单调性； （II ）证明：()2122
4
In f x ->
6、已知x
x
x g e x x ax x f ln )(],,0(,ln )(=
∈-=，其中e 是自然常数，.a R ∈ （1）讨论1=a 时, ()f x 的单调性、极值； （2）求证：在（1）的条件下，1()()2
f x
g x >+
； （3）是否存在实数a ，使()f x 的最小值是3，若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.
7、已知函数()32
f x x x ax b =-++(a,b ∈R)的一个极值点为1x =.方程20ax x b ++=的两个实根为
,αβ()αβ<, 函数()f x 在区间[],αβ上是单调的.
(1) 求a 的值和b 的取值范围; (2) 若[]12,,x x αβ∈, 证明:()()121f x f x -≤
8、设函数()32
33f x x bx cx =++在两个极值点12x x 、，且12[1
0],[1,2].x x ∈-∈， （I ）求b c 、满足的约束条件，并在直角坐标平面内，画出满足这些条件的点(),b c 的区域； (II)证明：()21102
f x -≤≤-
9、A 是定义在[2,4]上且满足如下条件的函数()x ϕ组成的集合：①对任意的[1,2]x ∈，都有(2)(1,2)x ϕ∈；②存在常数(01)L L <<，使得对任意的12,[1,2]x x ∈，都有1212|(2)(2)|||x x L x x ϕϕ-≤-.
(I)设(2)[2,4]x x ϕ=∈ ，证明：()x A ϕ∈
(II)设()x A ϕ∈，如果存在0(1,2)x ∈，使得00(2)x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的；
(III) 设()x A ϕ∈，任取1(1,2)x ∈，令1(2)n n
x x ϕ-=，1,2,n =，证明：给定正整数k ，对任意的正整数p ，
成立不等式1
21||||1k k p k L x x x x L
-+-≤--。
函数综合题重点题型归纳【答案】
1、解：（Ⅰ）求函数)(x f 的导数：13)(2
-='x x f
曲线))(,()(t f t M x f y 在点=处的切线方程为：))(()(t x t f t f y -'==即 .2)13(3
2
t x t y --= （Ⅱ）如果有一条切线过点（a ，b ），则存在t ，使3
2
2)13(t a t b --=
于是，若过点（a ，b ）可作曲线)(x f y =的三条切线，则方程03223=++-b a at t 有三个相异的实数根，记 ,32)(2
3
b a at t t g ++-=则 at t t g 66)(2
-=')(6a t t -=
当t 变化时，)()(t g t g '，变化情况如下表：
由(t g 当0=+b a 时，解方程2
300)(a
t t t g =
=
=，得，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根； 当0)(=-a f b 时，解方程a t a t t g =-==，得2
0)(，即方程0)(=t g 只有两个相异的实数根 综上，如果过),(b a 可作曲线)(x f y =三条曲线，即0)(=t g 有三个相异的实数根，则
⎩⎨
⎧<->+0
)(0
a f
b b a 即 ).(a f b a <<- 2、解：（Ⅰ）()f x 的导数()e e x x f x -'=+．由于e e 2x -x +=≥，
故()2
f x '≥．（当且仅当0x =时，等号成立）． （Ⅱ）令()()
g x f x ax =-，则()()e e x
x
g x f x a a -''=-=+-，
（ⅰ）若2a ≤，当0x >时，()e e
20x
x
g x a a -'=+->-≥，故()g x 在(0)+，∞上为增函数，所以，
0x ≥时，()(0)g x g ≥，即()f x ax ≥．
（ⅱ）若2a >，方程()0g x '=的正根为1x =， 此时，若1(0)x x ∈，，则()0g x '<
，故()g x 在该区间为减函数．
所以，1(0)x x ∈，时，()(0)0g x g <
=，即()f x ax <，与题设()f x ax ≥相矛盾． 综上，满足条件的a 的取值范围是(]2-
∞，．
3、
解：（1）32()1f x x ax x =+++求导：2
()321f x x ax '
=++
当2
3a ≤时，0∆≤，()0f x '≥，()f x 在R 上递增当2
3
a >，()0
f x '=求得两根为3
a x -=即()f x 在3a ⎛--∞ ⎪⎝⎭，递增，33a a ⎛-- ⎪⎝⎭，递减，3a ⎛⎫-+∞
⎪ ⎪⎝⎭
递增 （2）2
331
33
a a ⎧---
⎪⎪⎨
-+⎪-
⎪⎩
≤，且2
3a
>解得：7
4
a ≥
