2018考研数学三真题及答案
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2018考研数学三真题及答案
一、 选择题
1.下列函数中,在 0x =处不可导的是()
().sin A f x x x = (
).B f x x =().?C f x cos x = (
).D f x =
答案:() D 解析:方法一:
()()()0
00sin 0lim
lim lim sin 0,x x x x x x f x f x x x
x A →→→-===可导 ()()(
)0
000lim
lim 0,x x x x f x f x x B →→→-===可导
()()()2
0001cos 102lim
lim lim 0,x x x x x f x f x x C x
→→→-
--===可导 ()()(
)
0001
02lim
lim x x x x f f x x
D x →→→-
-==不存在,不可导 应选()D . 方法二:
因为()(1)0f f x ==
()(
)0001
02lim lim
x x x x f x f x x
→→→-
-==不存在 ()f x ∴在0x =处不可导,选()D
对()():?A f x xsinx =在 0x =处可导 对()(
)3
2
:~?B f x x x =在 0x =处可导 对()():x x C f cos =在 0x =处可导. 2.设函数()f x 在[0,1]上二阶可导,且
()1
0,f x dx =⎰则
()()1'0,02A f x f ⎛⎫
<<
⎪⎝⎭
当时 ()()1''0,02B f x f ⎛⎫
<< ⎪⎝⎭当时 ()()1'0,02C f x f ⎛⎫
><
⎪⎝⎭
当时 ()()1''0,02D f x f ⎛⎫
>< ⎪⎝⎭
当时 答案()
D
【解析】
将函数()f x 在1
2
处展开可得
()()()()()2
2
2
1
1
10
00''1111',
22222''1111111''',
22222222f f x f f x x f f x dx f
f x x dx f f x dx ξξξ⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫=+-+- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛
⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-+-=+-⎢⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣
⎦
⎰
⎰⎰故当''()0f x >时,
()1
11.0.22f x dx f f
⎛⎫
⎛⎫>< ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭⎰
从而有
选
()D 。
3.设(
)
(2
22
222
22
11,,11x x x
M dx N dx K dx x e π
π
π
π
ππ-
--++=
==++⎰⎰⎰,则 A .? .M N K >> B ..M K N >> C..K M N >> D..K N M >> 答案:() C
解析:()
2
222222
22
1211,11x x M dx dx dx x x π
π
π
π
ππ-
--+⎛⎫
=
=+= ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰ 22
1x x N dx e π
π
-+=⎰,因为1x
e x >+所以11x x e +<
(
22
1,1 1.
K dx π
π-
=+>⎰
即111x x
e +<<
所以由定积分的比较性质 K M N >>,应选()C .
4.设某产品的成本函数()C Q 可导,其中Q 为产量,若产量为0Q 时平均成本最小,则()
A ()0'0C Q =
B ()()00'
C Q C Q = C .()()000'C Q Q C Q =
D .()()
000'Q C Q C Q =
答案
D
【解析】平均成本()()()()()
2',C Q dC Q C Q Q C Q C Q Q dQ Q
-=
=,由于()C Q 在0
Q Q =处取最小值,可知
()00'0.Q C Q =故选(D).
5.下列矩阵中,与矩阵110011001⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭相似的为
111.011001A -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 101.011001B -⎛⎫
⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
111.010001C -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ 101.010001D -⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
答案:() A
解析:令110010001P -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则1
110010001P -⎛⎫
⎪= ⎪ ⎪⎝⎭
111011111001
0011010001001001120110110011010011001001001P AP ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭
-⎛⎫⎛⎫⎛⎫
⎪⎪⎪= ⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
Q
∴选项为A
6.设,A B 为n 阶矩阵,记()r X 为矩阵X 的秩,()XY 表示分块矩阵,则
()().?Ar A AB r A = ()().?B r ABA r A =
()()(){}.? ,C r AB max r A r B = ()().? T T D r AB
r A B = 答案:()A
解析:易知选项C 错 对于选项B 举反例:取11001112A B ⎛⎫⎛⎫==
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
1